第7章MATLAB微积分运算

6
例 7-6
编制如下程序
clear;clc; [X, Y, Z] = sphere(20); surfnorm(X, Y, Z) axis square box on
运行结果如图7-5所示
图 7-5
7
7.1.2 符号微分
例 7-7
编制如下命令文件
clear;clc; F='sin(3*x)' Fx=diff(F,'x') Fxx=diff(F, 'x', 2)
cos(a*x)+b
F=
(sin(pi*a)+b*a*pi)/a
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7.3 综合实例
7.3.1 平面图形面积
例7-18
编制函数文件 function y = fun(x) global a b y = b*sqrt(1-x.^2/a^2);
运行程序
clear;clc; global a b a=2; b=1; S1 = 2*quad('fun',-a,a) x1=linspace(-a,a,101); y1=fun(x1); plot(x1,y1,'b-',x1,-y1,'b-') hold on a=1.5; b=0.5; S2 = 2*quad('fun',-a,a) x2=linspace(-a,a,101); y2=fun(x2); plot(x2,y2,'r-',x2,-y2,'r-')
运行结果如图7-2所示 图 7-2
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3. 曲面法线
例 7-4
编制如下命令文件
clear;clc; af=linspace(0, pi, 36) x=2*cos(af); [X, Y, Z] = cylinder(x, 12); surfnorm(X, Y, Z)
运行结果如图7-3所示
图 7-3
5
例 7-5
图 7-9 图 7-10
运行后得到质点的运动轨迹和速度变 化规律图如图7-9和7-10所示
20
18
计算结果为
S1 = 6.2832
S2 = 2.3562
绘制的椭圆图形如图7-8所示
图 7-8
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7.3.2 点的运动速度
例 7-19
编制如下程序
clear;clc; t=linspace(0,5,101); x=50*t; y=500-5*t.^2; plot(x,y) vx=diff(x)./diff(t); vy=diff(y)./diff(t); v=sqrt(vx.^2+vy.^2); t=t(1:100); figure(2) plot(t,v)
运行结果如图7-6所示 图 7-6
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例 7-10
编制如下程序
clear;clc; x = linspace(0, pi, 5); y = x; z = x; [X, Y, Z] = meshgrid(x, y, z); F = sin(X) + sin(Y) + sin(Z); [px,py,pz] = gradient(F); quiver3(X,Y,Z, px,py,pz)
F1 = 1.4055
F2 = 2.2293
16
7.2.3 符号积分
例 7-16
编制命令文件
clear;clc; syms a b x fun=cos(a*x+b) F=int(fun, x) 运算结果为 fun =
cos(a*x+b)
F=
1/a*sin(a*x+b)
例 7-17
编制命令文件
clear;clc; syms a b x fun=cos(a*x)+b F=int(fun, x, 0, pi) 运算结果为 fun =
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例 7-13
编制如下命令文件
clear;clc; fun=inline('x./(x.^2+4)','x') F1=quad(fun,0,5) F2=quadl(fun,0,5)
运行结果为
fun = Inline function: fun(x) = x./(x.^2+4)
F1 = 0.9905
F2 = 0.9905
14
例 7-14
编制如下函数文件
function f=fun(x) f=exp(-0.5*x)+x;
在指令窗口中输入
clear;clc; F1=quad('fun',0,5) F2=quadl('fun',0,5)
运行结果为 F1 = 14.3358 F2 = 14.3358
编制如下程序
clear;clc; x = linspace(0, pi, 30); y = linspace(0, pi, 30); [X, Y] = meshgrid(x, y); Z = sin(X).*cos(Y); surfnorm(X, Y, Z) box on
运行结果如图7-4所示
图 7-4
运行结果为
F=
3*x-cos(x*y)-5 x^2-80*(y+1/2)^2+sin(z)
exp(-x*y)+20*z+10
JF =
[ 3+sin(x*y)*y, sin(x*y)*x,
0]
[
2*x, -160*y-80, cos(z)]
[ -y*exp(-x*y), -x*exp(-x*y),
20]
例7-2
编制如下指令文件
clear;clc; x=linspace(0,pi,360); y=sin(x); dx=diff(x); dy=diff(y); dyx=dy./dx; plot(x,y,'r--') hold on n=length(x); plot(x(1:n-1),dyx,'b-') legend('sin(x)','dsin(x)/dx')
Z= exp(a*x+b*y)*(sin(x*y)+sin(x)+cos(y)) Zx =
a*exp(a*x+b*y)*(sin(x*y)+sin(x)+cos(y))+exp(a*x+b*y)*(cos(x*y)*y+cos(x))
Zy =
b*exp(a*x+b*y)*(sin(x*y)+sin(x)+cos(y))+exp(a*x+b*y)*(cos(x*y)*x-sin(y))
运算结果为
F= sin(3*x) Fx =
3*cos(3*x)
Fxx =
-9*sin(3*x)
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例 7-8
编制如下程序
clear;clc; Z = 'exp(a*x+b*y)*(sin(x*y)+sin(x)+cos(y))' Zx = diff(Z, 'x') Zy = diff(Z, 'y') 运行结果为
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7.2.2 多元数值积分
例 7-15
编制如下命令文件
clear;clc; fun=inline('x.^y+1','x','y') F1=dblquad(fun, 0, 1, 1, 2) F2=dblquad(fun, 1, 2, 0, 1)
运行结果为
fun = Inline function: fun(x,y) = x.^y+1
运行结果如图7-7所示
图 7-7
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2. Jacobi矩阵
例 7-11
编制如下命令文件
clear;clc; syms x y z F= [3*x-cos(x*y)-5 x^2-80*(y+0.5)^2+sin(z) exp(-x*y)+20*z+10] JF=jacobian(F,[x y z])
运行结果如图7-1所示 图 7-1
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例 7-3
编制如下程序
clear;clc; n = 360 x = linspace(0, 2*pi, n); y = exp(-0.2*x).*(cos(x)+sin(x)); dy = diff(y); dx = diff(x); dyx = dy./dx; plot(x,y,'r-') hold on plot(x(1:n-1),dyx,'b-.') legend('y','dy/dx')
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例 7-12
编制如下程序
clear;clc; syms x y a b F=[exp(a*x+b*y); sin(x)+cos(y)] JF=jacobian(F,[x y])
运行结果为 F=
exp(a*x+b*y) sin(x)+cos(y)
JF =
[ a*exp(a*x+b*y), b*exp(a*x+b*y)] [ cos(x), -sin(y)]
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7.1.3 多元函数的导数
1. 函数梯度
例 7-9
编制如下命令文件
clear;clc; v = -2:0.2:2; [x,y] = meshgrid(v); z = x .* exp(-x.^2 - y.^2); [px,py] = gradient(z); contour(v,v,z), hold on, quiver(v,v,px,py)
第7章 MATLAB微积分运算