初二数学综合7月27,28(二)答案
初二数学初中数学综合库试题答案及解析
初二数学初中数学综合库试题答案及解析1.（m－n）3－m（m－n）2－n（m－n）2分解因式为（）A．2（m－n）3B．2m（m－n）2C．－2n（m－n）2D．2（n－m）3【答案】B【解析】故选C.2.简便计算：=_______；______.【答案】 -1 ；【解析】略3.在函数中，自变量x的取值范围是( )A．x≠3B．x≠0C．x＞3D．x≠－3【答案】A【解析】根据题意，得x－3≠0，解得x≠3，故选A．4.如图所示，四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠D，那么四边形ABCD是平行四边形吗？请说明理由．【答案】四边形ABCD是平行四边形．证法一：∵AD∥BC，∴∠A＋∠B＝180°．∵∠B＝∠D，∴∠A＋∠D＝180°，∴AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形．证法二：∵AD∥BC，∴∠A＋∠B＝180°，∠C＋∠D＝180°．∵∠B＝∠D，∴∠A＝∠C．∴四边形ABCD是平行四边形．证法三：如图所示，连接AC．∵AD∥BC，∴∠1＝∠2．又∵∠B＝∠D，AC＝CA．∴△ABC≌△CDA(AAS)，∴AD＝BC，又AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形．【解析】根据平行四边形的判定，只需再证AB∥CD或∠A＝∠C或AD＝BC．5.计算:（1）（2）（3）【答案】（1）-1；（2）a；（3）．【解析】（1）根据同分母的分式加减法的法则进行计算即可；（2）括号里的先通分，再乘以括号外的分式，约分化简即可；（3）先通分，再计算即可．试题解析：（1）原式=；（2）原式==a；（3）原式===．【考点】分式的化简．6.（7分）如图，在△ABC中，∠CAB=90°，DE、DF是△ABC的中位线，连接EF、AD，求证：EF=AD．【答案】见解析【解析】由DE、DF是△ABC的中位线，得出DE∥AB，DF∥AC，进而证明四边形AEDF是平行四边形，再根据条件∠BAC=90°，证得平行四边形AEDF是矩形即可得出结论．试题解析：∵DE，DF是△ABC的中位线，∴DE∥AB，DF∥AC，∴四边形AEDF是平行四边形，又∵∠BAC=90°，∴平行四边形AEDF是矩形，∴EF=AD．【考点】1.三角形中位线定理；2.矩形的判定与性质．7.下列式子中，属于最简二次根式的是（）A．B．C．D．【答案】B．【解析】满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．根据最简二次根式的条件可得只有选项B是最简二次根式，故答案选B．【考点】最简二次根式．8.如图，EF∥AD，AD∥BC，CE平分∠BCF，∠DAC=120°，∠ACF=20°，求∠FEC的度数．【答案】20°．【解析】先由平行线的性质及∠DAC的度数算出∠ACB的度数，再根据∠ACF的度数求出∠FCB的度数，由CE平分∠BCF得出∠FCE=∠ECB，所以∠ECB的度数就求出来了，再由EF∥AD，AD∥BC，得出EF∥BC（平行公理推论），然后利用平行线性质推出∠FEC=∠ECB，从而得出∠FEC的度数．试题解析：因为AD∥BC,∠DAC=120°,所以∠ACB=180°-120°=60°（两直线平行，同旁内角互补），又因为∠ACF=20°，所以∠BCF=60°-20°=40°，因为CE平分∠BCF，所以∠ECB=∠BCF=×40°=20°，因为EF∥AD，AD∥BC，所以EF∥BC（根据平行公理推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行），所以∠FEC=∠ECB=20°（两直线平行，内错角相等）．【考点】1．平行线的性质；2．角平分线的性质；3．等腰三角形的性质．9.如图，E是矩形ABCD的边CD上的一点，BE交AC于点O，已知△OCE和△OBC的面积分别为2和8．（1）求△OAB和四边形AOED的面积；（2）若BE⊥AC，求BE的长．【答案】（1）32，38；（2）．【解析】（1）根据等高的三角形的面积之比等于边之比，求出OE：OB=1：4，再证△OCE∽△OAB，根据相似三角形的性质求出△AOB的面积，求出△ADC面积，得出平行四边形的面积，即可请求出答案；（2）设OE=x（x＞0），OB=4x，BE=5x，求出CD，根据△OCE的面积求出x即可．试题解析：解：（1）∵△COE与△OBC中边EO，BO在同一直线上且此边上的高相等∴在矩形ABCD中∵DC∥AB∴△OCE∽△OAB∴∴∴= =8+32=40∵AB=CD，BC=DA且∠ABC=∠ADC=90°∴=∴=40-2=38（2）设OE=x（x＞0）则OB=4x BE=5x在Rt△BOE中∵∠BCE=90°，CO⊥BE∴△COE∽△BOC∴∴CO=2x∵=∴∴(负值舍去)∴【考点】矩形的性质;相似三角形的性质和判定;三角形的面积．10.（2015秋•常熟市校级月考）下列各点在一次函数y=x+4图象上的是（）A．点（﹣7，3）B．点（3，7）C．点（4，﹣8）D．点（2.5，1.5）【答案】B【解析】把各点分别代入一次函数y=x+4检验即可．解：A、把x=﹣7代入y=x+4=﹣7+4=﹣3，错误；B、把x=3代入y=x+4=3+4=7，正确；C、把x=4代入y=x+4=4+4=8，错误；D、把x=2.5代入y=x+4=2.5+4=6.5，错误；故选B11.如图是一个围棋棋盘的局部，若把这个围棋棋盘放置在一个平面直角坐标系中，白棋①的坐标是（-2，-2），白棋③的坐标是（-1，-4），则黑棋②的坐标是．【答案】（1，－3）【解析】根据给出的图示中点的坐标，找出坐标原点，然后求出黑棋②的坐标．【考点】坐标系中点的坐标表示12.（2010•眉山）如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为（）A．90° B．60° C．45° D．30°【答案】C【解析】根据勾股定理即可得到AB，BC，AC的长度，进行判断即可．解：根据勾股定理可以得到：AC=BC=，AB=．∵（）2+（）2=（）2．∴AC2+BC2=AB2．∴△ABC是等腰直角三角形．∴∠ABC=45°．故选C．【考点】勾股定理．13.已知Rt△ABC中，AB=3，AC=4，则BC的长为__________．【答案】或5．【解析】试题解析：①AC为斜边，BC，AB为直角边，由勾股定理得BC=；②BC为斜边，AC，AB为直角边，由勾股定理得BC=；所以BC的长为或5．【考点】勾股定理．14.在一次体育测试中，小芳所在小组8人的成绩分别是：46，47，48，48，49，49，49，50，则8人体育成绩的中位数是（）A．47B．48C．48.5D．49【答案】C．【解析】将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数，由此计算即可．解：这组数据的中位数为=48.5．故选C．【考点】中位数．15.如图甲是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中的虚线剪成四个全等的小长方形，再按图乙围成一个较大的正方形．（1）请用两种方法表示图中阴影部分面积（只需表示，不必化简）；（2）比较（1）两种结果，你能得到怎样的等量关系？请你用（2）中得到等量关系解决下面问题：如果m﹣n=5，mn=14，求m+n的值．【答案】（1）（m+n）2﹣4mn；（m﹣n）2；（2）m+n的值为9．【解析】（1）观察图形可确定：方法一，大正方形的面积为（m+n）2，四个小长方形的面积为4mn，中间阴影部分的面积为S=（m+n）2﹣4mn；方法二，图2中阴影部分为正方形，其边长为m﹣n，所以其面积为（m﹣n）2．（2）观察图形可确定，大正方形的面积减去四个小长方形的面积等于中间阴影部分的面积，即（m+n）2﹣4mn=（m﹣n）2．由（2）得，将m﹣n=5，mn=14，代入（2）式可求m+n=9．解：（1）方法一：∵大正方形的面积为（m+n）2，四个小长方形的面积和为4mn，∴中间阴影部分的面积为（m+n）2﹣4mn．方法二：∵中间小正方形的边长为m﹣n，∴其面积为（m﹣n）2．（2）（m+n）2﹣4mn=（m﹣n）2．∵m﹣n=5，mn=14，∴（m+n）2﹣4×14=52，得m+n=9或m+n=﹣9（舍），故m+n的值为9．【考点】完全平方公式的几何背景．16.化简的结果是（）A．x+1B．C．x﹣1D．【答案】A【解析】原式变形后，利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果．解：原式=﹣===x+1．故选A【考点】分式的加减法．17.如图，在等边△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，且AE=CD，BE与AD相交于点P，BQ⊥AD于点Q.（1）求证：BE=AD（2）求证：PQ=BP【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析【解析】(1)根据等边三角形的性质可得：AB=AC,∠BAC=∠ACB=60°，根据SAS可证△BAE≌ACD，根据全等三角形的性质可证BE=AD；(2)根据全等三角形对应角相等可证∠ABE=∠CAD，根据三角形外角的性质可证∠BPQ=∠ABE+∠BAD，所以可以求出∠PBQ=30°，根据直角三角形的性质可证PQ=BP.试题解析：（1）∵△ABC为等边三角形∴AB=AC,∠BAC=∠ACB=60°在△BAE和△ACD中∴△BAE≌ACD（SAS），∴BE=AD；（2）∵△BAE≌△ACD，∴∠ABE=∠CAD.∵∠BPQ为△ABP外角，∴∠BPQ=∠ABE+∠BAD.∴∠BPQ=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°，∵BQ⊥AD，∴∠PBQ=30°，∴PQ=BP.【考点】1.全等三角形的判定与性质；2.直角三角形的性质.18.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB于点E．（1）求证：△ACD≌△AED；（2）若∠B=30°，CD=1，求BD的长．【答案】（1）证明见解析；（2）2.【解析】（1）根据角平分线性质求出CD=DE，根据HL定理求出两三角形全等即可；（2）求出∠DEB=90°，DE=1，根据含30度角的直角三角形性质求出即可．试题解析：（1）∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C=90°，∴CD=ED，∠DEA=∠C=90°，∵在Rt△ACD和Rt△AED中∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）；（2）∵DC=DE=1，DE⊥AB，∴∠DEB=90°，∵∠B=30°，∴BD=2DE=2．【考点】1.全等三角形的判定与性质；2.角平分线的性质；3.含30度角的直角三角形．19.在代数式，，+，，中，分式有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解析】依据分式的定义进行判断即可．解：分母中不含字母，故不是分式；分母中含有字母是分式；+分母不含字母，故不是分式；分母中含有字母是分式；中π是数字，不是字母，故不是分式．故选B20.吉首城区某中学组织学生到距学校20km的德夯苗寨参加社会实践活动，一部分学生沿“谷韵绿道”骑自行车先走，半小时后，其余学生沿319国道乘汽车前往，结果他们同时到达（两条道路路程相同），已知汽车速度是自行车速度的2倍，求骑自行车学生的速度．【答案】骑自行车学生的速度是20千米/时．【解析】首先设骑自行车学生的速度是x千米/时，则汽车速度是2x千米/时，由题意可得等量关系；骑自行车学生行驶20千米所用时间﹣汽车行驶20千米所用时间=，根据等量关系，列出方程即可．解：设骑自行车学生的速度是x千米/时，由题意得：﹣=，解得：x=20，经检验：x=20是原分式方程的解，答：骑自行车学生的速度是20千米/时．21.如图，Rt△OAB的顶点A（﹣2，4）在抛物线y=ax2上，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°，得到△OCD，边CD与该抛物线交于点P，则点P的坐标为（）A．（，）B．（2，2）C．（，2）D．（2，）【答案】C【解析】首先根据点A在抛物线y=ax2上求得抛物线的解析式和线段OB的长，从而求得点D的坐标，根据点P的纵坐标和点D的纵坐标相等得到点P的坐标即可；解：∵Rt△OAB的顶点A（﹣2，4）在抛物线y=ax2上，∴4=a×（﹣2）2，解得：a=1∴解析式为y=x2，∵Rt△OAB的顶点A（﹣2，4），∴OB=OD=2，∵Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°，得到△OCD，∴CD∥x轴，∴点D和点P的纵坐标均为2，∴令y=2，得2=x2，解得：x=±，∵点P在第一象限，∴点P的坐标为：（，2）故选：C．【点评】本题考查了二次函数的综合知识，解题过程中首先求得直线的解析式，然后再求得点D的纵坐标，利用点P的纵坐标与点D的纵坐标相等代入函数的解析式求解即可．22.如图，△ABC≌△AEF，AB=AE，∠B=∠E，则对于结论①AC=AF，②∠FAB=∠EAB，③EF=BC，④∠EAB=∠FAC，其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解析】根据全等三角形对应边相等，全等三角形对应角相等结合图象解答即可．解：∵△ABC≌△AEF，∴AC=AF，故①正确；∠EAF=∠BAC，∴∠FAC=∠EAB≠∠FAB，故②错误；EF=BC，故③正确；∠EAB=∠FAC，故④正确；综上所述，结论正确的是①③④共3个．故选C．点评：本题考查了全等三角形的性质，熟记性质并准确识图，准确确定出对应边和对应角是解题的关键．23.将一批数据分成5组，列出分布表，其中第一组与第五组的频率之和是0.27，第二与第四组的频率之和是0.54，那么第三组的频率是。
2023-7石景山初二数学答案
石景山区2022-2023学年第二学期初二期末数学试卷答案及评分参考阅卷须知：1．为便于阅卷，本试卷答案中有关解答题的推导步骤写得较为详细，阅卷时，只要考生将主要过程正确写出即可．2．若考生的解法与给出的解法不同，正确者可参照评分参考相应给分. 3．评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数． 一、选择题（共8道小题，每小题2分，共16分）二、填空题（共8道小题，每小题2分，共16分） 9．1x ≥ 10．1211．①165cm 至170cm 之间（包括170cm ）；②15% 12．答案不唯一，满足常数项大于零即可，如51y x =-+13．12y y < 14．①③ 1516．25(05)=-+<<y t t t 说明：答案为1(102)2y t t =-或(5)=-y t t 均不扣分 三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27，28题，每小题7分）17．解法一：2450x x --=， ………………………………………1分(1)(5)0+-=x x ， ………………………………………3分 ∴121,5x x =-=．…………………………………………5分解法二：24454x x -+=+， ………………………………………1分2(2)9-=x ， ………………………………………2分23x -=±， ……………………………………3分∴121,5x x =-=． ………………………………………5分解法三：1,4,5a b c ==-=-，…………………………1分 241641(5)36-=-⨯⨯-=b ac ． ………………………2分46232±====±x ． …………4分∴121,5=-=x x ． ……………………………………5分18．解：（1）∵直线(0)y kx b k =+≠过点(2,5)A -，(0,1)B .∴25,1.-+=⎧⎨=⎩k b b ……………………………………… 2分∴2,1.=-⎧⎨=⎩k b ……………………………………… 4分∴一次函数的表达式为21y x =-+． ……………… 5分19．证明：∵ABCD 是平行四边形，∴AB CD =， ……………………………………………… 1分 AB //CD .∴BAF DCE ∠=∠. ……………………………………… 2分在△BAF和△DCE 中，AB CDBAF DCEAF CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ ………………………………………… 3分∴△BAF ≌△DCE ． …………………………………………4分 ∴BF DE =． ……………………………………………… 5分 20．解：（1）图略； …………………………………………………2分（2）菱形． …………………………………………………5分说明：（2）连接出四边形得1分，写出菱形得2分，写出平行四边形得1分．FE D C B A21．方法一证明：如图，延长DE 到点F ，使EF ＝DE ，连接F A ，FC ，DC ． ∵点D ，E 分别是AB ，AC 边的中点，∴AE ＝EC ，AD ＝BD ，∴四边形ADCF 是平行四边形. ……2分 CF ∥＝AD ， ∴CF ∥＝BD ， ∴四边形DBCF 是平行四边形. …………………………4分 DF ∥＝BC ． 又∵DE ＝DF ， ∴DE ∥BC ，且DE ＝BC ． ……………………………5分 方法二证明：如图，取BC 中点G ，连接GE 并延长到点F ，使EF ＝GE , 连接AF ．∵点D ，E 分别是AB ，AC 边的中点， ∴AE ＝EC ，AD ＝BD ． 又∵∠AEF ＝∠CEG ，∴△AEF ≌△CEG . …………2分 ∴AF ＝CG ，∠F ＝∠CGE ， ∴AF ∥CG ． ∵BG ＝CG ， ∴AF ∥＝BG ， ∴四边形ABGF 是平行四边形. …………………………4分 ∴AB ∥＝FG ． ∵DB ＝AB ，GE ＝GF ， ∴DB ∥＝GE ， ∴四边形DBGE 是平行四边形， ∴DE ∥BC ，且DE ＝BG ＝BC ． ………………………5分 1212121212F E DCBAF G ADBCE22．解：（1）60. ……………………………………………………… 1分 （2）甲. ……………………………………………………… 3分 （3）两人出发2秒后， 606022=4.56S S -=⨯⨯-乙甲 ………………………… 5分 答：两人出发2秒后相距4米.23．解： （1）…………………… 2分（2）到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；… 3分 FCA ∠； ……………………………………………………4分 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；………………5分 对角线互相垂直的平行四边形是菱形. …………… … 6分 24．解：（1）∵△24b ac =- ………………………………………… 1分 2(2)4(21)k k =---2484=k k -+ 24(21)k k =-+24(1)k =-. …………………………………… 2分∵无论k 取何值时，24(1)0=k ∆-≥,∴原方程有两个实数根． ………………………… 3分（2）∵22(1)2±-==k k x . 12+2(1)=212-=-k k x k ; 22-2(1)=12-=k k x . …… 5分 ∵该方程有一个根小于1， ∴21 1.-<k∴ 1.<k …………………………… 6分N M (N )(M )25．解：设甬路的宽为x m ，据题意列方程，得 ……………………… 1分2281610132⨯-=⨯-x x . ………………………… 3分 整理，得216280-+=x x ．解得 122,1410==>x x （不合题意，舍去）． …………5分 答：甬路的宽为2m. ………………………………………… 6分 26．解：（1）∵函数2y x =的图象经过点（1，m ），∴ m =2． …………………………………………………2分 又∵一次函数=+y x b （0k ≠）的图象经过（1，2）， ∴ 1+2=b ， 解得1b =. ………………………4分（2）1≤-n . …………………………………………………6分 27．解：（1）补全图形，如图所示．………………………………… 2分（2）DF ． ………………………………… 3分 证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴90A=∠︒，AB =AD . ………………………… 4分 ∴1390+=∠∠︒． ∵EB=EF ，EB EF ⊥， ∴2390+=∠∠︒． ∴12=∠∠． 又FG ⊥AD ， ∴90∠︒G=． ∴90∠∠︒A=G=．∴△ABE ≌△G E F ．∴=EA FG ；=AB GE ． …………………………… 6分 ∴=EA DG ． ∴=DG FG .在直角三角形DGF 中，=DG FG .∴DF . …………………………… 7分GCA DEG CAD E28．解:（1）①(0,1)-或(0,3)； ………………………… 2分(或. ……………………… 4分 ② 5. …………………………… 5分 （2）44-≤≤b . …………………………… 7分。
初二数
一、填空（本大题共有15题，每题2分，满分30分）2、用四舍五入法把3.1415926精确到千分位是，用科学记数法表示302400，应记为,近似数3.0×精确到位。
3、已知圆的周长为50，用含π的代数式表示圆的半径，应是。
4、铅笔每支m元，小明用10元钱买了n支铅笔后，还剩下元。
5、当a=－2时，代数式的值等于。
6、代数式2x3y2+3x2y－1是次项式。
7、如果4amb2与abn是同类项，那么m+n= 。
8、把多项式3x3y－xy3+x2y2+y4按字母x的升幂排列是。
9、如果∣x-2∣=1，那么∣x-1∣= 。
10、计算：（a－1）－(3a2－2a+1) = 。
11、用计算器计算（保留3个有效数字）：= 。
12、“24点游戏”：用下面这组数凑成24点（每个数只能用一次）。
2，6，7，8．算式。
13、计算：（－2a）3 = 。
14、计算：（x2+ x－1）•（－2x）= 。
15、观察规律并计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）= 。
（不能用计算器，结果中保留幂的形式）二、选择（本大题共有4题，每题2分，满分8分）16、下列说法正确的是…………………………（）（A）2不是代数式（B）是单项式（C）的一次项系数是1 （D）1是单项式17、下列合并同类项正确的是…………………（）（A）2a+3a=5 （B）2a－3a=－a （C）2a+3b=5ab （D）3a－2b=ab18、下面一组按规律排列的数：1,2，4,8，16，……，第2002个数应是（）A、B、－1 C、D、以上答案不对19、如果知道a与b互为相反数，且x与y互为倒数，那么代数式|a + b| - 2xy的值为（）A. 0B.-2C.-1D.无法确定三、解答题：（本大题共有4题，每题6分，满分24分）20、计算：x+ +521、求值：（x+2）（x－2）（x2+4）－（x2－2）2 ，其中x=－(3)由（1）、（2）你有什么发现或想法？23、已知：A=2x2－x+1，A－2B = x－1，求B四、应用题（本大题共有5题，24、25每题7分，26、27、28每题8分，满分38分）26、已知:我市出租车收费标准如下：乘车里程不超过五公里的一律收费5元；乘车里程超过5公里的，除了收费5元外超过部分按每公里1.2元计费.(1)如果有人乘计程车行驶了x公里（x>5）,那么他应付多少车费？（列代数式）（4分）(2)某游客乘出租车从兴化到沙沟，付了车费41元，试估算从兴化到沙沟大约有多少公里？（4分）27、第一小队与第二小队队员搞联欢活动，第一小队有m人，第二小队比第一小队多2人。
2024-2025学年华东师大版数学八年级上册 期末综合测试卷(二)
2024-2025学年华东师大版数学八年级上册期末综合测试卷(二)1.下列说法正确的是A．没有立方根B．8的立方根是C．的立方根是D．立方根等于本身的数只有0和12.下列多项式能直接用完全平方公式进行因式分解的是（）A．x2＋2x﹣1B．x2﹣x＋C．x2＋xy＋y2D．9＋x2﹣3x 3.如图是国产某品牌手机专卖店今年8-12月高清大屏手机销售额折线统计图．根据图中信息，可以判断相邻两个月这种手机销售额变化最大的是（）A．8~9月B．9~10月C．10~11月D．11~12月4.如图，已知点O为△ABC的两条角平分线的交点，过点O作OD⊥BC，垂足为D，且OD＝4．若△ABC的面积是34，则△ABC的周长为（）A．8.5B．15C．17D．345.用三个不等式，，中的两个不等式作为题设，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，组成真命题的个数为（）A．0B．1C．2D．36.“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的.借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角.这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在点相连并可绕转动，点固定，，点，可在槽中滑动，若，则的度数是（）A．60°B．65°C．75°D．80°7.《九章算术》是我国古代一部著名的数学专著，其中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？其意思是：有一根与地面垂直且高一丈的竹子（1丈＝10尺），现被大风折断成两截，尖端落在地面上，竹尖与竹根的距离为三尺．问折断处高地面的距离为（）A．5.45尺B．4.55尺C．5.8尺D．4.2尺8.将4张长为a、宽为b(a≥b)的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为(a＋b)的正方形，图中空白部分的面积为m，阴影部分的面积为n．若m＝3n，则a、b满足（）A．a＝b或a＝3b B．a＝b或a＝4b C．a＝b或a＝5b D．a＝b或a＝6b9.如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为．A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为（）A．B．C．D．10.如图，∠AOB=60°，OA=OB，动点C从点O出发，沿射线OB方向移动，以AC为边在右侧作等边△ACD，连接BD，则BD所在直线与OA所在直线的位置关系是（）A．平行B．相交C．垂直D．平行、相交或垂直11.实数a在数轴上的位置如图，则____________．12.分解因式：_______．13.如图所示的网格是正方形网格，则＝_____°（点A，B，P是网格线交点）.14.如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①以B为圆心，任意长为半径作弧，交AB于D，交BC于E；②分别以D，E为圆心，以大于DE的同样长为半径作弧，两弧交于点M；③作射线BM交AC于N．如果BN＝NC，∠A＝57°，那么∠ABN的度数为_____．15.如图，垂直于的平分线交于点D，交于点E，，若的面积为2，则的面积为________．16.计算：(1)；(2)．17.已知，是等边三角形，过点作，连接交于点，且．(1)如图①，求证：垂直平分；(2)如图②，点在的延长线上，点在线段上，连接，，，且．求证：．18.“先学后教”课题组对学生参与小组合作的深度和广度进行评价，其评价项目为主动质疑、独立思考、专注听讲、讲解题目四项．课题组随机抽取了若干名初中学生的参与情况，绘制了如图两幅不完整的统计图，请根据图中所给信息解答下列问题：（1）在这次评价中，一共抽查了______名学生；（2）请将条形统计图补充完整；（3）求出扇形统计图中，“主动质疑”所对应扇形的圆心角的度数．19.如图，一艘轮船由A港沿北偏东方向航行10km至B港，再沿北偏西方向航行10km到达C港.（1）求A、C两港之间的距离（精确到1km）（2）求点C相对于点A位置.20.阅读下列材料，回答问题．如果一个数的n（n是大于1的整数）次方等于a，这个数就叫做a的n次方根．换句话说，如果，那么x叫做a的n次方根．例如：因为，，所以2和叫做16的4次方根．即，，所以．又如：因为，所以叫做的5次方根．即：．(1)64的6次方根是，的5次方根是．（直接写出结果）(2)______；(3)归纳一个数的n次方根的情况．21.已知，如图，和都是等腰直角三角形，，为边上一点．(1)求证：≌；(2)求证：．22.阅读以下材料：对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（J．Nplcr，1550﹣1617年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Evlcr，1707﹣1783年）才发现指数与对数之间的联系．对数的定义：一般地，若（且），那么叫做以为底的对数，记作，比如指数式可以转化为对数式，对数式，可以转化为指数式．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：（，，，），理由如下：设，，则，，∴，由对数的定义得又∵∴根据阅读材料，解决以下问题：（1）将指数式转化为对数式________；（2）求证：（，，，）（3）拓展运用：计算________．23.如图所示，已知中，，，，P、Q是的边上的两个动点，其中点P从点A开始沿方向运动，且速度为每秒，点Q从点B开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为t秒．(1)则______；(2)当t为何值时，点P在边的垂直平分线上?此时的长度是多少?(3)当点Q在边上运动时，直接写出使成为等腰三角形的运动时间．24.1637年笛卡尔（R．Descartes，1596-1650）在其《几何学》中，首次应用待定系数法最早给出因式分解定理．关于笛卡尔的“待定系数法”原理，举例说明如下：分解因式：．观察知，显然时，原式，因此原式可分解为与另一个整式的积．令：，而，因等式两边同次幂的系数相等，则有：，得，从而根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题：（1）若是多项式的因式，求的值并将多项式分解因式．（2）若多项式含有因式及，求的值．25.在△DEF中，DE＝DF，点B在EF边上，且∠EBD＝60°，C是射线BD上的一个动点（不与点B重合，且BC≠BE），在射线BE上截取BA＝BC，连接AC．（1）当点C在线段BD上时，①若点C与点D重合，请根据题意补全图1，并直接写出线段AE与BF的数量关系为；②如图2，若点C不与点D重合，请证明AE＝BF＋CD；（2）当点C在线段BD的延长线上时，用等式表示线段AE，BF，CD之间的数量关系（直接写出结果，不需要证明）．。
初二数学初中数学综合库试题答案及解析
初二数学初中数学综合库试题答案及解析1.（8分）如图，点A(m，m+1)、B(m+3，m－1)都在反比例函数的图象上．(1)求m，k的值；(2)如果M为x轴上一点，N为y轴上一点，以点A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，试求直线MN的函数表达式．【答案】(1)m=3 k=12 (2) 直线MN的函数表达式或【解析】略2.（本题8分）某蔬菜研究所培养番茄种子，共试种了1.2万株番茄，种子成熟后，为统计种子数量，科研人员随机抽取了15株番茄作为样本进行计算统计，统计结果如下：根据以上信息回答：(1)表中数据的众数是；(2)计算样本中每株番茄的平均结籽质量；(3)已知每1g结籽质量有50颗种子，请估计研究所共育得番茄种子多少颗?【答案】（1）29 （2） 28 （3） 1.68×107【解析】略3.我校准备挑选一名跳高运动员参加区中学生运动会，对跳高队的甲、乙两名运动员进行了8次选拔比赛，他们的成绩（单位：cm）如下：【1】甲、乙两名运动员的跳高平均成绩分别是多少？【答案】甲169，乙168；【2】哪名运动员的成绩更为稳定？为什么？【答案】甲6 乙31.5选甲【3】若预测，跳过165cm就很可能获得冠军。
该校为了获得冠军，可能选哪位运动员参赛？若预测跳过170cm才能得冠军呢？为什么？【答案】甲、乙4.不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（）A．AB = CD，AD =" BC"B．AB = CD，AB∥CDC．AB = CD，AD∥BC D．AB∥CD，AD∥BC【答案】C【解析】略5.先化简，再求值：(x＋1)(x－1)－x(x－1)，其中x=-2【答案】-3【解析】原式=x2－1－x2＋x ………………3分=x－1 ………………4分当x=-2时，原式=-2－1="-3. " ………………5分6.某政府部门招聘公务员1人，对前来应聘的A、B、C三人进行了三项测试，成绩高者将被录用，他们的各项测试成绩如下表所示：（1）如果以三项测试的平均成绩为最终成绩确定录用人选，那么谁将被录用？（2）若将笔试、面试、群众评议三项测试得分按1︰2︰4的比例确定个人的最终成绩，则谁将被录用？【答案】（1）A将被录用（2）B将被录用【解析】解：（1）A的成绩：．B的成绩：．C的成绩：．所以A将被录用．（2）A的成绩：．B的成绩：．C的成绩：．所以B将被录用．7. (2014云南)写出一个图象经过一、三象限的正比例函数y＝kx(k≠0)的解析式(关系式)：________．【答案】y＝3x(答案不唯一)【解析】对于正比例函数y＝kx(k≠0)，只要k＞0，其图象都经过第一、三象限，所以答案不唯一，如y＝3x．8.如图所示，已知l1∥l2，AB∥CD，CE⊥l2于E，FG⊥l2于点G．则下列说法错误的是（）A．AB＝CDB．CE＝FGC．CF＝EGD．AB＝FG【答案】D【解析】利用平行四边形的对边相等进行判断．9.(2014广西桂林)在□ABCD中，对角线AC、BD交于点O，过点O作直线EF分别交线段AD、BC于点E、F．(1)根据题意，画出图形，并标上正确的字母；(2)求证：DE＝BF．【答案】见解析【解析】(1)如图所示．(2)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO＝DO，BC∥AD，∴∠OBF＝∠ODE．∵∠BOF＝∠DOE，∴△BOF≌△DOE(ASA)，∴DE＝BF．10.已知，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=45°，点D为直线BC上一动点（点D不与点B，C重合）．以AD为边作正方形ADEF，连接CF．（1）如图1，当点D在线段BC上时．求证：CF+CD=BC；（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变，则CF，BC，CD三条线段之间有什么关系？并说明理由．【答案】（1）见解析（2）CF﹣CD=BC．理由见解析【解析】（1）根据条件，利用“SAS”判断△BAD≌△CAF，得到BD=CF，所以CF+CD=BD+CD=BC；（2）和（1）的方法一样可证明△BAD≌△CAF得到BD=CF，而BD=BC+CD，则CF﹣CD=BC．试题解析：（1）证明：如图1，∵∠BAC=90°，∠ABC=45°，∴∠ACB=∠ABC=45°，∴AB=AC，∵四边形ADEF是正方形，∴AD=AF，∠DAF=90°，∵∠BAD=90°﹣∠DAC，∠CAF=90°﹣∠DAC，∴∠BAD=∠CAF，在△BAD和△CAF中，，∴△BAD≌△CAF（SAS），∴BD=CF，∵BD+CD=BC，∴CF+CD=BC；（2）解：CF﹣CD=BC．理由如下：如图2，∵∠BAD=90°+∠CAD，∠CAF=90°+∠CAD，∴∠BAD=∠CAF，在△BAD和△CAF中，，∴△BAD≌△CAF（SAS），∴BD=CF，∵BD=BC+CD，∴CF﹣CD=BC．【考点】1．正方形的性质；2．全等三角形的判定与性质．11.（8分）某园林部门决定利用现有的349盆甲种花卉和295盆乙种花卉搭配A、B两种园艺造型共50个，摆放在迎宾大道两侧．已知搭配一个A种造型需甲种花卉8盆，乙种花卉4盆；搭配一个B种造型需甲种花卉5盆，乙种花卉9盆．（l）某校2015届九年级某班课外活动小组承接了这个园艺造型搭配方案的设计，问符合题意的搭配方案有几种？请你帮助设计出来；（2）若搭配一个A种造型的成本是200元，搭配一个B种造型的成本是360元，试说明（1）中哪种方案成本最低，最低成本是多少元？【答案】（1）可设计三种搭配方案①A种园艺造型31个，B种园艺造型19个；②A种园艺造型32个，B种园艺造型18个；③A种园艺造型33个，B种园艺造型17个．（2）应选择方案③，成本最低，最低成本为12720元．【解析】（1）根据题目中的两个不等关系“•A种造型需甲种花卉的数量+B种造型需甲种花卉的数量≤349， A种造型需乙种花卉的数量+B种造型需乙种花卉的数量≤295”，即可列出一元一次不等式组，直接解不等式组，然后取整数解即可；（2）有两种方法，•根据题意可得，B种造型的造价成本高于A种造型成本．所以B种造型越少，成本越低，所以选择B造型最少的方案，计算出这种方案的成本即可；‚根据（1）中得出的方案，分别计算出每种方案的成本，选择成本最低的方案即可．试题解析： 解：（1）设搭配A 种造型x 个，则B 种造型为（50﹣x ）个， 依题意得，解这个不等式组得：31≤x≤33， ∵x 是整数，∴x 可取31，32，33，∴可设计三种搭配方案 ①A 种园艺造型31个，B 种园艺造型19个； ②A 种园艺造型32个，B 种园艺造型18个； ③A 种园艺造型33个，B 种园艺造型17个．（2）方法一：由于B 种造型的造价成本高于A 种造型成本．所以B 种造型越少，成本越低， 故应选择方案③，成本最低，最低成本为33×200+17×360=12720（元）， 方法二：方案①需成本31×200+19×360=13040（元）； 方案②需成本32×200+18×360=12880（元）； 方案③需成本33×200+17×360=12720（元），∴应选择方案③，成本最低，最低成本为12720元． 【考点】一元一次不等式组的应用．12. 如图，在▱ABCD 中，E 是BC 的中点，且∠AEC=∠DCE ，则下列结论不正确的是（ ）A ．S △AFD =2S △EFBB ．BF=DFC ．四边形AECD 是等腰梯形D ．∠AEB=∠ADC【答案】A ．【解析】A 、∵AD ∥BC ，∴△AFD ∽△EFB ，∴，故S △AFD =4S △EFB ；B 、由A 中的相似比可知，BF=DF ，正确．C 、由∠AEC=∠DCE 可知正确．D 、利用等腰三角形和平行的性质即可证明． 故选A ．【考点】1.平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质．13. 一旅游团51人到一旅社住宿，旅社的客房有二人间和三人间，二人间每人每晚30元，三人间每人每晚20元．若旅客住满21间客房，问： （1）这两种客房各住了多少间？（2）旅游团住宿一宿的花费是多少元？【答案】（1）客房各住了12间，9间．（2）旅游团住宿一宿的花费是1260元．【解析】本题有两个定量：房间数和人数．可根据此找到两个等量关系：二人间房数+三人间房数=21；住二人间的人数+住三人间的人数=51． 试题解析：（1）二人间房数为x ，三人间房数为y 则解得答：客房各住了12间，9间．（2）30×12×2+20×9×3=720+540=1260（元） 答：旅游团住宿一宿的花费是1260元． 【考点】二元一次方程组的应用．14.如图，能说明AB∥CD的是（）A．∠1=∠2B．∠3=∠4C．∠1=∠4D．∠2=∠3【答案】B．【解析】由∠1=∠2可得AD∥BC；由∠3=∠4，可得AB∥CD；∠1=∠4，∠2=∠3不能判定两直线平行．故答案选B．【考点】平行线的判定．15.已知点O到的两边AB、AC所在直线的距离相等，且OB＝OC．（1）如图1，若点O在边BC上，求证：AB=AC；（2）如图2，若点O在的内部，求证：AB=AC；（3）若点O在的外部，AB=AC成立吗？请画图表示．【答案】见解析【解析】根据题意得出OE=OF，结合OB=OC得出Rt△OBE≌△OCF，从而得出答案；根据题意画出图形，其中有一种是符合条件的，还有一种是不符合条件的．试题解析：（1）设OE⊥AB于E，OF⊥AC于F 那么，OE=OF 又已知，OB=0C那么，Rt△OBE≌△OCF 所以，∠B=∠C 所以，AB=AC（2）已知，OB=0C 那么，Rt△OBE≌△OCF 所以，∠OBE=∠OCF 而，由OB=OC得到：∠OBC=∠OCB所以：∠OBE+∠OBC=∠OCF+∠OCB 即：∠ABC=∠ACB 所以，AC=AB（3）【考点】三角形全等16.如图所示，在△ABC中，AQ=PQ，PR=PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，则三个结论：①AS=AR；②QP∥AR；③△BPR≌△QPS中（）A．全部正确B．仅①和③正确C．仅①正确D．仅①和②正确【答案】D．【解析】试题解析：如图，在RT△APR和RT△APS中，，∴RT△APR≌RT△APS（HL），∴∠AR=AS，①正确；∠BAP=∠1，∵AQ=PQ，∴∠1=∠2，∴∠BAP=∠2，∴QP∥AB，②正确，∵△BRP和△QSP中，只有一个条件PR=PS，再没有其余条件可以证明△BRP≌△QSP，故③错误．故选D．【考点】1．全等三角形的判定与性质；2．等腰三角形的性质．17.下列命题：①关于某条直线成轴对称的两个图形是全等图形；②有一个外角为60°的等腰三角形是等边三角形；③关于某直线对称的两条线段平行；④正五边形有五条对称轴；⑤在直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半．其中正确的有（）个．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C．【解析】①关于某条直线成轴对称的两个图形是全等图形，正确；②有一个外角为60°的等腰三角形是等边三角形，错误；③关于某直线对称的两条线段平行，错误；④五角星有五条对称轴，正确；⑤在直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半正确．故答案选C．【考点】1．全等图形的定义;2．等边三角形的判定;3．轴对称的性质;4．直角三角形的性质．18.（2015秋•衡阳校级期中）计算：（1）（a4）3•（a2）3÷（a4）2（2）（2x2y﹣x3y2﹣xy3）÷（﹣xy）【答案】（1）a10；（2）2x2y﹣4x+y2．【解析】（1）原式利用幂的乘方运算法则计算，合并即可得到结果；（2）原式利用多项式除以单项式法则计算即可得到结果．解：（1）原式=a12•a6÷a8=a10；（2）原式=2x2y﹣4x+y2．【考点】整式的混合运算．19.下列分式中，无论x为何值，一定有意义的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据分式有意义，分母不等于0对各选项举反例排除求解．解：A、x=﹣2时，x+2=0，分式无意义，故本选项错误；B、x=0时，分式无意义，故本选项错误；C、x=±1时，x2﹣1=0，分式无意义，故本选项错误；D、无论x为何值，一定有意义，故本选项正确．故选D．【考点】分式有意义的条件．20.已知点（﹣1，y1）、（2，y2）、（π，y3）在双曲线y=上，则y1、y2、y3的大小关系．【答案】y2＞y3＞y1．【解析】由点（﹣1，y1）在双曲线上，可得出y1＜0，再由k2+1≥1，可得知反比例函数在第一象限内的图象单调递减，由此即可得出y2＞y3＞0＞y1．解：∵点（﹣1，y1）在双曲线y=上，∴y1==﹣k2﹣1＜0．∵k2+1≥1，∴反比例函数y=在第一象限内的图象单调递减，∵2＜π，∴y2＞y3＞0，∴y2＞y3＞y1．故答案为：y2＞y3＞y1．21.下列说法中，正确的是（）A．“打开电视，正在播放河南新闻节目”是必然事件B．某种彩票中奖概率为10%是指买十张一定有一张中奖C．神舟飞船发射前需要对零部件进行抽样调查D．了解某种节能灯的使用寿命适合抽样调查【答案】D．【解析】试题解析：A．“打开电视，正在播放河南新闻节目”是随机事件，故A选项错误；B．某种彩票中奖概率为10%是指买十张可能中奖，也可能不中奖，故B选项错误；C．神舟飞船发射前需要对零部件进行全面调查，故C选项错误；D．解某种节能灯的使用寿命，具有破坏性适合抽样调查，故D选项正确．故选D．【考点】1.随机事件；2.全面调查与抽样调查；3.概率的意义．22.如图所示，小明从坡角为30°的斜坡的山底（A）到山顶（B）共走了200米，则山坡的高度BC为米．【答案】100【解析】直接利用坡角的定义以及结合直角三角中30°所对的边与斜边的关系得出答案．解：由题意可得：AB=200m，∠A=30°，则BC=AB=100（m）．故答案为：100．23.（a+b﹣），其中a=，b=．【答案】2【解析】解：原式=•==（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2，当a=，b=﹣时，原式=﹣=2．24.如图，某广场设计的一建筑物造型的纵截面是抛物线的一部分，抛物线的顶点O落在水平面上，对称轴是水平线OC．点A、B在抛物线造型上，且点A到水平面的距离AC=4米，点B到水平面距离为2米，OC=8米．（1）请建立适当的直角坐标系，求抛物线的函数解析式；（2）为了安全美观，现需在水平线OC上找一点P，用质地、规格已确定的圆形钢管制作两根支柱PA、PB对抛物线造型进行支撑加固，那么怎样才能找到两根支柱用料最省（支柱与地面、造型对接方式的用料多少问题暂不考虑）时的点P？（无需证明）（3）为了施工方便，现需计算出点O、P之间的距离，那么两根支柱用料最省时点O、P之间的距离是多少？（不写求解过程）【答案】（1）抛物线的解析式为：x=﹣y2+8；（2）作点A关于点C的对称点点D，连接DB与x轴交于点P，则点P即为所求；（3）两根支柱用料最省时点O、P之间的距离是4米．【解析】（1）根据题意可以建立合适的平面直角坐标系，从而可以求得抛物线的解析式；（2）根据两点之间线段最多，作出相应的图形，写出作法即可；（3）根据前面的坐标系和抛物线解析式可以求得点B的坐标，再根据三角形相似可以求得两根支柱用料最省时点O、P之间的距离，注意此处只写出答案即可．解：（1）如右图所示，由题意可得，点C的坐标为（0，0），点A的坐标为（0，4），点O的坐标为（8，0），设此抛物线的解析式为：x=ay2+8，则0=a×42+8，解得，a=﹣，即抛物线的解析式为：x=﹣y2+8；（2）作点A关于点C的对称点点D，连接DB与x轴交于点P，则点P即为所求；（3）两根支柱用料最省时点O、P之间的距离是4米．【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．25.证明定理：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等，已知：如图，在△ABC中，分别作AB边、BC边的垂直平分线，两线相交于点P，分别交AB边、BC边于点E、F．求证：AB、BC、AC的垂直平分线相交于点P证明：∵点P是AB边垂直平线上的一点，∴ = （）．同理可得，PB= ．∴ = （等量代换）．∴（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的）∴AB、BC、AC的垂直平分线．【答案】PB；PA；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等；PC；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等；PA；PC；点P是AC边垂直平线上的一点；垂直平分线上；相交于点P．【解析】根据线段垂直平分线的性质可得出PB=PA，同理可得出PA=PC，由此即可得出PA=PC，再根据线段垂直平分线的性质可得出点P是AC边垂直平线上的一点，从而证出结论．证明：∵点P是AB边垂直平线上的一点，∴PB="PA" （垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等）．同理可得，PB=PC（垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等）．∴PA=PC（等量代换）．∴点P是AC边垂直平线上的一点（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上），∴AB、BC、AC的垂直平分线相交于点P．故答案为：PB；PA；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等；PC；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等；PA；PC；点P是AC边垂直平线上的一点；垂直平分线上；相交于点P．点评：本题考查了线段垂直平分线的性质，解题的关键是找出点P是AC边垂直平线上的一点．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据线段垂直平分线的性质找出相等的线段是关键．26.某次数学竞赛中出了10道题，每答对一题得5分，每答错一题扣3分，若答题只有对错之分，如果至少得10分，那么至少要答对（）A．4 题B．5 题C．6题D．无法确定【答案】B【解析】设要答对x道题，则答错（10﹣x）道，答对x道题可以得分5x分，答错（10﹣x）道扣分3（10﹣x），根据题意可得不等式5x﹣3（10﹣x）≥10，再解不等式即可．解：设要答对x道题，由题意得：5x﹣3（10﹣x）≥10，解得：x≥5．即：至少要答对5道题，才能至少得10分．故选：B．点评：此题主要考查了一元一次不等式的应用，关键是表示出答对和答错的题目数量，再表示出得分和扣分，根据最后得分情况列出不等式．27.如图，将周长为8cm的△ABC沿BC方向平移1cm得到△DEF，则四边形ABFD的周长为 cm．【答案】10【解析】根据平移的基本性质，得出四边形ABFD的周长=AD+AB+BF+DF=1+AB+BC+1+AC即可得出答案．解：根据题意，将周长为8cm的△ABC沿BC向右平移1cm得到△DEF，∴AD=1cm，BF=BC+CF=BC+1cm，DF=AC；又∵AB+BC+AC=8cm，∴四边形ABFD的周长=AD+AB+BF+DF=1+AB+BC+1+AC=10cm．故答案为：10．点评：本题考查平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．得到CF=AD，DF=AC是解题的关键．28.如图，已知△ABC的面积是20，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝3，则△ABC的周长是．【答案】【解析】根据角平分线的性质可得：点O到各边的距离均为3，则根据三角形的面积可得：△ABC的周长×3÷2=20，则△ABC的周长为.【考点】角平分线的性质29.若的值是（）A．1B．25C．2D．-10【答案】B【解析】根据完全平方公式可得：－2mn=49－24=25.【考点】乘法公式的应用30.已知a﹣b=5，ab=3，求代数式a3b﹣2a2b2+ab3的值．【答案】75【解析】首先把代数式a3b﹣2a2b2+ab3分解因式，然后尽可能变为和a﹣b、ab相关的形式，然后代入已知数值即可求出结果．试题解析：∵a3b﹣2a2b2+ab3 =ab（a2﹣2ab+b2） =ab（a﹣b）2 而a﹣b=5，ab=3，∴a3b﹣2a2b2+ab3=3×25=75．【考点】因式分解的应用．31.等腰三角形的一个角是80°，则它的顶角的度数是（）A．30°B．80°或20°C．80°或50°D．20°【答案】B【解析】分80°角是顶角与底角两种情况讨论求解．①80°角是顶角时，三角形的顶角为80°，②80°角是底角时，顶角为180°﹣80°×2=20°，综上所述，该等腰三角形顶角的度数为80°或20°．【考点】等腰三角形的性质．32. 如图，∠x 的两条边被一直线所截，用含α和β的式子表示∠x 为（ ）A ．α﹣βB ．β﹣αC ．180°﹣α+βD ．180°﹣α﹣β【答案】B【解析】根据β为角x 和α的对顶角所在的三角形的外角，再根据三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角的和解答． 如图，∵α=∠1， ∴β=x+∠1 整理得：x=β﹣α．【考点】三角形的外角性质．33. 三角形的周长为26，一边为6，则腰长为（ ）A ．6B ．10C ．6或10D ．12【答案】B【解析】当6为腰长时，则底边长为14，则6、6、14无法构成三角形；当6为底时，则腰长为(26－6)÷2=10cm. 【考点】等腰三角形34. 计算图中四边形ABCD 的面积．【答案】246.【解析】根据观察图形可以看出四边形ABCD 的面积为△ABD 和△BCD 的面积之和，根据AD ，AB 可以计算△ABD 的面积和BD 的长，根据CD ，BD 可以计算△BCD 的面积，即可解题． 试题解析：在Rt △ABD 中，BD 为斜边， AD =12，AB =16， 则BD =，故四边形ABCD 的面积为S △ABD +S △BCD =×12×16+×15×20=96+150=246． 答：四边形ABCD 的面积为246．【点睛】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了直角三角形面积计算方法，本题中正确的计算△ABD 和△BCD 的面积是解题的关键．35. H7N9禽流感病毒的直径大约是0.000 000 078米，用科学记数法表示为_________. 【答案】【解析】分析：本题考察小于1的数的科学记数法. 解析：0.000 000 078=. 故答案为.36.如图，于点，，，则等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】试题解析：∵BC⊥AE于点C，∠B=55°，∴∠A=90°-55°=35°．∵CD∥AB，∴∠1=∠A=35°．故选A．【点睛】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等．37.在一张长为8cm，宽为6cm的矩形纸片上，现要剪下一个腰长为5cm的等腰三角形（要求：等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其余的两个顶点在矩形的边上）．则剪下的等腰三角形的面积为________cm2。
2022年北京市海淀区清华附中创新班八年级下学期期末数学试卷(含答案)
2022年北京市海淀区清华附中创新班八年级（下）期末数学试卷一、选择题（本题共24分，每小题3分）1．下列事件中，属于必然事件的是（）A．打开电视机，它正在播广告B．买一张电影票，座位号是偶数C．抛掷一枚质地均匀的骰子，6点朝上D．若a是实数，则|a|≥02．下面四组图形中，必是相似三角形的为（）A．两个直角三角形B．两条边对应成比例，一个对应角相等的两个三角形C．有一个角为40°的两个等腰三角形D．有一个角为100°的两个等腰三角形3．如图，点D，E分别在△ABC的边AB，AC上，且DE∥BC，若AD＝2，DB＝3，AC＝10，则AE等于（）A．3B．4C．5D．64．将抛物线y＝（x﹣3）（x﹣5）先绕原点O旋转180°，再向右平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为（）A．y＝﹣x2﹣4x﹣3B．y＝﹣x2﹣12x﹣35C．y＝x2+12x+35D．y＝x2+4x+35．某班50人一周内在线学习数学的时间如图所示，则以下叙述正确的是（）A．全班同学在线学习数学的平均时间为2.5hB．全班同学在线学习数学时间的中位数为2hC．全班同学在线学习数学时间的众数为20hD．全班超过半数学生每周在线学习数学的时间超过3h6．在居家学习期间，小静坚持每天测量自己的体温，并把5次的体温（单位：℃）分别写在5张完全相同的卡片正面上，这五个数据分别是：36，36.1，35.9，35.5，m．把这5张卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张卡片，已知抽到写有“36”的卡片的概率是，则这5张卡片上数据的方差为（）A．35.9B．0.22C．0.044D．07．已知点A（0，4），B（3，4），以原点O为位似中心，把线段AB缩短为原来的，得到线段CD，其中点C与点A对应，点D与点B对应．则点D的横坐标为（）A．1B．C．1或﹣1D．或﹣8．二次函数y＝x2+px+q，当0≤x≤1时，设此函数最大值为8，最小值为t，w＝s﹣t，（s 为常数）则w的值（）A．与p、q的值都有关B．与p无关，但与q有关C．与p、q的值都无关D．与p有关，但与q无关二、填空题（本题共24分，每小题3分）9．如图，△ABC中∠C＝90°，如果CD⊥AB于D，那么AC是AD和的比例中项．10．如表是某班同学随机投掷一枚硬币的试验结果．抛掷次数n50100150200250300350400450500225268101116147160187214238“正面向上”次数m“正面向上”频率0.440.520.450.510.460.490.460.470.480.48下面有三个推断：①表中没有出现“正面向上”的频率是0.5的情况，所以不能估计“正面向上”的概率是0.5；②这些次试验投掷次数的最大值是500，此时“正面向上”的频率是0.48，所以“正面向上”的概率是0.48；③投掷硬币“正面向上”的概率应该是确定的，但是大量重复试验反映的规律并非在每一次试验中都发生；其中合理的是（填写序号）．11．如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上，OC在y 轴上，且OA＝8，OC＝6，点B在第二象限，如果矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的．那么点B′的坐标是．12．在平面直角坐标系xOy中，函数y1＝2x（x＜m）的图象与函数y2＝x2（x≥m）的图象组成图形G．对于任意实数n，过点P（0，n）且与y轴垂直的直线总与图形G有公共点，写出一个满足条件的实数m的值．13．抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）过点（﹣1，0）和点（0，﹣4），且顶点在第四象限，则a 的取值范围是．14．如图，在Rt△ACB中，∠ABC＝90°，D为BC边的中点，BE⊥AD于点E，交AC于F．若AB＝4，BC＝8，则线段EF的长为．15．如图，抛物线y＝x2+5x+4与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，连接AC，点P在线段AC上，过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q，则线段PQ长的最大值为．16．如图，在等腰Rt△ABC中，AC＝BC＝6，∠EDF的顶点D是AB的中点，且∠EDF ＝45°，现将∠EDF绕点D旋转一周，在旋转过程中，当∠EDF的两边DE、DF分别交直线AC于点G、H，把△DGH沿DH折叠，点G落在点M处，连接AM，若＝，则AH的长为．三、解答题（本题共72分，第17-22题每题5分，第23、24每题6分，第25、26每题7分，第27，28题每题8分）17．（5分）两个相似多边形的最长边分别为4cm和6cm，它们的周长之和为40cm，面积之差为15cm2，求较小多边形的周长与面积．18．（5分）如图，D是△ABC的边AB上的一点，BD＝2，AB＝，BC＝3．求证：△BCD ∽△BAC．19．（5分）如图，已知：在正方形ABCD中，M是BC边的中点，连接AM．（1）请用尺规作图，在线段AM上求作一点P，使得△DP A∽△ABM；（不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，若AB＝2，求DP的长．20．（5分）在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，﹣2），B（2，﹣1），C（4，﹣3）．（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；（2）以点O为位似中心，在网格中画出△A1B1C1的位似图形△A2B2C2，使△A2B2C2与△A1B1C1的相似比为2：1；（3）设点P（a，b）为△ABC内一点，则依上述两次变换后点P在△A2B2C2内的对应点P2的坐标是．21．（5分）已知二次函数y＝x2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：x…01234…y…5212n…（1）表中n的值为；（2）当x为何值时，y有最小值，最小值是多少？（3）若A（m，y1），B（m+1，y2）两点都在该函数的图象上，且m＞2，试比较y1与y2的大小．22．（5分）为了解某区初二年级数学学科期末质量监控情况，进行了抽样调查，过程如下：收集数据：随机抽取甲乙两所学校的各20名学生的数学成绩进行分析：甲91 89 77 86 71 31 97 93 72 91 81 92 85 8595 88 88 90 44 91乙84 93 66 69 76 87 77 82 85 88 90 88 67 8891 96 68 97 59 88整理、描述数据：按如下数据段整理、描述这两组数据分段30≤x≤39 40≤x≤49 50≤x≤59 60≤x≤69 70≤x≤79 80≤x≤89 90≤x≤99 甲1100378乙分析数据：两组数据的平均数、中位数、众数、方差如表：统计量平均数中位数众数方差甲81.858891268.43乙81.95m88115.25经统计，表格中m的值是．得出结论：a若甲学校有500名初二学生，估计这次考试成绩80分以下的人数为．b可以推断出学校初二学生的数学水平较高，理由为：．（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）23．（6分）某商场销售某种型号防护面罩，进货价为40元/个．经市场销售发现：售价为50元/个时，每周可以售出100个，若每涨价1元，就会少售出4个．供货厂家规定市场售价不得低于50元/个，且商场每周销售数量不得少于80个．（1）确定商场每周销售这种型号防护面罩所得的利润w（元）与售价x（元/个）之间的函数关系式．（2）当售价x（元/个）定为多少时，商场每周销售这种防护面罩所得的利润w（元）最大？最大利润是多少？24．（6分）在平面直角坐标系xOy内，以端点在x轴上的长度为1的线段为底边（端点横坐标都为整数），画出数个矩形．现已知其中几个矩形的位置如图所示．其相关信息如表：底边位置…﹣3～﹣2﹣2～﹣1﹣1～00～11～22～33～4…矩形的高…1…… 3.5……15…若所有矩形的左上方的顶点都在我们已学的某类函数图象上．（1）求这个函数解析式；（2）对于所有满足条件的矩形，直接写出面积最小的矩形的面积．25．（7分）已知：如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，点E是DB 延长线上的一点，且EA＝EC，分别延长AD、EC交于点F．（1）求证：四边形ABCD为菱形；（2）如果∠AEC＝2∠BAC，求证：EC•CF＝AF•AD．26．（7分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线C1：y＝x2+bx+c与x轴交于A，B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，C1的顶点为D．点B的坐标为（﹣5，0），将直线y＝kx沿y轴向上平移5个单位长度后，恰好经过B、C两点．（I）求k的值和点C的坐标；（2）已知点E是点D关于原点的对称点，若抛物线C2：y＝ax2﹣2（a≠0）与线段AE 恰有一个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围．27．（8分）如图1所示，矩形ABCD中，点E，F分别为边AB，AD的中点，将△AEF绕点A逆时针旋转α（0°＜α≤360°），直线BE，DF相交于点P．（1）若AB＝AD，将△AEF绕点A逆时针旋转至如图2所示的位置，则线段BE与DF 的数量关系是；（2）若AD＝nAB（n≠1），将△AEF绕点A逆时针旋转，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请就图3所示的情况加以证明；若不成立，请写出正确结论，并说明理由．（3）若AB＝8，BC＝10，将△AEF旋转至AE⊥BE时，请直接写出DP的长．28．（8分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，3m），P（0，2m），Q（0，m）（m≠0），将点A绕点P顺时针旋转90°，得到点M，将点O绕点Q顺时针旋转90°，得到点N，连接MN，称线段MN为点A的伴随线段．（1）如图1，若m＝1，则点M，N的坐标分别为，；（2）已知二次函数的图象经过点B（﹣1，t），C（1，t），D（0，t+1），将此图象在B，C之间的部分与线段BC所组成的封闭图形记作图形G（包含B，C两点）．①当t＝2时，是否存在m，使得点M在图形G内部（包括边界）？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由；②若存在点A，使得其伴随线段MN上的所有点都在图形G内（包括边界），请直接写出t的取值范围．2022年北京市海淀区清华附中创新班八年级（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共24分，每小题3分）1．下列事件中，属于必然事件的是（）A．打开电视机，它正在播广告B．买一张电影票，座位号是偶数C．抛掷一枚质地均匀的骰子，6点朝上D．若a是实数，则|a|≥0【分析】根据事件发生的可能性大小判断．【解答】解：A、打开电视机，它正在播广告，是随机事件；B、买一张电影票，座位号是偶数，是随机事件；C、抛掷一枚质地均匀的骰子，6点朝上，是随机事件；D、若a是实数，则|a|≥0，是必然事件；故选：D．2．下面四组图形中，必是相似三角形的为（）A．两个直角三角形B．两条边对应成比例，一个对应角相等的两个三角形C．有一个角为40°的两个等腰三角形D．有一个角为100°的两个等腰三角形【分析】根据等腰三角形的性质和相似三角形的判定方法得出A、B、C不一定相似，D 一定相似；即可得出结果．【解答】解：两个直角三角形不一定相似；因为只有一个直角相等，∴A不一定相似；两条边对应成比例，一个对应角相等的两个三角形不一定相似；因为这个对应角不一定是夹角；∴B不一定相似；有一个角为40°的两个等腰三角形不一定相似；因为40°的角可能是顶角，也可能是底角，∴C不一定相似；有一个角为100°的两个等腰三角形一定相似；因为100°的角只能是顶角，所以两个等腰三角形的顶角和底角分别相等，∴D一定相似；故选：D．3．如图，点D，E分别在△ABC的边AB，AC上，且DE∥BC，若AD＝2，DB＝3，AC＝10，则AE等于（）A．3B．4C．5D．6【分析】根据平行线分线段成比例定理得到＝，然后利用比例计算计算AE的长．【解答】解：∵DE∥BC，∴＝，即＝，解得AE＝4．故选：B．4．将抛物线y＝（x﹣3）（x﹣5）先绕原点O旋转180°，再向右平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为（）A．y＝﹣x2﹣4x﹣3B．y＝﹣x2﹣12x﹣35C．y＝x2+12x+35D．y＝x2+4x+3【分析】先求出抛物线的解析式，先根据旋转的性质求出旋转后的顶点坐标，然后根据平移的性质求得平移后抛物线的顶点坐标；最后根据平移、旋转只改变图形的位置不改变图形的大小和形状利用顶点式解析式写出即可．【解答】解：y＝（x﹣3）（x﹣5）＝（x﹣4）2﹣1．此时，该抛物线顶点坐标是（4，﹣1）．将该抛物线绕坐标原点O旋转180°后的顶点坐标是（﹣4，1）．再向右平移2个单位长度后的顶点坐标是（﹣2，1）．所以此时抛物线的解析式为：y＝﹣（x+2）2+1＝﹣x2﹣4x﹣3．故选：A．5．某班50人一周内在线学习数学的时间如图所示，则以下叙述正确的是（）A．全班同学在线学习数学的平均时间为2.5hB．全班同学在线学习数学时间的中位数为2hC．全班同学在线学习数学时间的众数为20hD．全班超过半数学生每周在线学习数学的时间超过3h【分析】根据平均数、众数和中位数的定义分别对每一项进行分析即可得出答案．【解答】解：A、全班同学在线学习数学的平均时间为：（12×1+20×2+10×3+5×4+3×5）＝2.34h，故本选项错误；B、把这些数从小到大排列，则中位数是＝2h，故本选项正确；C、全班同学在线学习数学时间的众数为2h，故本选项错误；D、本班同学有8名学生每周在线学习数学的时间超过3h，故本选项错误；故选：B．6．在居家学习期间，小静坚持每天测量自己的体温，并把5次的体温（单位：℃）分别写在5张完全相同的卡片正面上，这五个数据分别是：36，36.1，35.9，35.5，m．把这5张卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张卡片，已知抽到写有“36”的卡片的概率是，则这5张卡片上数据的方差为（）A．35.9B．0.22C．0.044D．0【分析】先根据抽到写有“36”的卡片的概率是得出数据36的个数，再根据方差的定义计算可得．【解答】解：∵抽到写有“36”的卡片的概率是，∴卡片中36的个数为5×＝2，则这组数据为36，36.1，35.9，35.5，36，∵＝＝35.9，∴方差为×[2×（36﹣35.9）2+（36.1﹣35.9）2+（35.9﹣35.9）2+（35.5﹣35.9）2]＝0.044，故选：C．7．已知点A（0，4），B（3，4），以原点O为位似中心，把线段AB缩短为原来的，得到线段CD，其中点C与点A对应，点D与点B对应．则点D的横坐标为（）A．1B．C．1或﹣1D．或﹣【分析】直接利用位似图形的性质：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k，进而得出答案．【解答】解：∵点A（0，4），B（3，4），以原点O为位似中心，把线段AB缩短为原来的，得到线段CD，点D与点B对应，∴点D的横坐标为：3×＝1或3×（﹣）＝﹣1．故选：C．8．二次函数y＝x2+px+q，当0≤x≤1时，设此函数最大值为8，最小值为t，w＝s﹣t，（s 为常数）则w的值（）A．与p、q的值都有关B．与p无关，但与q有关C．与p、q的值都无关D．与p有关，但与q无关【分析】先根据二次函数的已知条件，得出二次函数的图象开口向上，再分别进行讨论，即可得出函数y的最大值与最小值即可得到结论．【解答】解：∵二次函数y＝x2+px+q＝（x+）2+，∴该抛物线的对称轴为x＝﹣，且a＝1＞0，当x＝﹣＜0，∴当x＝1时，二次函数有最大值为：1+p+q＝8，即p+q＝7，∴当x＝0时，二次函数有最小值为：q＝t，即t＝7﹣p，当x＝﹣＞1，∴当x＝0时，二次函数有最大值为：q＝8，∴当x＝1时，二次函数有最小值为：1+p+q＝t，即t＝9+p，当0≤﹣＜此时当x＝1时，函数有最大值1+p+q＝8，当x ＝﹣时，函数有最小值q ﹣＝t，即t＝7﹣p ﹣，＜﹣≤1，当x＝0时，函数有最大值q＝8，当x ＝﹣时，函数有最小值q ﹣＝t，即t＝8﹣，x ＝﹣＝，当x＝0或1时．函数有最大值q＝8，当x ＝﹣时，函数有最小值q ﹣＝t，即t＝8﹣∵w＝s﹣t，∴w的值与p有关，但与q无关，故选：D．二、填空题（本题共24分，每小题3分）9．如图，△ABC中∠C＝90°，如果CD⊥AB于D，那么AC是AD和AB的比例中项．【分析】根据射影定理得到AC2＝AD•AB，得到答案．【解答】解：∵∠C＝90°，CD⊥AB，∴AC2＝AD•AB，∴AC是AD和AB的比例中项，故答案为：AB．10．如表是某班同学随机投掷一枚硬币的试验结果．抛掷次数n50100150200250300350400450500225268101116147160187214238“正面向上”次数m“正面向上”频率0.440.520.450.510.460.490.460.470.480.48下面有三个推断：①表中没有出现“正面向上”的频率是0.5的情况，所以不能估计“正面向上”的概率是0.5；②这些次试验投掷次数的最大值是500，此时“正面向上”的频率是0.48，所以“正面向上”的概率是0.48；③投掷硬币“正面向上”的概率应该是确定的，但是大量重复试验反映的规律并非在每一次试验中都发生；其中合理的是③（填写序号）．【分析】随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.5附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.5，据此进行判断即可．【解答】解：①随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.5附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.5，故错误；②这些次试验投掷次数的最大值是500，此时“正面向上”的频率是0.48，所以“正面向上”的概率是0.48，错误；③投掷硬币“正面向上”的概率应该是确定的，但是大量重复试验反映的规律并非在每一次试验中都发生，正确；故答案为：③．11．如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上，OC在y 轴上，且OA＝8，OC＝6，点B在第二象限，如果矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的．那么点B′的坐标是（﹣4，3）或（4，﹣3）．【分析】根据矩形的性质得到点B的坐标，根据相似多边形的性质得到矩形OA′B′C′与矩形OABC的相似比为1：2，根据位似变换的性质计算，得到答案．【解答】解：∵OA＝8，OC＝6，点B在第二象限，∴点B的坐标为（﹣8，6），∵矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，∴矩形OA′B′C′∽OABC关于点O位似，∵矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的，∴矩形OA′B′C′与矩形OABC的相似比为1：2，∴点B′的坐标为（﹣8×，6×）或（8×，﹣6×），即（﹣4，3）或（4，﹣3），故答案为：（﹣4，3）或（4，﹣3）．12．在平面直角坐标系xOy中，函数y1＝2x（x＜m）的图象与函数y2＝x2（x≥m）的图象组成图形G．对于任意实数n，过点P（0，n）且与y轴垂直的直线总与图形G有公共点，写出一个满足条件的实数m的值答案不唯一，如：2（0≤m≤2）．【分析】求得两个函数的图象的交点，根据图象即可求得．【解答】解：由解得或，∴函数y1＝2x的图象与函数y2＝x2的图象的交点为（0，0）和（2，4），∵函数y1＝2x（x＜m）的图象与函数y2＝x2（x≥m）的图象组成图形G．由图象可知，对于任意实数n，过点P（0，n）且与y轴垂直的直线总与图形G有公共点，则0≤m≤2，故答案为：答案不唯一，如：2（0≤m≤2），13．抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）过点（﹣1，0）和点（0，﹣4），且顶点在第四象限，则a 的取值范围是0＜a＜4．【分析】将点的坐标代入抛物线解析式得到关于a、b的等式和c的值并用a表示出b，再根据顶点坐标和第四象限内点的横坐标是正数，纵坐标是负数列不等式组求解即可．【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）过点（﹣1，0）和点（0，﹣4），∴，所以，a﹣b＝4，b＝a﹣4，∵顶点在第四象限，∴，即﹣＞0①，＜0②，解不等式①得，a＜4，不等式②整理得，（a+4）2＞0，所以，a≠﹣4，所以，a的取值范围是0＜a＜4．故答案为：0＜a＜4．14．如图，在Rt△ACB中，∠ABC＝90°，D为BC边的中点，BE⊥AD于点E，交AC于F．若AB＝4，BC＝8，则线段EF的长为．【分析】根据D为BC的中点和BC＝8，可以得到BD的长，然后根据∠ABC＝90°，AB＝4和BD的长，利用勾股定理可以得到AD的长，再根据等积法可以求得BE的长，从而可以得到AE的长，作DG∥BF，再利用三角形相似，即可求得EF的长．【解答】解：过点D作DG∥BF交AC于点G，如图所示，∵D为BC边的中点，BC＝8，∴BD＝4，∵在Rt△ACB中，∠ABC＝90°，AB＝4，∴AD＝＝＝8，∵BE⊥AD于点E，交AC于F，∴BE＝＝2，∵AB＝4，BE＝2，∠AEB＝90°，∴AE＝＝＝6，设DG＝x，则BF＝2x，EF＝2x﹣2，∵EF∥DG，∴△AEF∽△ADG，∴，即，解得，x＝，∴EF＝2x﹣2＝2×﹣2＝，故答案为：．15．如图，抛物线y＝x2+5x+4与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，连接AC，点P在线段AC上，过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q，则线段PQ长的最大值为4．【分析】先解方程x2+5x+4＝0得A（﹣4，0），再确定C（0，4），则可利用待定系数法求出直线AC的解析式为y＝x+4，设P（t，t+4）（﹣4≤t≤0），Q（t，t2+5t+4），所以PQ ＝t+4﹣（t2+5t+4），然后利用二次函数的性质解决问题．【解答】解：当y＝0时，x2+5x+4＝0，解得x1＝﹣4，x2＝﹣1，则A（﹣4，0），B（﹣1，0），当x＝0时，y＝x2+5x+4＝4，则C（0，4），设直线AC的解析式为y＝kx+b，把A（﹣4，0），C（0，4）代入得，解得，∴直线AC的解析式为y＝x+4，设P（t，t+4）（﹣4≤t≤0），则Q（t，t2+5t+4），∴PQ＝t+4﹣（t2+5t+4）＝﹣t2﹣4t＝﹣（t+2）2+4，∴当t＝﹣2时，PQ有最大值，最大值为4．故答案为4．16．如图，在等腰Rt△ABC中，AC＝BC＝6，∠EDF的顶点D是AB的中点，且∠EDF ＝45°，现将∠EDF绕点D旋转一周，在旋转过程中，当∠EDF的两边DE、DF分别交直线AC于点G、H，把△DGH沿DH折叠，点G落在点M处，连接AM，若＝，则AH的长为或或3．【分析】分三种情形：①如图1中，当点H在线段AC上，点G在AC的延长线上时，连接CD，作DJ⊥AC于J，设AH＝3k，AM＝4k．②如图2中，当点H在线段AC上，点G在AC上时，连接CD，作DJ⊥AC于J，设AH＝3k，AM＝4k．③如图3中，当点H在线段CA的延长线上，点G在线段AC上时，连接CD，作DJ⊥AC于J，设AH＝3k，AM＝4k．首先证明AM⊥AC，利用相似三角形的性质以及勾股定理构建方程解决问题即可．【解答】解：①如图1中，当点H在线段AC上，点G在AC的延长线上时，连接CD，作DJ⊥AC于J，设AH＝3k，AM＝4k．∵CA＝CB，∠ACB＝90°，AD＝DB，∴CD⊥AB，CD＝DA＝DB，∴∠ACD＝∠DCB＝45°，∠DCG＝135°，∵∠EDF＝∠EDM＝45°，DG＝DM，∴∠ADC＝∠MDG，∴∠ADM＝∠CDG，∴△ADM≌△CDG（SAS），∴∠DAM＝∠DCG＝135°，∵∠CAB＝45°，∴∠CAM＝90°，∴MH＝GH＝＝＝5k，∵∠GDH＝∠GAD＝45°，∠DGH＝∠AGD，∴△DGH∽△AGD，∴＝，∴DG2＝GH•GA＝40k2，∵AC＝BC＝6，∠ACB＝90°，∴AB＝AC＝12，∴AD＝CD＝6，∵DJ⊥AC，∴AJ＝JC＝3，DJ＝AJ＝IC＝3，∴GJ＝8K﹣3，在Rt△DJG中，∵DG2＝DJ2+GJ2，∴40k2＝（8k﹣3）2+（3）2，解得k＝或（舍弃），∴AH＝3k＝．②如图2中，当点H在线段AC上，点G在AC上时，连接CD，作DJ⊥AC于J，设AH ＝3k，AM＝4k．同法可得：40k2＝（8k﹣3）2+（3）2，解得k＝（舍弃）或，∴AH＝3k＝．③如图3中，当点H在线段CA的延长线上，点G在线段AC上时，连接CD，作DJ⊥AC于J，设AH＝3k，AM＝4k．同法可得：10k2＝（3﹣2k）2+（3）2，解得k＝或﹣3（舍弃），∴AH＝3k＝3，综上所述，满足条件的AH的值为或或3．故答案为或或3．三、解答题（本题共72分，第17-22题每题5分，第23、24每题6分，第25、26每题7分，第27，28题每题8分）17．（5分）两个相似多边形的最长边分别为4cm和6cm，它们的周长之和为40cm，面积之差为15cm2，求较小多边形的周长与面积．【分析】根据相似多边形的面积比等于相似比、面积比等于相似比的平方列方程，解方程得到答案．【解答】解：设较小多边形的周长为xcm，面积为ycm2，则较大多边形的周长为（40﹣x）cm，面积为（y+15）cm2，∵两个相似多边形的最长边分别为4cm和6cm，∴两个相似多边形的相似比为2：3，∴两个相似多边形的周长比为2：3，面积比为4：9，∴＝，＝，解得，x＝16，y＝12，经检验，x＝16，y＝12都是原方程的解，答：较小多边形的周长为16cm，面积为12cm2．18．（5分）如图，D是△ABC的边AB上的一点，BD＝2，AB＝，BC＝3．求证：△BCD∽△BAC．【分析】利用已知线段的长得到＝＝，加上公共角，则根据相似三角形的判定方法可得到结论．【解答】解：∵BD＝2，AB＝，BC＝3．∴＝，＝＝，∴＝，而∠CBD＝∠ABC，∴△BCD∽△BAC．19．（5分）如图，已知：在正方形ABCD中，M是BC边的中点，连接AM．（1）请用尺规作图，在线段AM上求作一点P，使得△DP A∽△ABM；（不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，若AB＝2，求DP的长．【分析】（1）过点D作DP⊥AM于P，△APD即为所求．（2）利用相似三角形的性质求解即可．【解答】解：（1）如图，△APD即为所求．（2）∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝90°，AB＝BC＝AD＝2，∵BM＝MC＝1，∴AM＝＝＝，∵△DP A∽△ABM，∴，∴，∴PD＝．20．（5分）在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，﹣2），B（2，﹣1），C（4，﹣3）．（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；（2）以点O为位似中心，在网格中画出△A1B1C1的位似图形△A2B2C2，使△A2B2C2与△A1B1C1的相似比为2：1；（3）设点P（a，b）为△ABC内一点，则依上述两次变换后点P在△A2B2C2内的对应点P2的坐标是（2a，﹣2b）．【分析】（1）利用关于x轴对称的点的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；（2）利用关于原点为位似中心的对应点的坐标之间的关系，把点A1、B1、C1的横纵坐标都乘以2得到A2、B2、C2的坐标，然后描点即可；（3）利用（2）中的坐标变换规律求解．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；（2）如图，△A2B2C2为所作；（3）点P的对应点P2的坐标是（2a，﹣2b）．故答案为（2a，﹣2b）．21．（5分）已知二次函数y＝x2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：x…01234…y…5212n…（1）表中n的值为5；（2）当x为何值时，y有最小值，最小值是多少？（3）若A（m，y1），B（m+1，y2）两点都在该函数的图象上，且m＞2，试比较y1与y2的大小．【分析】（1）根据表中的数据得出对称轴是直线x＝2，根据对称点的特点得出即可；（2）根据表得出图象有最小值，根据顶点坐标得出即可；（3）根据二次函数的性质得出即可．【解答】解：（1）∵根据表可知：对称轴是直线x＝2，∴点（0，5）和（4，n）关于直线x＝2对称，∴n＝5，故答案为：5；（2）根据表可知：顶点坐标为（2，1），即当x＝2时，y有最小值，最小值是1；（3）∵函数的图象开口向上，顶点坐标为（2，1），对称轴是直线x＝2，∴当m＞2时，点A（m1，y1），B（m+1，y2）都在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，∵m＜m+1，∴y1＜y2．22．（5分）为了解某区初二年级数学学科期末质量监控情况，进行了抽样调查，过程如下：收集数据：随机抽取甲乙两所学校的各20名学生的数学成绩进行分析：甲91 89 77 86 71 31 97 93 72 91 81 92 85 8595 88 88 90 44 91乙84 93 66 69 76 87 77 82 85 88 90 88 67 8891 96 68 97 59 88整理、描述数据：按如下数据段整理、描述这两组数据分段30≤x≤39 40≤x≤49 50≤x≤59 60≤x≤69 70≤x≤79 80≤x≤89 90≤x≤99 甲1100378乙0014285分析数据：两组数据的平均数、中位数、众数、方差如表：统计量平均数中位数众数方差甲81.858891268.43乙81.95m88115.25经统计，表格中m的值是86．得出结论：a若甲学校有500名初二学生，估计这次考试成绩80分以下的人数为125．b可以推断出甲学校初二学生的数学水平较高，理由为：甲学校虽然平均分稍低一点，但甲学校的中位数、众数均比乙学校的高．（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）【分析】根据中位数的计算方法，求出乙学校的中位数即可得出m的值；求出样本中甲学校成绩在80分以下的所占的百分比，即可求出总体500名学生中成绩在80分以下的人数；从中位数、众数两个方面进行比较得出结论．【解答】解：将乙学校的成绩从小到大排列后处在中间位置的两个数的平均数为＝86，因此中位数是86，即m＝86，故答案为：86；500×＝125（人），故答案为：125；故答案为：甲，甲学校虽然平均分稍低一点，但甲学校的中位数、众数均比乙学校的高．23．（6分）某商场销售某种型号防护面罩，进货价为40元/个．经市场销售发现：售价为50元/个时，每周可以售出100个，若每涨价1元，就会少售出4个．供货厂家规定市场售价不得低于50元/个，且商场每周销售数量不得少于80个．（1）确定商场每周销售这种型号防护面罩所得的利润w（元）与售价x（元/个）之间的函数关系式．（2）当售价x（元/个）定为多少时，商场每周销售这种防护面罩所得的利润w（元）最大？最大利润是多少？【分析】（1）根据题意，可以得到商场每周销售这种型号防护面罩所得的利润w（元）与售价x（元/个）之间的函数关系式；（2）根据供货厂家规定市场售价不得低于50元/个，且商场每周销售数量不得少于80个，可以得到x的取值范围，然后根据二次函数的性质，即可得到w的最大值，从而可以解答本题．【解答】解：（1）由题意可得，w＝（x﹣40）[100﹣（x﹣50）×4]＝﹣4x2+460x﹣12000，即商场每周销售这种型号防护面罩所得的利润w（元）与售价x（元/个）之间的函数关系式是w＝﹣4x2+460x﹣12000；（2）∵供货厂家规定市场售价不得低于50元/个，且商场每周销售数量不得少于80个，∴，解得，50≤x≤55，∵w＝﹣4x2+460x﹣12000＝﹣4（x﹣）2+1225，∴当x＝55时，w取得最大值，此时w＝1200，答：当售价x（元/个）定为55元时，商场每周销售这种防护面罩所得的利润w（元）最大，最大利润是1200元24．（6分）在平面直角坐标系xOy内，以端点在x轴上的长度为1的线段为底边（端点横坐标都为整数），画出数个矩形．现已知其中几个矩形的位置如图所示．其相关信息如表：底边位置…﹣3～﹣2﹣2～﹣1﹣1～00～11～22～33～4…矩形的高…1…… 3.5……15…若所有矩形的左上方的顶点都在我们已学的某类函数图象上．（1）求这个函数解析式；（2）对于所有满足条件的矩形，直接写出面积最小的矩形的面积．【分析】（1）根据表中数据，首先函数图象过点（0，3.5），可知此函数不是反比例函数，假设此函数为一次函数，应用待定系数法把两点代入可求出一次函数解析式，把（3，15）代入一次函数解析式中，若满足即为一次函数，若不满足，可设为二次函数解析，利用待定系数法求解即可；（2）应用配方法求出二次函数解析式的最小值，再结合题目已知图象可判定最小值．【解答】解：（1）∵函数图象过点（0，3.5），∴此函数图象不可能是反比例函数，假设是一次函数解析式为y＝kx+b，把点（﹣3，1）和（0，3.5）代入，得，。
【精品】初二数学上学期综合复习题答案
线段 AD 、 BE 在直线 MN 的异侧）．⑵中结论是否依然成立，若成立请证明；若不
成立，请写出新的结论，并给予证明．
D
C
E
C
D
M
EN
N C E
A 图1
．
B
A
图2
BA
B
D M
图3
2
解(1) 等腰直角三角形 ………………………………………………１ 分
D
C 12
E D
C 2
1
EN
M
N C 12 E
A 图1
A
A
A
E
E
B
B
D
CB
D
C
D
C
图1
图2
图3
E
（ 2） ①
180 ． … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 2 分
理由：∵∠ BAC=∠ DAE ，∴∠ BAC －∠ DAC =∠ DAE －∠ DAC ．
即∠ BAD = ∠ CAE ．………………………………………………………
初二数学上学期综合复习题答案
1．已知：如图，△ ABC 是等腰直角三角形，∠ BAC=90 °，过点 C 作 BC 的垂线 l，把一个足 够大的三角板的直角顶点放到点 A 处（三角板和△ ABC 在同一平面内），绕着点 A 旋转三 角板，使三角板的直角边 AM 与直线 BC 交于点 D，另一条直角边 AN 与直线 l 交于点 E.
如图 2 中同理可证
图1
....5 分
l
DB M
N
A
1
2
OC E
N 图2
②当点 D 在线段 BC 的延长线上时， ∠ EDC +∠ BAD= 180°，如图 3 所示 . ………… ..…… .6 分
初二数学综合测试卷答案
一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列各数中，有理数是（）A. √-1B. √2C. πD. 0.1010010001…（循环小数）答案：D2. 下列各数中，正数是（）A. -3B. 0C. -2/3D. 1/2答案：D3. 下列各数中，整数是（）A. -2.5B. 3/4C. 2D. √9答案：C4. 下列各数中，平方根是整数的是（）A. 25B. 36C. 49D. 81答案：A、B、C、D5. 下列各数中，算术平方根是整数的是（）A. 16B. 25C. 36D. 49答案：B、C、D6. 下列各数中，立方根是整数的是（）A. 8B. 27C. 64D. 125答案：B、C、D7. 下列各数中，有理数乘以无理数得到的结果是（）A. 有理数B. 无理数C. 有理数或无理数D. 无解答案：C8. 下列各数中，有理数除以无理数得到的结果是（）A. 有理数B. 无理数C. 有理数或无理数D. 无解答案：C9. 下列各数中，两个有理数相乘得到的结果是（）A. 有理数B. 无理数C. 有理数或无理数D. 无解答案：A10. 下列各数中，两个无理数相乘得到的结果是（）A. 有理数B. 无理数C. 有理数或无理数D. 无解答案：C二、填空题（每题5分，共25分）11. √16 = _______，√25 = _______，√36 = _______，√49 = _______。
答案：4，5，6，712. 下列各数中，平方根是整数的是：25，36，49，64。
答案：25，36，49，6413. 下列各数中，立方根是整数的是：8，27，64，125。
答案：8，27，64，12514. 下列各数中，算术平方根是整数的是：16，25，36，49。
答案：16，25，36，4915. 下列各数中，有理数乘以无理数得到的结果是：√2 √3，√5 √5，√8 √8，√10 √10。
答案：√15，25，64，10三、解答题（每题10分，共30分）16. 简化下列各数：（1）√(16 25)（2）√(81 / 9)（3）√(64 / 16)答案：（1）√(16 25) = √400 = 20（2）√(81 / 9) = √9 = 3（3）√(64 / 16) = √4 = 217. 求下列各数的算术平方根：（1）9（2）25（3）36答案：（1）√9 = 3（2）√25 = 5（3）√36 = 618. 求下列各数的立方根：（1）8（2）27（3）64答案：（1）∛8 = 2（2）∛27 = 3（3）∛64 = 4。
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初二数学暑假作业（二）答案
一．选择题：（每小题3分，共30分）
1．A 2．A 3．D 4．B 5．C 6．C 7．A 8．C 9．D 10．C 二．填空题：（每小题2分，共16分）
11．24/5；12．30°；13．1.5；14．（11；15．x=3；16．8；
17．318． -6
三．解答题
19. 过A作AD⊥BC于D，
在RTΔABD中，∠D=30°，
∴∠BAD=60°，AD=1/2AB=4，BD=√3AD=4√3，
在RTΔACD中，∠CAD=105°-60°=45°，
∴CD=AD=4，
∴BC=4√3+4。
20、解：⑴证明：∵△=(k－2)2－4(k－3)
=k2－4k+4－4k+12
= k2－8k+16
=(k－4)2≥0
∴此方程总有实根。
⑵解：解得方程两根为
x1=－1 x2=3－k
∵方程有一根大于5且小于7
∴5<3－k<7
－4<k<－2
∵k为整数∴k=－3
21. 解(1)∵点C(m,4)在直线y=x上,
∴4=m, 解得m=3.
∵点A(-3,0)与C(3,4)在直线y=kx+b(k≠0)上,
∴解得
∴一次函数的解析式为y=x+2
(2)如图,过点D1作D1E⊥y轴于点E,过点D2作D2F⊥x轴于点F,
∵点D在第二象限,△DAB是以AB为直角边的等腰直角三角形,
∴AB=BD1,AB=AD2,
∵∠D1BE+∠ABO=90°,∠ABO+∠BAO=90°,
∴∠BAO=∠D1BE.
∵在△BED1和△AOB中,
∴△BED1≌△AOB(AAS),
∴BE=AO=3,D1E=BO=2,
即可得出点D的一个坐标为(-2,5),
同理可得出:△D2FA≌△AOB,
∴FA=OB=2,D2F=AO=3,
∴点D的另一个坐标为(-5,3),
综上所述:点D的坐标为(-2,5)或(-5,3).
22. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB，AD=CB，∠DAB=∠BCD．
又∵△ADE和△CBF都是等边三角形，
∴DE=BF，AE=CF．
∠DAE=∠BCF=60°．
∵∠DCF=∠BCD﹣∠BCF，
∠BAE=∠DAB﹣∠DAE，
∴∠DCF=∠BAE．
∴△DCF≌△BAE（SAS）．
∴DF=BE．
∴四边形BEDF是平行四边形．
23.证明：∵AP²+AB²=PB²PD²+CD²=PC²
∴PA²+PC²=PB²-AB²+PD²+CD²
∵AB²=CD²
∴PA²+PC²=PB²+PD²
2.当点P运动到矩形ABCD外时，结论仍然成立
证明：作PF⊥BC,垂足为F,交AD于E,则PE⊥AD
AP²=AE²+PE²PD²=ED²+PE², PC²=PF²+FC²PB²=PF²+BF²
∴AP²+PC²=AE²+PE²+PF²+FC², BP²+DP² =PF²+BF²+ED²+PE² ∵AE=BF,ED=FC ∴PA²+PC²=PB²+PD²
24.作图正确并猜出四边形BGME为菱形
∵BD⊥AC，GM⊥AC
∠GMD=∠BDC=90°
∴BD‖GM，∠CGM+∠GCM=∠EGB+∠GCB=90°，
∵CE平分∠BCA
∴∠GCM=∠GCB
∵∠G BC=90°
∴BG⊥BC
∴GM=GB
∴∠CGM=∠CGB，
∴∠CGM=∠GEB，
∴GB=BE
∴GM=BE
∴四边形GMEB是平行四边形
∴GB=GM
∴BGME为菱形
25. 解：（1）设商场计划购进空调x台，则计划购进彩电（30﹣x）台，由题意，得
y=（6100﹣5400）x+（3900﹣3500）（30﹣x）=300x+12000；
（2）依题意，有，
解得10≤x≤12．
∵x为整数，
∴x=10，11，12．
即商场有三种方案可供选择：
方案1：购空调10台，购彩电20台；
方案2：购空调11台，购彩电19台；
方案3：购空调12台，购彩电18台；
（3）∵y=300x+12000，k=300＞0，
∴y随x的增大而增大，
即当x=12时，y有最大值，y最大=300×12+12000=15600元．
故选择方案3：购空调12台，购彩电18台时，商场获利最大，最大利润是15600元．26. （1）E（1,0）
（2）（2）作点D关于x轴的对称，作∥轴,且=2，连CG交轴于点F，此时四边形的周长是最小的。
∵，D为边OB的中点
∴OD==2即（0，-2）
∵=2
∴G(2，-2)
∵矩形,,
∴OB=AC=4,OA=BC=3
∴C(2,3)
设直线CG的解析式为y=kx+b
∵G（2，-2）,C(3,4)
∴y=6x-14
当y=0时，x=即F（，0）∴E（，0）
∴当E（，0），F（，0）时四边形的周长是最小的。
27. .证明：（1）∵∠BAC=90°，∠ABC=45°，
∴∠ACB=∠ABC=45°，
∴AB=AC，
∵四边形ADEF是正方形，
∴AD=AF，∠DAF=90°，
∵∠BAD=90°﹣∠DAC，∠CAF=90°﹣∠DAC，
∴∠BAD=∠CAF，
则在△BAD和△CAF中，
，
∴△BAD≌△CAF（SAS），
∴BD=CF，
∵BD+CD=BC，
∴CF+CD=BC；
（2）CF﹣CD=BC；
（3）①CD﹣CF=BC
②∵∠BAC=90°，∠ABC=45°，
∴∠ACB=∠ABC=45°，
∴AB=AC，
∵四边形ADEF是正方形，
∴AD=AF，∠DAF=90°，
∵∠BAD=90°﹣∠BAF，∠CAF=90°﹣∠BAF，
∴∠BAD=∠CAF，
∵在△BAD和△CAF中，
∴△BAD≌△CAF（SAS），
∴∠ACF=∠ABD，
∵∠ABC=45°，
∴∠ABD=135°，
∴∠ACF=∠ABD=135°，
∴∠FCD=90°，
∴△FCD是直角三角形．
∵正方形ADEF的边长为2且对角线AE、DF相交于点O．
∴DF=AD=4，O为DF中点．
∴OC=DF=2．
28. 解：(1)A（4, 4）
（2）设点P（a，a），则Q（12 – 2a，a），当点P在线段OA上且MN在x轴上时PQ= 12 – 3a，PN=a
由PQ=PN得12 – 3a=a∴a= 3
∴P（3，3）,Q（6, 3）
∴PQ= 3这时
(2)①当0＜t≤时（P在OA上，MN在x轴下方）
OP = t，点P，点Q
∴
②当＜t
＜P在OA上，MN在x
轴上方），
∴
③当t
＜
，
Q，
∴
∴
∴
∴
综上所述：S与t的关系式为：
29、（1）D
E'=MF；
（2）D
E'与MF的相等关系依然成立
证明：连接DE、DF、D
D'
D、E、F分别是AB、AC、BC的中点
∴DE//BC，DE=1
2
BC，DF//AC，DF=
1
2
AC
∴四边形DFCE为平行四边形△ABC是等边三角形
∴BC=AC，∠C=60º
∴DE =DF ，∠EDF =∠C =60º MD=D M '，D DM '∠=60º ∴△D DM '是等边三角形 ∴︒='∠60D MD ，D D MD '= ∴EDF D MD ∠='∠ D FD D MD MDF '∠-'∠=∠ D FD EDF D ED '∠-∠='∠
∴D ED MDF '∠=∠ ∴△E D D '≌△DMF （SAS ）
∴D E '=MF
（3）D E '与MF 的相等关系依然成立
画出正确图形。