学而思小升初培优六：数论综合-学生版

小升初培优（六）：数论综合专题回顾练习：1加工某种机器零件,要经过三道工序,第一道工序每名工人每小时可完成6个零件,第二道工序每名工人每小时可完成10个零件,第三道工序每名工人每小时可完成15个零件.要使加工生产均衡,三道工序最少共需要多少名工人?2甲、乙两数的最小公倍数是90，乙、丙两数的最小公倍数是105，甲、丙两数的最小公倍数是126，那么甲数是多少?例题解析枚举法（也称为穷举法）是把讨论的对象分成若干种情况（分类），然后对各种情况逐一讨论，最终解决整个问题。

运用枚举法有时要进行恰当的分类，分类的原则是不重不漏。

正确的分类有助于暴露问题的本质，降低问题的难度。

数论中最常用的分类方法有按模的余数分类，按奇偶性分类及按数值的大小分类等。

【例1】 求这样的三位数，它除以11所得的余数等于它的三个数字的平方和。

【分析】三位数只有900个，可用枚举法解决，枚举时可先估计有关量的范围，以缩小讨论范围，减少计算量。

设这个三位数的百位、十位、个位的数字分别为x ，y ，z 。

由于任何数除以11所得余数都不大于10，所以222x y z ++10≤。

从而13x ≤≤，03y ≤≤，03z ≤≤。

所求三位数必在以下数中：100101102103110111112120121122130200201202211212220221300301310 不难验证只有100，101两个数符合要求。

枚举法【例2】 写出12个都是合数的连续自然数。

【分析】（法一）在寻找质数的过程中，我们可以看出100以内最多可以写出7个连续的合数：90，91，92，93，94，95，96。

我们把筛选法继续运用下去，把考查的范围扩大一些就行了。

用筛选法可以求得在113与127之间共有13个都是合数的连续自然数：114，115，116，117，118，119，120，121，122，123，124，125，126。

（法二）如果设这12个数分别是a ，1a +，2a +，L ，11a +，如果2a -能被2到13中任意一个数整除，那么a ，1a +，2a +，L ，11a +，能分别被2、3、4,L ,13整除，所以，只要取13!a =即可得到符合条件的12个数。

（法三）上面的方法虽然巧妙，但是计算13!非常困难，所以应该选取折中的方法，设这12个数分别是5a -，4a -，L ，4a +，5a +，6a +。

所以只要使a 能被2到6的所有整数整除，并且保证1a -和1a +都是合数即可，通过试验可得到120a =即是符合条件的值。

【例3】 如图，有三张卡片，在它们上面分别写着"1"，"2"，"3"。

从中抽出一张、两张、三张，按任意次序排起来，可以得到不同的一位数、两位数、三位数。

请将其中的素数都写出来。

（素数即质数）【分析】 因为这三个数字的和为6，能被3整除，所以用这三个数字任意排成的三位数都能被3整除，所以不可能是素数。

再看两张卡片的情形。

因为123+=，根据同样的道理，用1，2组成的两位数也能被3整除，因此也不是素数。

这样剩下要讨论的两位数只有13，31，23，32这四个了。

其中13，31，23都是素数。

最后一位数素数只有2，3。

【拓展练习】a 、b 和c 都是两位数，a 、b 的个位分别是7和5，c 的十位是1,如果它们满足等式2005ab c +=，则______a b c ++=。

【例4】 求一个四位数，它的前两位数字及后两位数字分别相同，而该数本身等于一个整数的平方．对于某些研究整数本身的特性的问题，若能合理地选择整数的表示形式，则常常有助于问题的解决。

这些常用的形式有： 1. 十进制表示形式：1010101010n n n n N a a a --=+++L ； 2. 二进制表示形式：1010222n n n n N a a a --=+++L ；3. 带余形式：a bq r =+；（奇数可以表示为21n +，偶数表示为2n ，其中n 为整数）4. 标准分解式：1212k a a a k p p p L ；5. 2的乘方与奇数之积式：2m n t =；（其中t 为奇数）。

6. 最大公约数与系数之积式：1m dm =，1n dn =，其中(),m n d =，()11,1m n =。

代数表示法【分析】设所求的四位数为x aabb =，则()10001001011100x a a b b a b =+++=+，其中09a <≤，09b ≤≤。

可见平方数x 被11整除，从而x 被211整除．因此，数()10099a b a a b +=++能被11整除，于是a b +能被11整除．但018a b <+≤，以11a b +=．于是()21191x a =⨯+，由此可知91a +是某个自然数的平方．对1a =，2，L ，9逐一检验，易知仅7a =时，91a +为平方数，故所求的四位数是2774488=。

【拓展练习】一个两位数，其十位与个位上的数字交换以后，所得的两位数比原来小27，则满足条件的两位数共有______个。

【例5】 求一个最大的完全平方数，在划掉它的最后两位数后，仍得到一个完全平方（假定划掉的两个数字中的一个非零）。

【分析】设 2n 满足条件，令22100n a b =+，其中0100b <<。

于是100n >，即101n a ≥+。

因此22100201b n a a =-≥+，由此得201100a +<，所以4a ≤。

经验算，仅当4a =时，41n =满足条件。

若41n >则2222404240100n -≥->。

因此，满足条件的最大的完全平方数为2411681=。

【例6】 从自然数1，2，3，L ，1000中，最多可取出多少个数使得所取出的数中任意三个数之和能被18整除？【分析】设a ，b ，c ，d 是所取出的数中的任意4个数，则18a b c m ++=，18a b d n ++=，其中m ，n 是自然数。

于是()18c d m n -=-。

上式说明所取出的数中任意2个数之差是18的倍数，即所取出的每个数除以18所得的余数均相同。

设这个余数为r ，则118a a r =+，118b b r =+，118c c r =+，其中1a ，1b ，1c 是整数。

于是()111183a b c a b c r ++=+++。

因为()18|a b c ++，所以18|3r ，即6|r ，推知0r =，6，12。

因为1000551810=⨯+，所以，从1，2，…，1000中可取6，24，42，L ，996共56个数，它们中的任意3个数之和能被18整除。

【例7】 如果()2a b +被5除余数为2，()3a b -被5除所得的余数为3，求证：()a b -能被5整除。

（a 、b 都是自然数）【分析】（法一）设252a b k +=+，354a b l -=+，解方程组252353a b k a b l +=+⎧⎨-=+⎩得到1058731557l k a k l b ++⎧=⎪⎪⎨+-⎪=⎪⎩，所以151057l k a b -+-=能被5整除。

（法二）由题目条件()()2332a b a b --+能被5整除，即38a b -能被5整除，继而得到33a b -能被5整除，所以a b -能被5整除。

【拓展练习1】如果()23a b +是5的倍数,证明：23b a +也是5的倍数。

（a 、b 都是自然数）【拓展练习2】如果()3a b +是7的倍数，求证()2b a -也是7的倍数。

（a 、b 都是自然数）【拓展练习3】如果a b c ++是5的倍数，234a b c ++也是5的倍数，求证a c -是5的倍数。

（a 、b 、c 都是自然数）【例8】 有一个自然数，它除以15、17、19所得到的商(1>)与余数(0>)之和都相等，这样的数最小可能是多少。

【分析】15......()15()1417......()17()1619......()19()18a b c A a X X a A a X a a X A b X X b A b X b b X A c X X c A c X c c X⎧÷==-⇒=+-=+⎪÷==-⇒=+-=+⎨⎪÷==-⇒=+-=+⎩14161872|a b c a a ==⇒⇒至少为72，1515721080a a a A a X X X =+=⨯+=+14161863|a b c b b ==⇒⇒至少为63，1717631071b b b A b X X X =+=⨯+=+ 14161856|a b c c c ==⇒⇒至少为56，1919561054c c c A c X X X =+=⨯+=+最小为1081。

【例9】 在1到600中，恰好有3个约数的数有几个？【分析】3只能表示为()21+，所以符合条件的数含有的不同质因数只有1个，且该质因数有2个，注意到有3个约数的数一定是质数的完全平方，2，3，5，7，11，13，17，19，23这9个数的平方数在1到600之间，共有9个符合要求。

【拓展练习】在1到100中，恰好有6个约数的数有多少个？【例10】 两个自然数的平方差，则称这个自然数为“智慧数”比如221653=-，16就是一个“智慧数”．在自然数列中从1开始数起，试问第1990个“智慧数”是哪个数？并请你说明理由。

如何计算一个自然数的约数个数：a 将该自然数用标准分解式表达：1212k a a a k p p p L ； b 将该自然数的约数用标准分解式表达：1212k b b b k p p p L ，则11b a <，22b a <，L ，n n b a <；c 对于任意的i b 可以取值0到i a 这()1i a +个整数； d根据乘法原理不同的约数有12(1)(1)...(1)k a a a +++个。

【分析】显然1不是“智慧数”，而大于1的奇数()22211k k k +=+-，都是“智慧数”。

()()22411k k k =+--，可见大于4且能被4整除的数都是“智慧数”而4不是“智慧数”，由于22x y -=()()x y x y +-（其中x 、y N ∈），当x ，y 奇偶性相同时，()()x y x y +-被4整除。

当x ，y 奇偶性相异时，()()x y x y +-为奇数，所以形如42k +的数不是“智慧数”，在自然数列中前四个自然数中只有3是“智慧数”，此后每连续四个数中有三个“智慧数”，由于19893663=⨯，所以26564664=⨯是第1990个“智慧数”。