等差数列的性质教学设计与反思

2.2.2等差数列的性质
教学设计
教学目标
1．知识与技能：理解和掌握等差数列的性质，能选择更方便快捷的解题方法，了解等差数列与一次
函数的关系。

2．过程方法及能力：培养学生观察、归纳能力，在学习过程中体会类比思
想，数形结合思想，特殊到一般的思想并加深认识。

3．情感态度价值观：通过师生，生生的合作学习，增强学生团队协作能力的培养，并引导学生从不
同角度看问题，解决问题
教学重点：理解等差中项的概念，等差数列的性质，并用性质解决一些相关问题，体会等差数列与
一次函数之间的联系。

教学难点：加深对等差数列性质的理解，学生在以后的学习过程能从不同角度看问题，解决问题，
学会研究问题的方法。

授课类型：新授课 课时安排：1课时
教学方法：启发引导，讲练结合 学法：观察，分析，猜想，归纳 教具：多媒体 教学过程： 一、复习引入
首先回忆一下上节课所学主要内容：
1．等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，即
n a －1-n a =d ，
（n ≥2，n ∈N +
），这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d ”表示）
2．等差数列的通项公式：
d n a a n )1(1-+= (=n a d m n a m )(-+)
3．有几种方法可以计算公差d ① d=n a －1-n a ② d =1
1
--n a a n ③ d =
m
n a a m n --
二、讲解新课：
问题：如果在a 与b 中间插入一个数A ，使a ，A ，b 成等差数列，那么A 应满足什么条件？
由定义得A-a =b -A ，即：2
b
a A
+=
反之，若
2
b
a A +=
，则A-a =b -A 由此可可得：,,2
b a b
a A ⇔+=成等差数列 也就是说，A =
2
b
a +是a ,A ,
b 成等差数列的充要条件 定义：若a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项
不难发现，在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项
如数列：1，3，5，7，9，11，13…中 5是3和7的等差中项，1和9的等差中项
9是7和11的等差中项，5和13的等差中项
看来，73645142,a a a a a a a a +=++=+
性质1：在等差数列
{}n a 中，若m+n=p+q ，则，q p n m a a a a +=+
即 m+n=p+q ⇒q p n m
a a a a +=+ (m, n, p, q ∈N )
三．例题讲解。

例1在等差数列{n a }中，若1a +6a =9, 4a =7, 求3a , 9a .
分析：要求一个数列的某项，通常情况下是先求其通项公式，而要求通项公式，必须知道这个数列中的至少一项和公差，或者知道这个数列的任意两项（知道任意两项就知道公差），本题中，只已知一项，和另一个双项关系式，想到从这双项关系式入手…… 解：∵ {a n }是等差数列 ∴ 1a +6a =4a +3a =9⇒3a =9－4a =9－7=2 ∴ d=4a －3a =7－2=5 ∴ 9a =4a +(9－4)d=7+5*5=32
∴ 3a =2, 9a =32
例2 等差数列{n a }中，1a +3a +5a =－12, 且 1a ·3a ·5a =80. 求通项 n a
分析：要求通项，仍然是先求公差和其中至少一项的问题而已知两个条件均是三项复合关系式，
欲求某项必须消元（项）或再弄一个等式出来
解：1a +5a =23a
111111(1)(1)2()2, (1)(1)2()2, .
m n p q m n p q a a a m d a n d a n m d d a a a p d a q d a p q d d a a a a +=+-++-=++-+=+-++-=++-∴+=+证明：
⎩⎨
⎧-=+-=⇒⎭⎬⎫=-=⇒-=⇒-=++8
20
80412321a a a 515153133531a a a a a a a a a ⇒1a =－10, 5a =2 或 1a =2, 5a =－10
∵ d=
1
51
5--a a ∴ d=3
或－3
∴ n a =－10+3 (n －1) = 3n － 13 或 n a =2 －3 (n －1) = －3n+5 例3已知数列{n a }的通项公式为q pn a n
+=，其中p,q 为常数，那么这个数列一定是等差数列
吗？
分析：判定{n a }是不是等差数列，可以利用等差数列的定义，也就是看)1(1>--n a a n n 是不是
一个与n 无关的常数。

解：取数列{n a }中的任意相邻两项n a 与1-n a （n>1）,求差得，
1--n n
a a =(pn+q)-[p(n-1)+q]
=pn+q-(pn-p+q) =p
它是一个与n 无关的常数。

所以{n a }是等差数列。

思考：这个数列的首项和公差分别是多少？ 探究：
（1）在直角坐标系中，画出通项公式为53-=n a n
的数列的图象，这个图象有什么特点？
（2）（2）在同一直角坐标系中，画出函数y=3x-5的图象，你发现了什么？据此说说等差数列
q pn a n +=的图象与一次函数y=px+q 的图象之间有什么关系？
四、巩固练习：
1.若等差数列的前三项依次是
m
m
m 1
6511
,,
+，求m 的值。

2.已知等差数列 {n a }中，,11062=++a a a 求93a a +。

五、小结 本节课学习了以下内容：
1．
,,2
a b
A a A b +=
⇔成等差数列 2．在等差数列中， m+n=p +
q ⇒ (q p n m a a a a +=+,m, n, p, q ∈N )
3．若数列{n a }的通项公式为q pn a n
+=的形式，p,q 为常数，则此数列为等差数列。

六．布置作业
创新与设计：分层练习
探究：1.设 p, q 为常数，若数列 {n a }，}{n b 均为等差数列，则数列}{n n qb pa +，}
{},{n kn ka a 为等差数列 ，公差为多少？
2.若{n a }是等差数列，公差为d.则),(,,,2*
++∈N
m k a a a m k m k k 组成公差为md 的等差数列。

教学反思：
等差数列的性质这节我们已经学习完了，回过头清理一下，感觉学生对定义和通项公式掌握不错，对一些基本问题，能按照要求转化为首项和公差来处理；能使用简单的性质；对五个基本量之间的转化比较灵活；课堂展示、质疑气氛活跃。

重要的一个原因是数列主要解决是数的问题，求数列的通项实质是寻找一列数所具有的规律，这一部分与学生以前学过的找规律问题类似，因而学起来轻松有兴趣，他们也有对其进行探究的热情，如，学生由定义推导出通项公式a n =a 1+(n-1)d , a n -a m =(n-m)d ,若m+n=p+q , 则a n +a m =a p +a q 等。

培养了学生的推理论证能力和思维的严谨性。

学生解题具有一定的规范性。

但是也存在着一些不尽人意的地方，学生对题目中的条件不能用在恰当的位置，计算能力有待进一步培养，对证明一个数列是等差数列，受课本例题的影响，过程复杂，写成a n+1-a n = a n -a n-1，没有抓住定义的内涵，将问题的形式简单化，写成a n+1-a n =常数，因而在做题时出现3a n+1-3a n =2，这样的式子看不出此数列是等差数列。

对等差数列前n 项和的含义的理解不够透彻，导致奇数项和与偶数项和不能正确表达。

对求等差数列前n 项的最值问题，有求和公式求最值比较熟练，但从通项研究最值问题不够熟练。

针对以上问题，我们将在后续的等比数列的教学中有意识地进行针对性的训练，力求使学生对重点内容和 重要方法熟练掌握。