实验2_统计的方法求pi
自己动手计算圆周率
自己动手计算圆周率圆周率的计算历程圆周率是一个极其著名的数。
从有文字记载的历史开始，这个数就引进了外行人和学者们的兴趣。
作为一个非常重要的常数，圆周率最早是出于解决有关圆的计算问题。
仅凭这一点，求出它的尽量准确的近似值，就是一个极其迫切的问题了。
事实也是如此，几千年来作为数学家们的奋斗目标，古今中外一代又一代的数学家为此献出了自己的智慧和劳动。
回忆历史，人类对π 的认识过程，反映了数学和计算技术开展情形的一个侧面。
π 的研究，在一定程度上反映这个地区或时代的数学水平。
德国数学史家康托说：“历史上一个国家所算得的圆周率的准确程度，可以作为衡量这个国家当时数学开展水平的指标。
〞直到19世纪初，求圆周率的值应该说是数学中的头号难题。
为求得圆周率的值，人类走过了漫长而曲折的道路，它的历史是饶有趣味的。
我们可以将这一计算历程分为几个阶段。
〔1〕实验时期通过实验对π 值进行估算，这是计算π 的的第一阶段。
这种对π 值的估算根本上都是以观察或实验为根据，是基于对一个圆的周长和直径的实际测量而得出的。
在古代世界，实际上长期使用π ＝3这个数值。
在我国刘徽之前“圆径一而周三〞曾广泛流传。
我国第一部《周髀算经》中，就记载有圆“周三径一〞这一结论。
在我国，木工师傅有两句从古流传下来的口诀：叫做：“周三径一，方五斜七〞，意思是说，直径为1的圆，周长大约是3，边长为5的正方形，对角线之长约为7。
这正反映了早期人们对圆周率π 和√2 这两个无理数的粗略估计。
东汉时期官方还明文规定圆周率取3为计算面积的标准。
后人称之为“古率〞。
在我国东、西汉之交，新朝王莽令刘歆制造量的容器――律嘉量斛。
刘歆在制造标准容器的过程中就需要用到圆周率的值。
为此，他大约也是通过做实验，得到一些关于圆周率的并不划一的近似值。
现在根据铭文推算，其计算值分别取为3.1547，3.1992，3.1498，3.2031比径一周三的古率已有所进步。
人类的这种探索的结果，当主要估计园田面积时，对生产没有太大影响，但以此来制造器皿或其它计算就不适宜了。
算法之美--1.蒙特卡洛方法计算pi
算法之美--1.蒙特卡洛⽅法计算pi基本思想：利⽤圆与其外接正⽅形⾯积之⽐为pi/4的关系，通过产⽣⼤量均匀分布的⼆维点，计算落在单位圆和单位正⽅形的数量之⽐再乘以4便得到pi的近似值。
样本点越多，计算出的数据将会越接近真识的pi（前提时样本是“真正的”随机分布）。
蒙特卡罗（Monte Carlo）计算圆周率的主要思想：给定边长为R的正⽅形，画其内切圆，然后在正⽅形内随机打点，设点落在圆内的概为P，则根据概率学原理： P = 圆⾯积 / 正⽅形⾯积＝ PI * R * R / 2R * 2R = PI / 4。
即 PI=4P。
这样，当随机打点⾜够多时，统计出来的概率就⾮常接近于PI的四分之⼀了。
#include <iostream>#include <ctime>using namespace std;int main(){const int MAX_TIMES = 20000000;srand(static_cast<unsigned int>(time(0)));int in=0;for (int i = 0; i < MAX_TIMES;i++){double x = static_cast<double>(rand()) / RAND_MAX;double y = static_cast<double>(rand()) / RAND_MAX;if (x*x+y*y<=1.0){in++;}if (i%(MAX_TIMES/100)==0){cout << ".";}}double pi = 4.0*in / MAX_TIMES;cout << "\nPI=" << pi << endl;return0;}实现了⼀下，感觉时间⽤的有点长。
cuda积分法求pi
cuda积分法求piCUDA积分法求π在计算机科学领域中，π（圆周率）是一个重要的数学常数。
许多领域的问题都需要用到π，例如几何、物理学、统计学等。
求π的方法有很多，其中一种常见的方法是使用积分法求解。
本文将介绍如何使用CUDA（计算统一设备架构）来实现积分法求解π。
1. 积分法介绍积分法是一种求解数学问题的方法，它将一个函数在某个区间上的积分转化为该区间内该函数的加权和。
对于π的求解，我们可以使用下述公式来表示：π = ∫(0 to 1) 4 / (1 + x^2) dx该公式表示了一个从0到1的积分，其中被积函数为4 / (1 + x^2)。
我们可以使用积分法来估计这个积分的近似值。
2. CUDA并行计算CUDA是由NVIDIA开发的一种并行计算平台和编程模型，它可以利用GPU 的计算能力进行高性能的并行计算。
在本文的任务中，我们将使用CUDA来进行并行计算，以加快π的计算速度。
3. CUDA程序设计在使用CUDA进行程序设计时，我们需要编写两个函数：主机函数和设备函数。
主机函数在CPU上运行，用于控制CUDA的执行流程。
设备函数在GPU上运行，用于实际的计算。
首先，我们需要创建一个包含设备函数的CUDA文件。
设备函数用于计算积分的近似值，代码如下所示：```cpp__global__ void compute_pi(float* result, int n) {int index = blockIdx.x * blockDim.x + threadIdx.x;float x = (index + 0.5) / n;float fx = 4 / (1 + x * x);result[index] = fx / n;}```接下来，我们需要创建主机函数来调用设备函数并计算近似值。
主机函数的代码如下所示：```cpp#include <iostream>#include <cuda_runtime.h>int main() {int n = 1000000; // 迭代次数size_t size = n * sizeof(float);float* result = (float*)malloc(size);float* dev_result;cudaMalloc((void**)&dev_result, size);int threads_per_block = 256;int blocks_per_grid = (n + threads_per_block - 1) / threads_per_block;compute_pi<<<blocks_per_grid, threads_per_block>>>(dev_result, n);cudaMemcpy(result, dev_result, size, cudaMemcpyDeviceToHost);float pi = 0;for (int i = 0; i < n; i++) {pi += result[i];}pi *= 4;std::cout << "Approximation of pi: " << pi << std::endl;free(result);cudaFree(dev_result);return 0;}```在主机函数中，我们首先定义了迭代次数n，并根据它计算需要分配的内存大小。
生物医学研究的统计学方法 课后答案(案例分析)
第1章绪论案例辨析及参考答案案例1-1某研究者的论文题目为“大学生身心健康状况及其影响因素研究”，以某地职业技术学院理、工、文、医学生（三年制）为研究对象，理、工、文、医学生分别挑选了60、38、19和46人，以问卷方式调查每位学生的一般健康状况、焦虑程度、抑郁程度等。
得出的结论是：“大学生身心健康状况不容乐观，学业问题、就业压力、身体状况差、人际交往不良、社会支持不力为主要影响因素”。
请问其结论合理吗？为什么？应该如何？案例辨析①样本不能代表总体。
总体是“大学生”，而样本仅为某地三年制职业技术学院学生；②社会学调查的样本含量显得不足；③“理、工、文、医学生分别挑选……”这种说法中隐含人为“挑选”的意思，不符合统计学要求。
正确做法应在论文的题目中明确调查的时间范围和地点，还应给“大学生”下一个明确的定义，以便确定此次调查的“总体”；对“大学生身心健康状况”可能有影响的因素很多，应结合具体问题拟定出少数最可能有影响的因素（如学科、在学年限等）进行分层随机抽样，以保证样本有较好的代表性；还应根据已知条件找到估计样本含量的计算公式，不可随意确定各学科仅调查几十人；当然，调查表中项目的设置也是十分重要的，此处从略。
案例1-2两种药用于同一种病，A药治疗5例，4例好转；B药治疗50例，36例好转。
结论是：A药优于B药。
请问其结论合理吗？为什么？应该如何？案例辨析①A药样本仅5例，样本含量太少；②得出“A药优于B药”没有交待是否采用了统计学推断方法，若用目测法得出结论，则结论没有说服力；③未明确研究目的和研究结果将被使用的范围。
正确做法①应明确研究目的和研究结果将被使用的范围，若是个别研究者或临床医生想了解这两种药的大致疗效，属于小规模的临床观察，其结论仅供少数人在今后临床实践中参考，其样本含量可能不需要很大，因为观察指标是定性的（有效、无效），一般来说，每个药物组也需要几十例（以不少于20例为宜）；若属于新药的Ⅱ期临床试验，那就要严格按有关规定，比较准确地估计出所需要的样本含量，不仅如此，还有很多严格的要求，详见本书中临床试验设计一章；②从明确定义的总体中随机抽样进行实验研究，得到的实验结果不能仅凭数据大小作出判断，应进行假设检验，以提高结论的可信度。
统计学公式
3
xi x 4 n(n 1) 3(n 1) 2 ( ) . s (n 1)(n 2)(n 3) (n 2)(n 3)
2
统计学公式
二、概率分布
一、度量事件发生的可能性：
1.事件 A 发生的概率： P ( A) 二、随机变量的概率分布：
统计学公式
一、用统计量描述数据
一、水平的度量：
x x2 x3 1.简单平均数: x 1 n
xn
X
i 1
n
i
n
.
k
M f M 2 f2 M k fk 2.加权平均数： x 1 1 f1 f 2 f k
M
i 1
i i
f
n
.（如果原始数据被分成 k 组，各
2
E2
.
四、假设检验
一、一个总体参数的检验
1.大样本的检验
(1)在大样本的情况下，样本均值的抽样分布近似服从正态分布，其抽样标准差为 /
2
n.
采用正态分布的检验统计量.设假设的总体均值为 0 ,当总体方差 已知时,总体均值检验 的统计量为： z
x 0
/ n
.
(2)当总体方差 未知时,可以采用样本方差 s 来代替,此时总体均值检验的统计量为：
组的组中值分别用 M1，M 2， ，M k 表示，各组的频数分别用 f1，f 2， ，f k 表示，则得到 样本平均数计算公式）
x n 1 2 3.中位数（ M e ） ： Me 1 x n x n 1 2 2 2
n
p ；
(1 )
实验二 怎样计算Pi
数学实验实验报告学院：数学与统计学院班级：数学与应用数学3班学号：0314姓名：康萍时间：实验二怎样计算一、实验目的分别用下列三种方法计算π的近似值，并比较三种方法的精确度： 数值积分法：通过使用编写梯形公式和辛普森公式的程序语言计算π。
泰勒级数法：利用反正切函数泰勒级数计算π。
蒙特卡罗（Monte Carlo ）法：通过使用编写蒙特卡罗公式的程序语言来计算π。
二、实验环境基于Windows 环境下的软件。
三、实验的基本理论和方法1、数值积分法以单位圆的圆心为原点建立直角坐标系，则单位圆在第一象限内的部分G 是一个扇形，由曲线])1,0[(12∈-=x x y 及两条坐标轴围成，它的面积4π=S 。
算出了S 的近似值，它的4倍就是π的近似值。
而扇形面积S 实际上就是定积分4112π=-⎰dx x 。
与π有关的定积分有很多，比如211x +的定积分411102π=+⎰dx x 就比21x -的定积分更容易计算，更适合于用来计算π。
一般地，要计算定积分()dx x f ba ⎰，也就是计算曲线()x f y =与直线b x a x y ===,,0所围成的曲边梯形G 的面积S 。
为此，用一组平行于y 轴的直线()b x x x x x a n i x x n n i =<<<<<=-≤≤=-1210,11 将曲边梯形T 分成n 个小曲边梯形，总面积S 分成这些小曲边梯形的面积之和。
如果取n 很大，使每个小曲边梯形的宽度都很小，可以将它上方的边界()()i i x x x x f ≤≤-1近似的看作直线段，将每个小曲边梯形近似的看作梯形来求面积，就得到梯形公式。
如果更准确些，将每个小曲边梯形的上边界近似的看作抛物线段，就得到辛普森公式。
具体公式如下：梯形公式 设分点11,,-n x x 将积分区间],[b a 分成n 等份，即()n i n a b i a x i ≤≤-+=0,/。
概率论与数理统计实验
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3、指数分布随机数
1) R = exprnd(λ)：产生一个指数分布随机数 2)R = exprnd(λ,m,n)产生m行n列的指数分布随机数
例3、产生E(0.1)上的一个随机数，20个随机数， 2行6列的随机数。
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在Matlab命令行中输入以下命令： binomoni(0.5,1000)
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在Matlab命令行中输入以下命令： binomoni(0.5,10000)
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在Matlab命令行中输入以下命令： binomoni(0.3,1000)
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二、常用统计量
1、表示位置的统计量—平均值和中位数
概率论与数理统计实验
实验2 随机数的产生
数据的统计描述
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实验目的
学习随机数的产生方法 直观了解统计描述的基本内容。
实验内容
1、随机数的产生 2、统计的基本概念。 3、计算统计描述的命令。 4、计算实例。
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一、随机数的产生 定义：设随机变量X~F(x),则称随机变量X的 抽样序列{Xi}为分布F(x)的随机数 10常用分布随机数的产生
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例6 生成单位圆上均匀分布的1行10000列随机数，并 画经验分布函数曲线。
Randnum=unifrnd(0,2*pi,1,10000); %(0,2pi)上均匀分布随机数 xRandnum=cos(Randnum);%横坐标 yRandnum=sin(Randnum);%丛坐标 plot(xRandnum,yRandnum);
例9：产生5组指数分布随机数，每组100个， 计算样本偏度和峰度。
数学建模 π的计算
可将 算到 200 位。
二、 泰勒级数法 考虑反正切函数的泰勒级数
取 x =1，n =1e3(3,4,5,6,7)
程序： clear tic k=1e3(3,4,5,6,7); x=1; n=1:k; pai=sum((-1).^(n-1).*x.^(2.*n-1)./(2.*n-1)) toc 结果显示：花费时间长！准确度差！！ 原因：x =1 时得到的 arctan1 的展开式收敛太慢！ Maqin 公式法 提高收敛速度：
1、 梯形公式法 将扇形 G 分为 n 个宽度相等的部分 Gk（1 ≤ k ≤ n） Gk：曲边梯形 左右边界平行，上方边界为曲线 n→∞ Gk→梯
G G
形 Gk 梯形面积：
等价于
π
取 n =10k （k=3, 4, …,7），按上述方法，通过计算扇形面积计 算 π 的近似值。 程序
Clear tic n=1e3(3, 4, …,7); x=linspace(0,1,n+1); y=(1-x.^2).^0.5; pai=(0.5*y(1)+0.5*y(n+1)+sum(y(2:n)))*4/n toc
rand(n) 产生 n×n 的随机方阵 rand(m,n) 产生 m×n 的随机矩阵 需要产生两个[0, 1]上均匀分布的随机数 x，y，表示一个点的坐 标，这个点落在单位正方形内每个位置的机会均等，当 x2 + y2 ≤ 1 时，该点落在扇形内。 程序： clear tic n=1e7; x=rand(1,n); y=rand(1,n); c=x.^2+y.^2; m=sum(c<=1); k=m/n; pai=4*k toc 四、蒲丰（Buffon）掷针试验 1777 年法国数学家蒲丰提出了一种用于计算 π 的随机掷针试验， 步骤如下： （1）取一张白纸，在上面画许多间距为 d 的等距平行线；（2） 取一根长度为 l ( l < d ) 的均匀直针，随机地向画有平行线的纸
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本次实验的主要内容是利用上述方法计算π ， 以给定的精度作为求π 循环的 终止条件。要求： 1. 利用 for 循环或 while 循环； 2. 设定合适的终止条件。
3. 练习单步跟踪调试程序。 4. 注意变量的可取值范围。 提示：库函数 rand()可以产生在[0,RAND_MAX]范围内的随机整数，可在程序 中直接使用，其中 RAND_MAX 是宏，是 rand()函数可以产生的最大的整数。 通过强制类型转换和缩放可以把生成的整数变换到任意的范围。例如：
intv1 = rand() % 100; // v1 是 0 到 99 之间的整数 float v2 = float(rand())/float(RAND_MAX); // v2 是 0 到 1 之间的浮点数
#include <iostream> #include <iomanip> int main(intargc,char*argv[]) { // 声明所用的变量并正确初始化 // 编写求 pi 的循环 // 在你的循环体内 { //调用 rand（）函数，产生随机二维点（两个随机数：x 坐标和 y 坐标） // 将随机数变换到正方形所在的区间，利用系统宏 RAND_MAX // 计算点是否在圆内 // 更新统计数据，求 pi 值 } // 在控制台输出 pi 值 return0; }
实验要求
完成上述代码，并能显计的方法求π
实验目的
熟练运用循环和数值计算
实验内容
有一个正方形和它的内切圆。圆的半径为 R，则正方形的边长为 2R，内切圆 与正方形的面积比：
S圆 S 圆正方形
=
π R2 4R 2
=
π 4
如果在正方形区域内随机产生大量的均匀分布的点， 那么落入内切圆和正方 形中的随机点个数的比值等于它们的面积之比。该比值乘以 4，即为π 值。