直线的方向向量与直线的向量方程
直线的方向向量与直线的向量方程教案
教学重点、 重点：平面的法向量的概念及应用，正射影的概念，三垂线定理及其逆定理。
难点 难点：平面的法向量的理解及灵活运用，三垂线定理的证明思路及定理的应用。
根据诱思探究学科教学论中提出的学习方式来设计教学过程，遵循“探索—— 研究
教学方法 —— 运用”规律，侧重学生的自主学习，让学生动脑思考，整个教学过程贯穿“体验
4
（法向量在立体几何中的应用，使学生进一步明确学习法向量的意义） 练习 1：已知正方体 ABCD ABCD，分别写出平面 ABCD，平面 ABCD ，平面 ABCD 的一个法向量，并证明平面 ABCD 和平面 ABCD 互相垂直。 （学生思考交流，给出答案） 4．确定平面的法向量： 三、概念应用
（通过回顾 4 引出法向量概念，并暗示平面法向量的求法） 二、概念形成
1．平面的法向量的定义：
已知平面 ，如果向量 n 的基线与平面 垂直，则向量 n 叫做平面 的法向量，或说向量 n 与平
面 正交。
（首先教师口述，之后学生看书填写学案法向量定义） 思考：
（1）平面 的一个法向量和与平面 共面的向量的关系是什么？
a
与
b
的夹角公式：______________________________________；
2． a
// b
__________________________；
a
b
__________________________；
3．共面向量定理：________________________________________________________；
// 或 与 重合 ____________________________________
高二数学 3.2.1 直线的方向向量与直线的向量方程(二)
3.2.1 直线的方向向量与直线的向量方程(二) 1．用向量运算证明两条直线垂直或求两条直线所成的角设两条直线所成的角为θ，v1和v2分别是l1和l2的方向向量则l1⊥l2⇔________，cos θ＝________________.2．求两直线所成的角应注意的问题：在已知的两条直线上(或同方向上)取两条直线的方向向量v1，v2，所以cos〈v1，v2〉＝v1·v2|v1||v2|.但要注意，两直线的夹角与〈v1，v2〉并不完全相同，当〈v1，v2〉为钝角时，应取________作为两直线的夹角．探究点一两条直线垂直问题怎样利用向量证明两直线垂直？例1 已知正方体ABCD—A′B′C′D′中，点M、N分别是棱BB′与对角线CA′的中点．求证：MN⊥BB′；MN⊥A′C.跟踪1在棱长为a的正方体OABC—O1A1B1C1中，E、F分别是AB、BC上的动点，且AE ＝BF，求证：A1F⊥C1E.例2 已知三棱锥O—ABC(如图)，OA＝4，OB＝5，OC＝3，∠AOB＝∠BOC＝60°，∠COA ＝90°，M，N分别是棱OA，BC的中点．求直线MN与AC所成角的余弦值．跟踪2长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝BB1＝2，E，F分别是面A1B1C1D1与面B1BCC1的中心，求异面直线AF与BE所成角的余弦值．探究点三探索性问题例3已知正三棱柱ABC—A1B1C1的各棱长都为1，M为底面BC边的中点，N为侧棱CC1上的点．(1)当CNCC1为何值时，MN⊥AB1；(2)在棱A1C1上是否存在点D，使MD∥平面A1B1BA，若存在，求出D的位置；若不存在，说明理由跟踪3 如图，已知平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是菱形，且∠C 1CB ＝∠C 1CD ＝∠BCD .问当CD CC 1的值等于多少时，A 1C ⊥BD 且 A 1C ⊥BC 1?【达标检测】1. 若直线l 1、l 2的方向向量分别为a ＝(1,2，－2)，b ＝(－2,3,2)，则 ( )A ．l 1∥l 2B ．l 1⊥l 2C ．l 1、l 2相交但不垂直D ．不能确定2．设l 1的方向向量a ＝(1,3，－2)，l 2的方向向量b ＝(－4,3，m )，若l 1⊥l 2，则m 等于( )A ．1B ．52C ．12D ．33. 在正四面体ABCD 中，点E 为BC 中点， 点F 为AD 中点，则异面直线AE 与CF 所成角的余弦值为( )A. 13B. 12C. 23D. 634.如图所示，三棱柱OAB —O 1A 1B 1中，平面OBB 1O 1⊥平面OAB ，∠O 1OB ＝60°，∠AOB ＝90°，且OB ＝OO 1＝2，OA ＝3，求异面直线A 1B 与AO 1所成角的余弦值．【课堂小结】用向量知识证明立体几何问题有两种基本思路：一种是用向量表示几何量，利用向量的运算进行判断；另一种是用向量的坐标表示几何量．共分三步：(1)建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量(或坐标)表示问题中所涉及的点、线、面，把立体几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究点、线、面之间的位置关系；(3)根据运算结果的几何意义来解释相关问题．3.2.1 直线的方向向量与直线的向量方程(二)一、基础过关1．若直线l 1的方向向量与l 2的方向向量的夹角是150°，则l 1与l 2这两条异面直线所成的角等于( )A ．30°B ．150°C ．30°或150°D ．以上均错 2.如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，若E 为A 1C 1的中点，则直线CE 垂直于 ( )A ．ACB ．BDC ．A 1D D ．A 1A3．在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若AB ＝2BB 1，则AB 1与C 1B 所成角的大小为( )A ．60°B ．90°C ．105°D ．75°4．已知A (3,0，－1)、B (0，－2，－6)、C (2,4，－2)，则△ABC 是( ) A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形 D ．以上都不对5．A 1B 1C 1—ABC 是直三棱柱，∠BCA ＝90°，点D 1，F 1分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，若BC ＝CA ＝CC 1，则BD 1与AF 1所成角的余弦值是( ) A.3010 B.12 C.3015 D.1510 6．在△ABC 中，已知AB →＝(2,4,0)，BC →＝(－1,3,0)，则∠ABC ＝________.二、能力提升7．设ABCD 、ABEF 都是边长为1的正方形，F A ⊥平面ABCD ，则异面直线AC 与BF 所成的角为________．8．已知空间三点A (0,0,1)，B (－1,1,1)，C (1,2，－3)，若直线AB 上一点M ，满足CM ⊥AB ，则点M 的坐标为________．9．已知两点A (1，－2,3)，B (2,1，－1)，则AB 连线与xOz 平面的交点坐标是____________．10．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 是棱DD 1的中点，O 为正方形ABCD 的中心，证明OA 1⊥AM .11.如图所示，直三棱柱ABC—A1B1C1，底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，N是A1A的中点．(1)求BN的长；(2)求异面直线BA1与CB1所成角的余弦值．12.直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，底面ABCD是矩形，AB＝2，AD＝1，AA1＝3，M是BC的中点．在DD1上是否存在一点N，使MN⊥DC1？并说明理由．三、探究与拓展13．已知△ABC，∠C＝90°，SA⊥面ABC，且AC＝2，BC＝13，SB＝29，求异面直线CS与AB所成角的余弦值．。
高中数学空间向量与立体几何直线的方向向量与直线的向量方程
典例导航(dǎoháng)
题型三：利用(lìyòng)向量证明线面平行
例3 如图所示，四棱锥(léngzhuī)P—ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD， PA⊥底面ABCD，PA＝AD＝CD＝2AB＝2，M为PC中点． 求证：BM∥平面PAD.
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3.如图变，式在训多练面体(xùnAliàBn)CDEF中，四边形ABCD是正方形，EF∥AB，EF⊥FB，AB
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自主(zìzhǔ)练习
3．已知直线(zhíxiàn)l1的一个方向向量为(－7,3,4)， 直线l2的一个方向向量为(x，y,8)，且l1∥l2， 则x＝____-1_4___，y＝_____6___.
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典例导航(dǎoháng)
题型一：由方向(fāngxiàng)向量判断线线关系
P
O
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走进教材(jiàocái)
2.直线(zhíxiàn)的方向向量
空间中任意一条直线l的位置可以由 l上一个定点A以及(yǐjí)一个定方向确定.
P
B
A
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走进教材(jiàocái)
与平行 3.向量(xiàngliàng)
(1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则由向量共线的条件， 得l1∥l2(或l1与l2重合)⇔v1∥v2 . (2)①已知两个(liǎnɡ ɡè)不共线向量v1、v2与平面α共面，一条直线l的 一个方向向量为v，则由共面向量定理，可得l∥α或l在α内 ⇔存在两个实数x、y，使v＝xv1＋yv2.
高中数学直线的方向向量与直线的向量方程知识点解析
知识点二 用向量方法证明直线与直线平行、直线与平面平行、平面与平
面平行
1.设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则由向量共线的条件，得l1∥l2或l1 与l2重合⇔ v1∥v2 . 2.已知两个不共线向量v1，v2与平面α共面，一条直线l的一个方向向量为v， 则由共面向量定理，可得 l∥α或l在α内⇔ 存在两个实数x，y，使v＝xv1＋yv2 .
2 题型探究
PART TWO
题型一 空间中点的位置确定
例1 已知点A(2,4,0)，B(1,3,3)，如图，以A→B 的方向为正向，在直线AB上建立 一条数轴，P，Q为轴上的两点，且分别满足条件： (1)AP∶PB＝1∶2；求点P的坐标.
(2)AQ∶QB＝2∶1.求点Q的坐标.
解 因为AQ∶QB＝2∶1， 所以A→Q＝－2Q→B，O→Q－O→A＝－2(O→B－O→Q)， O→Q＝－O→A＋2O→B，
2.求两直线所成的角应注意的问题
在已知的两条直线上(或同方向上)取两条直线的方向向量v1，v2，所以
cos〈v1，v2〉＝
v1·v2 |v1||v2|
.但要注意，两直线的夹角与〈v1，v2〉并不完全相同，
当〈v1，v2〉为钝角时，应取其 补角 作为两直线的夹角.
思考辨析 判断正误
SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU
|AB|
点 C 的坐标为
A.72，－21，52
B.83，－3，2
√C.130，－1，73
D.52，－27，32
解析 设C(x，y，z)， →
3.2.1直线的方向向量与直线的向量方程解析
3．用向量方法证明两条直线垂直或求两条直线 所成的角
如果知道两条直线的方向向量，我们可以利 用两个方向向量是否平行(或重合)、垂直来判定 直线是否平行、垂直。 设两条直线所成的角为θ(锐角)，则直线方 向向量间的夹角与θ相等或互补。
例3．已知正方体ABCD－A’B’C’D’中，点 M、N分别是棱BB’与4．已知三棱锥O－ABC，OA=4，OB=5，
OC=3，∠AOB=∠BOC=60°,∠COA=90°, M、N分别是棱OA、BC的中点，求：直线 MN与AC所成的角的余弦值。
O c b C N B M a A
3 5 10
解：设 OA a, OB b, OC c ，
1 则 MN ON OM (b c a ) ， AC c a ， 2
谢谢
l
OP (1 t )OA t OB
即 OP OA t AB OA t (OB OA) ③ ①或②或③都叫做空间直线的向量参数方程.
P ta B
M
Aa
O
注: ⑴当t=
1 时, 1 1 OP OA OB .此时P是线段AB的中 2 2 2
点,这就是线段AB中点的向量表达式.
小结
直线的向量参数方程
(1)过点A，方向向量为a的直线l的方程为： AP ta. 对于空间任一点 O, 如图，点P在直线l上的充要条 件是OP OA ta. (2)若在直线l上取两点A, B, 使 AB a, 则直线向量 方程又可写为 OP OA t AB, 即OP (1 t )OA t OB, 如图.
x
A
例1
(2)因为AQ : QB 2, 所以 AQ 2QB, OQ OA 2(OB OQ), OQ OA 2OB, 设点Q的坐标为( x, y, z ),则上式换用坐标表示， 得 ( x, y, z ) 2(2,4,0) 2(1,3,3) (0,2,6) 即x 0, y 2, z 6 因此, 点Q的坐标是(0,2,6).
直线方程复习
方程名称 直线方程 y=kx+b (y-y0)=k(x-x0) 图形
b
P(x0,y0)
法向量 n
方向向量 d
斜率k
k=tan k=k/1 k=tan k=k/1
斜截式
点斜式
n=(k,-1)
n=(k,-1)
d=(1,k)
d=(1,k) d=(u,v)
-8-2 5
=2
∵AB=2
2
A 3 4 2 2 B 2
∴l与l1 夹角为45o
设直线l的斜率为k,l1的斜率为由两直线的夹角公式:
k-(3 4
)
3 4
tan45o= k=
1 7
1+k (-
)
=1
或 k= -1 y= x+1或y=-x+1
7 1
∴直线的方程为l:
例3.已知: A(1,4),B(3,1)与直线l:y=ax+2,若直线l与线段AB相 交求实数a的取值范围. 解: 直线l与线段AB相交点求点A、B在直线l的两侧AB0 A到直线l的有向距离: A=
∴n1=2d2
必要性:若n1=kd2, 即:(2-a,a)=k(a,1) ∴a2=2-a a2+a-2=0, ∴a=-2或a=1 非必要性
二.直线的倾斜角斜率以及与方向向量与法向量之间关系 y 1.直线的斜率k与倾斜角之间关系:
tan , 当[0, )( ,)时,
2 当= 2 2
x x0 y y0 点方向式 u v x x1 y y1 两点式 x2 x1 y2 y1
d=(u,v)
P(x0,y0) Q(x2,y2) P(x1,y1)
空间直线的三种表示方法
空间直线的三种表示方法本文旨在探讨空间直线的三种表示方法，此三种表示方法分别为参数方程法、坐标方程法和向量方程法。
首先，本文将简要介绍这三种方法的基本内容；其次，本文将深入探讨这三种方法的特点；最后，本文将总结这三种方法，并给出解决空间直线问题的指导方法。
参数方程法: 以参数化的形式表示空间直线，将其写作$$vec{r}=vec{r_0}+tvec{v}，其中t为参数$$ 。
其中，$vec{r_0}$ 为直线上一点坐标，$vec{r}$ 为任一点坐标，$vec{v}$ 为直线方向向量。
参数方程法可以直接求解直线上任一点的坐标，求解出$t$可解出。
坐标方程法: 以坐标的形式表示空间直线，将其写作：$$begin{aligned}frac{x-x_0}{a}&=frac{y-y_0}{b}&=frac{z-z_0}{c}end{aligned}$$其中$(x_0,y_0,z_0)$ 为任一点坐标，$(a,b,c)$ 为表示方向的方向余弦。
由此可知，若已知参数$(x_0,y_0,z_0,a,b,c)$，则任一点在直线上的坐标均可用此坐标方程表示出来。
向量方程法: 以向量形式表示空间直线，将其写作：$$vec{r}=vec{P}_0+tvec{d}$$中$vec{P_0}$ 为直线上一点坐标，$vec{d}$ 为一个非零的常量向量，即直线的方向向量，t为参数。
在此可以直接求得任一点在直线上的坐标。
三种方法各有优缺点，首先，参数方程法的计算简单，但是若要获取空间直线的方向向量则比较麻烦，坐标方程法比较容易获得空间直线的方向向量，但在计算上略显繁琐；而向量方程法既容易获得空间直线的方向向量，又计算简便。
将上述三种方法总结起来，可以提供一套适合各场合的求解空间直线问题的综合方案：在简单情况下，参数方程法可以用来求解直线上任一点的坐标；若需要获得直线的方向向量，则利用向量方程法求出t的值即可获得；若想获取直线的方向余弦，则坐标方程法是解决此问题的最佳方法。
3.2.1直线的方向向量与直线的向量方程【公开课】
谢谢!
x
A
例1
(2)因为AQ : QB 2, 所以 AQ 2QB, OQ OA 2(OB OQ), OQ OA 2OB,
l z Q B P
O
x
A
y
设点Q的坐标为( x, y, z ),则上式换用坐标表示， 得 ( x, y, z ) 2(2,4,0) 2(1,3,3) (0,2,6) 即x 0, y 2, z 6 因此, 点Q的坐标是(0,2,6).
证明:因为x y 1, 所以y 1 x
即MA x MB ห้องสมุดไป่ตู้ (1 x) MC x( MB MC ) MC MA MC x( MB MC ) 即CA xCB 所以A, B, C三点共线
跟踪练习2
OA 2OB 3OC, 则A, B, C三点是否共线？
点,这就是线段AB中点的向量表达式. ⑵ ③中
OP 、 OA 、 OB有共同的起点.
⑶ ③中OA 、 OB的系数之和为1.
• 思考探究： • 观察到空间直线向量参数方程中的系数满 足（1－t）＋t＝ 1, 这与点A , P , B三点共 线有关系吗？ • （1）若令t＝0或1， 则点P在直线AB的什 么位置？ • （2）若令t＝或2， 则点P在直线AB的什么 位置？ • （3）若令t＝或3， 则点P在直线AB的什么 位置？ • （4）若令t＝－1， 则点P在直线AB的什 么位置？
3.2 空间向量在立体几 何中的应用
已知向量a，在空间固定一个基
点，再作向量 OA a ，则点A在空间 的位置就被向量a所惟一确定了，这
时，我们称这个向量为位置向量。
3.2.1直线的方向向量与直线的向量方程
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§3.2.1直线的方向向量与直线的向量方程
一．知识梳理
1．给定一个定点A 和一个向量a ，再任给一个实数，以A 为起点作向量AP →
＝ta ，这时点P 的位置被完全确定．当t 在R 上变化时，点P 的轨迹是一条通过点A 且平行于向量a 的一条直线l 0.反
之，在直线上任取一点P ，一定存在一个实数t ，使AP →＝ta ，向量方程AP →
＝ta 通常称作
_____________________ __，也表示为OP →＝OA →＋ta 及OP →＝(1－t )OA →＋tOB →
2．设O 是空间任一点，M 是线段AB 的中点，则线段AB 中点的向量表示式是OM →
＝ _. 3．设空间直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1，v 2，则l 1∥l 2(或l 1与l 2重合)⇔________.
4．已知两个非零向量v 1，v 2与平面α共面，一条直线l 的一个方向向量为v ，则l ∥α(或l ⊂α)⇔ __________________________________________________________.
5. 已知两个不共线的向量v 1，v 2与α共面，则由两平面平行的判定和性质，得α∥β或α与β重合⇔ ；
6.设两条直线所成角为θ(锐角)，则直线方向向量的夹角与θ相等或互补，设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l 1⊥l 2⇔_________，cos θ＝ ；.
二．典型例题
[例1] （线线平行）
在长方体OAEB －O1A1E1B1中，|OA|＝3，|OB|＝4，|OO1|＝2，点P 在棱AA1上，且|AP|＝2|PA1|，点S 在棱BB1上，且|SB1|＝2|BS|，点Q 、R 分别是O1B1、AE 的中点，求证：PQ ∥RS.
【例2】（线面平行）
如图所示，在正方体ABCD －A1B1C1D1中，M 、N 分别是C1C 、B1C1的中点．求证：MN ∥平面A 1BD .
【例3】（线线成角） 如图所示，已知正四棱锥S —ABCD 侧棱长为2，底面边长为3，E 是SA 的中点，则异面直线BE 与SC 所成角的大小为______．
【例4】（线线垂直问题）
如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，AA 1＝4，点D 是AB 的中点．(Ⅰ)求证：AC ⊥BC 1；(Ⅱ)求证：AC 1∥平面CDB 1．
§3.2.2平面的法向量与平面的向量表示
一．知识梳理
1．已知平面α，如果一个向量n的基线与平面α垂直，则向量n叫做_____________________________．。