第六讲命题演算系统
概率论-第六讲 谓词演算的永真公式
如果原式是永真公式, 则代入后仍得永真公式。若原 式是非永真式, 则代入后可能变化。
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三、变换规则
2）在一公式中, 一个n元(n≥0)谓词变元F(x1, x2,…, xn)可 代以至少有n个自由个体变元的公式G(y1, y2, …, yn, yn+1, …, yn+r), (这里r≥0, y1, y2, …, yn是分别对应于 x1, x2,…, xn的任意选定的n个自由变元), 只须该n元谓词 出现的各处都同样代入, 且代入的公式中, 后边的r个自由 变元不允许在原公式中以约束变元出现; 而F(x1,x2, …, xn) 中的变元也不允许在代入的公式中以约束变元出现。 例如:a)
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表 1.7 -1 含有量词的永真公式概要表
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三、变换规则
1.代入规则 1）在一公式中, 任一自由个体变元可代以另一个体变 元, 只需该个体变元出现的各处都同样代入, 且代 入的变元不允许在原来公式中以约束变元出现。 如 ∀xP( x , y) ∨ Q( w , y)，将y代以z，得∀xP( x , z) ∨ Q( w , z)
说明否定词可通 过量词深入到辖 域且两个量词可 相互表达
① 从语义上理解 例如P(x):x今天来上课了； ¬P(x):x今天没来上课。 “不是所有的人都来上课了”等价于“有些人今天没 来上课”。 ②证明：（在有限个体域上证） 设个体域中个体变元为a1,a2,…,an 则 ¬(∀xA(x)) ⇔ ¬(A(a1 ) ∧ A(a 2 ) ∧ ... ∧ A(a n ))
含义：如果对某一确定的x，P(x)为真，则“存在一 个x,使P(x)为真”成立。
由∀xP(x) ⇒ P(x)和P(x) ⇒ ∃xP(x)根据前提三段论得 ∀xP(x) ⇒ ∃xP(x)
《命题演算》ppt课件
Show that (p∨( p∧q)) and p∧q are
logically equivalent.
EXAMPLE 6
Propositional E q u i v a命l 题e n演c算e s
Show that (p∧q) → (p∨q) is a tautology.
Propositional E q u i v a命l 题e n演c算e s
1.2 命题演算
Propositional E q u i v a命l 题e n演c算e s
Propositional Equivalences
1、命题(Proposition)
Propositional E q u i v a命l 题e n演c算e s
2、从简单命题(atomic proposition)到
例3：否认和析取组成的逻辑结合词组是极小功能 完备的。
进一步的思索：
Propositional E q u i v a命l 题e n演c算e s
三、命题公式的进一步分类。
命题公式的规范化-----范式
Propositional E q u i v a命l 题e n演c算e s
文字〔literal〕/符号〔symbol〕： 原子命题或其否认
Table 6
Propositional E q u i v a命l 题e n演c算e s
p ∨ (p ∧ q) p p ∧ (p ∨ q) p
Absorption Laws/吸收律
p → q p ∨ q
p q (p → q) ∧( q → p)
EXAMPLE 5
Propositional E q u i v a命l 题e n演c算e s
第六讲谓词演算的永真公式
二、谓词演算的基本永真公式
5 量词的分配形式 ① x(A(x) B(x)) xA(x) xB(x) ② x(A(x) B(x)) xA(x) xB(x) ③ x(A(x) B(x)) xA(x) xB(x) ④ xA(x) xB(x) x(A(x) B(x)) 证： ①因为对一切x，A(x) B(x)为真，等价于对一切x， A(x)为真且B(x)为真。 ② 对① x(A(x) B(x)) xA(x) xB(x) 用¬A(x), ¬B(x)分别取代A(x),B(x),则
二、谓词演算的基本永真公式
1.命题演算的永真公式也是谓词演算的永真公式。 因为谓词演算是命题演算的扩充，所以列于表 1.2 -1 , 表1.2 -2 的恒等式和永真蕴含式同样适用于 谓词演算。 2.量词的增加与删除 1）
xA A xA A
A中不含自由变元x
因为A不含自由变元x，所以A的真值与x无关，故恒等 式成立。
谢谢同学们的主动配合！ 愿大家天天快乐！
一、谓词演算基本概念
4. 两个任意谓词公式A和B,
1) A与B等价， A B iffA B 永真； E 2)在E上A与B等价，A B iffA B 在E上永真.
5. 两个任意谓词公式A和B, 1) A永真蕴含B ， A B iff A → B 永真； E 2)在E上A永真蕴含B， A B iff A → B 在E上永真.
将y代以w，得xP(x, w) Q(w, w)
注意： 换名规则的对象：只用于约束变元，换名后所得公式与原式等价；
代入规则的对象：只用于自由变元，换名后所得公式与原式一般
不等价，除非是永真式。
三、变换规则
2）在一公式中, 一个n元(n≥0)谓词变元F(x1, x2,…, xn)可 代以至少有n个自由个体变元的公式G(y1, y2, …, yn, yn+1, …, yn+r), (这里r≥0, y1, y2, …, yn是分别对应于 x1, x2,…, xn的任意选定的n个自由变元), 只须该n元谓词 出现的各处都同样代入, 且代入的公式中, 后边的r个自由 变元不允许在原公式中以约束变元出现; 而F(x1,x2, …, xn) 中的变元也不允许在代入的公式中以约束变元出现。 例如:a) P Q P Q，
命题演算方法
命题演算方法以下是 9 条关于命题演算方法的内容：1. 命题演算方法啊，就像是搭积木一样，把一个个简单的命题组合起来，拼出复杂又有趣的逻辑大厦！比如说，“今天天气好”和“我想去公园”，这两个命题通过一定的演算，就能得出“今天天气好所以我想去公园”这样的新命题呢！2. 嘿，你可别小看了命题演算方法哦！它简直就是打开逻辑之门的神奇钥匙！就像解方程一样，不断变换和推导命题，瞧，“他喜欢打篮球”通过演算可以推出“他会经常去篮球场”。
3. 哇塞，命题演算方法真的超厉害的呢！它仿佛是一个魔法棒，能让那些看似普通的命题产生奇妙的变化！像“她每天学习”，经过演算或许就能知道“她一定会取得好成绩”啦！4. 命题演算方法呀，其实就跟拼图似的，把不同的命题碎片拼在一起，形成完整清晰的逻辑画面！比如说“火车跑得快”和“能快速到达目的地”，这不就能通过演算得出新结论嘛！5. 哎呀呀，命题演算方法可重要啦！它像个智慧的引路人，引领我们在逻辑的迷宫中找到正确的方向呢！例如“他会弹钢琴”经过演算能明白“他有音乐才华”呀。
6. 嘿嘿，命题演算方法有意思极了！好像是厨师烹饪一样，用不同的命题原料做出一道道美味的逻辑大餐！就如“她很善良”和“她会乐于帮助别人”可以通过演算联系起来。
7. 哇哦，命题演算方法绝对是个超棒的工具！就如同在大海中航行的罗盘，指引着逻辑的方向！比如“鸟会飞”利用演算就能想到“鸟的翅膀有飞行的作用”。
8. 嘿，你晓得命题演算方法的魅力吗？那简直像变魔术一样令人惊叹！要是“他经常去图书馆”，通过演算说不定就能知道“他知识渊博”呢！9. 命题演算方法真的非常神奇啊！它就像给逻辑插上了翅膀，能让我们飞得更高更远！例如“她热爱运动”，经过演算或许可以得出“她身体很健康”呀！我的观点结论是：命题演算方法真的很有趣且实用，能帮助我们更好地理解和处理各种逻辑关系！。
命题演算(5,6节)
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§5.联结词归约 范式(NF) 5.联结词归约 范式(
(3)“或非 或非(not-or) ” 或非 表示“或非”的符号是: ↓ 符号↓ 称为谢孚竖(Sheffer stroke)。 谢孚竖 谢孚 对于两个命题p和q, p和q的或非命题“p或q不成立”表 示为：p↓q 。 p↓q称为p和q的或非式。 或非式 或非 p q p↓q p↓q为真⇔p且q为假。 t t f “或非”的真值表见表3: t f f p↓q q ¬(p∨q) ¬p∧¬q ； (p∨ ∧¬q f t f ¬p p p; p↓p; f f t p∧q (p p)↓(q q) ; (p↓p) (q↓q) 表3 p∨q (p q)↓(p q) 。 (p↓q) (p↓q)
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§5.联结词归约 范式 联结词归约 范式(NF)
“异或”的真值表见表1: 常见的析取词还有: 不是,就是;可能,可能; 或者, 或者；…。 p ∨ q ¬(p↔q) (p↔ (p∨q)∧ (p∨q)∧(¬p∨¬q) ∨¬q) (p∧¬q)∨ (p∧¬q)∨(¬p∧q) p ∨ q ⊨p∨q , 反之不成立。 ∨
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§5.联结词归约 范式 联结词归约 范式(NF)
证. 对于任一真值函项f(p1, p2, …, pn)(n≥1),设f所有的证实赋值 构成的集合为 {v|f(v)=t}={v1, v2, …, vm} (m≤2n) 其中:vi= (p1vi , p2vi, …, pnvi) (1≤ i≤ m) 。 对于每一个vi ,构造如下的合取式: αi= q1i ∧ q2i ∧ … ∧ qni (1≤ i≤ m) 其中: vi
p q r t t t t t f t f t t f f f t t f t f f f t f f f 表4
命题演算的推理理论
例 证明
((P→Q)∧P)→Q → ∧ →
((P→Q)∧P)∧¬ → ∧ ∧¬ ∧¬Q (¬P∨Q)∧P∧¬ ∧¬Q ¬ ∨ ∧ ∧¬ S ={¬P∨Q，P，¬Q} ¬ ∨ ， ，
Hale Waihona Puke 解：考察 合取范式为 子句集为 归结过程为 (1) ¬P∨Q ∨ (2) P (3) ¬Q (4) Q (5) □ 故原式为定理
(1)(2)归结 归结 (3)(4)归结 归结
∧¬Q)∧ ¬ ∨ ∧¬ ∧¬R→ 例 (p23) ¬(P∧¬ ∧(¬Q∨ R)∧¬ →¬P ∧¬
证明： ¬ ∧¬ ∧¬Q)∧ ¬ ∨ ∧¬ ∧¬ ∧¬R 证明： (¬(P∧¬ ∧(¬Q∨ R)∧¬ )∧¬ ¬P = (¬P ∨Q)∧ (¬Q∨ R)∧¬ ∧¬ ¬P ∧¬R ¬ ∧ ¬ ∨ ∧¬ 归结过程为 (1) ¬P ∨Q (2) ¬Q∨ R ∨ (3) ¬R (4) ¬ ¬P (5) ¬Q (6) ¬P (7) □ 故原式为定理
若干重要的归结规则
父辈子句 P和¬P∨Q 和 ∨ P∨Q和¬P∨Q ∨ 和 ∨ P∨Q和¬P∨¬ ∨ 和 ∨¬ ∨¬Q ¬P和P 和 P∨Q和¬Q∨¬ ∨ 和 ∨¬ ∨¬R 归结式 Q Q 说明 假设推理 子句合并成Q 子句合并成
¬P∨P或¬Q∨Q 两个可能的子句 ∨ 或 ∨ 均为重言式 □ P∨¬ ∨¬R ∨¬ 空子句， 空子句， 归结结束 三段论
例 (S ¬Q)∧(P Q)∧(R∨S)∧(R ¬Q) ¬P
证明： 证明： (S ¬Q)∧(P Q)∧(R∨S)∧(R ¬Q)∧¬¬ P ∧ ∧ ∨ ∧ ∧¬¬ =(¬S∨¬ ∧(¬P∨Q)∧(R∨S)∧(¬R∨¬ ∧¬¬ ∨¬Q)∧ ¬ ∨ ∧ ∨ ∧ ¬ ∨¬ ∧¬¬P ∨¬Q)∧¬¬ ¬ ∨¬ 建立子句集 {¬S∨¬ ¬P∨ Q, R∨S, ¬R∨¬Q, ¬¬ ∨¬Q, ¬¬P} ¬ ∨¬ ∨ ∨ ∨ 归结过程为: 归结过程为 (1) ¬S∨¬ ∨¬Q ∨¬ (2) ¬P∨ Q ∨ (3) R∨S ∨ (4) ¬R∨¬ ∨¬Q ∨¬ (5) ¬¬ ¬¬P (6) ¬P∨¬ ∨¬S (1)(2)归结 ∨¬ 归结 (7) ¬S (5)(6)归结 归结 (8) ¬P∨¬ ∨¬R (2)(4)归结 ∨¬ 归结 (9) ¬R (5)(8)归结 归结 (10) S (3)(9)归结 归结 (11)□ (7)(10)归结 □ 归结 故原式为定理。 故原式为定理。
离散数学 第一章 命题演算及其形式系统
第一章命题演算及其形式系统1.1 命题与联结词内容提要1.1.1 命题我们把对确定的对象作出判断的陈述句称作命题（propositions），当判断正确或符合客观实际时，称该命题真（true），否则称该命题假（false）。
“真、假”常被称为命题的真值。
自然语言中“并非、或者、并且、如果…，那么…、当且仅当” 这样的联结词称为逻辑联结词（logical connectives）。
通常把不含有逻辑联结词的命题称为原子命题或原子（atoms），而把由原子命题和逻辑联结词共同组成的命题称为复合命题（compositive propositions）。
1.1.2 联结词否定词(negation)“并非”（not），用符号┐表示。
设p表示一命题，那么┐p表示命题p的否定。
p真时┐p假，而p假时┐p真。
┐p读作“并非p”或“非p”。
合取词(conjunction)“并且”（and），用符号∧表示。
设p，q表示两命题，那么p∧q表示合取p和q所得的命题，即p和q同时为真时p∧q真，否则p∧q为假。
p∧q读作“p并且q”或“p且q”。
析取词(disjunction)“或”（or）用符号∨表示。
设p，q表示两命题，那么p∨q表示p和q的析取，即当p和q有一为真时，p∨q为真，只有当p和q 均假时p∨q为假。
p∨q读作“p或者q”、“p或q”。
蕴涵词(implication)“如果……，那么……”（if…then…），用符号→表示。
设p，q表示两命题，那么p→q表示命题“如果p，那么q”。
当p真而q假时，命题p→q为假，否则均认为p→q为真。
p→q中的p称为蕴涵前件，q称为蕴涵后件。
p→q的读法较多，可读作“如果p则q”，“p蕴涵q”，“p是q的充分条件”，“q是p的必要条件”，“q当p”，“p仅当q”等等。
数学中还常把q→p，┐p→┐q，┐q→┐p分别叫做p→q的逆命题，否命题，逆否命题。
双向蕴涵词(two-way implication)“当且仅当”（if and only if），用符号表示之。
命题演算
Table 4
Propositional Equivalences 命题演算
7/28/2013 10:52 PM
Deren Chen, Zhejiang Univ.
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Propositional Equivalences 命题演算
The propositions p and q are called logically equivalent if p
q is a tautotogy. The notation p q
denotes that p and q are logically equivalent.
逻辑等值，或逻辑等价
p∨q
and p→q agree, these propositions are logically equivalent.
7/28/2013 10:52 PM
Deren Chen, Zhejiang Univ.
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Table 3
Propositional Equivalences 命题演算
7/28/2013 10:52 PM
判断命题公式逻辑等价的方法：
1、真值表
2、命题公式的演算 基本等值定理；
公式的代入不变性；
等值关系的传递性。
7/28/2013 10:52 PM Deren Chen, Zhejiang Univ. 18
Propositional Equivalences 命题演算
命题公式逻辑等价关系的应用：
1、判定是否逻辑等价；
限定性命题公式： 最多仅含有否定、析取、合取 逻辑联结词的命题公式。 命题公式P的对偶公式（Dual）：将P中的 析取联结词换成合取联结词， 合取联结词换成析取联结词，