实验2 空间曲线曲面图形的绘制
实验2 空间图形的画法(基础实验)
项目二 一元函数积分学与空间图形的画法实验2 空间图形的画法(基础实验)实验目的 掌握用Mathematica 绘制空间曲面和曲线的方法. 熟悉常用空间曲线和空间曲面 的图形特征,通过作图和观察, 提高空间想像能力. 深入理解二次曲面方程及其图形.基本命令1.空间直角坐标系中作三维图形的命令Plot3D命令Plot3D 主要用于绘制二元函数),(y x f z =的图形. 该命令的基本格式为Plot3D[f[x,y],{x,x1,x2},{y,y1,y2},选项]其中f[x,y]是y x ,的二元函数, x1,x2表示x 的作图范围, y1,y2表示y 的作图范围.例如,输入Plot3D[x^2+y^2,{x,-2,2},{y,-2,2}]则输出函数22y x z +=在区域22,22≤≤-≤≤-y x 上的图形(图2.1)与Plot 命令类似, Plot3D 有许多选项. 其中常用的如PlotPoints 和ViewPoint. PlotPoints 的用 法与以前相同. 由于其默认值为PlotPoints->15, 常常需要增加一些点以使曲面更加精致, 可能要 用更多的时间才能完成作图. 选项ViewPoint 用于选择图形的视点(视角), 其默认值为 ViewPoint->{1.3,-2.4,2.0},需要时可以改变视点.2.利用参数方程作空间曲面或曲线的命令ParametricPlot3D 用于作曲面时, 该命令的基本格式为ParametricPlot3D[{x[u,v],y[u,v],z[u,v]},{u,u1,u2},{v,v1,v2},选项]其中x[u,v],y[u,v],z[u,v]是曲面的参数方程表示式. u1,u2是作图时参数u 的范围, v1,v2是参数v 的 范围.例如，对前面的旋转抛物面, 输入ParametricPlot3D[{u*Cos[v],u*Sin[v],u^2},{u,0,3},{v,0,2 Pi}]同样得到曲面22y x z +=的图形(图2.2).由于自变量的取值范围不同, 图形也不同. 不过, 后者比较好的反映了旋转曲面的特点, 因 而是常用的方法.又如, 以原点为中心, 2为半径的球面. 它是多值函数, 不能用命令Plot3D 作图. 但是, 它的 参数方程为,20,0,cos 2,sin sin 2,cos sin 2πθπϕϕθϕθϕ≤≤≤≤===z y x因此,只要输入ParametricPlot3D[{2 Sin[u]*Cos[v],2 Sin[u]*Sin[v],2 Cos[u]},{u,0,Pi},{v,0,2 Pi}]便作出了方程为22222=++y x z 的球面(图2.3)..用于作空间曲线时,ParametricPlot3D 的基本格式为ParametricPlot3D[{x[t],y[t],z[t]},{t,t1,t2},选项]其中x[t],y[t],z[t]是曲线的参数方程表示式. t1,t2是作图时参数t 的范围.例如, 空间螺旋线的参数方程为).80(10/,sin ,cos π≤≤===t t z t y t x输入ParametricPlot3D[{Cos[t],Sin[t],t/10,RGBColor[1,0,0]},{t,0,8 Pi}]则输出了一条红色的螺旋线(图2.4).在这个例子中，请读者注意选项RGBColor[1,0,0]的位置.用于作空间曲线时, ParametricPlot3D 的选项PlotPoints 的默认值是30, 选项ViewPoint 的默 认值没有改变.3.作三维动画的命令MoviPlot3D:无论在平面或空间, 先作出一系列的图形, 再连续不断地放映, 便得到动画. 例如, 输入调用作图软件包命令<<Graphics\Animation.m.执行后再输入MoviePlot3D[Cos[t*x]*Sin[t*y],{x,-Pi,Pi},{y,-Pi,Pi},{t,1,2},Frames->12]则作出了12幅曲面图, 选中任一幅图形, 双击它便可形成动画.实验举例一般二元函数作图例2.1 (教材 例2.1) 作出平面y x z 326--=的图形,其中20,30≤≤≤≤y x . 输入Plot3D[6-2x-3y,{x,0,3},{y,0,2}]则输出所作平面的图形（图2.5）.如果只要位于第一卦限的部分, 则输入Plot3D[6-2x-3y,{x,0,3},{y,0,2},PlotRange->{0,6}]观察图形.2.6）.图2.6例2.2 (教材 例2.2) 作出函数2214y x z ++=的图形.输入k[x_,y_]:=4/(1+x^2+y^2)Plot3D[k[x,y],{x,-2,2},{y,-2,2},PlotPoints->30,PlotRange->{0,4},BoxRatios->{1,1,1}]则输出函数的图形2.7. 观察图形, 理解选项PlotRange->{0,4}和BoxRatios->{1,1,1}的含义. 选项 BoxRatios 的默认值是{1,1,0.4}.例2.3 (教材 例2.3) 作出函数22y x xye z ---=的图形. 输入命令Plot3D[-x*y*Exp[-x^2-y^2],{x,-3,3},{y,-3,3},PlotPoints->30,AspectRatio->Automatic];则输出所求图形（图 图2.8例2.4 (教材 例2.4) 作出函数)94cos(22y x z +=的图形. 输入Plot3D[Cos[4x^2+9y^2],{x,-1,1},{y,-1,1},Boxed->False,Axes->Automatic,PlotPoints->30,Shading->False]则输出网格形式的曲面图2.9, 这是选项Shading->False 起的作用, 同时注意选项Boxed->False 的作用.二次曲面例2.5 (教材 例2.5) 作出椭球面1194222=++z y x 的图形. 这是多值函数, 用参数方程作图的命令ParametricPlot3D. 该曲面的参数方程为,cos ,sin sin 3,cos sin 2u z v u y v u x === (ππ20,0≤≤≤≤v u ).输入ParametricPlot3D[{2*Sin[u]*Cos[v],3*Sin[u]*Sin[v], Cos[u]},{u,0,Pi},{v,0,2 Pi},PlotPoints->30]则输出椭球面的图形, 可使图形更加光滑.图2.10例2.6 (教材 例2.6) 作出单叶双曲面1941222=-+z y x 的图形. 曲面的参数方程为,tan 3,cos sec 2,sin sec u z v u y v u x === (.20,2/2/πππ≤≤<<-v u )输入ParametricPlot3D[{Sec[u]*Sin[v],2*Sec[u]*Cos[v], 3*Tan[u]},{u,-Pi/4,Pi/4},{v,0,2 Pi},PlotPoints->30]图2.11例2.7 作双叶双曲面13.14.15.1222222-=-+z y x 的图形.曲面的参数方程是,csc 3.1,sin cot 4.1,cos cot 5.1u z v u y v u x ===其中参数πππ<<-≤<v u ,20时对应双叶双曲面的一叶, 参数πππ<<-<≤-v u ,02时对应双叶双曲面的另一叶. 输入sh1=ParametricPlot3D[{1.5*Cot[u]*Cos[v],1.4*Cot[u]*Sin[v],1.3/Sin[u]},{u,Pi/1000,Pi/2},{v,-Pi,Pi}, DisplayFunction->Identity];(*DisplayFunction->Identity 是使图形暂时不输出的选项*) sh2=ParametricPlot3D[{1.5*Cot[u]*Cos[v],1.4* Cot[u]*Sin[v],1.3/Sin[u]},{u,-Pi/2,-Pi/1000}, {v,-Pi,Pi},DisplayFunction->Identity];Show[sh1,sh2,DisplayFunction->$DisplayFunction](*命令Show[sh1,sh2]是把图形sh1,sh2放置在一起, DisplayFunction->$DisplayFunction 是恢复显示图形的选项*) 输出为图2.12.例2.8 可以证明: 函数xy z =的图形是双曲抛物面. 在区域22,22≤≤-≤≤-y x 上作出它的图形.输入Plot3D[x*y,{x,-2,2},{y,-2,2},BoxRatios->{1,1,2}, PlotPoints->30]输出图形略. 也可以用ParametricPlot3命令作出这个图形, 输入ParametricPlot3[{r*Cos[t],r*Sin[t],r^2*Cos[t] *Sin[t]},{r,0,2},{t,0,2 Pi},PlotPoints->30]输出为图2.13例2.9 (教材 例2.7) 作出圆环v z u v y u v x sin 7,sin )cos 38(,cos )cos 38(=+=+=,(πππ22/,2/30≤≤≤≤v u )的图形.输入ParametricPlot3D[{(8+3*Cos[v])*Cos[u],(8+3*Cos[v])*Sin[u],7*Sin[v]},{u,0,3*Pi/2},{v,Pi/2,2*Pi}];图2.14例2.10 画出参数曲面]2,001.0[],4,0[)5/2/ln(tan cos sin sin sin cos ∈∈⎪⎩⎪⎨⎧++===v u u v v z vu y v u x π的图形.输入命令ParametricPlot3D[{Cos[u]*Sin[v],Sin[u]Sin[v],Cos[v]+Log[Tan[v/2]+u/5]}, {u,0,4*Pi},{v,0.001,2}];则输出所求图形(图2.15).曲面相交例2.11 (教材 例2.8) 作出球面22222=++z y x 和柱面1)1(22=+-y x 相交的图形. 输入g1=ParametricPlot3D[{2 Sin[u]*Cos[v],2 Sin[u]*Sin[v],2 Cos[u]},{u,0,Pi},{v,0,2 Pi},DisplayFunction->Identity];g2=ParametricPlot3D[{2Cos[u]^2,Sin[2u],v},{u,-Pi/2,Pi/2},{v,-3,3},DisplayFunction->Identity];Show[g1,g2,DisplayFunction->$DisplayFunction]则输出所求图形（图2.16）例2.12 作出锥面222z y x =+和柱面1)1(22=+-y x 相交的图形. 输入g3=ParametricPlot3D[{r*Cos[t],r*Sin[t],r}, {r,-3,3},{t,0,2 Pi},DisplayFunction->Identity];Show[g2,g3,DisplayFunction->$DisplayFunction]输出为图2.17.图2.17例2.13 画出以平面曲线x y cos =为准线, 母线平等Z 轴的柱面的图形. 写出这一曲面的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧=∈-∈==s z R s t t y t x ],,[,cos ππ 取参数s 的范围为[0, 8]. 输入命令ParametricPlot3D[{t,Cos[t],s},{t,-Pi,Pi},{s,0,8}]则输出所求图形(图2.18).例2.14 (教材 例2.9) 作出曲面x y x y x z =+--=2222,1及xOy 面所围成的立体图形. 输入g1=ParametricPlot3D[{r*Cos[t], r*Sin[t],r^2},{t,0,2*Pi},{r,0,1},PlotPoints->30]; g2=ParametricPlot3D[{Cos[t]*Sin[r],Sin[t]Sin[r],Cos[r]+1},{t,0,2*Pi},{r,0,Pi/2},PlotPoints->30];Show[g1,g2]则输出所求图形（图图2.19例2.15 (教材 例2.10) 作出螺旋线t z t y t x 2,sin 10,cos 10===(R t ∈)在xOz 面上的正投影曲线的图形.所给螺旋线在xOz面上的投影曲线的参数方程为10==.,cosx2ztt输入ParametricPlot[{2t,10Cos[t]},{t,-2Pi,2Pi}];则输出所求图形（图图2.20注:将表示曲线的方程组, 消去其中一个变量, 即得到曲线在相应于这一变量方向上的正投影曲线的方程, 不考虑曲线所在平面, 它就是投影柱面方程; 对于参数方程, 只要注意将方程中并不存在的那个变元看成第二参数而添加第三个方程即可.例2.16 (教材例2.11) 作出默比乌斯带(单侧曲面)的图形.输入Clear[r,x,y,z];r[t_,v_]:=2+0.5*v*Cos[t/2];x[t_,v_]:=r[t,v]*Cos[t]y[t_,v_]:=r[t,v]*Sin[t]z[t_,v_]:=0.5*v*Sin[t/2];ParametricPlot3D[{x[t,v],y[t,v],z[t,v]},{t,0,2 Pi},{v,-1,1},PlotPoints->{40,4},Ticks->False]则输出所求图形（图空间曲线例2.17 (教材 例2.12) 作出空间曲线)60(2,sin ,cos π≤≤===t t z t t y t t x 的图形. 输入ParametricPlot3D[{t*Cos[t],t*Sin[t],2*t,RGBColor[1.0,0,0.5]},{t,0,6 Pi}]则输出所求图形（图图2.22例2.18 绘制参数曲线 ⎪⎩⎪⎨⎧===2/cos 2sin t z t y t x 的图形.输入命令ParametricPlot3D[{Sin[t],2Cos[t],t.2},{t,0,12}];则输出所求图形(图2.23).例2.19 绘制参数曲线 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+==t z t y t x arctan 211cos 2的图形.输入命令ParametricPlot3D[{Cos[t]^2,1/(1+2*t),ArcTan[t]},{t,0,8}]; 则输出所求图形(图2.24).动画制作例2.20 平面正弦曲线的运动. 输入Table[Plot[Sin[x+t*Pi],{x,0,6 Pi}],{t,0,2,1/8}]则作出了16幅具有不同相位的正弦曲线(输出图形略). 双击屏幕上某一幅画, 则可形成动画. 下面是动画的最后一幅图（图2.25）.例2.21 (教材 例2.13) 作模拟水波纹运动的动画. 输入调用软件包命令<<Graphics\Animation.m执行后再输入MoviePlot3D[Sin[Sqrt[x^2+y^2]+t*2*Pi],{x,-8 Pi,8 Pi},{y,-8 Pi,8 Pi},{t,1,0},PlotPoints->50,AspectRatio->0.5,ViewPoint->{0.911,-1.682,2.791},Frames->12]则输出12幅具有不同相位的水面图形, 双击屏幕上任意一幅图, 均可观察动画效果. 下图是第一幅图（图2.26）.图2.26例2.22 (教材 例2.14) 用动画演示由曲线],0[,sin π∈=z z y 绕z 轴旋转产生旋转曲面的过程.该曲线绕z 轴旋转所得旋转曲面的方程为,sin 222z y x =+ 其参数方程为])2,0[],,0[(,,sin sin ,cos sin ππ∈∈===u z z z u z y u z x输入For[i=1,i<=30,i++,ParametricPlot3D[{Sin[z]*Cos[u],Sin[z]*Sin[u],z},{z,0,Pi},{u,0,2*Pi*i/30},AspectRatio->1,AxesLabel->{"X","Y","Z"}]];则输出连续变化的30幅图形. 双击屏幕上任意一幅图, 均可观察动画效果. 下面是生成旋转曲面的过程中的第23幅图（图2.27）.图2.27例2.23 将一张薄膜贴在1,0,1,0====y y x x 的方框上, 薄膜振动的函数取为)cos()sin()sin()cos 1)(cos 1(16),,(224141222t n m y m x n m n n m t y x u m n ππππππ+⋅-+=∑∑==其中t 为参数, 作出图形随t 的变动而引起薄膜振动的动画.初始位置是).0,,(y x u 通过t 的不同值得到多幅画面, 然后将这些图形连续地一张张显示出来, 即可达到运动的动画效果. 输入命令<<Graphics 'Animation '; Clear[x,y,t,m,n];u[x_,y_,t_]:=Sum[16*(1+Cos[n*Pi])*(1-Cos[m*Pi])*Sin[n*Pi*x]*Sin[m*Pi*y]*Cos[Sqrt[m^2+n^2]*Pi*t] /(m^2*n^2*Pi*2),{m,1,4},{n,1,4}]Animate[Plot3D[u[x,y,t],{x,0,1},{y,0,1}, PlotRange->{-8,8}],{t,0,1.75,0.25}];图2.28实验习题1.用Plot3D 命令作出函数)33,33(3sin 2cos ≤≤-≤≤--=y x y x z 的图形, 采用选项 PlotPoints->40.2.作出函数)sin(22y x z +=π的图形.3.用Plot3D 命令作出函数)sin (cos 228/)(22y x e z y x +=+-在ππππ≤≤-≤≤-y x ,上的图形, 采用选项PlotPoints->60.4.二元函数22y x xyz +=在点(0,0) 处不连续, 用Plot3D 命令作出在区域22,22≤≤-≤≤-y x 上的图形(采用选项PlotPoints->40).观察曲面在(0,0)附近的变化情况.5.一个环面的参数方程为),20,20(sin ,sin )cos 3(,cos )cos 3(ππ≤≤≤≤=+=+=v u u z v u y v u x 试用命令ParametricPlot3D 作出它的图形.6.一个称作正螺面的曲面的参数方程为).80,11(3/,sin ,cos ≤≤≤≤-===v u v z v u y v u x 试用命令ParametricPlot3D 作出它的图形.7.用命令Plot3D 作双曲抛物面4122y x z -=,其中1414,66≤≤-≤≤-y x (用选项 BoxRatios->{1,1,1}, PlotPoints->30).8.用命令ParametricPlot3D 作出圆柱面122=+y x 和圆柱面122=+z x 相交的图形.9.用命令ParametricPlot3D 作出抛物柱面2y x =和平面1=+z x 相交的图形.10.用命令ParametricPlot3D 作出圆柱面122=+y x 和圆柱面122=+z x 相交所成的空间曲线 在第一封内的图形.11.用命令ParametricPlot3D 作出球面22222=++z y x 和柱面1)1(22=+-y x 相交所成的空 间曲线的图形.。
空间曲线PPT课件
contents
目录
• 空间曲线的基本概念 • 空间曲线的方程 • 空间曲线的几何性质 • 空间曲线在几何图形中的应用 • 空间曲线在现实生活中的应用 • 空间曲线的发展前景与展望
01
CATALOGUE
空间曲线的基本概念
定义与特性
定义
空间曲线是由三维空间中的点的 集合构成，这些点通过连续的参 数变化而形成一条连续的轨迹。
02
CATALOGUE
空间曲线的方程
参数方程
参数方程
通过选择合适的参数t，将空间曲线 上的点与参数t关联起来，形成参数 方程。
参数方程的优缺点
参数方程可以直观地表达曲线的形状 和方向，但有时候参数的选择可能较 为复杂。
直角坐标方程
直角坐标方程
利用三维空间中的三个互相垂直的坐标轴，将空间曲线上的点与三个坐标轴上的 值关联起来，形成直角坐标方程。
空间曲线在几何学中的地位和作用
地位
空间曲线是几何学中的重要概念之一，它是连接点与点之间 的桥梁，也是描述三维空间中物体运动和变化的重要工具。
作用
空间曲线在几何学中有着广泛的应用，如在解析几何、微积 分、线性代数等领域中都有重要的应用。此外，空间曲线还 在工程、建筑、艺术等领域中有着广泛的应用，如建筑设计 、机械设计、动画制作等。
直角坐标方程的应用
直角坐标方程广泛应用于解析几何、微积分等领域。
极坐标方程
极坐标方程
利用极径和极角来描述空间曲线上的 点，形成极坐标方程。
极坐标方程的特点
极坐标方程可以方便地描述旋转对称 的曲线，但在处理复杂曲线时可能不 够直观。
球坐标方程
球坐标方程
利用球径和球角来描述空间曲线上的点，形成球坐标方程。
proe空间曲线画法
proe空间曲线画法
proe空间曲线画法是指在proe软件中绘制三维空间曲线的技巧和方法。
其基本原理是通过控制曲线的节点和曲率，以及利用proe 软件的曲线工具（如自由曲线、样条曲线等）来实现三维空间曲线的绘制。
在proe中，绘制空间曲线需要注意以下几点：
1.选择合适的曲线工具
proe提供了多种曲线工具，包括自由曲线、样条曲线、NURBS曲线等，不同的曲线工具适用于不同的曲线绘制场景。
例如，自由曲线适用于简单的曲线绘制，而NURBS曲线适用于需要精细控制曲线形状和曲率的场景。
2.控制曲线节点和曲率
曲线的节点和曲率是决定曲线形状和光滑度的关键因素。
在proe 中，可以通过添加、移动和删除节点，以及调整节点处的曲率，来实现对曲线形状和光滑度的控制。
3.使用曲线草图和截面
曲线草图和截面是帮助绘制空间曲线的重要工具。
曲线草图可以用于预设曲线的大致形状和方向，而截面可以用于实现曲线的细节控制和形状调整。
总之，proe空间曲线画法是掌握proe软件三维建模技能的重要一环，通过熟练掌握曲线工具和控制技巧，可以实现高质量的三维曲线绘制。
解析几何中的三维空间曲线与曲面
解析几何中的三维空间曲线与曲面在解析几何中，我们研究的对象包括平面上的直线、圆等曲线以及空间中的曲线与曲面。
而本文将着重讨论三维空间中的曲线与曲面的特点及性质。
首先，我们来介绍一下三维空间中的曲线。
三维空间中的曲线与平面上的曲线有着一些相似之处，但也有着它独特的特点。
一条三维空间中的曲线可以由一组参数方程表示，例如对于曲线C，我们可以用参数t来描述其在空间中的位置，即x = f1(t), y = f2(t), z = f3(t)，其中f1(t)，f2(t)，f3(t)分别表示曲线C在x轴、y轴和z 轴上的分量。
通过在不同的t值下求解，可以得到曲线C上的一系列点。
三维空间中的曲线可以有各种形状和特征。
例如，一条直线可以以参数形式表示为x = at + b, y = ct + d, z = et + f。
这时，直线上的任意一点都可以由参数t唯一确定。
另一个常见的曲线是圆锥曲线，它可以通过参数方程x = a sin(t), y = a cos(t), z = bt表示。
圆锥曲线在平面上呈现出圆的形状，但在空间中却是一个由无数个平行于z轴的圆组成的曲面。
除了曲线之外，我们还需要研究三维空间中的曲面。
曲面是由方程F(x, y, z) = 0定义的。
其中F(x, y, z)是三元函数，可以是多项式、指数函数等。
曲面的图像是一种广义的平面，它可以弯曲并在空间中占据一定的区域。
曲面可以有各种形状，如球面、柱面、抛物面等。
对于曲面，我们还可以通过参数方程来表示。
例如，球面可以用参数方程x = r sinθcosφ, y = r sinθsinφ, z = r cosθ表示，其中r是球的半径，θ和φ是参数。
通过改变参数的取值范围，我们可以得到球面上的各个点。
同样地，其他曲面也可以用参数方程来表示。
解析几何中的三维空间曲线与曲面的研究不仅局限于它们的方程形式，更重要的是研究它们的性质和关系。
例如，我们可以研究两个曲线是否相交，如果相交，它们相交的点在哪里？此外，我们还可以研究曲线和曲面的相互关系，例如曲线是否在曲面上，以及它们在空间中的位置关系等。
实验2-空间曲线曲面图形的绘制
实验2-空间曲线曲面图形的绘制
实验2-空间曲线曲面图形的绘制
实验二空间曲线曲面图形的绘制
一、实验目的
熟练掌握使用Mathematica软件绘制空间曲线曲面图形的方法.
二、实验内容与Mathematica命令
1．基本三维图形
函数(,)
=的图形为三维空间的一个曲面，
z f x y
Mathematica中，绘制三维曲面图形的基本命令格式为
Plot3D[f,{x,xmin,xmax},{y,y min,ymax},Options]
其中，f为一个二元显函数. 该命令有众多可供使用的选项，可执行命令“Options[Plot3D]”查询.
1）绘制曲面的基本方法
运行t1=Plot3D[Sin[x+y]*Cos[x+y],{x,0,4 },{y,0,4}]
图1
2）用PlotRange 设定曲面的表面的变化范围运行Show[t1,PlotRange {-0.2,0.5}]
图2
3）坐标轴上加标记，并且在每个外围平面上画
上网格
运行Show[t1,AxesLabel→{"Time","Depth" ,"Value"},FaceGrids→All]
图 3
4）观察点的改变
将观察点改变在（2，-2，0），运行
Show[t1,ViewPoint→{2,-2,0}]
图4
也可用鼠标拖动改变视点。
5）无网格和立体盒子的曲面
运行Show[t1,Mesh→False,Boxed→False]
图 5
6）没有阴影的曲面
利用Shading取消曲面的阴影运行Show[t1,Shading→False]。
CAD中的曲线和曲面建模技巧
CAD中的曲线和曲面建模技巧在CAD软件中，曲线和曲面建模是非常重要的技巧，它可以帮助我们创建更加复杂和精确的设计。
在本文中，我们将讨论一些在CAD软件中使用的曲线和曲面建模技巧，希望对初学者和专业人士都能有所帮助。
首先，让我们从曲线建模开始。
在CAD中，曲线可以通过多种方法创建。
一种常见的方法是使用基本几何形状，如直线、圆弧和椭圆，然后通过拟合来创建复杂的曲线。
我们可以使用软件中的“拟合”命令，将已知的点和线段拟合为曲线。
这样，我们就能够在CAD中轻松地创建各种曲线形状。
另一种方法是通过掌握贝塞尔曲线的使用。
贝塞尔曲线是由一系列控制点和锚点定义的曲线。
我们可以使用顶点工具创建控制点，然后调整它们的位置来改变曲线的形状。
在CAD软件中，我们可以通过选择“贝塞尔曲线”命令，并逐一选择或用鼠标绘制锚点来创建曲线。
曲面建模也是CAD中非常重要的一部分。
曲面是一个在三维CAD模型中呈现平面外形变化的建模元素。
通过使用CAD软件中的曲面建模工具，我们可以创建各种形状，如球体、圆柱体、锥体等，并将它们组合成更加复杂的形状。
常见的曲面建模工具包括旋转、拉伸、镜像、扫掠等命令。
除了基本的曲面建模工具，CAD软件还提供了一些高级的曲面建模技巧，如NURBS曲线和曲面。
NURBS是非均匀有理B样条的缩写。
它是一种数学表示方法，用于在CAD软件中创建平滑的曲线和曲面。
通过调整控制点的权重和位置，我们可以精确地控制曲线和曲面的形状。
此外，CAD软件还提供了一些辅助工具，用于精确地编辑和调整曲线和曲面的形状。
这些工具可以帮助我们修改曲线和曲面上的点、边或面，以达到我们想要的效果。
例如，我们可以使用曲面编辑工具来调整曲面的法线，使其在不同方向上呈现不同的曲率。
在CAD中使用曲线和曲面建模技巧时，还要注意一些常见的问题。
首先，要始终保持曲线和曲面的正确性和一致性，以便在后续操作中获得准确的结果。
其次，要注意控制点和锚点的位置和数量，以避免过多或过少导致曲线和曲面形状失真。
UGCAD三维建模项目项目二 曲线绘制-任务三-空间曲线绘制
UG-CAD三维建模项目教程
【任务】三 空间曲线绘制
14、单击:“设置为绝对WCS
”，单击基本曲线 按钮：选择 “圆角”功能，在“曲线圆角”对话框中选择“两曲线圆角”， 输入“半径”：40，然后分别选择两条矩形边，结果如图
UG-CAD三维建模项目教程
【任务】三 空间曲线绘制
15、单击直线
项目二 曲线绘制
【能力目标】
本项目通过具体的项目课题练习，掌握UG 的曲线绘制功能中的点、直线、圆弧和圆、矩 形、正多边形、椭圆，并可以裁剪这些曲线或 编辑其参数。
【任务】三 空间曲线绘制
【任务描述】
通过本任务的练习，掌握UG曲线空间平面选
择、直线、基本曲线、圆弧、圆、工作坐标系 变换、移动对象等功能的用法，掌握在建模模 块中运用曲线功能进行空间立体线框图形的绘 制方法。
UG-CAD三维建模项目教程
【任务】三 空间曲线绘制
3、单击“矩形
”按钮，在弹出点对话框中设置坐标为XC0， YC0，ZC0，单击确定，再设置坐标为XC：0，YC：80，ZC： 135，单击“确定”，完成矩形绘制，单击“取消”退出对话框， 如图
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【任务】三 空间曲线绘制
UG-CAD三维建模项目教程
【任务】三 空间曲线绘制
6、单击“基本曲线
”按钮：选择“直线”功能， 在“点方法”中选择直线端点，分别选择两条曲线边， 画出两条直线，结果如图
UG-CAD三维建模项目教程
【任务】三 空间曲线绘制
7、单击“直线 ”按钮，在“起点”中选择“选择
点”，输入坐标：XC：45,YC：30,ZC：105；在“终 点或方向”中选择“选择点”，输入坐标：XC： 45,YC：80：ZC：105；单击“确定”，结果如图
2.1空间曲面和曲线二次曲面ppt课件
8.4.3 旋转曲面
旋转曲面:
平面曲线C绕同平面定直线L旋转 一周所成的曲面叫做旋转曲面.
母线:平面曲线C.
旋转轴:定直线L
曲线C:
C
y
z
o
绕 z轴
x
C
y
z
o
绕 z轴旋转一周得旋转曲面 S.
C
S
M (x,y,z)
表示的曲面称为二次曲面.
要想了解曲面的形状一般采用平面截割 法.即用一系列平行于坐标面的平面去截割曲面,根据截线的形状和变化规律,来推断想象曲面的形状.
本节主要内容
1.标准方程表示的二次曲面; 2.二次曲面的一般方程标准化.
当a=b=c时, 是半径为a的球面.
8.5.1 椭球面:
(a >0,b >0,c>0)
称为螺距.
N
Q
解
3. 空间曲线C在平面π上的投影
以空间曲线C为准线,母线垂直于π的柱 面与π的交线称为C在上的投影.
F(x,y,z)=0 G(x,y,z)=0
在xOy面上的投影.
(1) 求
(消去z)
f (x,y)=0 (柱面)
f (x,y)=0
z = 0
(2)
x= x( t ) y= y( t ) z= z( t )
在xOy面上的投影为
x= x( t ) y= y( t )
z= 0
F(x,y,z)=0 G(x,y,z)=0
C:
若取为坐标面,可求C在坐标面上的投影.
的交线
由
解
得交线L：
例4
1
y
x
z
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实验二空间曲线曲面图形的绘制
一、实验目的
熟练掌握使用Mathematica软件绘制空间曲线曲面图形的方法.
二、实验内容与Mathematica命令
1．基本三维图形
函数(,)
=的图形为三维空间的一个曲面，Mathematica中，绘制三维曲面图形的
z f x y
基本命令格式为
Plot3D[f,{x,xmin,xmax},{y,ymin,ymax},Options]
其中，f为一个二元显函数. 该命令有众多可供使用的选项，可执行命令“Options[Plot3D]”查询.
1）绘制曲面的基本方法
运行t1=Plot3D[Sin[x+y]*Cos[x+y],{x,0,4},{y,0,4}]
图1
2）用PlotRange 设定曲面的表面的变化范围
运行Show[t1,PlotRange→{-0.2,0.5}]
图2
3）坐标轴上加标记，并且在每个外围平面上画上网格
运行Show[t1,AxesLabel→{"Time","Depth","Value"},FaceGrids→All]
图 3
4）观察点的改变
将观察点改变在（2，-2，0），运行
Show[t1,ViewPoint→{2,-2,0}]
图4
也可用鼠标拖动改变视点。
5）无网格和立体盒子的曲面
运行 Show[t1,Mesh→False,Boxed→False]
图 5
6）没有阴影的曲面
利用Shading取消曲面的阴影运行 Show[t1,Shading→False]
图 6
7）给曲面着色
Show[t1,Lighting→False
图 7 Show[t1,Lighting→None]
图 8
Show[t1,Lighting→"Neutral"]
图 9
Show[t1,Lighting→{{"Directional",RGBColor[1,.7,.1],{{5,5,4},{5,5,
0}}}}]
图 10
2．离散数据的绘制
ListPlot3D[{y1,y2,…..}，{z1,z2…}，…]
mytable:=Table[Sin[x*y],{x,0,3Pi/2,Pi/15},{y,0,3Pi/2,Pi/1 5}];
ListPlot3D[mytable]
图 11
3．三维空间参数方程的绘制
1）空间曲线的绘制
pp1=ParametricPlot3D[{3Cos[4t+1],Cos[2t+3],4Cos[2t+5]},{t,0,2Pi}]
图 12
pp2=ParametricPlot3D[{Cos[t],Sin[t],t/10.0},{t,0,10Pi}]
ParametricPlot3D[{Cos[t],Sin[t],t/10.0},{t,0,10Pi},PlotStyle {Thi ckness[0.02],RGBColor[1,0,1]}]
图 13
图 14
2）参数曲面的绘制
ParametricPlot3D[{Cos[u] Sin[v],Cos[u] Cos[v],Sin[u]},{u,0,2 Pi},{v,-Pi,Pi},Boxed→False,Axes→False]
图 15
绘制椭圆抛物面
22
35
x y
z=+，双曲抛物面
22
35
x y
z=-的图形.
Plot3D[x^2/3+y^2/5,{x,-2,2},{y,-2,2},BoxRatios->{1,1,1}, ViewPoint->{1.6,-3.,1.}];
Plot3D[x^2/3-y^2/5,{x,-2,2},{y,-3,3},BoxRatios->{1,1,1}, ViewPoint->{1.6,1.6,1.}];
这里，选项“BoxRatios->{1,1,1}”表示图形边框的长、宽、高的比例为1：1：1，选
项“ViewPoint
->{1.6,-3,1}”观察图形的视点为{1.6,-3,1}. 命令执行后得到下面的图形.
图16 图17。