用均值不等式求最值的方法和技巧
用均值不等式最值的方法和技巧
用均值不等式最值的方法和技巧均值不等式是数学中的一种重要的不等式关系，用于描述一组数据的平均值与其他性质之间的关系。
它可以应用于各种问题，如最值问题、优化问题等。
使用均值不等式来求解最值问题的方法和技巧有以下几个方面。
1.确定使用哪种均值不等式：均值不等式有许多种，如算术均值不等式、几何均值不等式、平方均值不等式等。
不同的均值不等式适用于不同的情况。
在解题时，要根据具体情况选择适合的均值不等式。
通常，当问题中涉及到平方和、乘积、根号等运算时，选择平方均值不等式；当问题中涉及到和、平均数等运算时，选择算术均值不等式；当问题中涉及到几何平均数、平方根等运算时，选择几何均值不等式。
2.清晰确定问题的条件和目标：在解决最值问题时，首先要清晰地确定问题的条件和目标。
条件是指问题中已知的信息，目标是指要求解的最值。
只有明确了条件和目标，才能有针对性地选择适合的均值不等式，并通过变换和推导进行求解。
3.运用不等式性质进行变换：在使用均值不等式进行求解时，可以根据题目中给出的条件进行变换，使得问题更容易求解。
如将含有平方和的表达式进行整理，将含有乘积的表达式进行拆分等。
变换后可利用不等式的性质，如对称性、单调性、对数性质等来推导和求解。
4.找到合适的等号成立条件：根据均值不等式的性质，等号成立的条件通常与数据的性质相关。
找到合适的等号成立条件不仅是验证结果的正确性，还可以通过这些条件求解最值问题。
例如，在求解两个数的平方和的最小值时，可通过设等号成立条件来求解。
5.结合其他方法进行求解：在使用均值不等式解决最值问题时，有时候也需要结合其他方法和技巧进行求解。
例如，可以结合求导、代数方法、几何方法等来解决一些复杂的最值问题。
这样可以提高问题的求解效率和准确性。
综上所述，运用均值不等式求解最值问题需要根据题目的条件和目标选择合适的不等式，进行变换和推导，并找到合适的等号成立条件。
同时，也可以结合其他方法和技巧进行求解。
例谈均值不等式的运用条件和技巧
例谈均值不等式的运用条件和技巧运用均值不等式“1212,,,n n a a a a a a R n++++∈≥K K 若则当且仅当n a a a ===K 21(2)n n N ≥∈且时等号成立”求最值是中学数学求最值的基本方法之一，许多外形与它截然相异的函数式，常常也能利用它巧妙地求出最值.且运用均值定理求最值是历年来高考的热点内容，因此必须熟练掌握他的运用条件和运用技巧.一、重视运用过程中的三个条件：“一正、二定、三相等”，三者缺一不可。
（1） 注意“正数”例1、求函数1y x x=+的值域 .误解：12x x +≥=Q （当且仅当1x =时取等号），所以值域为[)2,+∞. 这里错误在于使用均值定理ab b a 2≥+时忽略了条件：+∈R b a ,正确解法：1()0,2(1)a x x x x >+≥==当时仅当时取等号；11()0,0()()2(1)2b x x x x x x x<->-+-≥==-∴+≤-当时而仅当时取等号所以函数的值域是{}22y y y ≤-≥或. （2） 注意“相等”例2、设+∈R x ，求函数213x x y +=的最小值. 误解：拿到很容易想到用均值定理，所以有3min 3322232312312,=∴=⋅⋅≥++=∈+y xx x x x x y R x Θ. 这里的错误是没有考虑等号成立的条件.显然要212x x x ==，这样的x 不存在，故导致错误.此题用均值定理，需要拆项，同时要等号成立，需要配一个系数.正确解法：时取等号）23322123(182312323312323xx x x x x x x y ==⋅⋅≥++=. 所以2183,3183min 3==y x . 例3、的最大值求且有设by ax y x b a R y x b a +=+=+∈,6,3,,,,2222.误解：2222222219,()(1)2222a xb y ax by ax by a b x y ++≤≤∴+≤+++=Q K K 所以by ax +的最大值为29. 这里（1）取等号的条件是仅当b y a x ==,；由条件知这是不可能的，所以不可能取到上述的最大值.正确解法：2222222222,()()()a x b y axby a b x y ax by +≥∴++≥+Q 仅当ax by=时取等，所以222236ax by ax by a b x y =⎧⎪+≤=+=⎨⎪+=⎩时取等号.如取23)(,3,26max =+====by ax y x b a （3）注意“定值”例4、已知的最大值求y x R y x y x 2,,,12+∈=+.误解：12),(27)2()3(332=+=+=++≤y x y x y x y x x y x 又时取等当， 271,312≤==∴y x y x 时. 以上过程只能说明当271312===y x y x 时.但没有任何理由说明,2712≤y x 这种似是而非的错误解法，关键在于运用重要不等式放缩后的式子不是定值，致使得不出正确的结果.正确解法：272)322(41)34(41441,,332=+⨯=++≤⋅⋅⋅=∴∈+y x y x x y x x y x R y x Θ， 所以仅当24212,,,213627x y x y x y x y =⎧==∴⎨+=⎩即时取等号最大值为.二、常用的处理方法和技巧（1） 拆项：为了创设使用不等式的条件，有时需将一些项作适当的变形，拆为多项之积，从而达到凑积或和为定值的目的。
巧用均值不等式及其条件求最值
巧用均值不等式及其条件求最值(南京师范大学数学与计算机科学学院 张逸洁)均值不等式是高中阶段初等数学中最重要的基本不等式之一，在许多问题的解决中往往能发挥出它的独特功能，对于它及它各种变式的掌握和熟练运用也是求解很多与不等式有关的最值问题的重要方法。
本文将归纳介绍均值不等式在最值问题中的一些巧妙运用，希望能够开拓学生的思维，对高中生不等式的学习有所帮助。
一、均值不等式1．22,2,a b R ab ab ∈+≥、（当且仅当a=b 时取“=”）。
推论：,a b R a b +∈+≥、，（当且仅当a=b 时取“=”）。
2．变形，对a b R ∈、积向平方和转化：222a b a b +⋅≤。
对a b R ∈、积向和转化：2()2a b a b +⋅≤。
注：这里有“最值定理”： 若,,,x y R x y s xy p +⋅∈+==2()2x y xy +≥⇔≤则x+y 运用此定理求最值时必须具备“一正，二定，三相等”这三个条件。
3．333,3a b c Ra b c abc +∈++≥、、，（当且仅当a=b=c 时取“=”）推论：,a b c R a b c +∈++≥、、，（当且仅当a=b=c 时取“=”）4．变形：对3,()3a b c a b c R abc +++∈≤、、 方法小结：在运用均值不等式求正数和的最小值时，凑积为定值；求正数积的最大值时，凑和为定值。
二、巧用均值不等式求解最值问题在求解函数最值问题的过程中，我们通常运用不等式，函数单调性，数形结合等方法分析解答。
本文着重介绍均值不等式在求解此类问题中的妙用，旨在帮助读者系统归纳，拓展思维，灵活解题。
1． 连用例1：已知3222160,a b a b a b ab b-+>>-求的最小值。
解：32222222222161616166416()2a b a b a a a a b a b ab b ab b b a b a -+=+=+≥+=+≥+----（）216.64a b a ⎧⎧=⎪⎪∴⎨⎨==⎪⎪⎩⎩2b=a-b 当且仅当即a分析：有时利用均值不等式求最值时只用一次并不能解决问题，通常需要连用来巧求最值。
利用均值不等式求最值的方法
利用均值不等式求最值的方法均值不等式是一种重要的数学统计工具，它可以用来求出一组数据的最值。
均值不等式是一种用于求解参数最值的统计工具，它通过约束数据集中参数值来构建最大或最小值，从而获得最优解。
均值不等式最适用于求解连续参数的最值问题。
均值不等式由两部分构成，下面将进行详细讨论。
首先，均值不等式中包含一个数学定义，它是这样定义的：假设有一组数据集，记作：X = {x1, x2,, xn}其中，n表示数据集中数据的个数。
均值不等式的定义为：∑x/n KK为预先设定的参数值，它可以用来确定最值的上限。
其次，均值不等式还包含一些可以应用到数据集中的算法，这些算法可以用来求解最值问题。
例如，当要求解最小值时，可以通过下面的算法来推断出最小值：1.先计算出 X 中各数据项的和，记作 s 。
2.出 K 与 s比值 r=K/s 。
3.X中的每个数据项 xi乘以 r 。
4.乘以 r的数据项求出平均值，记作 m 。
5.较 m 与 xi值，得出最小值。
均值不等式有着广泛的应用，它通常用于求解线性规划问题，最优化函数等最值问题。
均值不等式还可以用于求解投资组合最值等一系列最值问题，具有很强的实用性。
接下来，将着重介绍均值不等式在解决最值问题中的实际应用。
首先，均值不等式可以用于求解数学优化问题。
优化问题中，最常用的是线性规划模型。
性规划模型可以用均值不等式来约束参数范围，从而得到最优解。
举个例子，在最小二乘法中，可以使用均值不等式来计算最小残差。
其次，均值不等式还可以用于解决投资组合的最值问题。
投资组合问题是指由投资者将自己的财富分散投资，通过投资组合来获得最高收益的问题。
在投资组合中，均值不等式可以有效地约束投资者不超出预先设定的范围，从而使投资收益最大化。
最后，均值不等式还可以用于求解最优化函数的最值问题。
最优化函数是指通过最小化或最大化函数值来获得最优解的函数，而均值不等式可以用于函数的求解。
总结，均值不等式是一种有效的数学统计工具，它可以用来求解最值问题。
用均值不等式最值的方法和技巧
用均值不等式最值的方法和技巧均值不等式是一个常用的不等式工具，在解决很多求最值问题时会起到很大的帮助。
它的核心思想是通过找到相应的均值来构造不等式，从而得到最值的估计。
下面，我将详细介绍均值不等式的方法和技巧。
1.算术平均-几何平均不等式（AM-GM不等式）：AM-GM不等式是最常见的均值不等式，它表明对于任意非负实数x1,x2, ..., xn，有如下不等式成立：(x1 + x2 + ... + xn) / n ≥ √(x1 * x2 * ... * xn)这个不等式的意义在于，对于一组非负实数的和，取平均值一定大于等于这组数的乘积的正平方根。
这个不等式常常被用于证明其他数学结论的基础。
2.幂平均不等式：幂平均不等式是一组关于算术平均和几何平均之间关系的不等式。
对于任意非负实数x1, x2, ..., xn，以及实数p，q，有如下不等式成立：[(x1^p + x2^p + ... + xn^p) / n]^(1/p) ≥ [(x1^q + x2^q + ... + xn^q) / n]^(1/q)这个不等式是一个广义的不等式，AM-GM不等式就是其特例（p=q=1）。
使用幂平均不等式可以推导出很多常见的不等式，如柯西不等式、余弦不等式等。
3.杨辉不等式：杨辉不等式是一组与二项式系数相关的不等式。
对于任意自然数n，以及实数a，b，有如下不等式成立：(a+b)^n≥C(n,0)*a^n*b^0+C(n,1)*a^(n-1)*b^1+...+C(n,n)*a^0*b^n这个不等式是二项式定理的推广，它可以用来证明其它不等式，如二项式不等式、二项式平均不等式等。
4.切比雪夫不等式：切比雪夫不等式是一组关于平均值和取值范围之间关系的不等式。
对于任意一组具有有限均值μ的实数x1, x2, ..., xn，有如下不等式成立：P(，x1-μ，≥k)≤(σ/k)^2其中，σ是x1, x2, ..., xn的标准差，即σ^2 = [(x1 - μ)^2 + (x2 - μ)^2 + ... + (xn - μ)^2] / n这个不等式的意义在于，对于平均值给定的一组数，其离平均值较远的数出现的概率是受标准差的限制的。
用均值不等式求最值的方法和技巧
用均值不等式求最值的方法和技巧均值不等式（Mean Inequality）是数学中常用的一种方法和技巧，用于求解包含均值的不等式问题。
它的核心思想是通过求解众多数据的平均值来确定问题的最值范围。
1.均值不等式的基本形式均值不等式分为均值-均值不等式和均值-次方均值不等式两种基本形式。
均值-均值不等式：对于任意给定的两个非负实数a和b，以及两个实数λ和μ满足λ+μ≠0，有：√(λa^2+μb^2)≥，λa+μb，/√(λ+μ)均值-次方均值不等式：对于任意给定的n个非负实数x₁，x₂，…，xₙ，以及实数p≥q>0，有：((x₁^p+x₂^p+…+xₙ^p)/n)^(1/p)≥((x₁^q+x₂^q+…+xₙ^q)/n)^(1/q)2.求解最值的一般步骤步骤1：根据不等式问题的具体情况，确定合适的均值不等式形式，即选择均值-均值不等式还是均值-次方均值不等式。
步骤2：根据题目给出的条件，选取合适的数据进行计算和代入，找到不等式中的系数和指数。
步骤3：应用均值不等式，将不等式转化为计算均值的形式。
步骤4：通过简化计算和代入数值，利用均值不等式得到最终的结果。
3.常见应用场景和例题分析均值不等式常用于求解最值问题，特别是在高中数学中的函数极值和数列极限中经常用到。
例如，求解非负整数a，b，c的最小值问题，已知条件是ab+bc+ca=8，可以利用均值不等式进行求解。
解题思路：设S=a+b+c，则利用均值-均值不等式可得：(S^2 + S^2 + S^2) / 3 ≥ (ab+bc+ca+a^2+b^2+c^2) / 6代入条件ab+bc+ca=8，化简后可得：S^2≥(8+a^2+b^2+c^2)/4而根据平方平均不等式可得：(a^2+b^2+c^2)/3≥((a+b+c)^2)/9将其代入上式化简，可得：S^2≥20/3同时，由于a，b，c都是非负整数，所以可以得到S=√(a^2+b^2+c^2)的最小整数部分为4因此，a+b+c的最小整数部分为44.注意事项和常见误区在应用均值不等式求解最值问题时，需要注意一些常见的误区和陷阱。
均值不等式求值的十种方法
均值不等式求最值的十种方法————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：用均值不等式求最值的方法和技巧一、几个重要的均值不等式①，、)(222222R b a b a ab ab b a ∈+≤⇔≥+当且仅当a = b 时，“=”号成立； ②，、)(222+∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤⇔≥+R b a b a ab ab b a 当且仅当a = b 时，“=”号成立； ③，、、)(33333333+∈++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立；④)(3333+∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c 时,“=”号成立.注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”；② 熟悉一个重要的不等式链：ba 112+2a bab +≤≤≤222b a +。
一、拼凑定和通过因式分解、纳入根号内、升幂等手段，变为“积”的形式，然后以均值不等式的取等条件为出发点，均分系数，拼凑定和，求积的最大值。
例１ (1) 当时，求(82)y x x =-的最大值。
(2) 已知01x <<，求函数321y x x x =--++的最大值。
解：()()()()()()222111111y xx x x x x x =-+++=+-=+-()()311111322241422327x x x x x x ++⎛⎫++- ⎪++=•••-≤=⎪ ⎪⎝⎭。
当且仅当112x x +=-，即13x =时，上式取“=”。
故max 3227y =。
评注：通过因式分解，将函数解析式由“和”的形式，变为“积”的形式，然后利用隐含的“定和”关系，求“积”的最大值。
例2 求函数()22101y xx x =-<<的最大值。
均值不等式求最值的十种方法
均值不等式求最值的十种方法用均值不等式求最值的方法和技巧一、几个重要的均值不等式①，、)(222222R b a ba ab ab b a ∈+≤⇔≥+当且仅当a = b 时，“=”号成立；②，、)(222+∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤⇔≥+R b a b a ab ab b a 当且仅当a = b 时，“=”号成立； ③，、、)(33333333+∈++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c ba 当且仅当a =b =c 时,“=”号成立；④)(3333+∈⎪⎭⎫⎝⎛++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c时,“=”号成立.注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”；② 熟悉一个重要的不等式链：ba112+2a b ab +≤≤≤222b a +。
一、拼凑定和通过因式分解、纳入根号内、升幂等手段，变为“积”的形式，然后以均值不等式的取等条件为出发点，均分系数，拼凑定和，求积的最大值。
例１ (1) 当时，求(82)y x x =-的最大值。
(2) 已知01x <<，求函数321y xx x =--++的最大值。
解：()()()()()()222111111y xx x x x x x =-+++=+-=+-()()311111322241422327x x x x x x ++⎛⎫++- ⎪++=•••-≤=⎪ ⎪⎝⎭。
当且仅当112x x +=-，即13x =时，上式取“=”。
故max3227y=。
评注：通过因式分解，将函数解析式由“和”的形式，变为“积”的形式，然后利用隐含的“定和”关系，求“积”的最大值。
例2 求函数)2101y xx x =-<<的最大值。
解：()()2242214122x x y x x x =-=•••-因()()32222221122122327x x x x x x ⎛⎫++- ⎪••-≤=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，当且仅当()2212x x =-，即6x =时，上式取“=”。
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8、 巧组合
例8 若 且 ,求 的最小值 .
分析 初看，这是一个三元式的最值问题，无法利用 +b来解决.换个思路，可考虑将 重新组合，变成 ，而 等于定值 ，于是就可以利用均值不等式了.
9、 消元
例9、设 为正实数， ，则 的最小值是.
评析：利用均值不等式求几个正数和的最小值时，关键在于构造条件，使其积为常数。通常要通过添加常数、拆项（常常是拆底次的式子）等方式进行构造。
2、求几个正数积的最大值。
例2、求下列函数的最大值：
① ②
解析：
① ，∴
，当且仅当 即 时，“=”号成立，故此函数最大值是1。② ，则 ，欲求y的最大值，可先求y2的最大值。
证明：
任取 且 ，则
，
∵ ，∴ ，
则 ，即 在 上是减函数。
故当 时， 在 上有最小值5。
解法二：（配方法）因 ，则有 ，易知当 时， 且单调递减，则 在 上也是减函数，即 在 上是减函数，当 时， 在 上有最小值5。
解法三：（导数法）由 得 ，当 时， ，则函数 在 上是减函数。故当 时， 在 上有最小值5。
2、 配系数（乘、除项）
例2 已知 ，且满足 ，求 的最大值.
分析 , 是二项“积”的形式，但不知其“和”的形式 是否定值，
而已知是 与 的和为定值 ，故应先配系数，即将 变形为 ，再用均值不等式.
当且仅当 ，即 时，等号成立. 所以 的最大值是 .
评注 本题是已知和为定值，要求积的最大值，可逆用均值不等式，即利用 来解决.
用均值不等式求最值的方法和技巧
桃源县第九中学 朱梅芳
均值不等式是求函数最值的一个重要工具，同时也是高考常考的一个重要知识点。下面谈谈运用均值不等式求解一些函数的最值问题的方法和技巧。
一、几个重要的均值不等式
① 当且仅当a =b时，“=”号成立；
② 当且仅当a = b时，“=”号成立；
③ 当且仅当a =b =c时,“=”号成立；
④ ,当且仅当a = b = c时,“=”号成立.
注：①注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”；
②熟悉一个重要的不等式链： 。
二、用均值不等式求最值的常见的方法和技巧
1、求几个正数和的最小值。
例1、求函数 的最小值。
解析：
，当且仅当 即 时，“=”号成立，故此函数最小值是 。
解法二：（消元法）
由 得 ，由 则 。当且仅当 即 时“=”号成立，故此函数最小值是18。
解法三：（三角换元法）
令 则有
则
，易求得 时“=”号成立，故最小值是18。
评析：此类问题是学生求解易错得一类题目，解法一学生普遍有这样一种错误的求解方法： 。原因就是等号成立的条件不一致。
5、利用均值不等式化归为其它不等式求解的问题。
解法四：（拆分法） ，当且仅当 时“=”号成立，故此函数最小值是5。
评析：求解此类问题，要注意灵活选取方法，特别是单调性法、导数法具有一般性，配方法及拆分法也是较为简洁实用得方法。
4、条件最值问题。
例4、已知正数x、y满足 ，求 的最小值。
解法一：（利用均值不等式）
,当且仅当 即 时“=”号成立，故此函数最小值是18。
,当且仅当 ，即 时，不等式中的“=”号成立，故此函数最大值是 。
评析：利用均值不等式求几个正数积的最大值，关键在于构造条件，使其和为常数。通常要通过乘以或除以常数、拆因式（常常是拆高次的式子）、平方等方式进行构造。
3、用均值不等式求最值等号不成立。
例3、若x、y ，求 的最小值。
解法一：（单调性法）由函数 图象及性质知，当 时，函数 是减函数。
故 的最大值是 .
评注 本题也可将 纳入根号，即将所求式化为 ，先配系数，再运用均值不等式的变式.
6、 换元（整体思想）
例6 求函数 的最大值.
分析 可先令 ，进行换元，再使分子常数化，然后运用均值不等式来解决.
7、 逆用条件
例7 已知 ,则 的最小值是（ ） .
分析 直接利用均值不等式，只能求 的最小值，而无法求 的最小值.这时可逆用条件，即由 ，得 ，然后展开即可解决问题.
2011年1月2日
三、用均值不等式求最值的常见的技巧
1、 添、减项（配常数项）
例1 求函数 的最小值.
分析： 是二项“和”的形式，但其“积”的形式不为定值.而 可与 相约，即其积为定积1，因此可以先添、减项6，即 ，再用均值不等式.
当且仅当 ，即 时,等号成立. 所以 的最小值是 .
评注 为了创造条件利用均值不等式，添项是常用的一种变形技巧;为了保证式子的值不变，添项后一定要再减去同一项.
3、 裂项
例3 已知 ，求函数 的最小值.
分析 在分子的各因式中分别凑出 ，借助于裂项解决问题.
当且仅当 ，即 时，取等号. 所以 .
4、 取倒数
例4 已知 ，求函数 的最小Fra bibliotek.分析 分母是 与 的积，可通过配系数，使它们的和为定值；也可通过配系数，使它们的和为 (这是解本题时真正需要的).于是通过取倒数即可解决问题.
例5、已知正数 满足 ，试求 、 的围。
解法一：
由 ，则 ，即 解得 ，当且仅当 即 时取“=”号，故 的取值围是 。
又 ，当且仅当 即 时取“=”号，故 的取值围是
解法二：
由 ， 知 ，
则 ，由 ，则：
，当且仅当 ，并求得 时取“=”号，故 的取值围是 。
，当且仅当 ，并求得 时取“=”号，故 的取值围是 。
分析 本题也是三元式的最值问题.由题意得 ，则可对 进行消元，用 表示，即变为二元式，然后可利用均值不等式解决问题.
练习：1、试填写两个正整数，满足条件 ，且使这两个正整数的和最小。
2、试分别求： ； 最大值。
3、求 最小值。
总之，利用均值不等式求最值的方法多样，而且变化多端，要掌握常见的变形技巧，掌握常见题型的求解方法，加强训练、多多体会，才能达到举一反三的目的。
解 由 ，得 ， .
取倒数，得
当且仅当 ，即 时，取等号.
故 的最小值是 .
5、 平方
例5 已知 且 求 的最大值.
分析 条件式中的 与 都是平方式，而所求式中的 是一次式， 是平方式但带根号.初看似乎无从下手，但若把所求式 平方，则解题思路豁然开朗，即可利用均值不等式来解决.
当且仅当 ，即 ， 时，等号成立.