郴州市高三数学第一次教学质量监测试题理
湖南省郴州市2024届高三上学期第一次教学质量监测试卷(10月)数学含答案
科目：数学（试题卷）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.4.考试时间为120分钟，满分为150分.5.本试题卷共5页.如缺页，考生须声明，否则后果自负.姓名__________.准考证号__________.郴州市2024届高三第一次教学质量监测试卷数学一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合{}(){}24,lg 1A xx B x y x =<==-∣∣，则A B ⋂=（ ）A.(]2,1-B.(]1,2C.()2,1-D.()0,22.已知复数32i -+是方程22120x x q ++=的一个根，则实数q 的值是（ ）A.0B.8C.24D.263.“k =是“直线20kx y -+=与圆221x y +=相切”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知向量,a b满足()2a b b -⋅= ，且()1,1b =- ，则向量a 在向量b 上的投影向量为（ ）A.()2,2B.()2,2-C.()1,1D.()1,1-5.设数列{}n a 满足(1122n n n a a a n +-=+≥且)*,n n N S ∈是前n 项和，且336,3S a ==，则20232023S =（ ）A.2024B.2023C.1012D.10116.有三个数：0.522,sin1,log 3a b c ===，大小顺序正确的是（ ）A.c a b >>B.a c b>>C.a b c >>D.b a c>>7.湖南第二届旅游发展大会于2023年9月15日至17日在郴州举行，为让广大学生知晓郴州，热爱郴州，亲身感受“走遍五大洲，最美有郴州”绿色生态研学，现有甲，乙两所学校从万华岩中小学生研学实践基地，王仙岭旅游风景区，雄鹰户外基地三条线路中随机选择一条线路去研学，记事件A 为“甲和乙至少有一所学校选择王仙岭中小学生研学实践基地”，事件B 为“甲和乙选择研学线路不同”，则()P BA =∣（ ）A.15 B.45 C.34 D.148.已知点12,F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左右焦点，点M 为椭圆E 上一点，点1F 关于12F MF ∠平分线的对称点N 也在椭圆E 上，若127cos 8F MF ∠=，则椭圆E 的离心率为（ ）二､多选题（共4个小题，每小题5分，计20分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9.下列说法正确的是（）A.若随机变量X 服从正态分布()23,X σ，且()40.7P X ≤=，则(34)0.2P ξ<<=B.一组数据10,11,11,12,13,14,16,18,20,22的第60百分位数为14C.若线性相关系数r 越接近1，则两个变量的线性相关性越强D.对具有线性相关关系的变量,x y ，其线性回归方程为ˆ0.3yx m =-，若样本点的中心为(),2.8m ，则实数m 的值是-410.已知函数()sin (02)3f x x πωω⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭向左平移6π个单位长度，得到函数()g x 的图像，若()g x 是偶函数，则（）A.()g x 的最小正周期为πB.点2,03π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 图像的一个对称中心C.()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦的值域为1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.函数()f x 在,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增11.定义在R 上的函数()f x 满足()()()()2,12,32f x f x f f x -==+为奇函数，函数()()g x x R ∈满足()()4g x g x =--，若()y f x =与()y g x =恰有2023个交点()()()112220232023,,,,,,x y x y x y ，则下列说法正确的是（ ）A.()20232f =B.1x =为()y f x =的对称轴C.()00f =D.()202314046iii x y =+=∑12.在圆锥SO 中，母线SA l =，底面圆的半径为r ，圆锥SO 的侧面积为3π，则（ ）A.当1r =时，则圆锥SOB.当32r =时，过顶点S C.当3l =时，圆锥SO 的外接球表面积为818πD.当3l =的正四面体在圆锥SO 内可以任意转动三､填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13.已知函数()()22sin xxf x a x -=-⋅是偶函数，则a =__________.14.在二项式12nx ⎫-⎪⎭的展开式中只有第4项二项式系数最大，则展开式中常数项为__________.15.已知双曲线221(0,0)x y m n m n -=>>和椭圆22143x y +=有相同的焦点，则41m n +的最小值为__________.16.若存在0a >，使得函数()23ln f x a x =与()2122g x x ax b =+-的图象有公共点，且在公共点处的切线也相同，则b 的最大值为__________.四､解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）17.（10分）在数列{}n a 中，n S 为数列{}n a 的前n 项和，且满足22n n S a +=.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若()()1211nn n n C a a +=--.求数列{}n C 的前n 项和n T .18.（12分）如图，在三棱柱中ADE BCF -，平面ABCD ⊥平面ABFE ，四边形ABCD 是矩形，四边形ABFE 是平行四边形，且4,2,AB BF BC ===，以AB 为直径的圆经过点F .（1）求证：BF ⊥平面ADF ；（2）求平面DEF 与平面ABCD 的夹角的余弦值.19.（12分）已知向量())sin ,1,,2a x b x ==-，函数()()f x a b a =+⋅.（1）若a∥b，求cos2x 的值；（2）已知ABC 为锐角三角形，,,a b c 为ABC 的内角,,A B C 的对边，2b =，且()12f A =，求ABC 面积的取值范围.20.（12分）已知函数()()212ln 212f x x ax a x =+-+.（1）若曲线()y f x =在()()1,1f 处切线与x 轴平行，求a ；（2）若()f x 在2x =处取得极大值，求a 的取值范围.21.（12分）随着春季学期开学，郴州市市场监管局加强了对学校食堂食品安全管理，助力推广校园文明餐桌行动，培养广大师生文明餐桌新理念，以“小餐桌”带动“大文明”，同时践行绿色发展理念.郴州市某中学食堂每天都会提供A ，B 两种套餐供学生选择（学生只能选择其中的一种），经过统计分析发现：学生第一天选择A 套餐的概率为23，选择B 套餐的概率为13.而前一天选择了A 套餐的学生第二天选择A 套餐的概率为14，选择B 套餐的概率为34；前一天选择B 套餐的学生第二天选择A 套餐的概率为12，选择B 套餐的概率也是12，如此往复.记同学甲第n 天选择B 套餐的概率为n P .（1）求同学甲第二天选择B 套餐的概率；（2）证明：数列35n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列；（3）从该校所有学生中随机抽取100名学生统计第二天选择去A 餐厅就餐的人数X ，用()P X k =表示这100名学生中恰有k 名学生选择去A 餐厅就餐的概率，求()P X k =取最大值时对应的k 的值.22.（12分）已知点(1,E -在抛物线2:2(0)C y px p =>上，A B ､为抛物线C 上两个动点，AB 不垂直x 轴，F 为焦点，且满足8AF BF +=.（1）求p 的值，并证明：线段AB 的垂直平分线过定点；（2）设（1）中定点为M ，当ABM 的面积最大时，求直线AB 的斜率k .郴州市2024届高三第一次教学质量监测试卷数学参考答案及评分细则一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1-5CDABC6-8ABC二､多选题（共4个小题，每小题5分，计20分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9.ACD10.BC11.BCD12.AC三､填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13.1 14.154 15.9 16.2332e 四､解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）17.解：（1）当1n =时，1122a a +=，解得12a =.当2n ≥时，()111122222n n n n n n n n S a S S a a S a ----+=⎫⇒-=-⎬+=⎭即()12n n n a a a -=-，所以()122nn a n a -=≥.所以{}n a 是以12a =为首项，以2为公比的等比数列.故2nn a =.（2）1112121n n n C +=--- ，111111113372121n n n T +⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭11121n n T +∴=--18.解答分析（1）因为以AB 为直径的圆经过点F ，所以AF BF ⊥.因为四边形ABCD 为矩形，所以AD AB ⊥，因为平面ABCD ⊥平面ABFE ，平面ABCD ⋂平面ABFE AB =，AD ⊂平面ABCD ，所以AD ⊥平面ABFE .因为BF ⊂平面ABFE ，所以AD BF ⊥，又因为AF ⊂平面,ADF AD ⊂平面,,,ADF AF AD A AF AD ⋂=⊂平面ADF ，所以BF ⊥平面ADF ，（2）因为AD ⊥平面ABFE ，又因为AF ⊂平面,ABFE AE ⊂平面ABFE ，所以,AD AE AD AF ⊥⊥，又因为AE ∥BF ，所以AF AE ⊥，则AD AE AF ､､两两互相垂直，以点A 为原点，AE 为x 轴，AF 为y 轴，AD 为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.因为4,2,AB BF BC ===，所以AD =，所以在Rt AFB 中，由勾股定理得AF ===，则点()(()0,0,0,0,0,,0,A D F ，()(2,,2,B C --则()(2,,2,0,DC CF =-=-，(()0,0,,2,AD AB ==-.设平面ABCD 的法向量为()111,,m x y z =，平面DEF 的法向为()222,,n x y z =则得1221122020,2020x x x ⎧⎧=-+=⎪⎪⎨⎨-+=-=⎪⎪⎩⎩取)),(10m n ==分)设平面DEF 与平面ABCD 的夹角为θ，则cos m n m n θ⋅=== 所以平面DEF 与平面ABCD19.解（1）a∥,2sin b x x =-，则tan x =；22222231cos sin 1tan 14cos23sin cos 1tan 714x x x x x x x ---====+++，（2）()2sin cos 1f x x x x =-1cos21111cos2sin 222262x x x x x π-⎛⎫=+-=--=-- ⎪⎝⎭()12262f A A ππ=∴-=，即3A π=；因为sin sin c b C B =，所以2sin sin C c B=，133sin 2sin 2tan ABCB S bc A B Bπ⎛⎫+ ⎪⎝⎭====+ 因为ABC 为锐角三角形，所以0,220,32B B πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩解得62B ππ<<，则tan B >32tan B<+<，即ABC 面积的取值范围为20.解：（1）()()()()()221212221ax a x ax x f x ax a x x x '-++--=+-+== 曲线()y f x =在()()1,1f 处切线与x 轴平行，()()()112101a f --'∴==，解得()151.130,122a f a ==-=-≠∴=.（2）()f x 的定义域为()0,∞+.①当0a =时，令()0f x '<得2x >，令()0f x '>得02x <<.()f x ∴在()0,2上单调递增，在()2,∞+上单调递减.()f x ∴在2x =处取得极大值.②当0a <时，令()0f x '<得2x >，令()0f x '>得02x <<.()f x ∴在()0,2上单调递增，在()2,∞+上单调递减.()f x ∴在2x =处取得极大值.③当0a >时，（i ）当12a =时，()()12,0,f x f x a '=≥∴在()0,∞+上单调递增，()f x 无极值，不符合题意.（ii ）当12a >时，12a <，令()0f x '<得12x a<<，令()0f x '>得10x a<<或2x >.()f x ∴在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,2a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在()2,∞+上单调递增.()f x ∴在2x =处取得极小值，不符合题意.（iii ）当102a <<时，12a >，令()0f x '<得12x a<<，令()0f x '>得02x <<或1x a>.()f x ∴在()0,2上单调递增，在12,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递增.()f x ∴在2x =处取得极大值.综上所述，a 的取值范围为1,2∞⎛⎫- ⎪⎝⎭.21.解（1）设1B =“第1天选择B 套餐”，2B =“第2天选择B 套餐”，则1B =“第1天不选择B 套餐”.根据题意()()()()1121212113,,,3324P B P B P B B P B B ====∣∣.由全概率公式，得()()()()()21211211123232343P B P B P B B P B P B B =+=⨯+⨯=∣∣.（2）设n B =“第n 天选择B 套餐”，则()(),1n n n n P P B P B P ==-，根据题意()()1113,24n n n n P B B P B B ++==∣∣.由全概率公式，得()()()()()()111113124n n n n n n n n n n P P B P B P B B P B P B B P P ++++==+=+-∣∣1344n P =-+因此1313545n n P P +⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭.因为1340515P -=-≠，所以35n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以415-为首项，14-为公比的等比数列.（3）第二天选择A 类套餐的概率2111134323A P =⨯+⨯=由题意可得，同学甲第二天选择A 类套餐的概率为13，则不选择A 类套餐的概率为23所以1100,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭∽，即有()10010012,0,1,2,,10033k kk P X k C k -⎛⎫⎛⎫==⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当()P X k =取最大值时，则()()()()11P X k P X k P X k P X k ⎧=≥=+⎪⎨=≥=-⎪⎩，即1001991100100100110111001001212333312123333k k k kk k k k k kk k C C C C -+-+----⎛⎫⎛⎫⎛⎪⎫⎛⎫⋅≥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅≥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎝⎧⎭⎪⎪⎨⎭⎝⎭⎝⎪⎩⎭解得32.633.6k ≤≤，且k N ∈，所以33k =.22.（1）由题意可知，将点(1,E -代入抛物线方程，可得2(21p -=⨯，解得4p =，则抛物线方程为28y x=设直线AB 的方程为：()()1122,,,,y kx m A x y B x y =+，联立方程：()22222808y kx mk x km x m y x=+⎧⇒+-+=⎨=⎩()2222(28)464101km k m k k =--=->⇒<- 或1k >由韦达定理得：212122282,km m x x x x k k-+==根据抛物线定义：124482AF BF x x m k k+=++=⇒=-设AB 的中点坐标为()00,x y ，则120002,22x x x y kx m k m +===+=+，AB ∴的垂直平分线方程为：()122y k m x k--=--，将42m k k =-代入整理得：()16y x k=--故AB 的垂直平分线过定点()6,0.由（1）得AB =.点M 到直线AB的距离d ABM的面积为12S AB d =⋅=()222222461256121112561k k k S k k k k ⎛⎫-++ ⎪⎛⎫⎝⎭==+-- ⎪⎝⎭，设()2321,1(01)t f t t t t t k ==+--<<，则()2123f t t t '=--令()1003f t t >⇒<<'，令()1013f t t '<⇒<<()f x ∴在10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减。
湖南省郴州市高三数学第一次教学质量监测试题 理
郴州市2016届高三第一次质量检测数学试题（理科）一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分。
1．已知z 是纯虚数，21iz ＋－是实数, 那么z 等于（ D ） A. 2i B. i C. －i D. －2i 2．已知命题p,q ，则“p ⌝为假命题”是“p q ∧是真命题”的（B ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是32，则正视图中的x 的值是（ C ）A.2B. 3C.32 D. 924、执行如图所示的程序框图，输出的S 的值为30，则输入的n 为（ C ）A. 2B. 3C. 4D. 55. 已知函数2sin(2)(||)2y x πϕϕ=+<的图象经过点(0,－1),则该函数的一个单调递增区间为（ A ）6. 一个三位自然数abc 的百位，十位，个位上的数字依次为a ，b ，c ，当且仅当a ＞b 且c ＞b 时称为“凹数”。
若a ，b ，c ∈ {4,5,6,7,8}，且a ，b ，c 互不相同，任取一个三位数abc ，则它为“凹数”的概率是( D )A 、23 B. 、25 C. 、16 D. 、137．要得到函数f (x)=sin2x 的导函数 f ′ (x)的图象，只需将f (x)的图象（ D ）A ．向左平移2π个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变） B ．向左平移2π个单位，再把各点的纵坐标缩短到原来的12倍（横坐标不变）C ．向左平移4π个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的12倍（横坐标不变）D ．向左平移4π个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）8. 对一批产品的长度(单位：mm)进行抽样检测，下图为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间[20,25)上的为一等品，在区间[15,20)和区间[25,30)上的为二等品，在区间[10,15)和[30,35)上的为三等品．用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取一件，则其为二等品的概率为( D )A ．0.09B ．0.20C ．0.25D ．0.459．已知双曲线C ：22221x y a b-=的焦距为10, 点P(－2,1）在C 的一条渐近线上，则双曲线C 的方程为 ( A )A.221205x y -= B. 221520x y -= C. 2218020x y -= D. 2212080x y -= 10．已知e 是自然对数的底数，函数f (x)＝e x+ x －2的零点为a ，函数 g(x)＝lnx ＋x －2的零点为，则下列不等式成立的是（ C ）A ．f （1）＜f （a ）＜f （b ）B ．f （a ）＜f （b ）＜f （1）C ． f （a ）＜f （1）＜f （b ）D ．f （b ）＜f （1）＜f （a ）11. 若(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)5＝a 0＋a 1(1－x)＋a 2·(1－x)2＋…＋a 5(1－x)5，则a 1＋a 2+a 3＋a 4 +a 5等于( C )A. 5B. 62C. －57D. －5612.已知定义在R 上的偶函数f (x)满足f (x ＋4)＝f (x)＋f (2)，且当[0,2]x ∈时，()y f x =单调递减，给出以下四个命题：①f (2)＝0； ②()y f x =在［8,10］单调递增；③ x=4为函数()y f x =图象的一条对称轴； ④若方程()f x m =在［－6，－2］上的两根为12,x x ，则128x x +=-以上命题中不正确命题的序号为 ( B )A. ①B. ②C. ③D. ④第II 卷（非选择题 共90分）二、填空題:本大题共4小题,每小题5分，共20分.13. 设,x y 满足约束条件1310x x y ≤≤⎧⎨-≤-≤⎩，则z =y x 的最大值为 .14. 如图，在边长为e （e 为自然对数的底数）的正方形中随机取一点，则它取自阴影部分的概率 为15. 已知⊙M ：224410x y x y +---=及圆外一点P(5,5)，过P 点作⊙M 的切线PA ，PB ，切点分别为A, B ，则弦AB 的长为16. 对于两个实数a,b ，min{a,b}表示a,b 中的较小数. 设f (x)= min{x ，1x}（x ＞0），则不等式f (x)≥4log 2的解集是三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17．(本小题满分10分) 在数列{}n a 中，前n 项和为n S ，且(1)2n n n S +=（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设2nn n a b =，求数列{}n b 的前项和n T ≤。
湖南省郴州市2024届高三一模数学试题
一、单选题二、多选题1. 下列函数中，为奇函数的是（ ）A．B．C．D．2. 设α,β为不重合的平面,m,n 为不重合的直线,则下列命题正确的是( )A ．若,,则B ．若,则C ．若,则D ．若,则3. 已知抛物线的焦点为，直线与该抛物线交于A ，B两点，则（ ）A ．4B．C ．8D．4. 已知a，，，，则（ ）A．B．C．D．5. 已知M ，N 均为R的子集，且，则（ ）A．B ．MC ．ND ．R6. 若M ，N 为圆上任意两点，P 为直线上一个动点，则的最大值是（ ）A．B．C．D．7.已知数列的前项和为，，若对任意的恒成立，则实数的取值范围为（ ）A．B．C．D．8.函数是A ．最小正周期为的奇函数B ．最小正周期为的奇函数C ．最小正周期为的偶函数D ．最小正周期为的偶函数9.已知复数满足，，x ，，，所对应的向量分别为，，其中O 为坐标原点，则（ ）A．的共轭复数为B ．的虚部为iC ．若，则D ．若，则10. 已知函数，则（ ）A．若函数的图象关于直线对称，则的值可能为3B ．若关于x的方程在上恰有四个实根，则的取值范围为C．若函数的图象向右平移个单位长度，再向下平移B 个单位长度，得到的函数为奇函数，则的最小值是1D ．若函数在区间上单调，则11. 已知O 为坐标原点，过点的直线l与圆交于A ，B 两点，M 为A ，B 的中点，下列选项正确的有（ ）A ．直线l 的斜率k的取值范围是B ．点M 的轨迹为圆的一部分C ．为定值D ．为定值湖南省郴州市2024届高三一模数学试题湖南省郴州市2024届高三一模数学试题三、填空题四、解答题12.已知等差数列的前项和为，则（ ）A．数列可能是等差数列B ．数列一定是等差数列C．D．13.如图，在正方体中，，若为棱上动点，为线段上的点，且，若与平面所成角的正切值为，则三棱锥的外接球表面积为______．14. 已知实数，满足：，，且，则的最小值为______．15. 已知是定义在上的函数，其导函数为，，且时，，则不等式的解集为___________.16. 已知，函数.(1)当时，求的单调递增区间；(2)若在区间上单调，求的取值范围.17. 区块链技术被认为是继蒸汽机、电力、互联网之后下一代颠覆性的核心技术.区块链作为构造信任的机器，将可能彻底改变整个人类社会价值传递的方式.某5G 科技公司对2020年1月份至6月份某款5G 产品的销售量及销售单价进行了调查，销售单价和销售量之间的一组数据如下表所示：月份123456月销售单价（百元）98.88.68.48.28月销售量（万件）687580838490（1）由散点图可知变量，具有线性相关关系，根据1至6月份的数据，求出关于的回归直线方程；（2）预计在今后的销售中，月销售量与月销售单价仍然服从（1）中的关系，若该种产品的成本是350元/件，那么该产品的月销售单价应定为多少元才能获得最大月利润?（注：利润=销售收入－成本）参考公式和数据：，，其中，.18. 已知定义域为的函数满足如下条件：①对任意的，总有；②；③当，，时，恒成立．已知正项数列满足，且，，令(1)求数列，的通项公式；(2)若，求证：（）．19. 在平面直角坐标系中，已知椭圆的焦距为2，离心率为，椭圆的右顶点为．（1）求该椭圆的方程；（2）过点作直线交椭圆于两个不同点，，求证：直线，的斜率之和为定值．20. 春节的意义在于团圆与和谐，外出远行的人们会尽可能地回家过年，中国人口基数大，便有了春运这一独特的现象．为更准确了解返乡人流情况，以便有针对性地布署工作，某地交通管理部门调取了辖区内几个主要路口的监控录像，连续记录了第天（）同一时间段的外地返乡汽车数量的平均数，且与具有线性相关关系，其中，，．（1）求关于的线性回归方程，并预测第10天该时间段的汽车平均数．（2）为鼓励在外工作的人员回乡创业，当地政府推出一种“回乡创业优惠”宣传电话卡券，发放给所调查的部分返乡的外地车车主并进行抽奖活动，活动方案如下：车主需要从9张卡券中不放回地抽取3张，其中1张卡券的面额为500元，4张卡券的面额均为300元，另外4张卡券的面额均为100元，所抽到的3张卡券的金额之和即是该车主所获得的电话卡券的最终金额．求的分布列以及数学期望．参考公式：，．21. 已知圆锥，，为底面圆的直径，，点在底面圆周上，且，在母线上，且，为中点，为弦中点.(1)求证：平面；(2)求四棱锥的体积.。
湖南省郴州市2019届高三第一次质量检测数学(理科)试题及答案
湖南省郴州市2019届高三第一次质量检测数学（理）试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.如果仝集，，3，，则A. B. C. D.2.设，则z的虚部是A. B. C. D.3.已知，则A. B. C. D.4.如图是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩茎叶图，第1次到14次的考试成绩依次记为，，如图是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图那么算法流程图输出的结果是A. 7B. 8C. 9D. 105.已知函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，命题P：总存在，有；命题q：若函数在区间上有，则p是q的A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件6.一个几何体的三视图如图所示，其中主视图中是边长为1的正三角形，俯视图为正六边形，那么该几何体的侧视图的面积为A.B.C. 1D.7.已知函数，将图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位得到的图象，若为偶函数，则的一个值为A. B. C. D.8.如图所示，三国时代数学家赵爽在《周髀算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形阴影设直角三角形有一内角为，若向弦图内随机抛掷500颗米粒大小忽略不计，取，则落在小正方形阴影内的米粒数大约为A. 134B. 67C. 200D. 2509.将边长为的正方形ABCD沿对角线BD折起，则三棱锥的外接球体积为A. B. C. D.10.在中三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，则角C的大小是A. 或B.C.D.11.已知椭圆的左右焦点分别为，，过左焦点作斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，AB的中点是P，O为坐标原点，若直线OP的斜率为，则b的值是A. 2B.C.D.12.若函数的图象和直线有四个不同的公共点，则实数的取值范围是A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设x、y满约束条件，则的最小值是______．14.如果的展开式中各项系数之和为256，则展开式中的系数是______．15.如图所示，已知点G是的重心，过点G作直线分别交AB，AC两边于M，N两点，且，，则的最小值为______．16.已知点，分别是双曲线C：的左右两焦点，过点的直线l与双曲线的左右两支分别交于A，B两点，若是以为顶角的等腰三角形，其中，则双曲线离心率e的取值范围为______．三、解答题（本大题共7小题，共70.0分）17.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，三边a，b，c成等比数列，且面积为1，在等差数列中，公差为b．Ⅰ求数列的通项公式；Ⅱ数列满足，设为数列的前n项和，求的取值范围．18.我市正在创建全国文明城市，某高中为了解学生的创文知晓率，按分层抽样的方法从“表演社”、“演讲社”、“围棋社”三个活动小组中随机抽取了6人进行问卷调查各活动小组人数统计如图：Ⅰ从参加问卷调查的6名学生中随机抽取2名，求这2名学生来自同一小组的概率；Ⅱ从参加问卷调査的6名学生中随机抽取3名，用X表示抽得“表演社”小组的学生人数，求X的分布列以及数学期望．19.如图，在三棱锥中，底面是边长为4的正三角形，，底面ABC，点E，F分别为AC，PC的中点．Ⅰ求证：平面平面PAC；Ⅱ在线段PB上是否存在点G，使得直线AG与平面PBC所成的角的正弦值为？若存在，确定点C 的位置；若不存在，请说明理由．20.已知抛物线C：的焦点为F，准线为l，抛物线C上存在一点P，过点P作，垂足为M，使是等边三角形且面积为．Ⅰ求抛物线C的方程；Ⅱ若点H是圆O：与抛物线C的一个交点，点，当取得最小值时，求此时圆O的方程．21.设函数．Ⅰ若恒成立，求a的取值范围；Ⅱ对函数图象上任意两个点，，，设直线AB的斜率为其中为函数的导函数，证明：．22.在直角坐标系xOy中，直线的参数方程为为参数以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，两直线和相交于点P．Ⅰ求点P的直角坐标：；Ⅱ若Q为圆C：为参数上任意一点，试求的范围．23.已知函数Ⅰ求函数的值域；Ⅱ若，使成立，求a的取值范围．湖南省郴州市2019届高三第一次质量检测数学（理）试题（解析版）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）24.如果仝集，，3，，则A. B. C. D.【答案】C【解析】解：，且，且；．故选：C．进行补集、交集的运算即可．考查描述法、列举法的定义，以及交集和补集的运算．25.设，则z的虚部是A. B. C. D.【答案】D【解析】解：，则z的虚部为，故选：D．根据复数的运算法则进行计算即可．本题主要考查复数的运算，结合复数的运算法则是解决本题的关键．26.已知，则A. B. C. D.【答案】A【解析】解：，即，和同号．则．故选：A．由，即，可知和同号，则答案可求．本题考查了三角函数值的符号，是基础题．27.如图是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩茎叶图，第1次到14次的考试成绩依次记为，，如图是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图那么算法流程图输出的结果是A. 7B. 8C. 9D. 10【答案】B【解析】解：分析程序中各变量、各语句的作用根据流程图所示的顺序，可知该程序的作用是累计14次考试成绩大于等于90分的次数．根据茎叶图可得超过90分的次数为8，故选：B．该程序的作用是累加14次考试成绩大于等于90分的人数，由此利用茎叶图能求出结果．本题考查循环结构以及茎叶图，解决此类问题的关键是弄清算法流程图的含义，解题时要认真审题，注意茎叶图性质的合理运用，是基础题．28.已知函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，命题P：总存在，有；命题q：若函数在区间上有，则p是q的A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】解：根据零点存在定理，可得在区间上的连续不断的函数，存在，使时，不一定成立；若，则函数在区间上存在零点，即存在，使．是q的必要不充分条件．故选：C．根据零点存在定理及充要条件的定义即可判断答案．本题考查零点存在定理，考查充要条件的判定，是基础题．29.一个几何体的三视图如图所示，其中主视图中是边长为1的正三角形，俯视图为正六边形，那么该几何体的侧视图的面积为A.B.C. 1D.【答案】A【解析】解：由几何体的三视图知，该几何体正六棱锥，且正六棱锥的底面边长为，高为；该几何体的侧视图是，如图所示；则侧视图的面积为．故选：A．由三视图知该几何体正六棱锥，结合图中数据求出该正六棱锥的侧视图的面积．本题考查了几何体三视图的画法与应用问题，是基础题．30.已知函数，将图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位得到的图象，若为偶函数，则的一个值为A. B. C. D.【答案】B【解析】解：函数，将图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，可得的图象，再向右平移个单位得到的图象，若为偶函数，则，，则的一个值为，故选：B．利用函数的图象变换规律求得的解析式，再根据三角函数的奇偶性求得的值．本题主要考查函数的图象变换规律，三角函数的奇偶性，属于基础题．31.如图所示，三国时代数学家赵爽在《周髀算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形阴影设直角三角形有一内角为，若向弦图内随机抛掷500颗米粒大小忽略不计，取，则落在小正方形阴影内的米粒数大约为A. 134B. 67C. 200D. 250【答案】B【解析】解：设大正方形的边长为1，则小直角三角形的边长为，，则小正方形的边长为，小正方形的面积则落在小正方形阴影内的米粒数大约为，故选：B．根据几何概型的概率公式求出对应面积之比即可得到结论．本题主要考查几何概型的概率的应用，求出对应的面积之比是解决本题的关键．32.将边长为的正方形ABCD沿对角线BD折起，则三棱锥的外接球体积为A. B. C. D.【答案】C【解析】解：易知和都是公共斜边BD的两个等腰直角三角形，且，设BD的中点为点O，则，所以，点O为三棱锥的外接球的球心，BD为该三棱锥外接球的直径，设该球的半径为R，则．因此，三棱锥的外接球的体积为．故选：C．由已知条件得知和都是公共斜边BD的两个等腰直角三角形，于是得出BD即为三棱锥的外接球的直径，可得出球的半径，再利用球体的体积公式可得出答案．本题考查球的体积的计算，解决本题的关键在于找出三棱锥外接球的直径，考查计算能力，属于中等题．33.在中三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，则角C的大小是A. 或B.C.D.【答案】A【解析】解：由，得，则，则，由，得，即，即，即，即，则，则，则，即或，即或，故选：A．由余弦定理先求出A的大小，结合正弦定理以及两角和差的正弦公式进行转化求解即可．本题主要考查解三角形的应用，根据余弦定理以及正弦定理进行转化求解是解决本题的关键考查学生的计算能力．34.已知椭圆的左右焦点分别为，，过左焦点作斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，AB的中点是P，O为坐标原点，若直线OP的斜率为，则b的值是A. 2B.C.D.【答案】D【解析】解：设，，，可得，，作差可得，代入，，，可得，解得．故选：D．设，，，运用中点坐标公式和椭圆方程，作差，以及直线的斜率公式，解方程即可得到所求值．本题考查椭圆的方程和运用，考查点差法注意运用直线的斜率、中点坐标公式，考查方程思想和运算能力，属于中档题．35.若函数的图象和直线有四个不同的公共点，则实数的取值范围是A. B. C. D.【答案】D【解析】解：当时，由得，得，当时，由得，此时时方程的一个根，当时，，设，当时，，由得得，得此时函数为增函数，由得得，得，此时函数为减函数，即当时，取得极小值，当时，，作出的图象如图：要使与直线有四个不同的公共点，等价为与有3个不同的交点，则a满足或，即实数a的取值范围是，故选：D．根据分段函数的表达式，先得到是与的一个根，利用参数分离法构造函数，得到与有三个不同的交点，利用数形结合进行求解即可．本题主要考查函数与方程的应用，根据参数分离法，结合函数的导数，研究函数的图象，利用数形结合是解决本题的关键综合性较强，难度较大．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）36.设x、y满约束条件，则的最小值是______．【答案】【解析】解：由x、y满约束条件作出可行域如图，联立，解得，化目标函数为，由图可得，当直线过点时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为．故答案为：．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．37.如果的展开式中各项系数之和为256，则展开式中的系数是______．【答案】252【解析】解：令，可得的展开式中各项系数之和为，，，它的展开式的通项公式为，令，可得，则展开式中的系数为，故答案为：252．由题意利用二项式系数的性质求得，再利用二项展开式的通项公式，求得展开式中的系数．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．38.如图所示，已知点G是的重心，过点G作直线分别交AB，AC两边于M，N两点，且，，则的最小值为______．【答案】【解析】解：是的重心，，又，，，G，N三点共线，，，故答案为：．首先利用M，N，G三点共线得到x，y的关系式，再巧用不等式求最值．此题考查了三点共线，不等式等，难度适中．39.已知点，分别是双曲线C：的左右两焦点，过点的直线l与双曲线的左右两支分别交于A，B两点，若是以为顶角的等腰三角形，其中，则双曲线离心率e的取值范围为______．【答案】【解析】解：是以为顶角的等腰三角形，A在左支上，B在右支上，其中设，可得，设，则由双曲线的定义可得，即，即有，在中，由余弦定理可得，，解得．故答案为：由题意设，可得，设，则由双曲线的定义可得，即有，在中，运用余弦定理和诱导公式，以及离心率公式，解不等式即可得到e的范围．本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查余弦定理和诱导公式的运用，以及正弦函数的图象和性质，考查化简整理的运算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共7小题，共70.0分）40.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，三边a，b，c成等比数列，且面积为1，在等差数列中，公差为b．Ⅰ求数列的通项公式；Ⅱ数列满足，设为数列的前n项和，求的取值范围．【答案】解：Ⅰ，三边a，b，c成等比数列，且面积为1，可得，，即，即，可得数列的通项公式为，；Ⅱ，则，由数列为递增数列，可得，且，则．【解析】Ⅰ由等比数列的中项性质和三角形的面积公式可得，再由等差数列的通项公式可得所求；Ⅱ求得，由数列的裂项相消求和，以及数列的单调性和不等式的性质，即可得到所求范围．本题考查三角形的面积公式和等差数列的通项公式和等比数列中项性质，考查数列的裂项相消求和，考查运算能力，属于中档题．41.我市正在创建全国文明城市，某高中为了解学生的创文知晓率，按分层抽样的方法从“表演社”、“演讲社”、“围棋社”三个活动小组中随机抽取了6人进行问卷调查各活动小组人数统计如图：Ⅰ从参加问卷调查的6名学生中随机抽取2名，求这2名学生来自同一小组的概率；Ⅱ从参加问卷调査的6名学生中随机抽取3名，用X表示抽得“表演社”小组的学生人数，求X的分布列以及数学期望．【答案】解：Ⅰ由条件得表演社、演讲社、围棋社分别有45人，30人，15人，从中按分层抽样的方法抽取6人，则三个小组分别抽取3人，2人，1人，从中抽取6人，则三个小组分别抽取3人，2人，1人，从中抽取2名，则这2名学生来自同一小组的概率为．Ⅱ的所有可能取值为0，1，2，3，，，，，的分布列为：．【解析】Ⅰ表演社、演讲社、围棋社分别有45人，30人，15人，从中按分层抽样的方法抽取6人，则三个小组分别抽取3人，2人，1人，从中抽取2名，利用互斥事件概率加法公式能求出这2名学生来自同一小组的概率．Ⅱ的所有可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和．本题考查概率的求法，考查离散型随机变量概率分布列、数学期望的求法，考查分层抽样、互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程能力，是中档题．42.如图，在三棱锥中，底面是边长为4的正三角形，，底面ABC，点E，F分别为AC，PC的中点．Ⅰ求证：平面平面PAC；Ⅱ在线段PB上是否存在点G，使得直线AG与平面PBC所成的角的正弦值为？若存在，确定点C的位置；若不存在，请说明理由．【答案】证明：Ⅰ，E为AC的中点，，又平面ABCP，面ABC，，，面PAC，面BEF，平面平面PAC．解：Ⅱ如图，由Ⅰ知，，点E，F分别为AC，PC的中点，，，，又，，EC，EF两两垂直，分别以EB，EC，EF为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则，，0，，2，，设，，，2，，4，，设面PBC的法向量y，，则，取，得，直线AG与平面PBC所成的角的正弦值为，，解得或舍，．线段PB上存在中点G，使得直线AG与平面PBC所成的角的正弦值为．【解析】Ⅰ推导出，，从而面PAC，由此能证明平面平面PAC．Ⅱ分别以EB，EC，EF为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出线段PB上存在中点G，使得直线AG与平面PBC所成的角的正弦值为．本题考查面面垂直的证明，考查线面有的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．43.已知抛物线C：的焦点为F，准线为l，抛物线C上存在一点P，过点P作，垂足为M，使是等边三角形且面积为．Ⅰ求抛物线C的方程；Ⅱ若点H是圆O：与抛物线C的一个交点，点，当取得最小值时，求此时圆O的方程．【答案】解：Ⅰ如图所示，等边的面积为，设其边长为a．所以，，，则．，．所以，抛物线C的方程为；Ⅱ解法一：设点H的坐标为．因为抛物线C的焦点为，．，．所以，．当且仅当，即当时，取得最小值．此时，点H的坐标为，则圆O的方程为；解法二：如下图所示，过点H作HN垂直于抛物线C的准线，垂足为点N，设，则．由抛物线的定义可得，所以，．结合图形可知，当取得最大值时，取得最小值．此时，直线HA与抛物线C相切，设直线HA的方程为．将该直线方程与抛物线C的方程联立得，得，解得，代回方程可得．于是得出点H的坐标为或，代入圆O的方程可得出圆O的方程为．【解析】Ⅰ由三角形的面积公式得出的边长为4，再利用锐角三角函数得出p的值，从而可得出抛物线C的方程；Ⅱ解法一是设点，计算出和的表达式，利用基本不等式求出的最小值，注意等号成立的条件求出的值，可得出点H的坐标，代入圆O的方程可求出圆O的方程；解法二是过点H作HN垂直于抛物线的定义得出，并设，利用取到最小值时，取到最大值，此时HA与抛物线相切，并设直线HA的方程为，将该直线方程与抛物线的方程联立，由得出m的值，进而得出点H的坐标，再将点P的坐标代入圆O的方程可得出圆O的方程．本题考查直线与抛物线的综合，考查抛物线的定义，解决本题的关键在于灵活使用数形结合的思想，属于中等题．44.设函数．Ⅰ若恒成立，求a的取值范围；Ⅱ对函数图象上任意两个点，，，设直线AB的斜率为其中为函数的导函数，证明：．【答案】解：Ⅰ，，，解得：，，解得：，故在递减，在递增，故，由已知，解得：，故a的范围是；Ⅱ，，要证，只需证明，，只需证明，即证，令，，即证，也即证，设，，则，故F在递减，故F，即，从而．【解析】Ⅰ求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的最小值，得到关于a的不等式，解出即可；Ⅱ求出，问题转化为证，令，，即证，设，，根据函数的单调性证明即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查转化思想，换元思想，是一道综合题．45.在直角坐标系xOy中，直线的参数方程为为参数以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，两直线和相交于点P．Ⅰ求点P的直角坐标：；Ⅱ若Q为圆C：为参数上任意一点，试求的范围．【答案】解：Ⅰ直线的参数方程为为参数，直线的直角坐标方程为，直线的极坐标方程为，直线的直角坐标方程为，联立方程组，得，点P的直角坐标．Ⅱ圆C：为参数，圆C的普通方程为，圆心，其半径，，，的范围是．【解析】Ⅰ由直线的参数方程能求出直线的直角坐标方程，由直线的极坐标方程，能求出直线的直角坐标方程，联立方程组能求出点P的直角坐标．Ⅱ圆C的普通方程为，圆心，其半径，由此能求出的范围．本题考查点的直角坐标的求法，考查线段长的取值范围的求法，考查两线段积的求法，考查极坐标方程、参数方程、直角坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．46.已知函数Ⅰ求函数的值域；Ⅱ若，使成立，求a的取值范围．【答案】解：Ⅰ由题意得，当时，，故的值域是；Ⅱ，化为，故存在，使得成立，令，，得，故时，，故．【解析】Ⅰ求出的分段函数的形式，根据x的范围，求出对应的的范围，求出函数的值域即可；Ⅱ问题转化为成立，令，，根据函数的单调性求出a的范围即可．本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，转化思想，是一道常规题．。
湖南省郴州市2021届高三数学第一次教学质量监测(12月)试题 理(含解析)
湖南省郴州市2021届高三数学第一次教学质量监测（12月）试题 理（含解析）一、选择题：本大题共12小题．每小题有且只有一项是符合题目要求的． 1.设集合1222x A x⎧=≤<⎨⎩，{}ln 0B x x =≤，则A B =（ ） A. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ B. [)1,0-C. 1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭D. []1,1-【答案】A 【解析】 【分析】分别求出集合A 、B ，再根据交集的定义运算. 【详解】解：1222x A x ⎧=≤<⎨⎩，112A x x ⎧⎫∴=-≤<⎨⎬⎩⎭{}ln 0B x x =≤，{}01B x x ∴=<≤ 11|00,22A B x x ⎧⎫⎛⎫∴=<<=⎨⎬ ⎪⎩⎭⎝⎭故选：A【点睛】本题考查指数不等式、对数不等式以及交集的运算，属于基础题. 2.若复数11az i=--为纯虚数，则实数a =（ ）． A. 2- B. 1-C. 1D. 2【答案】D 【解析】 【分析】根据复数运算法则化简11az i=--，纯虚数，即实部为零，虚部不为零. 【详解】由题：(1)11111(1)(1)222a a i a ai a a z i i i i ++=-=-=-=-+--+为纯虚数，则10202aa ⎧-=⎪⎪⎨⎪≠⎪⎩解得：2a =.故答案为：D【点睛】此题考查复数的基本运算和概念辨析，需要注意熟练掌握运算法则，弄清相关概念，纯虚数必须实部为零且虚部不为零. 3.下列结论中正确的个数是（ ）．①在ABC 中，若sin 2sin 2A B =，则ABC 是等腰三角形； ②在ABC 中，若 sin sin A B >，则A B >③两个向量a ，b 共线的充要条件是存在实数λ，使b a λ= ④等差数列的前n 项和公式是常数项为0的二次函数． A. 0 B. 1C. 2D. 3【答案】B 【解析】 【分析】对每个命题逐一检验其正确性:①：若sin 2sin 2A B =，则22A B =或22A B π+=；②:转化为证明其逆否命题：在ABC 中，若A B ≤，则sin sin A B ≤，结合正弦函数单调性可证；③：若0,0a b =≠，不合命题的充要性，命题为假；④：常数列不合题意. 【详解】对于①：若sin 2sin 2A B =，则22A B =或22A B π+=，即A B =或2A B π+=即ABC 是等腰三角形或直角三角形，所以该命题不正确；对于②：证明其等价命题即其逆否命题：在ABC 中，若A B ≤，则sin sin A B ≤当02A B π<≤≤时，由正弦函数sin ,[0,]2y x x π=∈单调递增可得sin sin A B ≤；当2B ππ<<时，0,02A C A A C π<+<<<+，sin sin()sin A A C B <+=所以原命题成立，所以该命题正确；对于③：若0,0a b =≠，满足向量a ，b 共线，但不存在实数λ，使b a λ=，所以该命题不正确；对于④：常数列{}n a ，通项公式1n a =，其前n 项和公式n S n =不是二次函数，所以该选项不正确，综上：只有一个正确. 故选：B【点睛】此题考查对命题真假性的判断，涉及解三角形，向量，数列相关知识，此类问题涉及面广，考查全面，对综合能力要求较高.4.已知向量()2,3a =，()3,b m =，且a b ⊥，则向量a 在a b +方向上的投影为（ ） A. 26 1326 D. 13【答案】C 【解析】 【分析】根据a b ⊥得到0a b =即可求出m ，再根据()cos a a b a a bθ+=+求出a 在ab +方向上的投影. 【详解】解：()2,3a =，()3,b m =，且a b ⊥2330a b m ∴=⨯+=解得2m =-()3,2b ∴=- ()5,1a b ∴+=225126a b ∴+=+=()253113a a b ∴+=⨯+⨯= a ∴在a b +方向上的投影()26cos 26a ab a a bθ+===+故选：C【点睛】本题考查向量的数量积的坐标运算以及向量的数量积的几何意义，属于基础题.5.郴州市某校高一（10）班到井冈山研学旅行，决定对甲、乙、丙、丁这四个景馆进行研学体验，但由于是高峰期，景馆为高一（10）班调整了路线，规定不能最先去甲景馆研学，不能最后去乙景馆和丁景馆研学，如果你是该班同学，你能为这次愉快的研学旅行设计多少条路线（ ） A. 24 B. 18 C. 16 D. 10【答案】D 【解析】 【分析】分两种情况讨论：①最后去甲景馆研学，②最后去丙景馆研学，分别计算结果，再根据分类加法计数原理相加可得.【详解】解：规定不能最先去甲景馆研学，不能最后去乙景馆和丁景馆研学；故分两种情况讨论：①最后去甲景馆研学，则336A =种；②最后去丙景馆研学，则12224A A =种；根据分类加法计数原理可得一共有6410+=种方案. 故选：D【点睛】本题考查简单的排列组合问题，属于基础题. 6.函数cos y x x =+的大致图象是（ ）A. B.C. D.【答案】B 【解析】由于()()cos ,cos f x x x f x x x =+∴-=-+，()()f x f x ∴-≠，且()()f x f x -≠-，故此函数是非奇非偶函数，排除,A C ；又当2x π=时，满足cos x x x +=，即()f x 的图象与直线y x =的交点中有一个点的横坐标为2π，排除D ， 故选B ． 【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及0,0,,x x x x +-→→→+∞→-∞时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除7.我国古代的天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷（gui ）长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长）．二十四个节气及晷长变化如图所示，相邻两个晷长的变化量相同，周而复始．若冬至晷长一丈四尺五寸，夏至晷长二尺五寸（一丈等于十尺，一尺等于十寸），则夏至之后的第三个节气（立秋）晷长是（ ）A. 五寸B. 二尺五寸C. 五尺五寸D. 四尺五寸【答案】C 【解析】 【分析】设晷影长为等差数列{}n a ，公差为d ，1145a =，1325a =，利用等差数列的通项公式即可得出．【详解】解：设晷影长为等差数列{}n a ，公差为d ，1145a =，1325a =， 则1451225d +=，解得10d =-． 1014510955a ∴=-⨯=∴夏至之后的第三个节气（立秋）晷长是五尺五寸．故选：C ．【点睛】本题考查了等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8.已知x ，y 满足约束条件3442x y y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪-≤⎩，若Z ax y =+（0a >）的最大值是16，则a 的值为（ ） A. 2 B.12C. 4D.14【答案】A 【解析】 【分析】画出满足约束条件3442x y y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪-≤⎩，的平面区域，求出A ，B 的坐标，由Z ax y =+得：y ax Z =-+，结合函数的图象显然直线y ax Z =-+过A 时，Z 最大，求出a 的值即可．【详解】解：画出满足约束条件3442x y y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪-≤⎩的平面区域，如图示：由2040x y y --=⎧⎨-=⎩，解得：(6,4)A ，由Z ax y =+得：y ax Z =-+，当直线y ax Z =-+过(6,4)A 时，Z 最大， 此时，6416a += 解得：2a = 故选：A ．【点睛】本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，属于中档题．9.已知双曲线2213y x -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，圆221x y +=上的点到直线360x -=的距离最小值为m ，若双曲线上一点P ，使2112sin sin PF F m PF F ∠=∠，则221F P F F ⋅的值为（ ） A. 3 B. 2C. 3-D. 2-【答案】B 【解析】 【分析】根据圆上的点到直线的距离的最小值为圆心到直线的距离减去半径，即可求出m ，再根据正弦定理可得122PF PF =，结合双曲线的定义可求1PF ，2PF 的值，在三角形12PF F 中由余弦定理可得21cos PF F ∠，最后由向量的数量积的定义计算可得. 【详解】解：圆221x y +=上的点到直线360x -=的距离最小值为()226131213m -=-=-=+，2112sin 2sin PF F PF F ∠∴=∠在12PF F ∆正弦定理211221sin sin PF PF PF F PF F =∠∠，可得122PF PF =即122PF PF = 2213y x -=，1a ，2c =122PF PF -=14PF ∴=，22PF =在三角形12PF F 中由余弦定理可得2222222121212124241cos 22424F F PF PF PF F F F PF +-+-∠===⋅⨯⨯ 221221211cos 4224F P F F F P F F PF F ∴⋅=⋅∠=⨯⨯=故选：B【点睛】本题考查双曲线的定义与性质，考查正弦定理、余弦定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．10.丹麦数学家琴生（Jensen ）是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凹凸性与不等式方面留下了很多宝贵的成果．设函数()f x 在(),a b 上的导函数为()f x '，()f x '在(),a b 上的导函数为()f x ''，若在(),a b 上()0f x ''<恒成立，则称函数()f x 在(),a b 上为“凸函数”．已知()2ln 2x m f x e x x x =--在()1,4上为“凸函数”，则实数m 的取值范围是（ ） A. (],21e -∞- B. [)1,e -+∞C. 41,4e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D. (),e +∞【答案】C 【解析】 【分析】求函数导数，结合导数不等式进行求解，构造函数，利用函数的单调性研究函数的最值即可． 【详解】解：()2ln 2x m f x e x x x =--()ln 1x f x e x mx '∴=---()1x f x e m x''∴=--()2ln 2x mf x e x x x =--在()1,4上为“凸函数”()10x f x e m x ''∴=--<在()1,4上恒成立即1xm e x >-在()1,4上恒成立令()1xg x e x =-，()1,4x ∈()210x g x e x '∴=+>()1x g x e x∴=-，在()1,4上单调递增()()4max 144g x g e ∴==-()4max 14m g x e ∴≥=-即41,4m e ⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭故选：C【点睛】本题主要考查导数的综合应用，求函数的导数，构造函数，利用导数研究函数的极值和最值是解决本题的关键．11.已知函数()sin f x x x =+，若正实数a ，b 满足1210f f a b ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则3412a b a b +--的最小值为（ ） A .7B. 743+C. 53+D. 723+【答案】B 【解析】 【分析】通过求导数，根据导数符号可判断出()f x 是R 上的增函数，且()f x 是奇函数，从而根据1210f f a b ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可得出121a b =-，从而得出21ab a =-，从而得出3412a b a b +--()37411a a =++--，且a ，b 都为正数，从而根据基本不等式即可求出最小值． 【详解】解：()sin f x x x =+()1cos 0f x x ∴'=+，()()()sin f x x x f x -=-+-=-()f x ∴是增函数，且()f x 是奇函数，∴由1210f f a b ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得，121f f a b ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 121a b∴=-， 即21ab a =- a ，b 都为正数，1a ∴>()()31342834371212281a b a b a b a b a b -+-+∴+=+=++------ 2837211a a a =++---()37411a a =++--()37241731a a ≥+⋅-=+-当且仅当()3411a a =--时取等号， ∴3412a b a b +--的最小值为743+ 故选：B ．【点睛】本题考查了根据导数符号判断函数单调性的方法，基本初等函数的求导公式，奇函数的定义，基本不等式求最值的方法，考查了计算和推理能力，属于中档题．12.在边长为3ABCD 中，60BAD ∠=，沿对角边BD 折成二面角A BD C --为120︒的四面体ABCD ，则四面体ABCD 外接球表面积为（ ）A. 34πB. 32πC. 17πD. 28π【答案】D 【解析】 【分析】正确作出图形，利用勾股定理建立方程，求出四面体的外接球的半径，即可求出四面体的外接球的表面积．【详解】解：如图所示，120AFC ∠=︒，60AFE ∠=︒，3233AF =⨯=， 33AE ∴=，32EF = 设OO x '=，则 2O B '=，1O F '=，∴由勾股定理可得22223334(1)()2R x x =+=++-，27R ∴=，∴四面体的外接球的表面积为2428R ππ=，故选：D ．【点睛】本题考查四面体的外接球的表面积，考查学生的计算能力，正确求出四面体的外接球的半径是关键．二、填空题：本大题共4小题．把答案填写在答题卡相应位置上．13.61x x ⎛- ⎝展开式中的常数项为______． 【答案】15 【解析】 【分析】根据题意，写出61x x ⎛ ⎝的展开式的通项，即可分析其常数项.【详解】解：61x x ⎛- ⎝展开式的通项为 (()()6366221666111kk kk kkk k k k k C T x C C x xx x---+⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭当4k =时()34644256115T Cx⨯-=-=即61x x ⎛ ⎝展开式中的常数项为15 故答案为：15【点睛】本题考查二项式定理的应用，关键分析常数项出现的情况，属于基础题． 14.设等差数列{}n a 满足13a =，424S =，11n n n b a a +=，则数列{}n b 的前n 项和为______． 【答案】()323nn +【解析】 【分析】根据等差数列13a =，424S =求出其通项公式21n a n =+，即可得到n b 的通项，再利用裂项相消法求出数列{}n b 的前n 项和.【详解】解：等差数列{}n a 满足13a =，424S =，()1134414242a a d =⎧⎪∴⎨⨯-+=⎪⎩解得132a d =⎧∴⎨=⎩ ()1121n a a n d n =+-=+∴11n n n b a a +=()()12123n b n n ∴=++设数列{}n b 的前n 项和为n S则()()11135572123n S n n =+++⨯⨯++11111111123523522123n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111111235352123n n ⎛⎫=-+-++- ⎪++⎝⎭1112323n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭()323nn =+故答案为：()323nn +【点睛】本题考查等差数列通项公式的计算，以及裂项相消法求和，属于中档题.15.如图，B 是AC 上一点，以AB ，BC ，AC 为直径作半圆．过B 作BD AC ⊥，与半圆相交于D ，8AC =，15BD =，在整个图形中随机取一点，则此点取自图中阴影部分的概率是______．【答案】1532【解析】 【分析】设AB x =，根据勾股定理求出x 的值，即可求出阴影部分的面积，根据概率公式计算即可 【详解】解：连接AD ，CD ，可知ACD ∆是直角三角形， 又BD AC ⊥，所以2BD AB BC =， 设(08)AB x x =<<，则有()2158x x =-，得3x =或5x =，由图可知3AB =，5BC =，由此可得图中阴影部分的面积等于22235415222224ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯⨯⎪⎪ ⎪⨯⎝⎭⎝⎭⎪-+=⎪⎪⎝⎭，故概率2215442153Pππ==⨯，故答案为：1532．【点睛】本题主要考查几何概型的概率的计算，着重考查了面积公式、组合图形的面积计算和几何概型计算公式等知识，根据条件求出阴影部分的面积是解决本题的关键．16.已知直线l：210kx y k--+=与椭圆1C：22221x ya b+=（0a b>>）交于A、B两点，与圆2C：()()22211x y-+-=交于C、D两点．若存在3,12k⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，使得AC DB=，则椭圆1C的离心率的取值范围是______．【答案】122⎡⎢⎣⎦【解析】【分析】求得直线恒过定点(2,1)，即为圆心，CD为直径，由AC DB=，可得AB的中点为(2,1)，设1(A x，1)y，2(B x，2)y，运用点差法和直线的斜率公式、中点坐标公式，即可得到所求离心率的范围．【详解】解：直线:210l kx y k--+=，即为(2)10k x y-+-=，可得直线恒过定点(2,1)，圆222:(2)(1)1C x y-+-=的圆心为(2,1)，半径为1，且C ，D 为直径的端点，由AC DB =，可得AB 的中点为(2,1)， 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则2211221x y a b +=，2222221x y a b+=， 两式相减可得1212121222()()()()0x x x x y y y y a b +-+-+=，由124x x +=．122y y +=， 可得2122122y y b k x x a-==--， 由312k --， 即有224123b a ， 则椭圆的离心率221212c b e a a ⎡==-⎢⎣⎦．故答案为：122⎡⎢⎣⎦．【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其离心率的范围，注意运用直线恒过圆心，以及点差法求直线的斜率，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题：解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17题-21题为必考题．22题、23题为选考题．17.在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且向量()2,cos n a c C =-与向量(),cos m b B =共线． （1）求角B 的大小；（2）若2BD DC =，且1CD =，7AD =ABC 的面积．【答案】（1）π3B =；（2）934ABC S =△ 【解析】 【分析】（1）根据向量共线的坐标表示，即可列出等式结合正弦定理，求解未知数； （2）根据向量关系求出线段长度，由余弦定理求出三角形边长，即可计算面积. 【详解】（1）∵向量()2,cos n a c C =-与向量共线(),cos m b B =共线，∴()2cos cos a c B b C -=，由正弦定理可得()2sin sin cos sin cos A C B B C -=， ∴()2sin cos sin sin A B B C A =+=．∵sin 0A ≠，∴1cos 2B =． 又∵0πB <<，∴π3B =． （2）∵2BD DC =，且1CD =，7AD =，∴2BD =，3BC =，在ABD △中，由余弦定理有222cos AD BD AB BD B =-⋅， 即2742AB AB =+-，解得3AB =，或1AB =-（舍去）， 故11393sin 3322ABC S AB BC B =⋅⋅=⨯⨯⨯=△． 【点睛】此题考查解三角形，结合向量共线的坐标表示，建立等量关系结合正弦定理求角，根据余弦定理求边，计算面积.18.如图，在五棱锥P ABCDE -中，PA ⊥平面ABCDE ，AB CD ∥，ACED ，AE BC ∥，45ABC ∠=，22AB =，24BC AE ==，PAB ∆是等腰三角形．（1）求证：CD ⊥平面PAC ；（2）求由平面PAC 与平面PED 构成的锐二面角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析；（225【解析】 【分析】（1）由余弦定理可28AC =即可证明AB AC ⊥，由//AB CD ，得到CD AC ⊥，又由线面垂直，得到PA CD ⊥，即可得证.（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角的余弦值. 【详解】解：（1）在三角形ABC 中，45ABC ∠=，22AB =4BC =，2222cos 458AC AB BC AB BC ∴=+-⋅⋅︒=222BC AB AC ∴=+90BAC ∴∠=︒AB AC ∴⊥由//AB CDCD AC ∴⊥PA ⊥平面ABCDE ，CD ⊂平面ABCDE ，故PA CD ⊥又PAAC A =CD平面PAC（2）以为A 坐标原点，分别以AB 、AC 、AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系..四边形ACDE 为直角梯形，易知()2,22,0D -，()2,2,0E -，(0,0,22P(2,22,22PD ∴=--，(2,2,22PE =--设(),,m x y z =是平面PDE 的一个法向量·0·0PD m PE m ⎧=∴⎨=⎩，22222022220x y z x z ⎧+-=⎪∴⎨+-=⎪⎩令2x =-，则0y =，1z =()2,0,1m ∴=-易知平面PAC 的一个法向量为()22,0,0n AB == 设所求二面角为θ，则25cos 5m n m nθ==【点睛】本题考查线面垂直的判定以及二面角的计算，属于中档题.19.郴州某超市计划按月订购一种饮料，每天进货量相同，进货成本每瓶6元，售价每瓶8元，未售出的饮料降价处理，以每瓶3元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高20,25，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确气温位于区间[)定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温[10，15)[15，20)[20，25)[25，30)[30，35)[35，40)天数 2 16 36 25 7 4以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．（1）求六月份这种饮料一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；（2）设六月份一天销售这种饮料的利润为Y（单位：元），当六月份这种饮料一天的进货量n （单位：瓶）为多少时，Y的数学期望达到最大值？n=时，Y的数学期望达到最大值，最大值为500元．【答案】（2）详见解析；（2）300【解析】【分析】（1）由题意知X的可能取值为200，300，500，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列．n，（2）由题意知这种酸奶一天的需求量至多为500瓶，至少为200瓶，只需考虑200500根据300500n 和200300n 分类讨论，能得到当300n =时，EY 最大值为520元． 【详解】解：（1）由题意知X 的可能取值为200，300，500， 216(200)0.290P X +===， 36(300)0.490P X ===， 2574(500)0.490P X ++===， X ∴的分布列为：X200 300 500 P0.20.40.4（2）由题意知这种酸奶一天的需求量至多为500瓶，至少为200瓶，∴只需考虑200500n ，当300500n 时，若最高气温不低于25，则642Y n n n =-=；若最高气温位于区间[20，25)，则83003(300)615003Y n n n =⨯+--=-； 若最高气温低于20，则82003(200)610003Y n n n =⨯+--=-， 20.4(15003)0.4(10003)0.2800EY n n n n ∴=⨯+-⨯+-⨯=-，当200300n 时，若最高气温不低于20，则642Y n n n =-=，若最高气温低于20，则82003(200)610003Y n n n =⨯+--=-， 2(0.40.4)(10003)0.2200EY n n n ∴=⨯++-⨯=+．300n ∴=时，Y 的数学期望达到最大值，最大值为500元．【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列的求法，考查数学期望的最大值的求法，考查函数、离散型随机变量分布列、数学期望等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查分类与整合思想、化归与转化思想，属于中档题．20.已知点21,2M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭在椭圆上E ：22221x y a b +=（0a b >>），点)2,2N a b 为平面上一点，O 为坐标原点．（1）当ON 取最小值时，求椭圆E 的方程；（2）对（1）中的椭圆E ，P 为其上一点，若过点()2,0Q 的直线l 与椭圆E 相交于不同的两点S 和T ，且满足OS OT tOP +=（0t ≠），求实数t 的取值范围．【答案】（1）2212x y +=；（2）()()2,00,2t ∈-【解析】 【分析】（1）根据点点M 在椭圆上，则221112a b+=，又2224ON a b =+根据基本不等式求得当222a b =时取得最小值，即可求得椭圆方程；（2）设直线l 的方程为()2y k x =-，设点P 的坐标为()00,x y ，联立方程消元得()2222128820k xk x k +-+-=，利用根的判别式求出2k 的取值范围，再利用韦达定理求得12x x +，12x x ，由OS OT tOP +=得()201220121228124412k tx x x k k ty y y k x x k ⎧=+=⎪⎪+⎨-⎪=+=+-=⎪+⎩整理得到00,x y 的式子，代入椭圆方程，即可求出参数t 的取值范围.【详解】解：（1）点21,2M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭在椭圆上，则221112a b += ()222222222211424244222b a ON a b a b a b a b ⎛⎫∴=+=++=++ ⎪⎝⎭当且仅当222a b =时取等号由222211122a ba b⎧+=⎪⎨⎪=⎩解得2212b a ⎧=⎨=⎩ 所以椭圆的方程为2212x y +=（2）由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为()2y k x =-，设点P 的坐标为()00,x y ，将直线方程代入椭圆方程得：()2222128820kxk x k +-+-=()()422264412821680k k k k ∆=-+-=-+>得212k <设()11,S x y ，()22,T x y ，则2122812k x x k +=+，21228212k x x k -=+由OS OT tOP +=得()201220121228124412k tx x x k k ty y y k x x k ⎧=+=⎪⎪+⎨-⎪=+=+-=⎪+⎩0t ≠202021*******k x t k ky t k ⎧=⋅⎪⎪+∴⎨-⎪=⋅⎪+⎩代入椭圆方程得()()42222222321611212k k t k t k +=++ 整理得2221612k t k=+ 由212k <知204t << ()()2,00,2t ∴∈-【点睛】本题考查基本不等式求条件式的最小值，椭圆的标准方程，以及直线与椭圆的综合应用问题，属于中档题.21.设函数()ln xf x x x ae =-，()212x mx x φ=+，其中a R ∈，e 是自然对数的底数． （1）若()f x 在()0,∞+上存在两个极值点，求a 的取值范围；（2）当10f e ⎛⎫'= ⎪⎝⎭，设()()()F x f x x φ=-，m R ∈，若()F x 在()0,∞+上存在两个极值点1x ，2x ，且12x x <，求证：212x x e >．【答案】（1）1(0,)e；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）()f x 在(0,)+∞上存在两个极值点，则()0f x '=有两根，再分离参数，借助导数研究即可；（2）要证212x x e >即证12ln ln 2x x +>，()F x 在()0,∞+上存在两个极值点1x ，2x ，且12x x <，即()ln F x x mx '=-有两个零点1x ，2x ，可得()()12121212ln ln ln ln x x x x x x x x -++=-，设21x t x =，则()121ln ln ln 1t t x x t ++=-，1t >，即证()1ln 21t t t +>-，1t >，即当1t >时，()21ln 1t t t ->+，设函数()()21ln 1t h t t t-=-+，1t >，利用导数求其单调性及函数的最值，即可得证.【详解】解：（1）()1x f x lnx ae '=+-，由题意可知，10x lnx ae +-=在(0,)+∞上有两个不同的实数根， 即1x lnx a e +=，只需函数1()xlnx g x e +=和y a =图象有两个交点， 211(1)1()()x x x x e lnx e lnx x x g x e e-+--'==，易知1()1h x lnx x =--在(0,)+∞上为减函数，且()10h =，当(0,1)x ∈时，()0g x '>，()g x 为增函数；当(1,)x ∈+∞时，()0g x '<，()g x 为减函数；所以1()(1)max g x g e ==，所以1a e<，又当0x →，()g x →-∞，x →+∞，()0>g x ，要使()f x 在(0,)+∞上存在两个极值点，则10a e<<． 故a 的取值范围为1(0,)e． （2）10f e ⎛⎫'= ⎪⎝⎭易得0a =，()()()21ln 2F x f x x x x mx x φ=-=--()F x 在()0,∞+上存在两个极值点1x ，2x ，且12x x <()ln F x x mx '∴=-有两个零点1x ，2x ，则1122ln 0ln 0x mx x mx -=⎧⎨-=⎩，解得12121212ln ln ln ln x x x x m x x x x +-==+-于是()()221212111221211lnln ln ln ln 1x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫+ ⎪-+⎝⎭+==--又120x x <<，设21x t x =则1t >，因此()121ln ln ln 1t t x x t ++=-，1t > 要证12ln ln 2x x +>，即证()1ln 21t tt +>-，1t >即当1t >时，()21ln 1t t t ->+，设函数()()21ln 1t h t t t-=-+，1t >，则 ()()()()()()222212111011t t t h t t t t t +---'=-=>++ 所以，()h t 为()1,+∞上的增函数，又()10h =，因此()()10h t h >= 于是，当1t >时，有()21ln 1t t t->+， 所以，有12ln ln 2x x +>成立，即212x x e >，得证【点睛】本题考查导数及其应用、不等式、函数等基础知识，考查考查推理论证能力、运算求解能力、抽象概括能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、分类与整合思想，属于难题．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题计分． 22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数，且[]0,πθ∈），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为πsin 26ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭．（1）求曲线C 的普通方程与直线的直角坐标方程；（2）设点M 在曲线C 上，求点M 到直线l 距离的最小值与最大值．【答案】（1）曲线C ：()()221101x y y -+=≤≤，直线l ：340x +-=；（2）最小值为12，最大值为2 【解析】【分析】（1）通过参数方程与普通方程的转化方法和直角坐标方程与极坐标方程之间的转化方法化简即可；（2）用点M 的参数方程表示坐标，利用点到直线的距离公式表示出距离，再利用函数关系求最值.【详解】（1）由[]0,πθ∈，01y ≤≤曲线C 的普通方程：()()221101x y y -+=≤≤ 由πsin 26ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭得ππsin cos cos sin 266ρθρθ+=， 31222y x +=，直线l 的直角坐标方程340x +-=． （2）设点()1cos ,sin M θθ+到直线l 的距离为π32sin 1cos 3sin 4cos 3sin 362d θθθθ⎛⎫-+ ⎪++-+1-⎝⎭===． ∵[]0,πθ∈，ππ7π,666θ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，π1sin ,162θ⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，1,22d ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， ∴点M 到直线l 距离的最小值为12，最大值为2． 【点睛】此题考查参数方程与普通方程，直角坐标方程与极坐标方程之间的转化，通过参数方程求点到直线距离的最值问题，注意考虑参数的取值范围限制条件，避免范围取错. 23.设()212f x x =-+，()21g x x a x =--+． （1）求不等式()4f x x >+的解集；（2）若对任意的12,x x R ∈，使得()()12f x g x >，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）1{3x x <-或3}x >；（2）3122a -<< 【解析】 【分析】（1）利用零点分段讨论的方法求解不等式即可；（2）对任意的12,x x R ∈，使得()()12f x g x >，只需()()min max f x g x >即可，结合绝对值不等式性质求出两个函数的最值，解不等式即可. 【详解】（1）将2124x x -+>+化为：122124x x x ⎧≥⎪⎨⎪-+>+⎩，或1421224x x x ⎧-<<⎪⎨⎪-+>+⎩，或41224x x x ≤-⎧⎨-+>--⎩， 解得3x >，或143x -<<-，或4x ≤-． 解集1{3x x <-或3}x >．（2）∵()2f x ≥，()212121g x x a x x a x a =--+≤---=+， 由题意得，只需()()min max f x g x >即可， ∴221a >+得2212a -<+<， ∴3122a -<<． 【点睛】此题考查利用零点分段法解绝对值不等式，根据不等式性质求绝对值最值间的大小关系，考查绝对值三角不等式，以及不等式恒成立求参数范围.。
湖南省郴州市2020-2021学年高三上学期第一次教学质量监测数学试题 含答案详解
9．AD10．AC11．AD12．BD
11． ， ， A，D都成立
又 当 ， 时， ，此时B不成立．
又 ， C不成立．
12． ，当 ， ， 递增；当 ， ， 递减；易知BD成立．
请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答．
① ② ，i为虚数单位③ 的面积为
在 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 ， ，________．
（Ⅰ）求a；
（Ⅱ）求 的值．
注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
18．（本小题满分12分）已知公差不等于零的等差数列 的前n项和为 ，且满足 ， ， ， 成等比数列．
1．已知全集 ，集合 ，集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．已知i为虚数单位，复数z满足 ，则复数z在复平面上所对应点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．下列函数中，在 上是减函数且是偶函数的是（ ）
A． B． C． D．
4．已知角 的终边经过点 ，则 （ ）
A． B． C． D．
A．函数 在 上为增函数B． 是函数 的极小值点
C．函数 必有2个零点D．
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知 展开式的二项式系数和为64，则其展开式中含 项的系数是________．
14．设数列 的前n项和为 ，且 ，则 ________．
15．已知双曲线 的左右焦点分别为 ， ，直线l过点 交双曲线右支于P，Q两点，若 ， ，则双曲线C的离心率为________．
郴州市2020届高三第一次教学质量检测-数学理
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湖南省郴州市2019届高三第一次质量检测数学(理)试题 含解析
湖南省郴州市2019届高三第一次质量检测数学（理）试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.如果全集，，3，，则A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】进行补集、交集的运算即可．【详解】解：，且，且；．故选：C．【点睛】本题考查描述法、列举法的定义，以及交集和补集的运算．2.设，则的虚部是（）A. -1B.C.D. -2【答案】D【解析】【分析】利用复数的乘方与除法运算化简复数z，结合虚部的定义即可得出．【详解】，∴的虚部是-2故选：D【点睛】本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，属于基础题．3.已知，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用二倍角正弦公式可知同号，又，从而得到结果.【详解】由可得，即同号，又，∴故选：A【点睛】本题考查二倍角正弦公式，同角关系中的商数关系，属于基础题.4.如图是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩茎叶图，第1次到14次的考试成绩依次记为，下图是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图，那么算法流程图输出的结果是（）A. 7B. 8C. 9D. 10【答案】D【解析】【分析】根据流程图可知该算法表示统计14次考试成绩中大于等于90的人数，结合茎叶图可得答案．【详解】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加14次考试成绩超过90分的人数；根据茎叶图的含义可得超过90分的人数为8个故选：B．【点睛】本题主要考查了循环结构，以及茎叶图的认识，解题的关键是弄清算法流程图的含义，属于基础题．5.已知函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，命题：总存在，有；命题：若函数在区间上有，则是的（）A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要【答案】C【解析】【分析】利用充分、必要条件的定义及零点存在性定理即可作出判断.【详解】命题推不出命题q，所以充分性不具备；比如：，区间为，满足命题p，但，根据零点存在性定理可知，命题能推出命题p，所以必要性具备；故选：C【点睛】本题考查充分必要条件，考查零点存在性定理，属于基础题.6.一个几何体的三视图如图所示，其中主视图中是边长为1的正三角形，俯视图为正六边形，那么该几何体的侧视图的面积为（）A. B. C. 1 D.【答案】A【解析】【分析】由三视图可知，该几何体的空间图形为正六棱锥，依题意，底面边长为，侧棱为1，从而可得该几何体的侧视图的面积．【详解】由三视图可知，该几何体的空间图形为正六棱锥（如图），依题意，底面边长为，侧棱为1，侧面斜高为，侧视图的底面边长为正六边形的高：该几何体的侧视图的面积为故选：A．【点睛】思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.7.已知函数，将图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位得到的图像，若为偶函数，则的一个值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】化简函数可得，经图象变换可得，结合对称性求出的值. 【详解】，将图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位得到的图像，即又为偶函数，∴，即故选：B【点睛】解决函数综合性问题的注意点（1）结合条件确定参数的值，进而得到函数的解析式．（2）解题时要将看作一个整体，利用整体代换的方法，并结合正弦函数的相关性质求解．（3）解题时要注意函数图象的运用，使解题过程直观形象化．8.如图所示，三国时代数学家赵爽在《周髀算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明.图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形（阴影），设直角三角形有一内角为，若向弦图内随机抛掷500颗米粒（大小忽略不计，取），则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为（）A. 134B. 67C. 200D. 250【答案】B【解析】【分析】设大正方形的边长为2x，则小正方形的边长为x，由此利用几何概型概率计算公式能求出向弦图内随机抛掷500颗米粒（大小忽略不计），落在小正方形（阴影）内的米粒数个数．【详解】设大正方形的边长为2x，则小正方形的边长为x，向弦图内随机抛掷500颗米粒（大小忽略不计），设落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为a，则，解得a＝500（）≈67．故选：B．【点睛】本题考查概率的求法，考查几何概型概率计算公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．9.将边长为的正方形沿对角线折起，则三棱锥的外接球体积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题意，画出图形，结合图形得出三棱锥C﹣ABD的外接球直径，从而求出外接球的体积．【详解】将边长为的正方形ABCD沿对角线BD折起，得到三棱锥C﹣ABD，如图所示：则BC⊥CD，BA⊥AD，OA＝OB＝OC＝OD，三棱锥C﹣ABD的外接球直径为BD＝2，外接球的体积为π＝．故选：C．【点睛】本题考查了平面图形的折叠问题，也考查了空间想象能力的应用问题，是基础题目．10.在中，三内角的对边分别为，且，，则角的大小是（）A. 或B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由可得cosA，进而利用可得sinBsinC=结合内角和定理可得C值.【详解】∵，∴cos A，由0＜A＜π，可得A，∵，∴sinBsinC=∴，即解得tan2C=，又∴2C=或，即C=或故选：A【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理的运用，同时考查两角和差的正弦公式和内角和定理，属于中档题．11.已知椭圆的左右焦点分别为，过左焦点作斜率为2的直线与椭圆交于两点，的中点是，为坐标原点，若直线的斜率为，则的值是（）A. 2B.C.D.【答案】D【解析】【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），根据点差法和中点坐标公式和斜率公式可得•，结合条件可得结果.【详解】设A（x1，y1），B（x2，y2），则，1，两式相减可得（x1﹣x2）（x1+x2）（y1﹣y2）（y1+y2）＝0，∵P为线段AB的中点，∴2x p＝x1+x2，2y p＝y1+y2，∴•，又k AB＝2，∴，即，∴故选：D【点睛】本题考查了椭圆的简单性质，点差法，直线的斜率，考查了运算能力和转化能力，属于中档题.12.若函数的图像和直线有四个不同的公共点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】当x=0时，显然符合题意；当x≠0时，问题可转化为和直线有三个不同的公共点，从而得到结果.【详解】由题意可知：原点显然满足题意，问题可转化为和直线有三个不同的公共点，如图所示：由图易得：故选：D【点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设满足约束条件，则的最小值是__________．【答案】-22【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【详解】由约束条件作出可行域如图，化为y x．由图可知，当直线y x过C（1，6）时z有最小值，等于2×1×6＝﹣22．故答案为：﹣22．【点睛】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．14.如果的展开式中各项系数之和为256，则展开式中的系数是__________．【答案】252【解析】【分析】令x＝1可得各项系数之和，再根据各项系数之和为256，求得n的值，再根据二项式展开式的通项公式，求得展开式中的系数．【详解】的展开式中，令x＝1可得各项系数之和为（3﹣1）n＝256，求得n＝8，则＝的通项是••，••，令，解得故展开式中的系数是•故答案为：252．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．15.如图所示，已知点是的重心，过点作直线分别交两边于两点，且，，则的最小值为__________．【答案】【解析】【分析】由条件通过三角形的重心与三点共线推出∴1，然后根据基本不等式即可求出x+y的最小值．【详解】根据条件：，；又；∴；又M，G，N三点共线；∴1；∵x＞0，y＞0；∴3x+y＝（3x+y）（）2；3x+y的最小值为．当且仅当时“=”成立．故答案为：．【点睛】本题考查了平面向量的线性运算与共线定理的应用问题，也考查了基本不等式在求最值中的应用问题．16.已知点，分别是双曲线C：的左右两焦点，过点的直线l与双曲线的左右两支分别交于A，B两点，若是以为顶角的等腰三角形，其中，则双曲线离心率e的取值范围为______．【答案】【解析】【分析】由题意设，可得，设，则由双曲线的定义可得，即有，在中，运用余弦定理和诱导公式，以及离心率公式，解不等式即可得到e 的范围．【详解】解：是以为顶角的等腰三角形，A在左支上，B在右支上，其中设，可得，设，则由双曲线的定义可得，即，即有，在中，由余弦定理可得，，解得．故答案为：【点睛】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查余弦定理和诱导公式的运用，以及正弦函数的图象和性质，考查化简整理的运算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共7小题，共70.0分）17.在中，内角的对边分别为，，三边成等比数列，且面积为1，在等差数列中，，公差为.（1）求数列的通项公式；（2）数列满足，设为数列的前项和，求的取值范围.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）由，，解得从而得到数列的通项公式；（2）由（1）可得，利用裂项相消法得到前项和，从而得到的取值范围. 【详解】解：（1）∵，，，∴，.（2）∵，∴∵是关于n的增函数，∴.【点睛】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2）；（3）；（4）；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.18.我市正在创建全国文明城市，某高中为了解学生的创文知晓率，按分层抽样的方法从“表演社”、“演讲社”、“围棋社”三个活动小组中随机抽取了6人进行问卷调查，各活动小组人数统计如下图：（1）从参加问卷调查的6名学生中随机抽取2名，求这2名学生来自同一小组的概率；（2）从参加问卷调查的6名学生中随机抽取3名，用表示抽得“表演社”小组的学生人数，求的分布列及数学期望.【答案】（1）（2）详见解析【解析】【分析】（1）由题意按分层抽样的方法抽取6人，则三个小组分别抽取3人，2人，1人.利用古典概型计算公式得到这2名学生来自同一小组的概率；（2）X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．【详解】解：（1）由条件可知，表演社、演讲社、围棋社分别有45人、30人、15人，从中按分层抽样的方法抽取6人，则三个小组分别抽取3人，2人，1人.从中抽取2名，则这2名学生来自同一小组的概率为.（2）的所有可能取值为0,1,2,3，，，，，所以的分布列为.【点睛】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．19.如图，在三棱锥中，底面是边长为4的正三角形，，底面，点分别为的中点.（1）求证：平面平面；（2）在线段上是否存在点，使得直线与平面所成的角的正弦值为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由.【答案】(1)见解析(2)见解析【解析】【分析】（1）先证明，，可得平面从而平面平面；（2）由题意可知两两垂直，分别以方向为轴建立坐标系，求出平面的法向量及，代入公式可得未知量的方程，解之即可.【详解】（1）证明：∵，为的中点，∴又平面，平面，∴∵∴平面∵平面∴平面平面（2）解：如图，由（1）知，，，点，分别为的中点，∴，∴，，又，∴两两垂直，分别以方向为轴建立坐标系.则，，，，设，所以，，设平面的法向量，则，，令，则，，∴由已知或（舍去）故故线段上存在点，使得直线与平面所成的角的正弦值为，此时为线段的中点.【点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.20.已知抛物线的焦点为，准线为，抛物线上存在一点，过点作，垂足为，使是等边三角形且面积为.（1）求抛物线的方程；（2）若点是圆与抛物线的一个交点，点，当取得最小值时，求此时圆的方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用等边三角形可得值，从而得到抛物线的方程；（2）设的坐标为，易得，所以，结合最值即可得到圆的方程.【详解】解：（1）如图所示，∵等边的面积为，设边长为，∴，∴，∴∵，∴所以抛物线的方程是.（2）法一：设的坐标为，因为抛物线：的焦点，，，所以当且仅当时取等号，即当取最小值时，点坐标为把点坐标代入圆的方程可得.法二：设的坐标为，因为抛物线：的焦点，，，所以，当且仅当时取等号，即当取最小值时，点坐标为把点坐标代入圆的方程可得.【点睛】求抛物线方程应注意的问题(1)当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线方程属于四种类型中的哪一种；(2)要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系；(3)要注意参数p的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来解决问题．21.设函数.（1）若恒成立，求的取值范围；（2）对函数图像上任意两个点，，设直线的斜率为（其中为函数的导函数），证明：.【答案】（1）（2）证明过程详见解析【解析】【分析】（1）恒成立即，利用导函数研究函数的单调性与极值即可；（2）由要证，即证，令，，即证. 【详解】（1）解法一：，，在为减函数，在为增函数.∴，由已知，所以所求范围为.解法二：由，有，∵，∴恒成立，，，易知在为减函数，在为增函数，，∴（2）证明：∵，∴，要证，即证∵，只要证，即证令，，即证，也即证设，，∵∴在为减函数故，即，所以成立.【点睛】利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.22.在直角坐标系xOy中，直线的参数方程为为参数以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，两直线和相交于点P．1求点P的直角坐标：；2若Q为圆C：为参数上任意一点，试求的范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)把直线的参数方程与直线的极坐标方程化为直角坐标方程，联立解得点的直角坐标；(2) 依题意知，圆的普通方程为，.【详解】解：（1）依题意知，直线的直角坐标方程为直线的直角坐标方程为联立方程组，所以点的坐标为（2）依题意知，圆的普通方程为所以圆心为，其半径∴∴故.【点睛】本题考查直角坐标方程、极坐标方程、参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．23.已知函数1求函数的值域；2若，使成立，求a的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)利用零点分段法可得进而可得函数的值域；(2)，使成立即使得成立，转求二次函数的最大值即可.【详解】解：（1）依题意可得：当时，所以的值域为（2）因为，所以，化为得使得成立令，，得所以，当时，，所以.【点睛】含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用．。
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郴州市2016届高三第一次质量检测
数学试题（理科）
一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分。
1．已知z 是纯虚数，21i
z ＋－是实数, 那么z 等于（ D ） A. 2i B. i C. －i D. －2i
2．已知命题p,q ，则“p ⌝为假命题”是“p q ∧是真命题”的（B ）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
3．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是
32
，则正视图中的x 的值是（ C ）
A.2
B. 3
C.
32
D. 92 4、执行如图所示的程序框图，输出的S 的值为30，则输入的n 为
（ C ）
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
5. 已知函数2sin(2)(||)2y x π
ϕϕ=+<的图象经过点(0,－1),则该
函数的一个单调递增区间为（ A ）
6. 一个三位自然数abc 的百位，十位，个位上的数字依次为a ，b ，
c ，当且仅当a ＞b 且c ＞b 时称为“凹数”。
若a ，b ，c ∈ {4,5,6,7,8}，且a ，b ，c 互不相同，任取一个三位数abc ，则它为“凹数”的概率是( D )
A 、23 B. 、25 C. 、16 D. 、13
7．要得到函数f (x)=sin2x 的导函数 f ′ (x)的图象，只需将f (x)的图象（ D ）
A ．向左平移
2
π个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变） B ．向左平移2
π个单位，再把各点的纵坐标缩短到原来的12倍（横坐标不变） C ．向左平移4
π个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的12倍（横坐标不变） D ．向左平移4π个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变） 8. 对一批产品的长度(单位：mm)进行抽样检测，下图为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间[20,25)上的为一等品，在区间[15,20)和区间[25,30)上的为二等品，在区间[10,15)和[30,35)上的为三等品．用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取一件，则其为二等品的概率为( D )
A ．0.09
B ．0.20
C ．0.25
D ．0.45
9．已知双曲线C ：22
221x y a b
-=的焦距为10, 点P(－2,1）在C 的一条渐近线上，则双曲线C 的方程为 ( A )
A. 221205x y -=
B. 221520x y -=
C. 22
18020
x y -= D. 22
12080
x y -= 10．已知e 是自然对数的底数，函数f (x)＝e x
+ x －2的零点为a ，函数 g(x)＝lnx ＋x －2的零点为，则下列不等式成立的是（ C ）
A ．f （1）＜f （a ）＜f （b ）
B ．f （a ）＜f （b ）＜f （1）
C ． f （a ）＜f （1）＜f （b ）
D ．f （b ）＜f （1）＜f （a ）
11. 若(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)5＝a 0＋a 1(1－x)＋a 2·(1－x)2＋…＋a 5(1－x)5，则a 1＋a 2+a 3
＋a 4 +a 5等于( C )
A. 5
B. 62
C. －57
D. －56
12.已知定义在R 上的偶函数f (x)满足f (x ＋4)＝f (x)＋f (2)，且当[0,2]x ∈时，()y f x =单调递减，给出以下四个命题：
①f (2)＝0； ②()y f x =在［8,10］单调递增；
③ x=4为函数()y f x =图象的一条对称轴； ④若方程()f x m =在［－6，－2］上的两根为12,x x ，则128x x +=-
以上命题中不正确命题的序号为 ( B )
A. ①
B. ②
C. ③
D. ④
第II 卷（非选择题 共90分）
二、填空題:本大题共4小题,每小题5分，共20分.
13. 设,x y 满足约束条件1310
x x y ≤≤⎧⎨-≤-≤⎩，则z =y x 的最大值为 . 14. 如图，在边长为e （e 为自然对数的底数）的正方形中随机取一点，则它取自阴影部分的概率 为
15. 已知⊙M ：224410x y x y +---=及圆外一点P(5,5)，过P 点作⊙M 的切线PA ，PB ，切点分别为A, B ，则弦AB 的长为
16. 对于两个实数a,b ，min{a,b}表示a,b 中的较小数. 设f (x)= min{x ，
1x }（x ＞0），则不等式f (x)≥4log 2的解集是
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
17．(本小题满分10分) 在数列{}n a 中，前n 项和为n S ，且(1)2
n n n S +=
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）设2n n n a b =
，求数列{}n b 的前项和n T ≤。
18．（本小题满分12分）已知△ABC 的内角为A 、B 、C ，其对边分别为a 、b 、c ，已知B 为锐角，向量2(2sin ,3),(cos 2,2cos 1)2
B m B n B =-=-，且m ∥n ．
（Ⅰ）求角B 的大小及当b ∈时,△ABC 的外接圆半径R 的取值范围;
（Ⅱ）如果b=2，求S △ABC 的最大值．
19、（本小题满分12分）
若
的图象与直线(0)y m m =>相切，并且切点横坐标依次成公差为π的等差数列。
（Ⅰ）求a 和m 的值；
（Ⅱ）△A BC 中，a 、b 、c 分别是A 、B 、C 的对边，若(
,)22A 是函数()f x 图象的一个对称中心，且a ＝4，求△ABC 周长的取值范围。
20. 如图，在△ABC 中，记,BA a BC b ==，∠B ＝
3π，AB ＝8，点D 在BC 边上，且CD ＝2， cos ∠ADC ＝17
. (Ⅰ)试用,a b 表示DA ；
(Ⅱ)若以B 点为坐标原点，BC 所在的直线为x 轴（正方向为向右）建立平面直角坐标系，使得点A 落在第一象限。
点P （x,y ）在△ABC 三边围成的区域（含边界）上，设(,)BP ma nb m n R =+∈，求m n -的最大值。
21．（本小题满分12分）
已知数列{}n a 中，11a =，且当12x =时，函数211()(2)2
n n n f x a x a x -+=+-⋅取得极值。
（Ⅰ）若12n n n b a -=⋅，证明数列{}n b 为等差数列；
（Ⅱ）设数列
的前n 项和为Sn ，若不等式对任意的正整数n
恒成立，求m 的取值范围。
22．(本小题满分12分) 已知函数(1)()ln ,1
a x f x x a R x -=-∈+． (Ⅰ)若x ＝3是函数f （x ）的极值点，求曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程； (Ⅱ)若函数f （x ）在（0，＋∞）上为单调增函数，求a 的取值范围；
(Ⅲ)设m ，n 为正实数，且m ＞n ，求证：
ln ln 2
m n m n m n -+<-
数学理参考答案。