高中数学选修2-1优质课件2：3.1.3 空间向量的数量积运算
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(高中数学选修2-1)空间向量的数量积运算课件课件
复习回顾：
1.共线向量定理： 空间中任意两个向量a , b(b 0)共线（ a b ）
的充要条件是存在实数 ，使得a = b 2.共线向量定理的推论： (1)若直线l过点A且与向量 a 平行，则 点P在直线l上 OP OA ta
(2)三点P、A、B共线的充要条件有：
①.存在实数t , 使得 AP t AB, 即AP / / AB ②.存在实数t , 使得OP OA t AB
a
a
பைடு நூலகம்
b
o
b
B
0 a , b
关键是 起点相 同！
当 a, b 0时, a与b同向. 2 当 a, b 时, a与b反向. OA, OB> OB, OA OA, OB OA, OB
1
定义：如果 a ，b ，则称向量 a 与 b 互相 2 垂直，记作 a b .
2 2 2 2
法一:发现
法二:由 ∴
a b a 2a b b a b a 2a b b
2 2
代入求得 得
a b =-2.
ab 1
法三:数形结合法,发现形的特殊性.
3.(课本第92页第3题)已知线段AB、BD在平面 内,BD⊥AB,线段AC ⊥ ,如果AB＝a,BD＝b, AC＝c,求C、D间的距离. 解：∵
4. 空间向量数量积运算律
⑴
a b b a
（交换律）
（数乘结合律） ⑵ (a) b (a b ) a (b ) ⑶
a (b c ) a b a c （分配律）
(a b) c a (b c)
1.共线向量定理： 空间中任意两个向量a , b(b 0)共线（ a b ）
的充要条件是存在实数 ，使得a = b 2.共线向量定理的推论： (1)若直线l过点A且与向量 a 平行，则 点P在直线l上 OP OA ta
(2)三点P、A、B共线的充要条件有：
①.存在实数t , 使得 AP t AB, 即AP / / AB ②.存在实数t , 使得OP OA t AB
a
a
பைடு நூலகம்
b
o
b
B
0 a , b
关键是 起点相 同！
当 a, b 0时, a与b同向. 2 当 a, b 时, a与b反向. OA, OB> OB, OA OA, OB OA, OB
1
定义：如果 a ，b ，则称向量 a 与 b 互相 2 垂直，记作 a b .
2 2 2 2
法一:发现
法二:由 ∴
a b a 2a b b a b a 2a b b
2 2
代入求得 得
a b =-2.
ab 1
法三:数形结合法,发现形的特殊性.
3.(课本第92页第3题)已知线段AB、BD在平面 内,BD⊥AB,线段AC ⊥ ,如果AB＝a,BD＝b, AC＝c,求C、D间的距离. 解：∵
4. 空间向量数量积运算律
⑴
a b b a
（交换律）
（数乘结合律） ⑵ (a) b (a b ) a (b ) ⑶
a (b c ) a b a c （分配律）
(a b) c a (b c)
人教版高中数学选修2-1(A版)课件：第三章 3.1 3.1.3空间向量的数量积运算 (共99张PPT)
世间最容易的事是坚持，最难的事也是坚持。要记住，坚持到底就是胜利。 没有热忱，世间便无进步。 只有不想做的，没有做不到的。 目标再远大，终离不开信念去支撑。 最好的投资就是投资自己，因为这是你唯一能确定只赚不赔的投资。 坚持把简单的事情做好就是不简单，坚持把平凡的事情做好就是不平凡。 如果你受苦了，感谢生活，那是它给你的一份感觉；如果你受苦了，感谢上帝，说明你还活着。人们的灾祸往往成为他们的学问。 缺乏明确的目标，一生将庸庸碌碌。 树立必信的信念，不要轻易说“我不行”。志在成功，你才能成功。 松软的沙滩上最容易留下脚樱钽也最容易被潮水抹去。 当你对于昨天不再耿耿于怀的时候，就是你开始过得幸福的时候。 没有哪一个聪明人会否定痛苦与忧愁的锻炼价值。 一个今天胜过两个明天。 你既认准这条路，又何必在意要走多久。
一定不要把别人都当傻子，事实上，所有你能遇到的人都比你聪明。如果你能抱着这样的心态为人处世，那么你的人脉会越来越宽，财富越 来越多，人生也就越来越好！ 愚痴的人，一直想要别人了解他。有智慧的人，却努力的了解自己。 用最少的浪费面对现在。
以解决自己的问题为目标，这是一个实实在在的道理，正视自己的问题，设法解决它，这是成功的捷径。谁能塌下心来把目光凝集在一个个 小漏洞、小障碍上，谁就先迈出了一大步。 那些尝试去做某事却失败的的人只能引为烧身，只有真正敢的人才能所向披靡。
高中数学选修2-1精品课件：3.1.3 空间向量的数量积运算
【训练2】 如图所示，正四面体
ABCD的每条棱长都等于a，点M，
N 分 别 是 AB ， CD 的 中 点 ， 求 证 ：
MN⊥AB，MN⊥CD. 证明 M→N·A→B＝M→B＋B→C＋C→N·A→B ＝M→B＋B→C＋12C→D·A→B ＝M→B＋B→C＋12A→D－12A→C·A→B ＝12a2＋a2cos 120°＋12a2cos 60°－12a2cos 60°＝0， 所以M→N⊥A→B，即 MN⊥AB.同理可证 MN⊥CD.
a，b 的夹角
记法
_〈_π_]__.当〈a，b〉＝π2时，a__⊥__b
【预习评价】 (正确的打“√”，错误的打“×”) (1)在△ABC 中，向量A→B与B→C的夹角为∠B.( ) (2)当非零向量 a 与 b 共线时，〈a，b〉＝0.( ) (3)向量A→B与A→C的夹角和向量B→A与C→A的夹角相同.( ) 提示 (1)向量A→B与B→C的夹角是 π－B. (2)当非零向量 a 与 b 共线时，其方向相同或相反，故 〈a，b〉＝0 或 π. (3) 向 量 A→B 与 A→C 的 夹 角 和 向 量 B→A 与 C→A 的 夹 角 互 为 对 顶 角，故相等. 答案 (1)× (2)× (3)√
(3)E→F·D→C＝12B→D·D→C＝12|B→D|·|D→C|·cos〈B→D，D→C〉 ＝12×1×1×cos 120°＝－14， 所以E→F·D→C＝－14； (4)B→F·C→E＝12(B→D＋B→A)·12(C→B＋C→A) ＝14[B→D·(－B→C)＋B→A·(－B→C)＋B→D·C→A＋B→A·C→A] ＝14[－B→D·B→C－B→A·B→C＋(C→D－C→B)·C→A＋A→B·A→C] ＝14－12－12＋12－12＋12＝－18.
数学：3.1.3《空间向量及其运算--数量积》课件(新人教a版-选修2-1)
M A AD DN
A
证明：因为 M N 所以
AB M N AB (M A AD DN ) AB M A AB AD AB DN
M
D B N C
1 2
a
2
1 4
a
2
1 4
a
2
0
MN AB
同理，M N
CD
3.已知空间四边形 O A B C
OA ，求证：
设 OA a , 则有向线段 已知空间两个向量 记作：a b , 即 a b a b cos a , b OA 的长度叫做向量 a的长度或模 , 记作： a
a , b，则 a b cos a , b 叫做向量
a , b的数量积，
注意： ①两个向量的数量积是数量，而不是向量. ②零向量与任意向量的数量积等于零。
4 3 5 2 ( 0 1 0 7 .5 ) 85
2
2
2
A
B
| A C |
85
BD 1.已知线段 A B 、B D 在平面 内，
A B ，线段 A C
，如果
C
AB a , BD b , AC c
，求 C 、D 之间的距离.
解：∵
| C D | (C A A B B D )
、典型例题
l
l
g
g n n m
m
例2：已知：在空间四边形OABC中，OA⊥BC， OB⊥AC，求证：OC⊥AB
证明：由已知
O
所以
OA B C ，OB AC
OA BC 0 , OB AC 0 OA ( OC OB ) 0
A
证明：因为 M N 所以
AB M N AB (M A AD DN ) AB M A AB AD AB DN
M
D B N C
1 2
a
2
1 4
a
2
1 4
a
2
0
MN AB
同理，M N
CD
3.已知空间四边形 O A B C
OA ，求证：
设 OA a , 则有向线段 已知空间两个向量 记作：a b , 即 a b a b cos a , b OA 的长度叫做向量 a的长度或模 , 记作： a
a , b，则 a b cos a , b 叫做向量
a , b的数量积，
注意： ①两个向量的数量积是数量，而不是向量. ②零向量与任意向量的数量积等于零。
4 3 5 2 ( 0 1 0 7 .5 ) 85
2
2
2
A
B
| A C |
85
BD 1.已知线段 A B 、B D 在平面 内，
A B ，线段 A C
，如果
C
AB a , BD b , AC c
，求 C 、D 之间的距离.
解：∵
| C D | (C A A B B D )
、典型例题
l
l
g
g n n m
m
例2：已知：在空间四边形OABC中，OA⊥BC， OB⊥AC，求证：OC⊥AB
证明：由已知
O
所以
OA B C ，OB AC
OA BC 0 , OB AC 0 OA ( OC OB ) 0
2019年高中人教A版数学选修2-1课件 3.1.3 空间向量的数量积运算 课件(16张)
a 对ab,于ba,向cc,量能若a得a,b到b=,bacc,,c由则吗b？= 如c.
果不能，请举出反例 .
不直能 时，，例有如a b 向量a ca ,而与未向必量有b,bc都c垂.
思考2.
对于三个均不为0的数a,b, c,
若ab c, 则 a
角线长都等于1，点E、F分别是AB、AD的中点。
计算： （1） EFBA (2)EFBD
A
(3)EFDC (4)EFAC
E
F
B
D
C
小结：空间两个非零向量 a 、b 的数量积 a b :
a b a b cos a,b a
也有下列三个重要性质：
2
2
b
① a | a |2 即 | a | a (求线段的长度);
是说，向量的数量积满足结
合律吗？
不成立，左边是一个与向量c 共 线的向量，右边是一个与向量 a 共 线的向量，而向量c 与 a 连是否共线 都是一个未知数.
1.已知 a 2 2 , b 2 , a b 2 , 2
则 a 与b 的夹角大,则 a 0, b 0 ( )
对于向量
a,
b,
c .(或b c )
b
若
a
b
k
a
能否
写成
a
k b
(或b
k a
)
?
也就是说
向量有除法吗？
不能，向量没有除法.
思考3.
对于三个均不为0的数 a, b, c,
若(ab)c
a(bc).
对于向量
a,
b,
c,
(a b)c a(b c)成立吗？也就
果不能，请举出反例 .
不直能 时，，例有如a b 向量a ca ,而与未向必量有b,bc都c垂.
思考2.
对于三个均不为0的数a,b, c,
若ab c, 则 a
角线长都等于1，点E、F分别是AB、AD的中点。
计算： （1） EFBA (2)EFBD
A
(3)EFDC (4)EFAC
E
F
B
D
C
小结：空间两个非零向量 a 、b 的数量积 a b :
a b a b cos a,b a
也有下列三个重要性质：
2
2
b
① a | a |2 即 | a | a (求线段的长度);
是说，向量的数量积满足结
合律吗？
不成立，左边是一个与向量c 共 线的向量，右边是一个与向量 a 共 线的向量，而向量c 与 a 连是否共线 都是一个未知数.
1.已知 a 2 2 , b 2 , a b 2 , 2
则 a 与b 的夹角大,则 a 0, b 0 ( )
对于向量
a,
b,
c .(或b c )
b
若
a
b
k
a
能否
写成
a
k b
(或b
k a
)
?
也就是说
向量有除法吗？
不能，向量没有除法.
思考3.
对于三个均不为0的数 a, b, c,
若(ab)c
a(bc).
对于向量
a,
b,
c,
(a b)c a(b c)成立吗？也就
人教版3空间向量的数量积运算-高中数学选修2-1() (共13张PPT)教育课件
电
:
那
你
的
第
一
口
罗
没
有
我
和
他
不
同
。
我
是
从
底
层
但
是
当
我
拍
完
但
是
我
年
轻
时
有
一
个
想
法
就
是
如
果
我
告
诉
你
怎
么
弄
–■
电
:
“
口
罗
部
爬
一
，
1
戏
有
上
来
的
我
个
5
分
钟
后
你
还
色
其
没
清
镜
没
有
楚 弄
有 怎
完 情
么
头
我
就
胆 运
不
怯
作
这
，
耐
烦
像
男
个
如
果
， 东 下
我
实
像
西
(
自
己
弄
费
电
影
一
五
分
钟
女
里
拍
个
就
弄
尼
摄
)
所
镜
完
所
以
最
是
拍 以
后
•
•
• 有些人经常做一些计划，有的计划几乎 不去做 或者做 了坚持 不了多 久。其 实成功 的关键 是做很 坚持。 上帝没 有在我 们出生 的时候 给我们 什么额 外的装 备，也 许你对 未来充 满迷惑 ，也许 你觉得 是在雾 里看花 ，但是 只要我 们不停 的去做 ，去实 践，总 是可以 走到一 个鲜花 盛开的 地方， 也许在 那个时 候，你 就能感 受到什 么叫柳 暗花明 。走向 成功的 过程就 好像你 的起点 是南极 ，而成 功路径 的重点 在北极 。那么 无论你 往哪个 方向走 ，只要 中途的 方向不 变，最 终都会 到达北 极，那 就在于 坚持。
高中数学人教A版选修2-1课件： 3.1.3 空间向量的数量积运算 课件
b
B
类比平面向量,你能说 出 a b 的几何意义吗?
如 图 A1B1 是 b 在 a 方 向上的射影向量.
(3)空间两个向量的数量积性质 显然,对于非零向量 a 、b , e 是单位向
量有下列性质:
① a e a cos a, e ；
②a b ab 0;
2
③ a a a 也就是说 a
OBOCOBOA 所以OAOCOBOC 0
(OAOB)OC 0
BAOC 0
所以 OC AB
巩固练习：利用向量知识证明三垂线定理
已知P： O ,PA 分别是平 的面 垂线，O斜是 A线 PA，
在内的射a影 ,， 且aOA
求证 a： PA
证明：在 a上取非零向量 a
2
2）两个向量的数量积 已 知 空 间 两 个 非 零 向 量 a 、b , 则
a b cosa, b 叫做 a 、b 的数量积,记作 a b .
即 a b a b cosa, b .
注:①两个向量的数量积是数量，而不是向量. ②规定:零向量与任意向量的数量积等于零.
A
a
A1
B1
2
a
.
注： 性质② 是证明两向量垂直的依据； 性质③是求向量的长度（模）的依据；
(4)空间向量的数量积满足的运算律
⑴(a) b (a b)
这些运算律
⑵ a b b a (交换律)
成立,说明数量积 不仅有用,而且运
⑶ a (b c) a b a c (分配律) 算 起 来 还 极 为 方
lm gn n
证明：在内作不与m、n重合的任一条 直线g,在l、m、n、g上取非零向
B
类比平面向量,你能说 出 a b 的几何意义吗?
如 图 A1B1 是 b 在 a 方 向上的射影向量.
(3)空间两个向量的数量积性质 显然,对于非零向量 a 、b , e 是单位向
量有下列性质:
① a e a cos a, e ；
②a b ab 0;
2
③ a a a 也就是说 a
OBOCOBOA 所以OAOCOBOC 0
(OAOB)OC 0
BAOC 0
所以 OC AB
巩固练习：利用向量知识证明三垂线定理
已知P： O ,PA 分别是平 的面 垂线，O斜是 A线 PA，
在内的射a影 ,， 且aOA
求证 a： PA
证明：在 a上取非零向量 a
2
2）两个向量的数量积 已 知 空 间 两 个 非 零 向 量 a 、b , 则
a b cosa, b 叫做 a 、b 的数量积,记作 a b .
即 a b a b cosa, b .
注:①两个向量的数量积是数量，而不是向量. ②规定:零向量与任意向量的数量积等于零.
A
a
A1
B1
2
a
.
注： 性质② 是证明两向量垂直的依据； 性质③是求向量的长度（模）的依据；
(4)空间向量的数量积满足的运算律
⑴(a) b (a b)
这些运算律
⑵ a b b a (交换律)
成立,说明数量积 不仅有用,而且运
⑶ a (b c) a b a c (分配律) 算 起 来 还 极 为 方
lm gn n
证明：在内作不与m、n重合的任一条 直线g,在l、m、n、g上取非零向
数学：3.1.3《空间向量及其运算--数量积》课件(新人教a版-选修2-1)
3.如图：已知空间四边形 ABCD的每条边和对角线长都 等于1，点E、F 分别是AB、AD的中点。 计算： （ 1 ） EF BA (2) EF BD (3) EF DC (4) EF AC
A E B C
F
D
三
、典型例题
例1：已知m,n是平面内的两条相交直线，直线l与的交点为B，且 l⊥m，l⊥n，求证：l⊥ 分析：由定义可知，只需证l与平面内 任意直线g垂直。
O
A
a
例3 如图，已知线段 AB 在平面 内，线段 AC
DBD 30 ，如 ，线段 BD AB ，线段 DD ，
果 AB a , AC BD b ，求 C 、 D 之间的距离。
解：由 AC ，可知 AC AB .
C D b b a D'
B
e
A1 B1
l
A
注意： AB 是轴l上的正射影A1B1是一个可正可负的实数， 它的符号代表向量 AB 与l的方向的相对关系，大小代表 在l上射影的长度。
4)空间向量的数量积性质
对于非零向量 a , b ，有：
1) a e a cos a, e 2) a b a b 0 3) a a a
（a b) c a (b c)
二、 课堂练习
2 1.已知 a 2 2 , b , a b 2 2 则a , b所夹的角为________ .
2.判断真假： 1 ） 若a b 0, 则a 0, b 0 2) (a b) c a (b c) 3) p 2 q 2 ( p q) 2 4) p q p q p 2 q 2 ( ) ( ) ( ) ( )