考点21 求和方法(第1课时)讲解(解析版)

考点21求和方法（第一课时）【思维导图】【常见考法】考点一：裂项相消1．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()14211n n S n a +=-+，且11a =.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()12n n n c a a =+，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求n T .【答案】（1）21n a n =-；（2）21n n T n =+.【解析】（1）14(21)1n n S n a +=-+ ①，当1n =时，1241S a =+，解得23a =当2n 时，14(23)1n n S n a -=-+②，①减去②得14(21)(23)n n n a n a n a +=---，整理得1(21)(21)n n n a n a ++=-，即12121n n a n a n ++=-，∴213a a =，3253a a =，⋯，12123n n a n a n --=-以上各式相乘得121n a n a =-，又11a =，所以21n a n =-，（2）由（1）得11111(2)(21)(21)22121n n n c a a n n n n ⎛⎫===- ⎪+-+-+⎝⎭，1111111112323522121n T n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 111111123352121n n ⎛⎫=-+-+⋯+- ⎪-+⎝⎭111221n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭21n n =+21n n T n ∴=+，2．已知数列{}n a 满足，()()*32111N 232n a a a a n n n n +++⋅⋅⋅+=+∈.（1）求1a ，2a 的值（2）求数列{}n a 的通项公式；（3）设121n n n n b a a ++=，数列{}n b 的前n 项和为n S ，求证：*N n ∀∈，314n S ≤<.【答案】（1）11a =,24a =（2）()2*N n a nn =∈（3）证明见解析【解析】（1）由()32111232n a a a a n n n +++⋅⋅⋅+=+()*N n ∈当1n =时，()111112a =+=，即11a =.当2n =时，()211221322a +=⨯⨯+=，解得24a =.（2）∵()32111232n a a a a n n n +++⋅⋅⋅+=+①，∴当2n ≥时，()3121112312n a a a a n n n -+++⋅⋅⋅+=--②①－②()()111122n a n n n n n n =+--=，∴2n a n =，由（1）11a =，即上式当1n =时也成立.因此，{}n a 的通项公式为()2*N n a n n =∈；（3）由（2）得()()2222121211111n n n n n b a a n n n n +++===-++，∴()123222222211111111223341n n S b b b b n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅+=-+-++⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭+⎝⎭()2111n =-+∵()2111n S n =-+单调递增，∴当1n =时n S 取最小值134S =，∵*N n ∀∈，()2101n >+，∴()21111n -<+，即1n S <.因此，314n S ≤<.3．已知数列{}n a 是递增的等比数列，且14239,8.a a a a +==（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，11n n n n a b S S ++=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（Ⅰ）12n n a -=（Ⅱ）112221n n ++--【解析】（1）设等比数列{}n a 的公比为q，所以有323141231(1)9,8a a a q a a a q +=+===联立两式可得11{2a q ==或者18{12a q ==又因为数列{}n a 为递增数列，所以q>1，所以11{2a q ==数列{}n a 的通项公式为12n n a -=（2）根据等比数列的求和公式，有122112nn n s -==--所以1111211(21)(21)2121n n n n n n n n n a b s s ++++===-----所以1111111111221 (133721212121)n n n n n n T ++++-=-+-++-=-=----4．已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，已知11a =且()12n n nS n S +=+，*n N ∈.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()()*24141n n n a b n N n =-∈-，数列{}n b 的前n 项和为n P ，若112020n P +<，求正整数n 的最小值.【答案】（1）n a n =（2）1010【解析】（1）解析1：（累乘法）由()1122n n n n S n nS n S S n +++=+⇒=,所以2n ≥时,121121n n n n n S S S S S S S S ---=⋅⋅ ()111431123212n n n n n n n n ++-=⋅⋅⋯⋅⋅=---,又111S a ==也成立,所以()12n n n S +=,所以当2n ≥时,1n n n a S S n -=-=,又11a =也成立,所以n a n =.解析2：（配凑常数数列）()1122n n n n S S nS n S n n ++=+⇒=+()()()1211n n S S n n n n +⇒=+++,故()1n S n n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭为常数列,即()111212n S S n n ==+⨯,所以()12n n n S +=,所以当2n ≥时,1n n n a S S n -=-=,又11a =也成立,所以n a n =.解析3：（直接求n a ）()1122n n n n nS n S na S ++=+⇒=,所以()112n n n a S --=,两式相减可得()()11121n n n n a a an n a n n n ++=+⇒=≥+,又因为22a =,所以212n a a n ==,即当2n ≥时,n a n =,当1n =也成立,故n a n =.（2）解析（裂项相消）：由上题可知()()241111412121n n n n b n n n ⎛⎫=-=-+ ⎪--+⎝⎭,所以()()1111111111335572121n n n P n n =--++--++-+--+ ()11121n n =-+-+,所以11201912120202n P n n +=<⇒>+,故n 的最小值为1010.5．记n S 为等比数列{}n a 的前n 项的和，且{}n a 为递增数列.已知24a =，314S =.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()221211log log n n n n n b a a ++=-⋅，求数列{}n b 的前2n 项之和2n T .【答案】（1）2n n a =；（2）221nn -+【解析】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，则231221232144a S a a a a a a a q q q =++===⎧++=⎪⎨⎪⎩，解得122a q =⎧⎨=⎩或1812a q =⎧⎪⎨=⎪⎩，因为{}n a 为递增数列，所以只有122a q =⎧⎨=⎩符合题意，故2n n a =；（2）由题意，()()()()122212111111log 2log 211n n n n n n n nb n n n n +++⎛⎫=-=-=-+ ⎪⋅⋅++⎝⎭，∴2122n nT b b b =++⋅⋅⋅+1111111122334221n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++-++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1212121n n n =-+=-++.6．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足()*23n n S na n n N-=∈，且25a =.（1）证明数列{}n a 为等差数列，并求{}n a 的通项公式；（2）设n b =n T 为数列{}n b 的前n 项和，求使310n T >成立的最小正整数n 的值.【答案】（1）证明见解析,21n a n =+（2）8n =【解析】（1）当2n ≥时，112(1)3(1)n n S n a n ----=-，又23n n S na n -=，所以1(1)(2)3n n n a n a ----=，当3n ≥时，21(2)(3)3n n n a n a -----=，所以121(1)(2)(2)(3)n n n n n a n a n a n a ------=---，可得122n n n a a a --=+，所以{}n a 为等差数列.又1123S a -=，得13a =，又25a =，所以21n a n =+.故答案为21n a n =+（2）n b ===12==-，所以12n T =.要使310n T >，即1210>，解得638n >，所以8n =.故答案为8n =7．已知数列{}n a 的前n 项和()1*12N 2n n n S a n -⎛⎫=--+∈ ⎪⎝⎭，数列{}n b 满足2n n n b a =.（Ⅰ）求证：数列{}n b 是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设()()()1121n n n n n n c n a n a ++=-+-，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求满足()*124N 63n T n <∈的n 的最大值.【答案】(Ⅰ)2n n n a =；(Ⅱ)4.【解析】(Ⅰ)()1122n n n S a n N -+⎛⎫=--+∈ ⎪⎝⎭，当2n ≥时，211122n n n S a ---⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，11112n n n n n n a S S a a ---⎛⎫∴=-=-++ ⎪⎝⎭，化为11221n n n n a a --=+，12,1n n n n n b a b b -=∴=+ ，即当2n ≥时,11n n b b --=，令1n =,可得11112S a a =--+=,即112a =.又1121b a ==,∴数列{}n b 是首项和公差均为1的等差数列.于是()1112n n n b n n a =+-⋅==，2n nn a ∴=.(Ⅱ)由(Ⅰ)可得()1112122n n n n n n c n n n n ++=+⎛⎫⎛⎫-+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()111211*********n n n n n +++⎛⎫==- ⎪----⎝⎭,22311111121 (212121)2121n n n T +⎡⎤∴=-+-++-⎢⎥-----⎣⎦11124212163n +⎛⎫=-< ⎪-⎝⎭,可得162642n +<=，5n <，因为n 是自然数，所以n 的最大值为4.考点二：错位相减法1．已知等差数列{}n a 公差不为零，且满足：12a =，1a ，2a ，5a 成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设3nn n b a =，求数列{}n b 的前n 项和.【答案】（1）42n -（2）12(1)36+=-+n n S n 【解析】（1）由125,,a a a 成等比数列得()5221=⋅a a a 即2(2)2(24)d d +=⨯+,解得4d =或0d =（舍）,所以24(1)42n a n n =+-=-,（2）由（1）知3(42)3==-nn n n a n b 所以232363103(42)3=⨯+⨯+⨯+⋯+-n n S n 所以234132363103(46)3(42)3+=⨯+⨯+⨯++-+- n n n S n n 两式相减得：()231264333(42)3+-=++++-- n n n S n ()21143136(42)313-+⨯-=+---n n n14(1)312n n +=--所以12(1)36+=-+n n S n .2．在数列{}n a 中，首项112a =前n 项和为n S ，且1)21(n n S a n N *+=-∈（1）求数列{}n a 的通项；（2）若31()2nn n b n a =+⨯⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（1）132n n n a -=；（2）1(21)334n n n T ++⋅-=．【解析】（1）因为121n n S a +=-，当2n ≥时，121n n S a -=-，所以1122n n n n n a S S a a -+=-=-，即123n n a a +=，132n n a a +=，又11221a S a ==-，234a =，2132a a =，所以{}n a 是等比数列，公比为32q =，所以1111133(222n n n n n a a q ---==⨯=．所以132n n n a -=．（2）由（1）133(1)2(1)32n nn n n b n n -=+⨯⨯=+⋅，23233343(1)3n n T n =⨯+⨯+⨯+++⨯ ，①所以23413233343(1)3n n T n +=⨯+⨯+⨯+++⨯ ，②①－②得23126333(1)3n n n T n +-=++++-+⨯ 13(13)3(1)313n n n +-=+-+⨯-131()322n n +=-+⨯，所以1(21)334n n n T ++⋅-=．3．已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，21n S n =+．等比数列{}n b 中39b =，公比为3．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式，以及数列{}n b 的前n 项和n T ；（2）设n n n c a b =⋅，求数列{}n c 的前n 项和n P ．【答案】(1)2,121,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩，13n n b -=，1(31)2n n T =-；(2)(1)32n n P n =-+.【解析】(1)当1n =时，112a S ==，当2n ≥时，1n n n a S S -=-22(1)21n n n =--=-，又121112a =⨯-=≠，2,121,2n n a n n =⎧∴=⎨-≥⎩；由23139b b =⋅=得11b =，13n n b -∴=，∴131(31)132n n n T -==--(2)23121335373......(21)3n n P n -=⨯+⨯+⨯+⨯++-2343213335373......(21)3n n P n =⨯⨯+⨯+⨯+⨯++-2341252(3373......3)(21)3n nn P n --=+++⨯++--29(13)52(21)313n n n --=+---34(21)3n n n =---(22)34n n =--∴(1)32nn P n =-+.4．在数列{}n a 中，任意相邻两项为坐标的点()1,n n P a a +均在直线2y x k =+上，数列{}n b 满足条件：12b =，()*1n n n b a a n N +=-∈.（1）求数列{}n b 的通项公式；（2）若21log n n nc b b =⋅，求数列{}n c 的前n 项和n S .【答案】（1）()*2n n b n N =∈；（2）()()1*122n n S n n N +=--⨯-∈.【解析】（1） 数列{}n a 中，任意相邻两项为坐标的点()1,n n P a a +均在直线2y x k =+上，12n n a a k +∴=+，12n n n n n n b a a a k a a k +∴=-=+-=+.()11222n n n n n b a k a k k a k b ++∴=+=++=+=，12n n b b +∴=，12b = ，∴数列{}n b 是以2为首项，以2为公比的等比数列.∴数列{}n b 的通项公式为()*2n n b n N =∈；（2）由于2211log 2log 22n n n n n n c b n b ==⋅=-⋅，231222322n n S n ∴-=⨯+⨯+⨯++⨯ ，①()23412122232122n n n S n n +∴-=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯ ，②①-②得()()2311121222222212212nn n n n n S n n n +++⨯-=++++-⨯=-⨯=--⨯-- .考点三：分组求和1．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，22n n n S a a =+．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令113n a n n n b a a -+=+，求数列{}n b 的前n 项和．【答案】（1）n a n =；（2）3112231n n --⋅+．【解析】（1）当2n ≥，22n n n S a a =+，21112n n n S a a ---=+，两式相减得22112n n n n n a a a a a --=-+-，化简得11n n a a --=，即{}n a 是公差为1d =的等差数列，令1n =，21112S a a =+，得11a =，所以()11n a a n d n =+-=．（2）()111113131n n n b n n n n =+=+-++，设n T 为数列{}n b 的前n 项和，21111111113332231n n T n n ⎛⎫⎛⎫=++++-+-++- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭L L 111131133111223113n n n n ⎛⎫- ⎪⎝⎭=+-=--+⋅+-．2．在公差不为0的等差数列{}n a 中，1a ，3a ，9a 成公比为3a 的等比数列，数列{}n b 满足*2,21,()2,2,n a n n n k b k N a n k ⎧=-⎪=∈⎨=⎪⎩．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n b 的前2n 项和2n T ．【答案】（1）n a n =（2）22(41)2(1)3n n T n n -=++【解析】（1）公差d 不为0的等差数列{}n a 中,1a ,3a ,9a 成公比为3a 的等比数列,可得2319a a a =,313a a a =,可得2111(2)(8)a d a a d +=+,11a =,化简可得11a d ==,即有n a n =.（2）由（1）可得2,212,2n n n k b n n k⎧=-=⎨=⎩,*k N ∈；前2n 项和212(28322)(48124)n n T n -=+++⋯+++++⋯+2(14)12(41)(44)2(1)1423n n n n n n --=++=++-．3.设数列{}n a 满足12a =，且点()()*1,n n P a a n N+∈在直线2y x =+上，数列{}n b 满足：13b =，13n n b b +=．（1）数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）设数列()(){}1n n n a b ⋅--的前n 项和为n T ，求nT ．【答案】（Ⅰ）2n a n =，3n n b =；（Ⅱ）1131()3-()2231()31(22n n n n n n T n n n 为偶数为奇数）++⎧+-⋅⎪⎪=⎨⎪+-⋅++⎪⎩.【解析】（Ⅰ）12n n a a +=+ {}n a ∴是以12a =为首项，2为公差的等差数列，()1122n a a n n ∴=+-=，13b = ，13n n b b +={}n b ∴是以13b =为首项，3为公比的等比数列，3n n b ∴=．（Ⅱ）由(1)知()()()()()12312312n n n n n n n a b n n n ⋅--=⋅--=⋅--⋅，设{}23n n ⋅的前n 项和为'n T ()'123123436321323n n n T n n -=⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅ ①()'2341323436321323n n n T n n +=⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅ ②①—②得'123122323232323n n n T n +-=⋅+⋅+⋅++⋅-⋅ ，()()'11613223312313nn n n T n n ++--=-⋅=-+-⋅-，所以'131322n n T n +⎛⎫=+-⋅ ⎪⎝⎭．设(){}12nn -⋅的前n 项和为''n T ,当n 为偶数时，()''246821222n n T n n n =-+-+---+=⋅= ，当n 为奇数时，1n +为偶数，()''''1211221n n T T n n n n +=-+=+--=--，()n 1n 1313223131(22n n n n T n n n ++⎧⎛⎫+-⋅- ⎪⎪⎪⎝⎭∴=⎨⎛⎫⎪+-⋅++ ⎪⎪⎝⎭⎩为偶数为奇数）．4．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，0n a >，且()2114n n S a =+.（1）求{}n a 的通项公式；（2）令1n n n c a a +=，求数列1n n a c ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭前n 项和n T .【答案】（1）21n a n =-（2）221nn n ++【解析】（1）11a =,且()2114n n S a =+,2n ≥时,()()2211111144n n n n n a S S a a --=-=+-+,化简可得()()1120n n n n a a a a --+--=,由0n a >,可得12n n a a --=,即{}n a 为首项为1,公差为2的等差数列,则12(1)21n a n n =+-=-;（2）1(21)(21)n n n c a a n n +==-+,11111(21)(21)(21)(21)22121n n a n n c n n n n ⎛⎫+=-+=-+- ⎪-+-+⎝⎭,可得前n 项和111111(1321)123352121n T n n n ⎛⎫=++⋯+-+-+-+⋯+- ⎪-+⎝⎭2111(121)1222121n n n n n n ⎛⎫=+-+-=+ ⎪++⎝⎭.5．已知数列{}n a 的前n 项和为2(*)2n n n S n N +=∈（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2(1)n a n n n n b a a =+-⋅，求数列{}n b 的前2n 项和2n T ．【答案】（1）n a n =（2）2122(21)2n n T n n+=+-+【解析】（1）由2(*)2n n n S n N +=∈，得111a S ==．当2n 时，221(1)(1)22n n n n n n n a S S n -+-+-=-=-=．11a =适合上式，n a n ∴=；（2）2(1)2(1)n a n n n n n n b a a n n =+-=⋅+-⋅⋅，设数列{}n b 的前2n 项和为2n T ，则12322(121)(222)(323)(222)n n T n n =⨯-+⨯++⨯-+⋯+⨯+232(12223222)[123(21)2]n n n n =⨯+⨯+⨯+⋯+⨯+-+-+⋯--+设1232212223222n n n A =⨯+⨯+⨯+⋯+⨯……①则234212122232222n n n A +=⨯+⨯+⨯+⋯+⨯……②①-②得：234221222121212(222222)2=22=2(12)12222n n n n n n A n n n ++++--⨯-+-⨯-+--=++++⋯+．所以2122(21)2n n n A +=+-；则2122[123(21)2]=2(21)2n n n T A n n n n +=+-+-+⋯--++-+。