2017年高考数学大二轮专题复习第三编考前冲刺攻略第三步应试技能专训一客观题专练理

第三步 应试技能专训 一、客观题专练(一)一、选择题1.设U ＝R ，集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈R ⎪⎪⎪x －1x －2>0，B ＝{x ∈R |0<x <2}，则(∁U A )∩B ＝( ) A.(1,2] B ．[1,2) C.(1,2) D ．[1,2]答案 B解析 依题意得∁U A ＝{x |1≤x ≤2}，(∁U A )∩B ＝{x |1≤x <2}＝[1,2)，选B. 2.设z ＝1＋i(i 是虚数单位)，则2z－z ＝( )A.i B ．2－i C.1－i D ．0 答案 D解析 因为2z －z ＝21＋i －1＋i ＝－＋－－1＋i ＝1－i －1＋i ＝0，故选D.3.[2016·沈阳监测]下列函数中，在其定义域内是增函数而且又是奇函数的是( )A.y ＝2xB ．y ＝2|x |C.y ＝2x－2－xD ．y ＝2x＋2－x答案 C解析 A 虽为增函数却是非奇非偶函数，B 、D 是偶函数，对于选项C ，由奇偶函数的定义可知是奇函数，由复合函数单调性可知在其定义域内是增函数(或y ′＝2xln 2＋2－xln 2>0)，故选C.4.(x 2－2)⎝⎛⎭⎪⎫1＋2x 5的展开式中x －1的系数为( )A.60 B ．50 C.40 D ．20答案 A解析 由通项公式得展开式中x －1的系数为 23C 35－22C 15＝60.5.已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≤0，3x －y ＋1≥0，x －y －1≤0，则z ＝2x ＋y 的最大值为( )A.1 B ．2 C.3 D ．4答案 B解析 画出可行域得知，当直线y ＝z －2x 过点(1,0)时，z 取得最大值2. 6.已知函数f (x )的图象如图所示，则f (x )的解析式可能是( )A ．f (x )＝e1－x 2B ．f (x )＝e x 2－1 C.f (x )＝e x 2－1 D ．f (x )＝ln (x 2－1)答案 A解析 A 中，令f (x )＝e u，u ＝1－x 2，易知当x <0时，u 为增函数，当x >0时，u 为减函数，所以当x <0时，f (x )为增函数，当x >0时，f (x )为减函数，故A 可能是；B 、C 中同理可知，当x <0时，f (x )为减函数，当x >0时，f (x )为增函数，故B 、C 不是；D 中，当x ＝0时，无意义，故D 不是，选A.7.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的图象如图所示，则该函数的解析式可能是( )A ．f (x )＝34sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32x ＋π6B.f (x )＝45sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫45x ＋15C.f (x )＝45sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫56x ＋π6D.f (x )＝45sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x －15答案 B解析 由图可以判断|A |<1，T >2π，则|ω|<1，f (0)>0，f (π)>0，f (2π)<0，只有选项B 满足上述条件.8.已知一个算法的程序框图如图所示，当输出的结果为0时，输入的x 值为( )A ．－2B ．－2或－1 C.1或－3 D ．－2或13答案 D解析 当x ≤0时，由y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－4＝0得x ＝－2；当x >0时，由y ＝log 3x ＋1＝0得x ＝13.9.高为4的直三棱柱被削去一部分后得到一个几何体，它的直观图和三视图中的侧视图、俯视图如图所示，则该几何体的体积是原直三棱柱的体积的( )A.34B.14C.12D.38答案 C解析 由侧视图、俯视图知该几何体是高为2、底面积为12×2×(2＋4)＝6的四棱锥，其体积为4.易知直三棱柱的体积为8，则该几何体的体积是原直三棱柱的体积的48＝12，故选C.10.[2016·贵阳监测]已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)与函数y ＝x 的图象交于点P ，若函数y ＝x 的图象在点P 处的切线过双曲线左焦点F (－2,0)，则双曲线的离心率是( )A.5＋12 B. 2 C.3＋12D.32答案 B解析 设P (x 0，x 0)，因为函数y ＝x 的导数为y ′＝12x ，所以切线的斜率为12x 0.又切线过双曲线的左焦点F (－2,0)，所以12x 0＝x 0x 0＋2，解得x 0＝2，所以P (2，2)．因为点P在双曲线上，所以4a 2－2b2＝1 ①.又c 2＝22＝a 2＋b 2②，联立①②解得a ＝2或a ＝22(舍)，所以e ＝ca＝22＝2，故选B.11．[2015·山西四校联考]在正三棱锥S －ABC 中，M 是SC 的中点，且AM ⊥SB ，底面边长AB ＝22，则正三棱锥S －ABC 的外接球的表面积为( )A ．6πB ．12πC ．32πD ．36π答案 B解析 如图，取CB 的中点N ，连接MN ，AN ，则MN ∥SB .由于AM ⊥SB ，所以AM ⊥MN .由正三棱锥的性质易知SB ⊥AC ，结合AM ⊥SB 知SB ⊥平面SAC ，所以SB ⊥SA ，SB ⊥SC .又正三棱锥的三个侧面是全等的三角形，所以SA ⊥SC ，所以正三棱锥S －ABC 为正方体的一个角，所以正三棱锥S －ABC 的外接球即为正方体的外接球．由AB ＝22，得SA ＝SB ＝SC ＝2，所以正方体的体对角线为23，所以所求外接球的半径R ＝3，其表面积为4πR 2＝12π，故选B.12．[2016·重庆质检]设f ′(x )是函数f (x )的导函数，且f ′(x )>2f (x )(x ∈R )，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝e(e 为自然对数的底数)，则不等式f (ln x )<x 2的解集为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，e 2 B ．(0，e)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，e 2 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2，e 答案 B解析 依题意，记g (x )＝f xe，则有 g ′(x )＝f x2x－f x 2x×2e4x ＝fx －2f xe2x>0，因此函数g (x )在R 上是增函数，且g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12e ＝1.不等式f (ln x )<x 2，即f x x2<1，又g (ln x )＝fxe2ln x＝fxx2<1＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，所以ln x <12＝ln e ，0<x < e.因此，不等式f (ln x )<x 2的解集是(0，e)，选B. 二、填空题13．若向量a ，b 满足：|a |＝1，|b |＝2，(a －b )⊥a ，则a ，b 的夹角是________． 答案π3解析 依题意得(a －b )·a ＝0，即a 2－a ·b ＝0,1－2cos 〈a ，b 〉＝0，cos 〈a ，b 〉＝12；又〈a ，b 〉∈[0，π]，因此〈a ，b 〉＝π3，即向量a ，b 的夹角为π3.14．若不等式x 2＋y 2≤2所表示的平面区域为M ，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0x ＋y ≥0y ≥2x －6表示的平面区域为N ，现随机向区域N 内抛一粒豆子，则豆子落在区域M 内的概率为________．答案π24解析 作出不等式组与不等式表示的可行域如图所示，平面区域N 的面积为12×3×(6＋2)＝12，区域M 在区域N 内的面积为14π(2)2＝π2，故所求概率P ＝π212＝π24.15．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，b cos C ＋c cos B ＝3R (R 为△ABC 外接圆半径)且a ＝2，b ＋c ＝4，则△ABC 的面积为________．答案3解析 因为b cos C ＋c cos B ＝3R ， 得2sin B cos C ＋2sin C cos B ＝3，sin(B ＋C )＝32，即sin A ＝32. 由余弦定理得：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 即4＝b 2＋c 2－bc ，∴4＝(b ＋c )2－3bc ， ∵b ＋c ＝4，∴bc ＝4， ∴S △ABC ＝12bc sin A ＝ 3.16．存在实数φ，使得圆面x 2＋y 2≤4恰好覆盖函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πkx ＋φ图象的最高或最低点共三个，则正数k 的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎦⎥⎤32，3 解析 当函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πk x ＋φ的图象取到最高或最低点时，πk x ＋φ＝π2＋n π(n ∈Z )⇒x ＝k 2＋kn －kπφ(n ∈Z )，由圆面x 2＋y 2≤4覆盖最高或最低点，可知－3≤x ≤3，再令－3≤k 2＋kn －k πφ≤3，得－3k ＋φπ－12≤n ≤3k ＋φπ－12，分析题意可知存在实数φ，使得不等式－3k ＋φπ－12≤n ≤3k ＋φπ－12的整数解有且只有3个，∴2≤3k ＋φπ－12－⎝ ⎛⎭⎪⎫－3k ＋φπ－12<4⇒32<k ≤3，即实数k 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤32，3. (二)一、选择题1．在复平面内，复数21－i ＋2i 2对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 B 解析21－i＋2i 2＝－1＋i ，故选B. 2．已知集合A ＝{x |－2≤x ≤3}，B ＝{x |x 2＋2x －8>0}，则A ∪B ＝( ) A ．(－∞，－4)∪[－2，＋∞) B ．(2,3]C ．(－∞，3]∪(4，＋∞)D ．[－2,2) 答案 A解析 因为B ＝{x |x >2或x <－4}，所以A ∪B ＝{x |x <－4或x ≥－2}，故选A. 3．设x ，y ∈R ，则“x ≥1且y ≥1”是“x 2＋y 2≥2”的( ) A ．既不充分又不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．充分不必要条件答案 D解析当x≥1，y≥1时，x2≥1，y2≥1，所以x2＋y2≥2；而当x＝－2，y＝－4时，x2＋y2≥2仍成立，所以“x≥1且y≥1”是“x2＋y2≥2”的充分不必要条件，故选D.4．据我国西部各省(区，市)2013年人均地区生产总值(单位：千元)绘制的频率分布直方图如图所示，则人均地区生产总值在区间[28,38)上的频率是( )A．0.3 B．0.4C．0.5 D．0.7答案 A解析依题意，由图可估计人均地区生产总值在区间[28,38)上的频率是1－(0.08＋0.06)×5＝0.3，选A.5. 如图，在三棱锥P－ABC中，不能证明AP⊥BC的条件是( )A ．AP ⊥PB ，AP ⊥PC B ．AP ⊥PB ，BC ⊥PBC ．平面BPC ⊥平面APC ，BC ⊥PCD ．AP ⊥平面PBC 答案 B解析 A 中，因为AP ⊥PB ，AP ⊥PC ，PB ∩PC ＝P ，所以AP ⊥平面PBC ，又BC ⊂平面PBC ，所以AP ⊥BC ，故A 正确；C 中，因为平面BPC ⊥平面APC ，BC ⊥PC ，所以BC ⊥平面APC ，AP ⊂平面APC ，所以AP ⊥BC ，故C 正确；D 中，由A 知D 正确；B 中条件不能判断出AP ⊥BC ，故选B.6．执行如下程序框图，则输出结果为()A ．2B ．3C ．4D ．5答案 C解析 依次执行框图中的语句：n ＝1，S ＝0，T ＝20；T ＝10，S ＝1，n ＝2；T ＝5，S ＝3，n ＝3；T ＝52，S ＝6，n ＝4，跳出循环，输出的n ＝4，故选C.7．[2016·合肥质检]在 k ＝1n(x ＋1)k的展开式中含x 2项系数与含x 10项系数相等，则正整数n 的取值为( )A ．12B ．13C ．14D ．15答案 B解析 由二项式定理可知，∑k ＝1n(x ＋1)k的展开式中x 2项的系数为∑k ＝2nC 2k ＝∑k ＝2nk k －2＝∑k ＝2nk 2－k 2＝12·n n ＋n ＋6－n n ＋4＝n －n n ＋6，x 10项的系数为∑k ＝10nC 10k ，将选项中的数值代入验证，从而可知当n ＝13时，n －n n ＋6＝12×13×146＝364，∑k ＝10nC 10k＝1＋11＋66＋286＝364，故选B.8．甲、乙两个几何体的正视图和侧视图相同，俯视图不同，如图所示，记甲的体积为V 甲，乙的体积为V 乙，则()A ．V 甲<V 乙B ．V 甲＝V 乙C ．V 甲>V 乙D ．V 甲、V 乙大小不能确定答案 C解析 由三视图知，甲几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，乙几何体是在甲几何体的基础上去掉一个角，即去掉一个三个面是直角三角形的三棱锥后得到的一个三棱锥，所以V 甲>V 乙，故选C.9．[2015·江西南昌调研]设两条直线的方程分别为x ＋y ＋a ＝0，x ＋y ＋b ＝0，已知a ，b 是方程x 2＋x ＋c ＝0的两个实根，且0≤c ≤18，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是( )A.22，12B.2，22C.2，12D.24，14答案 A解析 因为a ，b 是方程x 2＋x ＋c ＝0的两个实根，所以ab ＝c ，a ＋b ＝－1.又直线x ＋y ＋a ＝0，x ＋y ＋b ＝0的距离d ＝|a －b |2，所以d 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|a －b |22＝a ＋b 2－4ab 2＝－2－4c 2＝12－2c ，因为0≤c ≤18，所以12－2×18≤12－2c ≤12－2×0，得14≤12－2c ≤12，所以12≤d ≤22，故选A.10．[2016·郑州质检]已知函数f (x )＝x ＋4x ，g (x )＝2x ＋a ，若∀x 1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，∃x 2∈[2,3]，使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≤1B ．a ≥1C ．a ≤2D ．a ≥2答案 A解析 由题意知f (x )min ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1≥g (x )min (x ∈[2,3])，因为f (x )min ＝5，g (x )min ＝4＋a ，所以5≥4＋a ，即a ≤1，故选A.11．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点F (－c,0)关于直线bx ＋cy ＝0的对称点P 在椭圆上，则椭圆的离心率是( )A.24B.34C.33D.22答案 D解析 设焦点F (－c,0)关于直线bx ＋cy ＝0的对称点为P (m ，n )，则⎩⎪⎨⎪⎧nm ＋c ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－b c ＝－1b ·m －c 2＋c ·n2＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧n m ＋c ＝c bbm －bc ＋nc ＝0，所以m ＝b 2c －c 3b 2＋c 2＝a 2－2c 2c a 2＝(1－2e 2)c ， n ＝c 2b ＋bc 2b 2＋c 2＝2bc 2a2＝2be 2.因为点P (m ，n )在椭圆上，所以－2e22c2a 2＋4b 2e 4b2＝1，即(1－2e 2)2e 2＋4e 4＝1，即4e6＋e 2－1＝0，将各选项代入知e ＝22符合，故选D. 12．[2016·武昌调研]已知函数f (x )＝sin x －x cos x .现有下列结论：①∀x ∈[0，π]，f (x )≥0； ②若0<x 1<x 2<π，则x 1x 2<sin x 1sin x 2；③若a <sin x x <b ，对∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2恒成立，则a 的最大值为2π，b 的最小值为1.其中正确结论的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3答案 D解析 因为f ′(x )＝cos x －cos x ＋x sin x ＝x sin x ，当x ∈[0，π]时，f ′(x )≥0，故f (x )在[0，π]上是增函数，所以f (x )≥f (0)＝0，所以①正确；令g (x )＝sin xx，则g ′(x )＝x cos x －sin xx 2，由①知，当x ∈(0，π)时，g ′(x )≤0，所以g (x )在[0，π]上是减函数，所以sin x 1x 1>sin x 2x 2，即x 1x 2<sin x 1sin x 2，所以②正确； 当x >0时，“sin x x>a ”等价于“sin x －ax >0”，令g (x )＝sin x －cx ，则g ′(x )＝cos x －c ，当c ≤0时，g (x )>0对x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2恒成立；当c ≥1时，因为对∀x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2. g ′(x )＝cos x －c <0，所以g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递减，从而，g (x )<g (0)＝0对∀x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2恒成立；当0<c <1时，存在唯一的x 0∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2使得g ′(x 0)＝cos x 0－c ＝0成立， 若x ∈(0，x 0)时，g (x 0)>0，g (x )在(0，x 0)上单调递增，且g (x )>g (0)＝0； 若x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，π2时，g ′(x 0)<0，g (x )在⎝⎛⎭⎪⎫x 0，π2上单调递减，要使g (x )＝sin x －cx >0在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上恒成立，必须使g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝sin π2－π2c ＝1－π2c ≥0恒成立，即0<c ≤2π.综上所述，当c ≤2π时，g (x )>0对∀x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2恒成立；当c ≥1时，g (x )<0，对∀x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2恒成立，所以若a <sin x x <b 对∀x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上恒成立，则a 的最大值为2π，b 的最小值为1，所以③正确，故选D.二、填空题13．从编号为001,002，…，500的500个产品中用系统抽样的方法抽取一个样本，已知样本编号从小到大依次为007,032，…，则样本中最大的编号应该为________．答案 482解析 由题意可知，系统抽样的每组元素个数为32－7＝25个，共20个组，故样本中最大的编号应该为500－25＋7＝482.14．[2016·辽宁五校联考]抛物线x 2＝12y 在第一象限内图象上一点(a i,2a 2i )处的切线与x轴交点的横坐标记为a i ＋1，其中i ∈N *，若a 2＝32，则a 2＋a 4＋a 6等于________．答案 42解析 令y ＝f (x )＝2x 2，则切线斜率k ＝f ′(a i )＝4a i ，切线方程为y －2a 2i ＝4a i (x －a i )，令y ＝0得x ＝a i ＋1＝12a i ，由a 2＝32得a 4＝8，a 6＝2，所以a 2＋a 4＋a 6＝42.15．已知a ，b 是正数，且满足2<a ＋2b <4，那么a 2＋b 2的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫45，16 解析 作出不等式表示的平面区域，如图阴影部分所示(不包括边界)，O 到直线a ＋2b ＝2的距离d ＝25，|OB |＝4，显然d 2<a 2＋b 2<|OB |2，即45<a 2＋b 2<16.16．[2016·湖南长郡模拟] 如图，在△ABC 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2＝b 2＋c 2＋bc ，a ＝3，S 为△ABC 的面积，圆O 是△ABC 的外接圆，P 是圆O 上一动点，当S ＋3cos B cos C 取得最大值时，PA →·PB →的最大值为________．答案3＋32解析 本题考查余弦定理、正弦定理、平面向量的运算．在△ABC 中，由a 2＝b 2＋c 2＋bc得b 2＋c 2－a 2＝－bc ，则cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－12，所以sin A ＝32，则由正弦定理得△ABC 的外接圆的半径为r ＝12×a sin A ＝12×332＝1，则b ＝2r sin B ＝2sin B ，c ＝2r sin C ＝2sin C ，所以S ＋3cos B cos C ＝12bc sin A ＋3cos B cos C ＝34×2sin B ×2sin C ＋3cos B cos C ＝3cos(B －C )，则当B ＝C ＝π6时，S ＋3cos B cos C 取得最大值．以O 为原点，OA 所在的直线为y 轴，过O 点垂直于OA 的直线为x 轴建立平面直角坐标系，则A (0,1)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12，设P (cos θ，sin θ)，则PA →·PB →＝(－cos θ，1－sin θ)·⎝ ⎛⎭⎪⎫－32－cos θ，12－sin θ＝32cos θ＋cos 2θ＋12－32sin θ＋sin 2θ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＋32，所以当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝1时，PA →·PB →取得最大值3＋32. (三)一、选择题1．设全集U ＝R ，A ＝{x |x (x －2)<0}，B ＝{x |1－x >0}，则A ∩(∁U B )等于( ) A.{x |x ≥1} B ．{x |1≤x <2} C ．{x |0<x ≤1} D ．{x |x ≤1}答案 B解析 由题意可得A ＝(0,2)，B ＝(－∞，1)，则A ∩(∁U B )＝[1,2)．2．已知实数a ，b 满足(a ＋i)(1－i)＝3＋b i ，则复数a ＋b i 的模为( ) A. 2 B ．2 C. 5 D ．5答案 C解析 依题意，(a ＋i)－(a ＋i)i ＝3＋b i ，因此⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1＝31－a ＝b ，解得a ＝2，b ＝－1，所以a ＋b i ＝2－i ，|a ＋b i|＝|2－i|＝22＋－2＝5，选C.3．下列函数为奇函数的是( ) A ．y ＝x 3＋3x 2B ．y ＝e x＋e －x2C ．y ＝x sin xD ．y ＝log 23－x3＋x答案 D解析 依题意，对于选项A ，注意到当x ＝－1时，y ＝2；当x ＝1时，y ＝4，因此函数y ＝x 3＋3x 2不是奇函数．对于选项B ，注意到当x ＝0时，y ＝1≠0，因此函数y ＝e x ＋e－x2不是奇函数．对于选项C ，注意到当x ＝－π2时，y ＝π2；当x ＝π2时，y ＝π2，因此函数y ＝x sin x不是奇函数．对于选项D ，由3－x 3＋x >0得－3<x <3，即函数y ＝log 23－x3＋x 的定义域是(－3,3)，该数集是关于原点对称的集合，且log 23－－x3＋－x＋log 23－x3＋x＝log 21＝0，即有log 23－－x 3＋－x ＝－log 23－x 3＋x ，因此函数y ＝log 23－x 3＋x是奇函数．综上所述，选D.4．设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内的任意一点，则OA →＋OB →＋OC →＋OD →等于( )A.OM →B ．2OM →C ．3OM →D ．4OM →答案 D解析 因为M 是平行四边形ABCD 对角线AC 、BD 的交点，所以OA →＋OC →＝2OM →，OB →＋OD →＝2OM →，所以OA →＋OB →＋OC →＋OD →＝4OM →，故选D.5．若双曲线C 1：x 22－y 28＝1与C 2：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的渐近线相同，且双曲线C 2的焦距为45，则b ＝( )A ．2B ．4C ．6D ．8答案 B解析 由题意得，b a＝2⇒b ＝2a ，C 2的焦距2c ＝45⇒c ＝a 2＋b 2＝25⇒b ＝4，故选B. 6．运行下面的程序，如果输出的S ＝20142015，那么判断框内是( )A ．k ≤2013?B ．k ≤2014?C ．k ≥2013?D ．k ≥2014?答案 B解析 当判断框内是k ≤n ？时，S ＝11×2＋12×3＋…＋1n n ＋＝1－1n ＋1，若S ＝20142015，则n ＝2014. 7．[2016·郑州质检]将函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π2的图象向右平移π4个单位后得到函数g (x )的图象，则g (x )具有性质( )A ．最大值为1，图象关于直线x ＝π2对称B ．在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4上单调递减，为奇函数C ．在⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π8，π8上单调递增，为偶函数D ．周期为π，图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8，0对称答案 B解析 由题意得，g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π4－π2＝sin(2x －π)＝－sin2x ，对于A ，最大值为1正确，而g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0，图象不关于直线x ＝π2对称，故A 错误；对于B ，当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4时，2x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，满足单调递减，显然g (x )也是奇函数，故B 正确；C 显然错误；对于D ，周期T ＝2π2＝π，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8＝－22，故图象不关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8，0对称，故选B. 8．[2016·重庆测试]某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.332 B ．23 C.532D ．3 3答案 C解析 依题意，如图所示，题中的几何体是从正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中截去一个三棱锥B －A 1B 1E (其中点E 是B 1C 1的中点)后剩余的部分，其中正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面是一个边长为2的正三角形、高为3，因此该几何体的体积为⎝ ⎛⎭⎪⎫34×22×3－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×34×22×3＝532，选C.9．[2016·福建质检]若椭圆上存在三点，使得这三点与椭圆中心恰好是一个正方形的四个顶点，则该椭圆的离心率为( )A.5－12 B.33 C.22D.63答案 D解析 设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，根据椭圆与正方形的对称性，可画出满足题意的图象，如图所示，因为|OB |＝a ，所以|OA |＝22a ，所以点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a 2，又点A 在椭圆上，所以a 24a 2＋a 24b2＝1，所以a 2＝3b 2，所以a 2＝3(a 2－c 2)，所以3c 2＝2a 2，所以椭圆的离心率e ＝c a ＝63，故选D.10．[2016·贵州适应性考试]已知M 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x 21≤x ≤2y ≥0表示的平面区域，直线l ：y ＝2x ＋a ，当a 从－2连续变化到0时，区域M 被直线l 扫过的面积为( )A.73 B ．2 C.32 D.43答案 D解析 作出图形可得区域M 被直线l 扫过的面积为⎠⎛12x 2d x －12×1×2＝13x 3⎪⎪⎪21－1＝13×(8－1)－1＝43，选项D 正确．11．已知在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b ＝3a ，C ＝π6，S △ABC＝3sin 2A ，则S △A BC ＝( )A .34B .32C . 3D ．2答案 A解析 解法一：由b ＝3a ，C ＝π6，得S △ABC ＝12ab sin C ＝12a·3a·12＝34a 2，又S △ABC ＝3sin 2A ，则a 24＝sin 2A ，故a 2＝sin A ，即a sin A ＝2，由a sin A ＝c sin C ，得csin C ＝2，所以c ＝2sin C ＝1，由余弦定理a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ，得a 2＋3a 2－1＝2·a·3a·32，整理得4a 2－1＝3a 2，a 2＝1，所以a ＝1，故S △ABC ＝34. 解法二：由余弦定理a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ，得a 2＋(3a)2－c 2＝2a·3a·cos π6，即a2＝c 2，故a ＝c ，从而有A ＝C ＝π6，所以S △ABC ＝3sin 2A ＝3×sin 2π6＝34，故选A .12．[2016·海口调研]已知曲线f(x)＝k e－2x在点x ＝0处的切线与直线x －y －1＝0垂直，若x 1，x 2是函数g(x)＝f(x)－|ln x|的两个零点，则( )A ．1<x 1x 2<eB .1e <x 1x 2<1C ．2<x 1x 2<2eD .2e<x 1x 2<2答案 B解析 依题意得f′(x)＝－2k e－2x，f′(0)＝－2k ＝－1，k ＝12.在同一坐标系下画出函数y ＝f(x)＝12e －2x与y ＝|ln x|的大致图象，结合图象不难看出，这两条曲线的两个交点中，其中一个交点横坐标属于区间(0,1)，另一个交点横坐标属于区间(1，＋∞)，不妨设x 1∈(0,1)，x 2∈(1，＋∞)，则有12e －2 x 1＝|ln x 1|＝－ln x 1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12e －2，12，12e －2 x 2＝|ln x 2|＝ln x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12e －2，12e －2x 2－12e －2x 1＝lnx 2＋lnx 1＝ln (x 1 x 2)∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，于是有e －12 <x 1 x 2<e 0，即1e<x 1 x 2<1，选B .二、填空题13．已知随机变量X 服从正态分布N(3，σ2)，若P(1<X≤3)＝0.3，则P(X≥5)＝________. 答案 0.2解析 依题意得，相应的正态曲线关于直线x ＝3对称，于是有P(X>3)＝0.5，P(1<X≤3)＝P(3<X≤5)＝0.3，P(X≥5)＝P(X>3)－P(3<X ≤5)＝0.5－0.3＝0.2.14．已知{a n }为等差数列，公差为1，且a 5是a 3与a 11的等比中项，S n 是{a n }的前n 项和，则S 12的值为________．答案 54解析 由题意得，a 25＝a 3a 11，即(a 1＋4)2＝(a 1＋2)(a 1＋10)，a 1＝－1，∴S 12＝12×(－1)＋12×112×1＝54. 15．设函数f(x)在[1，＋∞)上为增函数，f(3)＝0，且g(x)＝f(x ＋1)为偶函数，则不等式g(2－2x)<0的解集为________．答案 (0,2)解析 依题意得f(－x ＋1)＝f(x ＋1)，因此f(x)的图象关于直线x ＝1对称．又f(x)在[1，＋∞)上为增函数，因此f(x)在(－∞，1]上为减函数．又g(x)＝f(x ＋1)为偶函数，因此g(x)在[0，＋∞)上为增函数，在(－∞，0]上为减函数，且g(2)＝f(2＋1)＝f(3)＝0，g(－2)＝0，不等式g(2－2x)<0，即g(|2－2x|)<g(2)，所以|2－2x|<2，－2<2－2x<2，0<x<2，所以不等式g(2－2x)<0的解集是(0,2)．16．[2016·陕西质检]已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线为l ，若l 与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，则a ＝________.答案 8解析 本题考查导数的几何意义、数形结合思想的应用．函数f(x)＝x ＋ln x 的导函数为f′(x)＝1＋1x ，则f′(1)＝1＋11＝2，所以切线l 的方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1，因为直线l 与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，所以方程ax 2＋(a ＋2)x ＋1＝2x －1，即ax 2＋ax ＋2＝0有两个相等的实数根，显然a≠0，则Δ＝a 2－4×2a＝0，解得a ＝8.(四)一、选择题1．已知(z －1＋3i )(2－i )＝4＋3i (其中i 是虚数单位，z 是z 的共轭复数)，则z 的虚部为( )A ．1B ．－1C ．iD ．－i答案 A解析 因为z ＝4＋3i2－i ＋1－3i ＝＋3i ＋i－i＋i＋1－3i ＝1＋2i ＋1－3i ＝2－i ，所以z ＝2＋i ，z 的虚部为1，故选A .2．若集合A ＝{x|(x ＋1)(3－x)>0}，集合B ＝{x|1－x>0}，则A∩B 等于( )A ．(1,3)B ．(－∞，－1)C ．(－1,3)D ．(－1,1)答案 D解析 ∵A＝(－1,3)，B ＝(－∞，1)，∴A∩B＝(－1,1)．3. 一次数学考试后，某老师从自己所带的两个班级中各抽取5人，记录他们的考试成绩，得到如图所示的茎叶图．已知甲班5名同学成绩的平均数为81，乙班5名同学成绩的中位数为73，则x －y 的值为( )A ．2B ．－2C ．3D ．－3答案 D解析 由题意得，72＋77＋80＋x ＋86＋905＝81⇒x ＝0，易知y ＝3，∴x－y ＝－3，故选D .4．已知l ，m ，n 为不同的直线，α，β，γ为不同的平面，则下列判断正确的是( )A ．若m∥α，n∥α，则m∥nB ．若m⊥α，n∥β，α⊥β，则m⊥nC ．若α∩β＝l ，m∥α，m∥β，则m∥lD ．若α∩β＝m ，α∩γ＝n ，l⊥m，l⊥n，则l⊥α答案 C解析 A 项，m ，n 可能的位置关系为平行，相交，异面，故A 错误；B 项，根据面面垂直与线面平行的性质可知B 错误；C 项，根据线面平行的性质可知C 正确；D 项，若m∥n，根据线面垂直的判定可知D 错误，故选C .5．△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若cos A ＝78，c －a ＝2，b ＝3，，则a＝( )A ．2B .52C ．3D .72答案 A解析 由余弦定理可知，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ⇒a 2＝9＋(a ＋2)2－2×3×(a＋2)×78⇒a ＝2，故选A .6.[2016·东北三省联考]如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 是线段CD 的中点，则三棱锥P －A 1B 1A 的侧视图为( )答案D解析如图，画出原正方体的侧视图，显然对于三棱锥P－A1B1A，B(C)点均消失了，其余各点均在，从而其侧视图为D.7．[2016·合肥质检]执行下面的程序框图，则输出的n的值为( )A．10 B．11C ．1024D ．2048答案 C解析 该程序框图共运行10次，S ＝1＋2＋22＋…＋210＝2047，输出的n ＝210＝1024，选项C 正确．8．[2016·河南六市一联]实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧xy≥0|x ＋y|≤1，使z ＝ax ＋y 取得最大值的最优解有2个，则z 1＝ax ＋y ＋1的最小值为( )A ．0B ．－2C ．1D ．－1答案 A解析 画出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，∵z＝ax ＋y 取得最大值的最优解有2个，∴－a ＝1，a ＝－1，∴当x ＝1，y ＝0或x ＝0，y ＝－1时，z ＝ax ＋y ＝－x ＋y 有最小值－1，∴ax＋y ＋1的最小值是0，故选A .9．已知a ，b 都是实数，命题p ：a ＋b ＝2；命题q ：直线x ＋y ＝0与圆(x －a)2＋(y －b)2＝2相切，则p 是q 的( )A ．充分但不必要条件B ．必要但不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 由直线x ＋y ＝0与圆(x －a)2＋(y －b)2＝2相切，得|a ＋b|2＝2，即a ＋b ＝±2，∴p 是q 的充分但不必要条件．10．[2016·山西质检]若函数f(x)＝sin (2x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫|φ|<π2的图象关于直线x ＝π12对称，且当x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3，x 1≠x 2时，f(x 1)＝f(x 2)，则f(x 1＋x 2)＝( )A .12B .22C .32D ．1答案 C解析 由题意得，2×π12＋φ＝π2＋k π，k ∈Z ，∴φ＝π3＋k π，k ∈Z ，∵|φ|<π2，∴k ＝0，φ＝π3，又x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3，∴2x 1＋π3，2x 2＋π3∈(0，π)，∴2x 1＋π3＋2x 2＋π32＝π2，解得x 1＋x 2＝π6，∴f (x 1＋x 2)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π6＋π3＝32，故选C.11．[2016·云南统检]已知双曲线M 的焦点F 1、F 2在x 轴上，直线7x ＋3y ＝0是双曲线M 的一条渐近线，点P 在双曲线M 上，且PF 1→·PF 2→＝0，如果抛物线y 2＝16x 的准线经过双曲线M 的一个焦点，那么|PF 1→|·|PF 2→|＝( )A ．21B ．14C ．7D ．0 答案 B解析 设双曲线方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >0，b >0)，∵直线7x ＋3y ＝0是双曲线M 的一条渐近线， ∴b a ＝73①，又抛物线的准线为x ＝－4，∴c ＝4②， 又a 2＋b 2＝c 2③， ∴由①②③得a ＝3.设点P 为双曲线右支上一点，∴由双曲线定义得||PF 1→|－|PF 2→||＝6④，又PF 1→·PF 2→＝0，∴PF 1→⊥PF 2→，∴在Rt △PF 1F 2中|PF 1→|2＋|PF 2→|2＝82⑤，联立④⑤，解得|PF 1→|·|PF 2→|＝14.12．[2016·石家庄质检]已知函数f (x )＝x ＋e x －a，g (x )＝ln (x ＋2)－4ea －x，其中e 为自然对数的底数，若存在实数x 0使f (x 0)－g (x 0)＝3成立，则实数a 的值为( )A ．－ln 2－1B ．－1＋ln 2C ．－ln 2D ．ln 2答案 A解析 由题意得，f (x 0)－g (x 0)＝x 0＋e x 0－a－ln (x 0＋2)＋4ea －x 0＝3，即ex 0－a＋4ea－x 0＝ln (x 0＋2)＋3－x 0，令h (x )＝ln (x ＋2)＋3－x ，∴h ′(x )＝1x ＋2－1＝－x －1x ＋2，∴h (x )在(－2，－1)上单调递增，(－1，＋∞)上单调递减，∴h (x )max ＝h (－1)＝4，而ex 0－a＋4ea －x 0≥2ex 0－a·4ea －x 0＝4，当且仅当e x 0－a＝4ea －x 0，即ex 0－a＝2时，等号成立，∴e－1－a＝2，∴a ＝－1－ln 2，故选A.二、填空题13．已知向量a ，b 的夹角为3π4，|a |＝2，|b |＝2，则a ·(a －2b )＝________.答案 6解析 a ·(a －2b )＝a 2－2a ·b ＝2－2×2×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝6. 14.⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x2－2n展开式中的常数项是70，则n ＝________. 答案 4解析 ∵⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x2－2n ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 2n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 2n，∴T r ＋1＝C r2n (－1)r x 2n －r －r，∴C n2n ＝70，又C 48＝70，∴n ＝4.15．[2016·海口调研]半径为2的球O 中有一内接正四棱柱(底面是正方形，侧棱垂直底面)．当该正四棱柱的侧面积最大时，球的表面积与该正四棱柱的侧面积之差是________．答案 16(π－2)解析 依题意，设球的内接正四棱柱的底面边长为a 、高为h ，则有16＝2a 2＋h 2≥22ah ，即4ah ≤162，该正四棱柱的侧面积S ＝4ah ≤162，当且仅当h ＝2a ＝22时取等号．因此，当该正四棱柱的侧面积最大时，球的表面积与该正四棱柱的侧面积之差是4π×22－162＝16(π－2)．16．已知数列{a n }的首项a 1＝1，前n 项和为S n ，且S n ＝2S n －1＋1(n ≥2，且n ∈N *)，数列{b n }是等差数列，且b 1＝a 1，b 4＝a 1＋a 2＋a 3.设c n ＝1b n b n ＋1，数列{c n }的前n 项和为T n ，则T 10＝________.答案1021解析 解法一：数列{a n }的首项a 1＝1，前n 项和为S n ，且S n ＝2S n －1＋1(n ≥2，且n ∈N *)，∴当n ＝2时，a 1＋a 2＝2a 1＋1，∴a 2＝2，当n ≥3时，a n ＝S n －S n －1＝2S n －1－2S n －2＝2a n －1，又a 2＝2a 1，∴a n ＝2a n －1(n ≥2，且n ∈N *)，数列{a n }为首项为1，公比为2的等比数列，∴a n ＝2n －1，a 3＝22＝4.设数列{b n }的公差为d ，又b 1＝a 1＝1，b 4＝1＋3d ＝7，∴d ＝2，b n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1，c n ＝1b n b n ＋1＝1n －n ＋＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，∴T 10＝12⎝ ⎛1－13＋13－15＋…＋12×10－1－⎭⎪⎫12×10＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－121＝1021.解法二：∵数列{a n }的首项a 1＝1，前n 项和为S n ，且S n ＝2S n －1＋1(n ≥2，且n ∈N *)，∴当n ＝2时，a 1＋a 2＝2a 1＋1，∴a 2＝2，当n ＝3时，a 1＋a 2＋a 3＝2a 1＋2a 2＋1，∴a 3＝4.设数列{b n }的公差为d ，又b 1＝a 1＝1，b 4＝1＋3d ＝7，∴d ＝2，b n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1，c n ＝1b n b n ＋1＝1n －n ＋＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，∴T 10＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋13－15＋…＋12×10－1－12×10＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－121＝1021.。