解析几何中的存在性问题
《解析几何中的存在性问题》教学反思
《解析几何中的存在性问题》教学反思
《解析几何中的存在性问题》教学反思
身为一名人民老师，我们需要很强的教学能力，通过教学反思可以有效提升自己的教学能力，那么应当如何写教学反思呢？以下是小编精心整理的《解析几何中的存在性问题》教学反思，希望能够帮助到大家。
一、好的地方
1、学生有较为充足的时间练习并向其他同学展示自己的结果，体现了学生在学习过程中的主体性。
2、学生在练习过程中，我不断巡视学生的情况，对部分学生作出了适当的提点，体现了教师在教学过程中的主导型以及课堂掌控能力。
3、我在巡视过程中，选定了几位同学上台叙述自己的思路并展示自己的成果，之后我再作出点评，无论是台上的同学还是台下的同学都有收获，师生互动非常充分。
4、我在教学中投入了更大的激情，带动了学生的学习热情。
二、不足之处
1、投影设备有故障，在用投影展示学生的解答时，屏幕不时闪烁，影响学生和听课老师的观看。
2、在学案中设计给学生作答的空间小了一点，不足以让每个学生都能把完整的'解答过程完整地写完。
3、作为引入的思考题如果能选用更为简单的问题也许能更加突出重点。
三、改善方案
1、在上课之前要充分检查好各种设备的运作是否正常。
2、改善学案的排版，留出足够的书写位置。
3、选用更加简单且典型的例子。
二次函数解析几何--存在性问题
页眉内容二次函数解析几何专题——存在性问题存在性问题是指判断满足某种条件的事物是否存在的问题，这类问题的知识覆盖面较广，综合性较强，题意构思非常精巧，解题方法灵活，对学生分析问题和解决问题的能力要求较高，是近几年来各地中考的“热点”。
这类题目解法的一般思路是：假设存在→推理论证→得出结论。
若能导出合理的结果，就做出“存在”的判断，导出矛盾，就做出不存在的判断。
由于“存在性”问题的结论有两种可能，所以具有开放的特征，在假设存在性以后进行的推理或计算，对基础知识，基本技能提出了较高要求，并具备较强的探索性，正确、完整地解答这类问题，是对我们知识、能力的一次全面的考验。
一、方法总结解存在性问题的一般步骤： （1）假设点存在；（2）将点的坐标设为参数；（3）根据已知条件建立关于参数的方程或函数。
二、常用公式（1）两点间距离公式：若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB|=221221)()(y y x x -+- （2）中点坐标公式：1212,22x x y y x y ++== （3）斜率公式：①2121y y k x x -=-；②tan k θ=（θ为直线与x 轴正方向的夹角）（4）①对于两条不重合的直线l 1、l 2，其斜率分别为k 1、k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2 ②如果两条直线l 1、l 2的斜率存在，设为k 1、k 2，则l 1⊥l 2⇔k 1k 2＝－1.题型一面积问题例1．如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A(1，0)，B(－3，0)两点．（1）求该抛物线的解析式；（2）在（1）中的抛物线上的第二象限内是否存在一点P，使△PBC的面积最大？，若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值；若不存在，请说明理由．变式练习：1.如图，在直角坐标系中，点A的坐标为(－2，0)，连结OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°，得到线段OB．（1）求点B的坐标；（2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；（3）如果点P是（2）中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，那么△PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积；若没有，请说明理由．2.（2009湖南益阳）如图2，抛物线顶点坐标为点C (1，4)，交x 轴于点A (3，0)，交y 轴于点B .（1）求抛物线和直线AB 的解析式； （2）求△CAB 的铅垂高CD 及S △CAB ；（3）设点P 是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，是否存在一点P ，使S △PAB ＝89S △CAB ，若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由.例2：如图，在坐标系xOy 中，△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC=90°，A （1，0），B （0，2），抛物线y=21x 2+bx-2的图象过C 点． （1）求抛物线的解析式；（2）平移该抛物线的对称轴所在直线l ．当l 移动到何处时，恰好将△ABC 的面积分为相等的两部分？x CO yA B D1 1 图2变式练习：如图，抛物线y=ax 2+bx+c 关于直线x=1对称，与坐标轴交与A ，B ，C 三点，且AB=4，点D （2，23）在抛物线上，直线l 是一次函数y=kx-2（k≠0）的图象，点O 是坐标原点．（1）求抛物线的解析式；（2）若直线l 平分四边形OBDC 的面积，求k 的值；例3：将直角边长为6的等腰Rt △AOC 放在如图所示的平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，点C 、A 分别在x 、y 轴的正半轴上，一条抛物线经过点A 、C 及点 B (–3，0)．（1）求该抛物线的解析式；（2）若点P 是线段BC 上一动点，过点P 作AB 的平行线交AC 于点E ，连接AP ，当△APE 的面积最大时，求点P 的坐标；y xCBOA变式练习：如图1，抛物线213922y x x =--与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，联结BC 、AC ．（1）求AB 和OC 的长；（2）点E 从点A 出发，沿x 轴向点B 运动（点E 与点A 、B 不重合），过点E 作BC 的平行线交AC 于点D ．设AE 的长为m ，△ADE 的面积为s ，求s 关于m 的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围；能力提升：1.（2013菏泽）如图1， △ABC 是以BC 为底边的等腰三角形，点A 、C 分别是一次函数334y x =-+的图像与y 轴、x 轴的交点，点B 在二次函数218y x bx c =++的图像上，且该二次函数图像上存在一点D 使四边形ABCD 能构成平行四边形． （1）试求b 、c 的值，并写出该二次函数的解析式；（2）动点P 从A 到D ，同时动点Q 从C 到A 都以每秒1个单位的速度运动，问：①当P 运动到何处时，由PQ ⊥AC ？②当P 运动到何处时，四边形PDCQ 的面积最小？此时四边形PDCQ 的面积是多少？2．如图，已知抛物线y=x2+bx+c的图象与x轴的一个交点为B（5，0），另一个交点为A，且与y轴交于点C（0，5）．（1）求直线BC与抛物线的解析式；（2）若点M是抛物线在x轴下方图象上的一动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求MN的最大值；（3）在（2）的条件下，MN取得最大值时，若点P是抛物线在x轴下方图象上任意一点，以BC为边作平行四边形CBPQ，设平行四边形CBPQ的面积为S1，△ABN的面积为S2，且S1=6S2，求点P的坐标．3.如图，二次函数的图象与x轴相交于点A（-3，0）、B（-1，0），与y轴相交于点C（0，3），点P是该图象上的动点；一次函数y=kx-4k（k≠0）的图象过点P交x轴于点Q．（1）求该二次函数的解析式；（2）当点P的坐标为（-4，m）时，求证：∠OPC=∠AQC；（3）点M，N分别在线段AQ、CQ上，点M以每秒3个单位长度的速度从点A向点Q运动，同时，点N以每秒1个单位长度的速度从点C向点Q运动，当点M，N中有一点到达Q点时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒．连接AN，当△AMN的面积最大时，①求t的值；②直线PQ能否垂直平分线段MN？若能，请求出此时点P的坐标；若不能，请说明你的理由．题型二：构造直角三角形例2．（2010四川乐山）如图所示，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C （0，2），连接AC ，若tan ∠OAC=2． （1）求抛物线对应的二次函数的解析式；（2）在抛物线的对称轴l 上是否存在点P ，使∠APC=90°？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；变式练习： 1.函数218y x =的图象如图所示，过y 轴上一点()02M ，的直线与抛物线交于A ，B 两点，过点A ，B 分别作y 轴的垂线，垂足分别为C ，D ．（1）当点A 的横坐标为2-时，求点B 的坐标；（2）在（1）的情况下，分别过点A ，B 作AE x ⊥轴于E ，BF x ⊥轴于F ，在EF 上是否存在点P ，使APB ∠为直角．若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由；y D B MA COx3.（2010山东聊城）如图，已知抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的对称轴为x ＝1，且抛物线经过A （－1，0）、C （0，－3）两点，与x 轴交于另一点B ． （1）求这条抛物线所对应的函数关系式；（2）在抛物线的对称轴x ＝1上求一点M ，使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，并求此时点M 的坐标；（3）设点P 为抛物线的对称轴x =1上的一动点，求使∠PCB ＝90º的点P 的坐标．4.（2012广州）如图1，抛物线233384y x x =--+与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ． （1）求点A 、B 的坐标；（2）设D 为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD 的面积等于△ACB 的面积时，求点D 的坐标；（3）若直线l 过点E (4, 0)，M 为直线l 上的动点，当以A 、B 、M 为顶点所作的直角三角形有且只有．．．．三个时，求直线l 的解析式．图1E5.（2013白银）如图，在直角坐标系xOy 中，二次函数y=x 2+（2k ﹣1）x+k+1的图象与x 轴相交于O 、A 两点．（1）求这个二次函数的解析式； （2）在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点B ，使△AOB 的面积等于6，求点B 的坐标； （3）对于（2）中的点B ，在此抛物线上是否存在点P ，使∠POB=90°？若存在，求出点P 的坐标，并求出△POB 的面积；若不存在，请说明理由．6.（2013山西）如图1，抛物线213442y x x =--与x 轴交于A 、B 两点（点B 在点A 的右侧），与y 轴交于点C ，连结BC ，以BC 为一边，点O 为对称中心作菱形BDEC ，点P 是x 轴上的一个动点，设点P 的坐标为(m , 0)，过点P 作x 轴的垂线l 交抛物线于点Q ． （1）求点A 、B 、C 的坐标；（2）当点P 在线段OB 上运动时，直线l 分别交BD 、BC 于点M 、N ．试探究m 为何值时，四边形CQMD 是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM 的形状，并说明理由；（3）当点P 在线段EB 上运动时，是否存在点Q ，使△BDQ 为直角三角形，若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．7.（2013济宁）如图，已知直线y=kx-6与抛物线y=ax2+bx+c相交于A，B两点，且点A（1，-4）为抛物线的顶点，点B在x轴上．（1）求抛物线的解析式；（2）在（1）中抛物线的第二象限图象上是否存在一点P，使△POB 与△POC全等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点Q是y轴上一点，且△ABQ为直角三角形，求点Q的坐标．8.（2013 绵阳）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象的顶点C的坐标为（0，-2），交x轴于A、B两点，其中A（-1，0），直线l：x=m（m＞1）与x轴交于D。
第10讲 解析几何之存在性问题
教学课题解析几何之存在性问题教学过程1、已知圆C的圆心为(,0),3<C m m，半径为5，圆C与椭圆E：)0(12222>>=+babyax有一个公共点A(3,1)，21FF、分别是椭圆的左、右焦点．（1）求圆C的标准方程；（2）若点P的坐标为(4,4)，试探究斜率为k的直线1PF与圆C能否相切，若能，求出椭圆E和直线1PF的方程;若不能，请说明理由．2、已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点)3,2(A，且点)0,2(1F为其右焦点。
（1）求椭圆C的方程；（2）是否存在平行于OA的直线l，使得直线l与椭圆C有公共点，且直线OA与l的距离等于4？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由。
3、已知如图，椭圆方程为222116x yb+=(40)b>>.P为椭圆上的动点,F1、F2为椭圆的两焦点，当点P不在x轴上时，过F1作∠F1PF2的外角平分线的垂线F1M,垂足为M，当点P在x轴上时，定义M与P重合．（1）求M点的轨迹T的方程；（2）已知(0,0)O 、(2,1)E ，试探究是否存在这样的点Q ：Q 是轨迹T 内部的整点（平面内横、纵坐标均为整数的点称为整点），且△OEQ 的面积2OEQ S ∆=？若存在，求出点Q 的坐标，若不存在，说明理由．yxMF 1F 2P4、如图，F 是椭圆的右焦点，以F 为圆心的圆过原点O 和椭圆的右顶点，设P 是椭圆的动点，P 到两焦点距离之和等于4. （Ⅰ）求椭圆和圆的标准方程；（Ⅱ）设直线l 的方程为4,x PM l =⊥，垂足为M ，是否存在点P ，使得FPM ∆为等腰三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由.5、已知抛物线y x F 4:2=（1）△ABC 的三个顶点在抛物线F 上，记△ABC 的三边AB 、BC 、CA 所在的直线的斜率分别为CA BC AB k k k ,,，若A 的坐标在原点，求CA BC AB k k k +-的值；（2）请你给出一个以)1,2(P 为顶点、其余各顶点均为抛物线F 上的动点的多边形，写出各多边形各边所在的直线斜率之间的关系式，并说明理由。
例析解析几何中的探索性、存在性问题
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在 双 曲 线 中要 特 别 小 心 ！
２ 一 般弦 问题 ．
【 ３ 例 】已 知 双 曲 线 ｃｌ的 方 程 是 ２ ｘ 一 。 一 ２ ” Ｏ ， 物 线 ｎ（＞ ）抛 的 的 顶 点 在 原 点 ０， 点 焦 是 双 典 线 的 左 焦 点 Ｆ． 否 存 在 过 Ｆ 的 ｃｚ的 弦 是 ＰＱ ， △ ＰＯＱ 的 面 积 是 ９ 若 存 在 ， 出 使 ”？ 求 ＰＱ 所 在 的 直 线 的 方 程 ； 不 存 在 ， 明 理 由 ． 若 说
14】第十四讲 解析几何中的定点、定值和存在性问题
x1 x2
8mk 4(m2 3) , x x . 1 2 3 4k 2 3 4k 2
2 2
3(m2 4k 2 ) y1 y2 (kx1 m) (kx2 m) k x1 x2 mk ( x1 x2 ) m . 3 4k 2
2p 2p 2 pk 即 k ( x 2 p) y tan tan 0．
此时，直线 AB 的方程可表示为 y kx
所以直线 AB 恒过定点 2 p, 所以由（1） （2）知，当 定点 2 p,
2p tan
．
y 2 2 px( P 0) 联 立 消 去 x ， 得 k 2 y 2
3
p y 2
p 0 b 韦 达 定 理 知 由
y1 y2
2p 2 pb ①． , y1 y2 k k
（ 1 ）当
2
时，即
2
时， tan tan 1 所以
y1 y2 1, x1 x2 y1 y2 0 ， x1 x2
1 2k 2 1 ． , y1 y2 2a 16a 2
1 k 2 1 1 1 k 2 ． , pq y1 y2 ( y1 y2 ) a 4a 16a 2 4a 2
2 y12 y2 2 pb y1 y2 0 所以 y1 y2 4 p 2 由①知： 4 p 2 所以 b 2 pk. 因此直线 AB 的方程可 2 4p k
表示为 y kx 2 Pk ，即 k ( x 2 P) y 0 所以直线 AB 恒过定点 2 p, 0 ． （2）当
解析几何存在性问题的解题策略
解析几何存在性问题的解题策略江苏南京市文枢高级中学（210004） 沈国美［摘 要］圆锥曲线在解析几何中占有重要的地位，是高考的必考内容之一。
在解析几何中经常出现存在性问题，存在性问题是探索性问题的一种，具有一定的开放性。
解析几何存在性问题具有条件不完备、结论不确定、过程发散等特点，重点考查学生的数学抽象、逻辑推理、数学运算等素养。
文章以圆锥曲线问题为例重点研究解析几何存在性问题的解题策略。
［关键词］解析几何；存在性问题；解题策略［中图分类号］G633.6［文献标识码］A［文章编号］ 1674-6058（2023）08-0026-03圆锥曲线在解析几何中占有重要的地位，它是学生学习的重点、难点，也是高考的必考内容之一。
在解析几何中经常出现存在性问题，存在性问题是探索性问题的一种，具有一定的开放性。
解析几何存在性问题具有条件不完备、结论不确定、过程发散等特点，重点考查学生的数学抽象、逻辑推理、数学运算等素养。
解决这类问题可采用以下几种解题策略。
下面以圆锥曲线相关存在性问题为例进行说明。
策略一：转化为两曲线的公共点问题［例1］在平面直角坐标系xOy中，已知定点A(0，3)，直线l：y=2x-4。
设圆C的半径为1，圆心在l上。
（1）若圆心C也在直线y=x-1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；（2）若圆C上存在点M，使得MA=2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围。
分析：（1）略。
（2）点M满足2个条件，一是在圆C上，二是满足MA=2MO。
满足MA=2MO的点在哪？所以想到探究点M的轨迹，从而把问题转化为圆C与点M的轨迹有公共点。
解：（1）略。
（2）设点M(x，y)，由MA=2MO，知x2+(y-3)2=2x2+y2，化简得x2+(y+1)2=4，即点M的轨迹为以（0，-1）为圆心，2为半径的圆，可记为圆D。
又因为点M在圆C上，故圆C和圆D的关系为相交或相切，故1≤||CD≤3，其中||CD=a2+(2a-3)2，解之得0≤a≤125。
高中数学：解析几何中几个常见错误剖析
解几中几个常见错误剖析解析几何是高中数学的重要内容，每年的高考中都占有较大的比重。
本文试图对解析几何中的一些常见错误作简单剖析，希望引起同学们的注意。
一、忽视斜率不存在导致错误例1 已知过点（－4，0）作直线l 与圆2224200x y x y ++--=交于A 、B 点， 弦AB 长为8，则直线l 的方程为_______________________________________错解 设直线l 的方程为y=k （x+4）即k x －y+4k=0，由题意得2(1)2431k kk ⨯--+=+解得512k =-，所以直线l 的方程为512200x y ++= 剖析 上述解法未考虑直线l 斜率不存在情形，从而导致错误。
事实上，直线l 斜率不存在时，弦AB 长也为8。
正解 （1）直线l 斜率不存在时，直线l 的方程为x =－4，符合题意。
（2）直线l 斜率存在时，设直线l 的方程为y=k （x+4）即k x －y+4k=0， 由题意得2(1)2431k kk ⨯--+=+解得512k =-，所以直线l 的方程为512200x y ++= 综上所述 直线l 的方程为：x =－4或512200x y ++=评注 使用斜率求直线方程，题目中未给出斜率存在与否，需对斜率分存在与不存在讨论。
二、忽视方程自身限制导致错误例2 直线l 经过P （2,3）,且在x,y 轴上的截距相等,试求该直线方程.错解 设直线方程为:1=+b y a x ,又过P(2,3),∴132=+ba ,求得a=5 ∴直线方程为x+y-5=0. 剖析 直线方程的截距式: 1=+b y a x 的条件是:a ≠0且b ≠0,本题忽略了0a b ==这一情形.正解 （1）当直线过(0,0)时,此时斜率为:230203=--=k , ∴直线方程为y=23x （2）当直线不过(0,0)时，设直线方程为:1=+b y a x ,又过P(2,3),∴132=+b a ,求得a=5 ∴直线方程为x+y-5=0.综上可得:所求直线方程为x+y-5=0或y=23x .三、忽视题目隐含条件导致错误例3 已知在ABC ∆中，BC=8,另两边长之差为6，求顶点A 的轨迹方程错解 以边BC 所在直线为x 轴，BC 的中点为坐标原点，建立直角坐标系，因为68AB AC BC -=<=，所以点A 的轨迹是以B 、C 为焦点的双曲线，由已知得a=3,c=4，21697b =-=，故顶点A 的轨迹方程为22197x y -= 剖析 上述解法忽视了A 、B 、C 为三角形的三个顶点，即A 、B 、C 三点不能共线这一限制，从而导致结果错误正解 以边BC 所在直线为x 轴，BC 的中点为坐标原点，建立直角坐标系，因为68AB AC BC -=<=，所以点A 的轨迹是以B 、C 为焦点的双曲线，由已知得a=3,c=4，21697b =-=，又由A 、B 、C 三点不能共线知点A 不能落在x 轴上， 所以顶点A 的轨迹方程为221(0)97x y y -=≠ 评注 解轨迹问题时，求出轨迹方程后，一定要考虑轨迹上的每一个点是不是都符合题意，即考虑轨迹方程的纯粹性，有没有多余的点.四、忽视曲线自身范围的制约导致错误例4 设椭圆的中心是坐标原点，长轴x 在轴上，离心率23=e ，已知点)23,0(P 到这个椭圆上的最远距离是11，求这个椭圆的方程。
解析几何中的存在性问题
【下载本文档，可以自由复制内容或自由编辑修改内容，更多精彩文章，期待你的好评和关注，我将一如既往为您服务】探究圆锥曲线中的存在性问题1．求曲线（或轨迹）的方程。
对于这类问题，高考常常不给出图形或不给出坐标系，以考察学生理解解析几何问题的基本思想方法和能力；2．与圆锥曲线有关的最值（或极值）和取值范围问题，圆锥曲线中的定值、定点问题，探究型的存在性问题。
这类问题的综合型较大，解题中需要根据具体问题、灵活运用解析几何、平面几何、平面向量、函数、不等式、三角函数知识，正确的构造不等式或方程，体现了解析几何与其他数学知识的联系。
一、是否存在这样的常数例1．在平面直角坐标系xOy 中，经过点(0且斜率为k 的直线l 与椭圆2212x y +=有两个不同的交点P 和Q ． （I ）求k 的取值范围；（II ）设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A B ，，是否存在常数k ，使得向量OP OQ +与AB 共线？如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由．解：（Ⅰ）由已知条件，直线l 的方程为y kx =代入椭圆方程得22(12x kx ++=．整理得221102k x ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭ ①直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q 等价于2221844202k k k ⎛⎫∆=-+=->⎪⎝⎭，解得k <k >．即k 的取值范围为222⎛⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，∞∞． （Ⅱ）设1122()()P x y Q x y ，，，，则1212()OP OQ x x y y +=++，，由方程①，12x x +=． ②又1212()y y k x x +=++ ③而(01)(A B AB =，，．.将②③代入上式，解得2k =．由（Ⅰ）知k <或k >，故没有符合题意的常数k ． 练习1：（08陕西卷20）．（本小题满分12分）已知抛物线C ：22y x =，直线2y kx =+交C 于A B ，两点，M 是线段AB 的中点，过M 作x 轴的垂线交C 于点N ．（Ⅰ）证明：抛物线C 在点N 处的切线与AB 平行；（Ⅱ）是否存在实数k 使0NA NB =，若存在，求k 的值；若不存在，说明理由．解法一：（Ⅰ）如图，设211(2)A x x ，，222(2)B x x ，，把2y kx =+代入22y x =得2220x kx --=， 由韦达定理得122kx x +=，121x x =-， ∴1224N M x x kx x +===，∴N 点的坐标为248k k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．设抛物线在点N 处的切线l 的方程为284k k y m x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， 将22y x =代入上式得222048mk k x mx -+-=，直线l 与抛物线C 相切，2222282()048mk k m m mk k m k ⎛⎫∴∆=--=-+=-= ⎪⎝⎭，m k ∴=．即l AB ∥．（Ⅱ）假设存在实数k ，使0NA NB =，则NA NB ⊥，又M 是AB 的中点，1||||2MN AB ∴=． 由（Ⅰ）知121212111()(22)[()4]222M y y y kx kx k x x =+=+++=++22142224k k ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭． MN ⊥x 轴，22216||||2488M N k k k MN y y +∴=-=+-=．又2212121||||1()4AB x x k x x x x =-=++-.222214(1)11622k k k ⎛⎫=-⨯-=++ ⎪⎝⎭．22161168k k +∴=+，解得2k =±．即存在2k =±，使0NA NB =．解法二：（Ⅰ）如图，设221122(2)(2)A x x B x x ，，，，把2y kx =+代入22y x =得 2220x kx --=．由韦达定理得121212kx x x x +==-，．∴1224N M x x kx x +===，∴N 点的坐标为248k k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．22y x =，4y x '∴=，∴抛物线在点N 处的切线l 的斜率为44kk ⨯=，l AB ∴∥． （Ⅱ）假设存在实数k ，使0NA NB =．由（Ⅰ）知22221122224848k k k k NA x x NB x x ⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，则 22221212224488k k k k NA NB x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+-- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭222212124441616k k k k x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+-- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1212144444k k k k x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+++ ⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ()221212121214()4164k k k x x x x x x k x x ⎡⎤⎡⎤=-++++++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦22114(1)421624k k k k k k ⎛⎫⎡⎤=--⨯++⨯-+⨯+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦22313164k k ⎛⎫⎛⎫=---+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0=，21016k --<，23304k ∴-+=，解得2k =±．即存在2k =±，使0NA NB =．练习2.直线1ax y -= 与曲线2221x y -=相交于P 、Q 两点。
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探究圆锥曲线中的存在性问题1．求曲线（或轨迹）的方程。
对于这类问题，高考常常不给出图形或不给出坐标系，以考察学生理解解析几何问题的基本思想方法和能力；2．与圆锥曲线有关的最值（或极值）和取值范围问题，圆锥曲线中的定值、定点问题，探究型的存在性问题。
这类问题的综合型较大，解题中需要根据具体问题、灵活运用解析几何、平面几何、平面向量、函数、不等式、三角函数知识，正确的构造不等式或方程，体现了解析几何与其他数学知识的联系。
一、是否存在这样的常数例1．在平面直角坐标系xOy 中，经过点(0且斜率为k 的直线l 与椭圆2212x y +=有两个不同的交点P 和Q ． （I ）求k 的取值范围；（II ）设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A B ，，是否存在常数k ，使得向量OP OQ +与AB 共线？如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由．解：（Ⅰ）由已知条件，直线l 的方程为y kx =代入椭圆方程得22(12x kx ++=．整理得221102k x ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭ ①直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q 等价于2221844202k k k ⎛⎫∆=-+=-> ⎪⎝⎭，解得2k <-或2k >．即k 的取值范围为222⎛⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，∞∞． （Ⅱ）设1122()()P x y Q x y ，，，，则1212()OP OQ x x y y +=++，，由方程①，12212x x k+=-+． ②又1212()y y k x x +=++ ③而(01)(A B AB =-，，．所以OP OQ +与AB 共线等价于1212)x x y y +=+，将②③代入上式，解得k =．由（Ⅰ）知2k <-或2k >，故没有符合题意的常数k ． 练习1：（08陕西卷20）．（本小题满分12分）已知抛物线C ：22y x =，直线2y kx =+交C 于A B ，两点，M 是线段AB的中点，过M 作x 轴的垂线交C 于点N ．（Ⅰ）证明：抛物线C 在点N 处的切线与AB 平行；（Ⅱ）是否存在实数k 使0NA NB =，若存在，求k 的值；若不存在，说明理由．解法一：（Ⅰ）如图，设211(2)A x x ，，222(2)B x x ，，把2y kx =+代入22y x =得2220x kx --=， 由韦达定理得122kx x +=，121x x =-， ∴1224N M x x kx x +===，∴N 点的坐标为248k k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．设抛物线在点N 处的切线l 的方程为284k k y m x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， 将22y x =代入上式得222048mk k x mx -+-=，直线l 与抛物线C 相切，2222282()048mk k m m mk k m k ⎛⎫∴∆=--=-+=-= ⎪⎝⎭，m k ∴=．即l AB ∥．（Ⅱ）假设存在实数k ，使0NA NB =，则NA NB ⊥，又M 是AB 的中点，1||||2MN AB ∴=． 由（Ⅰ）知121212111()(22)[()4]222M y y y kx kx k x x =+=+++=++22142224k k ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭． MN ⊥x 轴，22216||||2488M N k k k MN y y +∴=-=+-=． 又22212121||||1()4AB x x k x x x x =-=++-222214(1)11622k k k ⎛⎫=-⨯-=++ ⎪⎝⎭．22161168k k +∴=+，解得2k =±．即存在2k =±，使0NA NB =．解法二：（Ⅰ）如图，设221122(2)(2)A x x B x x ，，，，把2y kx =+代入22y x =得 2220x kx --=．由韦达定理得121212kx x x x +==-，．∴1224N M x x kx x +===，∴N 点的坐标为248k k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．22y x =，4y x '∴=，∴抛物线在点N 处的切线l 的斜率为44kk ⨯=，l AB ∴∥． （Ⅱ）假设存在实数k ，使0NA NB =．由（Ⅰ）知22221122224848k k k k NA x x NB x x ⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，则 22221212224488k k k k NA NB x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+-- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭222212124441616k k k k x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+-- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1212144444k k k k x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+++ ⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ()221212121214()4164k k k x x x x x x k x x ⎡⎤⎡⎤=-++++++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦22114(1)421624k k k k k k ⎛⎫⎡⎤=--⨯++⨯-+⨯+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦22313164k k ⎛⎫⎛⎫=---+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0=，21016k --<，23304k ∴-+=，解得2k =±．即存在2k =±，使0NA NB =． 练习2.直线1axy与曲线2221x y 相交于P 、Q 两点。
当 a 为何值时，221PQa ；是否存在实数a ，使得以PQ 为直径的圆经过原点O ？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由。
解：（1）联立方程22221(12)43021ax y a x ax xy得，222P ,Q ,1201612(12)a a a 又知直线与曲线相交于两点可得，即6222aa 且， 设P 、Q 两点的坐标为112212122243(,),(,),2121aP x y Q x y x x x a a 则x ，所以222224(1)(32)21(21)a a PQ a a ，化简得222(12)(12)20,1a a a解得即为所求。
假设存在实数a ，使得以PQ 为直径的圆经过原点O ，121212122221212222.1,0,(1)(1)0,3(1)4(1)()10,1021122,,.OP OQk k x x y y x x ax ax a a a x x a x x a a a aa 则也就是整理得故有解得即不存在实数二、是否存在这样的点例2.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为33，过右焦点F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点，当l 的斜率为1时，坐标原点O 到l 的距离为22（I ）求a ，b 的值；（II ）C 上是否存在点P ，使得当l 绕F 转到某一位置时，有OP OA OB =+成立？若存在，求出所有的P 的坐标与l 的方程；若不存在，说明理由。
解析：本题考查解析几何与平面向量知识综合运用能力，第一问直接运用点到直线的距离公式以及椭圆有关关系式计算，第二问利用向量坐标关系及方程的思想，借助根与系数关系解决问题，注意特殊情况的处理。
解：（Ⅰ）设(),0,c F 当l 的斜率为1时，其方程为O c y x ,0=--到l 的距离为2200c c=-- ，故222=c ， 1=c ， 由 33==a c e ，得 3=a ，22c ab -==2 （Ⅱ）C 上存在点P ，使得当l 绕F 转到某一位置时，有OB OA OP +=成立。
由 （Ⅰ）知椭圆C 的方程为22x +23y =6. 设).,(),,(2211y x B y x A(ⅰ) )1(-=x k y l x l 的方程为轴时，设不垂直当假设C 上存在点P ，且有OP OA OB =+成立，则）点的坐标为（2121,y y x x P ++，6)(3)(2221221=+++y y x x ，整理得 6643232212122222121=+++++y y x x y x y x632,63222222121=+=+y x y x C B A 上，即在、又故 03322121=++y y x x ①将 并化简得代入,632)1(22=+-=y x x k y0636)32(2222=-+-+k x k x k ②于是 2221326k k x x +=+, 21x x =223263k k +-, 2221221324)2)(1(kk x x k y y +-=--= ， 代入①解得，22=k ，此时2321=+x x 于是)2(2121-+=+x x k y y =2k -， 即)2,23(kP - 因此， 当2-=k 时，)22,23(P ， 022=-+y x l 的方程为； 当2=k 时，)22,23(-P ， 022=--y x l 的方程为。
（ⅱ）当l 垂直于x 轴时，由)0,2(=+OB OA 知，C 上不存在点P 使OB OA OP +=成立。
综上，C 上存在点)22,23(±P 使OB OA OP +=成立，此时l 的方程为022=-±y x . 例3.（2009福建卷）（本小题满分14分）已知直线220x y -+=经过椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>> 的左顶点A 和上顶点D ，椭圆C 的右顶点为B ，点S 是椭圆C 上位于x 轴上方的动点，直线,AS BS 与直线10:3l x =分别交于,M N 两点。
（I ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）求线段MN 的长度的最小值；（Ⅲ）当线段MN 的长度最小时，在椭圆C 上是否存在这样的点T ，使得TSB ∆的面积为15若存在，确定点T 的个数，若不存在，说明理由（I ）由已知得，椭圆C 的左顶点为(2,0),A -上顶点为(0,1),2,1D a b ∴==故椭圆C 的方程为2214x y +=（Ⅱ）直线AS 的斜率k 显然存在，且0k >，故可设直线AS 的方程为(2)y k x =+，从而1016(,)33kM 由22(2)14y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(14)16164k x k x k +++-=0 设11(,),S x y 则212164(2),14k x k --=+得2122814k x k -=+，从而12414k y k =+ 即222284(,),1414k k S k k-++ 又(2,0)B ，由1(2)4103y x k x ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得10313x y k ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩101(,)33N k ∴-故161||33k MN k =+ 又16116180,||233333k k k MN k k >∴=+≥⋅= ，当且仅当16133k k =，即14k =时等号成立 14k ∴=时，线段MN 的长度取最小值83（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，当MN 取最小值时，14k =此时BS 的方程为644220,(,),||555x y s BS +-=∴=要使椭圆C 上存在点T ，使得TSB ∆的面积等于15，只须T 到直线BS 的距离等于24，所以T 在平行于BS 且与BS 距离等于24的直线l 上。