快速学习奈氏图判断稳定性共26页
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快速学习奈氏图判断稳定性
如图4—42所示，（1） 0 ，s沿负虚轴变化；（2）0 ，s沿
正虚轴变化；（3）s lim Re j ，s沿以原点为圆心，半径为无穷大的右半圆
弧变化，其中 ，对R应 由 顺时针绕。
j
（1）当s在S平面负虚轴上变化时，s j ，
F (s1 )
(1 j2)2 (1 j2) 1 (1 j2)(1 j2 1)
0.95
j0.15
如图4—37所示，在 F (s) 平面上有点 F(s1) 0.95 j0.15 与S平面上的点s1 对应,
F (s1 )就叫做 s1 1 j2在 F (s)平面上的映射点。
如图4-43中的曲线（2），这正是系统的开环频率特性。由于正负虚轴在S平面 上以实轴为对称，它们在GH平面上的映射曲线（1）、（2）两部分也对称于实轴。
当s 过平面原点时，s j ，它在GH平面上的映射为
G(s)H (s) G( j)H ( j) K
其零、极点在S平面上的分布如图 4—39 所示，在 S平面上作一封闭曲线s , s不通过上述零、极点，在封闭曲线s 上任取一点S1 , 其对应的辅助函数F(s1)
的幅角应为
3
3
F(s1) (s1 z j ) (s1 pi )
j 1
i1
(4-111)
当解析点s1沿封闭曲线s按顺时针方向旋转一周后再回到 s1 点，从图中可以发现，
点，在 F (s)平面上必有一点（称为映射点）与之对应。 例如，当系统的开环传递函数为
G(s)H (s) 1 s(s 1)
则其辅助函数是 F(s) 1 G(s)H (s) s2 s 1 s(s 1)
奈奎斯特稳定判据
二、控制系统的频域稳定性判据
3. n阶系统 n阶系统稳定的充要条件是当ω由0→∞时， 特征矢量D(jω)的相角变化量为 Δ Arg[D(jω)]= n² 90 °
奈奎斯特稳定判据
三、奈奎斯特判据（奈氏判据） 1. 0型系统（开环没有串联积分的系统）
⑴开环是稳定的系统
如果已知开环系统是稳定的，那么当ω由0→∞时， 若矢量F(j ω)的相角变化量为0，也就是F(j ω)的轨迹不包 围原点，那么闭环系统的特征方程式DB(s)的根全部在s 左半平面，系统是稳定的。否则，系统是不稳定的。 这样，系统稳定问题转化为找出ω由0→∞时，矢量 F(j ω)的相角变化量问题。
奈奎斯特稳定判据
四、伯德图上的稳定性判据 奈氏判据除了可以表示在极坐标图上， 还可以表示在伯德图上。
w + w=+ w=0 -1 P=0 w
0
180
-
+
四、伯德图上的稳定性判据
由图可知，幅相曲线不包围（-1，j0）点。 此结果也可以根据ω增加时，幅相曲线自下 向上（幅角减小）和自上向下（幅角增加） 穿越实轴区间（-∞，-1）的次数决定。
如果把自上向下的穿越称为正穿越，正穿越次 数用N+表示。把自下向上的穿越称为负穿越，负 穿越次数用N-表示，则R可以用N+和N-之差确定， 即 R= N+- N-
由图可知， N+=1， N-=1，故R=0。
四、伯德图上的稳定性判据
1.Bode图与Nyquist图的对应关系 a. Nyquist图的单位圆 | G(j )H(j ) | 1 对应 Bode图的横轴 20lg | G(j )H(j ) | 0 b. | G(j )H(j ) | 1 单位圆外 对应 20lg| G(j )H(j ) | 0 横轴以上区域
系统的稳定性nyquist以及bode判断依据
自动控制原理
对比
• 劳斯判据 闭环传递函数
• nyquist判据 开环传递函数判断对应的闭 环系统的稳定性
Nyquist 稳定判据
• 利用系统的开环传递函数绘制的nyquist图，判断相应的闭 环系统的稳定性。
复习 一般系统nyquist图的画法
Gs H(s)
2
(s 1)(2s 1)
( j 1)(2 j 1) 1 2 1 42
系统是否稳定？
P=? N=?
右半侧极点数为0 P=0
逆时针绕（-1，j0） 圈数为0圈 N=0 P=N 系统稳定 Z=P-N =0 系统没有特 征根在复平面右半侧
sNyquist稳定判据
Nyquist稳定判据 定义P为开环传递函数在复平面右侧的极点个数。
s
第 三 节 乃 奎 斯 特 稳 定 判 据
Nyquist稳定判据
s
第 三 节 乃 奎 斯 特 稳 定 判 据
Nyquist稳定判据
s
第 三 节 乃 奎 斯 特 稳 定 判 据
Nyquist稳定判据
s
第 三 节 乃 奎 斯 特 稳 定 判 据
Nyquist稳定判据
Bode图上的稳定性判据
L)
N N 1 , Z P 2N 2
系统闭环不稳定。
1/T
0
1 0
0 0
0 180
Bode图上的稳定性判据可定义为 一个反馈控制系统, 其闭环特征方程正实部根的个数
为Z，可以根据开环传递函数s右半平面极点的个数P和 开环对数幅频特性大于0dB的所有频率范围内，对数相
度 G(j)
Im 稳定系统
负1 相位1裕度
Kg
对比
• 劳斯判据 闭环传递函数
• nyquist判据 开环传递函数判断对应的闭 环系统的稳定性
Nyquist 稳定判据
• 利用系统的开环传递函数绘制的nyquist图，判断相应的闭 环系统的稳定性。
复习 一般系统nyquist图的画法
Gs H(s)
2
(s 1)(2s 1)
( j 1)(2 j 1) 1 2 1 42
系统是否稳定？
P=? N=?
右半侧极点数为0 P=0
逆时针绕（-1，j0） 圈数为0圈 N=0 P=N 系统稳定 Z=P-N =0 系统没有特 征根在复平面右半侧
sNyquist稳定判据
Nyquist稳定判据 定义P为开环传递函数在复平面右侧的极点个数。
s
第 三 节 乃 奎 斯 特 稳 定 判 据
Nyquist稳定判据
s
第 三 节 乃 奎 斯 特 稳 定 判 据
Nyquist稳定判据
s
第 三 节 乃 奎 斯 特 稳 定 判 据
Nyquist稳定判据
s
第 三 节 乃 奎 斯 特 稳 定 判 据
Nyquist稳定判据
Bode图上的稳定性判据
L)
N N 1 , Z P 2N 2
系统闭环不稳定。
1/T
0
1 0
0 0
0 180
Bode图上的稳定性判据可定义为 一个反馈控制系统, 其闭环特征方程正实部根的个数
为Z，可以根据开环传递函数s右半平面极点的个数P和 开环对数幅频特性大于0dB的所有频率范围内，对数相
度 G(j)
Im 稳定系统
负1 相位1裕度
Kg
奈奎斯特稳定判据
幅角原理：如果封闭曲线内有Z个F(s)的零点， P个
F(s)的极点 ，则s 沿封闭曲线s 顺时针方向转一圈时，在
F(s)平面上，曲线F(s)绕其原点逆时针转过的圈数。
+
5. 4 . 3 奈氏判据
（1）0型系统
0
s为包围虚轴和整个右半平面。
s平面s 映射 F(s)
解：① 由开环传递函数知 P = 1 。 ② 作系统的开环对数频率特性曲线。
() = 90 + arctanT2 (180 arctanT1 )
270
arctan
(T1 1
T2 ) 2T1 T2
当() = 180时，g =(1/T1T2)1/2 ，A(g)=kT2
③ 稳定性判别。 G(s)H(s)有一个积分环节N =1 ，故
开环极坐标图如图
j
01
19
k(0.1s 1) Gk (s) s(s 1)
=0
Im
增补线
1 0.1k
Re 0
(3) 稳定性判别: 因为是1型系统，需作增补线如图
当 0.1k < 1 ，k > 10时， R =1/2，z = p 2R = 0
闭环系统是稳定的。
20
5.4.4 伯德图上的稳定性判据
Im
() 1
(+)
0
由图可知，幅相曲线 不 包 围 (1 ， j0) 点 。 此 结
Re 果也可以根据 增加时幅
相曲线自下向上(幅角减 小)和自上向下(幅角增加) 穿越实轴区间(，1)的 次数决定。
R = N N
自实轴区间（，1）开始向下的穿越称为半次正穿越，自实轴
区间（，1）开始向上的穿越为半次负穿越。
稳定性分析稳定性判据演示文稿
(b) ：K>1时，N= N+ - N - =1-1/2= -1/2，且已知P=1，所以
Z= P-2N=0，闭环系统稳定；
K<1时， N = N+ - N - =0-1/2= -1/2，且已知P =1，所以 Z= P-2N=2，闭环系统不稳定；
K=1时，奈氏曲线穿过 (-1,j0) 点两次，说明有两个根在虚轴上，
0
c Kg 0
L( ) dB
0
负增 益裕 量
Kg 0 c
()
90 180 270
0 g
正相 位裕 量
( ) 90
180
270
g 0
负相 位裕 量
第22页，共22页。
N = -1，又因为P =0，所以
Z = P - N=1， 说明为不稳定系统，有一个闭
环极点在s的右半平面。
Im 0
1 0
K1
2K
1
Re
0
第10页，共22页。
3。一种简易的奈氏判据
（1）正、负穿越的概念
G(jω)H(jω)曲线对称实轴。应用中只画
部0 分。
所谓“穿越”是指 轨迹穿过 (1, ) 段。
闭环系统稳定的充要条件是：当 由0变化到 时 ，
G(jω)H(jω)曲线在（-1，j0）点以左的负实轴 上的正负穿越之和为 P/2 圈。
P为开环传递函数在s右半平面的极点数。此时
Z=P-2N 若开环传递函数无极点分布在S右半平面， 即 P 0 ，则闭环系统稳定的充要条件应该是N=0： 注意：这里对应的ω变化范围是 0 。
增益剪切频率 c ：是指开环频率特性(jω)H(jω） 的幅值等于1时的频率，即
G( jc )H ( jc ) 1
Z= P-2N=0，闭环系统稳定；
K<1时， N = N+ - N - =0-1/2= -1/2，且已知P =1，所以 Z= P-2N=2，闭环系统不稳定；
K=1时，奈氏曲线穿过 (-1,j0) 点两次，说明有两个根在虚轴上，
0
c Kg 0
L( ) dB
0
负增 益裕 量
Kg 0 c
()
90 180 270
0 g
正相 位裕 量
( ) 90
180
270
g 0
负相 位裕 量
第22页，共22页。
N = -1，又因为P =0，所以
Z = P - N=1， 说明为不稳定系统，有一个闭
环极点在s的右半平面。
Im 0
1 0
K1
2K
1
Re
0
第10页，共22页。
3。一种简易的奈氏判据
（1）正、负穿越的概念
G(jω)H(jω)曲线对称实轴。应用中只画
部0 分。
所谓“穿越”是指 轨迹穿过 (1, ) 段。
闭环系统稳定的充要条件是：当 由0变化到 时 ，
G(jω)H(jω)曲线在（-1，j0）点以左的负实轴 上的正负穿越之和为 P/2 圈。
P为开环传递函数在s右半平面的极点数。此时
Z=P-2N 若开环传递函数无极点分布在S右半平面， 即 P 0 ，则闭环系统稳定的充要条件应该是N=0： 注意：这里对应的ω变化范围是 0 。
增益剪切频率 c ：是指开环频率特性(jω)H(jω） 的幅值等于1时的频率，即
G( jc )H ( jc ) 1
Nquist稳定判据.ppt
例1 已知系统开环传递函数为
G(s)H(s)
K
(s 0.5)(s 1)(s 2)
试绘制(1) K=5,(2)K=10时的奈氏图, 并判断系统的
稳定性。
解 (1) 当K=5时, 开环幅频特性和相频特性分别为
A()
5
1 0.252 1 2 1 42
() arctan0.5 arctan arctan2
解 开环幅频特性和相频特性分别为
A()
10
2 12 2 4
() 180 arctan arctan0.5
从而有ω=0+时, A(ω)=∞, φ(ω)= -180°-Δ,Δ为一个正的 很 小 角 度 , 故 奈 氏 图 起 点 在 第 Ⅱ 象 限 ;ω=+∞ 时 ， A(ω)=0, φ(ω)= -360°+Δ, 故奈氏图在第Ⅰ象限趋向终 点(0, j0)。
j0)点的运动情况, 如图4所示。
jV F (s)平面
jV G (s)H (s)平面
(－1，j0)
0
U
(－1, j0) 0
U
CF C GH
图 4 奈氏回线映射在F(s)平面和G(s)H(s)平面上
绘制映射曲线CGH的方法是: 令s=jω代入G(s)H(s), 得到开环频率特性G(jω)H(jω), 然后绘制ω从-∞变
)
z2
)(s
zm
)
(s s1)(s (s p1)(s
s2 )(s sn ) p2 )(s pn )
由上式可见,复变函数F(s)的零点为系统特征方程 的根(系统闭环极点)s1、s2、…、sn, F(s)的极点则为 系统的开环传函极点p1、p2、…、 pn。
GB(S)
04第四章稳定性分析2资料
G(s)H (s) K (s 1)
s 2 (Ts 1)
试分析 T 和T时系 统 的稳定性，并画出它们所对应
的乃氏图。
解：系统开环频率特性为
环系统稳定的充要条件是Nyquist图不包围 (1, j0) 点。 P 0 ，若闭环系统稳定，即：Z 0 则有：N Z P 0
2. 闭环系统稳定的充要条件是：
Nyquist图包围 (1, j0)周数为：N P
P 0, N P 0
认为Nyquist图逆时针包围 (1, j0)点P圈。
m
(s zi )
F(s)
i 1 n
(s pj)
j 1
由复变函数理论知道，在 s 平面上任选一条闭合曲线Γ，
且不穿过 F的(s任) 一零点和极点，s从闭合曲线Γ上任一
点 A 起，顺时针沿Γ运动一周，再回到 A 点，则对应的
平面上F (亦s)从
点起F，( A到)
点止F形( A成) 一条闭合曲线ΓF 。
F(s) s 1 s2
(Z 1, P 1)
[S]
[S]
[S]
[S]
N=0-0=0
[F(S)]
N=1-0=1
[F(S)]
N=1-1=0
[F(S)]
N=0-1= - 1
[F(S)]
假设S平面中有一条围线包含了F(s)的所有零极点，且已知极点 个数为P＝1，根据F(s)平面中映射围线的位置，判断F(s)中零点 的个数。
j2 )
j5(1 j )(1 j2 ) (1 2 )(1 4 2 )
15
(1 2 )(1 42 )
5(1 22 ) j (1 2 )(1 42 )
G( j0) 90
G( j) 0 270
用Nyquist判据判断系统稳定性
六、仿真结果
• （1）原系统的奈奎斯特图：
从图中可以看出Nyquist曲线绕(-1,j0)逆时针的圈N 1 ,即有 P N 1, 所以系统是稳定的。而用MATLAB系统函数求出的原系统的闭环极点 p1 2 3 ,由于不存在实部为正的根，因此系统是稳定的。 为：
• （2）原开环传递函数增加一个右极点后的奈奎斯特图：
• Nyquist 判据判断的结果是相同的。 • Ⅱ.在以上开环系统的传递函数中增加一个极点 p 4 ,那么 系统的传递函数变为：
G ( s)
•
系统有两个开环右极点。
12 ( s 6)(s 4)(s 1)
• 系统的开环频率特性为：G( j )
• 实部：
12 ( j 6)( j 4)( j 1)
七、结果分析
• 通过理论与仿真的结果可以看出，增加系统的开环传 递函数的极点可以使系统的稳定性下降，甚至使稳定的系 统变为不稳定的。以上理论分析结果与仿真结果完全吻合， 所以该设计实现了设计目的，符合设计要求。
八、设计感想
• 通过这次自动控制系统课程的课题设计，我掌握了频 域分析法和时域分析法判断闭环系统稳定性的方法，进一 步了解到matlab在自动控制这门课程中的强大应用，收获 颇多。不但提高了用Matlab解决自动控制理论的能力,也提 高了分析解决一般问题的能力。
一、设计题目
已知一单位负反馈系统的开环传递函数为
G( s) 12 ( s 6)(s 1)
画出其 Nyquist曲线，判断其闭环稳定性，并 用MATLAB其他函数加以检验。在此系统上
增加一个极点 p 4 ，判断系统的稳定性。
二、设计目的
• (1)了解频域分析法判断闭环系统稳定性的方法。 • (2)掌握从开环频率特性判断闭环系统稳定性的方法。 • (3)了解增加开环极点对系统稳定性的影响。