直线方程的一般式
3.2.3直线的一般式方程
讲授新课
所有的直线方程是否都是二元一次方程？
y y1 k ( x x1 )
kx (1) y y1 kx1 0
kx (1) y b 0
( y2 y1 ) x ( x1 x2 ) y x1 ( y1 y2 ) y1 ( x2 x1 ) 0
课堂小结
点斜式 斜率和一点坐标 斜截式
y y0 k ( x x0 )
y kx b
y y1 x x1 y2 y1 x2 x1
两点式
两点坐标 截距式
x y 1 a b
直线方程的一般式与特殊式的互化。
课堂抢答
⒈根据下列条件写出直线的方程，并且 化成一般式：
讲授新课
注：对于直线方程的一般式，一般作如下约定：
①按含x项、含y项、常数项顺序排列； ②x项的系数为正； ③x，y的系数和常数项一般不出现分数；
无特别说明时，最好将所求直线方程的结 果写成一般式。
课堂练习
若直线l在x轴上的截距-4时，倾斜角
4 的正切值是 ， 3
则直线l的点斜式方程是y-0=(-4/3)(x+4) ___________ y=(-4/3)x-16/3 直线l的斜截式方程是___________ 4x+3y+16=0 直线l的一般式方程是___________
讲授新课
例2 把直线 化成斜截式，求
出直线的斜率以及它在y轴上的截距。
3 解：将直线的一般式方程化为斜截式： y x 3 ， 5
3 它的斜率为： ，它在y轴上的截距是3 5
讲授新课
高一数学直线方程的一般式
直线方程 Ax +By + C = 0 的系数A、B、 C 满足什么关系时,这条直线有以下性质：
A≠0 ，B =0 ；
B≠0 ，A = 0 ； B≠0 ，A = C= 0 ； A≠0 ，B = C = 0 .
4. 是x 轴所在直线；
5. 是y 轴所在直线.
小结:
知道直线方程的一般式及由一般式化其它形式， 及求斜率，截距等
2、直线与二元一次方程的关系
探究1:方程Ax+By+C=0总可以表示直线吗? 根据斜率存在,不存在即B为0,或不为0进行分类
对于方程Ax+By+C=0
A C 当B 0时, 方程可以化为y - x - , B B 这是直线方程的斜截式,
A C 表示斜率为 - , 截距是 - 的直线, B B 当B 0时, 方程Ax By C 0化为Ax C 0,
例2、把直线l的方程x-2y+6=0化成斜截式，求出直线l 的斜率及它在x轴与y轴上的截距
y
解： 由 x 2 y 6 0 1 y x3 有 2 1 故 l 的斜率 k
2
B(0,3)
A(6,0)
纵截距为3 令y 0则
0
x
x 6
即横截距为－6
所以………
思考
1. 与两条坐标轴都相交； AB≠0 2. 只与x 轴相交； 3. 只与 y 轴相交；
C 因为A.B不全为0, 所以A 0方程化为x - , A 表示垂直于x轴的直线, 即斜率不存在的直线
结论:当A.B不全为0的时候,方程Ax+By+C=0表示直线, 可以表示平面内的任何一条直线
探究2
在平面直角坐标系中，对于任意一条直线都可以
直线的一般式方程
C. 3x－y－2＝0
D. 3x＋y－2＝0
A ）.
2.若直线l的方程为4x－y－2＝0，则直线l的斜率为（ D ）.
A. －2
B. 2
C. －4
D. 4
3.若直线l的方程为6x－y＋3＝0，则直线l在y轴上的截距为（ B ）.
A. －3
B. 3
C. －6
D. 6
二、填空题
1.斜率为2，且经过点P（－3，1）的直线方程为
2x－y＋7＝0 .
2.经过点P（2，－3）且与y轴平行的直线方程为
x－2＝0 .
3.倾斜角为0°，且在y轴上的截距为－1的直线方程为
4.直线x－2y＋4＝0的斜截式方程是
1
y＝2x＋2
y＋1＝0 .
.
5.将方程y－3＝－2（x＋4）化为一般式方程： 2x＋y＋5＝0 .
三、解答题（根据下列条件，求直线的方程）
（2）当直线不经过原点O（0，0）时，直线的倾斜角α＝135°
则k＝tan135°＝－1，由点斜式可得y－5＝－1（x－3）
∴所求直线方程为x＋y－8＝0
亲爱的同学们，下节课见！
2.已知直线l与x轴平行，则直线l的斜率（ A ）.
A. k＝0
B. k＝1
C. k＝－1
D. k不存在
二、填空题
1.若直线x－y＋m＝0在y轴的截距为2，则m＝
2.直线x－y＋1＝0的倾斜角是
45° .
2 .
三、解答题
1.若直线l的方程为2x－3y－12＝0，求直线l的斜率k及直线在x轴、y轴上的截距.
0−1
解：k＝
∴所求直线方程为4x＋y－2＝0
４.倾斜角为45°，且过点A（3，2）.
直线的两点式方程直线的一般式方程
直线的两点式方程直线的一般式方程直线是平面几何中的基本元素之一，可以用各种不同的方程表示。
其中，最常用的两种方式是直线的两点式方程和直线的一般式方程。
1.直线的两点式方程：(x-x₁)/(x₂-x₁)=(y-y₁)/(y₂-y₁)在这个公式中，表示直线上任意一点的坐标为(x,y)。
通过运算化简，可以得到直线的两点式方程的另一种形式：(y₁-y₂)*x+(x₂-x₁)*y+(x₁*y₂-x₂*y₁)=0这就是直线的两点式方程，也叫做点斜式方程。
2.直线的一般式方程：直线的一般式方程是通过直线的斜率和截距来表示的。
斜率表示了直线在坐标平面上的倾斜程度，截距表示了直线与坐标轴的交点。
假设直线的斜率为m，截距为b。
那么直线的一般式方程可以写为：y = mx + b这就是直线的一般式方程。
直线的斜率通过两点式方程的公式可以求解：m=(y₂-y₁)/(x₂-x₁)而直线的截距b可以通过将已知点的坐标代入直线方程求解。
例如，已知点A(x₁,y₁)在直线上，我们可以将其代入直线方程，然后解出截距b 的值。
另外，一般式方程也可以变形为标准式方程。
标准式方程表示为Ax+By+C=0，其中A、B、C是常数。
可以通过对一般式方程进行整理和变形，将其转化为标准式方程。
总结：直线的两点式方程通过已知直线上的两个点来表示直线方程，可以求解出直线上任意一点的坐标。
直线的一般式方程通过斜率和截距来表示直线方程，可以清晰地表示直线的特征。
两种方程都可以用于求解直线与其他几何元素的交点、直线的长度等问题。
在解题过程中，根据实际情况选择使用哪种方程比较方便。
直线方程的一般式
引导学生思考：直线与二元一次方程 的对应是什么样的对应？
直线与二元一次方程是一一对应的
例1.已知直线经过点A（6，-4），斜率 为- 4/3，求直线的点斜式和一般式方程.
解：过点A（6，-4）且斜率为 – 4/3的直线方程的点斜式是
(一)引入新课 点斜式、斜截式不能表示与x轴垂直的直
线,截距式既不能表示与坐标轴平行的直线， 又不能表示过原点的直线．与x轴垂直的直线 可表示成x=x0，与x轴平行的直线可表示成 y=y0。它们都是二元一次方程．
我们问：直线的方程都可以写成二元 一次方程吗？
反过来，二元一次方程都表示直标系中，每一条直线 都有倾斜角α．当α≠90°时，直线有斜率 ，方程可写成下面的形式：
A
这就是直线的斜截式方程，它表示斜率为- 在
Y轴上的截距为- C 的直线.
B
这里，我们借用了B 前一课y=kx+b表示直线的结论，
不弄清这一点，会感到上面的论证不知所云．
(2)当B=0时，由于AC、B不同时为零，必有A≠0，
方程(1)可化为X=-
A 它表示一条与y轴平行的直线．
在平面直角坐标系中，任何关于 x、y 的二元一次方程都表示一条直线。
y=kx+b 当α=90°时，它的方程可以写成x=x0的 形式
在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都 有一个表示这条直线的关于 x、y 的二元一次方 程。
反过来，对于x、y的一次方程的一般形式
Ax+By+C=0．
(1)
其中A、B不同时为零．
(1)当B≠0时，方程(1)可化为
直线方程的五种形式
直线方程的五种形式直线方程一般式：Ax+By+C=0(A、B不同时为0)；点斜式：y-y0=k(x-x0)；截距式：x/a+y/b=1；斜截式：y=kx+b；两点式：(y-y1)/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)(x1≠x2，y1≠y2)。
直线方程表达形式1：一般式:Ax+By+C=0(A、B不同时为0)【适用于所有直线】K=-A/B，b=-C/BA1/A2=B1/B2≠C1/C2←→两直线平行A1/A2=B1/B2=C1/C2←→两直线重合横截距a=-C/A纵截距b=-C/B2：点斜式:y-y0=k(x-x0)【适用于不垂直于x轴的直线】表示斜率为k，且过（x0,y0）的直线3：截距式:x/a+y/b=1【适用于不过原点或不垂直于x轴、y轴的直线】表示与x轴、y轴相交，且x轴截距为a，y轴截距为b的直线4：斜截式:y=kx+b【适用于不垂直于x轴的直线】表示斜率为k且y轴截距为b的直线5：两点式:【适用于不垂直于x轴、y轴的直线】表示过（x1,y1）和(x2,y2)的直线(y-y1)/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)(x1≠x2，y1≠y2)6：交点式:f1(x,y)*m+f2(x,y)=0【适用于任何直线】表示过直线f1(x,y)=0与直线f2(x,y)=0的交点的直线7：点平式:f(x,y)-f(x0,y0)=0【适用于任何直线】表示过点（x0,y0）且与直线f（x,y）=0平行的直线8：法线式：x·cosα+ysinα-p=0【适用于不平行于坐标轴的直线】过原点向直线做一条的垂线段，该垂线段所在直线的倾斜角为α，p是该线段的长度9：点向式：(x-x0)/u=(y-y0)/v(u≠0,v≠0)【适用于任何直线】表示过点(x0,y0)且方向向量为（u,v）的直线10：法向式：a（x-x0）+b（y-y0）=0【适用于任何直线】表示过点（x0，y0）且与向量（a，b）垂直的直线。
高一数学直线的一般式方程
思维拓展
拓展2：已知直线l1、l2分别是 l1: A1x＋B1y＋C1＝0(A1、B1不同时为0)， l2: A2x＋B2y＋C2＝0(A2、B2不同时为0)， 且A1A2＋B1B2＝0，求证: l1⊥l2.
思维拓展
拓展3：已知直线l1、l2分别是 l1: A1x＋B1y＋C1＝0(A1、B1不同时为0)， l2: A2x＋B2y＋C2＝0(A2、B2不同时为0)， 若l1 //l2, 则A1、B1、C1、A2、B2、C2间应 满足怎样的关系？
讲授新课
研读教材P.97－P.98: 1. 平面直角坐标系中的每一条直线都可
以用一个关于x, y的二元一次方程表 示吗？ 2. 每一个关于x、y的二元一次方程都表 示一条直线吗？ 3. 直线的一般式方程是什么？
例1.已知直线经过点A(6, －4), 斜率为 4 , 3
求直线的点斜式和一般式方程.
l1⊥ l2k1·k2 ＝－1.
讲授新课
研读教材P.97－P.98: 1. 平面直角坐标系中的每一条直线都可
以用一个关于x, y的二元一次方程表 示吗？
讲授新课
研读教材P.97－P.98: 1. 平面直角坐标系中的每一条直线都可
以用一个关于x, y的二元一次方程表 示吗？ 2. 每一个关于x、y的二元一次方程都表 示一条直线吗？
课堂小结
1. 直线方程常见的几种形式. 2. 比较各种直线方程的形式特点和适
用范围. 3. 求直线方程应具有多少个条件？ 4. 学习本节用到了哪些数学思想方法？ 5. 二元一次方程的每一个解与坐标平
面的中点有什么关系？直线与二元 一次方程的解之间有什么关系？
课后作业
1. 阅读教材P.97到P.99； 2. 《习案》二十一.
直线的一般式方程
直线方程的一般式前面我们学习了直线方程的四种表达形式，它们都含有x 、y 这两个变量，并且x 、y 的次数都是一次的，即它们都是关于x 、y 的二元一次方程，那么直线的方程与二元一次方程有怎样的关系？1．直线的一般式方程(1)定义：关于x 、y 的二元一次方程__Ax ＋By ＋C ＝0__(其中A 、B 不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式．(2)适用范围：平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一般式表示． (3)系数的几何意义：①当B ≠0时，则－A B ＝k (斜率)，－CB＝b (y 轴上的截距)；②当B ＝0，A ≠0时，则－CA＝a (x 轴上的截距)，此时不存在斜率．(4)二元一次方程与直线的关系：二元一次方程的每一组解都可以看成平面直角坐标系中一个点的坐标，这个方程的全体解组成的集合，就是坐标满足二元一次方程的全体点的集合，这些点的集合就组成了一条直线．二元一次方程与平面直角坐标系中的直线是一一对应的．[归纳总结] AB >0时，k <0，倾斜角α为钝角；AB <0时，k >0，倾斜角α为锐角；A ＝0时，k ＝0，倾斜角α＝0°；B ＝0时，k 不存在，倾斜角α＝90°．2．直线方程的一般式与其他形式的互化 一般式化斜截式的步骤： ①移项：By ＝－Ax －C ；②当B ≠0时，得斜截式：y ＝－A B x －CB ．一般式化截距式的步骤：①把常数项移到方程右边，得Ax ＋By ＝－C ；②当C ≠0时，方程两边同除以－C ，得Ax －C ＋By－C ＝1；③再化为截距式：x －C A ＋y－C B ＝1．预习自测1．若方程Ax ＋By ＋C ＝0表示直线，则A 、B 应满足的条件为( D ) A ．A ≠0 B ．B ≠0 C ．A ·B ≠0D ．A 2＋B 2≠0[解析] A 、B 不能同时为0，则A 2＋B 2≠0． 2．直线2x ＋y ＋4＝0的斜率k ＝( B ) A ．2 B ．－2 C ．12D ．－12[解析] A ＝2，B ＝1，则k ＝－AB＝－2．3．直线kx －y ＋1－3k ＝0，当k 变化时，所有直线都恒过点( C ) A ．(0,0) B ．(0,1) C ．(3,1)D ．(2,1) [解析] 直线方程可化为y －1＝k (x －3) ∴无论k 为何值时，都过定点(3,1)．4．若直线l 1：x ＋ay －2＝0与直线l 2：2ax ＋(a －1)y ＋3＝0垂直，则a 的值为__－1或0__.[解析] 由题意，得2a ＋a (a －1)＝0 解得a ＝－1或0．命题方向1 ⇨直线的一般式方程典例1 根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程. (1)斜率是3，且经过点A (5,3)； (2)过点B (－3,0)，且垂直于x 轴； (3)斜率为4，在y 轴上的截距为－2； (4)在y 轴上的截距为3，且平行于x 轴； (5)经过A (－1,5)、B (2，－1)两点； (6)在x 、y 轴上的截距分别是－3，－1．[思路分析] 根据条件，选择恰当的直线方程的形式，最后化成一般式方程． [解析] (1)由点斜式方程得y －3＝3(x －5)，整理得3x －y ＋3－53＝0． (2)x ＝－3，即x ＋3＝0． (3)y ＝4x －2，即4x －y －2＝0． (4)y ＝3，即y －3＝0．(5)由两点式方程得y －5－1－5＝x －(－1)2－(－1)，整理得2x ＋y －3＝0．(6)由截距式方程得x －3＋y－1＝1，整理得x ＋3y ＋3＝0. 〔跟踪练习1〕已知直线l 经过点A (－5,6)和点B (－4,8)，求直线的一般式方程和截距式方程． [解析] 直线过A (－5,6)、B (－4,8)两点 由两点式得y －68－6＝x ＋5－4＋5整理得2x －y ＋16＝0∴2x －y ＝－16，两边同除以－16得，x －8＋y16＝1．故所求直线的一般式方程为2x －y ＋16＝0，截距式方程为x －8＋y16＝1. 命题方向2 ⇨直线的一般式方程的应用典例2 设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R ). (1)若l 在两坐标轴上的截距相等，求l 的方程； (2)若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围．[解析] (1)当直线过原点时，该直线在x 轴和y 轴上的截距都为零，当然相等． 则(a ＋1)×0＋0＋2－a ＝0，∴a ＝2，方程即3x ＋y ＝0； 若a ≠2，由题设l 在两轴上的截距相等，∴a －2a ＋1＝a －2即a ＋1＝1，∴a ＝0，方程即x ＋y ＋2＝0． ∴l 的方程为3x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0． (2)将l 的方程化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2∴欲使l 不经过第二象限，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ －(a ＋1)>0a －2≤0或⎩⎪⎨⎪⎧－(a ＋1)＝0a －2≤0，∴a ≤－1． 综上可知a 的取值范围是a ≤－1．『规律方法』 (1)在题目中出现“截距相等”、“截距互为相反数”、“一截距是另一截距的几倍”等条件时要全面考察，直线l 不经过某象限不要漏掉过原点的情况．(2)由直线的一般式方程Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)求直线在两轴上的截距时，令x ＝0得纵截距；令y ＝0得横截距．由两截距位置可知直线的位置．〔跟踪练习2〕设直线l 的方程为2x ＋(k －3)y －2k ＋6＝0(k ≠3)，根据下列条件分别确定k 的值： (1)直线l 的斜率为－1；(2)直线l 在x 轴，y 轴上的截距之和等于0．[解析] (1)∵直线l 的斜率存在，∴直线l 的方程可化为y ＝－2k －3x ＋2.由题意得－2k －3＝－1，解得k ＝5．(2)直线l 的方程可化为x k －3＋y2＝1．由题意得k －3＋2＝0，解得k ＝1． 命题方向3 ⇨平行与垂直的应用典例3 求过点A (2,2)且分别满足下列条件的直线方程： (1)与直线l ：3x ＋4y －20＝0平行； (2)与直线l ：3x ＋4y －20＝0垂直．[解析] 解法一：已知直线l ：3x ＋4y －20＝0的斜率k ＝－34．(1)过A (2,2)与l 平行的直线方程为 y －2＝－34(x －2)．即3x ＋4y －14＝0．(2)过A 与l 垂直的直线的斜率k 1＝－1k ＝43方程为y －2＝43(x －2)．即4x －3y －2＝0为所求．解法二：(1)设所求直线方程为3x ＋4y ＋c ＝0 由(2,2)点在直线上，∴3×2＋4×2＋c ＝0 ∴c ＝－14.∴所求直线为3x ＋4y －14＝0． (2)设所求直线方程为4x －3y ＋λ＝0 由(2,2)点在直线上，∴4×2－3×2＋λ＝0 ∴λ＝－2.∴所求直线为4x －3y －2＝0．『规律方法』 1.与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线可设为Ax ＋By ＋m ＝0(m ≠C )，与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线可设为Bx －Ay ＋m ＝0．2．直线l 1∶A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0若l 1⊥l 2则：A 1A 2＋B 1B 2＝0；若A 1A 2＋B 1B 2＝0则l 1⊥l 2．若l 1∥l 2，则A 1B 2－A 2B 1＝0，反之若A 1B 2－A 2B 1＝0，则l 1∥l 2或l 1与l 2重合． 3.过一点与已知直线平行(垂直)的直线方程的求法：(1)由已知直线求出斜率，再利用平行(垂直)的直线斜率之间的关系确定所求直线的斜率，由点斜式写方程；(2)可利用如下待定系数法：与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线方程可设为Ax ＋By ＋C 1＝0，再由直线所过的点确定C 1；与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线方程可设为Bx －Ay ＋C 2＝0，再由直线所过的点确定C 2．〔跟踪练习3〕(1)过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( A )A ．x －2y －1＝0B ．x －2y ＋1＝0C ．2x ＋y －2＝0D ．x ＋2y －1＝0(2)直线l 过点(－1,2)且与直线2x －3y ＋4＝0垂直，则l 的方程是( A ) A ．3x ＋2y －1＝0 B ．3x ＋2y ＋7＝0 C ．2x －3y ＋5＝0D ．2x －3y ＋8＝0[解析] (1)所求直线与直线x －2y －2＝0平行，故所求直线的斜率k ＝12，又直线过点(1,0)，利用点斜式得所求直线方程y －0＝12(x －1)，即x －2y －1＝0．(2)由直线l 与直线2x －3y ＋4＝0垂直，可知直线l 的斜率是－32，由点斜式可得直线l的典例4 已知两直线l 1：x ＋my ＋6＝0，l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0，当l 1∥l 2时，求m 的值.[错解] 由1×3－m (m －2)＝0，得m ＝－1或3．[错因分析] 因存在斜率的两直线平行的等价条件为斜率相等且截距不等，所以上述解法忽略检验截距是否相等．[正解] 由1×3－m (m －2)＝0得，m ＝－1或m ＝3． 当m ＝－1时，l 1：x －y ＋6＝0，l 2：3x －3y ＋2＝0． 两直线显然不重合，即l 1∥l 2．当m ＝3时，l 1：x ＋3y ＋6＝0，l 2：x ＋3y ＋6＝0． 两直线重合．故m 的值为－1．[警示] (1)已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则A 1B 2－A 2B 1＝0⇔l 1∥l 2或l 1与l 2重合．所以，由A 1B 2－A 2B ＝0求出参数值后，需检验两直线是否重合． (2)在直线的一般式方程Ax ＋By ＋C ＝0中，A 2＋B 2≠0； (3)直线Ax ＋By ＋C ＝0，当B ≠0时，斜率为k ＝－AB .〔跟踪练习4〕直线l 1：(2m 2－5m ＋2)x －(m 2－4)y ＋5＝0的斜率与直线l 2：x －y ＋1＝0的斜率相同，则m 等于( C )A ．2或3B ．2C ．3D ．－3[错解] 直线l 1的斜率为2m 2－5m ＋2m 2－4，直线l 2的斜率为1，则2m 2－5m ＋2m 2－4＝1，即2m 2－5m ＋2＝m 2－4，m 2－5m ＋6＝0，解得m ＝2或3.故选A ．[错因分析] 错解忽视了当m ＝2时，2m 2－5m ＋2＝0且－(m 2－4)＝0．[思路分析] 直线的一般式方程Ax ＋By ＋C ＝0中，A 与B 满足的条件是A 与B 不能同时为0，即A 2＋B 2≠0.当A ＝B ＝0时，方程变为C ＝0，不表示任何图形．[正解] 直线l 1的斜率为2m 2－5m ＋2m 2－4，直线l 2的斜率为1，则2m 2－5m ＋2m 2－4＝1，即2m 2－5m ＋2＝m 2－4，m 2－5m ＋6＝0，解得m ＝2或3，当m ＝2时，2m 2－5m ＋2＝0，－(m 2－4)＝0，则m ＝2不合题意，仅有m ＝3，故选C ．1．点线接合关系若点P 在曲线(直线)C 上，则点P 的坐标满足曲线(直线)C 的方程，反之也成立． 典例5 已知直线ax ＋3y ＋2a －1＝0过点(－1,1)，则a ＝__－2__. [解析] 由条件得，－a ＋3＋2a －1＝0 ∴a ＝－2． 〔跟踪练习5〕已知2a 1＋3b 1＝1,2a 2＋3b 2＝1，则过点A (a 1，b 1)，B (a 2，b 2)的直线方程为__2x ＋3y ＝1__． [解析] 由条件知，点A ，B 的坐标满足方程2x ＋3y ＝1，又经过A ，B 两点有且仅有一条直线，∴过A ，B 的直线方程为2x ＋3y ＝1．2．过直线定点典例6 直线(2λ＋1)x ＋(1－λ)y ＋λ－4＝0恒过定点__(1,3)__.[解析] 分离参数得λ(2x －y ＋1)＋(x ＋y －4)＝0由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＋1＝0x ＋y －4＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝3所以无论λ取何值，直线都过定点(1,3)． 〔跟踪练习6〕直线(t ＋2)x ＋(1－t )y ＋3－t ＝0过定点__⎝⎛⎭⎫－23，－53__． [解析] 分离参数得：(x －y －1)t ＋2x ＋y ＋3＝0由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＋3＝0x －y －1＝0得⎩⎨⎧x ＝－23y ＝－53.∴直线过定点⎝⎛⎭⎫－23，－53． 1．直线3x －2y －4＝0的截距式方程为( D ) A ．4x 3－y2＝1B ．x 13－y 12＝1C ．3x 4－y－2＝1D ．y 43＋y－2＝1[解析] 由3x －2y －4＝0，得3x －2y ＝4，即x 43＋y－2＝1，故选D ．2．已知点A (3，a )在直线2x ＋y －7＝0上，则a 等于( A ) A ．1 B ．－1 C ．2D ．－2[解析] ∵点A (3，a )在直线2x ＋y －7＝0上，∴2×3＋a －7＝0，∴a ＝1．3．直线ax ＋by ＋c ＝0同时要经过第一、第二、第四象限，则a 、b 、c 应满足( B ) A ．ab >0，bc >0 B ．ab >0，bc <0 C ．ab <0，bc >0 D ．ab <0，bc <0[解析] 如图由图可知，直线的斜率k ＝－a b <0，∴ab >0，又直线在y 轴上的截距为－cb >0，∴bc <0，故选B ．4．直线l 1、l 2的斜率k 1、k 2是关于k 的方程2k 2－3k －b ＝0的两根，若l 1⊥l 2，则b ＝__2__；若l 1∥l 2，则b ＝__－98__.[解析] 由根与系数的关系可知k 1＋k 2＝32，k 1·k 2＝－b 2，则当l 1⊥l 2时，k 1·k 2＝－b2＝－1，解得b ＝2，当l 1∥l 2时，k 1＝k 2＝34，解得b ＝－2k 1·k 2＝－98．A 级 基础巩固一、选择题1．(2016·南安一中高一检测)直线x －y ＋2＝0的倾斜角是( B ) A ．30° B ．45° C ．60°D ．90[解析] 由x －y ＋2＝0，得y ＝x ＋2． 其斜率为1，倾斜角为45°．2．若直线l 1：2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线l 2：mx ＋3y －2＝0平行，则m 的值为( D ) A ．－2B ．－3C ．－2或－3D ．2或3[解析] ∵两直线平行，∴2×3＝m (m ＋1)，∴m 2＋m －6＝0 解得m ＝2或m ＝－3，经检验满足题意．3．直线3x －2y －4＝0在x 轴、y 轴上的截距分别是( D ) A ．34，－12B ．13，12C ．34，－2D ．43，－2[解析] 将3x －2y －4＝0化成截距式为x 43＋y－2＝1，故该直线在x 轴、y 轴上的截距分别是43，－2．4．若直线ax ＋2y ＋1＝0与直线x ＋y －2＝0互相垂直，则a 的值为( D ) A ．1 B ．－13C ．－23D ．－2[解析] 由题意，得(－a2)×(－1)＝－1，a ＝－2．5．直线l 垂直于直线y ＝x ＋1，且l 在y 轴上的截距为2，则直线l 的方程是( A ) A ．x ＋y －2＝0 B ．x ＋y ＋1＝0 C ．x ＋y －1＝0D ．x ＋y ＋2＝0[解析] 解法一：因为直线l 与直线y ＝x ＋1垂直，所以设直线l 的方程为y ＝－x ＋b ，又l 在y 轴上截距为2，所以所求直线l 的方程为y ＝－x ＋2，即x ＋y －2＝0．解法二：将直线y ＝x ＋1化为一般式x －y ＋1＝0，因为直线l 垂直于直线y ＝x ＋1，可以设直线l 的方程为x ＋y ＋c ＝0，令x ＝0，得y ＝－c ，又直线l 在y 轴上截距为2，所以－c ＝2，即c ＝－2，所以直线l 的方程为x ＋y －2＝0．6．直线l ：(k ＋1)x －(k －1)y －2k ＝0恒过定点( B ) A ．(－1,1) B ．(1，－1) C ．(－1，－1)D ．(1,1)[解析] 由(k ＋1)x －(k －1)y －2k ＝0，得k (x －y －2)＋x ＋y ＝0由⎩⎪⎨⎪⎧ x －y －2＝0x ＋y ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝－1． ∴直线l 过定点(1，－1)． 二、填空题7．若直线l 1：2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线l 2：mx ＋3y －2＝0平行，则m 的值为__2或－3__.[解析] 若m ＝－1，则l 1的斜率不存在，l 2的斜率为13，此时l 1与l 2不平行；若m ≠－1，则l 1的斜率为k 1＝－2m ＋1，l 2的斜率为k 2＝－m 3.因为l 1∥l 2，所以k 1＝k 2，即－2m ＋1＝－m3，解得m ＝2或－3.经检验均符合题意．8．若直线(2t －3)x ＋y ＋6＝0不经过第一象限，则t 的取值范围是__⎣⎡⎭⎫32，＋∞__. [解析] 直线方程可化为y ＝(3－2t )x －6 ∴3－2t ≤0，∴t ≥32．三、解答题9．求与直线3x －4y ＋7＝0平行，且在两坐标轴上截距之和为1的直线l 的方程. [解析] 解法一：由题意知：可设l 的方程为3x －4y ＋m ＝0 则l 在x 轴、y 轴上的截距分别为－m 3，m4．由－m 3＋m4＝1知，m ＝－12．∴直线l 的方程为：3x －4y －12＝0． 解法二：设直线方程为x a ＋yb＝1由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1，－b a ＝34. 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4b ＝－3．∴直线l 的方程为：x 4＋y－3＝1．即3x －4y －12＝0．10．(2018·武威一中高一期末)当0<a <2时，直线l 1：ax －2y ＝2a －4与l 2：2x ＋a 2y ＝2a 2＋4和两坐标轴围成一个四边形，问a 取何值时，这个四边形面积最小，并求这个最小值.[解析] 如图，由已知l 1：a (x －2)－2(y －2)＝0，l 2：2(x －2)＋a 2(y －2)＝0． ∴l 1、l 2都过定点(2,2)，且l 1在y 轴上的截距为2－a ，l 2在x 轴上的截距为a 2＋2． ∴四边形面积：S ＝12×2×(2－a )＋12×2×(2＋a 2)＝a 2－a ＋4＝(a －12)2＋154，又0<a <2，故当a ＝12时，S min ＝154．B 级 素养提升一、选择题 1．若直线y ＝－33x ＋4与直线l 垂直，则l 的倾斜角为( B ) A ．30° B ．60° C ．120°D ．150°[解析] ∵直线l 与y ＝－33x ＋4垂直，∴k l ＝3． 直线倾斜角θ的正切值tan θ＝3，故θ＝60°．2．直线ax ＋by －1＝0(ab ≠0)与两坐标轴围成的三角形的面积是( D ) A ．12abB ．12|ab |C ．12abD ．12|ab |[解析] ∵ab ≠0，∴令y ＝0，得x ＝1a令x ＝0，得y ＝1b∴三角形的面积S ＝12·1|a |·1|b |＝12|ab |．3．方程y ＝k (x ＋4)表示( C ) A ．过点(－4,0)的一切直线 B ．过点(4,0)的一切直线C ．过点(－4,0)且不垂直于x 轴的一切直线D ．过点(－4,0)且不平行于x 轴的一切直线[解析] 方程y ＝k (x ＋4)表示过点(－4,0)且斜率存在的直线，故选C ． 4．两直线mx ＋y －n ＝0与x ＋my ＋1＝0互相平行的条件是( D ) A ．m ＝1B ．m ＝±1C ．⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1n ≠－1D ．⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝1，n ≠－1，或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ≠1[解析] 根据两直线平行可得m 1＝1m ，所以m ＝±1，又两直线不可重合，所以m ＝1时，n ≠－1；m ＝－1时，n ≠1．二、填空题5．(2016～2017·合肥高一检测)已知直线l 与直线3x ＋4y －7＝0平行，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为24，则直线l 的方程为__3x ＋4y ±24＝0__.[解析] 设直线l 方程为3x ＋4y ＋b ＝0令x ＝0得y ＝－b 4； 令y ＝0得x ＝－b 3． 由条件知12·⎪⎪⎪⎪－b 4·⎪⎪⎪⎪－b 3＝24． 解之得b ＝±24．∴直线l 方程为3x ＋y ±24＝0．6．若直线(m ＋1)x ＋(m 2－m －2)y ＝m ＋1在y 轴上截距等于1，则实数m 的值__3__.[解析] 直线(m ＋1)x ＋(m 2－m －2)y ＝m ＋1的方程可化为(m ＋1)x ＋(m ＋1)(m －2)y ＝m ＋1由题意知m ＋1≠0，(m －2)y ＝1，由题意得1m －2＝1 ∴m ＝3．C 级 能力拔高1．已知直线l ：5ax －5y －a ＋3＝0.(1)求证：不论a 为何值，直线l 总经过第一象限；(2)为使直线l 不经过第一、三、四象限，求a 的取值范围．[解析] (1)将直线l 的方程整理为y －35＝a ⎝⎛⎭⎫x －15，所以l 的斜率为a ，且过定点A ⎝⎛⎭⎫15，35，而点A ⎝⎛⎭⎫15，35在第一象限，故不论a 为何值，直线l 恒过第一象限．(2)将方程化为斜截式方程：y ＝ax －a －35.要使l 经过第一、三、四象限，则⎩⎪⎨⎪⎧ a >0－a －35<0，解得a >3．2．求满足下列条件的直线方程.(1)经过点A (－1，－3)，且斜率等于直线3x ＋8y －1＝0斜率的2倍；(2)过点M (0,4)，且与两坐标轴围成三角形的周长为12．[解析] (1)因为3x ＋8y －1＝0可化为y ＝－38x ＋18所以直线3x ＋8y －1＝0的斜率为－38则所求直线的斜率k ＝2×(－38)＝－34． 又直线经过点(－1，－3)因此所求直线的方程为y ＋3＝－34(x ＋1) 即3x ＋4y ＋15＝0．(2)设直线与x 轴的交点为(a,0)因为点M (0,4)在y 轴上，所以由题意有4＋a 2＋42＋|a |＝12 解得a ＝±3所以所求直线的方程为x 3＋y 4＝1或x －3＋y 4＝1 即4x ＋3y －12＝0或4x －3y ＋12＝0．。
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前面我们学习了直线方程的五种特殊形式，请同 学们回忆一下，它们的名称各是什么？方程形式 如何？确定的条件是什么？有什么限制条件？
确定条件
一个方向向量和 一个点（x0，y 0）
已知斜率k和 一点P（x0，y0）
序号 方程名称方程形式Fra bibliotekx x0 y y 0 v1 v2
限制条件
任意直线
1 2
a b 0
概念
y
L
v (v1, v 2 )
o
x
n ( v 2 , v1 )
法向量：我们把平面上与直线L的方向向量垂直的非 零向量称为直线L的一个法向量
如图所示，直线L经过一个点M0（x0，y0）， 一个方向向量为 v (v1 , v 2 ) ， n (v 2 ,v1 ) 为一个法向量 点M （x ，y）在直线L上
讨论
方程 Ax+By+C=0表示的图形，由A、B、 C的值决定，只有A、B至少有一个不为零时， 方程 Ax+By+C=0才表示一条 直线。
应用
例1 写出下列直线的一个方向向量 ⑴ 3x—4y+1=0 ⑵ ⑶ 3y—7=0 ⑷ 2x+9=10 y=5x—3
分析
由上述推导过程可知：直线的 一个方向向量为 v ( B, A) 解（1）因为A=3，B=—4，所以一个方 向向量为（4，3） （2）（0，2） （3）（—3，0）
作业
课本第59页 A组1、2
B组1、2、3
栾城职教中心
岳彦丽
然后两边同除以4，得
3 5 y x 4 4 5 3 ，在y轴上的截距为 由此看出，L的斜率为 4 4
由下列条件，写出直线方程，并化成一般式
4 1 、经过一点A（6，—4），斜率为 3
4x+3y—12=0 y=2
2、经过B（4，2），平行与x轴的
3 、斜率是— 4 、经过点A（—2，3），直线的一个 方向向量为（1，2） 3 、—3 5、在x轴上和y轴上的截距分别是 2 6、经过两点P1（3，—2）、P2（5，—4）
点向式
点斜式
y y0 k（x x0）
k存在
3 4 5
斜截式
已知斜率k和y 轴上的截距
y=kx+b
K存在
y1≠y且 x1≠x2
已知两点（x1，y1） x x1 y y1 两点式 x 2 x1 y 2 y1 （x2，y2）
截距式
已知直线在x轴、 y轴上的截距a、b
x y 1 a b
M 0M n
v2（x—x0）+（—v1）（y—y0）=0 v2x—v1y+（v1y0—v2x0）=0 Ax+By+C=0 ，其中 A=v2，B=—v1，C=v1y0—v2x0 M0
y o
M
L
v (v1, v 2 )
x
n (v 2 ,v1 )
上述表明，平面上每一条直线 L 的方程是二 元一次方程
（4） 把直线方程化为一般式：5x—y— 3=0，一个方向向量为（1，5）
应用
直线方程的一般式与特殊式之间可 以相互转化，那么已知直线方程的一般 式，如果直线的斜率存在，则可以将一 般式化为斜截式。
例2 已知直线L的方程为3x—4y+5=0，求L的斜率和在 y轴上的截距
解：把直线L的一般式方程化为斜截式，先移项，得 4y=3x+5
Ax+By+C=0 （其中A、B不全为零） 反之，任意一个二元一次方程 Ax+By+C=0 （其中A、B不全为零）
都表示一条直线，我们把上式称为直线L的一 般式方程.
问题
1、任何一条直线的方程均为二元一次方程，那么 方程x=1如何解释呢？ 答： x=1看起来是一元一次方程，但是在平面直角 坐标系上讨论问题，应认为是关于 x 、 y 的二元一次 方程，只是y的系数为零
1 2 ，在y轴上的截距为1
x+2y—2=0
2x—y+7=0 2x—y—3=0 x+y—1=0
小结
1、本节课我们学习了直线方程的一般式， 并能运用直线方程的一般式求出直线的一 个方向向量，斜率和它在y轴上的截距
2、 直线方程的一般式与其他五种特殊 形式在一定条件下可以相互转化，在处 理直线问题的过程中，我们要灵活的选 择直线方程的各种形式，以便使问题简 化