10-6高斯公式与散度 (1)
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散度定理与高斯公式
散度定理与高斯公式在研究电磁学、流体力学以及热传导等领域时，散度定理和高斯公式是非常重要的数学工具。
它们可以用于描述和解释物质和能量在空间中的流动和分布规律。
本文将深入探讨散度定理和高斯公式的概念、原理和应用，并通过实例展示其在实际问题中的作用。
一、散度定理散度定理又称为高斯散度定理，它是微积分中的一个基本定理。
简单来说，散度定理描述了一个有向闭曲面上向量场的通量与该向量场在该闭曲面所围成的体积之间的关系。
下面我们来详细介绍一下散度定理。
散度定理的数学表述如下：对于向量场F，其连续可微函数，它的定义域为包围体V内的有界区域D，其边界为闭曲面S。
那么散度定理可以表示为：∬S F·dS = ∭V div(F) dV在这里，F·dS表示对于向量场F的通量积分，div(F)表示F的散度。
从散度定理中可以看出，一个向量场的通量积分等于该向量场在体积内的散度的体积分。
散度定理的应用非常广泛，包括但不限于以下几个方面：1. 流体力学中的应用：通过散度定理可以计算一个流体的流出流量或流入流量，从而在实际应用中可以用于计算管道中的流体流速、流量、压力等参数。
2. 电磁学中的应用：散度定理可以描述电场与磁场的分布规律，并用于计算电场或磁场的总通量。
3. 热传导中的应用：散度定理可以用于描述热流在空间中的传导规律，并用于计算热量的传递率等参数。
二、高斯公式高斯公式又称为高斯定理，它是微积分中的另一个基本定理。
高斯公式是对于散度定理在三维空间中的一种特殊情况，即当闭曲面是一个球面时，散度定理被称为高斯公式。
下面我们来详细介绍一下高斯公式。
高斯公式的数学表述如下：对于向量场F，其连续可微函数，它的定义域为包围体V内的有界区域D，其边界为球面S。
那么高斯公式可以表示为：∬S F·dS = ∭V div(F) dV由高斯公式的形式可知，在计算球面上的通量积分时，等于该向量场在球内的散度的体积分。
南京航空航天大学《高等数学》10.6高斯(Guass)公式 通量与散度
的Σ1 两个Σ曲−3 面积Σ2 分正Σ好3 抵 Σ消1 , Σ2
Σ
Σ3
Ω2
Σ
− 3
−n
证得高斯公式 .
Σ2
∴ 综合一、二步高斯公式 得证 .
7
注 Σ 当闭 , 取外侧 , P , Q , R 有连续偏导数
Gauss公式的实质 表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面 上的曲面积分之间的关系.
8
例1 计算 : I = ∫∫ x 2dydz + y 2dzdx Σ Σ : x = 0, y = 0, z = 0, x = a, y = b, z = c − −外侧
= − 2π dθ 0
h r 3dr
Dxy
=−
1 πh4
0
2
14
D xy
解法2
对Σ锥：n = −{ x, y, z} / x2 + y2 + z2 = {cosα ,cos β ,cosγ }
∫∫ x2dydz + y2dzdx + z2dxdy
Σ锥
∫∫ = [ x2 cosα + y2 cos β + z2 cosγ ]ds
∫∫ ( y − z)dydz + (z − x)dzdx + ( x − y)dxdy
Σ锥
= ∫∫ [( y − z)cosα + (z − x)cos β + ( x − y)cosγ ]ds Σ锥
∫∫ = − [( y − z)x + (z − x) y + ( x − y)z]/ x2 + y2 + z2 ds Σ锥
gradu ⋅ gradv = ∇u ⋅ ∇v = ∂u ∂v + ∂u ∂v + ∂u ∂v ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z
10-6第六节 高斯公式与散度
Dxy
-3-
Dxy
第 十 章 曲 线 积 分 与 曲 面 积 分
∂R 所以 ∫∫∫ ∂z dxd ydz = ∫∫ Rdxd y Σ Ω 若 Ω 是 其它类型区域 , 则可引进辅助面 相应的区域, 将其分割成若干个 相应的区域 在辅助面 正反两侧面积分正负抵消, 正反两侧面积分正负抵消 故上式仍成立 . 类似可证 ∂Q ∂P ∫∫∫ ∂x dxd ydz= ∫∫ Pd ydz ∫∫∫ ∂y dxd ydz= ∫∫Qdzdx Ω Σ Ω Σ
三式相加, 公式： 三式相加 即得所证 Gauss 公式： ∂P ∂Q ∂R ∫∫∫( ∂x + ∂y + ∂z )dxd ydz Ω = ∫∫ Pd ydz +Qdzd x + Rd xdy
Σ
-4-
第六节
高斯公式与散度
第六节
高斯公式与散度
例1 计算曲面积分
第 十 章 曲 线 积 分 与 曲 面 积 分
( x 2 − yz )dydz + ( y 2 − xz )dzdx + ( z 2 − xy )dxdy ∫∫
表面外侧。 其中 Σ 长方体 Ω : 0 ≤ x ≤ a ,0 ≤ y ≤ b,0 ≤ z ≤ c 表面外侧。
Σ
P = x − yz , Q = y − xz , R = z 2 − xy ,
Σ
- 10 -
第六节
高斯公式与散度
∂v ∂v ∂v 证:令 P = u , Q= u , R= u , 由高斯公式得 = = ∂x ∂y ∂z
第 十 章 曲 线 积 分 与 曲 面 积 分
第六节
高斯公式与散度
∂2v ∂2v ∂2v 2 + 2 + 2 ∂x ∂y ∂z
-3-
Dxy
第 十 章 曲 线 积 分 与 曲 面 积 分
∂R 所以 ∫∫∫ ∂z dxd ydz = ∫∫ Rdxd y Σ Ω 若 Ω 是 其它类型区域 , 则可引进辅助面 相应的区域, 将其分割成若干个 相应的区域 在辅助面 正反两侧面积分正负抵消, 正反两侧面积分正负抵消 故上式仍成立 . 类似可证 ∂Q ∂P ∫∫∫ ∂x dxd ydz= ∫∫ Pd ydz ∫∫∫ ∂y dxd ydz= ∫∫Qdzdx Ω Σ Ω Σ
三式相加, 公式： 三式相加 即得所证 Gauss 公式： ∂P ∂Q ∂R ∫∫∫( ∂x + ∂y + ∂z )dxd ydz Ω = ∫∫ Pd ydz +Qdzd x + Rd xdy
Σ
-4-
第六节
高斯公式与散度
第六节
高斯公式与散度
例1 计算曲面积分
第 十 章 曲 线 积 分 与 曲 面 积 分
( x 2 − yz )dydz + ( y 2 − xz )dzdx + ( z 2 − xy )dxdy ∫∫
表面外侧。 其中 Σ 长方体 Ω : 0 ≤ x ≤ a ,0 ≤ y ≤ b,0 ≤ z ≤ c 表面外侧。
Σ
P = x − yz , Q = y − xz , R = z 2 − xy ,
Σ
- 10 -
第六节
高斯公式与散度
∂v ∂v ∂v 证:令 P = u , Q= u , R= u , 由高斯公式得 = = ∂x ∂y ∂z
第 十 章 曲 线 积 分 与 曲 面 积 分
第六节
高斯公式与散度
∂2v ∂2v ∂2v 2 + 2 + 2 ∂x ∂y ∂z
高斯散度定理公式
高斯散度定理公式
高斯散度定理公式是∫∫（(əQ/əx)-(əP/əy)）dxdy。
散度定理又称为高斯散度定理、高斯公式，是指在向量分析中，一个把向量场通过曲面的流动（即通量）与曲面内部的向量场的表现联系起来的定理。
散度定理经常应用于矢量分析中。
矢量场的散度在体积τ上的体积分等于矢量场在限定该体积的闭合曲面s上的面积分。
在物理和工程中，散度定理通常运用在三维空间中。
然而，它可以推广到任意维数。
在一维，它等价于微积分基本定理；在二维，它等价于格林公式。
散度是描述空气从周围汇合到某一处或从某一处流散开来程度的量。
从定义中还可以看出，散度是向量场的一种强度性质，就如同密度、浓度、温度一样，它对应的广延性质是一个封闭区域表面的通量。
高斯公式通量与散度课件
通过高斯公式，可以对流体的能量进 行分析，了解流体在某一区域的能量 分布情况。
流速场分析
结合高斯公式和压力场，可以对流速 场进行分析，了解流体在某一区域的 流速大小和方向。
04
高斯公式通量与散度的推导
推导高斯公式通量部分
推导过程
利用微分几何中的高斯定理，将三维 空间中的通量转化为曲面上的积分， 再通过坐标变换和代数运算，得到通 量的高斯公式。
详细描述
高斯公式也称为高斯-奥斯特罗格 拉德斯基公式，它表示一个封闭 曲面内的体积等于该曲面所包围 的三维空间的体积的积分。
高斯公式的应用领域
总结词
高斯公式的应用领域包括物理学、工程学和统计学等。
详细描述
在物理学中，高斯公式被广泛应用于电磁学、流体动力学和量子力学等领域。在工程学中，高斯公式被用于解决 各种实际问题，如流体流动、热传导和结构分析等。在统计学中，高斯公式用于概率论和数理统计中的随机变量 和概率分布的计算。
实例三：流体流动的高斯公式应用
总结词
流体流动的特性
详细描述
流体流动具有连续性和不可压缩性，其流线 呈现出特定的规律。高斯公式在流体流动中 的应用，可以用来计算流速和流量。
06
高斯公式通量与散度的扩展思考
高斯公式的推广与应用
推广到多维空间
高斯公式在三维空间中得到了广泛应用，但其实它也可以推广到 更高维度的空间，为解决更复杂的问题提供工具。
总结词
散度是描述矢量场在某一点的发散程度。
详细描述
散度是矢量场的一个重要性质，它描述了矢量场在某一点的发散程度。对于标 量场，散度等于标量场在某一点的梯度的散度；对于矢量场，散度等于矢量场 在某一点的三个分量的散度的和。
通量与散度在物理中的意义
大学经典课件之高等数学——10-6高斯公式与散度
Σ
其中 Σ 是以原点为中心，边长为 体的整个表面的外侧。
a 的轴向正方
解:
由高斯公式
I = ∫∫∫ (1 + 1 + 1) dxdydz
Ω
zΣ
Σ1上
3后
Σ 2左 Σ 2右 y Σ1下
x
Σ 3前
= 3 ∫∫∫ dxdydz = 3a 3
Ω
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例 3：计算 I = ∫∫ ( x 2 cosα + y 2 cos β + z 2 cos γ )dS ，其中 Σ 为
= −2πR 3
xy
I 2 = ∫∫ xdydz + ydzdx + zdxdy =
+ Σ1
∴ I = −2πR
2
∫∫ 0dxdy D
=0
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例5. 计算曲面积分
x y z I = ∫∫ 3 d y d z + 3 d z d x + 3 d x d y Σr r r
二阶连续偏导数，证明 ∂v ∂u ∂ v ∂ u ∂v ∂u ∂ v r ∫∫∫ uΔvdxdydz = ∫∫ u ∂n dS − ∫∫∫ ( ∂x ∂x + ∂y ∂y + ∂z ∂z )dxdydz , Ω ∑ Ω
∂v 其中Σ 是闭区域 Ω 的整个边界曲面，取外侧， r 为函数 ∂n v ( x , y , z )沿Σ 的外法线方向的方向导数.
z
解2 加辅助平面，用高斯公式 1 I = ∫∫ xdydz + ydzdx + zdxdy R Σ下 1 1 = [ ∫∫ − ∫∫ ] = [ I1 − I 2 ] R Σ +Σ+ Σ+ R
其中 Σ 是以原点为中心，边长为 体的整个表面的外侧。
a 的轴向正方
解:
由高斯公式
I = ∫∫∫ (1 + 1 + 1) dxdydz
Ω
zΣ
Σ1上
3后
Σ 2左 Σ 2右 y Σ1下
x
Σ 3前
= 3 ∫∫∫ dxdydz = 3a 3
Ω
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例 3：计算 I = ∫∫ ( x 2 cosα + y 2 cos β + z 2 cos γ )dS ，其中 Σ 为
= −2πR 3
xy
I 2 = ∫∫ xdydz + ydzdx + zdxdy =
+ Σ1
∴ I = −2πR
2
∫∫ 0dxdy D
=0
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例5. 计算曲面积分
x y z I = ∫∫ 3 d y d z + 3 d z d x + 3 d x d y Σr r r
二阶连续偏导数，证明 ∂v ∂u ∂ v ∂ u ∂v ∂u ∂ v r ∫∫∫ uΔvdxdydz = ∫∫ u ∂n dS − ∫∫∫ ( ∂x ∂x + ∂y ∂y + ∂z ∂z )dxdydz , Ω ∑ Ω
∂v 其中Σ 是闭区域 Ω 的整个边界曲面，取外侧， r 为函数 ∂n v ( x , y , z )沿Σ 的外法线方向的方向导数.
z
解2 加辅助平面，用高斯公式 1 I = ∫∫ xdydz + ydzdx + zdxdy R Σ下 1 1 = [ ∫∫ − ∫∫ ] = [ I1 − I 2 ] R Σ +Σ+ Σ+ R
高数 高斯公式 通量与散度(正式)
R(
Dx y
x,
y,
z1
(
x,
y))
d
xdy
所以
R z
d
x
d
y
d
z
R
d
x
d
y
若不是上述区域 ,则可引进辅助面
将其分割成若干个上述区域,在辅助面
正反两侧面积分正负抵消, 故上式仍成立 .
类似可证
P x
d
x
d
y
d
z
Pd
y
d
z
Q y
d
xd
y
d
z
Qd
z
d
x
三式相加, 即得所证 Gauss 公式：
P x
Q y
Rdxdy,
(1)
或
(P x
Q y
R)dv z
( P
cos
Q cos
Rcos )dS, （1′）
这里Σ是Ω的整个边界曲面的外侧，cosα、cosβ、
cosγ是Σ上点(x，y，z)处的法向量的方向余弦。
公式（1）或（1′）叫做高斯公式。
证明:
1 2 3, 1 : z z1(x, y), 2 : z z2 (x, y),
导连续。
（4）Σ不闭合时，采取“补面”的方法：Σ+Σ1 封 闭，所围区域Ω。
(P x
Q R)dv y z
及易于计算 A dS
1
例1.用Gauss公式计算
其中为柱面
及平面z = 0,z = 3所围空间
闭域 的整个边界曲面的外侧.
z
解:这里 P ( y z)x, Q 0, R x y
I 2 (x y z) d xdydz Dxy h2 d x d y
高斯公式、通量与散度
分析流体的流动特性。
电磁学
02
在电磁学中，散度用于描述电场和磁场的变化规律，进而分析
电磁波的传播特性。
热力学
03
在热力学中，散度用于描述温度场的变化规律，进而分析热量
的传递和分布。
PART 05
高斯公式、通量与散度的 关系
REPORTING
WENKU DESIGN
高斯公式与通量的关系
高斯公式
在三维空间中，如果一个矢量场在任意封闭曲面上的通量都等于 零，则该矢量场在封闭曲面内的散度也为零。
几何解释
高斯公式可以从几何上理解为，一个封 闭曲面内的体积等于其边界曲面的面积 乘以平均高度。例如，一个球体内部的 体积等于其表面积乘以球的半径。
实例
以一个半径为 (R) 的球为例，其内部 体积 (V) 和表面积 (S) 分别为 (V = frac{4}{3}pi R^{3}) 和 (S = 4pi R^{2})，则高斯公式为
定义：高斯公式是微积分中的一个基本定理， 它描述了在一个封闭曲面内的体积分与其边界 上的面积分之间的关系。
(intintint_{V} dV = intint_{S} dS)
定理与证明
定理：如果 (f(x, y, z)) 是定义在 闭球 (B) 内的连续函数，则有
(int_{B} f(x, y, z) dV = int_{S} left( int_{z_{1}(x, y)} ^{z_{2}(x,
高斯公式的应用
高斯公式在许多领域都有广泛的应用，如流体动力学、电磁学、量子力学等。未来可以进一步探索高斯公式在这些领 域中的应用，并尝试将其应用于解决实际问题。
通量和散度的研究
通量和散度是描述物理量流动和分布的重要概念，未来可以进一步研究通量和散度的性质和计算方法，以及它们在物 理和工程领域中的应用。
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利用高斯公式，
v v v v u dS [ ( u ) ( u ) ( u )]dxdydz , x x y y z z n u v u v u v uvdxdydz ( )dxdydz x x y y z z
Dxy
sin( xy )dxdy
======0
奇偶对称
I
0
0
184 I1 I 2 35
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例3：计算曲面积分
其中, r
2 2 2 2 : x y z R 取外侧 . x y z ,
2 2 2
解: 不能直接用高斯公式
第六节 高斯公式与散度
一、高斯公式
第十章
二、曲面积分与 曲面无关的条件
三、通量与散度
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一、高 斯 公 式
说明：
若 可表成：
( x , y ) | z1 ( x , y ) z z2 ( x , y ), ( x , y ) Dxy
则称 是 xy 型空间区域；
r
在椭球面内作辅助小球面
x2 y2 z2
z
1 : x 2 y 2 z 2 2
1
y
x
0
高斯公式
1
3
3 d x d y d z
1
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例3**：计算曲面积分
其中 r
x2 y2 z2 ,
: 任意不经过原点的封闭 曲面， 取外侧 .
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证明 先对 是简单区域的情况进行证明。
设闭区域 在 xoy 坐标面上的投影区域为 Dxy .
由1 , 2 和 3 三部分组成,
1 : z z1 ( x , y )
z
2 3
1
2 : z z2 ( x , y )
3 : 为柱面上的一部分．
移项即得
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二、曲面积分与曲面无关的条件
定义：设 G 是一空间区域，L 是 G 内任一简单闭曲 线，如果对 G 内任意两个以 L 为边界曲线的曲面Σ1， Σ2 ，都有
Pdydz Qdzdx Rdxdy Pdydz Qdzdx Rdxdy
0
高斯公式
1
3
3 d x d y d z
1
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例 4：设函数 u( x , y , z ) 和 v ( x , y , z )在闭区域 上具有一阶及 二阶连续偏导数，证明 v u v u v u v uvdxdydz u dS ( )dxdydz , n x x y y z z
v 其中Σ 是闭区域 的整个边界曲面，取外侧， 为函数 n
v ( x , y , z )沿Σ 的外法线方向的方向导数。
2 2 2 符号 2 2 2 ，称为拉普拉斯(Laplace)算子， x y z
这个公式叫做格林第一公式．
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v v v v 证 cos cos cos , n x y z v v v v u dS u( cos cos cos )dS n x y z v v v [( u ) cos ( u ) cos ( u ) cos ]dS x y z
0
xydydz ( y e
2
xz 2
)ห้องสมุดไป่ตู้zdx
sin( xy )dxdy
3 ydxdydz
3 dx
1
0
1
1 x 2
0
dz
2 z
0
2
184 ydy 35
xz 2
I 2 xydydz ( y e
)dzdx sin( xy )dxdy
2 2 Q r 3y P r 3 x , , 5 5 y r x r 2 2
R r 2 3 z 2 , 5 z r
P Q R 3r 2 3( x 2 y 2 z 2 ) 0, 5 x y z r
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2
xz 2
)cos sin( xy )cos )dS ，
其中 为抛物柱面 z 1 x 2 和平面 y z 2 ， y 0 所围区 域在 xoy 平面上方的部分的表面， 取外侧， cos , cos , cos 是 在点 ( x , y , z ) 处外法向量的方向余弦。
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由两类曲面积分之间的关系知高斯公式的另一种形式
P Q R ( P cos Q cos R cos )dS ( )dV x y z
使用Guass公式时应注意:
1、判断是否满足高斯公式的条件：
（ 1 ）Σ 是分片光滑的闭曲面；
1
2
则称曲面积分 Pdydz Qdzdx Rdxdy 在G 内与曲面
无关。否则称与曲面有关.
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连通区域的类型
设有空间区域 G ,
• 若 G 内任一闭曲面所围成的区域全属于 G, 则称 G 为空间二维单连通域 ; • 若 G 内任一闭曲线总可以张一片全属于 G 的曲面, 则称 G 为空间一维单连通域 .
这里 z1 ( x , y ) z2 ( x , y ) ， 1 取下侧, 2 取上侧, x 3 取外侧．
o
Dxy
y
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根据曲面积分的计算法
R( x , y , z )dxdy R[ x , y , z1 ( x , y )]dxdy , D
y z x 解 : P ( x , y , z ) 3 , Q ( x , y , z ) 3 , R( x , y , z ) 3 , r r r 2 2 2 2 2 2 Q R r 3 z P r 3 x r 3y , , z , y 5 5 5 r x r r
例如, 球面所围区域 既是一维也是二维单连通区域 ; 环面所围区域 是二维但不是一维单连通区域 ; 立方体中挖去一个小球所成的区域 是一维但 不是二维单连通区域 .
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函数 P ( x , y , z ), 定理2. 设 G 是空间二维单连通区域 ，
Q ( x , y , z ), R ( x , y , z ) 在 G 内具有连续一阶偏导数，
P Q R Pdydz Qdzdx Rdxdy ( )dV x y z
或
P Q R ( P cos Q cos R cos )dS ( )dV x y z
这里 是 的整个边界曲面的外侧， cos , cos , cos 是 上点 ( x , y , z )处的外法向量的方向余弦 .
其中 是以原点为中心， 边长为 a 的轴向正方体的整 个表面的外侧。
解:
由高斯公式
1上
z
3后
I (1 1 1) dxdydz
2左 2右 y 1下
x
3 dxdydz 3a 3
3前
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例 2：计算 I ( xy cos ( y e
xy
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根据三重积分的计算法 z 2 ( x , y ) R R dV dxdy dz z1 ( x , y ) z z D xy
{ R[ x , y , z2 ( x , y )] R[ x , y , z1 ( x , y )]}dxdy . D
x2 y2 z2 思考: 本题 改为椭球面 2 2 2 1 时, a b c 应如何计算 ?
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1 3 3 d x d y d z R
此步可用高斯公式
例3*：计算曲面积分
2 2 2 x y z 其中 r x 2 y 2 z 2 , : 2 2 2 1 取外侧 . a b c x y z 解 : P ( x , y , z ) 3 , Q ( x , y , z ) 3 , R( x , y , z ) 3 , r r r
P Q R 3r 2 3( x 2 y 2 z 2 ) 0 , x y z r5
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z
(1)当原点不在 Σ 所包围的区域内时 根据高斯公式 I 0dV 0. (2)当原点在 Σ 所包围的区域内时
1
y
x
在 Σ 内作辅助小球面 1 : x 2 y 2 z 2 2
xy
R dV R( x , y , z )dxdy. z
同理
P dV P ( x , y , z )dydz , x
Q dV Q ( x , y , z )dzdx , y
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1 xy
R( x , y , z )dxdy R[ x , y , z2 ( x , y )]dxdy , D
v v v v u dS [ ( u ) ( u ) ( u )]dxdydz , x x y y z z n u v u v u v uvdxdydz ( )dxdydz x x y y z z
Dxy
sin( xy )dxdy
======0
奇偶对称
I
0
0
184 I1 I 2 35
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例3：计算曲面积分
其中, r
2 2 2 2 : x y z R 取外侧 . x y z ,
2 2 2
解: 不能直接用高斯公式
第六节 高斯公式与散度
一、高斯公式
第十章
二、曲面积分与 曲面无关的条件
三、通量与散度
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一、高 斯 公 式
说明：
若 可表成：
( x , y ) | z1 ( x , y ) z z2 ( x , y ), ( x , y ) Dxy
则称 是 xy 型空间区域；
r
在椭球面内作辅助小球面
x2 y2 z2
z
1 : x 2 y 2 z 2 2
1
y
x
0
高斯公式
1
3
3 d x d y d z
1
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例3**：计算曲面积分
其中 r
x2 y2 z2 ,
: 任意不经过原点的封闭 曲面， 取外侧 .
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证明 先对 是简单区域的情况进行证明。
设闭区域 在 xoy 坐标面上的投影区域为 Dxy .
由1 , 2 和 3 三部分组成,
1 : z z1 ( x , y )
z
2 3
1
2 : z z2 ( x , y )
3 : 为柱面上的一部分．
移项即得
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二、曲面积分与曲面无关的条件
定义：设 G 是一空间区域，L 是 G 内任一简单闭曲 线，如果对 G 内任意两个以 L 为边界曲线的曲面Σ1， Σ2 ，都有
Pdydz Qdzdx Rdxdy Pdydz Qdzdx Rdxdy
0
高斯公式
1
3
3 d x d y d z
1
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例 4：设函数 u( x , y , z ) 和 v ( x , y , z )在闭区域 上具有一阶及 二阶连续偏导数，证明 v u v u v u v uvdxdydz u dS ( )dxdydz , n x x y y z z
v 其中Σ 是闭区域 的整个边界曲面，取外侧， 为函数 n
v ( x , y , z )沿Σ 的外法线方向的方向导数。
2 2 2 符号 2 2 2 ，称为拉普拉斯(Laplace)算子， x y z
这个公式叫做格林第一公式．
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v v v v 证 cos cos cos , n x y z v v v v u dS u( cos cos cos )dS n x y z v v v [( u ) cos ( u ) cos ( u ) cos ]dS x y z
0
xydydz ( y e
2
xz 2
)ห้องสมุดไป่ตู้zdx
sin( xy )dxdy
3 ydxdydz
3 dx
1
0
1
1 x 2
0
dz
2 z
0
2
184 ydy 35
xz 2
I 2 xydydz ( y e
)dzdx sin( xy )dxdy
2 2 Q r 3y P r 3 x , , 5 5 y r x r 2 2
R r 2 3 z 2 , 5 z r
P Q R 3r 2 3( x 2 y 2 z 2 ) 0, 5 x y z r
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2
xz 2
)cos sin( xy )cos )dS ，
其中 为抛物柱面 z 1 x 2 和平面 y z 2 ， y 0 所围区 域在 xoy 平面上方的部分的表面， 取外侧， cos , cos , cos 是 在点 ( x , y , z ) 处外法向量的方向余弦。
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由两类曲面积分之间的关系知高斯公式的另一种形式
P Q R ( P cos Q cos R cos )dS ( )dV x y z
使用Guass公式时应注意:
1、判断是否满足高斯公式的条件：
（ 1 ）Σ 是分片光滑的闭曲面；
1
2
则称曲面积分 Pdydz Qdzdx Rdxdy 在G 内与曲面
无关。否则称与曲面有关.
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连通区域的类型
设有空间区域 G ,
• 若 G 内任一闭曲面所围成的区域全属于 G, 则称 G 为空间二维单连通域 ; • 若 G 内任一闭曲线总可以张一片全属于 G 的曲面, 则称 G 为空间一维单连通域 .
这里 z1 ( x , y ) z2 ( x , y ) ， 1 取下侧, 2 取上侧, x 3 取外侧．
o
Dxy
y
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根据曲面积分的计算法
R( x , y , z )dxdy R[ x , y , z1 ( x , y )]dxdy , D
y z x 解 : P ( x , y , z ) 3 , Q ( x , y , z ) 3 , R( x , y , z ) 3 , r r r 2 2 2 2 2 2 Q R r 3 z P r 3 x r 3y , , z , y 5 5 5 r x r r
例如, 球面所围区域 既是一维也是二维单连通区域 ; 环面所围区域 是二维但不是一维单连通区域 ; 立方体中挖去一个小球所成的区域 是一维但 不是二维单连通区域 .
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函数 P ( x , y , z ), 定理2. 设 G 是空间二维单连通区域 ，
Q ( x , y , z ), R ( x , y , z ) 在 G 内具有连续一阶偏导数，
P Q R Pdydz Qdzdx Rdxdy ( )dV x y z
或
P Q R ( P cos Q cos R cos )dS ( )dV x y z
这里 是 的整个边界曲面的外侧， cos , cos , cos 是 上点 ( x , y , z )处的外法向量的方向余弦 .
其中 是以原点为中心， 边长为 a 的轴向正方体的整 个表面的外侧。
解:
由高斯公式
1上
z
3后
I (1 1 1) dxdydz
2左 2右 y 1下
x
3 dxdydz 3a 3
3前
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例 2：计算 I ( xy cos ( y e
xy
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根据三重积分的计算法 z 2 ( x , y ) R R dV dxdy dz z1 ( x , y ) z z D xy
{ R[ x , y , z2 ( x , y )] R[ x , y , z1 ( x , y )]}dxdy . D
x2 y2 z2 思考: 本题 改为椭球面 2 2 2 1 时, a b c 应如何计算 ?
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1 3 3 d x d y d z R
此步可用高斯公式
例3*：计算曲面积分
2 2 2 x y z 其中 r x 2 y 2 z 2 , : 2 2 2 1 取外侧 . a b c x y z 解 : P ( x , y , z ) 3 , Q ( x , y , z ) 3 , R( x , y , z ) 3 , r r r
P Q R 3r 2 3( x 2 y 2 z 2 ) 0 , x y z r5
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z
(1)当原点不在 Σ 所包围的区域内时 根据高斯公式 I 0dV 0. (2)当原点在 Σ 所包围的区域内时
1
y
x
在 Σ 内作辅助小球面 1 : x 2 y 2 z 2 2
xy
R dV R( x , y , z )dxdy. z
同理
P dV P ( x , y , z )dydz , x
Q dV Q ( x , y , z )dzdx , y
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1 xy
R( x , y , z )dxdy R[ x , y , z2 ( x , y )]dxdy , D