2015年文科导数分类汇编

2015导数分类汇编
2015期中
1.（海淀期中）已知函数13
1)(23+-=ax x x f . （Ⅰ）若函数)(x f 的图象关于点(0,1)对称，直接写出a 的值；
（Ⅱ）求函数)(x f 的单调递减区间；
（Ⅲ）若()1f x ≥在区间),3[+∞上恒成立，求a 的最大值.
2. （朝阳期中）已知函数2()21f x x ax a =--+，a ∈R .
（Ⅰ）若2a =，试求函数()f x y x
=（0x >）的最小值； （Ⅱ）对于任意的[0,2]x ∈，不等式()f x a ≤成立，试求a 的取值范围.
3. （朝阳期中）已知函数()()ln f x x a x =-，a ÎR .
（Ⅰ）若0a =，对于任意的(0,1)x Î，求证：1()0e f x -?；
（Ⅱ）若函数()f x 在其定义域内不是单调函数，求实数a 的取值范围.
2015年期末
1（海淀期末）已知函数e ()x
f x x
=. （Ⅰ）若曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线方程为0ax y -=，求0x 的值； （Ⅱ）当0x >时，求证：()f x x >；
（Ⅲ）问集合{()0}x f x bx ∈-=R （b ∈R 且为常数）的元素有多少个？（只需写出结论）
2．（西城期末）
对于函数(),()f x g x ，如果它们的图象有公共点P ，且在点P 处的切线相同，则称函数()f x 和()g x 在点P 处相切，称点P 为这两个函数的切点.
设函数2()(0)f x ax bx a =-≠,()ln g x x =.
（Ⅰ）当1a =-,0b =时, 判断函数()f x 和()g x 是否相切？并说明理由； （Ⅱ）已知a b =，0a >，且函数()f x 和()g x 相切，求切点P 的坐标；
（Ⅲ）设0a >，点P 的坐标为1(,1)e
-，问是否存在符合条件的函数()f x 和()g x ，使得它们在点P 处相切？若点P 的坐标为2(e ,2)呢？（结论不要求证明）
3.（东城期末）
已知函数2()ln f x a x bx =-，a ，b ∈R . （Ⅰ）若()f x 在1x =处与直线12
y =-相切，求a ，b 的值； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求()f x 在1
[,e]e 上的最大值；
（Ⅲ）若不等式()f x x ≥对所有的(,0]b ∈-∞，2(e,e ]x ∈都成立，求a 的取值范围.
4. （朝阳期末）
已知函数()e ln x f x a x =-，a ∈R .
（I ）若1x =是()f x 的极值点，求a 的值：
（Ⅱ）当e a =时，求证：()e f x ≥.
5.（丰台期末）
已知函数1()1e
x f x x =+-． （Ⅰ）求函数()f x 的极小值；
（Ⅱ）过点(0,)B t 能否存在曲线()y f x =的切线，请说明理由．
6. （石景山期末）已知函数32()(,)f x ax x bx a b R =-+∈，()f x '为其导函数，且3x =时()f x 有极小值9-．
（Ⅰ）求()f x 的单调递减区间；
（Ⅱ）若不等式()(ln 1)64f x k x x x '>---（为正整数）对任意正实数恒成立，求的最大值．（解答过程可参考使用以下数据：ln7 1.95,
ln8 2.08≈≈）
k x k
7. （昌平期末）
已知函数() 1.x x f x e xe =--
（I ）求函数()f x 的最大值； （Ⅱ）设()(),f x g x x =
其中1,0x x >-≠且，证明: ()g x ＜1.
8．（通州期末）
已知函数()21ln 2
f x x x ax =--()R a ∈，在1x =时取得极值. （Ⅰ）求()f x 的单调区间；
（Ⅱ）若方程()32
f x x b =-+在区间[]1,3上有两个不等实数根，求实数b 取值范围． （Ⅲ）若函数()()2h x f x x =-，利用()h x 的图象性质，
证明：()()2222223(12)ln 12N .n n n *+++>⋅⋅⋅∈
2015年一模
1.（海淀一模20）已知函数1()ln (0)f x a x a x =+
≠. （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；
（Ⅱ）若存在两条直线1y ax b =+，212()y ax b b b =+≠都是曲线()y f x =的切线，求实数a 的取值范围； （Ⅲ）若{}
()0(0,1)x f x ≤⊆，求实数a 的取值范围.
2．（西城一模20）
设*
n ∈N ，函数ln ()n x f x x =，函数e ()x
n g x x =，(0,)x ∈+∞. （Ⅰ）判断函数()f x 在区间(0,)+∞上是否为单调函数，并说明理由；
（Ⅱ）若当1n =时，对任意的12,(0,)x x ∈+∞， 都有12()()g x f x t ≤≤成立，求实数t 的取值范围；
（Ⅲ）当2n >时，若存在直线l y t =：（t ∈R ）
，使得曲线()y f x =与曲线()y g x =分别位于直线l 的两侧，写出n 的所有可能取值. (只需写出结论)
3.（东城一模18） 已知1x =是函数()2ln b f x x x x
=+
+的一个极值点． （Ⅰ）求实数b 的值；
（Ⅱ）求()f x 的单调递减区间； （Ⅲ）设函数3()()g x f x x
=-
，试问过点2（，5）可作多少条直线与曲线()y g x =相切？请说明理由．
4.（朝阳一模20）
已知函数()()e x
a f x x x =+，a ∈R ．
（Ⅰ）当0a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；
（Ⅱ）当1a =-时，求证：()f x 在(0,)+∞上为增函数；
（Ⅲ）若()f x 在区间(0,1)上有且只有一个极值点，求a 的取值范围．
5.（丰台一模20） 已知函数1()ln ()f x a x a R x
=+∈. （Ⅰ）当2a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；
（Ⅱ）如果函数()()2g x f x x =-在(0,)+∞上单调递减，求a 的取值范围； （Ⅲ）当0a >时，讨论函数()y f x =零点的个数．
6．(石景山一模20) 已知函数21()ln 22
f x x ax x =--. （Ⅰ）若函数()f x 在定义域内单调递增，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）若12a =-，且关于x 的方程1()2
f x x b =-+在[1,4]上恰有两个不等的实根，求实数b 的取值范围；
（Ⅲ）设各项为正数的数列{}n a 满足111,ln 2(*)n n n a a a a n N +==++∈， 求证：21n
n a ≤-.
7.（房山一模19）
已知函数()ln 1f x x ax =-+，a 是常数，∈a R ．
（Ⅰ）求曲线)(x f y =在点(1,(1))P f 处的切线l 的方程；
（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；
（III ）证明:函数()f x )1(≠x 的图象在直线l 的下方．
8.(顺义一模20)
已知函数()22ln f x a x ax x =+-.
(I)当0a >时,求函数()f x 的单调区间;
(II)设()()22g x a x f x =-,且函数()g x 在点1x =处的切线为l ,直线//l l ',且l '在y 轴上的截距为1,求证:无论a 取任何实数,函数()g x 的图像恒在直线l '的下方;
(III)已知点()()()()
001,1,,A g Q x g x ,且当01x >时,直线QA 的斜率恒小于2,求实数a 的取值范围.。