专题-数列(教师)

专题-数 列抓住5个高考重点重点1 数列的概念与通项公式 1.数列的定义2.通项n a 与前n 项和n S 的关系：112111,1...,,,2n n n n n n nn S n S a a a a a S S S S n ++-=⎧=+++==-⎨-≥⎩ 3.数列的一般性质：（1）单调性；（2）周期性-若*(,)n k n a a n k N +=∈，则{}n a 为周期数列，k 为{}n a 的一个周期. 4.数列通项公式的求法：观察、归纳与猜想[高考常考角度]角度1 已知数列{}n a 满足*434121,0,,n n n n a a a a n N --===∈，则2009____,a =2014____,a = 解析：主要考查对数列中项数的分析处理能力，2009503431,a a ⨯-==2014100721007250410a a a a ⨯⨯-====角度2 已知数列{}n a 的前n 项和为29,n S n n =-第k 项满足58,k a <<则k =（ ）A. 9B. 8C. 7D. 6解析：当1n =时，118a S ==-；当2n ≥时，1210n n n a S S n -=-=-，故*210,n a n n N =-∈由58521087.59,8k a n n n <<=><-<=><<∴=，故选B重点2等差数列及其前n 项和1.等差数列的通项公式：*1(1),(),(,)n n m a a n d a a n m d m N m n =+-=+-∈<2.等差数列的前n 项和公式：211()1(1)22n n n a a S na n n d an bn +==+-=+，,a b 为常数 3.等差数列的性质与应用：23243,,,,...p q s t n n n n n n p q s t a a a a S S S S S S +=+=>+=+---也成等差数列 4.等差数列前n 项和的最值：（1）若0d >，数列的前几项为负数，则所有负数项或零项之和为最小；（2）若0d <，数列的前几项为正数，则所有正数项或零项之和为最大；（3）通过2n S an bn =+用配方法或导数求解.5等差数列的判定与证明：（1）利用定义1n n a a d +-=，（2）利用等差中项122n n n a a a ++=+， （3）利用通项公式,,n a pn q p q =+为常数，（4）利用前n 项和2n S an bn =+，,a b 为常数[高考常考角度]角度1在等差数列{}n a 中，3737a a +=，则2468a a a a +++=__________ 解析：由等差数列的性质知246846372()2()74a a a a a a a a +++=+=+=.角度2已知{}n a 为等差数列，其公差为2-，且7a 是3a 与9a 的等比中项，n S 为{}n a 的前n 项和，*n N ∈，则10S 的值为（ ）A ．110-B ．90-C ．90D ．110解析：∵2739,2a a a d ==- ，∴)16)(4()12(1121--=-a a a ，解之得201=a ，∴101091020(2)1102S ⨯=⨯+-=. 故选D. 角度3设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若111a =-,466a a +=-,则当n S 取最小值时n 等于（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9解析：设该数列的公差为d ，则461282(11)86a a a d d +=+=⨯-+=-，解得2d =，所以22(1)11212(6)362n n n S n n n n -=-+⨯=-=--，所以当6n =时，n S 取最小值.选A角度4已知数列{}n a 满足对任意的*n N ∈，都有0n a >，且()23331212n n a a a a a a +++=+++ ．（1）求1a ，2a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式n a ； （3）设数列21{}n n a a +的前n 项和为n S ，不等式()1log 13n a S a >-对任意的正整数n 恒成立，求实数a 的取值范围．解：（1）当1n =时，有3211a a =，由于0n a >，所以11a =．当2n =时，有()2331212a a a a +=+，将11a =代入上式，由于0n a >，所以22a =．（2）由于()23331212n n a a a a a a +++=+++ ， ①则有()23333121121n n n n a a a a a a a a ++++++=++++ ． ② ②－①，得()()223112112n n n n a a a a a a a a ++=++++-+++ ，由于0n a >，所以()211212n n n a a a a a ++=++++ ． ③同样有()21212n n na a a a a -=++++ ，2n ≥， ④③－④，得2211n n n n a a a a ++-=+． 所以11n n a a +-=．由于211a a -=，即当1n ≥时都有11n n a a +-=，所以数列{}n a 是首项为1，公差为1的等差数列． 故n a n =．（3）211111,()(2)22n n n a n a a n n n n +=∴==-++13243511211111...n n n n n S a a a a a a a a a a -++=+++++1111111111[(1)()()...()()]232435112n n n n =-+-+-++-+--++11113111(1)()22124212n n n n =+--=-+++++ 1311131111[()][()]042234212(1)(3)n n S S n n n n n n +-=-+--+=>++++++数列{}n S 是递增数列，故min 11|3n S S == 要使不等式()1log 13n a S a >-对任意的正整数n 恒成立 只须11log (1)33a a >-，又10,01a a ->∴<< 故11,2a a a ->=>< 102a ∴<< 所以 实数a 的取值范围是1(0,)2角度5 （2011.福建）已知等差数列{}n a 中，11a =，33a =-．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n a 的前k 项和35k S =-，求k 的值． 解析：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差d ，则1(1)n a a n d =+-，由题设，313212a a d d =-=+=+，所以2d =-．1(1)(2)32n a n n =+--=-． （Ⅱ）因为1()(132)(2)3522k k k a a k k S k k ++-===-=-， 所以22350k k --=，解得7k =或5k =-．因为*k N ∈，所以7k =．重点3 等比数列及其前n 项和1.等比数列的通项公式：1*1,,,n n m n n m a a q a a q m N m n --==∈<2.等比数列的前n 项和公式：11,1(1),11n n na q S a q q q=⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩3.等比数列的性质与应用: 23243,,,,...p q s t n n n n n n p q s t a a a a S S S S S S +=+=>⋅=⋅---也成等比数列4.等比数列的判定与证明：（1）利用定义1,n na q q a +=为常数（2）利用等比中项212n n n a a a ++=⋅，[高考常考角度]角度1若等比数列{}n a 满足116n n n a a +=，则公比为（ ）A. 2B. 4C. 8D. 16解析：由题有2231223116,16164a a a a a q q a ==⇒==⇒=，故选择B.角度2在等比数列{}n a 中，若141,4,2a a ==则公比q = ； 12n a a a ++⋯+= . 解析：由已知得34182a q q a ==⇒=；所以121(21)12(21)212nn n a a a -++==-- .角度3设数列{}n a 的前n 项和为,n S 已知11,a =142n n S a +=+ （Ⅰ）设12n n n b a a +=-，证明数列{}n b 是等比数列 （Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式。

解析：（Ⅰ）由11,a =及142n n S a +=+，有12142,a a a +=+21121325,23a a b a a =+=∴=-=由142n n S a +=+，………………………① 则当2n ≥时，有142n n S a -=+……….②②－①得1144,n n n a a a +-=- 1122(2)n n n n a a a a +-∴-=-， 又12n n n b a a +=- ，12n n b b -∴={}n b ∴是首项13b =，公比为2的等比数列．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得11232n n n n b a a -+=-=⋅，113224n n n n a a ++∴-=（如果不这样，就要用到累差法了） ∴数列{}2n n a 是首项为12，公差为34的等比数列． ∴1331(1)22444n n a n n =+-=-， 故 2*(31)2,n n a n n N -=-⋅∈角度4等比数列{}n a 中，123,,a a a 分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且123,,a a a 中的任何两个数不在下表的同一列.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 满足：(1)ln n n n n b a a =+-，求数列{}n b 的前2n 项和2n S . 解析：（Ⅰ）当13a =时，不合题意；当110a =时，不合题意.当12a =时，当且仅当236,18a a ==时，符合题意；因此1232,6,18,a a a === 3q ∴= 故1*23,n n a n N -=⋅∈（Ⅱ）因为(1)ln n n n n b a a =+-1123(1)ln(23)n n n --=⋅+-⋅1123(1)[ln 2(1)ln3]23(1)(ln 2ln3)(1)ln3,n n n n n n n --=⋅+-+-=⋅+--+-2122n n S b b b ∴=+++2122(133)[111(1)](ln 2ln3)n n -=++++-+-++-- 2[123(1)2]ln3n n +-+-++-22132ln 33ln 3 1.13nn n n -=⨯+=+--重点4 数列的求和 1.数列求和的注意事项：（1）首项：从哪项开始相加；（2）有多少项求和；（3）通项的特征决定求和的方法 2.常见的求和技巧：（1）公式法，利用等差数列、等比数列的求和公式；（2）倒序相加法； （3）错位相减法； （4）分组求和法； （5）裂项法； （6）并项法[高考常考角度]角度1若数列}{n a 的通项公式是(1)(32)nn a n =--,则1210a a a +++= （ ）A. 15B. 12C. -12D. -15解析:方法一：分别求出前10项相加即可得出结论；方法二：12349103a a a a a a +=+==+= ，故a a a 1210++=3⨯5=15L .故选A.角度2 已知数列2211,12,122,...,122...2n -+++++++，求此数列的前n 项和 解析：由2112122 (2)2112n n n --++++==-- 2211(12)(122)...(122...2)n n S -∴=+++++++++++23(21)(21)(21)...(21)n=-+-+-++-2312(12)222 (22212)n nn n n n +-=++++-=-=---角度3数列{}n a 为等差数列，n a 为正整数，其前n 项和为n S ，数列{}n b 为等比数列，且113,1a b ==， 数列{}n a b 是公比为64的等比数列，2264b S =. （1）求,n n a b ； （2）求证1211134n S S S +++< . 解：设{n a }公差为d ，由题意易知0d ≥，且*d N ∈ 则{n a }通项3(1)n a n d =+-，前n 项和d n n n S n 2)1(3-+= 再设{n b }公比为q ，则{n b }通项1-=n n q b 由6422=S b 可得 ·(6)64q d += ① 又{n a b }为公比为64的等比数列，∴d a a a a a a q q qq b b n n n n nn ===---+++11111，∴64=d q ② 联立①、②及0d ≥，且*d N ∈可解得8,2q d ==∴{n a }通项21n a n =+，*n N ∈{}n b ∴的通项18-=n n b ，*n N ∈（2）由（1）知(1)322n n n S n -=+⋅(2)n n =+，*n N ∈ ∴11(2)n S n n =+111()22n n =-+ 12111n S S S ∴+++11111111(1)()()2322422n n =-+-++-+ 111111(1)23242n n =-+-++-+ 11111111[(1)()]2233452n n =++++-++++1111[(1)()]2212n n =+-+++31113()42124n n =-+<++角度4 设4(),42xxf x =+若122013()()...()201420142014S f f f =+++，则S =________ 解析：11442(),(1)424242x x x x x f x f x --=∴-==+++ 42()(1)14242x x x f x f x ∴+-=+=++由122013()()...()201420142014S f f f =+++得 201320121()()...()201420142014S f f f =+++ 120132*********2[()()][()()...[()()]2013201420142014201420142012S f f f f f f =++++++=，20132S ∴=角度5 设数列{}n a 满足21*123333,3n n na a a a n N -++++=∈ （1）求数列{}n a 的通项公式 （2）设,n nnb a =求数列{}n b 的前n 项和n S 解析：（1）由已知211233333n n na a a a -++++=① 当2n ≥时，22123113333n n n a a a a ---++++= ②两式相减得111333n n n n a a -==>=， 在①中，令1n =，得113a = 所以*1,3n n a n N =∈（2）,3n n n nnb b n a =∴=⨯ 23132333...3n n S n ∴=⨯+⨯+⨯++⨯ ③23413132333...(1)33n n n S n n +∴=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯ ④相减得231113(13)3122333 (33)331322n nn n n n n S n n +++---=++++-⨯=-⨯=-+⋅-1321344n n n S +-∴=+⋅重点5 数列的综合应用1.等差数列与等比数列的综合2.数列的实际应用（贵州省所考的新课程全国Ⅱ卷基本上不考此类题，故未选入）[高考常考角度]角度1设7211a a a ≤≤≤≤ ，其中7531,,,a a a a 成公比为q 的等比数列，642,,a a a 成公差为1的等差数列，则q 的最小值是________解析：由题意：231212121112a a a q a a q a a q =≤≤≤+≤≤+≤， 222221,12a q a a q a ∴≤≤++≤≤+3223q a ≥+≥，而212221,1,,1,2a a a a a ≥=∴++ 的最小值分别为1,2,3min q ∴=角度2已知{}n a 是以a 为首项，q 为公比的等比数列，n S 为它的前n 项和．（Ⅰ）当1S 、3S 、4S 成等差数列时，求q 的值；（Ⅱ）当m S 、n S 、l S 成等差数列时，求证：对任意自然数k ，m k a +、n k a +、l k a +也成等差数列． 解析：（Ⅰ）由已知，1n n a aq -=，因此1S a =，23(1)S a q q =++，234(1)S a q q q =+++．当1S 、3S 、4S 成等差数列时，1432S S S +=，可得32aq aq aq =+．化简得210q q --=．解得q =． （Ⅱ）若1q =1q =，则{}n a 的每项n a a =，此时m k a +、n k a +、l k a +显然成等差数列．若1q ≠，由m S 、n S 、l S 成等差数列可得2m l n S S S +=，即(1)(1)2(1)111m l n a q a q a q q q q ---+=---． 整理得2m l n q q q +=．因此，11()22k m l n k m k l k n k a a aq q q aq a -+-++++=+==． 所以，m k a +、n k a +、l k a +也成等差数列．突破3个高考难点难点1 数列的递推公式及应用1.求1n n a pa q +=+（,p q 为常数）型的通项公式 （1）当1p =时，{}n a 为等差数列 （2）当1p =时，{}n a 为等差数列（3）当0p ≠且1,0p q ≠≠时，方法是累差法或待定系数法，具体做法是：11()11n n n n q qa pa q a p a p p ++=+=>+=+=>--数列{}1n q a p +-为等比数列 2.求1nn n ba a aa b+=+（0ab ≠且,a b 为常数）型的通项公式，具体做法是：“倒代换”由1n n n ba a aa b +=+变形为111n n aa a b+-=，故1{}n a 是以11a 为首项，a b 为公差的等差数列，进而求解3. 求1n n n a pa q +=+（,p q 为常数）型的通项公式，具体做法是： 由1111nn n n n n na a p a pa q q q q q+++=+=>=⋅+，令n n n a b q =，则11n n p b b q q +=+，再行求解.典例 根据下列条件，求数列{}n a 的通项公式n a （1）113,21n n a a a +==+ （待定系数法）解析：由112112(1)n n n n a a a a ++=+=>+=+，{1}n a +是以2为公比，4为首项的等比数列11*14221,()n n n n a a n N -+∴+=⋅=>=-∈（2）*1131,()23nn n a a a n N a +==∈+（换元法）解析：由113112233n n n n n a a a a a ++==>=++，1{}n a ∴是以23公差，1为首项的等差数列*122131(1),3321n n n n a n N a n -=+-⨯==>=∈- （3）111,2n n n a a a +==+ （累差法、换元法、待定系数法）解析：两边除以12n +得1111,2222n n n n a a ++=⋅+，令2n n n a b =，则111111(1)222n n n n b b b b ++=⋅+=>-=- {1}n b ∴-是以12为公比，12-为首项的等比数列，1111111(),11222222n n n n n n n na b b --=-⋅=-∴=-=>=-*21,()n n a n N =>=-∈（4）111,4n n n a a a n++== （累积法） 解析：由已知得11,n n a n a n ++=1234212332112432,,,...,,,123321n n n n n n a a a a a a n n n a n a n a n a a a -------∴======--- 以上各式相乘，得12342123321112432......,4123321n n n n n n n n a a a a a a a n n n n a n a a a a a a n n n a -------∴⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅=>=∴=--- （5）2113,3n n a a a +== （换元法）解析：由已知213133133log 12log log 12(log 1)n n n n n n a a a a a a +++==>=+=>+=+3{log 1}n a ∴+是以2为公比，2为首项的等比数列，所以12133log 1222,log 21,3nn n n n n n a a a --+=⋅=∴=-∴=*()n N ∈难点2 数列与不等式的交汇 典例设数列{}n a 满足10a =且1111.11n na a +-=--（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设n b =记1,nn k k S b ==∑证明： 1.n S <解析：（Ⅰ）由已知，1{}1n a -是公差为1的等差数列，111(1)111n n n a a ∴=+-⨯=--，*1()n n a n N n -∴=∈（Ⅱ）n b ===1nn k k S b ==∑=+++1 1.=<难点3 数列与函数、方程的交汇典例1已知等比数列{}n a 的公比3q =，前3项和3133S =。