基于1_2_3高阶剪切变形理论的四边形层合板单元列式_陈荣庚

Φ
k 7
Φ
k 8
Φ
k 9
Φ1k0
L u= 0
1
0
Ψk 1
Ψk 2
Ψk 3
Ψk 4
Ψk 5
Ψk 6
Ψk 7
Ψk 8
Ψk 9
Ψk 10
001 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
du= u0
v0 w 0
u11
u1
u2
u3
5w0 5x
v11
v1
v2
v3
5w0 T 5y
对四节点四边形单元 , 每个节点的自由度为 13个 ,
(3)
Fq1=( 1 +ξ1ξ) ( 1 +η1η) ( 2 +ξ1ξ +η1η - ξ2 - η2 ) /8=( 1 - ξ) ( 1 - η) ( 2 - ξ - η - ξ2 - η2 ) /8; ( 4)
F qx1
=
ξ 1
(1
+ξ1ξ) 2 ( 1
+η1η)
(ξ1ξ -
1)
/8
=
(1
- ξ) 2 ( 1
1 基于 1, 2 - 3高阶理论的四边形层 合板单元的列式
文献 [ 1 ] 提出的高阶理论的位移模式写为矩
阵形式如下 :
uk ( x, y, z)
{ uk } = vk ( x, y, z) = L udu,
(1)
wk ( x, y, z)
其中 :
1
0
0
Φ
k 1
Φ2k
Φ
k 3
Φ
k 4
Φ
k 5
Φ6k
(Nw0 ) i = Fqi = ( 1 +ξiξ) ( 1 +ηiη) ( 2 +ξiξ +
ηiη - ξ2 - η2 ) /8;
(Nw0 , x) i = Fqx i
=
ξ i
(
1
+ξiξ) 2
(1
+ηiη)
(ξiξ -
1)
/ 8;
(Nw0 , y) i = Fqy i
C qy
( 1 - ξ) ( 3η2 - 2η - 1) /8
J qy =
( x,ξ) qy ( x,η) qy
( y,ξ) qy
A qy ( x1 - x2 ) + B qy ( x3 - x4 )
=
( y,η) qy
C qy·x1 +D qy·x2 +Eqy·x3 +Fqy·x4
A qy ( y1 - y2 ) + B qy ( y3 - y4 )
,
C qy·y1 +D qy·y2 +Eqy·y3 +Fqy·y4
( 11 ) ( 12 )
226
大 连 水 产 学 院 学 报 第 24卷
A qy = - ( 1 +η) ( 1 - η) 2 /8, B qy = (η - 1) ( 1 +η) 2 /8, C qy = ( 1 - ξ) ( 3η2 - 2η - 1) /8, D qy = ( 1 +ξ) ( 3η2 - 2η - 1) /8, Eqy = ( 1 +ξ) ( 3η2 + 2η - 1) /8, Fqy = ( 1 - ξ) ( 3η2 + 2η - 1) /8。
Fqx1, x
F qx1,ξ
A qx
( 1 - η) ( 3ξ2 - 2ξ - 1) /8
= J qx- 1 ·
= J qx- 1 ·
= J qx- 1 ·
,
Fqx1, y
F qx1,η
E qx
- ( 1 +ξ) ( 1 - ξ) 2 /8
J qx =
( x,ξ) qx ( x,η) qx
( y,ξ) qx ( y,η) qx
A qx·x1 +B qx·x2 +C qx·x3 +D qx·x4
= Eqx ( x1 - x4 ) + Fqx ( x2 - x3 )
A qx·y1 +B qx·y2 +C qx·y3 +D qx·y4
, Eqx ( y1 - y4 ) + Fqx ( y2 - y3 )
(9) ( 10 )
A qx = ( 1 - η) ( 3ξ2 - 2ξ - 1) /8, B qx = ( 1 - η) ( 3ξ2 + 2ξ - 1) /8, C qx = ( 1 +η) ( 3ξ2 + 2ξ - 1) /8, D qx = ( 1 +η) ( 3ξ2 - 2ξ - 1) /8,
上式 du中的面内自由度取双线性插值 , 横向自由 度取与薄板非协调板单元 [ 2 ]相同的位移插值函数 。
具体形式表示如下 :
(N u0 ) i = (N v0 ) i = (N u11 ) i = (N u1 ) i = (N u2 ) i
= (N u3 ) i = (N v11 ) i = (N v1 ) i = (N v2 ) i = (N v3 ) i = L qi = ( 1 +ξiξ) ( 1 +ηiη) /4;
关键词 : 复合材料层合板 ; 高阶剪切变形理论 ; 四边形单元列式 中图分类号 : TB33; O316 文献标志码 : A
复合材料层合板是目前工程中广泛使用的一种 材料 , 对其结构的力学分析问题是普遍关注的重要 问题之一 。由于层间剪切强度和层间拉伸强度只有 纤维方向拉 、压强度的数十分之一 , 层间应力常常 超过其强度引起脱层破坏 , 因此 , 除了必须精确计 算面内应力外 , 还必须精确计算数值较小但很重要 的层间应力 , 这使计算变得很复杂 。基于高阶剪切 变形层合板理论的位移型有限单元法在确定层合板 整体响应时具有较高的精度 , 而在确定层合板层间 横向剪切应力时往往精度不高 。为了提高横向剪切 应力计算的精度 , 通常要采用各种复杂的方法 , 而 文献 [ 1 ] 利用整体 - 局部位移假设 , 推导出一种 具有较高精度的 1, 2 - 3 高阶剪切变形层合板理 论 , 该理论能满足层间位移 、应力连续条件 , 满足 上 、下自由表面条件 , 并建立基于此理论的三节点 精化三角形层合板单元和三节点高精度的层合梁单 元 , 建立的单元有保证收敛 、简单实用 、自由度少 等特点 。本研究中 , 作者推导了基于 1, 2 - 3高阶 剪切变形层合板理论的四边形单元 。这样 , 利用三 角形单元和四边形单元 , 就可以对任意形状的复合 材料层合板进行有限元分析计算 。
γk xz
5 5z
0
5 5x
wk
γk
yz
0
55 5z 5y
= A ·N ·{δe } = B ·{δe } = [B 1 B2 B 3 B 4 ] ·{δe } ,
其中 :
5 5x
0
5 5y
5 5z
0
0
5 5y
5 5x
0
5 5z
0
0
0
5
5
5x
5y
Φk 5 15x
Ψk 5 15y
Φk 1
- η)
(ξ + 1)
/ 8;
(5)
F qy1
=
η 1
(1
+η1η) 2 (η1η -
1)
(ξ1ξ + 1)
/8
=
(1
- η) 2 ( 1
+η)
(1
- ξ)
/ 8;
(6)
Fq1, x
F q1,ξ
Aq
( 1 - η) ( 3ξ2 +η2 +η - 3) /8
= J q- 1 ·
= J q- 1 ·
= J q- 1 ·
5 5y
+Ψ1k
5 5x
Φk 5 Ψk 5
15z
15z
Φk 5 25x
Ψk 5 25y
Φk 2
5 5y
+Ψ2k
5 5x
Φk 5 Ψk 5
25z
25z
Φk 5 35x
Ψk 5 35y
Φk 3
5 5y
+Ψ3k
5 5x
Φk 5 Ψk 5
35z
35z
A
= [5
] ·L u
=
Φk 5 45x
Ψk 5 45y
Φk 4
(B 5, 3 ) 1
Φk 1
5 5
L x
q1
=
η i
(1
+ηiη) 2
(ηiη -
1)
(ξiξ + 1)
/ 8;
i = 1, 2, 3, 4。
收稿日期 : 2009 - 03 - 09 基金项目 : 辽宁省教育厅高等学校科学研究项目 (20101026) 作者简介 : 陈荣庚 (1960 - ) , 男 , 博士 , 教授 。 E - mail: chenrg@ dlfu1edu1cn
摘要 : 基于整体 - 局部位移假设的 1, 2 - 3高阶理论 , 推导出了适合计算任意角铺设复合材料层合板位
移及层间应力的四边形层合板单元列式 。对任意几何形状的复合材料层合板力学计算问题 , 都可以利用三 角形单元和四边形单元进行有效的有限元计算 。这表明四边形层合板单元的建立 , 无论是在理论上还是在 工程实践上都具有重要意义 。
下标按 1 → 2 → 3 → 4轮换 ,可得到 N2 、N3 、N4 。 由应变位移关系得到第 K层应变为
εk
5 5x
0
0
x
εk
0
5 5y