陕西省汉中市高三数学下学期第二次教学质量检测试卷理(含解析)
【市级联考】陕西省汉中市2024届高三下学期第二次教学质量检测理科综合物理试题(基础必刷)
【市级联考】陕西省汉中市2024届高三下学期第二次教学质量检测理科综合物理试题（基础必刷）一、单项选择题（本题包含8小题，每小题4分，共32分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）(共8题)第(1)题有关量子理论及相关现象，下列说法中正确的是（ ）A．能量量子化的观点是爱因斯坦首先提出的B．在光电效应现象中，遏止电压与入射光的频率成正比C．一个处于n=4激发态的氢原子向基态跃迁时，最多能辐射出3种频率的光子D．α射线、β射线、γ射线都是波长极短的电磁波第(2)题如图所示，真空中一根绝缘轻杆两端分别固定两个带等量异种电荷的小球M、N（可看成点电荷），O点为轻杆的中点。
情境一：小球及轻杆处于静止状态；情境二：轻杆绕O点在竖直平面内逆时针匀速转动。
下列说法正确的是（ ）A．情境一中，O点的电场强度为零B．情境一中，O点与无穷远处电势相等C．情境二中，O点的磁感应强度方向垂直纸面向外D．情境二中，O点的磁感应强度方向垂直纸面向里第(3)题如图所示，真空中两个点电荷+Q1、-Q2固定在x轴上的A、B两点，其带电量Q1=4Q2，P为Q2右侧一点，且。
a、b、c为P点两侧的三点，且aP=Pb=bc。
取无穷远处电势为零，下列说法正确的是（ ）A．a、b两点场强大小相等，方向相反B．b点电势低于c点电势C．将+q沿x轴从a点移动到b点，其电势能先减小后增大D．将-q由a点静止释放，则其经过P点时动能最大第(4)题关于卢瑟福的原子核式结构模型，下列说法正确的是（ ）A．在原子中心有一很小的带负电的核B．原子的全部质量都集中在原子核里C．电子在核外不停地绕核运动D．电子绕核运动的向心力由核力提供第(5)题有些力学问题，可假想一个“虚设过程”使问题得以简化和解决。
举例如下：如图所示，四根质量都是m的均匀等长木棒，用铰链连成框架，铰链P固定在天花板上，框架竖直悬挂在空中；现在铰链Q上施一竖直向上的力F使框架保持静止，不计一切摩擦，若要求出作用力F的大小，可设想力F使铰链Q缓慢上移一微小的距离，则框架的重心将上升，因为F做的功等于框架重力势能的增加量，所以，可得。
陕西省汉中市2021届高三下学期第二次教学质量检测试题(理)
陕西省汉中市2021届高三下学期第二次教学质量检测数学试题（理）第I 卷一、选择题1．设集合}2|||{},0|{2<=<-=x x N x x x M ，则( ) A.=N M ∅ B. M N M =C.M N M =D.=N M R2．已知i 为虚数单位，复数z 满足2(1i)(1i)z +=-，则||z 为( )A.2B. 1C.21D.22A.08B.07C.02D.014．要得到函数()cos 2f x x =的图像，可以将函数()sin 2g x x =的图像( ) A.向左平移12个周期B.向右平移12个周期C.向左平移14个周期D.向右平移14个周期5．已知向量(3,2)a x =-，(1,1)b =则“1x >”是“a 与b 夹角为锐角”的( ) A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件6．我国古代名著《庄子·天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完，现将该木棍依此规律截取.如图所示的程序框图的功能就是计算截取7天后所剩木棍的长度（单位：尺），则①②③处可分别填入的是( )7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．8πB ．168π+C ．164π+D ．84π+8．已知正数x ，y 满足20350x y x y -≤⎧⎨-+≥⎩，则11()()42x yz =⋅的最小值为( )A ．1C ．116D ．1329．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与抛物线28y x =有一个公共的焦点F ，且两曲线的一个交点为P ，若|PF |＝5，则双曲线的方程为( )A. 2213x y -= B ．2213y x -= C ．2212y x -= D. 2212x y -= 10．《爸爸去哪儿》的热播引发了亲子节目的热潮，某节目制作组选取了6户家庭分配到4个村庄体验农村生活，要求将6户家庭分成4组，其中2组各有2户家庭，另外2组各有1户家庭，则不同的分配方案的总数是( )A ．216B ．420C ．720D ．108011．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为，若，ABC ∆的面积为，，则( )A ．7B ．8C ．5D ．6 12．已知函数()()133ln f x mx m x x=--+，若对任意的()4 5m ∈，，[]12 1 3x x ∈，，，恒有 ()()()12ln 33ln 3a m f x f x -->-成立，则实数a 的取值范围是()A ．37[0,]6 B ．31( ]6-∞， C ．31[,8]6 D. 37[,)6+∞ 第Ⅱ卷二、填空题 13．8(2展开式中3x 项的系数为 (用数字作答).14．已知正项等比数列{}n a 中，11a =，其前n 项和为()n S n +∈N ，且123112a a a -=，则4S = ．15.已知0,0a b >>,圆22420x y x y +-+=关于直线10ax by --=对称，则32a bab+的最小值为 .16.点M 为正方体1111ABCD A B C D -的内切球O 球面上的动点，点N 为11B C 上一点，112,NB NC DM BN =⊥，若球O 的体积为，则动点M 的轨迹的长度为 ．三、解答题 （一）必考题17. 已知二次函数2(),()f x x ax x =-∈R 的对称轴为直线2x =，数列{n a }的前n 项和c b a 、、20=++c b a 310 60=A =a()n S f n =,n +∈N .（1）求数列{n a }的通项公式；（2）设2,nn n C a n +=+∈N ，求{n C }的前n 项和n T .18． 西成高铁的开通极大地方便了汉中人民的出行.开通之前必须检测轨道中某新技术的三项不同的指标Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ是否合格.假设该新技术的指标Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ独立检测合格的概率分别为23、23、12，指标Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ检测合格分别记4分、2分、4分，若某项指标不合格，则该项指标记0分，各项指标检测结果互不影响. （1）求该新技术检测得8分的概率；（2）记该新技术的三项指标中被检测合格的个数为随机变量ξ，求ξ的分布列与数学期望.19. 如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA ⊥PD ，PA ＝PD ，AB⊥AD ，AB ＝1，AD ＝2，AC ＝CD（1）求证：PD ⊥平面PAB ；（2）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值.20． 如图,椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>长轴是圆222:4C x y +=的直径.点P 是椭圆1C 的下顶点，1l ，2l 是过点P 且互相垂直的两条直线，1l 与圆2C 相交于A ，B 两点，2l 交椭圆1C 于另一点D .（1）求椭圆1C 的方程；（2）当ABD ∆的面积取最大值时，求直线1l 的方程.21． 已知函数在[1，＋∞）上为增函数，且，x x x g ln sin 1)(+⋅=θ()πθ,0∈，m ∈R ． （1）求θ的值；（2）若()x ϕ=在[1，＋∞）上为单调函数，求的取值范围； （3）设，若在区间[1,]e 上至少存在一个，使得成立， 求的取值范围．（二）选考题22．[选修4—4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩ (其中α为参数)， 曲线2C 的方程为22(1)1x y -+=，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的极坐标方程；（2）若射线π=06θρ≥（）,与曲线1C ,2C 分别交于,A B 两点，求||AB .23．[选修4—5：不等式选讲] 已知函数()|3||2|f x x x =-++．1()ln m f x mx x x-=--()()f x g x -m 2()eh x x=0x 000()()()f x g x h x ->m（1）若不等式()|1|f x m +≥恒成立，求实数m 的最大值M ； （2）在（1）的条件下，若正数a ，b ，c 满足2a b c M ++=，求证：111a b b c+++≥．【参考答案】一、选择题：二、填空题：13.112 14.15 15.716.π5三、解答题17. 解:(1)依题意，a＝4.∴S n＝n2－4n.当n＝1时，a1＝S1＝1－4＋4＝-3；当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝2n－5.将a1带入成立, 所以a n＝2n－5；(2)由题知，c n＝225n n+-2312112(2+222)2(1+23)524-2nn n nnnT c c c c n nT n n-+=++++=+++++++-∴=+-12=24-2()nnT n n n+++-∈N所以.18. 解:(1)记“该新技术的三项指标Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ独立检测合格”分别为事件A，B，C，则P(A)＝23，P(B)＝23，P(C)＝12，所以事件“该新技术检测得分为8分”可表示为AB C.所以该新技术量化检测得分为8分的概率为P(A B C)＝P(A)P(B)P(C)＝23×13×12＝19.(2)ξ的所有可能取值为0，1，2，3.由题意结合(1)知，P(ξ＝0)＝P(A B C)＝13×13×12＝118，P(ξ＝1)＝P(A B C＋A B C＋A B C)＝23×13×12＋13×23×12＋13×13×12＝518.P(ξ＝2)＝P(AB C＋A B C＋A BC)＝23×23×12＋23×13×12＋13×23×12＝49.P(ξ＝3)＝P(ABC)＝23×23×12＝29.所以随机变量ξ的分布列为所以E(ξ)＝0×118＋1×518＋2×49＋3×29＝116.19. (1)证明: 因为平面P AD ⊥平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，AB ⊥AD ， 所以AB ⊥平面P AD ，所以AB ⊥PD .又P A ⊥PD ，AB ∩P A ＝A ，所以PD ⊥平面P AB . (2)解: 取AD 的中点O ，连接PO ，CO .因为P A ＝PD ，所以PO ⊥AD ,PO ⊂≠平面P AD ，平面P AD ⊥平面ABCD ， 所以PO ⊥平面ABCD .因为CO ⊂≠平面ABCD ，所以PO ⊥CO . 因为AC ＝CD ，所以CO ⊥AD .如图，建立空间直角坐标系O －xyz .由题意得，A (0，1，0)，B (1，1，0)，C (2，0，0)，D (0，－1，0)，P (0，0，1). 设平面PCD 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则 ⎩⎪⎨⎪⎧n ·PD →＝0，n ·PC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－y －z ＝0，2x －z ＝0，令z ＝2，则x ＝1，y ＝－2.所以n ＝(1，－2，2). 又PB →＝(1，1，－1)，所以cos〈n ，PB →〉＝n ·PB →|n ||PB →|＝－33.所以直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值为33.20.解 (1)由题意得：2222a ca abc =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩， 解得：1b =,c =C 1的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (x 0，y 0).由题意知直线l 1的斜率存在，不妨设其为k ， 则直线l 1的方程为y ＝kx －1.又圆C 2：x 2＋y 2＝4，故点O 到直线l 1的距离d ＝1k 2＋1， 所以|AB |＝24－d 2＝24k 2＋3k 2＋1. 又l 2⊥l 1，故直线l 2的方程为x ＋ky ＋k ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋ky ＋k ＝0，x 2＋4y 2＝4.消去y ，整理得(4＋k 2)x 2＋8kx ＝0， 故x 0＝－8k 4＋k 2.所以由弦长公式得|PD |＝8k 2＋14＋k 2.设△ABD 的面积为S ，则S ＝12|AB |·|PD |＝84k 2＋34＋k 2，所以S ＝324k 2＋3＋134k 2＋3≤3224k 2＋3·134k 2＋3＝161313， 当且仅当k ＝±102时取等号.所以所求直线l 1的方程为y ＝±102x －1. 21.解：（1）由题意，≥0在上恒成立，即． ∵θ∈（0，π），∴．故在上恒成立，- 只须，即，只有．结合θ∈（0，π），得； （2）由（1），()x ϕ=．所以222()mx x m x xϕ-+'=． ∵()x ϕ在其定义域内为单调函数，∴或者在[1，＋∞）恒成立． 等价于，即， 而，（）max =1，∴．等价于，即在[1，＋∞）恒成立， 而∈（0，1]，．综上，m 的取值范围是．（3）． 211()sin g x x x θ'=-+⋅[)1,+∞2sin 10sin x x θθ⋅-⋅≥sin 0θ>sin 10x θ⋅-≥[)1,+∞sin 110θ⋅-≥sin 1θ≥sin 1θ=π2θ=2ln mmx x x --220mx x m -+≥220mx x m -+≤220mx x m -+≥2(1)2m x x +≥221xm x +≥22211x x x x =++21x x+1m ≥220mx x m -+≤2(1)2m x x +≤221xm x +≤221xx +0m ≤(][),01,-∞+∞2()2ln m e F x mx x x x=---当时，，，，所以在[1，e ]上不存在一个使得成立． 当时，． 因为，所以，，所以在恒成立． 故在上单调递增，，只要， 解得故的取值范围是． 22.解:（1)由sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩得曲线1C 的普通方程为2213x y +=， 把cos ,sin x y ρθρθ==，代入22(1)1x y -+=， 化简得曲线2C 的极坐标方程为2cos ρθ= ；（2）依题意可设1(,)6A πρ,2(,)6B πρ，曲线的极坐标方程为2222sin 3ρρθ+=^ 将6πθ=,(0)ρ≥代入曲线1C 的极坐标方程得2232ρρ+=，解得1ρ=， 将6πθ=,(0)ρ≥代入曲线2C 的极坐标方程得2ρ=所以12||||AB ρρ=-= .23. (1）解：若()|1|f x m +≥恒成立，即min ()|1|f x m +≥， 由绝对值的三角不等式得|3||2||32|5x x x x -++---=≥，得()min 5f x = 即|1|5m +≤，解得64m -≤≤，所以M =4（2）证明：由（Ⅰ）知24a b c ++=，得()()4a b b c +++=所以有11111[()()]()4a b b c a b b c a b b c+=++++++++ 11(2)(22)144b c a b a b b c ++=+++=++≥ 即111a b b c +++≥ . 0m ≤[1,]x e ∈0m mx x -≤22ln <0e x x--0x 000()()()f x g x h x ->0m >22222222(())'m e mx x m e F x m x x x x -++=+-+=[1,]x e ∈220e x -≥20mx m +>(())'0F x >[1,]x e ∈()F x [1,]e max ()()4m F x F e me e ==--40m me e -->241e m e >-m 24(,)1e e +∞-。
陕西省汉中市2023届高三下学期第二次教学质量检测理科数学试题(1)
一、单选题二、多选题1.如图所示，某三棱锥的正（主）视图、俯视图、侧（左）视图均为直角三角形，则该三棱锥的体积为A．B．C．D．2. 设F为抛物线的焦点，准线为l ，O 为坐标原点，点A 在C 上，，点A 到准线l 的距离为3，则的面积为（ ）A ．2B．C ．3D．3. 已知△ABC 的平面直观图△A ′B ′C ′是边长为a 的正三角形，那么原△ABC 的面积为（ ）A．B．C．D．4. 在平面直角坐标系中，角，均以坐标原点为顶点，轴的正半轴为始边．若点在角的终边上，点在角的终边上，则（ ）A．B．C．D．5.双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则的离心率为（ ）A．B．C．D．6. 设函数是定义在上的函数，是函数的导函数，若，，为自然对数的底数，则不等式的解集是 A．B．C．D．7. 函数过点的切线方程为（ ）A．B．C ．或D ．或8. 已知菱形ABCD 的对角线AC 长为1，则=A ．4B ．2C ．1D．9. 三角函数表最早可以追溯到古希腊天文学家托勒密的著作《天文学大成》中记录的“弦表”，可以用来查询非特殊角的三角函数近似值，为天文学中很多复杂的运算提供了便利，有趣的是，很多涉及三角函数值大小比较的问题却不一定要求出准确的三角函数值，就比如下面几个选项，其中正确的是（ ）A．B．C．D．陕西省汉中市2023届高三下学期第二次教学质量检测理科数学试题(1)陕西省汉中市2023届高三下学期第二次教学质量检测理科数学试题(1)三、填空题四、解答题10. 已知函数的定义域为为奇函数，则（ ）A．函数的图象关于对称B．函数是周期函数C．D．11.已知点，若过点的直线交圆于两点，是圆上的动点，则（ ）A．的最小值为2B ．的最大值为C．的最小值为D ．当取最大值时，底边上的高所在的直线方程为12. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）A．函数的单调递增区间为B．若，，则C ．函数在区间上的最大值和最小值分别为1和D ．若函数在区间上有唯一零点，则实数的取值范围为13. 根据天文学有关知识，当且仅当一颗恒星的“赤纬”数值大于，能在扬州的夜空中看到它.下表列出了10颗恒星的“赤纬”数值：星名天狼星老人星南门二大角星织女一五车二参宿七南河三水委一参宿四赤纬现有四名学生从这10颗恒星中各随机选择1颗进行观测，其中有人能在扬州的夜空中看到观测目标，则的数学期望为___________.14. 有一种工艺品是由正三棱柱挖去一个圆锥所成， 已知正三棱柱ABC -A 1B 1C 1 的所有棱长都是2，圆锥的顶点为D ABC 的中心， 底面为D A 1B 1C 1的内切圆，则该工艺品的体积为___________.15.已知向量，若，则___________.16. 近年来，青少年视力健康状况得到各级主管部门的密切关注.2021年4月28日，教育部办公厅等十五部门联合印发《儿童青少年近视防控光明行动工作方案（2021-2025）》.某市教育主管部门对全市不同年龄段1000名学生的视力情况进行摸底抽样调查.结果如下表：(1)完成下面的列联表，并判断能否有的把握认为儿童青少年近视与年龄有关.近视不近视合计年龄7-12岁165500年龄13-18岁115合计5501000附：(2)为了进一步了解学生的学习生活习惯对学生视力的影响，现有年龄7-12岁的两名学生，年龄岁的四名学生，准备从这6名学生中选取2名学生进行电话访问，求所抽取的2名学生恰好两个年龄段各有一人的概率.17. 在中，内角的对边分别为，已知.(1)求角的大小；(2)若，且，求的面积.18. 已知曲线上的任意一点到定点的距离比它到定直线的距离少1．（Ⅰ）求曲线的方程．（Ⅱ）已知，过点作直线与曲线交于，两点．求证：直线，关于轴对称．19.如图，在三棱柱中，为边长为2的正三角形，，．(1)证明：平面平面；(2)若为的中点，求二面角的余弦值．20. 某晚报曾刊登过一则生活趣事，某市民唐某乘坐出租车时，在半途中骂骂咧咧要求司机临时停靠，打表计价结账，然后重新计价，继续前行，该市民解释说，根据经验，这样分开支付车费比一次性付费便宜一些，他的这一说法有道理吗？确实，由于出租车运价上调，有些人出行时会估计一下可能的价格，再决定是否乘坐出租车.据了解，2018年上海出租车在5时到23时之间起租价为14元/3千米，超起租里程单价为2.50元/千米，总里程超过15千米（不含15千米）部分按超起租里程单价加50%.此外，相关部门还规定了低速等候费和其他时段的计价办法，以及适合其他车型的计价办法.你乘坐过出租车吗？你会仿效那位市民唐某的做法吗？为什么？(1)根据上述情境你能提出什么数学问题？为了解决你的问题，你能否作出一些合理假设？(2)你能否根据你的假设建立数学模型，并回答你所提出的问题.21. 已知中心为坐标原点，焦点在轴上的椭圆的焦距为4，且椭圆过点.(1)求椭圆的方程；(2)若过点的直线与椭圆交于两点，，求直线的方程.。
陕西省汉中市2021届高三下学期第二次检测理科数学试题(解析版)
绝密★启用前汉中市2021届高三年级教学质量第二次检测考试理科数学学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一､选择题：本大题共12小题，每小题，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}230A x x x =-<，{}221x B x -=>，那么集合A B =（ ）A. ∅B. [3,)+∞C. (2,3)D. (0,2)答案：C先化简集合,A B 再计算交集．解：由23003x x x -<⇒<<，则{}03A x x =<< 由2212x x ->⇒>，则{}2B x x => 所以{}23A B x x ⋂=<< 故选：C2. 在复平面内，复数12,z z 对应的点关于实轴对称，112z i =+，则12z z =（ ） A. -5 B. 5C. 1-4iD. -1+4i答案：B根据对称得212z i =-，再由复数的乘法计算即可. 解：复数12,z z 对应的点关于实轴对称，112z i =+， 所以212z i =-，所以12(12)(12)145z z i i =+-=+=. 故选：B.3. 已知()1sin 3πα+=，那么cos2=α（ ） A. 79-B. 29-C.29D.79答案：D根据诱导公式可得1sin 3α=-，再利用余弦函数的倍角公式可得结果. 解：∵()1sin 3πα+=，∴1sin 3α=-，∴2217cos 212sin 1239αα⎛⎫=-=-⨯-= ⎪⎝⎭.故选：D.4. 在流行病学中，基本传染数是指每名感染者平均可传染的人数．当基本传染数高于1时，每个感染者平均会感染一个以上的人，从而导致感染这种疾病的人数呈指数级增长，当基本传染数持续低于1时，疫情才可能逐渐消散．广泛接种疫苗可以减少疾病的基本传染数．假设某种传染病的基本传染数为0R ，1个感染者在每个传染期会接触到N 个新人，这N 个人中有V 个人接种过疫苗（VN称为接种率），那么1个感染者新的传染人数为()0R N V N-．已知新冠病毒在某地的基本传染数05R =，为了使1个感染者新的传染人数不超过1，该地疫苗的接种率至少为（ ） A. 50% B. 60%C. 70%D. 80%答案：D根据已知条件可得出关于VN的不等式，由此可得出结果. 解：由题意可得()5511V N V N N ⎛⎫-=-≤ ⎪⎝⎭，解得45V N ≥，因此，该地疫苗的接种率至少为80%. 故选：D.5. 直线:0l x y a -+=，圆22:2C x y +=，则“2a =”是“l 与圆C 相切”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件答案：B根据直线与圆相切的性质可知，当直线与圆相切时，利用圆心到直线的距离等于半径可求得a ，从而可得结果.解：①当2a =时，直线方程20l x y -+=:，圆22:2C x y +=圆心为()0,0，半径r =此时圆心到直线的距离d r ===，∴直线l 与圆C 相切；②当直线l 与圆C 相切时，则圆心()0,0到直线:0l x y a -+=的距离22a d ==，∴2a =±.综上，2a =是l 与圆C 相切的充分不必要条件. 故选：B . 6. 已知0.2 1.221log ,2,0.55a b c -===，则（ ） A. b a c << B. b c a << C. c a b << D. a b c <<答案：D根据对数函数的单调性、指数函数的单调性确定正确选项. 解：221log log 105a =<=， 1.2 1.20.52c -==，0.2 1.2022<<，所以a b c <<. 故选：D7. 如图，网格纸上每个小正方形的边长均为1，粗线画的是某几何体的三视图，则此几何体的表面积为（ ）A. 42B. 442+C. 82+D. 862+答案：C由三视图还原几何体为以正方体的一个顶点为顶点，对应侧面为底面的四棱锥，进而求几何体表面积即可. 解：由三视图知：几何体为如下图示的四棱锥11B CDD C -，且11112BC CD DD D C CC =====，BC ⊥面11CDD C .∴122BD BC ==123BD = 则几何体的表面积1111114222222842CDD C BCDBDD BCC BD C S S S SSS=++++=+++=+.故选：C.8. 在直三棱柱111ABC A B C -中，156,8,10AA AB BC AC ====，，则该三棱柱内能放置的最大球的表面积是（ ） A. 9π B. 16πC. 24πD. 25π答案：B先由题意可得球的半径为底面三角形内切圆的半径r ，易得2r ，又12AA r <，可得该三棱柱内能放置的最大球半径为2，最后由球的表面积计算公式计算即可. 解：由题意，球的半径为底面三角形内切圆的半径r ， ∵底面三角形的边长分别为6、8、10， ∴底面三角形为直角三角形，6810222AB BC AC r +-+-===，又∵15AA =，522<， ∴该三棱柱内能放置的最大球半径为2， 此时2244216S r πππ==⨯=表面积. 故选：B .点评：关键点点睛：解题关键是得出所求球的半径为直三棱柱底面三角形内切圆的半径r ，继而进行分析计算.9. 已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，过点2F 作倾斜角为θ的直线l 交双曲线C 的右支于A 、B 两点，其中点A 在第一象限，且1cos 4θ=-．若1AB AF =，则双曲线C 的离心率为（ ） A. 4 B. 15C. 2D.32答案：D本题首先可根据题意绘出图像，然后根据双曲线的定义得出22BF a =、14BF a =，最后通过余弦定理得出23c a =，通过离心率计算公式即可得出结果. 解：如图，结合题意绘出图像：因为1AB AF =，122AF AF a -=，22AB AF BF =+， 所以22122BF AB AF AF AF a =-=-=，1224BF BF a a =+=， 因为122F F c =，211cos cos θ4BF F ， 所以由余弦定理可得22222414222c a ac a，化简得23c a =，则32c e a ==. 故选：D.点评：关键点点睛：本题考查双曲线离心率的计算，考查双曲线的定义的灵活应用，双曲线的定义为动点到两个定点的距离之差为一个固定的常数，考查余弦定理的应用，是中档题.10. 已知函数()sin cos (0)f x x x ωωω=+>在区间23ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上是增函数，且在区间[]0,π上存在唯一的0x 使得0()2f x =，则ω的取值可能为（ ）A.15B.13C.45D. 2答案：B利用正弦函数的单调性可得ω的取值范围；又根据在区间[]0,π上存在唯一的0x 使得0()f x =，即取得最大值，从而可得ω的取值范围.取交集可得ω的取值范围.即可求得结果.解：函数()()sin cos 04f x x x x πωωωω⎛⎫=+=+> ⎪⎝⎭在区间23ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上是增函数，∴2242k πππωπ⎛⎫-≥-+ ⎪⎝⎭+，2342k πππωπ⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭+，k Z ∈，解得364k ω≤+，k Z ∈；当[]0,x π∈时，,444x πππωωπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦++，因为存在唯一的0x 使得0()f x = 所以5242πππωπ≤<+，解得1944ω≤<. 综上可得1344ω≤≤. 结合选项，可得ω的取值可能为13. 故选：B.点评：本题的核心是进行整体换元，首先根据函数在区间上的单调性，同时根据正弦函数sin y x =的单调递增区间是2222k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，可得ω的一个取值范围；然后根据在区间上取得唯一最值，先使用整体换元确定4x πω+的范围，再根据有唯一最大值，确定区间端点的取值范围.最终可得所求结果.整体换元思路在三角函数的图象与性质中，尤其是单调性、对称轴和最值中应用是很广泛的，也是考试的一个常考点. 11. 根据《医养在汉中发展规划(2020—2030年)》，汉中市聚焦打造“真美汉中，康养福地”特色品牌，着力发展“医养融合”､“健康旅游”､“健康运动”､“中医药”､“健康食品”5大医养支柱产业.现安排5名调研员赴北京､上海､广州进行交流学习，每个城市至少去1人，则恰好有2名调研员去北京的概率为（ ） A.215B.15C.25D.35答案：C首先求出基本事件的总数，再求出恰好有2名调研员去北京所包含的基本事件的个数，由此可得结果.解：根据题意得，基本事件总数221335315322150C C C n C A A ⎛⎫=+⋅= ⎪⎝⎭， 恰好有2名调研员去北京包含的基本事件个数225360m C A ==，所以恰好有2名调研员去北京的概率为6021505m p n ===. 故选：C.12. 设实数0t >，若不等式ln 0txxe t-≥对于任意()0,x ∈+∞恒成立，则t 的取值范围为（ ） A. 1[,)e+∞ B. 10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 1[,)2e+∞ D. 10,2e ⎛⎤ ⎥⎝⎦答案：A先对不等式ln 0txxe t-≥进行变形整理可得ln ln ln tx x txe x x x e ≥=⋅，观察不等式左右两侧发现可以构造函数()(0)x F x xe x =>，根据函数的单调性可解不等式得到ln tx x ≥，将问题转化为maxln x t x ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，进一步构造函数，根据函数的单调性可得结果. 解：∵ln 0txxe t-≥，且0t >，∴ln 0tx te x -≥， 而()0,x ∈+∞，所以有ln tx txe x x ≥，即ln ln tx x txe x e ≥⋅， 构造函数()(0)xF x xe x =>，则()()10xF x x e '=+>，故()F x 在0,上单调递增，故ln tx x ≥，即ln xt x≥， 问题转化为maxln x t x ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，()0,x ∈+∞， 令ln ()xh x x =，则21ln ()x h x x -'=， 令()0h x '>，解得0x e <<，令()0h x '<，解得x e >， 所以()h x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减， 所以max ln 1()()e h x h e e e===， 所以1≥t e. 故选：A.点评：函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.二､填空题：本大题共4小题，每小题，共20分.13. 已知向量()2,1a =，(1,1)b =-，若()a b b λ+⊥，则实数λ=_____． 答案：2-根据向量垂直的坐标公式，即可求得结果． 解：由题知，(12,1)a b λλλ+=+-， 因为()a b b λ+⊥，所以1210λλ+-+=， 解得2λ=- 故答案为：2-．14.ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知3C π=，2b =，c =B =___________.答案：4π根据正弦定理可得sin B =，又由b c <得3B C π<=，即可求得结果.解：由正弦定理得sin sin b c B C =，而3C π=，2b =，c =，所以2sin sin3B =，解得sin B ，因为0B π<<，所以4B π=或34π，又因为2b =，c b c <，所以3B C π<=，所以4B π=.故答案为：4π. 15. 已知F 为抛物线C ：24y x =的焦点，过F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，直线1l 与C 交于A 、B 两点，直线2l 与C 交于D 、E 两点，则11||||AB DE +的值为_______．答案：14由题意可设1l ：1(1)y k x =-，2l ：2(1)y k x =-，联立抛物线方程，若11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)D x y ，44(,)E x y 可得12x x +、34x x +，结合抛物线的定义写出||AB 、||DE ，根据垂直关系即可求11||||AB DE +. 解：由题设，知：(1,0)F ，且1l ，2l 的斜率一定存在，可令1l ：1(1)y k x =-，2l ：2(1)y k x =-，11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)D x y ，44(,)E x y 将它们联立抛物线方程，∴12(1)4y k x y x =-⎧⎨=⎩，整理得22221112(2)0k x k x k -++=，显然218160k ∆=+>，则2112212(2)k x x k ++=，即由抛物线定义知：2112214(1)||2k AB x x k +=++=， 22(1)4y k x y x =-⎧⎨=⎩，整理得22222222(2)0k x k x k -++=，显然228160k ∆=+>，则2234222(2)k x x k ++=，即由抛物线定义知：2234224(1)||2k DE x x k +=++=， ∵121k k =-，有2221224(1)||4(1)k DE k k +==+， ∴2122111114(1)4(1)41||||A D k B k k E +=+++=. 故答案为：14. 点评：关键点点睛：根据直线、抛物线的位置关系，应用韦达定理并结合抛物线定义求相交弦的弦长. 16. 牛顿选代法又称牛顿—拉夫逊方法，它是牛顿在17世纪提出的一种在实数集上近似求解方程根的一种方法．具体步骤如下：设r 是函数()y f x ＝的一个零点，任意选取0x 作为r 的初始近似值，过点()()00,x f x 作曲线()y f x ＝的切线1l ，设1l 与x 轴交点的横坐标为1x ，并称1x 为r 的1次近似值；过点()()11x f x ，作曲线()y f x ＝的切线2l ，设2l 与x 轴交点的横坐标为2x ，称2x 为r 的2次近似值．一般的，过点()()(),nnx f x n N ∈作曲线()y f x ＝的切线1n l+，记1n l +与x 轴交点的横坐标为1n x +，并称1n x +为r 的1n +次近似值．设()31f x x x =+-(0)x ≥的零点为r ，取00x ＝，则r 的2次近似值为_____；设33321n n n n x x a x +=+，*,n N ∈数列{}n a 的前n 项积为n T ．若任意*,n n N T λ∈＜恒成立，则整数λ的最小值为_____． 答案： (1). 34(2). 2（1）对函数求导，依次求出切点、斜率、斜线方程，即可得出结果.（2）由（1）可得3122131n n n x x x ++=+，进而可得11n n n x x a +=，11n n T x +=<λ，即可得出结果. 解：（1）32()1,'()31f x x x f x x =+-=+000,()1,'(0)1x f x f ==-=，所以1:(1)1l y x y x --=⇒=-当101,(1)1,'(1)4y x f f =⇒===，所以2:14(1)43l y x y x -=-⇒=- 当2304y x =⇒=（2）32()1,'()31n n n n n f x x x f x x =+-=+33211221:(1)(3+1)()31n n n n n n n x l y x x x x x x x ++-+-=-⇒=+ 2132113n n n n n nx x x x x a ++∴==+1211113211·······n n n n n n n n x x x x T a a a x x x x x λ--++∴===< 因为11111()0,(1)011222n n f f x x ++<>⇒<<⇒<< 所以，λ为整数， min 2λ= 故答案为：34；2 点评：关键点点睛：由3122131n n n x x x ++=+和33321n nn n x x a x +=+，观察得出11n n n x x a +=是本题的关键.本题考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于一般题目.三､解答题：共70分.解答题写出文字说明､证明过程和演算步骤.第17~21题是必考题，每个考生都必须作答.第22､23题是选考题，考生根据要求作答.17. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且59a =，525S =． （1）求数列{}n a 的通项公式n a ；（2）若12nn n b a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 答案：（1）21n a n =-；（2）2112nn T n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭+．（1）用1a 和公差d 表示出55,a S ，求出1,a d 后可得通项公式； （2）用分组求和法计算．解：解：（1）设{}n a 的公差为d ，则由题意得1149545252a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，解得：1a 1,d 2． {}n a 的通项公式为()()1112121n a a n d n n =+-=+-=-，即21n a n =-．（2）由（1）知{}n a 的前n 项和为()()1212122n n n a a n n S n ++-=== 又数列12n ⎧⎫⎪⎪⎛⎫⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭的前n 项和为：11122111212nn ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=- ⎪⎝⎭-故211.2nn T n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭+点评：本题考查求等差数列的通项公式，裂项相消法求和．数列求和的常用方法： 设数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，（1）公式法：等差数列或等比数列的求和直接应用公式求和； （2）错位相减法：数列{}n n a b 的前n 项和应用错位相减法； （3）裂项相消法；数列1{}n n ka a +（k 为常数，0n a ≠）的前n 项和用裂项相消法；（4）分组（并项）求和法：数列{}n n pa qb +用分组求和法，如果数列中的项出现正负相间等特征时可能用并项求和法；（5）倒序相加法：满足m n m a a A -+=（A 为常数）的数列，需用倒序相加法求和．18. 如图：在四棱台1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，1111AA A B ==，120BAD ∠=︒，1AA ⊥平面ABCD .（1）E 是棱AD 的中点，求证：1//B E 平面11CDD C ；（2）试问棱AD 上是否存在点M ，使得二面角111M A B D --的余弦值为217？若存在，求点M 的位置；若不存在，请说明理由.答案：（1）证明见解析；（2）存在，M 为AD 边的中点.（1）利用线面平行的判定定理证得1//B E 平面11CDD C .（2）建立空间直角坐标系，设(0,,0)M t ，利用二面角111M A B D --的余弦值列方程，解方程求得t 的值，由此确定M 点的位置.解：（1）证明：连1DC ，由11//B C AD ，E 是棱AD 的中点， 得，11//B C DE 且11=E B C D故四边形11B EDC 为平行四边形.所以11//B E C D ， 又1C D ⊂平面11CDD C ，1B E ⊂/平面11CDD C ， 所以1//B E 平面11CDD C ，（2）假设M 点存在，取BC 中点G ，因为底面ABCD 是菱形，120BAD ∠=︒，所以AG BC ⊥，AG AD ⊥，又1AA ⊥面ABCD ，所以AG ，AD ，1AA 两两互相垂直.以A 为坐标原点，AG ，AD ，1AA 为正方向建立空间直角坐标系A xyz -.由2AB =，得3AG =，设(0,,0)M t ，其中[0,2]t ∈.1(0,0,1)A，131,,122B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，()10,,1A M t =-，1131,,022A B ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭.设()1,,n x y z =为平面11MA B 的一个法向量，则1111100n A B n A M ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即31022x y ty z ⎧-=⎪⎨⎪-=⎩可取()11,3,3t n =. 易知平面111A B D 一个法向量为()20,0,1n =由1212212321cos ,7133n n n n n n t t ==+⋅=+，得1t =， 故M 为AD 边的中点.点评：已知二面角求参数，可利用二面角的余弦值列方程，解方程求得参数的值.19. 为贯彻高中育人方式的变革，某省推出新的高考方案是“312++”模式，“3”是语文､数学､外语三科必选，“1”是在物理和历史两科中选择一科，“2”是在化学､生物､政治､地理四科中选择两科作为高考科目.某学校为做好选课走班教学，结合本校实际情况，给出四种可供选择的组合进行模拟选课，组合A ：物理､化学､生物；组合B ：物理､生物､地理；组合C ：历史､政治､地理；组合D ：历史､生物､地理.在本校选取100名学生进行模拟选课，每名同学只能选一个组合，选课数据统计如下表：(频率可以近似看成概率) 组合组合A组合B组合C组合D（1）求表格中的a 和b ；（2）根据模拟选课数据，估计已知某同学选择地理的条件下，在“1”中选择物理的概率；（3）甲､乙､丙三位同学每人选课是相互独立的，设X 为三人中选择含地理组合的人数，求X 的分布列和数学期望.答案：（1）10a =，0.2b =；（2）16；（3）分布列见解析，()95E X =.（1）根据表中数据以及样本容量为100即可求解a 和b 的值； （2）由条件概率的计算公式即可求解；（3）X 的所有可能取值为0，1，2，3，分别求出对应的概率，即可求出分布列，利用数学期望公式可得其数学期望.解：（1）()10040302010a =-++=，200.2100b ==； （2）记事件A ：某同学选择地理，B ：某同学“1”中选物理， 则根据条件概率公式有：()()0.11()0.66P P B B A A A P ===；（3）每位同学选含地理组合的概率为0.6，{}0,1,2,3X ∈，0033338(0)()(1)55125p X C ==-=，11233336(1)()(1)55125p X C ==-=，22133354(2)()(1)55125p X C ==-=，333327(3)()5125p X C ===，所以X 的分布列如下：()01231251251251255E X =⨯+⨯+⨯+⨯=·20. 已知椭圆E ：()22221,0x y a b a b+=>>的短轴长为2，离心率为2，左顶点为A ． （1）求椭圆E 的标准方程；（2）若不与x 轴平行的直线l 交椭圆E 于,P Q 两点，试问：在x 轴上是否存在定点M ，当直线l 过点M 时，恒有AP AQ ⊥，若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．答案：（1）2214x y +=；（2）存在；6,05M -⎛⎫ ⎪⎝⎭．（1）根据椭圆的简单几何性质以及题意可得，22,c b e a ===，再由222a b c =+即可解出,a b ，得到椭圆E 的标准方程；（2）方法一：假设存在x 轴上的点(),0M t ()()2,2t ∈-满足题意，由特殊情况l 斜率不存在时求得点M 的坐标为6,05⎛⎫-⎪⎝⎭，当l 斜率存在时，设直线6:5l x my =-，证得AP AQ ⊥，即可判断出在x 轴上存在定点6,05M -⎛⎫⎪⎝⎭，当直线l 过点M 时，恒有AP AQ ⊥． 方法二：假设存在点(),0M t 满足条件，由题可设直线:l x my t =+，联立直线方程和椭圆方程，由0AP AQ ⋅=即可解出t ，从而判断出在x 轴上存在定点6,05M -⎛⎫⎪⎝⎭，当直线l 过点M 时，恒有AP AQ ⊥．解：（1）由题得22,1b b =∴=，又由c e a ===== 得2a =，所以椭圆方程为2214x y +=．（2）方法一：假设存在x 轴上的点(),0M t 满足题意，则()2,2t ∈-，由（1）()2,0A -①当l 斜率不存在时，易得,,,P t Q t ⎛⎛ ⎝⎝由AP AQ ⊥得，,0AP AQ AP AQ ⊥∴⋅=，即2,0t t ⎛⎛+⋅+= ⎝⎝．解得65t =-或2t =-（舍去），即点M 的坐标为6,05⎛⎫- ⎪⎝⎭． ②当l 斜率存在时，由①无妨设直线()()11226:,,,,,5l x my P x y Q x y =-由()22226126454052514x my m y my x y ⎧=-⎪⎪⇒+--=⎨⎪+=⎪⎩， ()()1212221264,.54254m y y y y m m -∴+==++ ()()()112212121212662,2,(2)22255AP AQ x y x y x x y y my my y y ⎛⎫⎛⎫∴⋅=+⋅+=+++=-+-++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()()222212121226448164644160525254m m m m y y m y y y y m -+++-=++++==+ AP AQ ∴⊥，即AP AQ ⊥综上，在x 轴上存在定点6,05M -⎛⎫ ⎪⎝⎭，当直线l 过点M 时，恒有AP AQ ⊥．（2）解法二：假设存在点(),0M t 满足条件，由题可设直线:.l x my t =+设()()1122,,,,P x y Q x y 由()22222+424014x my t m y mty t x y =⎧⎪⇒+++-=⎨+=⎪⎩， 212122224,.44mt t y y y y m m --∴+==++()()()()()1122121212122,2,(2)222AP AQ x y x y x x y y my t my t y y ∴⋅=+⋅+=+++=+++++()()()22121212220m y y t m y y t y y =++++++=即：()()()()222222242224404m t m t t t m t m --+++++-=+化简得：2516120t t ++=，解得65t =-或2t =-（舍去） 所以在x 轴上存在定点6,05M -⎛⎫⎪⎝⎭，当直线l 过点M 时，恒有AP AQ ⊥．点评：方法点睛：定点问题的求法一般有两种，一是必要性探路，由特殊位置求出定点坐标，再证明其它位置也满足题意；二是直接利用题目条件列式，转化为含参的方程有无数个解的问题，根据系数为零从而解出或者直接解出． 21. 已知函数2()ln 2a f x x x =+，()(1)g x a x =+. （1）若1a =-，求()f x 的最大值；（2）若函数()()()h x f x g x =-，讨论()h x 的单调性；（3）若函数()()()m x f x g x x =-+有两个极值点1x ，2x （12x x <），求证：()()12ln 2am x m x a -<-. 答案：（1）12-；（2）答案见解析；（3）证明见解析.（1）代入a 的值，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，进而求出函数的最大值即可； （2）首先对函数()h x 进行求导，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间即可；（3）首先根据函数有两个极值点得一元二次方程有两根，进而可得判别式、根与系数的关系，所以可以得两极值点1x ，2x 的关系121=x x a ，及极值点1x 的取值范围10x <<()()12m x m x -关于极值点1x 的表达式，构造函数，根据函数的单调性证明结论成立即可.解：（1）当1a =-时，21()x f x x-'=，()0,x ∈+∞，当()0,1∈x 时，()0f x '>，∴()f x 单调递增， 当(1,)x ∈+∞时，()0f x '<，∴()f x 单调递减， 所以()f x 的最大值为1(1)2f =-； （2）由已知得2()()()ln (1)2a h x f x g x x x a x -=-=++，()0,x ∈+∞， ()()2111(1)(1)()1ax a x ax x h x ax a x x x-++--'=+-+==. ①当0a ≤时，由()0,x ∈+∞得10ax所以当()0,1∈x 时，()0h x '>，()h x 单调递增， 当(1,)x ∈+∞时，()0h x '<，()h x 单调递；②当1a =时，()0h x '≥，所以当(0,)x ∈+∞时，()h x 单调递增； ③当01a <<时，由(1)(1)()0ax x h x x--'==，得1x =或11xa，所以当()0,1∈x 与1,x a ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()0h x '>，()h x 单调递增， 当11,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '<，()h x 单调递减；④当1a >时，由(1)(1)()0ax x h x x--'==，得1x =或11x a =<，因而当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭与(1,)x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增，当1,1x a ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()0h x '<，()h x 单调递减. 综上所述，当0a ≤时，()h x 0,1上单调递增，在(1,)+∞上单调递减；当01a <<时，()h x 在0,1与1,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增，在11,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减；当1a =时，()h x 在(0,)+∞上单调递增；当1a >时，()h x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭与(1,)+∞上单调递增，在1,1a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减. （3）证明：2()ln 2a m x x x ax =+-，则()m x 的定义域为(0,)+∞， 21()ax ax m x x'-+=， 若()m x 有两个极值点1x ，2x （12x x <），则方程210ax ax -+=的判别式240a a ∆=->，且121x x =+，1210x x a=>，4a >， 又∵12x x <，∴21121x x x a <=，即10x << ()()()()22121111111ln ln 112a m x m x x x x a x x ax ⎛⎫⎡⎤⎡⎤-=+---- ⎪⎣⎦⎣-⎦⎝⎭-()111ln ln 2ax ax ax =++-， 设()ln ln()2ap t t at at =++-，其中1t x ⎛=∈ ⎝， 由2()0p t a t'=-=得2t a =，由于20a =<，即2a < ∴()p t 在20,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在2a ⎛ ⎝上单调递减， 即()p t 的最大值为()22ln 21ln ln 22a a p a a a ⎛⎫=-+-<- ⎪⎝⎭， 从而()()12ln 2am x m x a -<-成立. 点评：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系； （2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数； （3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题； （4）考查数形结合思想的应用.22. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为1cos sin x y αα=+⎧⎪⎨=⎪⎩(α为参数)，直线l 过原点O ，倾斜角为0θ，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系． （1）求直线l 和曲线C 的极坐标方程； （2）当0,63ππθ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，设直线l 与曲线C 相交于M ，N 两点，求OM ON +的取值范围． 答案：（1）0()R θθρ=∈；22cos sin 30ρρθθ--+=；（2）()．（1）将曲线C 的参数方程，消去α得到普通方程，然后将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入普通方程求解. （2）将0θθ=代入曲线C的极坐标方程，得到2002cos sin 30ρρθθ--+=，结合韦达定理，由120002cos 4sin 6OM ON πρρθθθ⎛⎫+=+=+=+ ⎪⎝⎭，利用三角函数性质求解.解：（1）直线l 极坐标方程：0()R θθρ=∈曲线C的参数方程为1cos sin x y αα=+⎧⎪⎨=⎪⎩(α为参数)，消去α，得()(2211x y -+-=，即22230x y x +--+=，将cos x ρθ=，sin y ρθ=，代入上式得 曲线C的极坐标方程：22cos sin 30ρρθθ--+=（2）将0θθ=代入曲线C的极坐标方程，得2002cos sin 30ρρθθ--+=． 设()10,M ρθ，()20,N ρθ，则12002cos ρρθθ+=+，∴120002cos 4sin 6OM ON πρρθθθ⎛⎫+=+=+=+⎪⎝⎭， ∵0,63ππθ⎛⎫∈⎪⎝⎭，∴0,632πππθ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，∴04sin 4)6πθ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭．∴OM ON +的取值范围为()． 23. 已知函数()413f x x x =-+--． （1）解不等式()1f x ≤；（2）方程()20f x kx +-=解集非空，求k 的取值范围． 答案：（1）1922x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭；（2）()1,2,2⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭．（1）先根据绝对值定义将不等式化为三个不等式组，分别求解，最后求并集， （2）先将函数化为分段函数，而动直线过定点，结合图像可得k 的取值范围. 解：（1）不等式()1f x ≤，即1431x x -+--≤所以1221x x ≤⎧⎨-≤⎩或1401x <<⎧⎨≤⎩或4281x x ≥⎧⎨-≤⎩解得112x ≤≤或14x <<或942x ≤≤所以不等式()1f x ≤的解集为：1922x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭ （2）方程()20fx kx +-=解集非空等价于114kx x x +=-+-有解，即函数1y kx =+和函数14y x x =-+-的图像有交点，52114314254x x y x x x x x -≤⎧⎪=-+-=<<⎨⎪-≥⎩画出14y x x =-+-的图像，直线1y kx =+恒过点()0,1P ，即直线1y kx =+绕点P 旋转时，与函数图象14y x x =-+-有交点时斜率的取值范围，如图，当直线1y kx =+过点B 时刚好满足条件，当旋转到斜率为2-，刚好不满足条件，∵12BP k =∴k 的取值范围为()1,2,2⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭点评：本题考查解含绝对值的不等式和解决不等式有解问题，解题的关键是利用数形结合转化为图像有交点，属于中档题.。
陕西省高三数学下学期教学质量检测试卷(二)理(含解析)
陕西省2016届高三数学下学期教学质量检测试卷（二）理（含解析）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．设集合132M xx ⎧⎫=≤<⎨⎬⎩⎭，函数()()ln 1f x x =-的定义域为N ，则M N I 为（ ） A ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D 【解析】考点：集合的交集运算.2．已知命题3:,log 0p x R x ∃∈≥，则（ ） A ．3:,log 0p x R x ⌝∀∈< B ．3:,log 0p x R x ⌝∃∈≤ C ．3:,log 0p x R x ⌝∀∈≤D ．3:,log 0p x R x ⌝∃∈<【答案】A 【解析】试题分析：由含有一个量词的命题的否定可知存在性命题的否定是全称命题,故应选A. 考点：含有一个量词的命题的否定.3．若1tan 2α=，则44sin cos αα-的值为（ ） A ．15- B ．15C ．35D ．35-【答案】D 【解析】试题分析：因44sin cos αα-531tan 1tan cos sin 2222-=+-=-=αααα,故应选D. 考点：同角三角函数的关系及运用.4．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ．若321510,9S a a a =+=，则1a =（ ） A ．19B ．19-C ．13D ．13-【答案】A 【解析】考点：等比数列的通项与前n 项和公式及运用.5．某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是（ ） A ．28πB ．32πC ．36πD ．40π【答案】C 【解析】试题分析：由三视图所提供的信息可知该几何体是一个圆台和圆柱的组合体,故其体积πππ363)42164(3124=⨯⨯+++⨯=V ,应选C.考点：三视图及圆柱圆台的体积的计算.6．将除颜色外完全相同的一个白球、一个黄球、两个红球分给三个小朋友，且每个小朋友至少分得一个球的分法有（ ）种 A ．15B ．21C ．18D ．24【答案】B 【解析】试题分析：将四个小球分成)1,1,2(组,其中2个球分给一个小朋友的分法有(红红),(红白),(红黄),(白黄)四种. 若(红红),(红白),(红黄)分给其中一个小朋友,则剩下的分给其余两个小朋友,共有183322=⨯⨯A 种;若(黄白)分给其中的一个小朋友,则剩下的分给其余两个小朋友,只有一种分法,共有331=⨯种.由分类计数原理可得所有分法种数为21318=+,应选B.考点：两个计数原理和排列组组合数公式的运用.7．若抛物线2:C y x =的焦点为F ，()00,A x y 是C 上一点，054AF x =，则0x =（ ）A ．1B ．2C ．4D ．8【答案】A 【解析】考点：抛物线的定义与几何性质.8．如果执行如图所示的框图，输入5N =，则输出的数S 等于（ ） A ．54B ．56C ．65D ．67【答案】B 【解析】试题分析：因656116151514141313121211=-=-+-+-+-+-=S ,故应选B. 考点：算法流程图的识读和理解.9．曲线13x y e =在点()26,e 处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为（ ） A ．232eB ．23eC ．26eD ．29e【答案】A 【解析】试题分析：因x e y 31/31=,故切线的斜率231e k =,切线方程)6(3122-=-x e e y ,令0=x 得2e y -=;令0=y 得3=x ,故围成的三角形的面积为2223||321e e S =-⨯⨯=,应选A. 考点：导数的几何意义及运用.【易错点晴】导数是研究函数的单调性和极值问题的重要工具,也高考和各级各类考试的重要内容和考点.解答本题时要充分利用题设中提供的有关信息,先运用求导法则求函数13x y e =的导数,借助导数的几何意义求出切线的斜率231e k =,再运用点斜式方程写出切线的方程为)6(3122-=-x e e y .最后再求出它在坐标轴上的截距,借助三角形的面积公式求出三角形的面积为232e ,从而使得问题获解.10．已知函数()()()sin 0,0,0f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的部分图象如图所示，且()1,0,3f παα⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，则5cos 26πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．13B ．3±C ．3D ．【答案】D 【解析】考点：三角函数的图象和性质及两角和的余弦公式的综合运用.【易错点晴】三角函数的图象和性质是高中数学中重要内容,也高考和各级各类考试的重要内容和考点.本题以三角函数的图象和性质为背景设置了一道求函数解析表达式为()()()sin 0,0,0f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的函数,要求确定其中的未知参数ϕω,,A 的值,然后再在1)(=αf 的条件下求)652cos(πα+的值.体现了三角函数的图象和性质及三角变换等有关知识的运用价值.解答过程中先求ϕω,,A 的值,求解过程中腰充分利用题设中提供的图形信息和数据等有关信息,逐一进行推理和判断,从而求出ϕω,,A 的值进而使得问题获解.11．定义在(),-∞+∞上的偶函数()f x ，对于[)()1212,0,x x x x ∀∈+∞≠，有()()21210f x f x x x -<-，则（ ）A ．()()()213f f f -<<B ．()()()321f f f <-<C ．()()()312f f f <<D ．()()()123f f f <-<【答案】B考点：函数的基本性质及运用.12．若直线12:,:2l y x l y x ==+与圆22:220C x y mx ny +--=的四个交点把圆C 分成的四条弧长相等，则m =（ ） A ．0B ．0或1C ．0或1-D ．1或1- 【答案】C 【解析】试题分析：因圆心为),(n m C ,半径22n m r +=,由题设r n m n m d 222|2|2||=+-=-=,故⎩⎨⎧=-=⇒⎩⎨⎧==+-⇒⎪⎩⎪⎨⎧+=-=+-+-01001||0222n m mn n m nm n m n m n m 或⎩⎨⎧==10n m ,所以0=m 或1-,应选C.考点：直线与圆的位置关系及综合运用.【易错点晴】直线和圆的位置关系是高中数学中重要内容,也高考和各级各类考试的重要内容和考点.本题以两条平行直线与圆的位置关系为背景,设置了一道求圆方程中的参数m 的值的问题.求解时充分借助题设条件“四个交点将圆分成的四条弧长相等”,依据弦心距与圆的半径弦长之间的数量关系巧妙建立方程组⎪⎩⎪⎨⎧+=-=+-+-22||02nm n m n m n m ,最后通过解方程组求出参数0=m 或1-,使得问题简捷巧妙获解.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．） 13．()0cos x x dx π+=⎰______．【答案】22π考点：定积分计算公式的运用．14．已知单位向量12,e e 的夹角为60︒，则向量12+e e 与212-e e 的夹角为______． 【答案】23π 【解析】试题分析：因360cos 112)(0221=⨯+=+e e ,360cos 225)2(0221=⨯-=-e e 故232121)2()(2121-=--=-⋅+e e e e ,即23cos 33-=⨯θ,也即21cos -=θ,所以32πθ=,应填32π. 考点：向量的数量积等有关知识的综合运用．15．若不等式()228a b b a b λ+≥+对任意的实数,a b 均成立，则实数λ的取值范围为______． 【答案】[]8,4- 【解析】试题分析：由已知可得0)8(22≥-+-b ab a λλ,若0=b ,则02≥a 恒成立；若0≠b ,对不等式两边同除以2b 可得08)(2≥-+-λλbaba 恒成立,故0)8(42≤--λλ,解之得48≤≤-λ,故应填[]8,4-.考点：二次不等式及二次方程的判别式等知识的综合运用．【易错点晴】表面上看本题是含两个变量b a ,的二元二次不等式恒成立问题,但是通过分类讨论也等价转化为以ba为变量的一元二次不等式恒成立的问题.解答这个不等式恒成立问题时,运用了二次函数的图象和性质,借助二次函数的图象运用二次方程的判别式小于等于零这一最为简单最为容易的知识点建立了关于λ的不等式0)8(42≤--λλ,最后通过解这一元二次不等式求出了48≤≤-λ点.使得本题巧妙获解.16．已知F 是双曲线22:18y C x -=的右焦点．若P 是C 的左支上一点，()0,66A 是y 轴上一点，则APF ∆周长的最小值为______． 【答案】32 【解析】考点：双曲线的几何性质等有关知识的综合运用．【易错点晴】双曲线是圆锥曲线的重要代表曲线之一,也高考和各级各类考试的重要内容和考点.解答本题时要充分利用题设中提供的有关信息,运用双曲线的几何性质和题设中的条件将问题转化为/PF AP +,再的最小值问题,然后借助取到最小值的条件是/,,F P A 三点共线,运用三点当/,,F P A 共线求出点P 圆心到的坐标为)62,2(-P .再应用两点间距离公式求三角形的两边10,7==PA PF ,最后算得三角形的周长的最小值为32.借助双曲线的定义进行转化是解答好本题的关键.三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对分别为,,a b c ．已知33,3a c b +==． （Ⅰ）求cos B 的最小值；（Ⅱ）若3BA BC ⋅=u u u r u u u r，求A 的大小．【答案】(Ⅰ)13；(Ⅱ)2A π=或6A π=. 【解析】试题分析：(Ⅰ)借助题设条件运用余弦定理和基本不等式求解；(Ⅱ)借助题设条件运用向量的数量积公式和正弦定理求解. 试题解析：（Ⅱ）∵3BA BC ⋅=u u u r u u u r，∴cos 3a B =．由（Ⅰ）中可得9cos 1B ac=-． ∴1cos 2B =．……………………………………………………………………………………………………8分 ∴6ac =．由33a c +=6ac =可解得， 3a =3a =10分∴由正弦定理sin sin a bA B=可得， 当3a =233sin sin 132a A B b ===．∴2A π=． 同理，当3a =6A π=．…………………………………………………………………………12分考点：基本不等式、正弦定理和余弦定理等有关知识的综合运用．18．“开门大吉”是某电视台推出的游戏节目．选手面对18:号8扇大门，依次按响门上的门铃，门铃会播放一段音乐（将一首经典流行歌曲以单音色旋律的方式演绎），选手需正确答出这首歌的名字，方可获得该扇门对应的家庭梦想基金．在一次场外调查中，发现参赛选手大多在以下两个年龄段：2130:，3140:（单位：岁），统计这两个年龄段选手答对歌曲名称与否的人数如下图所示．（Ⅰ）写出22⨯列联表，并判断是否有90%的把握认为答对歌曲名称与否和年龄有关，说明你的理由．（下 面的临界值表供参考）()20P K k ≥0.1 0.05 0.01 0.005 0k2.7063.8416.6357.879（Ⅱ）在统计过的参赛选手中按年龄段分层选取9名选手，并抽取3名幸运选手，求3名幸运选手中在2130:岁年龄段的人数的分布列和数学期望．（参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++）【答案】(Ⅰ)列联表见解析，有90%以上的把握认为答对歌曲名称和年龄有关；(Ⅱ)分布列见解析，1. 【解析】由列联表计算得()22120107010303201004080K⨯⨯-⨯==⨯⨯⨯．因为3 2.706>，所以有90%以上的把握认为答对歌曲名称和年龄有关．…………………………………4分()()213036363399312,31484C C C CP X P XC C⋅⋅======．……………………………………………………10分所以，随机变量X（抽取的3名幸运选手中在2130:岁年龄段的人数）的分布列为：X0 1 2 3P5211528314184随机变最X（抽取的3名幸运选手中在2130:岁年龄段的人数）的期望为515310123121281484EX =⨯+⨯+⨯+⨯=．………………………………………………………………12分考点：22⨯列联表卡方系数和数学期望计算公式等有关知识的综合运用．19．如图①，在ABC ∆中，已知15,14,13AB BC CA ===．将ABC ∆沿BC 边上的高AD 折成一个如图②所示的四面体A BCD -，使得图②中的11BC =． （Ⅰ）求二面角B AD C --的平面角的余弦值；（Ⅱ）在四面体A BCD -的棱AD 上是否存在点P ，使得0PB PC ⋅=u u u r u u u r？若存在，请指出点P 的位置；若 不存在，请给出证明．【答案】(Ⅰ)16-；(Ⅱ)存在，30PD =u u u r 【解析】试题分析：(Ⅰ)借助题设条件运用余弦定理求解；(Ⅱ)借助题设条件运用向量的数量积公式分析推断. 试题解析：（Ⅱ）假设在棱AD 上存在符合题意的点P ，则由0PB PC ⋅=u u u r u u u r可得()()0PB PC PD DB PD DC =⋅=+⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r………………………………………………………………………8分222115009562PD PD DB PD DC DB DC PD PD ⎛⎫=+⋅+⋅+⋅=+++⋅⋅-=- ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur ．……………………10分故30122PD =<u u u r 符合题意．即在棱AD 上存在符合题意的点P ，此时302PD =u u u r ．………………12分考点：余弦定理和空间向量等有关知识的综合运用．20．设O 是坐标原点，椭圆22:36C x y +=的左右焦点分别为12,F F ，且,P Q 是椭圆C 上不同的 两点．（Ⅰ）若直线PQ 过椭圆C 的右焦点2F ，且倾斜角为30︒，求证：11,,F P PQ QF 成等差数列；（Ⅱ）若,P Q 两点使得直线,,OP PQ QO 的斜率均存在，且成等比数列，求直线PQ 的斜率．【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)33±. 【解析】试题分析：(Ⅰ)借助题设条件运用椭圆定义和两点间距离公式推证；(Ⅱ)借助题设条件,,OP PQ QO 的斜率成等比数列建立方程求解.试题解析：设,P O 两点的坐标分别为()()1122,,,P x y Q x y ，由题意可知()26,2,0a F =．……………2分（Ⅱ）由题意，设():0PQ y mx n n =+≠，联立方程组2236y mx n x y =+⎧⎨+=⎩ 可得方程()222316360m x mnx n +++-=，则有2121222636,3131mn n x x x x m m -+=-=++．………………9分由直线,,OP PQ QO 的斜率成等比数列得21212y y m x x ⋅=．即21212y y m x x =． ∴()()()2212121212y y mx n mx n m x x mn x x n =++=+++．∴()2120mn x x n ++=∴()22213031n m m -=+．∴3m =±． 即直线PQ的斜率为3±12分 考点：直线与椭圆的位置关系等有关知识的综合运用．【易错点晴】本题是一道考查直线与椭圆的位置关系的综合性问题.解答本题的第一问时,直接依据题设条件建立了直线PQ的方程为)2y x =-,然后与椭圆的标准方程联立方程组)22236y x x y ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩,求得Q P ,的横坐标满足12122,1x x x x +==-,推证得11,,F P PQ QF 成等差数列；第二问的求解过程中,为了求直线PQ 的斜率,借助直线,,OP PQ QO 的斜率成等比数列建立了含斜率m 的方程()22213031n m m -=+,然后通过解方程求出了3m =±.从而使得问题获解. 21．设函数()ln xf x e x =-．（Ⅰ）求证：函数()f x 有且只有一个极值点0x ；（Ⅱ）求函数()f x 的极值点0x 的近似值x '，使得00.1x x '-<； （Ⅲ）求证：() 2.3f x >对()0,x ∈+∞恒成立．（参考数据： 2.718,ln 20.693,ln3 1.099,ln5 1.609,ln 7 1.946e ≈≈≈≈≈）． 【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)0.55；（Ⅲ）证明见解析. 【解析】试题分析：(Ⅰ)借助题设条件运用导数的知识推证；(Ⅱ)借助题设条件运用函数零点的定义推证；（Ⅲ）依据题设条件,借助(Ⅰ)的结论运用导数的知识求函数()f x 的最小值进行推证. 试题解析：∴()f x '在区间1,12⎛⎫⎪⎝⎭上至少有一个零点，记为0x ，且()f x '在0x 左右两侧的函数值异号． 综上可知，函数()f x '有且只有一个变号零点0x ． 即函数()f x 有且只有一个极值点为0x ．（Ⅱ）∵35535ln ln 5ln 30.51353e =-≈<⇒>，且()f x '在13,25⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的图象连续，351350,0253f f e ⎛⎫⎛⎫''<=-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴()f x '的零点013,25x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即()f x 的极值点013,25x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即()00.5,0.6x ∈．……………………6分∴0x 为的近似值x '可以取0.55x '=，此时的x '满足00.60.50.1x x '-<-=．…………………………7分（事实上，极值点0x 的近似值x '的取值在区间()00.48,0.67x ∈内都是可以的，只要说理充分即可．）∵函数()1ln g x x x =-在()0,+∞上递减，且047x <， ∴()()04 1.752ln 2ln 7 2.31 2.37g x g ⎛⎫>=--≈>⎪⎝⎭． ∴()()0001ln 2.3f x f x x x ≥=->对()0,x ∈+∞恒成立．………………………………………………12分 考点：导数在研究函数的单调性和极值等方面的综合运用．【易错点晴】导数是研究函数的单调性和极值最值问题的重要而有效的工具.本题就是以含参数a 的函数解析式为背景,考查的是导数知识在研究函数单调性和极值等方面的综合运用和分析问题解决问题的能力.本题的第一问求解时借助导数与函数单调性的关系,运用分类整合的数学思想进行分类推证；第二问的求解中则先运用函数零点的定义进行推断从而使得问题获证；第三问则借助第一问的结论函数)(x f 最小值为,然后依据()1ln g x x x=-在区间),0(+∞上单调递减,运用条件047x <证得() 2.3f x >成立.从而使得问题简捷巧妙获证. 请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，已知AB 为O e 的直径，,C F 为O e 上的两点，OC AB ⊥，过点F 作O e 的切线FD 交AB 的延长线于点D ，连接CF 交AB 于点E ． 求证：2DE DA DB =⋅．【答案】证明见解析. 【解析】试题分析：借助题设条件运用圆幂定理推证. 试题解析：考点：圆幂定理等有关知识的综合运用．23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标xOy 中，已知圆221:4C x y +=，圆()222:24C x y -+=．（Ⅰ）在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别求圆1C 与圆2C 的极坐标方程及两圆交点的 极坐标；（Ⅱ）求圆1C 与圆2C 的公共弦的参数方程．【答案】(Ⅰ)2,2,2,233k k ππππ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；(Ⅱ)()133x y t t =⎧⎪⎨=-≤≤⎪⎩.【解析】试题分析：(Ⅰ)借助题设条件运用直角坐标与极坐标之间的关系求解；(Ⅱ)借助题设条件运用直角坐标方程求交点的坐标求解. 试题解析：（Ⅱ）由（Ⅰ）可知圆1C 与圆1C 交点在直角坐标系下的坐标为((3,1,3-，……………………8分故圆1C 与圆2C 公共弦的参数方程为(133x y t t =⎧⎪⎨=-≤≤⎪⎩．……………………………………………10分 考点：极坐标和参数方程等有关知识的综合运用． 24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()12f x x x =+-． （Ⅰ）求不等式()6f x ≤-的解集；（Ⅱ）若存在实数x 满足()2log f x a =，求实数a 的取值范围． 【答案】(Ⅰ){5x x ≤-，或}7x ≥；(Ⅱ)02a <≤. 【解析】试题分析：(Ⅰ)借助题设条件运用分类整合的数学思想求解；(Ⅱ)借助题设条件求函数的值域运建立不等式求解. 试题解析：（Ⅱ）若存在实数x 满足()2log f x a =，即关于x 的方程()2log f x a =在实数集上有解，则2log a 的取值范围是函数()f x 的值域． 由（Ⅰ）可得函数()f x 的值域是(],1-∞， ∴2log 1a ≤，解得02a <≤．………………………………………………………………………………10分考点：绝对值不等式的有关知识及综合运用．。
陕西省汉中市2022届高三下学期教学质量第二次检测考试理科数学试题 (2)
一、单选题1.已知等差数列的前项和为，且，若记，则数列（ ）A ．是等差数列但不是等比数列B ．是等比数列但不是等差数列C ．既是等差数列又是等比数列D ．既不是等差数列又不是等比数列2. 根据《民用建筑工程室内环境污染控制标准》，文化娱乐场所室内甲醛浓度为安全范围.已知某新建文化娱乐场所施工中使用了甲醛喷剂，处于良好的通风环境下时，竣工1周后室内甲醛浓度为，3周后室内甲醛浓度为，且室内甲醛浓度（单位：）与竣工后保持良好通风的时间（单位：周）近似满足函数关系式，则该文化娱乐场所竣工后的甲醛浓度若要达到安全开放标准，至少需要放置的时间为（ ）A ．5周B ．6周C ．7周D ．8周3. 鲁班锁运用了中国古代建筑中首创的榫卯结构，相传由春秋时代各国工匠鲁班所作，是由六根内部有槽的长方形木条，按横竖立三方向各两根凹凸相对咬合一起，形成的一个内部卯榫的结构体.鲁班锁的种类各式各样，千奇百怪.其中以最常见的六根和九根的鲁班锁最为著名.下图1是经典的六根鲁班锁及六个构件的图片，下图2是其中的一个构件的三视图（图中单位：mm ），则此构件的表面积为（）A．B．C．D．4. 雪花曲线是在1906年由瑞典数学家科赫第一次作出.如图所示，由等边三角形ABC 开始，然后把三角形的每条边三等分，并在每条边三等分后的中段向外作新的等边三角形（并去掉与原三角形叠合的边）；接着对新图形的每条边再继续上述操作，即在每条边三等分后的中段，向外画新的尖形.不断重复这样的过程，便产生了雪花曲线.雪花曲线的周长可以无限长，然而围成的面积却是有限的.设初始三角形ABC 的边长为a ，不断重复上述操作，雪花曲线围成的面积趋于定值为（）A．B．C．D．5. 已知，若，则（ ）A．B．C．D．6. 已知函数，，若，恒成立，则实数k 的取值范围是（ ）A．B．C．D．7. 已知双曲线的一条渐近线为为右支上任意一点，且到的距离为，到左焦点的距离为，则的最小值为（ ）陕西省汉中市2022届高三下学期教学质量第二次检测考试理科数学试题 (2)陕西省汉中市2022届高三下学期教学质量第二次检测考试理科数学试题 (2)二、多选题三、填空题四、解答题A ．4B．C．D．8. 函数的单调减区间是（ ）A．B．C．D．9. 若，则（ ）A．B．C．D．10.已知函数，则下列说法正确的是（ ）A．函数的图象可以由的图象向右平移个长度单位得到B．，则C．是偶函数D ．在区间上单调递增11. 已知圆，直线，则下列说法正确的是（ ）A ．直线l过定点B ．当时，直线l 与圆C 相切C ．当时，过直线l 上一点P 向圆C 作切线，切点为Q，则的最小值为D ．若圆C 上只有一个点到直线l 的距离为1，则12. 函数的两个极值点分别是，则下列结论正确的是（ ）A．B．C．D．13. 设，函数，若恰有三个不同的零点，且是其中的一个零点，则实数的值为__________.14.设空间向量，，且，则______，______．15. 农业技术员进行某种作物的种植密度试验，把一块试验田划分为8块面积相等的区域（除了种植密度，其它影响作物生长的因素都保持一致），种植密度和单株产量统计如下：根据上表所提供信息，第________号区域的总产量最大．16. 已知函数（e 是自然对数的底数），．(1)若函数，求函数在上的最大值．(2)若函数的图象与直线有且仅有三个公共点，公共点横坐标的最大值为，求证：．17. 某中学是走读中学，为了让学生更有效率利用下午放学后的时间，学校在本学期第一次月考后设立了多间自习室，以便让学生在自习室自主学习、完成作业，同时每天派老师轮流值班.在本学期第二次月考后，高一某班数学老师统计了两次考试该班数学成绩优良人数和非优良人数，得到如下列联表：非优良优良总计未设立自习室251540设立自习室103040总计354580(1)能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为设立自习室对提高学生成绩有效；(2)从该班第一次月考的数学优良成绩中和第二次月考的数学非优良成绩中，按分层抽样随机抽取5个成绩，再从这5个成绩中随机抽取2个，求这2个成绩来自同一次月考的概率.下列的临界值表供参考：（参考公式：，其中）18. 在中,分别是内角的对边,且,.(1)求边的值;(2)求的周长的最大值.19. 已知函数是偶函数.(1)求的值;(2)设，，若对任意的，存在，使得，求的取值范围.20. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.(1)求B；(2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围.21.如图所示，在三棱锥中，D，E，F分别是棱的中点，，（1）证明：；（2）若，，求二面角的正弦值.。
陕西省汉中市2022届高三下学期教学质量第二次检测考试理科数学试题
一、单选题1. 如图，在四边形ABCD 中，，，，，，，则（）A．B ．2C ．3D ．62. 我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示.在“赵爽弦图”中，若，则（）A．B．C．D．3.在中，内角的对边分别为，已知，，，则的面积为（ ）A．B．C．D．4. 已知、，则“”是“”的（ ）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要5.函数的零点所在的区间是（ ）A．B．C．D．6.函数的图象是（ ）A．B．C．D．7. 已知函数是定义在上的偶函数，且当时，，则方程的根的个数为A ．6B ．7C ．8D ．98. 已知抛物线的焦点为，过点作轴的垂线交抛物线于点，且满足，则的值为（ ）A ．1B ．2C ．4D ．8陕西省汉中市2022届高三下学期教学质量第二次检测考试理科数学试题陕西省汉中市2022届高三下学期教学质量第二次检测考试理科数学试题二、多选题三、填空题9.年月日国家统计局发布了制造业采购经理指数（）,如下图所示:下列说法正确的是（ ）A ．从年月到年月,这个月的制造业采购经理指数（）的第百分位数为B．从年月到年月,这个月的制造业采购经理指数（）的极差为C ．从年月到年月制造业采购经理指数（）呈下降趋势D．大于表示经济处于扩张活跃的状态;小于表示经济处于低迷萎缩的状态,则年月到年月,经济处于扩张活跃的状态10.已知函数的部分图象如图所示，则（）A．的图象关于点对称B．的图象关于直线对称C ．在区间上单调递减D ．在区间上的值域为11.已知点，点A ，B 在圆O ：上运动，且，M 为线段的中点，则（ ）A ．过点P 有且只有一条直线与圆O 相切B．C．D ．的最大值为12.若，则下列结论正确的是（ ）A ．的虚部为B．C．D．13. 已知为椭圆的右焦点，过点的直线与椭圆交于两点，为的中点，为坐标原点.若△是以为底边的等腰三角形，且△外接圆的面积为，则椭圆的长轴长为___________.14. 在中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若，则______．15. 对于平面上点和曲线，任取上一点，若线段的长度存在最小值，则称该值为点到曲线的距离，记作．下列结论中正确的是__________．①若曲线是一个点，则点集所表示的图形的面积为；②若曲线是一个半径为的圆，则点集所表示的图形的面积为；四、解答题③若曲线是一个长度为的线段，则点集所表示的图形的面积为；④若曲线是边长为的等边三角形，则点集所表示的图形的面积为．16. 语文成绩服从正态分布，数学成绩的频率分布直方图如下：（Ⅰ）如果成绩大于135的为特别优秀，这500名学生中本次考试语文、数学特别优秀的大约各多少人？（假设数学成绩在频率分布直方图中各段是均匀分布的）（Ⅱ）如果语文和数学两科都特别优秀的共有6人，从（Ⅰ）中的这些同学中随机抽取3人，设三人中两科都特别优秀的有人，求的分布列和数学期望．（附参考公式）若，则，．17. 某商家为了促销，规定每位消费者均可免费参加一次抽奖活动，活动规则如下：在一不透明纸箱中有8张相同的卡片，其中4张卡片上印有“幸”字，另外4张卡片上印有“运”字．消费者从该纸箱中不放回地随机抽取4张卡片，若抽到的4张卡片上都印有同一个字，则获得一张10元代金券；若抽到的4张卡片中恰有3张卡片上印有同一个字，则获得一张5元代金券；若抽到的4张卡片是其他情况，则不获得任何奖励．(1)求某位消费者在一次抽奖活动中抽到的4张卡片上都印有“幸”字的概率；(2)记随机变量X 为某位消费者在一次抽奖活动中获得代金券的金额数，求X 的分布列和数学期望；(3)该商家规定，消费者若想再次参加该项抽奖活动，则每抽奖一次需支付3元．若你是消费者，是否愿意再次参加该项抽奖活动？请说明理由．18. 已知函数，x ∈R .（1）求函数f (x )的单调递增区间；（2）已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且f （C ）＝1，c ＝3，若向量与垂直，求△ABC 的周长.19. 已知函数f(x)＝(2－a)lnx＋＋2ax.(1)当a<0时，讨论f(x)的单调性；(2)若对任意的a ∈(－3，－2)，x 1，x 2∈[1,3]，恒有(m ＋ln 3)a －2ln 3>|f(x 1)－f(x 2)|成立，求实数m 的取值范围．20. 某初中为了了解学生对消防安全知识的掌握情况，开展了网上消防安全知识考试.对参加考试的男生、女生各随机抽查40人，根据考试成绩，得到如下列联表：男生女生合计考试成绩合格302050考试成绩不合格102030合计404080(1)根据上面的列联表，判断能否有95%的把握认为考试成绩是否合格与性别有关；(2)在考试成绩不合格的30人中按性别利用分层抽样的方法随机抽取6人，再从这6人中随机抽取3人，记这3人中男生的人数为X，求X的分布列和数学期望.附，其中.0.10.050.010.0050.001k 2.706 3.841 6.6357.87910.82821. 某工厂为了检验某产品的质量，随机抽取100件产品，测量其某一质量指数，根据所得数据，按，，，，分成5组，得到如图所示的频率分布直方图．(1)估计该产品这一质量指数的中位数；(2)若采用分层抽样的方法从这一质量指数在和内的该产品中抽取12件，再从这12件产品中随机抽取4件，记抽取到这一质量指数在内的该产品的数量为X，求X的分布列与期望．。
2019届陕西省汉中市高三年级教学质量第二次检测考试数学(理)试题(解析版)
【解析】取 的中点 ，连结 ,这样求异面直线 与 所成的角就转化成求 的大小。
【详解】
取 的中点 ，连结 ,在直三棱柱 ，点 为 的中点,
且 ， 且 ，所以 就是异面直线 与 所成的角。 ， 可以求出 ，在 中，由勾股定理可求出 ，在 中，由勾股定理可求出 ，显然 是直角三角形， ,所以 ，因此本题选B。
（1）完善男生参加社区服务时间的频率分布表和女生参加社区服务时间的频率分布直方图.
抽取的100名男生参加社区服务时间的频率分布表
社区服务时间
人数
频率
0.05
20
0.35
30
合计
100
1
学生社区服务时间合格与性别的列联表
不合格的人数
合格的人数
男
女
（2）按高中综合素质评价的要求，高中学生每年参加社区服务的时间不少于20个小时才为合格，根据上面的统计图表，完成抽取的这200名学生参加社区服务时间合格与性别的列联表，并判断是否有 以上的把握认为参加社区服务时间达到合格程度与性别有关，并说明理由.
【详解】
不等式组 所表示的平面区域如下所示：
通过上图，可以发现平面区域是个三角形，解方程组 解得A点坐标为 ，点B坐标为（1，0），点C坐标为（2，0）因此三角形ABC的面积为 ，
所以不等式组 所表示的平面区域的面积等于 。
【点睛】
本题考查了不等组所表示的平面区域的面积。解决此类问题的关键是画出正确的平面区域。
综上所述，有4个命题是正确的，因此本题选A。
【点睛】
本题考查了奇函数的性质、利用导数研究函数单调性。本题重点考查了数形结合思想、分类讨论思想。
二、填空题
13．不等式组 所表示的平面区域的面积等于__________．
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陕西省汉中市高三数学下学期第二次教学质量检测试卷理（含解
析）
理科数学
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，若，则（）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】
先解不等式，根据，确定集合A，根据，就可以求出
【详解】而，所以，因此集合
，所以，因此本题选C.
【点睛】本题考查了集合的表示方法之间的转化、集合之间关系。
2.设复数（是虚数单位），则的虚部为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先求出复数的共轭复数，计算，根据结果写出虚部。
【详解】复数，，
的虚部为，因此本题选C。
【点睛】本题考查了复数的共轭复数、复数的四种运算、虚部的概念。
3.已知向量、的夹角为，，，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
求向量的模可以先求出模的平方，然后再开算术平方根。
【详解】，
因此本题选A。
【点睛】本题考查了向量求模的方法。
一般的方法有二种：一是平方进行转化；另一个是利用向量加减法的几何意义进行求解。
本题也可以利用第二种方法来求解。
设
则=利用余弦定理可以求出它的模。
4.已知，，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由可以求出，进而可以求出的值。
运用两角差的正切公式可以求出的值。
【详解】
所以，，因此本题选D。
【点睛】本题考查了同角三角函数之间的关系、两角差的正切公式。
5.函数的图像是（）
A. B. C. D.
【答案】B
首先由函数解析式可知函数为奇函数，故排除A,C，又当时，，在上单调递增，，故选B
6.双曲线的离心率恰为它一条渐近线斜率的2倍，则离心率为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意根据离心率公式，列出等式，再由之间的关系，最后求出离心率。
【详解】由题意可知，即，而
得，因此本题选A.
【点睛】本题考查了双曲线离心率的求法。
7.函数的部分图像如图所示，则函数的单调增区间为（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由图可知：图象过，这样可以利用周期公式可以求出，把代入解析式中，求出，最后求出函数的单调增区间。
【详解】由图可知：图象过,
；
图象过，，
因为，所以，，
当时，函数单调递增，化简得
，因此本题选D。
【点睛】本题考查了三角函数图象及性质。
解决此类问题的关键是通过函数的图象找到“关键点”，如最高点、最低点、零点等。
8.《九章算术》是中国古代第一部数学专著，全书总结了战国、秦、汉时期的数学成就。
“更相减损术”便出自其中，原文记载如下：“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也。
”其核心思想编译成如示框图，若输入的，分别为45，63，则输出的为（）
A. 2
B. 3
C. 5
D. 9
【答案】D
【解析】
【分析】
通过已知，可以判断这是在求两数的最大公约数。
也可以按照循环结构的特点，先判断后执行，分别求出当前的值，直到循环结束。
【详解】通过阅读可以知道，这是利用更相减损术求45，63的最大公约数，63，45的最大公约数是9。
也可以按照循环结构来求解，如下表：
循环次数 a b
初始45 63
第一次45 18
第二次27 18
第三次9 18
第四次9 9
第五次输出a=9
因此本题选D。
【点睛】本题考查了算法和程序框图、更相减损术。
解决此类问题的关键就是按照程序框图的结构进行，得出结论，当然对于一些经典的算法应该熟知，这样可以直接求解。
9.如图，在直三棱柱中，，，点为的中点，则异面直线与所成的角为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
取的中点，连结,这样求异面直线与所成的角就转化成求的大小。
【详解】取的中点，连结,在直三棱柱，点为的中点, 且，且，所以就是异面直线与
所成的角。
，可以求出，在中，由勾股定理可
求出，在中，由勾股定理可求出，显然是直角三角形，
,所以，因此本题选B。
【点睛】本题考查了异面直线所成角的问题，解决的关键转化成相交线所成的角，但要注意异面直线所成角的范围是。
10.汉中市2019年油菜花节在汉台区举办，组委会将甲、乙等6名工作人员分配到两个不同的接待处负责参与接待工作，每个接待处至少2人，则甲、乙两人不在同一接待处的分配方法共有（）
A. 12种
B. 22种
C. 28种
D. 30种【答案】C
【解析】
【分析】
由题要将所有人分到两个不同的接待处A,B,则①甲可能在A组，组内分到其他四人中的1人,2人或3人，②甲可能在B组，组内分到其他四人中的1人,2人或3人，分别求出每一种分配的方法数目，有分类计数原理计算可得答案。
【详解】由题可分两种情况讨论：
①甲可能在A组，组内分到其他四人中的1人,2人或3人，则有种分法；
②甲可能在B组，组内分到其他四人中的1人,2人或3人，则有种分法；一共有种分法。
故选C.
【点睛】本题考查分类计数原理，解题的关键是分类列出所有可能情况，属于一般题。
11.已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于、两点，交准线于点，若
，则等于（）
A. 12
B. 14
C. 16
D. 28
【答案】C
【解析】
【分析】
分别过A,B作准线的垂线，利用抛物线的定义把A,B两点到F点的距离转化为A,B两点到准线的距离，结合已知可以求出和的长，最后求出。
【详解】抛物线，，分别过A,B作准线的垂线，垂足为M,N，如下图：
由抛物线的定义可知：,轴,
因为，所以有，解得= 。
所以。
轴，所以,,
所以=16，因此本题选C.
【点睛】本题考查了抛物线的定义，弦长的求法。
12.已知函数是定义在上的奇函数，当时，，给出下列命题：
①当时，②函数有3个零点
③的解集为④，都有
其中正确命题的个数是（）
A. 4
B. 3
C. 2
D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】
对于①：根据奇函数的性质即可求解；
对于②：先求出当时，函数的零点，利用奇函数的性质，就可以求出当时，函数的零点，由于函数是定义在上的奇函数，所以有。
对于③:分类讨论，当时，求出的解集；当时,求出的解集。
对于④：利用导数，求出函数的值域，就可以判断是否正确。
【详解】对于①：当时，有,由奇函数定义可知：，所以
本命题正确；
对于②：当时，，解得，即，根据奇函数的性质可知，又因为定义域是，所以，因此函数有3个零点，本命题正确；。