解析几何存在性问题(含答案)
高三数学解析几何试题答案及解析
高三数学解析几何试题答案及解析1.（本小题满分12分）已知椭圆:的焦点分别为、，点在椭圆上，满足，．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知点，试探究是否存在直线与椭圆交于、两点，且使得？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）本题求椭圆的方程只需确定一个未知数，建立一个方程即可，利用椭圆定义及焦点三角形,结合余弦定理可解：由，得，由余弦定理得，（Ⅱ）表明点在线段DE中垂线上，利用韦达定理列等量关系，求出与的关系，再根据判别式大于零，可解出的取值范围试题解析：（1）由，得，由余弦定理得，∴所求的方程为．（2）假设存在直线满足题设，设，将代入并整理得，由，得①又设中点为，，得②将②代入①得化简得，解得或所以存在直线，使得，此时的取值范围为．【考点】直线与椭圆位置关系2.抛物线：的准线的方程是____；以的焦点为圆心，且与直线相切的圆的方程是____．【答案】，．【解析】分析题意可知，∴准线方程为，焦点为，半径，∴所求圆方程为．【考点】1．抛物线的标准方程；2．直线与圆的位置关系．3.如图，为外一点，是切线，为切点，割线与相交于点，，且，为线段的中点，的延长线交于点，若，则__________；_________．【答案】，．【解析】由切割线定理，∴，，再由相交弦定理，∵是的中点，∴，，则．【考点】1．切割线定理；2．相交弦定理．4.椭圆的左焦点为，若关于直线的对称点是椭圆上的点，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【答案】D．【解析】设关于直线的对称点的坐标为，则，所以，，将其代入椭圆方程可得，化简可得，解得，故应选．【考点】1、椭圆的定义；2、椭圆的简单几何性质；5.如图所示，过⊙O外一点A作一条直线与⊙O交于C，D两点，AB切⊙O于B，弦MN过CD的中点P．已知AC=4，AB=6，则MP·NP= ．【答案】【解析】由已知及圆的弦切割线定理得，，又知点P是CD的中点，所以，再由相交弦定理得；故答案为：．【考点】圆的性质．6.已知椭圆C：，为左右焦点，点在椭圆C上，△的重心为，内心为，且有（为实数），则椭圆方程为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】设点距轴的距离为，因为IG∥，则点距轴的距离为，连接，则，，所以，所以，所以椭圆方程为．【考点】椭圆的标准方程．7.已知双曲线（，）的焦距为，若、、顺次组成一个等比数列，则其离心率为．【答案】【解析】根据题意，有，即，式子两边同时除以，得，结合双曲线的离心率的取值范围，可求得．【考点】双曲线的离心率．8.设椭圆E：的右顶点为A、右焦点为F，B为椭圆E在第二象限上的点，直线BO交椭圆E于点C，若直线BF平分线段AC，则椭圆E的离心率是．【答案】【解析】如图，设AC中点为M，连接OM，则OM为的中位线，于是，且，即．【考点】椭圆的离心率．9.点M（χ，）是抛物线χ2=2P（P＞0）上一点，若点M到该抛物线的焦点的距离为2，则点M到坐标原点的距离为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】抛物线（）的准线方程是，因为点到该抛物线的焦点的距离为，所以，解得：，所以该抛物线的方程是，因为点是抛物线上的一点，所以，所以点到坐标原点的距离是，故选D．【考点】1、抛物线的定义；2、抛物线的标准方程．10.已知抛物线的焦点为，准线为，过点的直线交抛物线于两点，过点作准线的垂线，垂足为，当点的坐标为时，为正三角形，则此时的面积为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】如图所示，过点作的垂线，垂足为，则为的中点．因为点的坐标为，所以，，所以，即，所以抛物线的方程为，此时，，所以直线的方程为，将其代入抛物线方程可得，，解得或，所以或，所以的面积为，故应选．【考点】1、抛物线的定义；2、抛物线的简单几何性质．【思路点睛】本题考查了抛物线的定义、标准方程及其简单的几何性质的应用，属中档题．其解题的一般思路为：首先过点作的垂线，垂足为，则为的中点，然后利用点的坐标为，可求出，进而得出抛物线的方程，从而得出直线的方程，最后将其与抛物线的方程联立求出点的坐标，即可求出的面积．其解题的关键是求出抛物线的方程和直线的方程．11.已知、、c为正数，（1）若直线2x－（b－3）y＋6＝0与直线bx＋ay－5＝0互相垂直，试求的最小值；（2）求证：．【答案】（1）25；（2）证明见解析．【解析】（1）先利用两直线垂直得到关于正数的关系，再利用基本不等式进行求解；（2）先对不等式左边的每个括号进行因式分解，再利用基本不等式进行证明．试题解析：（1）由已知，有：即：、为正数，当且仅当时取等号，此时：故当时，的最小值是25．（2）、、c为正数，【考点】基本不等式．12.如图，已知抛物线的焦点为，椭圆的中心在原点，为其右焦点，点为曲线和在第一象限的交点，且．（1）求椭圆的标准方程；（2）设为抛物线上的两个动点，且使得线段的中点在直线上，为定点，求面积的最大值．【答案】（1）椭圆的标准方程为；（2）面积的最大值为．【解析】（1）由已知得，跟据抛物线定义，得，所以点；据椭圆定义，得．所以椭圆的标准方式是．（2）因为为线段的中点，得直线的方程为；联立，得，由弦长公式和点到直线的距离，得．再根据函数的单调性得面积的最大值为．试题解析：（1）设椭圆的方程为，半焦距为．由已知，点，则．设点，据抛物线定义，得．由已知，，则．从而，所以点．设点为椭圆的左焦点，则，．据椭圆定义，得，则．从而，所以椭圆的标准方式是．（2）设点，，，则．两式相减，得，即．因为为线段的中点，则．所以直线的斜率．从而直线的方程为，即．联立，得，则．所以．设点到直线的距离为，则．所以．由，得．令，则．设，则．由，得．从而在上是增函数，在上是减函数，所以，故面积的最大值为．【考点】1、抛物线的定义；2、椭圆的方程；3、最值问题．【方法点睛】本题考查抛物线的定义和简单几何性质、待定系数法求椭圆的标准方程、直线和椭圆相交中的有关中点弦的问题，综合性强，属于难题；对于直线和圆锥曲线相交中的中点弦问题，解决此类题目的最有效方法是点差法，两式直接相减就可以表示出斜率；而第二问中面积公式求出后，函数单调性的研究更是加深了此题的难度，运算量也比较大，不容易拿高分．13.已知抛物线（）的焦点与双曲线的右焦点重合，抛物线的准线与轴的交点为，点在抛物线上且，则点的横坐标为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】抛物线的焦点为，准线为．双曲线的右焦点为，所以，即，即，过作准线的垂线，垂足为，则，即，设，则代入，解得．故应选B．【考点】圆锥曲线的性质.【思路点睛】根据双曲线得出其右焦点坐标，可知抛物线的焦点坐标，从而得到抛物线的方程和准线方程，进而可求得的坐标，设，过点向准线作垂线，则，根据及，进而可求得点坐标．14.已知抛物线：，过焦点F的直线与抛物线交于两点（在第一象限）．（1）当时，求直线的方程；（2）过点作抛物线的切线与圆交于不同的两点，设到的距离为，求的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】（1）因为，故，设，，则可得则，由此可求直线的方程；（2）由于，因此故切线的方程为，化简得，则圆心（0，-1）到的距离为，且，故则，则点F到距离，则，然后再根据基本不等式即可求出结果．试题解析：（1）因为，故设，，则故则因此直线的方程为；（2）由于，因此故切线的方程为，化简得则圆心（0，-1）到的距离为，且，故则，则点F到距离则今则，故．【考点】1．直线与抛物线的位置关系；2．点到直线的距离公式；2．基本不等式．15.在直角坐标系中，直线的参数方程为（t为参数），再以原点为极点，以x正半轴为极轴建立坐标系，并使得它与直角坐标系有相同的长度单位，在该极坐标系中圆C的方程为．（1）求圆C的直角坐标方程；（2）设圆C与直线将于点、，若点的坐标为，求的值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）极坐标与直角坐标之间的关系是，由此可实现极坐标方程与直角坐标方程的转化；（2）由直线参数方程的标准形式（即参数的几何意义），直线过点，直线上的标准参数方程为，把它代入圆的方程，其解满足，．试题解析：（1）由得，又，则有，配方得圆的标准方程为．（2）直线的普通方程为，点在直线上的标准参数方程为，代入圆方程得：．设对应的参数分别为，则，，于是．【考点】极坐标方程与直角坐标方程的互化，直线参数方程的应用．16.如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率，左顶点为，过点作斜率为的直线交椭圆于点，交轴于点．（1）求椭圆的方程；（2）已知为的中点，是否存在定点，对于任意的都有，若存在，求出点的坐标；若不存在说明理由；（3）若过点作直线的平行线交椭圆于点，求的最小值．【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）确定椭圆标准方程，只需两个独立条件即可：一个是左顶点为，所以，另一个是，所以，（2）实质利用斜率k表示点，P ，E，假设存在定点，使得，因此，即恒成立，从而即（3）利用斜率k表示点M，因此，本题思路简单，但运算量较大．试题解析：（1）因为左顶点为，所以，又，所以又因为，所以椭圆C的标准方程为．（2）直线的方程为，由消元得，．化简得，，所以，．当时，，所以．因为点为的中点，所以的坐标为，则．直线的方程为，令，得点坐标为，假设存在定点，使得，则，即恒成立，所以恒成立，所以即因此定点的坐标为．（3）因为，所以的方程可设为，由得点的横坐标为，由，得，当且仅当即时取等号，所以当时，的最小值为．【考点】直线与椭圆位置关系17.选修4－4：坐标系与参数方程：在直角坐标系中，直线的参数方程为（t为参数），再以原点为极点，以x正半轴为极轴建立坐标系，并使得它与直角坐标系有相同的长度单位，在该极坐标系中圆C的方程为。
例析解析几何中的探索性、存在性问题
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解 抽 象 函 数 问 题 的 思 路 ．常 见 的 抽 象 函 数 的 原
在 双 曲 线 中要 特 别 小 心 ！
２ 一 般弦 问题 ．
【 ３ 例 】已 知 双 曲 线 ｃｌ的 方 程 是 ２ ｘ 一 。 一 ２ ” Ｏ ， 物 线 ｎ（＞ ）抛 的 的 顶 点 在 原 点 ０， 点 焦 是 双 典 线 的 左 焦 点 Ｆ． 否 存 在 过 Ｆ 的 ｃｚ的 弦 是 ＰＱ ， △ ＰＯＱ 的 面 积 是 ９ 若 存 在 ， 出 使 ”？ 求 ＰＱ 所 在 的 直 线 的 方 程 ； 不 存 在 ， 明 理 由 ． 若 说
高一数学解析几何试题答案及解析
高一数学解析几何试题答案及解析1.原点和点（1，1）在直线的两侧，则a的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】略2.如图，在平面直角坐标系中，点，直线。
设圆的半径为，圆心在上。
（1）若圆心也在直线上，过点作圆的切线，求切线的方程；（2）若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围。
【答案】（1）y=3或3x+4y-12=0（2）[0，]【解析】（1）求两直线的交点得到圆心坐标，得到圆的方程，求圆的切线采用待定系数法，设出切线的点斜式方程，利用圆心到直线的距离等于圆的半径得到斜率k的值，从而确定切线方程，求解时要注意考虑斜率不存在时是否满足（2）首先由利用动点轨迹方程的求解方法得到点的轨迹方程，又在圆C上，因此转化为两圆有公共点，得到圆心距与半径的不等式关系，通过解不等式得到横坐标的取值范围试题解析：（1）由题设知，圆心C是直线y=2x-4和y=x-1的交点，解得点C（3，2），于是切线的斜率必存在．设过A（0，3）的圆C的切线方程为y=kx+3，由题意，= 1，解得 k=0或，故所求切线方程为y=3或3x+4y-12=0．（2）因为圆心在直线y=2x-4上，所以圆C的方程为（x-a）2+[y-2（a-2）]2=1．设点M（x，y），因为MA=2MO，所以，化简得，所以点M在以D（0，-1）为圆心，2为半径的圆上．由题意知，点M（x，y）在圆C上，所以圆C与圆D有公共点，则2-1≤CD≤2+1，即1≤≤3．由5a2-12a+8≥0，得a∈R;由5a2-12a≤0，得0≤a≤．所以圆心C的横坐标a的取值范围为[0，]．【考点】1．直线与圆相切问题；2．动点轨迹方程；3．两圆的位置关系3.在x轴、y轴上截距相等且与圆相切的直线L共有（）条A．2B．3C．4D．6【答案】B【解析】设直线为，圆心到直线的距离为1，，，直线方程为，当直线过原点时，设直线为，有两解，其中之一为，方程为，综上直线共有三条【考点】1．直线方程；2．直线与圆相切的位置关系4.若圆的圆心为，且经过原点，则圆的标准方程是A．B．C．D．【答案】B【解析】利用C,O两点间的距离公式求得半径为，由圆的标准方程得故选B．【考点】圆的标准方程5.圆关于y轴对称的圆的一般方程是．【答案】【解析】圆的圆心坐标为（-1,0），半径为1，所以圆关于y轴对称的圆得圆心坐标为（1，0），半径为1；【考点】1．圆的标准方程；2．圆关于直线对称的圆的求法；6.（本小题满分16分）在平面直角坐标系中，已知经过原点O的直线与圆交于两点．（1）若直线与圆相切，切点为B，求直线的方程；（2）若，求直线的方程；（3）若圆与轴的正半轴的交点为D，求面积的最大值．【答案】（1）（2）（3）【解析】（1）由直线与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径可求得值及切点B坐标，进而得到直线AB方程；（2）直线与圆相交问题，常采用弦的一半，圆心到直线的距离与圆的半径构成的直角三角形求解（3）设出AB直线，与圆联立求得弦长，利用点到直线的距离求得三角形的高，将三角形面积用直线的斜率表示出来，转化为函数求最值问题试题解析：（1）由相切得化简得：，解得，由于，故由直线与圆解得切点，得（2）取AB中点M，则，又，所以,设：，圆心到直线的距离为，由勾股定理得：，解得，设所求直线的方程为，，解得，（3）设A,B两点的纵坐标分别为，易知,，易知，设AB方程为，由消元得，＝设，则，（）当时取等号）面积最大值为，【考点】1．直线方程；2．直线与圆相交相切的位置关系；3．函数求最值7.已知圆的方程为，那么通过圆心的一条直线方程是（）．A．B．C．D．【答案】B【解析】把圆的方程标准化可得，故圆心为，所以圆心在直线上，故选B。
高考解析几何常见题型
1、最值问题：:设1F 、2F 分别是椭圆1422=+y x 的左、右焦点. （Ⅰ）若P 是该椭圆上的一个动点，求1PF ·2PF的最大值和最小值; （Ⅱ）设过定点)2,0(M 的直线l 与椭圆交于不同的两点A 、B ，且∠AOB 为锐角（其中O 为坐标原点），求直线l 的斜率k 的取值范围.:已知椭圆22132x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ．过1F 的直线交椭圆于B D ，两点，过2F 的直线交椭圆于A C ，两点，且AC BD ⊥，垂足为P ．求四边形ABCD 的面积的最小值．:已知椭圆C :2222by a x +=1(a ＞b ＞0)的离心率为36,短轴一个端点到右焦点的距离为3. (Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)设直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，坐标原点O 到直线l 的距离为23，求△AOB 面积的最大值. 设F 是抛物线G :x 2=4y 的焦点.（Ⅰ）过点P （0，-4）作抛物线G 的切线，求切线方程：（Ⅱ）设A 、B 为势物线G 上异于原点的两点，且满足0·=FB FA ,延长AF 、BF 分别交抛物线G 于点C ,D ，求四边形ABCD 面积的最小值.2、存在性问题：已知向量()OA = ，O 是坐标原点，动点M 满足：6OM OA OM OA ++-= ①求点M 的轨迹C 的方程②是否存在直线()P 0,2l 过点与轨迹C 交于A ，B 两点，且以AB 为直径的圆过原点？若存在，求出直线l 的方程，若不存在，请说明理由。
在平面直角坐标系中，已知A 1（−3，0）、A 2（3，0）、P （x ，y ）、M （92-x ，0），若实数λ使向量P A 1、λ、P A 2满足λ2·()2=A 1·A 2（Ⅰ）求P 点的轨迹方程，并判断P 点的轨迹是怎样的曲线；（Ⅱ）当λ=33时，过点A 1且斜率为1的直线与（Ⅰ）中的曲线相交的另一点为B ，能否在直线x =−9上找一点C ，使△A 1BC 为正三角形．在平面直角坐标系xoy 中，已知圆心在第二象限、半径为的圆C 与直线y x =相切于坐标原点O ．椭圆22219x y a +=与圆C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10． (1)求圆C 的方程；(2)试探究圆C 上是否存在异于原点的点Q ，使Q 到椭圆右焦点F 的距离等于线段OF 的长．若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．在平面直角坐标系xOy中，经过点(0且斜率为k 的直线l 与椭圆2212x y +=有两个不同的交点P 和Q ． （I ）求k 的取值范围；（II ）设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A B ，，是否存在常数k ，使得向量OP OQ + 与AB 共线？如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由3、取值范围问题：已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为（2，0），右顶点为)0,3(（Ⅰ）求双曲线C 的方程； （Ⅱ）若直线2:+=kx y l 与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且2>⋅OB OA （其中O 为原点）. 求k 的取值范围.如图，已知某椭圆的焦点是F 1(－4，0)、F 2(4，0)，过点F 2并垂直于x 轴的直线与椭圆的一个交点为B ，且|F 1B |+|F 2B |=10，椭圆上不同的两点A (x 1,y 1),C (x 2,y 2)满足条件：|F 2A |、|F 2B |、|F 2C |成等差数列.(1)求该椭圆的方程；(2)求弦AC 中点的横坐标；(3)设弦AC 的垂直平分线的方程为y =kx +m ，求m 的取值范围.4、定值问题：已知直线l 过椭圆E:2222x y +=的右焦点F ，且与E 相交于,P Q 两点.① 设1()2OR OP OQ =+ （O 为原点），求点R 的轨迹方程；②若直线l 的倾斜角为060，证明11||||PF QF +为定值. 已知动点M 到两个定点12(3,0),(3,0)F F -的距离之和为10，A 、B 是动点M 轨迹C 上的任意两点. （1）求动点M 的轨迹C 的方程；（2）若原点O 满足条件AO OB λ= ，点P 是C 上不与A 、B 重合的一点，如果PA 、PB 的斜率都存在，问PA PBk k ⋅是否为定值？若是，求出其值；若不是，请说明理由。
解析几何容易出错的问题
1．已知椭圆E 的离心率为e ，两焦点为F 1、F 2，抛物线C 以F 1为顶点，F 2为焦点，P 为两曲线的一个交点，若12PF e PF =，则e 的值为：A ．3 B ．2 C ．2 D ．3（ ） 2．若双曲线22221x y a b-=-的离心率为54，则两条渐近线的方程为A0916X Y ±= B 0169X Y ±= C 034X Y ±= D 043X Y±= 答：C 易错原因：审题不认真，混淆双曲线标准方程中的a 和题目中方程的a 的意义。
3．椭圆的短轴长为2，长轴是短轴的2倍，则椭圆的中心到其准线的距离是解 答：D 易错原因：短轴长误认为是b4．设双曲线22221(0)x y a b a b-=>>的半焦距为C ，直线L 过(,0),(0,)a b 两点，已知原点到直线L，则双曲线的离心率为A 2 B 2解 答：D 易错原因：忽略条件0a b >>对离心率范围的限制。
5．平面上的动点P 到定点F(1,0)的距离比P 到y 轴的距离大1,则动点P 的轨迹方程为A y 2=2x B y 2=2x 和 ⎩⎨⎧≤=00x y C y 2=4x D y 2=4x 和 ⎩⎨⎧≤=00x y正确答案：D 错因：学生只注意了抛物线的定义而疏忽了射线。
6．设双曲线22a x －22b y ＝1与22by －22a x ＝1（a ＞0,b ＞0）的离心率分别为e 1、e 2，则当a 、b 变化时，e 21+e 22最小值是（ ）A 4 B 42 C 2 D 2 正确答案：A 错因：学生不能把e 21+e 22用a 、 b 的代数式表示，从而用基本不等式求最小值。
7．双曲线92x －42y ＝1中，被点P(2,1)平分的弦所在直线方程是（ ）A 8x-9y=7B 8x+9y=25C 4x-9y=16D 不存在正确答案：D 错因：学生用“点差法”求出直线方程没有用“△”验证直线的存在性。
平面解析几何经典题（含答案）
平面解析几何一、直线的倾斜角与斜率1、直线的倾斜角与斜率、直线的倾斜角与斜率（1）倾斜角a 的范围000180a £<（2）经过两点的直线的斜率公式是（3）每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率2.两条直线平行与垂直的判定（1）两条直线平行对于两条不重合的直线12,l l ，其斜率分别为12,k k ，则有1212//l l k k Û=。
特别地，当直线12,l l 的斜率都不存在时，12l l 与的关系为平行。
的关系为平行。
（2）两条直线垂直如果两条直线12,l l 斜率存在，设为12,k k ，则12121l l k k ^Û=-注：两条直线12,l l 垂直的充要条件是斜率之积为-1，这句话不正确；由两直线的斜率之积为-1，可以得出两直线垂直，反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为-1。
如果12,l l 中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，12l l 与互相垂直。
互相垂直。
二、直线的方程1、直线方程的几种形式名称名称方程的形式方程的形式 已知条件已知条件 局限性局限性 点斜式点斜式为直线上一定点，k 为斜率为斜率 不包括垂直于x 轴的直线轴的直线 斜截式斜截式k 为斜率，b 是直线在y 轴上的截距轴上的截距 不包括垂直于x 轴的直线轴的直线 两点式两点式是直线上两定点是直线上两定点 不包括垂直于x 轴和y 轴的直线直线截距式截距式a 是直线在x 轴上的非零截距，b 是直不包括垂直于x 轴和y 轴或线在y 轴上的非零截距轴上的非零截距过原点的直线过原点的直线 一般式一般式A ，B ，C 为系数为系数 无限制，可表示任何位置的直线直线 三、直线的交点坐标与距离公式三、直线的交点坐标与距离公式1.两条直线的交点设两条直线的方程是，两条直线的交点坐标就是方程组的解，若方程组有唯一解，则这两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；反之，亦成立。
一道解析几何存在性问题的求解与推广
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（ ＋ １ ）・（ ， 一 １ ）一０， （ ， 即 ＋ １ （ ） 一
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１ ）＋ ｙ 一 ０．
其它三边与圆 Ｃ 外切． 。
整 理 得 ｚ ＋ ｙ 一 Ｊ 故 动点 Ｐ 的 轨 迹 方 程 Ｃ ： 。 ， ｏ
四边 形 ； 不 存 在 ， 说 明 理 由 ； 若 请 （） 定曲线 Ｃ ， （） ３固 。 在 ２ 的基 础 上 提 出 一 个 一
・ ．
般 性 问题 ， （ ） 为 （ ） 使 ２成 ３ 的特 例 ， 究能 得 出 相 应 探 结 论 （ 加 强 结 论 ） 满 足 的 条 件 ， 说 明理 由 ． 或 需 并
已知 点 Ａ （ ｌ Ｏ 一 ，
。 ＇ 一 ） ｃ（
． ）Ｄ Ｏ，
Ｃ 是 内 接 于 椭 圆 Ｃ 的． 面 证 明 平 行 四 边 形 Ｄ 下 Ａ Ｄ与圆 Ｃ ：。 ＢＣ 。 ｚ ＋ 。 １ 切 一 外
‘ ｙ
（
， ）动点 Ｐ ， 满 足 ｏ． （ ）
・ 一ｏ 动点 Ｑ 静 ，
一＿ 一 ｌ ＿ 一 撼 ＿ 一—
解 析 几 何 存 在 性 问 题
的 求 解 与推 广
一 叶显 斌
【 题 】 （ ０ ７年 华 师 一 附 中 五 月 检 测 趑 ） 例 ２０
（） 在 如 图 连 结 椭 圆 四 端 点 构 成 的 平 行 四 ２存 边 形 ＡＢ Ｄ 符 合 题 意 ， 显 然 ， 行 四 边 形 ＡＢ Ｃ 很 平 —
百
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２８
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二次函数解析几何--存在性问题
二次函数解析几何专题——存在性问题存在性问题是指判断满足某种条件的事物是否存在的问题，这类问题的知识覆盖面较广，综合性较强，题意构思非常精巧，解题方法灵活，对学生分析问题和解决问题的能力要求较高，是近几年来各地中考的“热点”。
这类题目解法的一般思路是：假设存在→推理论证→得出结论。
若能导出合理的结果，就做出“存在”的判断，导出矛盾，就做出不存在的判断。
由于“存在性”问题的结论有两种可能，所以具有开放的特征，在假设存在性以后进行的推理或计算，对基础知识，基本技能提出了较高要求，并具备较强的探索性，正确、完整地解答这类问题，是对我们知识、能力的一次全面的考验。
一、方法总结解存在性问题的一般步骤：（1）假设点存在；（2）将点的坐标设为参数；（3）根据已知条件建立关于参数的方程或函数。
二、常用公式（1）两点间距离公式：若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB|=221221)()(y y x x -+-（2）中点坐标公式：1212,22x x y y x y ++==（3）斜率公式：①；②（为直线与x 轴正方向的夹角）2121y y k x x -=-tan k θ=θ（4）①对于两条不重合的直线l 1、l 2，其斜率分别为k 1、k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2②如果两条直线l 1、l 2的斜率存在，设为k 1、k 2，则l 1⊥l 2⇔k 1k 2＝－1.题型一 面积问题例1．如图，抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A (1，0)，B (－3，0)两点．（1）求该抛物线的解析式；（2）在（1）中的抛物线上的第二象限内是否存在一点P ，使△PBC 的面积最大？，若存在，求出点P 的坐标及△PBC 的面积最大值；若不存在，请说明理由．变式练习：1.如图，在直角坐标系中，点A 的坐标为(－2，0)，连结OA ，将线段OA 绕原点O 顺时针旋转120°，得到线段OB ．（1）求点B 的坐标；（2）求经过A 、O 、B 三点的抛物线的解析式；（3）如果点P 是（2）中的抛物线上的动点，且在x 轴的下方，那么△PAB 是否有最大面积？若有，求出此时P 点的坐标及△PAB 的最大面积；若没有，请说明理由．O B A CyxA xy BO能力提升：1.（2013菏泽）如图1，△运动到何处时，四边形PDCQ的面积最小？此时四边形2．如图，已知抛物线y=x2+bx+c的图象与x轴的一个交点为B（5，0），另一个交点为A，且与y轴交于点C（0，5）．（1）求直线BC与抛物线的解析式；（2）若点M是抛物线在x轴下方图象上的一动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求MN的最大值；（3）在（2）的条件下，MN取得最大值时，若点P是抛物线在x轴下方图象上任意一点，以BC为边作平行四边形CBPQ，设平行四边形CBPQ的面积为S1，△ABN的面积为S2，且S1=6S2，求点P的坐标．3.如图，二次函数的图象与x轴相交于点A（-3，0）、B（-1，0），与y轴相交于点C（0，3），点P是该图象上的动点；一次函数y=kx-4k（k≠0）的图象过点P交x轴于点Q．（1）求该二次函数的解析式；（2）当点P的坐标为（-4，m）时，求证：∠OPC=∠AQC；（3）点M，N分别在线段AQ、CQ上，点M以每秒3个单位长度的速度从点A向点Q运动，同时，点N以每秒1个单位长度的速度从点C向点Q运动，当点M，N中有一点到达Q点时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒．连接AN，当△AMN的面积最大时，①求t的值；②直线PQ能否垂直平分线段MN？若能，请求出此时点P的坐标；若不能，请说明你的理由．yD BMA CO xE 图1的坐标，并求出△POB的面积；若不存在，请说明理由．）中抛物线的第二象限图象上是否存在一点与△POC的坐标；若不存在，请说明理由；c的图象的顶点C的坐标为（0，-2），交m（m＞1）与x轴交于D。
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解析几何——存在性问题1、已知椭圆1:C 22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为e =，过1C 的左焦点1F 的直线:20l x y -+=被圆2222:(3)(3)(0)C x y r r -+-=>截得的弦长为.（Ⅰ）求椭圆1C 的方程；（Ⅱ）设1C 的右焦点为2F ，在圆2C 上是否存在点P ，满足2122a PF PF b=,若存在，指出有几个这样的点（不必求出点的坐标）;若不存在，说明理由.[解]：（1）因为直线l 的方程为:20l x y -+=，令0y =，得2x =-，即1(2,0)F -…1分 ∴2c =，又∵c e a =26a = ， 2222b a c =-=∴ 椭圆1C 的方程为221:162x y C +=.…４分 （2）存在点P ，满足2122a PF PF b=∵ 圆心2(3,3)C 到直线:20l x y -+=的距离为d ==，又直线:20l x y -+=被圆222:66310C x y x y m +--++=截得的弦长为∴由垂径定理得2r ===，故圆2C 的方程为222:(3)(3)4C x y -+-=.…………８分设圆2C 上存在点(,)P x y ，满足2122a PF PF b=即123PF PF =，且12,F F 的坐标为12(2,0),(2,0)F F -，= 整理得2259()24x y -+=，它表示圆心在5(,0)2C ，半径是32的圆。
∴2CC ==………………１２分 故有2332222CC -<<+，即圆C 与圆2C 相交，有两个公共点。
∴圆2C 上存在两个不同点P ，满足2122a PF PF b =.………１４分2、平面直角坐标系xOy 中，椭圆∑：12222=+by a x （0>>b a ）的离心率为36，焦点为1F 、2F ，直线l ：02=-+y x 经过焦点2F ，并与∑相交于A 、B 两点．⑴求∑的方程；⑵在∑上是否存在C 、D 两点，满足AB CD //，D F C F 11=若存在，求直线CD 的方程；若不存在，说明理由．[解]：依题意)0 , 2(2F ，2=c ……2分，由36==a c e 得6=a ……3分 222=-=c a b ，椭圆∑的方程为12622=+y x ……4分 ⑵（方法一）若存在满足条件的直线CD ，∵AB CD //，∴1-==AB CD k k ，设直线CD 的方程为m x y +-=……5分由⎪⎩⎪⎨⎧+-==+m x y y x 12622……6分，得06)(322=-+-+m x x ……7分 0)63(6422=-+-m mx x ，01296)63(44)6(222>-=-⨯⨯--=∆m m m （*）设) , (11y x C ，) , (22y x D ，则2321mx x =+，463221-=m x x ……9分由已知D F C F 11=，若线段CD 的中点为E ，则CD E F ⊥1，111=-=CDE F k k ………10分 )0 , 2(1-F ，)2, 2(2121y y x x E ++即)4 , 43(mm E ，由124341=+=m mk E F ，解得4-=m ……13分4-=m 时，09612962<-=-m ，与（*）矛盾，∴不存在满足条件的直线CD ……14分 （方法二）假设存在) , (11y x C ， ) , (22y x D ，线段CD 的中点为) , (00y x E ，则2y y ,2210210y x x x +=+=，12121-=--x x y y ……5分 由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+12612622222121y x y x 两式相减得：0))((21))((6121212121=+-++-y y y y x x x x ……7分， 代入、化简得：03100=-y x 由已知D F C F 11=，则CD E F ⊥1，111=-=CD E F k k ……9分 由12001=+=x y k E F 得，200+=x y ， 由①②解得1,300-=-=y x ，即)1,3(--E ……11分 直线CD 的方程为：)4(+-=x y ， 联立⎪⎩⎪⎨⎧--==+412622x y y x 得 0422442=++x x ……13分 ∵0964244242<-=⨯⨯-=∆，方程（组）无解，∴不存在满足条件的直线CD ……14分3、在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点),1,5()3,1(N M 、- 若点C 满足),()1(R t ON t OM t OC ∈-+= 点C 的轨迹与抛物线：x y 42=交于A 、B 两点．(1)求证：⊥；(2)在x 轴上是否存在一点),0,(m P 使得过点P 直线交抛物线于D 、E 两点，并以该弦DE 为直径的圆都过原点, 若存在，请求出m 的值及圆心的轨迹方程；若不存在，请说明理由． 解：(1)由)()1(R t t t ∈-+=知点C 的轨迹是M 、N 两点所在的直线，故点C 的轨迹方程是)1(4)3(13-⋅--=+x y , 即4-=x y 由⎩⎨⎧=-=xy x y 442016124)4(22=+-⇒=-⇒x x x x 1621=∴x x , 1221=+x x 1616)(4)4)(4(212121-=++-=--=∴x x x x x x yy 02121=+∴y y x x , 故.⊥………..6分(2)法一：存在点),0,4(P 满足条件。
证明如下：由题意知：弦所在的直线的斜率不为零，设弦所在的直线方程为：4+=ky x 代入x y =2得01642=--ky yk y y 421=+∴，1621-=y y , =⋅OB OA k k 116161644212222112211-=-==⋅=⋅y y y y y y x y x y OB OA ⊥∴, 故以AB 为直径的圆都过原点 ............10分法二：若存在这样的点P 满足条件，设),(),,(2211y x E y x D .则有02121=+y y x x 得,1621-=y y 又),,(11y m x PD -= ),,(22y m x PE -= 由D 、P 、E 三点共线可得0))(4(),(),(21122211=--⇒⋅-=⋅-y y m y y m x y y m x 当21y y =/时，,4=m 此时),0,4(P 可验证当)0,4(P 且21y y =时也符合条件， 所以存在点)0,4(P 满足条件. 设弦AB 的中点为),(y x M 则)(2121x x x +=，)(2121y y y += 848)4(8)(442212121+=+⋅=++=+++=+k k k y y k ky ky x x∴弦AB 的中点M 的轨迹方程为：⎩⎨⎧=+=ky k x 2422，消去k 得.822-=x y4、如图（6），设点)0,(1c F -、)0,(2c F 分别是椭圆)1(1:222>=+a y ax C的左、右焦点，P 为椭圆C 上任意一点，且12PF PF ⋅uuu r uuu r最小值为0． （1）求椭圆C 的方程；（2）若动直线12,l l 均与椭圆C 相切，且12//l l ，试探究在x 轴上是否存在定点B ，点B 到12,l l 的距离之积恒为1若存在，请求出点B 坐标； 若不存在，请说明理由．解：（1）设),(y x P ，则有),(1y c x F +=，),(2y c x F -=-------------1分[]a a x c x aa c y x PF PF ,,11222222221-∈-+-=-+=⋅ -----------------2分 由12PF PF ⋅uuu r uuu r 最小值为0得210122=⇒=⇒=-a c c ，-------------------3分∴椭圆C 的方程为1222=+y x ．---------------------------------------------4分 （2）①当直线12,l l 斜率存在时，设其方程为,y kx m y kx n =+=+--------------------5分 把1l 的方程代入椭圆方程得222(12)4220k x mkx m +++-=∵直线1l 与椭圆C 相切，∴2222164(12)(22)0k m k m ∆=-+-=，化简得2212m k =+ 同理，2212n k =+------------------------------------8分∴22m n =，若m n =，则12,l l 重合，不合题意，∴m n =------------------------9分 设在x 轴上存在点(,0)B t ，点B 到直线12,l l 的距离之积为1，则1=，即2222||1k t m k -=+，--------------------------------------10分 把2212k m +=代入并去绝对值整理，22(3)2k t -=或者22(1)0k t -=前式显然不恒成立；而要使得后式对任意的k R ∈恒成立则210t -=，解得1t =±；----------------------------------------------------------------------12分②当直线12,l l 斜率不存在时，其方程为x =x =---------------------------13分定点(1,0)-到直线12,l l 的距离之积为1)1=；定点(1,0)到直线12,l l 的距离之积为1)1=；综上所述，满足题意的定点B 为(1,0)-或(1,0) --------------------------------------------14分5、已知椭圆C:22221x y a b +=（0a b >>）的左、右焦点分别为()1F 1,0-、()2F 1,0，且经过定点31,2⎛⎫P ⎪⎝⎭，()00,x y M 为椭圆C 上的动点，以点M 为圆心，2F M 为半径作圆M ．()1求椭圆C 的方程；()2若圆M 与y 轴有两个不同交点，求点M 横坐标0x 的取值范围；()3是否存在定圆N ，使得圆N 与圆M 恒相切若存在，求出定圆N 的方程；若不存在，请说明理由．解：()1由椭圆定义得122+=PF PF a ，……………………………………… 1分即532422a ==+=， ……………………… 2分 ∴2a =，又1=c ， ∴2223b a c =-=.……………………………………… 3分故椭圆C 的方程为22143+=x y …………………………………………………4分()2圆心00(,)M x y 到y 轴距离0=d x ，圆M 的半径=r若圆M 与y 轴有两个不同交点，则有>r d 0>x ，化简得200210-+>y x .…………………… …………………………… 6分Q 点M 在椭圆C 上，∴2200334y x =-，代入以上不等式得： 20038160+-<x x ，解得：0443-<<x . ……………………………………… 8分又022-≤≤Q x ，∴ 0423x -≤<，即点M 横坐标的取值范围是4[2,)3-. ……9分()3存在定圆()22:116++=N x y 与圆M 恒相切，其中定圆N 的圆心为椭圆的左焦点1F ，半径为椭圆C 的长轴长4. ……………………12分∵由椭圆定义知，1224+==MF MF a ，即124MF MF =-， ∴圆N 与圆M 恒内切. …………………………………………………………… 14分6、已知椭圆1C 的中心在坐标原点，两个焦点分别为1(2,0)F -，2F ()20,，点(2,3)A 在椭圆1C 上，过点A 的直线L 与抛物线22:4C x y =交于B C ,两点，抛物线2C 在点B C ,处的切线分别为12l l ,，且1l 与2l 交于点P .(1) 求椭圆1C 的方程；(2) 是否存在满足1212PF PF AF AF +=+的点P 若存在，指出这样的点P 有几个（不必求出点P 的坐标）; 若不存在，说明理由.（1）椭圆1C 的方程为2211612x y +=. ………3分 (2)解法1：设点)41,(211x x B ,)41,(222x x C ，则))(41,(212212x x x x BC --=， )413,2(211x x BA --=， ∵C B A ,,三点共线, （∴BC BA //u u u r u u u r. ……4分∴()()()222211211113244x x x x x x ⎛⎫--=-- ⎪⎝⎭, 化简得：1212212xx x x ()+-=. ①……5分由24xy =,即214y x ,=得y '=12x . ……6分 ∴抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为)(2411121x x x x y -=-，即211412x x x y -=. ② 同理，抛物线2C 在点C 处的切线2l 的方程为 222412x x x y -=. ③ ……………8分 设点),(y x P ，由②③得：=-211412x x x 222412x x x -，而21x x ≠，则 )(2121x x x +=. ………9分 代入②得 2141x x y =，则212x x x +=，214x x y =代入 ① 得 1244=-y x ，即点P 的轨迹方程为3-=x y . ………11分若1212PF PF AF AF +=+ ，则点P 在椭圆1C 上，而点P 又在直线3-=x y 上，………12分∵直线3-=x y 经过椭圆1C 内一点(3,0),∴直线3-=x y 与椭圆1C 交于两点. ………13分 ∴满足条件1212PF PF AF AF +=+ 的点P 有两个. …………14分解法2：设点),(11y x B ,),(22y x C ，),(00y x P ，由24x y =,即214y x ,=得y '=12x . ……4分∴抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为)(2111x x x y y -=-，即2111212x y x x y -+=. ……5分 ∵21141x y =， ∴112y x x y -= .∵点),(00y x P 在切线1l 上, ∴10102y x x y -=. ①…6分同理， 20202y x x y -=. ② 综合①、②得，点),(),,(2211y x C y x B 的坐标都满足方程y x x y -=002.∵经过),(),,(2211y x C y x B 的直线是唯一的，∴直线L 的方程为y x xy -=002， ………9分 ∵点)3,2(A 在直线L 上， ∴300-=x y .∴点P 的轨迹方程为3-=x y . ……11分 若1212PF PF AF AF +=+ ，则点P 在椭圆1C 上，又在直线3-=x y 上，12分 ∵直线3-=x y 经过椭圆1C 内一点(3,0),∴直线3-=x y 与椭圆1C 交于两点. ……13分 ∴满足条件1212PF PF AF AF +=+ 的点P 有两个. ……14分 解法3：显然直线L 的斜率存在，设直线L 的方程为()23y k x =-+，由()2234y k x x y ,,⎧=-+⎪⎨=⎪⎩消去y ，得248120x kx k -+-=. ……4分设()()1122B x y C x y ,,,,则12124812x x k x x k ,+==-. ………5分 由24xy =,即214y x ,=得y '=12x . ………6分 ∴抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为)(2111x x x y y -=-，即2111212x y x x y -+=.…7分 ∵21141x y =， ∴211124x y x x =-. 同理,得抛物线2C 在点C 处的切线2l 的方程为222124x y x x =-. 由211222124124x y x x x y x x ,,⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得121222234x x x k x x y k ,.⎧+==⎪⎪⎨⎪==-⎪⎩∴()223P k k ,-. ……10分 ∵1212PF PF AF AF +=+, ∴点P 在椭圆22111612x y C :+=上. ……11分 ∴()()2222311612k k -+=化简得271230k k --=.(*) 由()2124732280Δ=-⨯⨯-=>,可得方程(*)有两个不等的实数根. ∴满足条件的点P 有两个. ………14分7、已知双曲线C的焦点分别为12(F F -,且双曲线C经过点P . （1）求双曲线C 的方程；（2）设O 为坐标原点，若点A 在双曲线C 上，点B在直线x =上，且0⋅=u u u r u u u rOA OB ，是否存在以点O 为圆心的定圆恒与直线AB 相切若存在，求出该圆的方程，若不存在，请说明理由.[解]：（1）解法一：依题意知双曲线C 的焦点在x 轴，设其方程为2222 1.(0,0)x y a b a b-=>>∵点P 在双曲线C 上，∴122||||a PF PF =-4==∴ 2a = ---3分又c =∴2224b c a =-=，∴所求双曲线C 的方程为221.44x y -=---------------4分 解法二：依题意知双曲线C 的焦点在x 轴，设其方程为2222 1.(0,0)x y a b a b-=>>-------1分∵点P 在双曲线C 上， ∴2232281a b-=， -----------------------① 又228b a =-，----------------② ②代入①去分母整理得：42683280a a -+⨯=，又a c <，解得24,a =24b =-------3分 ∴所求双曲线C 的方程为221.44x y -= ----------------------4分 (2) 设点A ，B 的坐标分别为00(,)x y，)t ，其中02x >或02x <-.-----------------5分当0y t ≠时，直线AB的方程为y t x -=，即0000()(0y t x x y tx --+=-------------------------------------------6分 若存在以点O 为圆心的定圆与AB 相切，则点O 到直线AB 的距离必为定值， 设圆心O 到直线AB 的距离为d，则d =.----------------------7分∵0OA OB ⋅=u u u r u u u r，∴000ty +=，∵00y ≠∴0t y =-，-----------8分 又22004x y -=，故200||d -=202|y +=2200020022||22|y y y y y ++==+--------11分 此时直线AB 与圆224x y +=相切，-----------------------------------------------12分当0y t =时，20x =C 的方程并整理得42280t t --=，即22(4)(2)0t t -+=，解得2t =±，此时直线AB ：2y =±.也与圆224x y +=也相切．----------------------------------13分综上得存在定圆224x y +=与直线AB 相切．--------------------------------------14分8、椭圆22221(0)x y a b a b+=>>过点2(1,)2，12,F F 分别为椭圆的左右焦点，且12||2F F =。