大学物理(上)课件-第05章振动和机械波7-5

y(cm)
u = 10m / s
2
o
-1
5
x=5(m)处，由旋转矢量法可 π 知其初始相位为： ϕ=
2
ω
π ∆ϕ / ∆x = 2π / λ 3 π 2 ∴ λ = 2π × 5 /[ − (− π )] = 60 / 7m 2 3 ∴ω = 2π / T = 7 / 3 ∴ T = λ / u = 6 / 7( s )
x
dx
x
89
dF dy 2. 势能 =Y 应力与应变成正比： S dx SY 胡克定律： dF = kdy ∴ k = dx
弹性势能：
1 1 SY 2 dEp = k (dy ) = (dy ) 2 2 2 dx
B
C
1 ⎛ dy ⎞ = SYdx⎜ ⎟ 2 ⎝ dx ⎠ ∵ dV = Sdx
2
S
O
它是各种平面波所必须满足的线性偏微分方程。 若 y1 、y2 分别是它的解，则 ( y1 + y2 ) 也是它的解, 即上述波动方程遵从叠加原理。 98
4.能量密度：单位体积介质中的波动能量 。
dE ⎛ x⎞ 2 2 2 w= = ρA ω sin ω ⎜ t − ⎟ dV ⎝ u⎠
平均能量密度：
1 w= T
∫
T
0
1 T 2 2 2 ⎛ x⎞ 1 2 2 wdt = ∫ ρA ω sin ω⎜ t − ⎟ = ρ A ω T 0 ⎝ u⎠ 2
对于某一体元，它的能量从零达到最大，这是能量的输 入过程，然后又从最大减到零，这是能量输出的过程， 周而复始。平均讲来，该体元的能量密度保持不变， 即媒质中并不积累能量。因此说波是能量传播的一种形 式；波动的能量沿波速方向传播；
88
5.4.3 波的能量
波动的过程是能量传播的过程
平面简谐纵波在直棒中传播： 1.动能
x y = A cos ω (t − ) u
B
C
d m = ρS d x
dV = Sdx
O
dm S
1 1 2 dEk = dmv = ρdVv 2 2 2 ⎛ x⎞ 质元的振动速度： v = − Aω sin ⎜ t − ⎟ ⎝ u⎠ 1 2 2 2 ⎛ x⎞ 质元的振动动能： dEk = ρω A sin ω⎜ t − ⎟dV 2 ⎝ u⎠
5 y ( 0 , t ) = 0 . 05 cos( π t + π ) 6
(m )
82
例6.如图所示，平面简谐波向右移动速度 u =0.08 m/s，求：①.原点处的振动方程；②.波函数；③. P 点 的振动方程；④. a、b 两点振动方向。 解：①.原点
y = A cos( ωt + ϕ )
λ 2π 2πu 解.(1) ∵ T = ∴ ω = = u T λ
π 由波形图可知原点在 t=2s时的相位为 − 2
π⎤ ⎡ 2πu 原点的振动方程为：y = A cos ( ) t − 2 − ⎥ ⎢ 2⎦ ⎣ λ
所以相应的波动方程为：
⎡ 2π u ⎛ x⎞ π ⎤ y = A cos ⎢ ⎜t − 2 + ⎟ − ⎥ u⎠ 2⎦ ⎣ λ ⎝
波的吸 4 . .波的吸 收 波在媒质中传播时，媒质总要吸收一部分能量。吸 收的能量转换为媒质的内能和热。因此，波的振幅要 减小、波的强度将减弱，这种现象称之为吸收。 5 . 波的散 .波的散 射 如果介质中存在许多悬浮粒子，当波动传到这些粒 子后，这些粒子将成为新的波源向四周发射次级波， 这一现象叫做波的散射。
o
y
87
（2）O点的振动方程为：
y(cm)
u = 10m / s
2 y = A cos(ω t + ϕ 0 ) o 7π 2 5 1 = 0.02 cos( t − π ) 3 3 7π x 2 (t + ) − π ] （3）波动方程： y = 0.02 cos[ 3 10 3
例9.在x=-1m处有一波源发出平面简谐波，波源的振动
叠加原理的重要性在于可将任一复杂的波分解为 简谐波的组合。能分辨不同的声音正是这个原因； 波的叠加原理并不是普遍成立的，有些是不遵 守叠加原理的。 如果描述某种运动的微分方程是线性微分方程， 则该运动遵从叠加原理，否则就不遵从叠加原理。
∂ 2y 1 ∂ 2y 波动方程： = 2 2 ∂x u ∂t 2
π y = A cos(3πt + )(m) 方程为： 3
,波速为u=3m/s,
m区域的波动方程。 求在x<-1 x<-1m | x − (−1) | π π y = A cos[3π (t − ) + ]= A cos[3πt + πx + π + )] 解： 3 3 3
4π = A cos[3πt + πx + ) 3
93
5.能流：单位时间内通过介质中某面积的波动能量。
∆E u ⋅ ∆t ⋅ ∆S ⋅ w x 2 2 2 P= = = u ⋅ ∆S ⋅ w = u∆Sρω A sin [ω(t − )] ∆t ∆t u
显然能流是随时间周期性变化的。但它总为正值
平均能流：一个周期内能流的平均值 P = w uS 能流密度（波的强度）：
96
5.5 波的叠加和干涉
一、波的叠加原理
1.几列波相遇后仍保持它们原有的特性（频率、波长、 振幅、传播方向）不变，互不干扰。好象在各自传播 过程中没有遇到其它波一样。 ——波的独立性原理 2.在相遇区域内，介质任一点的振动为各列波单独存 在时在该点所引起的振动位移的矢量和。 —波的叠加原理。
97
85
λ (2)将x P = 代入波动方程得 P 点的振动方程为： 2
π⎤ ⎡ 2πu y P = A cos ⎢ (t − 2 ) + ⎥ 2⎦ ⎣ λ
(3)由波形图根据旋转矢量法可知t=2s时,Q点的相位为π /3, P Q 同理可知该时刻 P点的相位为π/2, y φQ-φP=-π/6
86
例8.如图,是一平面简谐波在 t=0秒时的波形图，由图中所 给的数据求：（1）该波的周期；（ 2）传播介质O点的 振动方程；（ 3）该波的波动方程。 解： 1）利用旋转矢量法求 出O点的初位相为： 2 ϕ =− π 3
O
∵ y ( −1,0) = 0,
v (−1,0) < 0
π ∴⇒ ϕ = 2
1
t ( s)
π y (−1, t ) = 0.05 cos(π t + ) ( m) 2
解法1： ∵ λ = uT = 6m, 而O处质点位相比 P处质点超前
2π π ∆ϕ ＝ k∆x = ∆x = λ 3
81
π π 5π ∴ y ( 0 , t ) = A cos( π t + + ) = 0 . 05 (π t + ) (m ) 2 3 6 x 5π ⎤ ⎡ ( 2 ) y ( x , t ) = 0 . 05 cos ⎢ π ( t + ) + (m ) ⎥ 3 6 ⎦ ⎣ π 解法2：由 y (−1, t ) = 0.05 cos(π t + ) ( m) 2 x − x0 π ⎤ ⎡ 有： y ( x, t ) = 0.05 cos ⎢π (t + ) + ⎥ ( m) u 2⎦ ⎣ x 5π ⎤ ⎡ = 0.05 cos ⎢π (t + ) + ⎥ ( m) 3 6 ⎦ ⎣
0 .4 ⎞ π ⎤ ⎡2π ⎛ y = 0 . 04 cos ⎢ ⎜ t − ⎟+ ⎥ ⎣ 5 ⎝ 0 . 08 ⎠ 2 ⎦
π⎤ ⎡ 2π = 0.04 cos ⎢ (t − 5) + ⎥ 2⎦ ⎣ 5
④. a、b 振动方向，作出 ∆t 后的波形图。
84
例7.如图所示为一平面简谐波在 t=2s时刻的波形图,该波的 振幅A、波速u、波长λ均为已知。求：1)此简谐波的波动 方程；2)P点处质点的振动方程； 3) Q、P两点处质点的振 动相位差φQ-φP。
又 结论： 在波动过程中，任一质元的动能和势能 相等，且同相位变化。
91
2
3.质元的机械能：
x⎞ ⎛ d E = d E k + d E p = ρA ω sin ω ⎜ t − ⎟ d V ⎝ u⎠
2 2 2
结论：机械波的能量与振幅的平方、频率的平方以及 介质的密度成正比 。 波动的能量与振动能量的区别： •在 孤立振动系统中， Ek、EP相互交换，系统总机械能守 恒。 •而对于波动来说，由于媒质中各部分由弹性力彼此相 联，使得振动在其中传播。任一质元总机械能随时间周期 性的变化，波动能量中Ek、EP同时达到最大，同时为 零，总能量随时间周期变化。系统总机械能不守恒。 92
x
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱdx
x x
1 ⎛ dy ⎞ ∴ dEp = YdV ⎜ ⎟ 2 ⎝ dx ⎠
2
O
y
y + dy
90
∵
∂y ωA ⎛ x⎞ = sin ω ⎜ t − ⎟ ∂x u ⎝ u⎠
1 ω 2 A2 ⎛ x⎞ 2 dE p = Y sin ω ⎜ t − ⎟dV 2 2 u ⎝ u⎠
→Y = u ρ ∵ u= Y ρ 1 x⎞ ⎛ 2 2 2 dE p = ρω A sin ω ⎜ t − ⎟dV 2 ⎝ u⎠ 1 ⎛ x⎞ 2 2 2 比较动能 dEk = ρω A sin ω ⎜ t − ⎟dV 2 ⎝ u⎠
P = w uS ∵ u = λ ∵ T = 2π T ω ωλ ωλ ⇒P= wS ∴ u= 2π 2π
例2一球面波源的功率为 100W，则距波源 10m 处， 波的平均能流密度 I 是多少？
P P 100 1 −2 ） 解： I = = = （ W •m 2 = 2 95 S 4πr 4π × 10 4π