弹塑性力学-第3章 应变状态
第三章 变形几何理论
弹塑性力学
第三章 变形几何理论 （续1）
第三章概述与学习指导： ★ 第三章概述与学习指导：
本章介绍了弹塑性力学基本理论中的几何变形 的应变理论。 的应变理论。 在应变理论的研究过程中， 在应变理论的研究过程中，仅在连续性假设和 小变形的前提条件下研究变形， 小变形的前提条件下研究变形，而没有涉及到材料 具体的变形性质。 具体的变形性质。 因此， 因此，几何变形的应变理论是对固体力学各分 支学科普遍适用的理论。 支学科普遍适用的理论。 本章应变理论的学习可分成以下三部分进行学 习：
◆ 考察单元体在xy平面上投影 ABCD 的变形。 考察单元体在xy平面上投影 的变形。 xy ◆ 当微分体
变形并出现位 移后， 移后，其在xoy 平面上的投影
ABCD 就移至
新的位置： 新的位置：
A′B′C ′D′
如图所示。 如图所示。
弹塑性力学
位移、应变、应变状态、几何方程、 §3-1 位移、应变、应变状态、几何方程、应变张量 （续5）
位移
｛
刚性位移：反映物体整体位置的变动； 刚性位移：反映物体整体位置的变动； 变形位移：反映物体的形状和尺寸发生变化； 变形位移：反映物体的形状和尺寸发生变化；
研究物体在外力作用下的变形规律， 研究物体在外力作用下的变形规律，只 需研究物体内各点的相对位置变动情况， 需研究物体内各点的相对位置变动情况，即 研究变形位移。 研究变形位移。
弹塑性力学
位移、应变、应变状态、几何方程、 §3-1 位移、应变、应变状态、几何方程、应变张量 （续1）
通常物体内各点的位移应是点的位置坐标函数， 通常物体内各点的位移应是点的位置坐标函数， 坐标即为： 参照 oxyz 坐标即为：
u = u (x , y , z) ； v = v (x , y , z) ； w = w (x , y , z)
《弹塑性力学》第三章 应变分析
而 ij 表示变形体的形变，ij 表示了刚体转动。
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§3-2 应变张量和转动张量
以在平面x1 —x2的两个垂直线段PQ、PR 的相对位移来说明并直观看一下ij，ij二阶张
量表示了形变和刚体转动。
x2
R
dx2=1
P
Q
dx1=1
x1
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§3-2 应变张量和转动张量
x2 R
此处c为一个很小的常数，求应变张量ij 和转 动张量 ij 。
2. 将直角坐标系绕x3轴转动角，求新坐标系 应变分量的转换关系。
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作业：
3. 假定体积不可压缩，位移 u1(x1,x2) 与
u2(x1,x2) 很小， u3=0。在一定区域内已知
u1=c(1-x22)(a+bx1+cx12) ,其中a、b、c为 常数，且12=0，求 u2(x1,x2)。
1 2
eijkijek
为转动张量的对偶矢量。
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§3-2 应变张量和转动张量
比较工程应变定义和应变张量，可得：
11 12 13 11 212 213
21
22
23
2
21
22
2
23
31 32 33 231 232 33
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§3-3 应变张量和转动张量的坐 标变换式
于为一由个，纯沿其刚大x体3小轴转方动3向: 可的见转，动矢12=量-231e，3，正方好向相当e3
3
1 2
(12
21 )
1 2
(e12312
e213 21 )
弹塑性力学 第3章弹性与塑性应力应变关系
3－5 塑性应力应变关系
在塑性变形阶段，应力与应变关系是非线性的，应
变不仅和应力状态有关，而且还和变形历史有关。 如果不知道变形的历史，便不能只根据即时应力状 态唯一地确定塑性应变状态。而且如果只知道最终 的应变状态，也不能唯一地确定应力状态。
考虑应变历史，研究应力和应变增量之间的关系，
以这种关系为基础的理论称为增量理论。增量理论 是塑性力学中的基本理论。
A B
模型：
s
e E E s s e
O
线性强化弹
塑性模型：
A
B E1
s
E
O
s
e E E1 ( s ) s e
B
线性强化刚塑性
A
模型：
s
O
E s
或 其中
i s
i
3 2
0 3J 2
按照Mises条件
s
s
3
应力强度、等效应力
i
1 2
1 2 2 2 3 2 3 1 2
形变比能
1 1 2 2 2 3 2 3 1 2 Ws 12G
用主应力偏量与主应变偏量表示
e1 e2 e3 1 s1 s2 s3 2G
用主应力差与主应变差表示
1 2 2 3 3 1 1 1 2 2 3 3 1 2G
说明，在弹性阶段，应变莫尔圆与应力莫尔 圆成比例。 用3个主应力差与3个主应变差表示
屈服条件——屈服条件又称塑性条件，它
是判断材料处于弹性阶段还是处于塑性阶 段的准则。 在应力空间中，将从弹性阶段进入塑性阶 段的各个界限点（屈服应力点）连接起来 就形成一个区分弹性区和塑性区的分界面， 这个分界面即称为屈服面，而描述这个屈 服面的数学表达式称为屈服函数或称为屈 服条件。
岩土弹塑性力学教学课件(共13章)第3章_应变状态
§3.1 应变状态11
• 三个刚性转动分量及6个应变分量合在一起，才全 面反映了物体变形
xyz x y z xy yz zx
B
B’’ 刚性转动
B’’’
B’
变形
A 刚性平动 A`
§3.1 应变状态12
• 工程应变： ln l0
l0
变形后长度 原始长度
不适用于大变形
• 自然应变/对数应变：
在塑性变形较大时，用-曲线不能真正代表加载和变形的状态。
x y z
• ——弹性体一点的体积改变量
• 引入体积应变有助于简化公式。
• 大于零表示体积膨胀，小于零体积压缩。
• 注意：土力学中塑性体应变符号约定相反。
§3.2 主应变与应变主方向8
应变Lode参数: 为表征偏量应变张量的形式，引入应变Lode参数：
22 3 1 3
1
(1.66)
如果两种应变状态με 相等，表明它们所对应的应变莫尔圆 相似，也即偏应变张量的形式相同。
Vz y
;
zx
Vz x
Vx z
;
§3.3 应变率张量 2
小变形情况下，应变速率分量与应变分量间存在如下关系:
x
Vx x
du x dt
d dt
u x
x
u x
y
Vy y
dv y dt
d v
dt
y
y
v y
z
Vz z
z
dw dt
d w dt z
z
w z
线应变速率
j
Vj,i )
(1.56)
§3.3 主应变与应变主方向 4
由于时间度量的绝对值对塑性规律没有影响，因
第三章 应变状态理论
ε x ε y ε z ε xy ε yz ε zx
则相对位移张量（非对称） 则相对位移张量（非对称）可分解为应变张量与转 动张量。 动张量。
2010-11-10 19
3.3 转轴时应变分量的变换
设在坐标轴oxyz下，物体内某一点的 个应 下 物体内某一点的6个应 设在坐标轴 变分量为 εx ,ε y ,εz ,γ xy,γ yz,γ zx 。现使坐标轴旋 转一个角度，新老坐标的关系为： 转一个角度，新老坐标的关系为： x y z
∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂
v z w x u y
ω ω 称为转动分量。 称为转动矢量， 这里的ω 称为转动矢量，而ω x， y ， z 称为转动分量。 由此，可将相对位移张量分解为两个张量： 由此，可将相对位移张量分解为两个张量：
∂u ∂x ∂v ∂x ∂w ∂x ∂u ∂y ∂v ∂y ∂w ∂y ∂u ∂z ∂v ∂z ∂w ∂z
x
+ε
y
+εz)
则体应变为
V * −V θ = = εx +εy +εz V
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又可表示为： 又可表示为：
∂u ∂v ∂w θ = + + ∂ x ∂ y ∂z
对于某一初始连续的物体，按某一应变状态变形 后必须保持其整体性和连续性，即物体既不开裂，又 不重叠，此时所给定的应变状态是协调的，否则是不 协调的。
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εij应变张量各分量满足的应变协调条件： 应变张量各分量满足的应变协调条件：
2 2 ∂ 2ε x ∂ ε y ∂ γ xy + 2 = 2 ∂y ∂x ∂x∂y
第3章-应变分析
xx ( ij ) yx zx
xy xz x yy yz 1 2 yx 1 zy zz 2 zx
1 2
xy y 1 2 zy
简记为： 1 (u u ) ij j ,i i, j 1 2 2 xz 1 2 yz 称为应变张量 z
—P点沿 x,y 两垂直方向棱边角度的变化： xy yx xy 考察 apa ，由于 yx 很小，故有
于是有：
xy yx
v u x y
dy v v ( x, y )
dy
b
d
v v( x dx, y)
y
p
（3-5）
z
o x
z
dz
f
c
dx a p b d
e g
p
dy
o x
y
< i > Oxy平面：微元体pabd（六面体在xy平面上的投影部分）。
dy v v
y
dy v v ( x, y )
v
b
p
x
xy
b b
d a
v v( x dx, y)
p yx a
dy
M (ii) 切应变：物体内一点P(x,y,z)的两垂直方向 和 N 方向之 间的角度变化量，称之为 M 和 N 方向的切应变。
则 xy ：变形后 x、y 两垂直方向间夹角的变化量。
MN 1 2
变形后 M、N 两垂直方向间角度的变化量
规定：两轴正向间的夹角减小为正，夹角增大为负。
Chapter 3 应变分析
3-1、位移与变形
第3章弹性与塑性应力应变关系(修改)解读
四、名义应力与真实应力
在一般的拉伸实验中，设 A0 为初始截面积，P为外载，
则有：
名义应力： P / A0
若试件标距长度为 l0，伸长为 l，则有：
2020/3/12周书敬
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第三章 弹性与塑性应力应变关系
名义应变： l / l0
这里的 并不是试件截面上的真实应力，这是因为在
3-1中的 DO、HO ，可以看出当逐渐卸除拉力，应力和应变
关系将沿着与OB平行的斜线 DH 和 HO回到O 点和O点。
如果由点 O"开始再加载，则加载过程仍沿 O"H线' 进行， 直到H点后材料才开始屈服，因此材料的比例极限得到了提 高。
5、局部变形阶段： b点以后
在b点之前，试件处于均匀的应变 状态，到达b点之后，试件出现颈缩现
2020/3/12周书敬
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第三章 弹性与塑性应力应变关系
一般认为“包辛格效应”是由多晶材料晶界间的残余应 力引起的。 “包辛格效应”使材料具有各向异性性质。
理想包辛格效应：若一个方向屈服极限提高的数值和相 反方向屈服极限降低的数值相等，则称为理想包辛格效应。
包辛格效应的数学描述比较复杂，因而在塑性力学中， 对这一效应的数学描述经常要进行相应的简化。
E
（3－1）
式中：E—弹性模量（moculus of elastics） ；
2020/3/12周书敬
3
第三章 弹性与塑性应力应变关系
A点对应的应力称为比例极限（Propotional limit）
2、弹性变形阶段 ： AB段
这时， 与 之间的关系不再
是线性，但变形仍然是弹性的； B点 对 应 的 应 力 称 为 弹 性 极 限 (elastic limit)。
弹塑性力学-03应力应变关系
x
1 E
x
y
z
y
1 E
y
z
x
z
1 E
z
x
y
xy
xy
G
2(1 E
) xy
yz
yz
G
2(1 E
)
yz
zx
zx
G
2(1 E
)
zx
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❖ 屈服曲线的性质：
1. 屈服曲线是一条封闭曲线，并且坐标原点被包围在内。
2. 由原点O向外作的射线与屈服曲线必相交，且只相交一次（材料的初 始屈服强度是唯一的）。
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§3–1 拉伸应力 -- 应变曲线
二、真应力--应变曲线
T
P A
A'
TA
B A
A
o'
o
1
A
材料不可压缩： Al A0l0
T
P A0
l l0
T (1 )
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x
z
1 E
z
x
y
xy
xy
G
2(1 E
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第三章 应变状态理论在外力、温度变化或其他因素作用下，物体内部各质点将产生位置的变化，即发生位移。
如果物体内各点发生位移后仍保持各质点间初始状态的相对位置，则物体实际上只发生了刚体平移和转动，这种位移称为刚体位移。
如果物体各质点发生位移后改变了各点间初始状态的相对位置，则物体同时也产生了形状的变化，其中包括体积改变和形状畸变，物体的这种变化称为物体的变形运动或简称为变形，它包括微元体的纯变形和整体运动。
应变状态理论就是研究物变形后的几何特性。
即给定物体内各点变形前后的位置，确定无限接近的任意两点之间所连矢量因物体变形所引起剧烈变化。
这是一个单纯的几何问题，并不涉及物体变形的原因，也就是说并不涉及物体抵抗变形的物理规律。
本章主要从物体变形前后的几何变化论述物体内一点的应变状态。
位移与线元长度、方向的变化坐标与位移设变形前物体上各点的位置在笛卡尔坐标(Descarter coordinate)系的轴(X 、、Y、Z )上的投影为(z y x ,,)，又设物体上各点得到一位移，并在同一坐标轴上的投影为(u 、v 、w )，这些位移分量可看作是坐标(z y x ,,)的函数。
于是物体上任点的最终位置由下述坐标值决定。
即⎪⎭⎪⎬⎫+=+=+=),,(),,(),,(z y x w z z y x v y z y x u x ζηξ上式中函数u 、v 、w 以及它们对坐标(z y x ,,)的偏导数假设是连续的，则式确定了变量(z y x ,,)与),,(ζηξ之间的关系。
因为物体中变形前各点对应看变形后的各点，因此式是单值的，所以式可看成是坐标的一个变换。
如果在中，假设00,y y x x ==，则由式可得如下三个方程⎪⎭⎪⎬⎫+=+=+=),,(),,(),,((00000000z y x w z z y x v y z y x u x ςηξ式决定了一条曲线，曲线上各点Λ,,21**M M ，在物体变形前为平行于z 轴的直线(00,y y x x ==)上(图。
由此可见，变形前物体上与坐标轴平行的坐标线，在变形后的物体上一般将成为曲线。
换句话说，如果用没有变形状态的坐标(z y x ,,)末表征物体上各点的位置，到变形终了状态将是曲线坐标；反之，如果用),,(ζηξ表示各点的坐标，则对巳变形物体是笛卡尔坐标，而对于变形前的物体将是曲线坐标。
由以上可见，描述连续介质变形的方法有上述两种，分别称为Lagrange 法Euler法。
Lagrange 描述法是用变 形前的坐标 (z y x ,,)做自变 量，而Euler 法则是用变形 后的坐标),,(ζηξ做自变量。
在固体力学中，通常物 体的初始形状、固定情况以 及载荷是一定的，需要确定 的是物体各点的位移u 、v 、w 和应力ij σ。
对于小变形一般采用Lagrange 坐标法；而 对于大变形有时用Euler 法。
在数值计算中，通常采用矢量 来表示，因为要计算变形前后 两次应变的变化，所以用Euler 法比较方便。
在以后的讨论中，我们采用Lagrange 坐标法。
图 变形表示法变形体的应变设物体中变形前相距十分近的两点N M ,，变形后移位至**N M ,。
变形前N M ,的坐标分别为),,(z y x M ，),,(dz z dy y dx x N +++，变形后**N M ,的坐标分别),,(),,,(ζζηηξξζηξd d d N M +++**。
那么，矢量MN 所表示的线元在物体变形后由矢量**N M 表示线元。
那么，MN 和**N M 的平方为2222dz dy dx dS ++== (a)2222ζηξd d d dS ++==* (b)根据式，点*N 在x du u dx x d +++=+ξξ (c) 此处du 是因N M ,两点所产生的增量，将其在(z y x ,,)处展开为Taylor 级数，即Λ+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=222222222)()()(dz z u dy y u dx x u dz z u dy y u dx x u du (d)略去(d)式中的高阶微量(2)dx ，…，并将(d)式代入(c)式，则可得 dz zudy y u dx x u u dx x d ∂∂+∂∂+∂∂+++=+ξξ 由式知，u x +=ξ,所以 dz zudy y u dx x u d ∂∂+∂∂+∂∂+=)1(ξ 同理可得⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫∂∂++∂∂+∂∂=∂∂+∂∂++∂∂=dz z w dy y w dx x w d z v dy y v dx x v d )1()1(ζη式表示用物体的任意线元在变形前的投影表出它在变形后的投影。
我们的目的是为了计算dS 与*dS 之差，于是由(a)式和(e)式可得)(222222dzdx dydz dxdy dz dy dx dS dS zx yz xy z y x γγγεεε+++++=-* (f)式中⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎫==∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂====∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂====∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂==⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=xz zx xz zxzy yz zy yz yx xy yx xy z y x z wx w z v x v z u x u x w z u zwy w z v y v z u y u y w z v y wx w y v x v y u x u x v y u z w z v z u z w y w y v y u y v x w x v x u x u εεγγεεγγεεγγεεε222222)()()(21)()()(21)()()(21222222222式实际上就是应变在各坐标方向的分量，它是非线性的。
如果知道了变形体各点的位移u 、v 、w ，则可由该式求得各点的应变分量，式可采用张量表示为{}⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=z zy zx yz yyxxz xy x ij εγγγεγγγεε212121212121线元的长度变化 引入符号dSdSdS E MN -=* MN E 是点M 和N 间由变形引起的距离的增加量对二者间变形前的距离的比．我们把这个量称作点M 在点N 方向的相对伸长度。
根据式(a)和式(f)，并注意式，则可得伸长度MN E 的表达式为dzdx dydz dxdy dz dy dx dS E E zx yz xy z y x MN MN γγγεεε+++++=+2222)211(=nl mn lm n m l zx yz xy z y x γγγεεε+++++222式中 dS dx l =，dS dy m =，dSdzn =是矢量的方向余弦。
如果在(g)式中令0,1===n m l ，那么有121-+=x x E ε此处x E 表示M 点在x 方向的相对伸长度。
类似有M 点在y 、z 方向的相对伸长度为121-+=y y E ε 121-+=z z E ε因此，应变分量x ε、y ε、z ε描述了变形前平行于坐标轴的那些线元的伸长度，它们称为正应变。
线元方向的变化变形物体中的线段，在变形时不仅长度要改变，而且方向也会发生变化。
矢量与坐标轴(X ，Y ，Z)形成的方向余弦分别为l 、m 、n ；而矢量**N M 与坐标轴夹角的方向余弦分别为**=dS d l ξ **=dS d m η **=dS d n ζ 利用式解得*dS =dS E MN )1(+，并注意到式可得⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂++∂∂+∂∂+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂++∂∂+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂+∂∂++=***n z w m y w l x w E n n z v m y v l x v E m n z u m y u l x u E l MN MN MN )1(11)1(11)1(11 式表示任意线元在变形后的方向，即变形后**N M 的方向余弦可以用变形前的方向余弦表示。
如果变形前线元dx 与X 轴平行，则该线元的方向余弦为1=l ，0==n m ，那么由式知，该线元变形后的方向余弦为x E x u l +∂∂+=*11 x E x v m +∂∂=*1 xE x wn +∂∂=*1 此处x E 是变形前与X 轴平行线元的伸长度。
由上式可以看出，对于任意线元，因各个方向的位移u 、v 、w 不相同，因此方向要改变(图；同时各个方向的伸长度也不相同，方向也要改变。
因为线元dx 在变形后成为已变形物体 上坐标曲线ξ上的线元，所以式实际 上给出了点*M 上坐标曲线ξ的切线方向的 方向余弦。
类似地可以由 式得出已变 形物体上坐标曲线y 和z 的切线的方向余弦。
如果用x i 、y i 、z i 表示点*M 在坐标、ξ、ηζ切线方向的三个单位矢量，那么该三个单位矢 图 线元的方向余弦 量相对于笛卡尔坐标的方向余弦可由式 如同线元dx 那样得到类似的式。
具体列于表。
类似于的方法也导出用**N M 的方向余弦表示变形前的方向余弦，读者可自行推导。
表 变形后相对于笛卡尔坐标的方向余弦剪切度与切应变 如图所示，设变形前物体中经过M 点的两条任意纤维I 和II ，此两纤维在M 点的切线的方向余弦分别为1l 、1m 、1n 和2l 、2m 、2n ；变形后，物体中的M 点移动到*M ，纤维I 和II 变成纤维*I 和*II ， 纤维*I 和*II 的方向余弦也变为*1l 、*1m 、*1n 和*2l 、*2m 、*2n 。
由前面可知，变形后两纤维的方向余弦可用 X变形前的方向余弦表示，同时由解析几何知 图 剪切变形********++=II I 212121),cos(n n m m l l 则可求得变形后纤维*I 和*II 之间夹角的方向余弦。
将式代入上式，并注意式，则可得[212121)21()21()21()1)(1(1)cos(n n m m l l E E ，z y x εεε+++++++=II I I I I **])()()(122121122121l n l n m n m n m l l m zx yz xy ++++++γγγ注意，式中纤维I 和II 的伸长度I E 和I I E 由确定，但必须用变形前物体的纤维I 和II 的方向余弦1l 、1m 、1n 和2l 、2m 、2n 。
由显然可知，当知道了6个应变分量x ε、y ε、z ε、xy γ、yz γ、zx γ和变形前经过物体中任意一点处的两纤维的方向余弦后，则可由式和求得该两纤维变形后的夹角。