安徽省高二数学下学期期末考试试题
宣城市高二下学期期末考试
数学（文）试卷
考生注意事项：
1､本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟。
2､答题前，考生先将自己的姓名､考号在答题卷指定位置填写清楚并将条形码粘贴在指定区域。
3､考生作答时，请将答案答在答题卷上。
第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑;第Ⅱ卷请用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卷上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效。
4､考试结束时，务必将答题卡交回。
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题四个选项中，只有一项是符合要求的。
1.设2
A x x 4x 30
B x ln(32x)0 ＝｛︱－＋｝，＝｛︱－＜｝，则A∩B＝ A. (－∞，
32) B.(1，3］ C.3(1)2， D.(3
2
，3］ 2.设i 为虚数单位，复数z 满足(1－i)·z＝2i ，则︱z ︱＝
D.2
3.等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1，2S 2，3S 3成等差数列，则{a n }的公比为
A.
1
3
B.34.如图程序框的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”。
若输入a ，b 的值分别为14、18，执行此程序框图，则输出的结果a ＝
A 、0
B 、2
C 、4
D 、14
5.函数()f x xcosx sinx ＝－，x ππ∈［－，］的大致图像为
6.已知变量x ，y 满足约束条件x y 50x 2y 10x 10≤⎧⎪
≤⎨⎪≥⎩
＋－－＋
－，则目标函数z ＝x ＋2y －1的最大值为 A.6 B.7 C.8 D.9
7.将函数y sin(2x )6π
＝＋的图像向左平移
6
π
个单位长度后，所得图像的一个对称中心为
A.(0)12π，
B.(0)4π，
C.(0)3π，
D.(0)2
π，
8.下图是某手机商城2018年华为、苹果、三星三种品牌的手机各季度销量的百分比堆积图(如：第三季度华为销量约占50％，苹果销量约占20％，三星销量约占30％)．根据该图，以下结论中一定正确的是
A.华为的全年销量最大
B.苹果第二季度的销量大于第三季度的销量
C.华为销量最大的是第四季度
D.三星销量最小的是第四季度
9.已知O 为坐标原点，双曲线C ：22
22x y 1(a 0b 0)a b
－＝
＞，＞的两个焦点为F 1、F 2，P 为双曲线C 上的一点，且｜PF 1｜＝2｜PF 2｜，则双曲线C 的离心率的取值范围为 A 、（1，3） B 、（1，3] C 、（3，+∞） D 、[3，+∞]
10.如图，长度为l 的正方形网格纸中的实线图形是一个多面体的三视图，则该多面体表面积为
A 、
B 、、 D 、
11.设a ，b ＝e
－π
，c ＝log 23，则
A 、b ＜a ＜c
B 、a ＜b ＜c
C 、b ＜c ＜a
D 、c ＜b ＜a
12. 斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋线”，是根据斐波那契数列(1，1，2，3，5，8……)画出来的螺旋曲线，由中世纪意大利数学家列奥纳多·斐波那契最先提出。
如图，矩形ABCD 是以斐波那契数为边长的正方形拼接而成的，在每个正方形中作一个圆心角为90°的圆弧，这些圆弧所连成的弧线就是斐波那契螺旋线的一部分。
在矩形ABCD 内任取一点，该点取自阴影部分的概率为
A.
14 B.8π C.34 D.4
π
二、填空题：本大题共4小題，每小题5分，共20分。
把答案填在题中的横线上
13.已知平面向量a＝（2，x），b＝（3，x+1），若a∥b，则x＝。
14.若
1
sin()
23
π
α
+=，则cos2α+cosα＝。
15.网上购鞋常常看到下面表格
脚长与鞋号对应表
试用含有脚长：a n的式子表示鞋码：b n的计算公式为：
16.在△ABC中，BC＝2，AB，则△ABC面积的最大值为
三、解答题：本大题共6小题，满分70分。
解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤
17.（本题满分10分）
设数列{a n}的前n项和为S n。
已知a1＝0，S n+1＝S n+a n+2n－2.
（1）若b n＝2n－a n，证明：数列{b n}是等差数列；
（2）求数列{a n}的前n项和S n。
18.（本题满分12分）
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知2b+c＝2acosC.
（1）求角A；
（2）若b＝3，a－c＝2，求△ABC的面积.
19.（本题满分12分）
如图，矩形ABCD中，AB＝2BC，以BD为折痕把△BDC折起，使点C到达点P的位置。
（1）若BC＝1，求三棱锥P－ABD体积的最大值；
（2）若PA⊥PB，证明：平面PAB⊥平面ABD；
20.（本题满分12分）
为比较注射A、B两种药物产生的皮肤疱疹的面积，选200只家兔作试验，将这200只家兔随机地分成两组，每组100只，其中一组注射药物A，另一组注射药物B。
表20－1和表20－2所示的分别是注射药物A和药物B后皮肤疱疹面积的频数分布（疱疹面积单位：mm2）
表20－1
表20－2
（1）完成图20－3和图20－4所示的分别注射药物A，B后皮肤疱疹面积的频率分布直方图，并求注射药物A后疱疹面积的中位数
（2）完成下表所示的2×2列联表，并回答能否有99.9％的把握认为注射药物A后的疱疹面积与注射药物B的疱疹面积有差异。
（K2的值精确到0.01）
附：2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++
21.（本题满分12分）
在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22
22x y 1(a 0b 0)a b
+＝
＞ ＞的焦距为P 12
）。
（1）求椭圆C 的方程；
（2）斜率大于0且过椭圆右焦点F 2的直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点，若MF 2＝3F 2N ，求直线
l 的方程。
22.（本题满分12分）
设函数2
f x alnx 1x bx a 22
a
+≠()＝(﹣)﹣()，曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线与y 轴垂直。
（1）求b 的值；
（2）若存在x 0≥1，使得02f x 2
a
a -（）＜，求a 的取值范围。
安徽省阜阳市2023-2024学年高二下学期期末数学试题含答案
2023-2024学年高二下学期阜阳市高二年级教学质量统测（答案在最后）注意事项：1.答题前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在52.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的。
黑。
如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
回答非选择题时,将答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合U =R ,集合{}2230,{3,1,1,2,3}M x x x N =--≤=--∣,则()U N M ⋂=ðA.{3,1,1,2,3}-- B.{3,3}- C.{3,1,3}-- D.{3}-2.若复数z 满足232i z z +=-,则z 为A.2C.53.2024年4月21日,13000多人参赛的2024阜阳马拉松在市规划展示馆旁鸣枪起跑.经过激烈角逐,前八名的成绩(单位:小时)分别为2.37,2.40,2.43,2.44,2.45,2.48,2.50,2.52,则这组数据的80%分位数是A.2.48B.2.49C.2.50D.2.524.若角α满足()sin sin 20,k k αααπ+=≠∈Z ,则cos cos 2αα+=A.1B.-1C.0D.12-5.抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面,用于加热水和水壶食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质:一束平行于抛物线对称轴的光线,经过抛物面的反射后,集中于它的焦点.已知一束平行反射镜()222xσ于x 轴的入射光线与抛物线22y px =的交点为()4,4A ,则反射光线所在直线被抛物线截得的弦长为A.274B.214C.254D.2946.512x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中2x 的系数为A.120B.80C.60D.407.图①是底面边长为2的正四棱柱,直线l 经过其上,下底面中心,将其上底面绕直线l 顺时针旋转45︒,得图②,若BEF 为正三角形,则图②所示几何体外接球的表面积为A.()82/2π+ B.()84/2π+图② C.12πD.16π8.已知函数()()\sinx \cosx ln 1f x x a b =+++.若0x =是()f x 的一个极大值点,且224a b +=,则()f x 的零点个数为A.4 B.3 C.2 D.1二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.已知函数()()()()2sin 20,0,2x x f ϕωωϕπ=+>∈的部分图象如图所示,则下列对()f x 性质描述正确有A.4πϕ= B.()f x 图象的对称轴方程为()4x k k ππ=-∈Z C.12ω=D.()f x 的单调递增区间为()52,244k k k ππππ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦Z 10.已知奇函数()f x 和它的导函数()g x 的定义域均为R ,且()()24f x f x -+=,则下列结论正确的有A.()()4f x f x += B.()g x 为偶函数C.()()2g x g x =- D.()20244048f =11.在直四棱柱1111ABCD A B C D -中,底面ABCD 是菱形,1,2,3BAD AB AA E π∠===为1CC 的中点,点F 满足[][]()10,1,0,1DF xDC yDD x y =+∈∈,下列结论正确的是A.若1x y +=,则四面体1A BEF 的体积是定值B.若1A BF 的外心为O ,则11A B A O ⋅为定值2C.若15A F =,则点F 的轨迹长为24πD.若11,2x y ==,则存在点1P A B ∈,使得AP PF +的最小值为9210+三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.已知平面向量,a b 均为单位向量,且1-=a b ,则()⋅+=a ab .13.已知圆22:430C x y x +-+=与双曲线()2222:10,0y x D a b a b-=>>的渐近线有公共点,则双曲线D的离心率的取值范围为.14.在ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且()i sin sin s n a B b A B A -=-,则c =___,当2sin sin A B =时,ABC 面积的最大值为.四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)已知数列{}n a 的首项135a =,且1132n n n a a a ++=-.(1)证明:数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列.(2)求满足1231111100na a a a ++++< 的最大整数n .16.(15分)已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的短轴长为2,上顶点为M,O 为坐标原点,A,B 为椭圆C上不同的两点,且当A,O,B 三点共线时,直线,MA MB 的斜率之积为14-.(1)求椭圆C 的方程;(2)若OAB 的面积为1,求22OA OB +的值.17.(15分)如图,在三棱柱111ABC A B C -中,114,AA AC =⊥底面,90ABC ACB ︒∠=,点1A 到平面11BCC B 的距离为2.(1)证明:1AC AC =.(2)若直线1AA 与1BB 之间的距离为4,求直线1AB 与平面11ACC A 所成角的正弦值.18.(17分)在平面直角坐标系中,坐标原点处有一个质点,每次向右或者向上移动一个单位,向上移动的概率为13,向右移动的概率为2,3n 次移动后质点的坐标为(),X Y .(1)求质点移动到点()1,4处的概率:(2)5次移动后质点的横坐标为X ,求X 的期望;(3)求质点在经过20次移动以后,最有可能的位置坐标.19.(17分)罗尔(Rolle)中值定理是微分学中的一条重要定理,根据它可以推出拉格朗日(Lagrange)中值定理和柯西(Cauchy)中值定理,它们被称为微分学的三大中值定理.罗尔中值定理的描述如下:如果函数()f x 满足三个条件①在闭区间[],a b 上的图象是连续不断的,②在开区间(),a b 内是可导函数,()()()3f a f b =,那么在(),a b 内至少存在一点()a b ξξ<<,使得等式()0f ξ'=成立.(1)设方程10110n n n a x a x a x --+++= 有一个正根0x x =,证明:方程()1201110n n n a nx a n x a ---+-++= 必有一个小于0x 的正根.(2)设函数()f x 是定义在R 上的连续且可导函数,且()()0f x f x -+=.证明:对于0m >,方程()()0f m fx m'-=在(),m m -内至少有两个不同的解.(3)设函数()()2e e 11x f x ax a x =-----.证明:函数()()()2g x f x f x '=+在区间()0,1内至少存在一个零点.2023-2024学年高二下学期阜阳市高二年级教学质量统测数学参考答案一、选择题1.D2.D3.C4.B5.C6.D7.A8.B 二、选择题9.BCD10.BCD11.ACD三、填空题12.3213.[2,十∞)14.任意正实数(若答案为1或其它具体数字不给分)，13;四、解答题15.(1)证明:由1132n n n a a a ++=-,两边取倒数,得111233n n a a +=+,(3分)则1111113n n a a +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭,因为11213a -=,所以数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列.(6分)(2)解:由(1)得1111121133n nn a a -⎛⎫⎛⎫-=-⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,(8分)则123211111113311001313n n n n n a a a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭++++=+=+-<- ,(11分)显然113n n ⎧⎫+-⎨⎬⎩⎭为单调递增数列,则满足条件的最大整数n 为99.(13分)16.解:(1)由题意知椭圆的短轴长为2,即22,b M =为椭圆的上顶点,所以()0,1M .当A,O,B 三点共线时,设()00,A x y ,则()00,B x y --.000011,MA MB y y k k x x ---==-,所以20220222001114MA MB x y a k k x x a --⋅===-=-,则2a =.(5分)故椭圆C 的方程为2214x y +=.(6分)(2)设过A,B 两点的直线为()()1122,,,,l A x y B x y ,当直线l 的斜率不存在时,A,B 两点关于x 轴对称,所以2121,x x y y ==-.因为A 在椭圆上,所以221114x y +=,又1OAB S = ,所以111212x y =,即111x y =,结合221114x y +=可得11x y ==此时222212124,1x x y y +=+=,所以22222212125OA OB x x y y +=+++=.(8分)当直线l 的斜率存在时,设其方程为,0y kx m m =+≠,联立22,1,4y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得()222148440k x kmx m +++-=,其中()()()()2222284144416410km k m k m ∆=-+-=-+>①,所以2121222844,1414km m x x x x k k --+==++,(9分)所以214AB k =+.(10分)因为点O 到直线l的距离d =,(11分)所以112OAB S A d B =⋅= ,2114k +,整理得224210k m -+=,符合①式,此时()2222212121222888241414km m x x x x x x k k--⎛⎫+=+-=-= ⎪++⎝⎭,(13分)222212121121 1.44x x y y +=-+-=-=2222221212145,OA OB x x y y +=+++=+=所以22OA OB +的值为5.(15分)17.(1)证明:1AC ⊥ 底面,ABC BC ⊂平面ABC ,1AC BC ∴⊥,又1,,BC AC A C AC ⊥⊂平面111,ACC A AC AC C ⋂=,BC ∴⊥平面11ACC A ,又BC ⊂平面11BCC B ,∴平面11ACC A ⊥平面11BCC B .(3分)过1A 作11\botC A O C 交1CC 于O ,又平面11ACC A ⋂平面11BCC B 11,CC AO =⊂平面11ACC A ,1AO ∴⊥平面11BCC B . 点1A 到平面11BCC B 的距离为12,2A O ∴=.(4分)在Rt 11A CC 中,11111,4AC AC CC AA ⊥==,设CO x =,则14C O x =-.11111,,AOC AOC ACC 均为直角三角形,且14CC =,2222222221111111111,,,CO AO AC AO OC C A AC AC C C +=+=+=()2244416x x ∴+++-=,解得2x =,(6分)11112/2,AC A C A C A C AC ∴===∴=.(7分)(2)解:1111,,,Rt Rt AC AC BC AC BC AC ACB ACB =⊥⊥∴≅ ,(8分)1BA BA ∴=,过B 作1\botA BD A 交1AA 于D ,则D 为1AA 的中点.由直线1AA 与1BB 之间的距离为4,得114,2,4,2/5BD A D BD A B AB ===∴== ,在Rt ABC中,BC ==.(10分)以C 为坐标原点,直线CA 为x 轴,CB 为y 轴,1CA 为z 轴建立空间直角坐标系,则(2/2A,(10,0),B -,显然()0,1,0=n 为平面11ACC A 的一个法向量,由sin α=1139cos 13AB AB θ⋅==n n(14分)则直线1AB 与平面11ACC A所成角的正弦值为13.(15分)18.解:(1)()41521101,4C 33243P X Y ⎛⎫===⋅⋅= ⎪⎝⎭.(5分)(2)显然()2105,,33X E B X ⎛⎫= ⎪⎝⎭.(10分)（3）设质点在经过20次移动以后,最有可能的位置坐标为(),20m m -,则()()()()1,1,P X m P X m P X m P X m ⎧==-⎪⎨==+⎪⎩ (12分)即201211202020119120202121C C ,33332121C C ,3333m m m m m m m m m mm m -----+-+⎧⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅≥⋅⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⋅≥⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩解得1314m ,(15分)故所求位置坐标为()13,7或()14,6.(17分)19.证明:(1)令函数()1011n n n f x a x a x a x --=+++ .显然()f x 在[]00,x 上连续,在()00,x 内可导,由条件知()()000f f x ==,(2分)由罗尔中值定理知,至少存在一点()00,x ζ∈,使得()0f ζ'=,(3分)即方程()1201110n n n a nx a n x a ---+-++= 必有一个小于0x 的正根.(4分)(2)令()()()f m g x f x x m=-,则()()()f m g x fx m''=-.由()()0f x f x -+=,得()00f =,所以()()0000g f =-=.(6分)因为()()()0g m f m f m -=-+=,所以()()0g m g -=,(7分)由罗尔中值定理知,至少存在一个()1,0x m ∈-,使得()10g x '=,即()()10f m fx m'-=.(8分)同理,因为()()()0g m f m f m =-=,由罗尔中值定理知,至少存在一个()20,x m ∈,使得()20g x '=.所以()()()220f m g x f x m''=-=.故方程()()0f m f x m'-=在(),m m -内至少存在两个不同的解.(10分)(3)证明:令()()2e x F x f x =,则()()()()22e 2e x xF x f x f x g x ''⎡⎤=+=⎣⎦.由()()2e e 11x f x ax a x =-----,得()()010f f ==,(12分)则()()010F F ==,又因为()F x 是连续且可导函数,由罗尔中值定理知,存在()0,1ζ∈,使得()0F ζ'=,(15分)则()2e 0g ζζ=,所以()0g ζ=.故函数()()()2g x f x f x '=+在区间()0,1内至少存在一个零点.(17分)。
安徽省安庆市2022届数学高二下期末经典试题含解析
安徽省安庆市2022届数学高二(下)期末经典试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．定义在R 上的奇函数()f x 满足3()2f x f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，当10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，12()log (1)f x x =-，则()f x 在区间31,2⎛⎫⎪⎝⎭上是( )A ．增函数且()0f x >B ．增函数且()0f x <C ．减函数且()0f x >D ．减函数且()0f x <2．—个盒子里装有相同大小的红球、白球共30个,其中白球4个.从中任取两个,则概率为1102264264230C C C C C +的事件是( ). A ．没有白球 B ．至少有一个白球 C ．至少有一个红球D ．至多有一个白球3．复数21i- (i 为虚数单位)的共轭复数是（ ） A ．1i + B ．1i -- C ．1i -+D ．1i -4．已知，，则有( )A ．B ．C ．D ．5．（2018年天津市河西区高三三模）已知双曲线C ：22221(00)x y a b a b-=>>，的虚轴长为8，右顶点()0a ，到双曲线的一条渐近线的距离为125，则双曲线C 的方程为（ ） A ．221916x y -=B ．221169x y -=C ．2212516x y -=D ．2211625x y -=6．甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，其命中率分别为0.8,0.5，现已知目标被击中，则它是被甲击中的概率是（ ） A ．0.8B ．0.9C ．58D ．897．已知i 是虚数单位，21iz =+，则复数z 的共轭复数为（ ） A ．1i +B ．1i -C ．1i --D ．1i -+8．若，则下列结论不正确的是A ．B ．C ．D ．9．函数的图象可能是下面的图象( )A ．B ．C ．D ．10．若一个直三棱柱的所有棱长都为1，且其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ）． A ．πB ．7π3C ．11π3D ．5π11．下列四个命题中真命题是 A ．同垂直于一直线的两条直线互相平行B ．底面各边相等，侧面都是矩形的四棱柱是正四棱柱C ．过空间任一点与两条异面直线都垂直的直线有且只有一条D ．过球面上任意两点的大圆有且只有一个12．已知函数()2321f x x x =--+, ()()517g x x x =--(),t ∀∈-∞+∞,[]1,7s ∃∈，使()()(0)f t a g s a +≤>成立，则实数的a 取值范围是( ) A ．(]0,2B ．(]2,3 C ．[]3,6D ．[)4,+∞ 二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．已知2()(5)22f x a x x =-++，若不等式()f x x ＞的解集为A ，已知(0,1)A ⊆，则a 的取值范围为_____.14．设随机变量()~2,B p ξ，()~4,B p η，若5(1)9P ξ≥=，则D η=___________． 15．已知函数f （x ）＝e 2x +2f （0）e x ﹣f ′（0）x ，f ′（x ）是f （x ）的导函数，若f （x ）≥x ﹣e x +a 恒成立，则实数a 的取值范围为__．16．已知球的半径为R ，A B 、为球面上两点，若A B 、之间的球面距离是3Rπ，则这两点间的距离等于_________三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．从装有2只红球，2只白球和1只黑球的袋中逐一取球，已知每只球被抽取的可能性相同. (Ⅰ)若抽取后又放回，抽3次.(ⅰ)分别求恰2次为红球的概率及抽全三种颜色球的概率； (ⅱ)求抽到红球次数η的数学期望及方差.(Ⅱ)若抽取后不放回，写出抽完红球所需次数ξ的分布列.18．如图，三棱锥P ABC -中，2PA PB ==，25CA CB ==，22AB =，4PC =．（1）求证：AB PC ⊥；（2）求二面角P BC A --的余弦值．19．（6分）莫言是中国首位获得诺贝尔文学奖的文学家，国人欢欣鼓舞。
安徽省阜阳市2022-2023学年高二下学期期末教学质量统测数学试卷含答案
阜阳市2022~2023学年度高二年级教学质量统测数学（答案在最后）注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名､学生代号填写清楚.2.选择题必须使用2B 铅笔填涂.3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在稿纸､试题卷上答题无效.第I 卷（选择题共60分）一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}{21},0,1,2A x x B =∈-<=Z∣ ，则A B ⋂=（）A.{}1,0,1,2- B.{}0,1 C.{}2,1,0,1,2-- D.{}0,1,22.已知()1i i z +=，则z =（）A.11i 22- B.11i 22+C.11i22-+ D.11i22--3.已知向量,a b满足()2,0,1a b == ，且()a b b -⊥ ，则a 与b 的夹角为（）A.6π B.3π C.23π D.56π4.若数列{}n a 为等比数列，则“32a =±”是“15,a a 是方程2540x x -+=的两个根”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.从不超过15的质数中任取两个不同的数，其和是偶数的概率为（）A.25B.35 C.23D.566.函数()21sin e 1x f x x ⎛⎫=-⋅ ⎪+⎝⎭的部分图象大致为（）A. B.C. D.7.设0.80.8e ,ln1.2,2a b c --===，则（）A.a b c >>B.a c b >>C.c a b>> D.c b a>>8.蹴鞠[cùjū]，又名“蹴球”“蹴圆”，传言黄帝所作（西汉·刘向《别录》）.“蹴”有用脚蹴､踢的含义，“鞠”最早系外包皮革､内饰米糠的球，因而“蹴鞠”类似今日的踢足球活动，如图所示，已知某“鞠”的表面上有四个点,,,A B C D ，平面ABD ⊥平面BCD ，直线AC 与底面BCD 所成角的正切值为1,2,3AB AD CD CB ====，则该“鞠”的表面积为（）A.8πB.12πC.16πD.20π二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知函数()()sin (0,0,)f x A x A ωϕωϕπ=+>><的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）A.()f x 的最小正周期为πB.()f x 的单调递增区间为7,,1212k k k ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭Z C.()f x 的图象关于直线12x π=对称D.()f x 的图象可由函数2sin2y x =的图象向左平移3π个单位长度得到10.为了解中学生参与课外阅读的情况，某校一兴趣小组持续跟踪调查了该校某班全体同学10周课外阅读的时长，经过整理得到男生、女生这10周课外阅读的平均时长（单位：h ）的数据如下表：女生7.07.68.18.28.58.68.69.09.39.3男生5.16.06.36.87.27.78.18.28.69.4以下判断中正确的是（）A.该班女生每周课外阅读的平均时长的平均值为8.2B.该班男生每周课外阅读的平均时长的80%分位数是8.4C.该班女生每周课外阅读的平均时长波动性比男生小D.该班估计该校男生每周课外阅读的平均时长大于8h 的概率为0.411.已知双曲线222:1(0)x C y a a-=>的左､右焦点分别是12,,F F P 为双曲线C 右支上的动点，124F F =，则下列说法正确的是（）A.双曲线C 的离心率3e =B.双曲线C 与双曲线2213y x -=共渐近线C.若点P 的横坐标为3，则直线1PF 的斜率与直线2PF 的斜率之积为25D.若123F PF π∠=，则12PF F 的内切圆半径为312.已知函数()e ln xf x ax x x =+-，则下列说法正确的是（）A.当1a =时，()f x 的图象在1x =处的切线方程为2e e 1y x =-+B.当12e a <-时，()f x 在[)1,x ∞∈+上有2个极值点C.当0a =时，()f x 在()0,x ∞∈+上有最小值､无最大值D.若()f x 的图象恒在直线21y x =+的上方，则1a >第II 卷（非选择题共90分）三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.()42121x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为__________.（用数字作答）14.已知圆C 的圆心坐标为(),0(0)m m >.若直线:340l x y n ++=与圆C 相切于点()1,2A -，则圆C 的标准方程为__________.15.有一堆规格相同的铁制（铁的密度是337.910kg /m ⨯）六角螺母，共重5.8kg .如图，每一个螺母的底面是正六边形，边长为12mm ，内孔直径为10mm ，高为10mm ，这堆螺母大约有__________个（参考数据：1.73π≈≈）.16.已知F 为抛物线2:4C x y =的焦点，点P 为抛物线C 外一点，过点P 作抛物线C 的两条切线，切点分别为,A B ，若PA PB ⊥，则22AF BF PF ⋅+的最小值为__________.四､解答题：本题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.（10分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1451,2a S a ==，且()*2120n n n a a a n ++-+=∈N .（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记2(1)nn n b a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T .18.（12分）记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知22cos a b c B -=.（1）求C ；（2）设AB 边上的高为CD ，且1CD =，求ABC 面积的最小值.19.（12分）为丰富中学生校园文化生活，某中学社团联合会设立了“数学社”.在某次社团活动中，数学社组织同学进行数学答题有奖游戏，参与者可从,A B 两类数学试题中选择作答.答题规则如下：规则一：参与者只有在答对所选试题的情况下，才有资格进行第二次选题，且连续两次选题不能是同一类试题，每人至多有两次答题机会；规则二：参与者连续两次选题可以是同一类试题，答题次数不限.（1）小李同学按照规则一进行答题.已知小李同学答对A 类题的概率均为0.8，答对一次可得1分；答对B 类题的概率均为0.5，答对一次可得2分.如果答题的顺序由小李选择，那么,A B 两类题他应优先选择答哪一类试题？请说明理由；（2）小王同学按照规则二进行答题，小王同学第1次随机地选择其中一类试题作答，如果小王第1次选择A类试题，那么第2次选择A 类试题的概率为0.5；如果第1次选择B 类试题，那么第2次选择A 类试题的概率为0.8.求小王同学第2次选择A 类试题作答的概率.20.（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，,60BD PC ABC ∠⊥= ，四边形ABCD 是菱形，1PA AB ==，,PB E F =是棱PD 上的两点，且13PF PD =.（1）证明：平面PAD ⊥平面ABCD ；（2）若再从下面两个条件中选择一个作为已知条件，求平面EAC 与平面ACD 所成二面角的大小.①BF ∥平面ACE ；②三棱锥C ABE -的体积336V =.21.（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，且椭圆C 过点31,2T ⎛⎫ ⎪⎝⎭，点F 为椭圆C 的左焦点.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）平行于y 轴的动直线l 与椭圆C 相交于不同两点,P Q ，直线PF 与椭圆C 的另一个交点为M ，证明：直线QM 过定点.22.（12分）已知函数()21ln e 2f x x x x x =+-.（1）讨论()f x 的单调性；（2）令()()()212e 12eg x f x x a x =++++，若不等式()0g x 恒成立，求a 的最小值.阜阳市2022~2023学年度高二年级教学质量统测数学参考答案一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】B解：{}{}1,0,1,0,1,2A B =-=，则{}0,1A B ⋂=.故选B.2.【答案】A解：由()1i i z +=，可得11i 22z =+，则11i 22z =-.故选A.3.【答案】B解：由()a b b -⊥ ，可得()0a b b -⋅= ，即2a b b ⋅= .所以1cos ,2a b a b a b ⋅== ，所以a 与b 的夹角为3π.故选B.4.【答案】B解：因为数列{}n a 为等比数列，且15,a a 是方程2540x x -+=的两个根，所以15155,4a a a a +==.又2315a a a =，且135,,a a a 同号，所以32a =.因此“32a =±”是“15,a a 是方程2540x x -+=的两个根”的必要不充分条件.故选B.5.【答案】C解：不超过15的质数有2,3,5,7,11,13，共6个数，从中任取2个数，有26C 15=种，和为偶数的有25C 10=种，所以概率为2526C 2C 3=.故选C.6.【答案】D解：()2e 11sin sin e 1e 1x x x f x x x -⎛⎫=-⋅=⋅ ⎪++⎝⎭，知函数()f x 是偶函数，排除A,C .当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x >，排除B.故选D.7.【答案】C解：设()e 1xf x x =--，则()e 1xf x '=-，当0x >时，()0f x '>，当0x <时，()0f x '<，所以()f x 在()0,∞+上单调递增，在(),0∞-上单调递减，所以()min ()00f x f ==，所以()0e 10e 1xxf x x x ⇒--⇒+ 在R 上恒成立，所以0.8e 0.810.2a -=>-+=.设()ln 1g x x x =-+，则()11g x x'=-，当1x >时，()0g x '<，当01x <<时，()0g x '>，所以()g x 在()1,∞+上单调递减，在()0,1上单调递增，所以()max ()1ln1110g x g ==-+=，所以()0ln 10ln 1g x x x x x ⇒-+⇒- 在()0,∞+上恒成立，所以ln1.2 1.210.2b a =<-=<.函数0.8y x =在()0,∞+上单调递增，所以0.80.8112e ⎛⎫⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即0.80.82e ,c a -->>.从而有c a b >>.故选C.8.【答案】D解：设BCD 外心为1,O ABD 外心为2,O DB 的中点为E .因为11,O E DB O E ⊥⊂平面BCD ，平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ⋂平面BCD BD =，所以1O E ⊥平面ABD .又2O E ⊂平面ABD ，所以12O E O E ⊥.过21,O O 分别作平面ABD ，平面BCD 的垂线，则垂线交点O 为外接球球心，则四边形21O EO O 为矩形.设BCD 外接圆半径为1,r ABD 外接圆半径为2r .设BE x =，则由13=，得x BD ==，BDC 为等边三角形，1122sin60BDr O B ===.又因为2,AB AD BD ===120BAD ∠= .故ABD 外接圆半径2222sin120BDr O B === .又121OO O E ==，1OO ⊥平面1,BCD BO ⊂平面BCD ，则11OO BO ⊥，所以外接球半径R OB ==，从而外接球表面积为2420R ππ=.故选D.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.【答案】AC解：由函数()f x 的图象可得1741234T πππ=-=，所以T π=，选项A 正确.由T π=，得2ω=.由图知2A =，函数()f x 的图象过点,03π⎛⎫⎪⎝⎭，所以22,3k k πϕππ⨯+=+∈Z .又ϕπ<，所以3πϕ=.从而()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.令222232k x k πππππ-++ ，得5,1212k x k k ππππ-+∈Z ，所以()f x 的单调递增区间为5,,1212k k k ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ，选项B 错误.令232x k πππ+=+，得,122k x k ππ=+∈Z ，选项C 正确.由()2sin 22sin236f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可知，()f x 的图象可由函数2sin2y x =的图象向左平移6π个单位长度得到，选项D 错误.故选AC.10.【答案】BCD解：由表可知该班女生每周课外阅读的平均时长的平均值为7.07.68.18.28.58.68.69.09.39.38.4210+++++++++=（也可以由表格观察），A 错误；该班男生每周课外阅读的平均时长的80%分位数是8.28.68.42+=，B 正确；由表格所提供的数据可知C 正确；估计该校男生每周课外阅读的平均时长大于8h 的概率为40.410=，D 正确.故选BCD.11.【答案】AC解：1224c F F ==，得222,13c a c ==-=，所以双曲线22:13x C y -=，其中1,2a b c ===.对于A 选项，双曲线C的离心率233c e a ===，A 正确.对于B 选项，双曲线22:13x C y -=的渐近线方程为33y x =±.双曲线2213y x -=的渐近线方程为y =，故B 错误.对于C 选项，点P 的横坐标为3，不妨记P在第一象限，则(P ，()()122,0,2,0F F -，则1225PF PF k k ⋅=，C 正确.对于D 选项，设2PF x =，则122PF a PF x =+=.在12PF F 中，由余弦定理得2221212122cos60F F PF PF PF PF =+-⋅⋅，240x +-=，解得x =或x =，所以12PF F的周长为12124PF PF F F ++=+.又12PF F的面积为121sin602PF PF ⋅⋅= ，所以12PF F的内切圆半径为1212122,D 3PF F S F F PF PF -=++ 错误.故选AC.12.【答案】ACD解：当1a =时，()()e ln ,11e xf x x x x f =+-=+.()()()111e ,12e x f x x f x''=++-=，从而()f x 的图象在1x =处的切线方程为2e e 1y x =-+，A 正确.()()11e x f x a x x =++-'，令()()g x f x ='，则()()212e 0xg x x x'=++>，所以()g x 单调递增，也即()f x '单调递增.当12e a <-时，()112e 0f a =-+<'，()()()1112e 2111a f a a a a a a--=+-->+--=-'，所以存在()01,1x a ∈-，使得()00f x '=.当()00,x x ∈时，()()0,f x f x '<单调递减；当()0,x x ∞∈+时，()()0,f x f x '>单调递增.所以()f x 在[)1,x ∞∈+上恰有一个极值点，B 错误.当0a =时，()()()1e ln ,1e x xf x x x f x x x=-=+-'在()0,x ∞∈+上单调递增.1133144e 27e 30,(1)12e 0333f f ''-⎛⎫=-=<=-+> ⎪⎝⎭，所以存在11,13x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()10f x '=.当()10,x x ∈时，()()0,f x f x '<单调递减；当()1,x x ∞∈+时，()()0,f x f x '>单调递增.所以()min 1()f x f x =.由指数函数和对数函数性质可知，()f x 无最大值，C 正确.要使()f x 的图象恒在直线21y x =+的上方，则()()212e ln 10xf x x a x x x --=-+-->恒成立，即ln 12e xx a x+-<-对任意()0,x ∞∈+恒成立.令()()222ln 1ln e ln e ,e x xxx x x x h x h x x x x++=-=+='，令()()()221e ln ,2e 0xxm x x x m x x x x=+=+'+>，所以当()0,x ∞∈+时，()m x 单调递增.又()11e2e 21e 1e 10,1e 0e em m ⎛⎫=-=-<=> ⎪⎝⎭，存在21,1e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()22222e ln 0x m x x x =+=，即221ln 2222111e ln ln e x x x x x x ==⋅.令()()()e ,1e 0xxx x x x ϕϕ=+'=>，所以当()0,x ∞∈+时，()x ϕ单调递增.由()221ln x x ϕϕ⎛⎫= ⎪⎝⎭，得221ln x x =.当()20,x x ∈时，()()()0,0,m x h x h x <'<单调递减；当()2,x x ∞∈+时，()()()0,0,m x h x h x >'>单调递增.所以()222min 2222ln 111()e 1x x x h x h x x x x +-+==-=-=，所以21a -<，从而1a >，D 正确.故选ACD.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.【答案】8解：()42121x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为24C 28+=.14.【答案】2252524x y ⎛⎫-+=⎪⎝⎭解：直线:340l x y n ++=过点()1,2A -，可得直线:3450l x y ++=，其斜率34k =-.由()023114m --⎛⎫⨯-=- ⎪-⎝⎭，可得52m =，所以52r AC ==，则圆C 的标准方程为2252524x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭.15.【答案】248解：六角螺母的体积是六棱柱体积与圆柱体积的差，即2231061*********.8(mm)42V π⎛⎫=⨯⨯⨯-⨯⨯≈ ⎪⎝⎭，()65.8107.92951.8248.7∴⨯÷⨯≈，所以螺母大约有248个.16.【答案】4解：由题可知直线,PA PB 斜率存在，设直线PA 的方程为(),,0y kx m k m k =+∈≠R .由2,4,y kx m x y =+⎧⎨=⎩得2440x kx m --=，所以2Δ16160k m =+=，即2m k =-，所以直线PA 的方程为2y kx k =-，同理可得直线PB 的方程为211y x k k=--.由22,11,y kx k y x k k ⎧=-⎪⎨=--⎪⎩可得1,1,x k k y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩所以()222112,,,,1A k kB P k k k k ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()222112,1,,1,,2AF k k BF PF k k k k ⎛⎫⎛⎫=--=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2222222111222224AF BF PF k k k k k k ⎛⎫⎛⎫⋅+=--++++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（当且仅当221k k =，即1k =±时，等号成立），所以22AF BF PF ⋅+的最小值为4.四､解答题：本题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.解：（1）由2120n n n a a a ++-+=，可得212n n n a a a +++=，∴数列{}n a 为等差数列.设公差为d ，则4151434,42S a d a a d ⨯=+=+.又4512,1,1S a a d ==∴=.从而()11n a a n d n =+-=.（2）由（1）可知2,(1)nn n a n b n =∴=-⋅，22222121234(1)n n n T b b b n ∴=+++=-+-+-+-⋅ ，当n 为偶数时，()2222211234(1)12342n n n n T n n +=-+-+-+-⋅=+++++=.当n 为奇数时，22222222221234(1)1234nn T n n=-+-+-+-⋅=-+-+-- ()()()2222222112345(1)2n n n n +⎡⎤=-+-+-++--=-⎣⎦ .∴数列{}n b 的前n 项和()1(1)2n n n n T +=-⋅.18.解：（1）由正弦定理可得2sin sin 2sin cos A B C B -=.又A B C π++=，所以()2sin sin 2sin cos B C B C B +-=，所以2sin cos sin B C B =.由()()0,,0,B C ππ∈∈，所以1cos ,23C C π==.（2）在ABC 中，由余弦定理可得222222cos c a b ab C a b ab =+-=+-.①由11sin 22c CD ab C ⋅=，可得2c =.②联立①②得222234a b a b ab =+-，所以2223()4ab a b ab ab =+- ，即43ab ，所以133sin 243ABC S ab C == ，当且仅当233a b ==时，等号成立.从而ABC 面积的最小值为3.19.解：（1）小李同学按照规则一进行答题，若先选择答A 类题，设小李获得的积分为随机变量X ，则X 的所有可能取值为0,1,3.()010.80.2P X ==-=，()()10.810.50.4P X ==⨯-=，()30.80.50.4P X ==⨯=，()00.210.430.4 1.6E X ∴=⨯+⨯+⨯=.若先选择答B 类题，设小李获得的积分为随机变量Y ，则Y 的所有可能取值为0,2,3.()010.50.5P Y ==-=，()()20.510.80.1P Y ==⨯-=，()30.50.80.4P X ==⨯=，()00.520.130.4 1.4E Y ∴=⨯+⨯+⨯=.1.4 1.6,<∴ 小李应该优先选择A 类题作答.（2）因为小王同学按照规则二进行答题，设i A =“第i 次选择A 类试题作答”，1B =“第1次选择B 类试题作答”，则1A 与1B 互斥.根据题意得()()()()1121210.5,0.5,0.8P A P B P A A P A B ====∣∣.由全概率公式，得()()()()()2121121P A P A P A A P B P A B =+∣∣0.50.50.50.80.65=⨯+⨯=.因此，小王同学第2次选择A 类试题作答的概率为0.65.20.（1）证明：因为四边形ABCD 是菱形，所以BD AC ⊥.因为,,BD PC AC PC ⊥⊂平面PAC ，且AC PC C ⋂=，所以BD ⊥平面PAC .因为PA ⊂平面PAC ，所以BD PA ⊥.因为1,PA AB PB ===，所以222PB AB PA =+，所以AB PA ⊥.因为,AB BD ⊂平面ABCD ，且AB BD B ⋂=，所以PA ⊥平面ABCD .因为PA ⊂平面PAD ，所以平面PAD ⊥平面ABCD .（2）解：若选条件①，记BD 与AC 交于点O ，则O 为BD 的中点，连接OE .由BF ∥平面ACE ，平面BFD ⋂平面ACE OE =，则BF OE ∥，所以E 为FD 的中点，从而23PE PD =.取棱CD 的中点G ，连接AG ，易证,,AB AG AP 两两垂直，故以A 为原点，分别以,,AB AG AP的方向为,,x y z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，则()()13130,0,0,,,0,,,0,0,0,12222A C D P ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故()1313,,0,,,1,0,0,12222AC PD AP ⎛⎫⎛⎫==--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.因为23PE PD =，所以132,,333PE ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭ ，则131,,333AE AP PE ⎛⎫=+=- ⎪ ⎪⎝⎭.设平面ACE 的法向量为(),,n x y z = ，则1310,333130.22n AE x y z n AC x y ⎧⋅=-++=⎪⎪⎨⎪⋅=+=⎪⎩令3x =3,1,23n =-.平面ACD 的一个法向量为()0,0,1m =.设二面角E AC D --为θ，易知二面角E AC D --为锐角，则3cos cos ,2n m n m n m θ⋅===.所以二面角E AC D --为6π.若选条件②，记点E 到平面ABC 的距离为h .由21133133436C ABE E ABC ABC V V S h h --==⋅=⨯⨯=，得13h =.由（1）知PA ⊥平面ABCD ，所以13h PA =，即23PE PD = .取棱CD 的中点G ，连接AG ，易证,,AB AG AP 两两垂直，故以A 为原点分别以,,AB AG AP的方向为,,x y z轴的正方向，建立空间直角坐标系，则()()110,0,0,,,0,,,0,0,0,12222A C D P ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故()11,,0,,,1,0,0,12222AC PD AP ⎛⎫⎛⎫==--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.因为23PE PD =，所以132,,333PE ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭ ，则11,,333AE AP PE ⎛⎫=+=- ⎪ ⎪⎝⎭.设平面ACE 的法向量为(),,n x y z =，则110,33310.22n AE x y z n AC x y ⎧⋅=-++=⎪⎪⎨⎪⋅=+=⎪⎩令x =n =-.平面ACD 的一个法向量为()0,0,1m =.设二面角E AC D --为θ，易知二面角E AC D --为锐角，则3cos cos ,2n m n m n m θ⋅===.所以二面角E AC D --为6π.21.（1）解：因为椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，椭圆C 过点31,2T ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以22222191,41,2,a b c a b c a ⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪+=⎪⎪⎩解得224,3.a b ⎧=⎨=⎩因此，椭圆C 的标准方程为22143x y +=.（2）证明：由题可知，直线PF 的斜率存在.设直线()()()1122:1,,,,PF y k x P x y M x y =+，则()11,Q x y -.联立直线与椭圆方程()221,1,43y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩得()22223484120k x k x k +++-=，则()()()4222Δ6443441214410k kkk =-+-=+>，221212228412,3434k k x x x x k k-+=-=++，所以()212221:QM y y l y y x x x x +-=--，整理得2112212112y y x y x y y x x x y y ⎛⎫++=- ⎪-+⎝⎭.又()()()()()12211212122112121211222kx x kx x kx x k x x x y x y y y k x x k k x x k ++++++==+++++()2222222412834344,8234k k k k k k k k kk --+⨯++==--⨯++所以直线QM 的方程为()21214y y y x x x +=+-.故直线QM 过定点()4,0-.22.解：（1）()f x 的定义域为()0,∞+.()ln e f x x x =+'，令()()h x f x ='，则()1e 0h x x=+>'，所以()h x 单调递增，即()f x '单调递增.又1110e f ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭'，所以当10,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，当1,ex ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时，()0f x '>.所以当10,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()f x 单调递减；当1,ex ∞⎡⎫∈+⎪⎢⎣⎭时，()f x 单调递增.（2）由题知()()22ln ex ,ln 12e eg x x x ax g x x x a =+=++'+++.令()()()1,2e 0x g x x xϕϕ'='=+>，所以()x ϕ在()0,x ∞∈+上单调递增，即()g x '在()0,x ∞∈+上单调递增.()()()()2222e e 212e e 10ea aa g a a -+-++=-++'+⋅+-+< ，()e 12e e 0a a g a a --=-++⋅+>'，所以存在()()20e,e a a x -+-∈，使得()000ln 12e 0g x x x a '=+++=.①所以当()00,x x ∈时，()0g x '<；当()0,x x ∞∈+时，()0g x '>.从而当()00,x x ∈时，()g x 单调递减；当()0,x x ∞∈+时，()g x 单调递增.不等式()0g x 恒成立等价于()2min 000002()ln e 0eg x g x x x x ax ==+++.②联立①②式，消去a 可得010ex <.将③式代入①式可得00ln 2e 12a x x -=++ ，即2a - .。
2022届安徽省合肥市高二第二学期数学期末考试试题含解析
2022届安徽省合肥市高二第二学期数学期末考试试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．关于“斜二测”画图法，下列说法不正确的是（）A．平行直线的斜二测图仍是平行直线B．斜二测图中，互相平行的任意两条线段的长度之比保持原比例不变C．正三角形的直观图一定为等腰三角形D．在画直观图时，由于坐标轴的选取不同，所得的直观图可能不同【答案】C【解析】【分析】根据斜二测画法的特征，对选项中的命题进行分析、判断正误即可．【详解】解：对于A，平行直线的斜二测图仍是平行直线，A正确；对于B，斜二测图中，互相平行的任意两条线段的长度之比保持原比例不变，B正确；对于C，正三角形的直观图不一定为等腰三角形，如图所示；∴C错误；对于D，画直观图时，由于坐标轴的选取不同，所得的直观图可能不同，D正确．故选：C．【点睛】本题考查了斜二测画法的特征与应用问题，是基础题．2．如图1为某省2019年1~4月快递义务量统计图，图2是该省2019年1~4月快递业务收入统计图，下列对统计图理解错误的是( )A ．2019年1~4月的业务量，3月最高，2月最低，差值接近2000万件B ．2019年1~4月的业务量同比增长率超过50%，在3月最高C ．从两图来看2019年1~4月中的同一个月快递业务量与收入的同比增长率并不完全一致D ．从1~4月来看，该省在2019年快递业务收入同比增长率逐月增长 【答案】D 【解析】 【分析】由题意结合所给的统计图确定选项中的说法是否正确即可. 【详解】对于选项A ： 2018年1～4月的业务量，3月最高，2月最低， 差值为439724111986-=，接近2000万件，所以A 是正确的；对于选项B ： 2018年1～4月的业务量同比增长率分别为55%,53%,62%,58%，均超过50%，在3月最高，所以B 是正确的；对于选项C ：2月份业务量同比增长率为53%，而收入的同比增长率为30%，所以C 是正确的； 对于选项D ，1，2，3，4月收入的同比增长率分别为55%，30%，60%，42%，并不是逐月增长，D 错误. 本题选择D 选项. 【点睛】本题主要考查统计图及其应用，新知识的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 3．函数234x y x =-+的零点个数为（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】C 【解析】324x x =+，如图，由图可知，两个图象有2个交点，所以原函数的零点个数为2个，故选C ． 4．已知命题:0P x ∀>，总有(1)1x x e +>，则p ⌝为（ ）A ．00x ∃≤ 使得00(1)xx e +1≤B ．00x ∃> 使得00(1)xx e +1≤C ．0x ∀> 总有(1)1x x e +≤D ．0x ∀≤,总有(1)1x x e +≤【答案】B 【解析】 【分析】利用全称命题的否定解答即得解. 【详解】根据全称命题的否定为特称命题可知，￢p 为∃x 0＞0，使得（x 0+1）0e x ≤1， 故选：B ． 【点睛】本题主要考查全称命题的否定，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.5．一盒中装有5张彩票，其中2 张有奖，3张无奖，现从此盒中不放回地抽取2次，每次抽取一张彩票．设第1次抽出的彩票有奖的事件为A ，第2次抽出的彩票有奖的事件为B ，则()P B A =( ) A ．23B ．25C ．13D ．14【答案】D 【解析】 【分析】由题意，第1次抽出的彩票有奖，剩下4张彩票，其中1张有奖，3张无奖，即可求出()|P B A ． 【详解】由题意，第1次抽出的彩票有奖，剩下4张彩票，其中1张有奖，3张无奖， 所以()1|4P B A =． 故选：D ．【点睛】本题考查条件概率，考查学生的计算能力，比较基础． 6．已知m 是实数，函数()()2f x xx m =-，若()11f '-=-，则函数()f x 的单调递增区间是（ ）A ．()4,,0,3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭B ．()4,0,3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭C ．4,03⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．40,3⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】分析：根据函数f （x ）=x 2（x ﹣m ），求导，把f′（﹣1）=﹣1代入导数f′（x ）求得m 的值，再令f′（x ）>0，解不等式即得函数f （x ）的单调增区间． 详解：f′（x ）=2x （x ﹣m ）+x 2 ∵f′（﹣1）=﹣1 ∴﹣2（﹣1﹣m ）+1=﹣1 解得m=﹣2，∴令2x （x +2）+x 2>0，解得4x 3<-,或x>0， ∴函数f （x ）的单调减区间是()4,,0,3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭． 故选：A ．点睛：求函数的单调区间的方法 (1)确定函数y ＝f(x)的定义域； (2)求导数y ′＝f ′(x)；(3)解不等式f ′(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间； (4)解不等式f ′(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．7．在ABC ∆中，222a b c =+，则A ∠=（ ） A ．30 B ．60︒C ．120︒D ．150︒【答案】D 【解析】 【分析】利用余弦定理计算出222cos 2b c a A bc+-∠=的值，于此可得出A ∠的值．【详解】222a b c =+，222b c a ∴+-=，由余弦定理得222cos 222b c a A bc bc +-∠===-， 0180A <∠<，因此，150A ∠=，故选D ．【点睛】本题考查利用余弦定理求角，解题时应该根据式子的结构确定对象角，考查计算能力，属于基础题． 8．中国古代儒家提出的“六艺”指:礼､乐､射､御､书､数.某校国学社团预在周六开展“六艺”课程讲座活动,周六这天准备排课六节,每艺一节,排课有如下要求:“乐”与“书”不能相邻,“射”和“御”要相邻,则针对“六艺”课程讲座活动的不同排课顺序共有( ) A ．18种 B ．36种 C ．72种 D ．144种【答案】D 【解析】 【分析】由排列、组合及简单的计数问题得：由题意可将“射”和“御”进行捆绑看成一个整体，共有22A 种，然后与“礼”、“数”进行排序，共有33A 种，最后将“乐”与“书”插入4个空即可，共有24A 种，再相乘得解． 【详解】由题意“乐”与“书”不能相邻,“射”和“御”要相邻， 可将“射”和“御”进行捆绑看成一个整体，共有22A 种， 然后与“礼”、“数”进行排序，共有33A 种， 最后将“乐”与“书”插入4个空即可，共有24A 种，由于是分步进行，所以共有232234144A A A ⋅⋅=种，故选：D. 【点睛】本题考查排列、组合及简单计数问题，根据问题选择合适的方法是关键，此类问题常见的方法有元素优先法、捆绑法、插空法等，本题属于中等题.9．已知数列{}n a ，如果1a ，21a a -，32a a -，……，1n n a a --，……，是首项为1，公比为13的等比数列，则n a =A ．31123n（）- B ．131123n --（） C ．21133n-（） D ．121133n --（） 【答案】A 【解析】分析：累加法求解。
2022-2023学年安徽省合肥市高二下学期期末联考数学试题【含答案】
2022-2023学年安徽省合肥市高二下学期期末联考数学试题一、单选题1．下列求导运算不正确．．．的是（）A ．()1ln 11x x ¢+=+B ．()3e 3e x x'=C ．22112x x x x '⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭D ．()2cos sin cos cos x x x xx x '-⎛⎫= ⎪⎝⎭【答案】D【分析】根据导数的运算法则逐个分析判断即可【详解】对于A 选项，()1ln 11x x ¢+=+，A 对；对于B 选项，()3e 3e x x '=，B 对；对于C 选项，22112x x x x '⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，C 对；对于D 选项，()2cos sin cos cos x x x xx x '+⎛⎫= ⎪⎝⎭，D 错．故选：D ．2．某工厂利用随机数表对生产的800个零件进行抽样测试，先将800个零件进行编号，001，002，……，799，800．从中抽取80个样本，下图提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第6个样本编号是（）322118342978645407325242064438122343567735789056428442125331345786073625300732862345788907236896080432567808436789535577348994837522535578324577892345A ．732B ．328C ．253D ．007【答案】B【分析】按照随机数表提供的数据，三位一组的读数，并取001到800内的数，重复的只取一次即可【详解】从第5行第6列开始向右读取数据，第一个数为253，第二个数是313，第三个数是457，下一个数是860，不符合要求，第四个数是736，下一个是253，重复，第五个是007，第六个是328．故选：B ．3．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若101221210S S -=-则公差d =（）A ．1B ．2C ．－1D ．－2【答案】D【分析】根据等差数列的前n 项和公式和等差数列的概念可证数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1a ，公差为2d 的等差数列，再根据等差数列的性质，可知1012212102S S d-=⨯，由此即可求出结果.【详解】数列{}n a 为等差数，设其公差为d ，则等差数列{}n a 的前n 项和()112n d S n n na -=+，所以()112n d Sn a n -=+，所以112n n S S d n n +-=+，所以数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1a ，公差为2d 的等差数列；所以10122212102S S d-=⨯=-，所以2d =-.故选：D.4．袋中有大小相同质地均匀的5个黑球、3个白球，从中任取2个，则可以作为随机变量的是（）A ．至少取到1个黑球B ．取到黑球的个数C ．至多取到1个黑球D ．取到的球的个数【答案】B【分析】根据随机变量的定义即可求解.【详解】根据离散型随机变量的定义，能够一一列出的只能是B 选项，其中A 、C 选项是事件，D 选项取到球的个数是2个为确定值，ACD 错误；故选：B ．5．某实验室针对某种新型病毒研发了一种疫苗，并在1000名志愿者身上进行了人体注射实验，发现注射疫苗的志愿者均产生了稳定的免疫应答．若这些志愿者的某免疫反应蛋白M 的数值X （单位：mg /L ）近似服从正态分布()215,N σ，且X 在区间()10,20内的人数占总人数的1925，则这些志愿者中免疫反应蛋白M 的数值X 不高于20的人数大约为（）A ．120B ．760C ．880D ．920【答案】C【分析】根据正态分布的性质结合已知条件求解.【详解】()215,X N σ ，又()()()19610201102012525P X P X P X ≤+≥=-<<=-=，()()163102022525X P P X ≤=≥=⨯=∴，∴()()()3192220101020252525P X P X P X ≤=≤+<<=+=，∴这些志愿者中免疫反应蛋白M 的数值X 不高于20的人数大约为22100088025⨯=，故选：C ．6．某学习小组用计算机软件对一组数据()(),1,2,3,,8i i x y i = 进行回归分析，甲同学首先求出经验回归方程 25y x =+，样本点的中心为()2,m ．乙同学对甲的计算过程进行检查，发现甲将数据()3,7误输成()7,3，数据()4,6误输成()4,6-，将这两个数据修正后得到经验回归方程133y x k =+，则实数k =（）A ．6-B ．343-C ．13D ．92【答案】D【分析】根据样本点的中心为()2,m ，求得m =9，然后利用样本点的中心，由甲求得385x x ++= ，389875y y ++=⨯= ，再由乙求得样本点的中心，代入回归直线方程求解.【详解】解：由题可知2259m =⨯+=，假设甲输入的()11,x y 为()7,3，()22,x y 为()4,6-，所以38742816x x ++++=⨯= ，38369872y y -+++=⨯= ，所以385x x ++= ，389875y y ++=⨯= ，所以改为正确数据时得383412x x ++++= ，38769888y y ++++=⨯= ，所以样本点的中心为3,112⎛⎫⎪⎝⎭，将其代入回归直线方程133y x k =+，得92=k ．故选：D7．若数列{}n a 和{}n b 满足12a =，10b =，1232n n n a a b +=++，1232n n n b a b +=+-，则20242023a b +=（）A ．2023231⨯+B ．2022321⨯+C ．2023321⨯+D ．2022321⨯-【答案】B【分析】根据递推关系可得{}n n a b +是以2为首项，2为公比的等比数列，进而得2nn n a b +=，即可根据()1312n n n n a b a b +=+++代入求解.【详解】因为1232n n n a a b +=++，1232n n n b a b +=+-，所以()112232324n n n n n n n n a b a b a b a b ++-+=++++=+，即()112n n n n a b a b +++=+，又112a b +=，所以{}n n a b +是以2为首项，2为公比的等比数列，所以2nn n a b +=，又1232n n n a a b +=++，即131122n n n a a b +=++，所以()1313112223212n n n n n n n n a b a b b a b +===⨯+++++++所以20232022202420233213212a b +=⨯+=⨯+；故选：B8．设实数0m >，若对任意的()1,x ∈+∞，不等式2ln 2e 0mxxm-≥恒成立，则实数m 的最小值为（）A ．12B ．12eC ．1D ．1e【答案】B【分析】根据对数的运算性质将不等式等价为2ln 2e e ln mx x mx x ≥⋅恒成立，构造函数()e xg x x =，()ln xh x x=，利用导数求解函数单调性进而得最值即可求解.【详解】因为0m >，不等式2ln 2e0mxxm-≥成立，即22e ln mx m x ≥，进而转化为2ln 2e ln e ln mx x mx x x x ≥=⋅恒成立，构造函数()e xg x x =，可得()()e e 1e x x x g x x x '=+=+，当0x >，()0g x '>，()g x 单调递增，则不等式2ln 2e e ln mx x mx x ≥⋅恒成立等价于()()2ln g mx g x ≥恒成立，即2ln mx x ≥恒成立，即ln 2xm x≥恒成立，设()ln xh x x=，可得()21ln x h x x -'=，当0e x <<时，()0h x '>，()h x 单调递增；当e x >时，()0h x '<，()h x 单调递减，所以当e x =，函数()h x 取得最大值，最大值为()1e eh =，所以12e m ≥，即实数m 的取值范围是1,2e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．故选：B ．【点睛】对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．二、多选题9．下列说法中正确的是（）A ．两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r 的绝对值越接近于1B ．()()2323E X E X +=+，()()232D X D X +=C ．用不同的模型拟合同一组数据，则残差平方和越小的模型拟合的效果越好D ．对分类变量X 与Y ，它们的随机变量2χ的观测值k 来说，k 越小，“X 与Y 有关系”的把握程度越大【答案】AC【分析】根据相关系数的定义即可判断A ，根据方差和期望的性质可判断B ，根据残差的定义可判断C ，根据独立性检验的思想可判断D.【详解】对于A 选项，两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r 的绝对值越接近于1，正确；对于B 选项，()()2323E X E X +=+，()()234D X D X +=，故B 选项错误；对于C 选项，残差平方和越小的模型拟效果越好，故C 选项正确；对于D 选项，随机变量2K 的观测值k 来说，k 越小，“X 与Y 有关系”的把握程度越小，D 错；故选：AC10．已知n 为满足()0123272727272727C C C C C 3S a a =++++++≥ 能被9整除的正整数a 的最小值，则1nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，下列结论正确的是（）A ．第7项系数最小B ．第6项二项式系数最大C ．第7项二项式系数最大D ．第6项系数最小【答案】BD【分析】由已知可得()81789999C 9C 1S a =-+++⨯- ，则可得19a -=，可求得10n =，然后利用二项式的性质可得结论.【详解】因为012327272727277C C C C C S a =++++++ ()9270918273689999999291C 9C 9C 9C 9C 9C a a a=+=-+=⨯-⨯+⨯-⨯++⨯-+ ()81789999C 9C 1a =-+++⨯- 因为3a ≥，所以S 能被9整除的正整数a 的最小值是19a -=，得10a =，所以10n =，所以101x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，二项式系数最大的项为第6项，101x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项公式为101101C rr r r T x x -+⎛⎫=-⎪⎝⎭，因为第6项的系数为负数，所以第6项系数最小，故选：BD ．11．我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”（下图所示的是一个4层的三角垛）．“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设第n 层有n a 个球，从上往下n 层球的球的总数为n S ，则（）A ．()112n n a a n n --=+≥B ．784S =C ．994950a =D ．123202*********2023a a a a ++++= 【答案】BC【分析】根据题意可得递推关系1n n a a n --=，进而可判断A ，根据累加法可得()12n n n a +=，进而可判断CB,根据裂项求和即可判断D.【详解】由题意得，1213211,2,3,,n n a a a a a a a n -=-=-=-= ，故A 错误，以上n 个式子累加可得()()11222n n n a n n +=+++=≥ ，又11a =满足上式，所以()12n n n a +=，有989910049502a ⨯==，故C 正确；则23a =，36a =，410a =，515a =，621a =，728a =，得71271361015212884S a a a =+++=++++++= ，故B 正确；由()1211211n a n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，得122023111111111202321212232023202420241012a a a ⎛⎫⎛⎫+++=-+-++-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，故D 不正确．故选：BC ．12．定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，对于任意实数x ，都有()()2e -=xf x f x ，且满足()()2221e x f x f x x -+=+-'，则（）A ．函数()()e xF x f x =为偶函数B ．()00f =C ．()()21e xf x x -=+D ．不等式()e e exx xf x +>的解集为()1,+∞【答案】ABD【分析】令()()e xF x f x =，结合已知及函数奇偶性的定义即可判断A ；由已知可得()f x 的解析式即可判断B ，C ；将不等式进行转化，即可求解不等式的解集，从而判断D ．【详解】()()e x F x f x =，函数定义域为R ，由()()2e -=xf x f x ，有()()e e x x f x f x --=，即()()F x F x -=，函数()F x 为偶函数，故选项A 正确；由()()2221e x f x f x x -+=+-'，得()()()2222e e 21e 1x x xf x f x x =+'+-，即()()22e 21e 1x xf x x '⎡⎤=+-⎣⎦，()()221e 1x f x x '⎡⎤∴-=+-⎣⎦，有()()221e 1xf x x --=+-'，得()()212e 1x f x x -='---，()()()22221e 21e x x f x x f x x --∴=+--=-'，得()()21e xf x x -=-，()00f =，故选项B 正确；C 选项错误；2e ()e (1e )e e e e e ex x x xx x x x x x x x x f x x x x -+=-+=-+=，令()e x g x x =，则(1())e x x g x +'=，当1x >-时，()0g x '>，()g x 单调递增，当1x <-时，()0g x '<，()g x 单调递递减，且当0x ≤时，()0g x ≤，又(1)e g =，则不等式e ()e e xxxf x +>即为()(1)g x g >且0x >，所以1x >，即e ()e e xxxf x +>的解集为(1,)+∞，故D 正确．故选：ABD.三、填空题13．函数()ln f x x x =在点11,ee f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线方程为．【答案】1ey =-【分析】求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而求出切线方程.【详解】因为()ln f x x x =，所以11e e f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()ln 1f x x '=+，10e f '⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以切线方程为1ey =-.故答案为：1ey =-14．学校开设了4门体育类选修课和2门艺术类选修课，学生需从这6门课中选择2门课，若学生甲随机选择，则该生在第一门选择体育类选修课的条件下，第二门选择艺术类选修课的概率为．【答案】25/0.4【分析】根据条件概率的计算公式即可求解.【详解】第一次选择体育为事件A ，第二次选择艺术为事件B,452424(),()6536515P A P AB ⨯⨯====⨯⨯所以()()()25P AB P B A P A ==，故答案为：2515．数列{}n a 满足22a =，21n n n a a a ++=+，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，若2021S m =，则2023a =．（用含m 的式子表示）【答案】2m +/2m+【分析】根据递推关系对2023a 作展开处理直到出现12,a a ，即可得结果.【详解】由21n n n a a a ++=+，则2023202120222021202020212021202020192020...a a a a a a a a a a ==++=+=+++20212020201921220212...2a a a a a a S a m =++++++=+=+.故答案为：2m +16．在中国革命史上有许多与“8”有关的可歌可泣的感人故事，如“八子参军”、“八女投江”等，因此数字“8”是当之无愧的新时代“英雄数字”．如果一个四位数，各个位置上数字之和等于8，这样的数称为“英雄数”（比如1223，12238+++=，就是一个“英雄数”），则所有的“英雄数”有个（用数字回答）【答案】120【分析】根据题意，将原问题转化为将8个小球分为4组且第一组不能为0的问题，根据0的个数分情况，结合挡板法即可求解．【详解】根据题意，8个相同的小球排成一排，8个小球两两之间不包括头尾共有7个空位中，若四位数的“英雄数”中不含0，则需要在这7个空位中随机安排3个挡板，可以将小球分为4组每两个挡板之间的小球的数目依次对应四位数的千、百、十、个位数字，共有37C 35=个，若四位数的“英雄数”中只有一个0，则需要在这7个空位中随机安排2个挡板，可以将小球分成个数不为0的3组，0可以作为百、十、个位其中一位上的数字，此时共有27C 633⨯=个，若四位数的“英雄数”中有两个0，则需要在这7个空位中随机安排1个挡板，可以将小球分成个数不为0的2组，0可以作为百、十、个位其中两位上的数字，此时共有1273C C 21⨯=个，若四位数的“英雄数”中有3个0，则只能是8000，只有一种情况，综上：共有3563211120+++=个“英雄数”．故答案为：120．四、解答题17．已知函数()322f x x ax bx b =+++在1x =-处取得极大值2．(1)求,a b 的值；(2)求函数()f x 在区间[]1,1-上的最值．【答案】(1)2a =，1b =(2)最大值为6，最小值为5027【分析】（1）求导，根据函数的极值列方程即可求得,a b 的值；（2）由（1）确定函数在区间[]1,1-上单调性即可得最值.【详解】（1）函数()232f x x ax b'=++()()()()2131212301122f a b a b f a b b ⎧-=⨯-+⨯-+=-++=⎪⎨-=-+-+='⎪⎩，解得2a =，1b =所以()()()23413110f x x x x x ==+'+++=，得11,3x x =-=-所以函数()f x 在(),1-∞-上递增，在11,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭上递减，在1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上递增，所以函数()f x 在1x =-处取得极大值，符合题意则2a =，1b =（2）由（1）可知函数()f x 在11,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减，在1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，又()12f -=，150327f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，()16f =所以()f x 的最大值为6，最小值为502718．某城市统计该地区人口流动情况，随机抽取了100人了解他们端午节是否回老家，得到如下不完整的22⨯列联表：回老家不回老家总计60周岁及以下56060周岁以上25总计100(1)完成以上22⨯列联表：(2)根据小概率值0.001α=的2χ独立性检验，能否认为回老家过节与年龄有关？参考公式：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，n a b c d=+++参考数据：()20P k χ≥0.1000.0500.0100.0010k 2.706 3.841 6.63510.828【答案】(1)答案见解析(2)可以认为回老家过节与年龄有关【分析】（1）根据表中已知数据即可求解，（2）计算卡方值，即可与临界值比较求解.【详解】（1）回老家不回老家总计60周岁及以下5556060周岁以上152540总计2080100（2）计算()221005251555122512.76010.8282080604096χ⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯根据小概率值0.001α=的2χ独立性检验，可以认为回老家过节与年龄有关19．函数()e ln x f x x =-，()f x '是()f x 的导函数：(1)求()f x '的单调区间；(2)证明：()2f x >．【答案】(1)()f x '单调递增区间为()0,∞+，无递减区间(2)证明见解析【分析】（1）对()()g x f x '=求导后，由导数的正负可求出函数的单调区间；（2）由（1）知()f x '单调递增区间为()0,∞+，然后根据零点存在性定理可得存在01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()0001e 0x f x x '=-=，从而可求得()f x 的单调区间和最小值，进而可证得结论.【详解】（1）由()e ln x f x x =-，得()()1e 0x f x x x'=->，令()()()1e 0x g x f x x x '==->，则()210x g x x'=+>e 恒成立，所以()f x '单调递增区间为()0,∞+，无递减区间；（2）由（1）知()()1e 0x f x x x '=->，()f x '单调递增区间为()0,∞+，因为121e 202f ⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭，()1e 10f '=->，所以存在01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()0001e 0x f x x '=-=，所以当00x x <<时，()0f x '<，当0x x >时，()0f x ¢>，所以()f x 在区间()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，所以()()0000min 01e 2ln x f x f x x x x ==-=+≥，当且仅当001x x =，即01x =时取等号，因为01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以等号取不到，所以()2f x >，得证．【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，考查利用导数求函数的单调区间和最值，第（2）问解题的关键是根据函数的单调性结合零点存在性定理可求得函数的最值，考查数学转化思想，属于中档题.20．某商场为吸引顾客，举办抽奖活动，规则如下：盒子中有形状、大小相同的5个球，其中2个红球、3个白球，顾客每次从中随机抽取一个球，并放回盒子中，继续抽取，若连续2次抽中红球则停止抽奖，顾客获得30元优惠券；若连续两次抽中白球则停止抽奖，顾客获得20元优惠券；若抽取3次未出现连续抽中相同颜色的球，也停止抽取，顾客获得10元优惠券．某顾客参与抽奖活动．(1)求该顾客抽取2次结束抽奖的概率；(2)该顾客获得的优惠券金额为X ，求X 的分布列和数学期望．【答案】(1)1325(2)分布列见解析；50425【分析】（1）由于每次放回，所以每次抽中红球和白球得概率分别为2355、，2次结束抽奖的情况为连续抽中两红和两白，由独立事件的计算方法即可得解的其概率；（2）顾客可能的奖金取值为10、20、30，分别计算出他们的概率完成分布列，根据期望公式即可求解.【详解】（1）顾客抽取2次结束抽奖为事件A则()223313555525P A =⨯+⨯=（2）X 可能取值为10，20，30()3232323010555555125P X ==⨯⨯+⨯⨯=，()33233632055555125P X ==⨯+⨯⨯=，()22322323055555125P X ==⨯+⨯⨯=，X 分布列为：X302010P 321256312530125数学期望()32633050430201012512512525E X =⨯+⨯+⨯=21．设12a =，1121n n a a +=+，2221n n n a b a +=-，*n ∈N (1)求数列{}n b 通项公式；(2)若数列()21n nn c n n b +=+，求数列{}n c 的前n 项和．【答案】(1)2n n b =，*n ∈N (2)()1112nn -+【分析】（1）根据题意，由递推关系可得{}n b 为首项为2，公比为2的等比数列，即可得到其通项公式；（2）根据题意，由裂项相消法即可得到结果.【详解】（1）由题意可得，11111222221221,2212121212121n n n n n n n n n n a a a a b b a a a a ++++⨯++++=====+--⨯-+11122221a b a +==-，所以{}n b 为首项为2，公比为2的等比数列，2n n b =，*n ∈N（2）()()121112212n n n n n c n n n n -+==-+⋅+或()1112212n n n c n n +⎛⎫=- ⎪ ⎪+⎝⎭{}n c 前n 项和()()()11121211111111211222212212n n n S n n ---=-+-++-⋅+⋅+⋅+ ()1112nn =-+22．过点()1,0A 作曲线()*:0,1,N m C y x x m m =>∈>的切线，切点为1B ，设1B 在x 轴上的投影是点1A ；又过点1A 作曲线C 的切线，切点为2B ，设2B 在x 轴上的投影是点2A ，…依次下去，得到一系列点12,,,n B B B，点n B 横坐标为n a .(1)求1a ，2a 的值；(2)求证：11n n a m ≥+-．【答案】(1)11m a m =-；221m a m ⎛⎫= ⎪-⎝⎭(2)证明见解析【分析】（1）求导，根据导数的几何意义求解；（2）设切线过点()11,0n n A a --，代入（1）的切线方程化简得到()121n n a m n a m -=≥-，找到{}n a 为等比数列即可求解.【详解】（1）1m y m x -'=，设切点(),m n n n B a a ，则切线斜率为1m n n k ma -=，0n a ≠，则切线方程为()1m m n n n y a ma x a --=-；当1n =时，切线过点()1,0A ，即()111101m m a ma a --=-，得11m a m =-；当2n =时，切线过点()11,0A a ，即()122120m m a ma a a --=-，得221m a m ⎛⎫= ⎪-⎝⎭；（2）当2n ≥时，切线过点()11,0n n A a --，即()110m m n n n n a ma a a ---=-，得()121n n a m n a m -=≥-，所以数列{}n a 是首项为11m a m =-，公比为1m m -的等比数列，所以1n n m a m ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，201211111C C C C 11111n n n n n n n n n m a m m m m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+=++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 011C C 111n n n m m ≥+=+--.【点睛】关键点睛：此题也相当于是一个新文化题，首先要理解题意，由导数的几何意义找到切线，进而求得通项公式1n n m a m ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，最后的证明还用了一个二项展开式，较灵活，综合性较强.。
安徽省数学高二下学期理数期末考试试卷
安徽省数学高二下学期理数期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2019高三上·宜宾期末) 已知复数满足，则（）A .B .C .D .2. （2分） (2020高三上·天津月考) 已知集合，，则（）A .B . 或C .D .3. （2分）将和式的极限表示成定积分（）A .B .C .D .4. （2分） (2019高二上·浠水月考) 已知研究与之间关系的一组数据如表所示：012341 3.5 5.578则对的回归直线必过点（）A .B .C .D .5. （2分）已知函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，当x∈（﹣∞，0]时，f（x）为减函数，若a=f（20.3），b=， c=f（log25），则a，b，c的大小关系是（）A . a＞b＞cB . c＞b＞aC . c＞a＞bD . a＞c＞b6. （2分）将三个标有A，B，C的小球随机放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，则1号盒子内没有球的不同放法的总数为（）A . 27B . 37C . 64D . 817. （2分）(2016·中山模拟) 某小区有1000户，各户每月的用电量近似服从正态分布N（300，100），则用电量在320度以上的户数估计约为（）[参考数据：若随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜ξ＜μ+σ）=68.26%，P（μ﹣2σ＜ξ＜μ+2σ）=95.44%，P（μ﹣3σ＜ξ＜μ+3σ）=99.74%]．A . 17B . 23C . 34D . 468. （2分）(2019·枣庄模拟) （2-x）（2x+1）6的展开式中x4的系数为（）A .B . 320C . 480D . 6409. （2分） (2020高二下·南昌期末) 某学校安排甲、乙、丙、丁四位同学参加数学、物理、化学竞赛，要求每位同学仅报一科，每科至少有一位同学参加，且甲、乙不能参加同一学科，则不同的安排方法有（）A . 36种B . 30种C . 24种D . 6种10. （2分） (2019高二下·大庆期末) 如图，和都是圆内接正三角形，且，将一颗豆子随机地扔到该圆内，用表示事件“豆子落在内”，表示事件“豆子落在内”，则（）A .B .C .D .11. （2分）(2018·南阳模拟) 设有下面四个命题：①“若，则与的夹角为锐角”及它的逆命题均为真命题②若 ,则③“ ”是“ 或”的充分不必要条件④命题“ 中，若，则”的逆命题为真命题其中正确命题的个数是（）A . 3B . 2C . 1D . 012. （2分） (2016高二下·故城期中) 若函数f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示．则（）A . x=1是最小值点B . x=0是极小值点C . x=2是极小值点D . 函数f（x）在（1，2）上单调递增二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2016高二下·汕头期中) 某种平面分形如图所示，一级分形图是由一点出发的三条线段，长度均为1，两两夹角为120°；二级分形图是在一级分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来的线段，且这两条线段与原线段两两夹角为120°；…；依此规律得到n级分形图，则n级分形图中所有线段的长度之和为．________．14. （1分） (2017高二下·红桥期末) 已知（1﹣2x）7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7 ，那么a1+a2+…+a7=________．15. （1分） (2018高一下·贺州期末) 某班准备到郊外野营，为此向商店定了帐篷，如果下雨与不下雨是等可能的，能否准时收到帐篷是等可能的，只要帐篷如期运到，他们就不会淋雨，则淋雨的概率是________.16. （1分）若函数f（x）=log2（﹣x2+ax）的图象过点（2，2），则函数f（x）的值域为________．三、解答题 (共7题；共45分)17. （10分） (2016高二上·长春期中) 某单位建造一间背面靠墙的小房，地面面积为12m2 ，房屋正面每平方米造价为1200元，房屋侧面每平方米造价为800元，屋顶的造价为5800元，如果墙高为3m，且不计房屋背面和地面的费用，设房屋正面地面的边长为xm，房屋的总造价为y元．（1）求y用x表示的函数关系式；（2）怎样设计房屋能使总造价最低？最低总造价是多少？18. （5分）(2017·武邑模拟) 随着“全面二孩”政策推行，我市将迎来生育高峰．今年新春伊始，泉城各医院产科就已经是一片忙碌至今热度不减．卫生部门进行调查统计期间发现各医院的新生儿中，不少都是“二孩”；在市第一医院，共有40个猴宝宝降生，其中10个是“二孩”宝宝；（Ⅰ）从两个医院当前出生的所有宝宝中按分层抽样方法抽取7个宝宝做健康咨询，①在市第一医院出生的一孩宝宝中抽取多少个？②若从7个宝宝中抽取两个宝宝进行体检，求这两个宝宝恰出生不同医院且均属“二孩”的概率；（II）根据以上数据，能否有85%的把握认为一孩或二孩宝宝的出生与医院有关？P（k≥k市）0.400.250.150.10k市0.708 1.323 2.072 2.706K2= ．19. （5分）(2017·赤峰模拟) 已知函数f（x）= ﹣mx（m∈R）．（Ⅰ）当m=0时，讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）当b＞a＞0时，总有＞1成立，求实数m的取值范围．20. （5分） (2017高二下·鞍山期中) 已知f（x）=x3﹣ax2﹣a2x+1，（a∈R）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）的图象不存在与l：y=﹣x平行或重合的切线，求实数a的取值范围．21. （5分） (2017高二下·廊坊期末) 为了解某校学生假期日平均数学学习时间情况，现随机抽取500名学生进行调查，由调查结果得如下频率分布直方图（Ⅰ）求这500名学生假期日平均数学学习时间的样本平均数和样本方差s2（同一组中的数据用该组的中点值做代表）．（Ⅱ）由直方图认为该校学生假期日平均数学学习时间X服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本的方差s2 ，（i）利用该正态分布，求P（100＜X≤122.8）；（ii）若随机从该校学生中抽取200名学生，记ξ表示这200名学生假期日平均数学学习时间位于（77.2，122.8）的人数，利用（i）的结果，求E（ξ）附：≈11.4，若X～N（μ，σ2），则p（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=0.6826，p（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544．22. （10分） (2017高二下·沈阳期末) 已知直线l的参数方程为为参数），以坐标原点为极点， x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 .直线l过点 .（1）若直线l与曲线C交于A,B两点，求的值；（2）求曲线C的内接矩形的周长的最大值.23. （5分）(2019·内蒙古模拟) （Ⅰ）.设函数，解不等式；（Ⅱ）.已知，，，证明： .参考答案一、选择题 (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共7题；共45分)答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、考点：解析：答案：19-1、考点：解析：答案：20-1、考点：解析：答案：21-1、考点：解析：答案：22-1、答案：22-2、考点：解析：答案：23-1、考点：解析：。
安徽省高二下学期数学期末考试试卷
安徽省高二下学期数学期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共9题；共18分)1. （2分） (2018高一下·汕头期末) 设全集，集合，，则（）A .B .C .D .2. （2分）命题“”的否定是（）A .B .C .D .3. （2分）设a=30.5 ， b=log32，c=cos2，则（）A . c<b<aB . c<a<bC . a<b<cD . b<c<a4. （2分） (2018高三上·吉林月考) 设等差数列的前n项和为，若，则（）C . 20D . 165. （2分）已知a= （﹣cosx）dx，则（ax+ ）9展开式中，x3项的系数为（）A .B .C . ﹣84D . ﹣6. （2分） (2019高二下·赤峰月考) 如图，花坛内有五个花池，有五种不同颜色的花卉可供栽种，每个花池内只能种同种颜色的花卉，相邻两池的花色不同，则最多有几种栽种方案（）A . 180种B . 240种C . 360种D . 420种7. （2分）已知f(x)是R上的奇函数，且满足，当时，，则（）A . －2D . －48. （2分）设函数f(x)＝x3－4x＋a，0＜a＜2．若f(x)的三个零点为x1 ， x2 ， x3 ，且x1＜x2＜x3 ，则（）A . x1＞－1B . x2＜0C . x2＞0D . x3＞29. （2分） (2019高一上·蚌埠期中) 规定，设函数，若存在实数x0 ，对任意实数x都满足，则（）A .B . 1C .D . 2二、填空题 (共6题；共6分)10. （1分）(2019·浦东模拟) 已知二项式的展开式中，前三项的二项式系数之和为37，则展开式中的第五项为________．11. （1分）抽查10件产品，设事件A：至少有两件次品，则A的对立事件为________12. （1分） (2016高二下·辽宁期中) 体育老师把9个相同的足球放入编号为1，2，3的三个箱中，要求每个箱子放球的个数不少于其编号，则不同的放球方法有________种．13. （1分） (2018高一上·潜江月考) 已知函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围是________14. （1分）(2016·上海文) 无穷数列{an}由k个不同的数组成，Sn为{an}的前n项和．若对任意的，则k的最大值为________．15. （1分） (2018高二下·虎林期末) 已知函数若函数存在两个零点,则实数的取值范围是________三、解答题 (共5题；共50分)16. （10分）第7届世界军人运动会于2019年10月18日至27日在湖北武汉举行，赛期10天，共设置射击、游泳、田径、篮球等27个大项，329个小项.共有来自100多个国家的近万名现役军人同台竞技.前期为迎接军运会顺利召开，武汉市很多单位和部门都开展了丰富多彩的宣传和教育活动，努力让大家更多的了解军运会的相关知识，并倡议大家做文明公民.武汉市体育局为了解广大民众对军运会知识的知晓情况，在全市开展了网上问卷调查，民众参与度极高，现从大批参与者中随机抽取200名幸运参与者，他们得分（满分100分）数据，统计结果如下：组别频数5304050452010（1）若此次问卷调查得分整体服从正态分布，用样本来估计总体，设，分别为这200人得分的平均值和标准差（同一组数据用该区间中点值作为代表），求，的值（，的值四舍五入取整数），并计算；（2）在（1）的条件下，为感谢大家参与这次活动，市体育局还对参加问卷调查的幸运市民制定如下奖励方案：得分低于的可以获得1次抽奖机会，得分不低于的可获得2次抽奖机会，在一次抽奖中，抽中价值为15元的纪念品A的概率为，抽中价值为30元的纪念品B的概率为 .现有市民张先生参加了此次问卷调查并成为幸运参与者，记Y为他参加活动获得纪念品的总价值，求Y的分布列和数学期望，并估算此次纪念品所需要的总金额.（参考数据：；；.）17. （10分） (2017高一下·运城期末) 已知等差数列{an}满足a3=7，a5+a7=26．{an}的前n项和为Sn ．（1）求an及Sn；（2）令bn=﹣（n∈N*），求数列{bn}的前n项和Tn ．18. （10分）由于我市去年冬天多次出现重度污染天气，市政府决定从今年3月份开始进行汽车尾气的整治，为降低汽车尾气的排放量，我市某厂生产了甲、乙两种不同型号的节排器，分别从两种节排器中随机抽取200件进行性能质量评估检测，综合得分情况的频率分布直方图如图所示．节排器等级如表格所示综合得分K的范围节排器等级K≥85一级品75≤k＜85二级品70≤k＜75三级品若把频率分布直方图中的频率视为概率，则（1）如果从甲型号中按节排器等级用分层抽样的方法抽取10件，然后从这10件中随机抽取3件，求至少有2件一级品的概率；（2）如果从乙型号的节排器中随机抽取3件，求其二级品数X的分布列及方差．19. （5分） (2019高三上·上高月考) 已知各项均为正数的数列的前项和为，， .（1）证明数列为等差数列，并求的通项公式；（2）设，数列的前项和记为 ,证明： .20. （15分） (2018高三上·福建期中) 函数 .(I)求的单调区间；(II)若，求证： .参考答案一、单选题 (共9题；共18分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、二、填空题 (共6题；共6分)10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、三、解答题 (共5题；共50分)16-1、16-2、17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、第11 页共11 页。
安徽省2022版高二下学期数学期末考试试卷(I)卷
安徽省2022版高二下学期数学期末考试试卷（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共20分)1. （2分） (2020高二下·海安月考) 已知复数满足，则的共轭复数是（）A .B .C .D .2. （2分）已知直线l1：ax+y=1和直线l2：9x+ay=1，则“a+3=0”是“l1∥l2”的（）A . 充要条件B . 必要不充分条件C . 充分不必要条件D . 既不充分也不必要条件3. （2分） (2020高二下·嘉兴月考) 若的展开式中第3项与第7项的系数相等，则展开式中二项式系数最大的项为（）A . 252B . 70C .D .4. （2分）设l为直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A . 若l∥α，l∥β，则α∥βB . 若α∥β，l∥α，则l∥βC . 若l⊥α，l∥β，则α⊥βD . 若α⊥β，l∥α，则l⊥β5. （2分）双曲线的左焦点为F，点P为左支下半支上任意一点（异于顶点），则直线PF的斜率的变化范围是（）A . (－∞，0)B . (1，+∞)C . (－∞，0)∪(1，+∞)D . (－∞，－1)∪(1，+∞)6. （2分）用数学归纳法证明等式时，第一步验证n=1时，左边应取的项是A . 1B . 1+2C . 1+2+3D . 1+2+3+47. （2分）一个容器的外形是一个棱长为2的正方体，其三视图如图所示，则容器的容积为（）A . 8B .C .D .8. （2分） (2017高二下·莆田期末) 设m，n分别是先后抛掷一枚骰子所得到的点数，则在先后两次出现的点数中有5的情况下，方程x2+mx+n=0有实根的概率是（）A .B .C .D .9. （2分） (2019高二上·荆州期中) 已知是椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，且△ 是直角三角形，则△ 的面积为（）.A .B .C . 或8D . 或810. （2分） (2020高二上·绿园期末) 已知三棱锥的体积为，各顶点均在以为直径的球面上，，则这个球的表面积为（）A .B .C .D .二、填空题 (共7题；共8分)11. （1分） (2019高二下·吉林期末) 已知，则的值为________.12. （1分）在空间直角坐标系中BC=4，原点O在BC的中点，点A在平面xOy上，且OA=2，∠AOC=60°，点D在平面yOz上，且∠BDC=90°，∠DCB=30°，则向量的坐标为________ ．13. （1分） (2017高一下·定州期末) 若过定点M（﹣1，0）且斜率为k的直线与圆x2+4x+y2﹣5=0在第一象限内的部分有交点，则k的取值范围是________．14. （1分）(2016·大连模拟) 已知正三角形ABC边长为2，将它沿高AD翻折，使点B与点C间的距离为，此时四面体ABCD的外接球的表面积为________．15. （2分） (2019高二下·嘉兴期中) 若是抛物线上一点，且为坐标原点，则该抛物线的准线方程为________.线段________,16. （1分） (2020高三上·哈尔滨开学考) 已知函数在点处的切线方程为，则 ________．17. （1分） (2017高二上·静海期末) 如图，椭圆的左、右焦点分别为，过且斜率为的直线交椭圆于两点，若为直角三角形，则椭圆的离心率为________．三、解答题 (共5题；共60分)18. （10分） (2017高一下·正定期末) 已知圆，点，求：（1）过点的圆的切线方程；（2）点是坐标原点，连接，求的面积 .19. （15分） (2020高三上·永州模拟) “硬科技”是以人工智能､航空航天､生物技术､光电芯片､信息技术､新材料､新能源､智能制造等为代表的高精尖科技，属于由科技创新构成的物理世界，是需要长期研发投入､持续积累才能形成的原创技术，具有极高技术门槛和技术壁垒，难以被复制和模仿.在华为的影响下，我国的一大批自主创新的企业都在打造自己的科技品牌，某高科技企业为确定下一年度投入某种产品的研发费用，需了解年研发费用x(单位：千万元)对年销售量y(单位：千万件)的影响，统计了近10年投入的年研发费用x，与年销售量（）的数据，得到如图所示的散点图.参考数据和公式：， .对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：， .（1）利用散点图判断，和 (其中a，b，c，d为大于0的常数)哪一个更适合作为年研发费用x和年销售量y的回归方程类型；(只要给出判断即可，不必说明理由)（2）对数据作出如下处理：得到相关统计量的值如表：9.429.72366 5.5439.255其中令， .根据（1）的判断结果及表中数据，求y关于x的回归方程，并预测投入的年研发费用28千万元时的年销售量；（3）从这10年的数据中随机抽取3个，记年销售量超过30(千万件)的个数为X，求X的分布列和数学期望.20. （15分） (2020高三上·河北期末) 如图，四棱柱中，底面，底面是正方形，点P为侧棱上的一点，且 .（1）若点P为的中点，求证：平面；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值；（3）若二面角的余弦值为，求的长.21. （10分） (2016高二下·温州期中) 已知抛物线C：y2=2px（p＞0），其焦点为F（1，0），过F作斜率为k的直线交抛物线C于A、B两点，交其准线于P点．（1）求P的值；（2）设|PA|+|PB|=λ|PA|•|PB|•|PF|，若k∈[ ，1]，求实数λ的取值范围．22. （10分） (2020高二下·广东月考) 已知函数，其中，为函数的导函数．（1）讨论的单调性；（2）若对任意，恒成立，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题 (共10题；共20分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：二、填空题 (共7题；共8分)答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：答案：17-1、考点：解析：三、解答题 (共5题；共60分)答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、答案：19-3、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、答案：20-3、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、考点：解析：答案：22-1、考点：解析：。
安徽省十联考2024年高二下学期期末联考数学试题+答案
合肥一中2023~2024学年度高二下学期期末联考数学试题（考试时间：120分钟 满分：150分）注意事项：1.答题前，务必在答题卡和答题卷规定的地方填写自己的姓名､准考证号和座位号后两位.2.答题时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.3.答题时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卷上书写，要求字体工整､笔迹清晰.作图题可先用铅笔在答题卷规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚.必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上答题无效.4.考试结束，务必将答题卡和答题卷一并上交.一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知命题:,11p x x ∀∈+>R ，命题2:0,10q x x x ∃>−+=，则（ ） A.命题p ､命题q 都是真命题 B.命题p 的否定､命题q 都是真命题C.命题p ､命题q 的否定都是真命题 D.命题p 的否定､命题q 的否定都是真命题2.给定两个随机变量x 和y 的5组数据如下表所示，利用最小二乘法得到y 关于x 的线性回归方程为5ˆˆ1.yx a =+，则（ ） x1 2 3 4 5 y24478A.0.5,3ˆa x =时的残差为-1B.0.5,3ˆa x =时的残差为1C.0.4,3ˆa x =时的残差为-0.9 D.0.4,3ˆax =时的残差为0.93.若质点A 运动的位移S （单位：m ）与时间t （单位：s ）之间的函数关系是()2(1S t t t=−≥），那么该质点在t =3s 时的瞬时速度和从1s t =到3s t =这两秒内的平均速度分别为（ ） A.22,39−B.22,39C.22,93−D.22,934.子曰：“工欲善其事，必先利其器.”这句名言最早出自于《论语･卫灵公》.此名言中的“利其器”是“善其事”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 5.对于实数,,,a b c d ，下列说法正确的是（ ）A.若a b >，则11a b a>− B.若,a b c d <<，则ac bd > C.若0a b c >>>，则b ca c ab >−− D.若1a b >>，则11a b a b+>+6.在二项式n的展开式中，二项式系数的和为64，把展开式中所有的项重新排成一列，奇次项（未知数x 的指数为奇数的项）都互不相邻的概率为（ ） A.135 B.16 C.14D.27 7.现有10名学生参加某项测试，可能有学生不合格，从中抽取3名学生成绩查看，记这3名学生中不合格人数为ξ，已知()21140P ξ==，则本次测试的不合格率为（ ） A.10% B.20% C.30% D.40%8.已知1,,,,13a b c d ∈ ，则222222a b c dab bc cd+++++的取值范围是（ ）A.52,2B.102,3C.510,23D.[)2,∞+ 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选择对的得部分分，有选错的得0分.）9.下列说法中正确的是（ ）A.若()0,1N ξ∼，且(1)P p ξ>=，则1(10)2P p ξ−<=− B.设(),B n p ξ∼，若()()30,20E D ξξ==，则90n = C.已知随机变量X 的方差为()D X ，则()()2323D X D X −=− D.若()10,0.8X B ∼，则当8X =时概率最大10.已知*,m n ∈N 且1n m ≥>，下列等式正确的有（ ） A.11A A mm n n m −−= B.12111A A A n nn n n n n +−+−−=C.3333202134520232024C C C C C ++++= D.()()()22212C C C C n nnnnn+++= 11.设函数()222,0e ,0x x ax a x f x a x −−−<= −≥ ，则下列说法正确的是（ ）A.若函数()f x 在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是(],0∞−B.若函数()f x 有3个零点，则实数a 的取值范围是()2,∞+C.设函数()f x 的3个零点分别是()123123,,x x x x x x <<，则12313x x x +−的取值范围是1,4ln23∞ −−−D.存在实数a ，使函数()f x 在()1,1−内有最小值三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.全集[](),4,8,0,6U A B ===R ，则()U A B ∩=__________. 13.已知0a >，函数()2322a f x ax x =−+有两个不同极值点12,x x ，则()()12f x f x +=__________. 14.从一列数()12332,,,,3,m a a a a m m +≥∈Z 中抽取,(132)i j a a i j m <<<+两项，剩余的项分成()()()1211211232,,,,,,,,,,,i i i j j j m a a a a a a a a a −++−+++ 三组，每组中数的个数均大于零且是3的倍数，则,i j a a 有__________种不同的取法.（答案用m 表示）四､解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明证明､过程或演算步骤.）15.（13分）（1）解关于x 的不等式：()210x a x a −++≥.（2）关于x 的不等式230x ax −+≥在[]1,2x ∈上有解，求实数a 的取值范围.16.（15分）为了研究合肥市某高中学生是否喜欢篮球和学生性别的关联性，调查了该中学所有学生，得到如下等高堆积条形图：从所有学生中获取容量为100的样本，由样本数据整理得到如下列联表：（1）根据样本数据，依据0.01=的独立性检验，能否认为该中学学生是否喜欢篮球和学生性别有关联？与所有学生的等高堆积条形图得到的结论是否一致？试解释其中原因.（2）将样本列联表中所有数据扩大为原来的2倍，依据0.01α=的独立性检验，与原样本数据得到的结论是否一致？试解释其中原因参考公式：()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ−=++++其中)n a b c d =+++.α 0.050 0.010 0.001 x α3.8416.63510.82817.（15分）对于一个函数()f x 和一个点(),M a b ，定义()()22()()s x x a f x b =−+−，若存在()()00,P x f x ，使()0s x 是()s x 的最小值，则称点P 是函数()f x 到点M 的“最近点”.（1）对于()1(0)f x x x=>和点()0,0M ，求点P ，使得点P 是()f x 到点M 的“最近点”. （2）对于()()ln ,0,1f x x M =，请判断是否存在一个点P ，它是()f x 到点M 的“最近点”，且直线MP 与()f x 在点P 处的切线垂直，若存在，求出点P ；若不存在，说明理由.18.（17分）某商场回馈消费者，举办活动，规则如下：每5位消费者组成一组，每人从,,A B C 三个字母中随机抽取一个，抽取相同字母最少的人每人获得300元奖励.（例如：5人中2人选,2A 人选,1B 人选C ，则选择C 的人获奖；5人中3人选,1A 人选,1B 人选C ，则选择B 和C 的人均获奖；如,,A B C 中有一个或两个字母没人选择，则无人获奖）（1）若甲和乙在同一组，求甲获奖的前提下，乙获奖的概率；（2）设每组5人中获奖人数为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望；（3）商家提供方案2：将,,A B C 三个字母改为A 和B 两个字母，其余规则不变，获奖的每个人奖励200元.作为消费者，站在每组5人获取总奖金的数学期望的角度分析，你是否选择方案2？19.（17分）函数()e xf x x=. （1）求函数()f x 的单调区间； （2）已知函数()()xg x f x =，当函数()y g x =的切线l 的斜率为负数时，求l 在x 轴上的截距的取值范围；（3）设()()2sin x f x x ϕ=−，若x a =是函数()x ϕ在()π,0−上的极值点，求证：()02a ϕ<<.合肥一中2023~2024学年度高二下学期期末联考数学参芳答案一.单选题1.【答案】D【解析】对于命题p ，当1x =−时，101x +=<，故p 是假命题，则p 的否定为真命题，对于命题,Δ0q <，故q 是假命题，q 的否定是真命题，综上可得，p 的否定和q 的否定都是真命题.故选D. 2.【答案】A【解析】由已知12345244783,555x y ++++++++====， 因为点(),x y 在回归直线5ˆˆ1.y x a =+上， 所以ˆ0.5a=， 所以3x =时残差为()4341ˆ5y−=−=−. 故选：A. 3.【答案】D【解析】()()()223Δ3Δ23Δ3ΔΔΔ33ΔS t S S t t t t t −++−+===+， 所以0022lim lim 3(3)9t t S t t ∆→∆→∆==∆+∆.即该质点在3t s =时的瞬时速度为29； 从1t s =到3t s =这两秒内的平均速度为()()312313S S −=−； 故选：D. 4.【答案】B【解析】由题意“工欲善其事，必先利其器.”指工匠要想要做好活儿，一定先要把工具整治得锐利精良.从逻辑角度理解，如果工匠做好活了，说明肯定是有锐利精良的工具；反过来如果有锐利精良的工具，不能得出一定能做好活儿. 故选：B. 5.【答案】D【解析】对于选项A ，若1,1a b ==−时，11a b a<−，则A 错误. 对于选项B ，若,a b c d <<，当1,1,2,3a b c d =−===，则ac bd <，则B 错误.对于选项C ，若取3,2,1a b c ===，则1b ca c a b==−−，故错误. 对于选项D ，因为函数1y x x=+在()1,∞+上单调递增，故D 正确. 故选：D. 6.【答案】A【解析】在二项式n展开式中，二项式系数的和为62642n==，所以6n =.则n即6−，通项公式为6316C (2)(1),0,1,2,,6r r r rr T x r −−+=⋅−⋅= ， 故展开式共有7项，当0,2,4,6r =时，展开式为奇次项，把展开式中所有的项重新排成一列，奇次项都互不相邻，即把其它的3个偶次项先任意排，再把这4 个奇次项插入其中的4个空中，方法共有3434A A 种，故奇次项都互不相邻的概率为343477A A 1A 35P ==，故选：A. 7.【答案】C【解析】设10名学生中有n 名不合格，从中抽取3人，其中不合格人数为ξ，由()21140P ξ==，得1210310C C 21C 40n n−=，化简得()()109637n n n −−=××，解得3n =，即本次测试的不合格率为3100%30%10×=. 故选：C. 8.【答案】B【解析】因为2222222222222222a b c d a b b c c d ab bc cd ab bc cd ab bc cd ab bc cd++++++++++=++++++ ，当且仅当a b c d ===时等号成立.1,,13a b∈，由对勾函数性质，所以103b a a b + ，则()22310ab a b +，同理()()222233,1010bc b c cd c d ++则()222222222222222210332210a b c d a b c d ab bc cd a b c d ++++++=+++++ ，故222222a b c d ab bc cd+++++的取值范围是102,3 . 故选：B.二､多选题9.【答案】ABD【解析】对于选项A ，若()12(1)10,1,(10)22P N P p ξξξ−>∼−<==− ，则A 正确.对于选项B ，设(),B n p ξ∼，则()()()30120E np D np p ξξ == =−= ，解得9013n p = =，则B 正确.对于选项C ，()()234D X D X −=，故C 错误. 对于选项D ，因为()10,0.8X B ∼，则()1010C 0.80.2kkkP x k −==⋅；因为()()1191010101C 0.80.2404C 0.80.21k k k kk k P x k k P x k k ++−−=+⋅−===⋅+，若404391815k k k −=⇒=<+， 则当7k ≤时，()()1P x k P x k =+>，当8k ≥时，()()1P x k P x k =+<=，即(1)(2)(7)(8)(9)(10)P x P x P x P x P x P x =<=<<=<=>=>= ，所以当8X =时概率最大，故D 正确. 故选：ABD. 10.【答案】BD【解析】对于选项A ，()()()()111!!A A !11!m m n n n n n n n m n m −−−==⋅=− −−−，则A 错误.对于选项B ，()()()121211A A 1!!!11!,A 1!!n nn n n n n n n n n n n nn n n +−+−−=+−=+−=⋅=−=⋅，所以12111A A A n n n n n n n +−+−−=，则B 正确.对于选项33334333433420203452023445202355202320242024C,C C C C C C C C C C C C C ++++=++++=+++=== ，故C错误.对于选项D ，考虑二项式2(1)n x +展开式的n x 前的系数是2C nn ，又因为2(1)(1)(1)n n n x x x +=+⋅+的n x 前的系数可看成0011C C C C C C n n n n n n n n ⋅+⋅++⋅ ，故D 正确.故选：BD. 11.【答案】BC【解析】对于选项A ，若函数()f x 在R 上单调递增，则20221aa a a− −=−≥ − −≤− ，即01a a ≤ ≥− ，即[]1,0a ∈−，则A 错误.对于选项B ，令()0f x =，当0x ≥时，e x a =，若函数()f x 有3个零点，则e x a =需有一个零点，则1a ≥；当0x <时，得2220x ax a −−−=，若函数()f x 有3个零点，则2220x ax a ++=需有两个不等的负实根，则2Δ(2)42020a a a =−⋅>> ，解得2a >. 故若函数()f x 有3个零点，则a 的取值范围是()2,∞+，则B 正确.对于选项C ，设函数()f x 的3个零点分别是()123123,,x x x x x x <<，则3122e x x x a a +=− =，得123112ln 33x x x a a +−=−−，令()()12ln ,2,3g x x x x ∞=−−∈+则()161233x g x x x −−=−−=′，则()g x 在()2,∞+上单调递减，()max 1()24ln23g x g ==−− 当x 趋近于∞+时，()g x 趋近于负无穷大，则函数()g x 的取值范围为1,4ln23∞ −−−即12313x x x +−的取值范围是1,4ln23∞−−−，故C 正确.对于选项D ，当0x <时，函数()2122f x x ax a =−−−是开口向下的二次函数，故函数()1f x 只能在两边端点处取得最小值；当0x ≥时，函数()2e xf x a =−单调递增，故()2min 2()01f x f a ==−；要使函数()f x 在()1,1−内有最小值，即()()11111021f af a a −=−≥− =−≥− ，即21a a ≥ ≤− ，故a 无解，所以不存在a ，故错误. 故选：BC.三､填空题12.【答案】[]6,8解析：][()U ,06,B ∞∞=−∪+ ，所以()[]U 6,8A B ∩= 13.【答案】4.解析：由三次函数对称性可知()()124f x f x +=.答案：4. （24年全国1卷18题第2问思路）另解：()22302a f x ax ′=−=解得12x x ==所以()()124f x f x f f +=+ 14.答案：213122m m −+. 解析：设三组中的数的个数分别为()3,3,3,,x y z x y z +∈N则333232x y z m +++=+，所以x y z m ++=隔板法可得()()2211213C 1222mm m m m −−−==−+. （24年全国1卷19题第3问思路）四､解答题15.解析：（1）因为()210x a x a −++=解得12, 1.x a x == 当1a >时，不等式解集为][(),1,a ∞∞−∪+；当1a =时，不等式解集为R ； 当1a <时，不等式解集为][(),1,a ∞∞−∪+.（2）易知233x a x x x+≤=+在[]1,2x ∈上有解，所以max 3a x x ≤+ ..因为[]1,2x ∈，所以34x x+≤. 所以4a ≤. 答案：4a ≤16.解析：（1）零假设为0H ：是否喜欢篮球和学生性别没有关联.()()()()220.01() 4.167 6.635n ad bc x a b c d a c b d χ−≈<=++++. 根据0.01α=的独立性检验，没有充分证据推断0H 不成立，因此可以认为0H 成立，即该高中学生是否喜欢篮球和学生性别没有关联.5分不一致.原因是根据全面调查数据作判断，其结论是确定且准确的.而根据样本数据作判断，会因为随机性导致样本数据不具代表性，从而不能得出与全面调查一致的结论..（2）将样本列联表中所有数据扩大为原来的2倍，经计算： ()()()()220.01()8.333 6.635n ad bc x a b c d a c b d χ−≈>=++++. 根据0.01α=独立性检验，可以推断该高中学生是否喜欢篮球和学生性别有关联与原样本数据得到的结论不一致，样本变大为原来的2倍，相当于样本量变大为原来的2倍，导致推断结论发生了变化.17.解析：（1）()2212,(0)s x x x x =+≥>，当且仅当1x =时，等号成立，所以当()1,1P 时， 点P 是()f x 到点M 的“最近点”；.（2）()22(ln 1),(0)s x x x x =+−>； 所以()2222ln ;x x s x x−+=⋅⋅′ 记()21ln ,(0)h x x x x =−+>，则()h x 在()0,∞+上单调递增， 因为()10h =，所以()s x 在()0,1单调递减，在()1,∞+单调递增，所以()()1s x s ≥，即点()1,0P 是()f x 到点M 的“最近点”.切点为()1,0P ，则()f x 在点P 处的切线l 的斜率为1，10101MP k −==−− 所以直线MP 与()f x 在点P 处的切线垂直，当且仅当取()1,0P 时，它是()f x 到点M 的“最近点”，且直线MP 与()f x 在点P 处的切线垂直. 18.解析：（1）设甲获奖为事件A ，乙获奖为事件B.()()()332133443322A 1A C 7C A A A n AB P B n A ===+∣.（2）X 的可能取值为0,1,2⋅⋅()23131535335C A C A C 9303243P X ++=== ()()121133545433222255C C C C A A A A 90601;2;32433243P X P X ====== 所以X 的分布列为：X 的数学期望()93906070012.24324324381E X =×+×+×= （3）选择方案1获取奖金总额的数学期望为707000300.8127×= 设选择方案2获奖人数为,Y Y 的可能取值为0,1,2. 则()()()1222252522555C A C A A 210200;1;2;232232232P Y P Y P Y ========= 方案2获奖人数的数学期望()210202501232323216E Y =×+×+×=. 选择方案2获取奖金总额的数学期望为25625200162×=. 因为6257000227>.所以选择方案2. 19.解析：（1）()f x 的定义域为{}0xx ≠∣ ()()22e 1e e 0x x x x x f x x x′−−===.得到1x =. 所以()f x 在()1,∞+单调递增，在(),0∞−和()0,1单调递减.（2）因为()2ex x g x =，所以()2222e e 2,.e e x x x x x x x x g x x ′−−==∈R设切点坐标为()0200,e x x x −，则切线方程为()002200002e .e x x x x y x x x −−−=− 因为曲线()y g x =的切线的斜率为负数，所以020020ex x x −<，解得00x <或02x >. 在切线方程中，令0y =，得()002200002e e x x x x x x x −−−=−， 解得20000022 3.22x x x x x x −==−++−− 令02t x =−，则23(2x t t t=++<−或0)t >， 可得()),03x ∞∞ ∈−∪++ .即l 在x 轴上的截距的取值范围为()),03∞∞ −∪++ . （3）因为()e 2sin x x x x ϕ=−.则()()221e 2cos .x x x x x xϕ−−′= 当π,02x ∈− 时，()0x ϕ′<.故()x ϕ在π,02 −上单调递减. 当ππ,2x ∈−−时，令()()21e 2cos x h x x x =−− 则()()2e 4cos 2sin e 4cos 2sin 0,x x h x x x x x x x x x x ′=−+=−+< 所以()h x 在ππ,2 −−上单调递减，因为()ππ0,02h h −>−< ， 所以()h x 在ππ,2−− 上有唯一零点.即()x ϕ在ππ,2 −−上有唯一零点.x a = 当()π,x a ∈−时，()0h x >，即()0x ϕ′>， 当(),0x a ∈时，()0h x <，即()0x ϕ′<，所以x a =时()x ϕ取最大值.所以()()π2π22πe 1πe 0,2sin 2sin 22πe a a a a a a ϕϕϕ − >−=>=−<−< ， 即()02a ϕ<<得证.。
安徽高二高中数学期末考试带答案解析
安徽高二高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.已知集合，且，则集合可以是（）A．B．C．D．2.计算（）A．B．C．D．3.若，则（）A．2B．3C．4D．64.设，则函数的图像大致形状是（）5.设直线和平面,下列四个命题中，正确的是（）A．若则B．若则C．若则D．若则6.如图，是所在的平面内一点，且满足，是的三等分点，则（）A．B．C．D．7.如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的体积是（）A．B．C．D．8.已知数列的前项和,其中,且．则（）A．不是等差数列，且B．是等差数列，且C．不是等差数列，且D．是等差数列，且9.已知区域的面积为，点集在坐标系中对应区域的面积为，则的值为（）A．B．C．D．10.已知函数与函数的图象关于轴对称，若存在，使时，成立，则的最大值为（）A．B．C．D．二、填空题1.1、执行如图所示的程序框图,则输出的值为_______________.2.为了了解雾霾天气对城市交通的影响，调查组对30个城市进行了抽样调查，现将所有城市从随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为5的样本，已知2号，8号，20号，26号在样本中，那么样本中还有一个城市的编号应是__________.3.已知圆的圆心是直线与轴的交点，且圆被直线所截得的弦长为4，则圆的方程为 .4.14、已知等比数列的前项和为，若，且，则_____________.5.对于函数,给出下列四个命题:①存在, 使；②存在, 使恒成立；③存在, 使函数的图象关于坐标原点成中心对称；④函数f(x)的图象关于直线对称；⑤函数f(x)的图象向左平移就能得到的图象.其中正确命题的序号是．三、解答题1.已知函数满足，，且当时，. （1）证明：函数是周期函数；（2）若，求的值.2.某校50名学生参加2013年全国数学联赛初赛，成绩全部介于90分到140分之间．将成绩结果按如下方式分成五组：第一组，第二组，，第五组．按上述分组方法得到的频率分布直方图如图所示．（1）若成绩大于或等于100分且小于120分认为是良好的，求该校参赛学生在这次数学联赛中成绩良好的人数；（2）若从第一、五组中共随机取出两个成绩，求这两个成绩差的绝对值大于30分的概率．3.在锐角中，分别是角的对边，，.（1）求的值；（2）若，求的值.4.如图，为圆的直径，为圆周上异于、的一点，垂直于圆所在的平面，于点，于点.（1）求证：平面；（2）若，，求四面体的体积.5.已知集合，，（1）若，求的取值范围；（2）是否存在实数使得？若存在求出的取值范围；若不存在，请说明理由.6.在等差数列中，，，记数列的前项和为．（1）求数列的通项公式；（2）是否存在正整数、，且，使得、、成等比数列？若存在，求出所有符合条件的、的值；若不存在，请说明理由．安徽高二高中数学期末考试答案及解析一、选择题1.已知集合，且，则集合可以是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由于，，符合，选，不符合，中是点集，中是实数集.【考点】集合间的关系.2.计算（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由换底公式得，.【考点】换底公式的应用.3.若，则（）A．2B．3C．4D．6【答案】D【解析】.【考点】二倍角公式的应用.4.设，则函数的图像大致形状是（）【答案】B【解析】函数，当时，，因此选【考点】函数的图象.5.设直线和平面,下列四个命题中，正确的是（）A．若则B．若则C．若则D．若则【答案】D【解析】平行于同一个平面的两条直线可能平行、垂直、异面；故错；中没有说是两条相交直线，故错；中没有说垂直于交线，故错；根据面面垂直的性质对.【考点】空间中平行和垂直的判定.6.如图，是所在的平面内一点，且满足，是的三等分点，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由于是所在的平面内一点，且满足，是的三等分点，则四边形为平行四边形，，.【考点】向量相等和加法法则.7.如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的体积是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由三视图可知，该几何体为直三棱锥，底面为等腰直角三角形，把三棱锥补成长方体，三棱锥和长方体具有相同的外接球，，因此，.【考点】球的体积.8.已知数列的前项和,其中,且．则（）A．不是等差数列，且B．是等差数列，且C．不是等差数列，且D．是等差数列，且【答案】B【解析】当，，当时，，满足，故该数列是等差数列，，解得.【考点】由得.9.已知区域的面积为，点集在坐标系中对应区域的面积为，则的值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】直线与直线相较于点，直线与直线相交于，由于点集在坐标系中对应区域的面积为，因此过的中点，，解得【考点】线性规划的应用.10.已知函数与函数的图象关于轴对称，若存在，使时，成立，则的最大值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】试题分析:由于函数与函数的图象关于轴对称，因此，由得，把代入得，当时，，解之得，因此的最大值为.【考点】函数图象的对称性.二、填空题1.1、执行如图所示的程序框图,则输出的值为_______________.【答案】.【解析】满足条件，第一次执行循环体时，；满足条件，第二次执行循环体时，，满足条件，第三次执行循环体时，；满足条件，第四次执行循环体时，，不满足条件，退出循环体，输出.【考点】基本逻辑结构.2.为了了解雾霾天气对城市交通的影响，调查组对30个城市进行了抽样调查，现将所有城市从随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为5的样本，已知2号，8号，20号，26号在样本中，那么样本中还有一个城市的编号应是__________.【答案】14.【解析】该抽样属于系统抽样，分段间隔，因此还有一个城市的编号是号.【考点】系统抽样的特点.3.已知圆的圆心是直线与轴的交点，且圆被直线所截得的弦长为4，则圆的方程为 .【答案】.【解析】由题意知圆心坐标，圆心到直线的距离，由半径、弦长的一半，弦心距的关系得，因此圆的方程.【考点】圆的标准方程.4.14、已知等比数列的前项和为，若，且，则_____________.【答案】或.【解析】由于，解之得或；当，等比数列的各项都是8，因此，当时，，此时.【考点】等比数列的性质和前项和公式.5.对于函数,给出下列四个命题:①存在, 使；②存在, 使恒成立；③存在, 使函数的图象关于坐标原点成中心对称；④函数f(x)的图象关于直线对称；⑤函数f(x)的图象向左平移就能得到的图象.其中正确命题的序号是．【答案】③④【解析】第一个函数，由于，因此，，因此①不对；由，，得，由于因此不对；第三个，当时函数的图象关于坐标原点成中心对称，正确；第四个函数的对称轴为，当时，，正确；第五个函数的图象向左平移就能得到，不对.【考点】正弦型函数的图象和性质.三、解答题1.已知函数满足，，且当时，.（1）证明：函数是周期函数；（2）若，求的值.【答案】(1)证明略；（2）.【解析】（1）对应函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的每一个值时，都有，那么为这个函数的周期；（2）函数在定义域上满足，则的周期为的周期函数；（3）进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序，需注意下列问题：一是对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂来表示，二是应用平方差、完全平方公式及简化运算.试题解析：（1）∵，∴，又∵，∴，函数是以4为周期的周期函数； 6分（2）由（1）可知，∴∴，从而，∴，又，∴，∴． 12分【考点】函数的周期性；（2）指数幂的运算.2.某校50名学生参加2013年全国数学联赛初赛，成绩全部介于90分到140分之间．将成绩结果按如下方式分成五组：第一组，第二组，，第五组．按上述分组方法得到的频率分布直方图如图所示．（1）若成绩大于或等于100分且小于120分认为是良好的，求该校参赛学生在这次数学联赛中成绩良好的人数；（2）若从第一、五组中共随机取出两个成绩，求这两个成绩差的绝对值大于30分的概率．【答案】(1)27;(2).【解析】(1)关键是从频率分布直方图中提取数据信息，进行统计与概率的正确运算；（2）古典概型的概率问题，关键是正确找出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数，然后利用古典概型的概率计算公式计算；（3)当基本事件总数较少时，用列举法把所有的基本事件一一列举出来，要做到不重不漏，有时可借助列表，树状图列举，当基本事件总数较多时，注意去分排列与组合；（4）注意判断是古典概型还是几何概型，基本事件前者是有限的，后者是无限的，两者都是等可能性.试题解析：（1）由频率分布直方图知，成绩在内的人数为：（人）所以该班成绩良好的人数为27人． 5分（2）由频率分布直方图知，成绩在的人数为人，设为、、；成绩在的人数为人，设为、、、.若时，有3种情况；若时，有6种情况；若分别在和内时，共有12种情况.所以基本事件总数为21种，事件“”所包含的基本事件个数有12种.∴（）． 12分【考点】（1）频率分布直方图的应用；（2)利用古典概型求概率.3.在锐角中，分别是角的对边，，.（1）求的值；（2）若，求的值.【答案】(1);(2).【解析】1）在三角形中，两边和一角知道，该三角形是确定的，其解是唯一的，利用余弦定理求第三边.（2）利用同角三角函数的基本关系求角的余弦值值.（3）若是已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据大边对大角进行判断.（4）在三角形中，注意这个隐含条件的使用.（4）理解正弦定理与余弦定理的使用条件，不要搞混.试题解析：（1）∵，，∵，∴，∴，∵是锐角三角形，∴，∴； 6分（2）∵，∴；又由正弦定理，得，解得，，∴，，即边的长为5． 12分【考点】(1)在三角形中求余弦值；（2)求三角形的边长.4.如图，为圆的直径，为圆周上异于、的一点，垂直于圆所在的平面，于点，于点.（1）求证：平面；（2）若，，求四面体的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】(1)利用线面垂直的判断定理证明线面垂直，条件齐全,证明线线垂直时，要注意题中隐含的垂直关系，如等腰三角形的底边上的高，中线和顶角的角平分线合一、矩形的内角、直径所对的圆周角、菱形的对角线互相垂直、直角三角形等等；(2)利用棱锥的体积公式求体积.(3)证明线面垂直的方法：一是线面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性质定理；三是平行线法（若两条平行线中的一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面.解题时，注意线线、线面与面面关系的相互转化.(4)在求三棱柱体积时，选择适当的底作为底面，这样体积容易计算.试题解析：(1）证明：∵BC为圆O的直径∴CD⊥BD∵AB⊥圆O所在的平面∴AB⊥CD 且AB BD=B∴CD⊥平面ABD又∵BF平面ABD ∴CD⊥BF又∵BF⊥AD 且AD CD="D"∴BF⊥平面ACD 6分（2）法一：∵AB=BC=，∠CBD="45°" ∴BD=CD=∵BE⊥AC ∴E为AC中点又∵CD⊥平面ABD∴E到平面BDF的距离为在Rt△ABD中，由于BF⊥AD 得∴∴ 13分法二：∵AB=BC=，∠CBD="45°" ∴BD=CD=∵BE⊥AC ∴E为AC中点∴E到边AD的距离为在Rt△ABD中，由于BF⊥AD，得，由（1）知BF⊥平面DEF∴ 13分【考点】(1）直线与平面垂直的判定；（2）求四面体的体积.5.已知集合，，（1）若，求的取值范围；（2）是否存在实数使得？若存在求出的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】(1);(2).【解析】(1)已知两个集合之间的关系求参数时，要明确集合中的元素，对子集是否为空集进行分类讨论，做到不漏解；（2）恒成立问题一般需转化为最值，利用单调性证明在闭区间的单调性.(3)一元二次不等式在上恒成立，看开口方向和判别式.(4)含参数的一元二次不等式在某区间内恒成立的问题通常有两种处理方法：一是利用二次函数在区间上的最值来处理；二是分离参数，再去求函数的最值来处理，一般后者比较简单，对于恒成立的问题，常用到以下两个结论：（1），（2）试题解析：(1)因为，所以，，，法一：转化恒成立的不等式也就是当时，不等式恒成立，即恒成立，令，则时为减函数，故，所以，即； 7分法二：数形结合令，则，得； 7分（2）因为，所以要使，只要能成立，也就是能成立，只要即可，由（1）知，即． 13分【考点】（1）集合间的基本关系；（2）利用最值证明恒成立问题.6.在等差数列中，，，记数列的前项和为．（1）求数列的通项公式；（2）是否存在正整数、，且，使得、、成等比数列？若存在，求出所有符合条件的、的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）.【解析】(1)根据等差数列的首项和公差求通项公式；（2）观测数列的特点形式，看使用什么方法求和.使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源和目的；（3）与数列有关的探索问题：第一步：假设符合条件的结论存在；第二步：从假设出发，利用题中关系求解；第三步，确定符合要求的结论存在或不存在；第四步：给出明确结果；第五步：反思回顾，查看关键点.试题解析：(1）设等差数列的公差为，因为即解得所以．数列的通项为． 5分（2）因为，所以数列的前项和．假设存在正整数、，且，使得、、成等比数列，则．即．所以．因为，所以．即．因为，所以．因为，所以．此时．所以存在满足题意的正整数、，且只有一组解，即，． 13分【考点】（1）等差数列的通项公式；（2）裂项求和；（3）探索性问题.。