2015-2016年福建省厦门一中高一(上)期中数学试卷及参考答案
2015-2016学年高一上学期期中考试数学试题 (3)
厦门市湖滨中学2016---2017学年第一学期期中考高一数学试卷考试时间： 2016年11月 日命题人：_____________审核人：_____________A 卷一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1．已知全集U Z =，}3,2,1,0{=A ，}2,0{=B ，则U A C B 为（ ）A ．}3,1{B ．}2,0{C ．}3,1,0{D ．}2{2．已知函数1)(2+=x x f ，那么)1(+a f 的值为( )．A ．22++a aB ．12+aC ．222++a aD ．122++a a 3． ,)0( 00)()0( )(2⎪⎩⎪⎨⎧<=>=x x x x x f π,则)]}2016([{-f f f 等于 （ ） A ．2πB ．9C ．πD ．0 4．若log 2 a ＜0，b ⎪⎭⎫ ⎝⎛21＞1，则( ). A ．a ＞1，b ＞0B ．a ＞1，b ＜0C ．0＜a ＜1，b ＞0D ．0＜a ＜1，b ＜0 5．方程x x -=22的根所在区间是( ).A ．)0,1(-B ．)1,0(C ．)2,1(D ．)3,2(6．下列函数f (x )中，满足“对任意),0(,21+∞∈x x ，当21x x <时，都有)()(21x f x f >的是( ).A ．2)1()(-=x x fB ．xx f 1)(= C ．x e x f =)( D ．)1ln()(+=x x f 7. 下列各组函数中，表示同一函数的是 （ ）A ．0,1x y y ==B ．x y x y lg 2,lg 2== C ．2)(,||x y x y == D ．33,x y x y ==8． 函数12()f x x-=的大致图像是( )9．奇函数)(x f 在)0,(-∞上单调递增，若0)1(=-f ，则不等式0)(<x f 的解集是( ).A ． (－1，0)∪(0，1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(0，1)D ．(－1，0)∪(1，＋∞) 10．已知0x 是函数x x f x －112)(+=的一个零点．若),1(01x x ∈,),(02+∞∈x x ，则有( ). A ．f (x 1)＜0，f (x 2)＜0B ．f (x 1)＜0，f (x 2)＞0C ．f (x 1)＞0，f (x 2)＜0D ．f (x 1)＞0，f (x 2)＞0二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分。
2015-2016学年福建省厦门市双十中学高一(上)期中数学试卷(解析版)
2015-2016学年福建省厦门市双十中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把答案填涂在答题卷的相应位置.1．设全集U是实数集R，M={x|x＜1}，N={x|0＜x＜2}都是U的子集，则图中阴影部分所表示的集合是（）A．{x|1≤x＜2} B．{x|0＜x＜1} C．{x|x≤0} D．{x|x＜2}【考点】Venn图表达集合的关系及运算．【专题】数形结合；定义法；集合．【分析】由图象可知阴影部分对应的集合为N∩（∁U M），然后根据集合的基本运算求解即可．【解答】解：由Venn图可知阴影部分对应的集合为N∩（∁U M），∵M={x|x＜1}，∴∁U M={x|x≥1}，又N={x|0＜x＜2}，∴N∩（∁U M）={x|1≤x＜2}，故选：A．【点评】本题主要考查集合的基本运算，利用图象先确定集合关系是解决本题的关键，比较基础．2．下列函数中与函数y=x相等的函数是（）A．B．y=C．D．y=log22x【考点】判断两个函数是否为同一函数．【专题】函数的性质及应用．【分析】判断函数相等，先求出每个函数的定义域，然后判断与y=x的定义域是否相同，然后再判断解析式是否相同或可以化成相同的情况，即对应关系是否相同y=|x|．【解答】解：函数y=x的定义域为R，对应关系为y=x．对于A，函数y=的定义域为[0，+∞），故与y=x不是相同函数，故A错误；对于B，函数解析式可化为y=|x|，所以对应关系不同，故B错误；对于C．定义域为（0，+∞），故C错误；对于D，易知函数，该函数的定义域为R，所以该函数与y=x相同．故选D．【点评】本题考查了函数相等的概念，主要是从定义域、对应关系两个方面来考虑．3．若函数是奇函数，则a=（）A．﹣2 B．2 C． D．【考点】函数奇偶性的判断．【专题】方程思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】根据函数奇偶性的定义建立方程关系进行求解即可．【解答】解：若是奇函数，则f（﹣x）=﹣f（x），即=﹣，即（x+2）（x﹣a）=（x﹣2）（x+a），则x2+（2﹣a）x﹣2a=x2+（a﹣2）x﹣2a，即（2﹣a）x=（a﹣2）x，则2﹣a=a﹣2，得a=2，故选：B．【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用，利用函数奇偶性的定义建立方程关系是解决本题的关键．4．给定映射f：（x，y）→（2x+y，x﹣2y），在映射f下，（3，﹣1）的原像为（）A．（﹣1，3）B．（5，5） C．（3，﹣1）D．（1，1）【考点】映射．【专题】方程思想；对应思想；函数的性质及应用．【分析】设在映射f下，（3，﹣1）的原像为：（x，y），则2x+y=3，x﹣2y=﹣1，解得答案．【解答】银：设在映射f下，（3，﹣1）的原像为：（x，y），则2x+y=3，x﹣2y=﹣1，解得：x=1，y=1，故在映射f下，（3，﹣1）的原像为：（1，1）故选：D【点评】本题考查的知识点是映射，由象求原象就是解方程（组）．5．已知函数则f（﹣3）的值为（）A．1 B．﹣1 C．0 D．﹣9【考点】函数的值．【专题】计算题；函数思想；函数的性质及应用．【分析】直接利用函数的解析式化简求解即可．【解答】解：函数，则f（﹣3）=﹣f（﹣2）=f（﹣1）=﹣f（0）=f（1）=1．故选：A．【点评】本题考查分段函数的应用，函数值的求法，考查计算能力．6．已知k，b∈R，则一次函数y=kx+b与反比例函数在同一坐标系中的图象可以是（）A． B．C．D．【考点】函数的图象．【专题】计算题；函数思想；数形结合法；函数的性质及应用．【分析】通过K的讨论，判断函数的图象即可．【解答】解：当k＜0，b＜0时，一次函数y=kx+b的图象，反比例函数，A、B、C、D不成立．当k＜0，b＞0，一次函数y=kx+b的图象，反比例函数，A不成立，B成立，C、D不成立．当k＞0，b＜0时，一次函数y=kx+b的图象，反比例函数，A、B、C、D不成立．当k＞0，b＞0时，一次函数y=kx+b的图象，反比例函数，A、B、C、D不成立．当k＜0，b＞0，一次函数y=kx+b的图象，反比例函数，B成立；故选：B．【点评】本题考查直线方程与反比例函数图象的判断，考查计算能力．7．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在（﹣∞，0]上是增函数，设a=f（log47），b=f （log23），c=f（0.20.6），则a，b，c的大小关系是（）A．c＜b＜a B．b＜c＜a C．b＜a＜c D．a＜b＜c【考点】奇偶性与单调性的综合；对数值大小的比较．【专题】综合题；函数的性质及应用．【分析】由f（x）是定义在R上的偶函数，且在（﹣∞，0]上是增函数，可得出自变量的绝对值越小，函数值越大，由此问题转化为比较自变量的大小，问题即可解决．【解答】解：f（x）是定义在R上的偶函数，且在（﹣∞，0]上是增函数，要得函数在（0，+∞）上是减函数，图象越靠近y轴，图象越靠上，即自变量的绝对值越小，函数值越大，由于0＜0.20.6＜1＜log47＜log49=log23，可得b＜a＜c，故选C．【点评】本题解答的关键是根据函数的性质得出自变量的绝对值越小，函数值越大这一特征，由此转化为比较自变量的大小，使得问题容易解决．这也是本题解答的亮点．8．若函数f（x）=x3+x2﹣2x﹣2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：那么方程x3+x2﹣2x﹣2=0的一个近似根（精确到0.1）为（）A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5【考点】二分法求方程的近似解．【专题】应用题．【分析】由图中参考数据可得f（1.43750＞0，f（1.40625）＜0，又因为题中要求精确到0.1可得答案．【解答】解：由图中参考数据可得f（1.43750）＞0，f（1.40625）＜0，又因为题中要求精确到0.1，所以近似根为1.4故选C．【点评】本题本题主要考查用二分法求区间根的问题，属于基础题型．在利用二分法求区间根的问题上，如果题中有根的精确度的限制，在解题时就一定要计算到满足要求才能结束．9．函数是R上的减函数，则实数a的取值范围为（）A．B．C．D．【考点】分段函数的应用；函数单调性的性质．【专题】分类讨论；转化思想；分类法；导数的综合应用．【分析】若函数是R上的减函数，则，解得实数a的取值范围．【解答】解：∵函数是R上的减函数，∴，解得：a∈，故选：D【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，正确理解分段函数的单调性，是解答的关键．10．当实数k变化时，对于方程（2|x|﹣1）2﹣（2|x|﹣1）﹣k=0的解的判断不正确的是（）A．时，无解B．时，有2个解C．时，有4个解D．k＞0时，有2个解【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】转化思想；换元法；函数的性质及应用．【分析】令令t=2|x|﹣1，则t∈[0，+∞），方程即k=t2﹣t∈[﹣，+∞），再利用二次函数的性质判断各个选项是否正确，从而得出结论．【解答】解：令t=2|x|﹣1，则t∈[0，+∞），方程即t2﹣t﹣k=0，即k=t2﹣t．由于t2﹣t=（t﹣）2﹣≥﹣，当t=时，取得最小值﹣，当k＜﹣时，方程无解，故A正确；当k=﹣时，方程有两解，且为x=±log2，故B正确；当k＞0时，方程t2﹣t﹣k=0的判别式△=1+4k＞0，两根异号，则方程有两解，故D正确；当k=0时，方程即为t2﹣t=0，求得t=0，或t=1，此时x=0或±1，有三个解，故C不正确．故选C．【点评】本题主要考查方程根的存在性及个数的判断，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.请把答案填在答题卷的相应位置.11．函数的定义域为{x|x≤2且x≠1}．【考点】函数的定义域及其求法．【专题】方程思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】根据函数成立的条件即可求函数的定义域．【解答】解：根据题意，要使得函数有意义，要满足，故可知答案为{x|x≤2且x≠1}．故答案为：{x|x≤2且x≠1}【点评】本题主要考查函数定义域的求解，解决的关键是根据分母不为零，偶次根式下为非负数，属于基础题．12．已知f（x）=ax3+bx﹣2，若f（2015）=7，则f（﹣2015）的值为﹣11．【考点】函数奇偶性的性质．【专题】转化思想；构造法；函数的性质及应用．【分析】根据条件构造函数g（x）=f（x）﹣1，判断函数的奇偶性，进行求解即可．【解答】解：∵f（x）=ax3+bx﹣2，∴f（x）+2=ax3+bx，是奇函数，设g（x）=f（x）+2，则g（﹣x）=﹣g（x），即f（﹣x）+2=﹣（f（x）+2）=﹣2﹣f（x），即f（﹣x）=﹣4﹣f（x），若f（2015）=7，则f（﹣2015）=﹣4﹣f（2015）=﹣4﹣7=﹣11，故答案为：﹣11．【点评】本题主要考查函数值的计算，根据条件构造函数，判断函数的奇偶性是解决本题的关键．13．已知全集U=R，集合A={x|x﹣a≤0}，B={x|x2﹣3x+2≤0}，且A∪∁U B=R，则实数a的取值范围是a≥2．【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】计算题；集合思想；不等式的解法及应用；集合．【分析】由全集R及B，求出B的补集，根据A与B补集的并集为R，确定出a的范围即可．【解答】解：∵全集U=R，B={x|x2﹣3x+2≤0}={x|1≤x≤2}，∴∁U B={x|x＜1或x＞2}．∵A={x|x﹣a≤0}={x|x≤a}，A∪（∁U B）=R，∴a≥2，则a的取值范围为a≥2．故答案为：a≥2．【点评】本题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键，是基础题．14．已知函数f（x）=x2+ax+b的零点是﹣3和1，则函数g（x）=log2（ax+b）的零点是2．【考点】函数的零点．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】由题意得方程x2+ax+b=0的根是﹣3和1；从而利用韦达定理求a，b；再解方程即可．【解答】解：∵函数f（x）=x2+ax+b的零点是﹣3和1，∴方程x2+ax+b=0的根是﹣3和1；∴﹣3+1=﹣a，﹣3•1=b；解得a=2，b=﹣3；故令函数g（x）=log2（2x﹣3）=0解得，x=2；故答案为：2．【点评】本题考查了函数的零点与方程的根的关系应用及韦达定理的应用．15．若函数（a＞0，且a≠1）的值域是[4，+∞），则实数a的取值范围是（1，]．【考点】函数的值域．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】x≤2时，容易得出f（x）≥4，而f（x）的值域为[4，+∞），从而需满足2+log a x≥4，（x＞2）恒成立，从而可判断a＞1，从而可得出log a2≥2，这样便可得出实数a的取值范围．【解答】解：x≤2时，﹣x+6≥4；∴f（x）的值域为[4，+∞）；∴x＞2时，2+log a x≥4恒成立；∴log a x≥2，a＞1；∴log a2≥2；∴2≥a2；解得；∴实数a的取值范围为．故答案为：．【点评】考查函数值域的概念，分段函数值域的求法，以及一次函数、对数函数的单调性，函数恒成立问题的处理方法．16．方程x2+﹣1=0的解可视为函数y=x+的图象与函数y=的图象交点的横坐标．若x4+ax﹣9=0的各个实根x1，x2，…，x k（k≤4）所对应的点（i=1，2，…，k）均在直线y=x的同侧，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣24）∪（24，+∞）．【考点】根的存在性及根的个数判断；函数的图象．【专题】压轴题；数形结合．【分析】根据题意，x4+ax﹣9=0的各个实根可看做是函数y=x3+a的图象与函数y=的图象的交点的横坐标，由于交点要在直线y=x的同侧，可先计算函数y=的图象与y=x的交点为A （3，3），B（﹣3，﹣3），再将函数y=x3纵向平移|a|，数形结合发现只需函数y=x3+a的图象与y=x的交点分布在A的外侧或B的外侧，故计算函数y=x3+a的图象过点A或B时a 的值即可的a的范围【解答】解：如图x4+ax﹣9=0的各个实根x1，x2，…，x k（k≤4）可看做是函数y=x3+a的图象与函数y=的图象的交点C，D的横坐标∵函数y=的图象与y=x的交点为A（3，3），B（﹣3，﹣3），函数y=x3+a的图象可看做是将函数y=x3纵向平移|a|的结果，其图象为关于（0，a）对称的增函数当函数y=x3+a的图象过点A（3，3）时，a=﹣24当函数y=x3+a的图象过点B（﹣3，﹣3）时，a=24∴要使函数y=x3+a的图象与函数y=的图象的交点C、D均在直线y=x的同侧只需使函数y=x3+a的图象与y=x的交点横坐标大于3或小于﹣3∴数形结合可得a＜﹣24或a＞24故答案为（﹣∞，﹣24）∪（24，+∞）【点评】本题考查了数形结合解决根的存在性及根的个数问题的方法，认真分析“动”函数与“定”函数的关系是解决本题的关键三、解答题：本大题共6小题，每小题分数见旁注，共76分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.请在答题卷相应题目的答题区域内作答.17．（1）求值：lg5•lg400+（lg2）2；（2）已知x=log23，求的值．【考点】对数的运算性质．【专题】计算题；转化思想；数学模型法；函数的性质及应用．【分析】（1）直接利用对数的运算性质化简求值；（2）把x=log23代入，然后利用对数的运算性质结合有理指数幂的运算性质化简得答案．【解答】解：（1）lg5•lg400+（lg2）2=lg5（lg4+lg100）+=2lg5•lg2+2lg5+2lg22=2lg2（lg5+lg2）+2lg5=2lg2+2lg5=2（lg5+lg2）=2；（2）∵x=log23，∴===．【点评】本题考查有理指数幂的化简与求值，考查了对数的运算性质，是基础的计算题．18．已知集合．（Ⅰ）若a=1，求A∩B；（Ⅱ）若A∩B=∅，求实数a的取值范围．【考点】交集及其运算．【专题】计算题；集合思想；分类法；集合．【分析】（Ⅰ）把a=1代入A中不等式，求出解集确定出A，求出B中不等式的解集确定出B，找出两集合的交集即可；（Ⅱ）由A与B的交集为空集，分A为空集及不为空集两种情况求出a的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，A={x|0＜x＜5}，由＜2x﹣1＜4，得﹣2＜x﹣1＜2，解得：﹣1＜x＜3，∴B={x|﹣1＜x＜3}，则A∩B={x|0＜x＜3}；（Ⅱ）若A=∅，则a﹣1≥3a+2，解得：a≤﹣；若A≠∅，则a＞﹣，由A∩B=∅，得到a﹣1≥3或3a+2≤﹣1，解得：﹣＜a≤﹣1或a≥4，综上，实数a的取值范围是{x|x≤﹣1或x≥4}．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．19．设函数．（Ⅰ）设t=log3x，用t表示f（x），并指出t的取值范围；（Ⅱ）求f（x）的最值，并指出取得最值时对应的x的值．【考点】函数的最值及其几何意义；函数解析式的求解及常用方法．【专题】计算题；函数思想；换元法；函数的性质及应用．【分析】（Ⅰ）设t=log3x，由x的范围，可得t的范围，运用对数的运算性质，可得f（x）关于t的解析式；（Ⅱ）由二次函数在闭区间上的最值的求法，讨论区间上的单调性，即可得到所求最值及对应x的值．【解答】解：（Ⅰ）设t=log3x，由，即有﹣2≤log3x≤3，即﹣2≤t≤3．此时，f（x）=﹣log3（9x）•（log3x﹣1）=﹣（log3x+2）（log3x﹣1）=﹣t2﹣t+2，即f（x）=﹣t2﹣t+2，其中﹣2≤t≤3；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，，又﹣2≤t≤3，函数y=﹣t2﹣t+2在单调递增，在单调递减，所以当，即，即时，f（x）取得最大值；所以当t=3，即log3x=3，即x=27时，f（x）取得最小值﹣10．【点评】本题考查函数的最值的求法，考查换元法的运用，以及对数函数的单调性，同时考查二次函数的最值的求法，及化简运算能力，属于中档题．20．小张周末自己驾车旅游，早上8点从家出发，驾车3h后到达景区停车场，期间由于交通等原因，小张的车所走的路程s（单位：km）与离家的时间t（单位：h）的函数关系式为s（t）=﹣4t（t﹣13）．由于景区内不能驾车，小张把车停在景区停车场．在景区玩到17点，小张开车从停车场以60km/h的速度沿原路返回．（Ⅰ）求这天小张的车所走的路程s（单位：km）与离家时间t（单位：h）的函数解析式；（Ⅱ）在距离小张家48km处有一加油站，求这天小张的车途经该加油站的时间．【考点】根据实际问题选择函数类型．【专题】应用题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】（1）由题意可得：当0≤t≤3时，s（t）=﹣4t（t﹣13）（km）；在景区共玩6个小时，此时离家的距离可认为不变，于是当3＜t≤9时，s（t）=s（3）km；小张开车以60km/h 的速度沿原路匀速返回时，共用2小时，因此当9＜t≤11时，s（t）=120+60（t﹣9）=60t﹣420；（2）利用分段函数，解得t，可得第一次、第二次经过加油站时的时间．【解答】解：（Ⅰ）依题意得，当0≤t≤3时，s（t）=﹣4t（t﹣13），∴s（3）=﹣4×3×（3﹣13）=120．即小张家距离景点120 km，小张的车在景点逗留时间为17﹣8﹣3=6（h）．∴当3＜t≤9时，s（t）=120，小张从景点回家所花时间为=2（h），∴当9＜t≤11时，s（t）=120+60（t﹣9）=60t﹣420．综上所述，这天小张的车所走的路程s（t）=（Ⅱ）当0≤t≤3时，令﹣4t（t﹣13）=48，得t2﹣13t+12=0，解得t=1或t=12（舍去），当9＜t≤11时，令60t﹣420=2×120﹣48=192，解得t=．答：小张这天途经该加油站的时间分别为9点和18时．【点评】本题考查了分段函数的求法和应用、路程与速度时间的关系等基础知识与基本方法，属于难题．21．已知函数（p，q为常数）是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）判断并用定义证明f（x）在（﹣1，1）上的单调性；（Ⅲ）解关于x的不等式f（2x﹣1）+f（x）＜0．【考点】函数单调性的性质；函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的判断与证明．【专题】综合题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】（Ⅰ）依题意，，解得p=1，q=0，可得函数的解析式．（Ⅱ）利用函数的单调性的定义证明函数f（x）在（﹣1，1）上单调递增．（Ⅲ）原不等式可化为f（2x﹣1）＜f（﹣x），根据函数f（x）在定义域（﹣1，1）上单调递增，可得，由此求得x的范围．【解答】解：（Ⅰ）依题意，，解得p=1，q=0，所以．（Ⅱ）函数f（x）在（﹣1，1）上单调递增，证明如下：任取﹣1＜x1＜x2＜1，则x1﹣x2＜0，﹣1＜x1x2＜1，从而f（x1）﹣f（x2）=﹣==＜0，所以f（x1）＜f（x2），所以函数f（x）在（﹣1，1）上单调递增．（Ⅲ）原不等式可化为：f（2x﹣1）＜﹣f（x），即f（2x﹣1）＜f（﹣x），由（Ⅱ）可得，函数f（x）在（﹣1，1）上单调递增，所以，解得，即原不等式解集为．【点评】本题主要考查函数的单调性的判断和证明，利用函数的单调性解不等式，属于中档题．22．已知函数f（x）=x2+2x|x﹣a|，其中a∈R．（Ⅰ）当a=﹣1时，在所给坐标系中作出f（x）的图象；（Ⅱ）对任意x∈[1，2]，函数f（x）的图象恒在函数g（x）=﹣x+14图象的下方，求实数a 的取值范围；（Ⅲ）若关于x的方程f（x）+1=0在区间（﹣1，0）内有两个相异根，求实数a的取值范围．【考点】函数的图象；函数与方程的综合运用．【专题】综合题；分类讨论；转化思想；分类法；函数的性质及应用．【分析】（Ⅰ）依题意当a=﹣1时，，据此可作出图象．（Ⅱ）由题意，对任意x∈[1，2]，只需（f（x）+x）max＜14．分类讨论求得（f（x）+x）max ，可得实数a的取值范围．（Ⅲ）记F（x）=f（x）+1，考虑F（x）在区间（﹣1，0）内有两个不同的零点即可．分类讨论，求得a的范围．【解答】解：（Ⅰ）依题意当a=﹣1时，，据此可作出图象如下：（Ⅱ）由题意，对任意x∈[1，2]，f（x）＜g（x），即f（x）+x＜14恒成立，只需（f（x）+x）max＜14．另一方面，f（x）=，即f（x）=．当a≥0时，f（x）在（﹣∞，a）和（a，+∞）上均递增，∵f（a）=a2，则f（x）在R上递增，当a＜0时，f（x）在（﹣∞，a）和上递增，在上递减，故f（x）在x∈[1，2]上恒单调递增，从而y=f（x）+x在x∈[1，2]上也恒单调递增，则（f（x）+x）max=f（2）+2=4+4|2﹣a|+2＜14，即|2﹣a|＜2，解得0＜a＜4，故实数a的取值范围是（0，4）．（Ⅲ）记F（x）=f（x）+1，考虑F（x）在区间（﹣1，0）内有两个不同的零点即可．此时，，即，则由（Ⅱ）可知，当a≥0时，F（x）=f（x）+1在R上递增，方程f（x）+1=0在区间（﹣1，0）内至多有一个根，不符合要求，舍去；故a＜0．当x≤a时，令F（x）=0，可得（不符合x≤a，舍去）或，但，不在区间（﹣1，0）内．当x＞a时，F（x）=3x2﹣2ax+1在区间（﹣1，0）内必有两个不同的零点，从而（﹣1，0）⊆（a，+∞），所以，解得．【点评】本题主要考查函数的图象，函数与方程的综合应用，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．。
15-16高一上数学期中考试卷
厦门市第二外国语学校15-16高一上数学期中考试卷15.11.13一．选择题：（本大题12题，每小题5分，共60分，只有一个正确答案。
） 1．设集合A ={3，5，6，8}，集合B ={4，5， 7，8}，则A ∩B 等于…( )A ． {3，4，5，6，7，8}B .{5，8}C .{4，7}D .{3，6} 2．三个变量y 1，y 2，y 3，随着变量x 的变化情况如下表：2 189 则关于x 分别呈对数函数、指数函数、幂函数变化的变量依次为…( ) A ．y 1，y 2，y3 B ．y 2，y 1，y 3 C ．y 3，y 2，y 1D ．y 1，y 3，y 23.函数2log (1)y x =-+ ）A ．{}|x x ≥0B ．{}|1x x ≥C ． {}|01x x ≤≤D ．{}|1x x >4．函数xx f +=11)(的图像大致是…( )5.函数()1,x f x x ⎧=⎨⎩为有理数,为无理数,0, 则()()2ff 等于…（ ）A ．0B ．1C ．2D ．21+6．三个数πln ,3log ,2.02-e 的大小关系为…（ ）A ．πln 3log 22.0<<-eB.22.0ln 3log -<<e π C.πln 3log 2.02<<-e D.22.0ln 3log -<<e π7．函数()3log 82f x x x =-+的零点一定位于区间…（ ）．A ．(1,2)B ．(2,3)C ．(3,4)D ．(5,6)8．()log a f x x = (01)a <<在区间]2,[a a 上的最大值是最小值的3倍，则a 的值为…（ ）．A ．42 B ． 22 C ． 41 D ． 219. 已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2x ，(x >0)2x ，(x ≤0)若f (a )＝12，则实数a ＝( )A ．－1B ．－1或 2 C. 2D ．1或－ 210．给出下列四个函数：①()1f x x =+；②()1f x x=；③()22f x x =；④()()2lg 1x f x x =+-．其中在()0，+∞上是增函数的有……（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个11．设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (1)＝0，则不等式f (x )－f (－x )x<0的解集为…( )A ．(－1,0)∪(1，＋∞)B ．(－∞，－1)∪(0,1)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－1,0)∪(0,1)12.如果一个点是一个指数函数与一个对数函数的图象的公共点，那么称这个点为“好点”．在下面的五个点M (1,1)，N (1，2)，P (2,1)，Q (2,2)，G ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12中，可以是“好点”的个数为…( )A ． 0个B ．1个C ． 2个D ．3个 二、填空题：（本大题4题，每小题5分，共20分）13．用二分法求方程x 3—6x 2+4=0的一个近似解时，已经将一根锁定在区间(0,1)内，则下一步可断定该根所在的区间为________．14．函数f (x )＝a x －2＋1的图象一定过定点P ，则P 点的坐标是________．15．已知29x =，342=y ，则2x y +的值为 ．16．用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的34，要使存留的污垢不超过1%，则至少要清洗的次数是________(lg2≈0.3010)．三、解答题（本大题共6小题，共70分.应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本题满分10分）已知全集R U =，集合{}14>-<=x x x A 或，{}213≤-≤-=x x B ， （1）求B A ; )()(B C A C U U ；（2）若集合{}1212+≤≤-=k x k x M 是集合A 的子集，求实数k 的取值范围.18．（本题满分10分）已知函数0),1(log )1(log )(>--+=a x x x f a a 且1≠a .（1）求)(x f 的定义域；（2）判断)(x f 的奇偶性并予以证明； （3）若1>a 时，求使0)(>x f 的x 的解集.19. （本题满分10分）已知2()1xf x x=+. （1）)分别求()⎪⎭⎫⎝⎛+212f f ，()⎪⎭⎫⎝⎛+313f f 的值； （2）试猜测：1()()f x f x+的值;并加以验证。
福建省厦门市第一中学2015-2016学年高一化学上学期期中试题详解
福建省厦门第一中学2015—2016学年度第一学期期中考试高一年化学试卷考试时间：100分钟 总分：100分1．第Ⅰ卷用2B 铅笔把答题卡上对应题号的答案标号涂黑，不能答在试卷上．2．第Ⅱ卷必须使用黑色签字笔书写，并书写在答题卷指定的区域范围。
可能用到的相对原子质量：H-1 C-12 N-14 O-16 Na-23 Al-27 S-32 Cl-35.5 Cu-64第Ⅰ卷（选择题 48分）单选题（每小题只有一个正确答案，各2分，共24题48分）1．目前人类已发现几千万种物质，对物质进行分类，有利于我们的学习。
下列物质的分类不．正确．．的是 A ．SO 2（酸性氧化物） B ．氨水（弱电解质） C ．HNO 3（含氧酸） D ．氯水（混合物）2． 下列事实与胶体性质无关的是A ．向豆浆中加入硫酸钙做豆腐B ．将植物油倒入水中用力搅拌形成油水混合物C ．利用丁达尔效应可以区别溶液与胶体D ．观看电影时，从放映机到银幕有明显的光路3．下列叙述正确的是A ．氯化钠溶液在电流作用下电离成Na +与Cl -B ．溶于水后能电离出H +的化合物都是酸C ．氯化氢溶于水后能导电，但液态氯化氢不能导电D ．导电性强的溶液中自由移动离子数目一定比导电性弱的溶液中自由移动离子数目多4．下列叙述正确的是A ．铜丝能导电，所以铜是电解质B ．固体氯化钠不导电，所以氯化钠不是电解质C ．SO 3 溶于水能导电，所以 SO 3 是电解质D ．氯化氢水溶液能导电，所以氯化氢是电解质5．在物质分类中，前者包括后者的是A ．氧化物、化合物B ．盐、电解质C ．溶液、 胶体D ．分散系、溶液6．下列各物质属于电解质的是① NaOH ②BaSO 4 ③Cu ④蔗糖 ⑤CO 2A ．①② B．①②⑤ C．③④ D．①③⑤7．不能．．实现下列物质间直接转化的元素是 单质2O +−−−→氧化物2H O +−−−→酸或碱NaOH HCl +−−−−−→或盐A ．碳B ．钠C ．硫D ．铁8．在下列反应中，水既不是氧化剂，也不是还原剂的是A．2Na+2H 2O=2NaOH+H2↑ B．Cl2+H2O HCl +HClOC．2F2+2H2O=4HF+O2 D．2H2O H2↑+O2↑9．实验室中需要0.2 mol·L-1的CuSO4溶液950 mL，配制时应选用的容量瓶的规格和称取胆矾晶体（CuSO4·5H2O）的质量分别是A．950 mL 30.4 g B．950 mL 47.5gC．1000 mL 50.0 g D．1000 mL 32.0g10．某溶液中存在较多的H＋、SO42－、NO3－，则该溶液中还可能大量存在的离子组是A．Mg2+、NH4+、Cl－B．Mg2+、Ba2+、Br－C．Na+、Cl－、I－ D．Al3+、HCO3－、Cl－11．下列反应的离子方程式中，正确的是A．稀硫酸滴在银片上：2Ag+2H＋＝2Ag＋＋H2↑B．氧化铁与稀盐酸混合：Fe2O3+6H＋＝2Fe3＋＋3H2OC．碳酸钙溶于醋酸溶液中：CaCO3+2H+=Ca2++CO2↑+H2OD. 饱和石灰水与稀硝酸反应：Ca(OH)2+2H+＝Ca2++2H2O12．300 mL Al2(SO4)3溶液中，含Al3＋为1.62 g，在该溶液中加入0.1 mol·L-1Ba(OH)2溶液100 mL，反应后溶液中SO42-的物质的量浓度约为A．0.4 mol·L-1 B．0.3 mol·L-1C．0.2 mol·L-1 D．0.1 mol·L-1 13．以N A表示阿伏伽德罗常数，下列说法中正确的是A．58.5 g氯化钠固体中含有N A个氯化钠分子B．1mol Fe参与反应失去电子数目一定为2N AC．金属钠和氧气反应制取过氧化钠，每生成1mol过氧化钠，转移电子数为4N AD．常温下，46 g NO2和N2O4的混合物中含有的氮原子数为N A14．下列各组离子中，因发生氧化还原反应而不能．．大量共存的是A． K+、H+、Fe2+、MnO4－ B．Fe3+、Ba2+、SO42－、NO3－C．Al3+、Na+、SO42－、CO32－ D．Fe3+、H+、SO42－、ClO－15．为实现下列转化，必须加入还原剂才能进行的是A．MnO4－→Mn2+ B．Cl2→Cl－C．H2→H2O D．Zn→ Zn2+16．根据下列反应判断有关物质还原性由强到弱的顺序是H2SO3 + I2 + H2O = 2HI + H2SO42FeCl3 + 2HI = 2FeCl2 + 2HCl + I23FeCl2 + 4HNO3 = 2FeCl3+ NO↑+ 2H2O + Fe(NO3)3A． H2SO3＞ I-＞ Fe2+＞ NOB． I-＞ Fe2+＞ H2SO3＞ NOC． Fe2+＞ I-＞ H2SO3＞ NOD． NO ＞Fe2+＞ H2SO3＞ I-17．高铁酸钾（K2FeO4）是一种高效绿色水处理剂，其工业制备的反应原理为：2Fe(OH)3 +3KClO+4KOH＝2K2FeO4 + 3KCl + 5H2O ，下列说法正确的是A．反应中 KClO做还原剂B．KCl是还原产物C．K2FeO4中铁的化合价为＋7D．制备K2FeO4时，1 molFe(OH)3得到3 mol电子18．下列各组中的两种物质在溶液中的反应，可用同一离子方程式表示的是A．Cu(OH)2＋HCl；Cu(OH)2＋CH3COOHB．NaHCO3＋H2SO4；Na2CO3＋HClC．NaHSO4＋NaOH；H2SO4＋NaOHD．BaCl2与Na2SO4；Ba(OH)2与CuSO419．某溶液中含有较大量的Cl－、CO32-、OH－三种阴离子，如果只取一次该溶液就能够分别将3种阴离子依次检验出来，下列实验操作顺序中，正确的是①滴加Mg(NO3)2溶液；②过滤；③滴加AgNO3溶液；④滴加Ba(NO3)2溶液A．①②④②③ B．①②③②④C．④②③②①D．④②①②③20．某实验室合成了一种可溶的金属氯化物(RCl x)，为了测定该金属氯化物的成分，研究人员做了以下实验：取物质的量浓度为0.05 mol·L-1的金属氯化物(RCl x) 溶液20 mL，使之恰好与20 mL 0.15 mol·L-1的AgNO3溶液完全反应。
【百强校】2015-2016学年福建省厦门一中高一上期中数学试卷(带解析)
绝密★启用前【百强校】2015-2016学年福建省厦门一中高一上期中数学试卷（带解析）试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：150分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1、在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2b=a+c ，则角B 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．2、已知x,y 满足约束条件，若z=ax+y 的最大值为4，则a 的值为（ ）A ．3B ．2C ．-2D ．-33、方程sin 2x ＋sin x －1-m=0在实数集上有解，则实数m 的范围为（ ） A ．B ．C ．D ．4、已知且sin，sin 2，sin 4成等比数列，则的值为（ ）A ．B ．C ．D ．5、数列{a n }中，a n = ，则该数列最大项是（ ） A ．B ．C ．D ．6、已知数列满足，则前200项的和为（ ）A ．0B ．C ．D ．7、在△ABC 中，角A=60°，AB=2，且△ABC 的面积S △ABC =，则BC 的长为（ ）A ．B ．3C ．D ．78、设0＜a ＜b ，则下列不等式中正确的是（ ） A ．a ＜b ＜＜B ．a ＜＜＜bC ．a ＜＜b ＜D ．＜a ＜＜b9、函数f （x ）＝2sin （ωx ＋φ）对任意x 都有f＝f，则f等于（ ）A ．2或0B ．－2或2C ．0D ．－2或010、在等差数列{a n }中，若a 1，a 4是方程x 2-x-6=0的两根，则a 2+a 3的值为（ ） A ．6 B ．-6 C ．-1 D ．111、与两数的等比中项是（ ）A ．2B ．-2C ．±2D ．以上均不是12、汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是（ ）A ．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B ．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C ．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D ．某城市机动车最高限速80千米/小时．相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油第II卷（非选择题）二、填空题（题型注释）13、已知是方程的两根，且，则的范围是________．14、等差数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n,T n，若，则=________．15、等比数列{a n}的前n项和为S n，若，则的值为________．16、在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=，b=2，则边长c的取值范围是________．三、解答题（题型注释）17、设数列的前n项和为．已知．（I）求的通项公式；（II）若数列满足，的前n项和．①求；②若对于恒成立，求与的范围．18、已知函数．（1）若当时在上恒成立，求范围；（2）解不等式．19、如图，某市郊外景区内一条笔直的公路a 经过三个景点A 、B 、C ．景区管委会又开发了风景优美的景点D ．经测量景点D 位于景点A 的北偏东30°方向上8 km 处，位于景点B 的正北方向，还位于景点C 的北偏西75°方向上，已知AB ＝5 km．（1）景区管委会准备由景点D 向景点B 修建一条笔直的公路，不考虑其他因素，求出这条公路的长；（2）求景点C 和景点D 之间的距离．参考数据：sin75°=20、要将两种大小不同的钢板截成A 、B 、C 三种规格,每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：今需A 、B 、C 三种规格的成品分别为15、18、27块，问各截这两种钢板多少张可得所需A 、B 、C 三种规格成品，且使所用的钢板的张数最少？21、已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 5＝35，a 5和a 7的等差中项为13． （1）求a n 及S n ； （2）令b n ＝（n ∈N *），求数列{b n }的前n 项和T n ．22、函数．（1）求函数f （x ）的最小正周期；（2）在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且，求△ABC的面积的最大值．参考答案1、D2、B3、B4、C5、C6、B7、A8、B9、B10、D11、C12、D13、14、15、316、（1,3）17、（I）（II）①；②．18、（1）；（2）当时得到；当时得到或；当时得到；当时得到或；当时，化为；当时得到；当时得到当时得到．19、（1）公路长为千米；（2）CD＝km．20、第一种钢板4张，第二种钢板8张或第一种3张，第二种9张．21、（1），；（2）．22、（1）最小正周期为；（2）△ABC的面积的最大值为．【解析】1、试题分析：，即，，则B的范围是．考点：正余弦定理解三角形，基本不等式．【方法点睛】在利用正余弦定理解三角形时，知道三边之间的关系，一般情况下会选择余弦定理，此题求范围问题最容易与基本不等式结合，因为式子中出现平方和即．在由三角函数值的取值范围求角的取值范围时要注意画图象解决，并注意在三角形中角的范围是．2、试题分析：作出不等式组对应的平面区域，如图（阴影部分），则，，若过点A时取得最大值4，则．此时目标函数为，即，平移直线，当直线过点A时截距最大，此时z的最大值为4，符合题意．若过点B时取到最大值4，则，此时目标函数为，即，平移直线，当直线过点A时截距最大，此时z的最大值为6，不符合题意．．考点：简单的线性规划．【名师点睛】本题主要考察线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法，确定目标函数的斜率关系是解决本题的关键．线性规划类问题的解题关键是先正确画出不等式组所表示的平面区域，然后确定目标函数的几何意义，通过数形结合确定目标函数何时取得最值．画不等式组所表示的平面区域时要通过特殊点验证，防止出现错误．3、试题分析：，，令，则，，由二次函数的知识知：二次函数的对称轴为，再由二次函数的单调性可得当时，取到最小值，当时取到最大值1．所以结果是B选项．考点：正弦函数的值域，二次函数在闭区间上的值域．4、试题分析：由题意可得，且不为0，则，化简得，，即，解得，因为所以．考点：三角函数的恒等变换．5、试题分析：，当时，，单调递减；当时，，单调递减，所以数列的最大项为第六项．考点：数列的单调性．6、试题分析：由数列递推公式可得，所以数列是以3为周期的数列，前200项有66个周期多两个，则．考点：数列求和．7、试题分析：，则，再由余弦定理得，所以．考点：三角形面积公式；正余弦定理解三角形．【名师点睛】在解决三角形的问题中，（1）面积公式最常用，因为公式中既有边又有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来；（2）在三角形中，两边和一角知道，该三角形是确定的，其解是唯一的，利用余弦定理求第三边．（3）若是已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据大边对大角进行判断．（4）在三角形中，注意这个隐含条件的使用，在求范围时，注意根据题中条件限制角的范围．8、试题分析：；由基本不等式得，因为，所以等号不成立，所以；，综上．考点：不等式的性质．9、试题分析：说明函数是以为对称轴，而正弦型函数在对称轴的地方取到最大值或最小值，所以．考点：三角函数的性质．10、试题分析：由韦达定理得，再由等差数列下标和的性质可知．考点：等差数列下标和的性质．11、试题分析：等比中项有两个，，与两数的等比中项是．考点：等比中项的定义．12、试题分析：A选项：从图中可以看出乙车的行使速度大于40千米每小时的燃油效率大于5千米每升，故乙车消耗1升汽油的行驶路程大于5千米，所以错误；B选项以相同的速度行驶相同的路程，甲车消耗的汽油最小，B错；C选项：甲车以80千米每小时的速度行驶1小时，里程为80千米，燃油效率为10，故消耗8升汽油，C错误；D选项，因为在速度低于80千米每小时，丙的燃油效率高于乙的，所以D正确．考点：函数的图象和图象变化．13、试题分析：设，因为，则，作出不等式组的平面区域，．的几何意义是与连线斜率的取值范围，由图像可知OA的斜率最大，最大斜率为0，OB的斜率最小，最小斜率为，所以，则，令，构造函数，，函数在单调递减，在单调递增，所以当时函数取最小值，最小值为2，当时，函数取最大值，最大值为,所以最后结果是．考点：线性规划．【方法点睛】要充分理解目标函数的几何意义，诸如直线的截距、两点间的距离（或平方）、点到直线的距离、过已知两点的直线斜率等．线性规划问题求解步骤：（1）确定目标函数；（2）作可行域；（3）作基准线（z=0时的直线）；（4）平移找最优解；（5）求最值．此题的关键是看清目标函数的几何意义，并结合函数有关知识求最值．14、试题分析：，．考点：等差数列前n 项和公式及等差数列的下标和性质．方法点睛：（1）此题主要考察等差数列前n项和的公式及等差数列下标和的性质，熟练掌握公式是解决此题的基础；（2）解决此题的关键地方在于如何把数列的和转化为项和项之间的关系，可以看一下上边的转化过程，记忆此种题型的解题方法．15、试题分析：若数列是等比数列，则它的前n项和公式为，其中，此题，则．考点：等比数列前n项和．16、试题分析：由余弦定理得，，，则，．考点：正余弦定理解三角形，三角函数的值域．17、试题分析：（1）给出与的关系，求，常用思路：一是利用转化为的递推关系，再求其通项公式；二是转化为的递推关系，先求出与的关系，再求,需注意当时的讨论；（2）题目中当时，是等差乘以等比的形式，用错位相减来解决，运算过程一定要注意，这是易错点；（3）最后一问主要是恒成立问题，把它转化为求最值问题，即求的最值，可通过函数单调性来求．试题解析：解：（I）因为所以，，故当时，此时，，即，所以，（Ⅱ）因为，所以当时，所以当时，所以两式相减得所以②由知道递增，而当若对于恒成立，有考点：数列前n项和求数列的通项公式，错位相减求和，恒成立问题．【方法点睛】（1）一般地，如果数列是等差数列，是等比数列，求数列的前项的和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列的公比，然后做差求解．（2）恒成立问题一般需转化为最值，利用单调性证明在闭区间的单调性．而数列是一种特殊的函数，所以数列问题可以通过函数知识来解决．18、试题分析：（1）恒成立问题一般需转化为最值，利用单调性证明在闭区间的单调性．含参数的一元二次不等式在某区间内恒成立的问题通常有两种处理方法：一是利用二次函数在区间上的最值来处理；二是分离参数，再去求函数的最值来处理，一般后者比较简单．（2）注意讨论二次项系数是否为0，解含参的一元二次不等式需要从两根的大小以及开口方向以及判别式的正负进行判断．对参数进行的讨论是根据解题的需要自然引出的，并非一开始就对参数加以分类讨论．当二次项系数不含参数且能进行因式分解时，其解法较容易，只讨论根的大小．试题解析：解：（1）只需解得（2）当时得到当时，化为当时得到或当时得到当时得到或当时，化为当时得到当时得到当时得到考点：恒成立问题，含参的一元二次不等式的解法．【方法点睛】解含参一元二次不等式，常涉及对参数的分类讨论以确定不等式的解，这是解含参一元二次不等式问题的一个难点．解含参一元二次不等式时对参数的分类主要依据有三个因素：①比较两根大小；②判别式的符号；③二次项系数的符号．对参数进行的讨论是根据解题的需要而自然引出的，并非一开始就对参数加以分类讨论．当二次项系数不含参数且能进行因式分解时，其解法较容易，只讨论根的大小．解题关键是熟练掌握二次函数的图象特征，做到眼中有题，心中有图．19、试题分析：（1）此题为解三角形的应用问题，一般情况下要理解方向角、方位角、坡角等基本概念，并会通过已知条件正确画出图形，转化为解三角形问题；（2）此题第一问主要考察两边及一边对角的基本题型，这种情况下应注意解的取舍；（3）第二问是两角一边问题，应用正弦定理来解决；（4）计算过程需要注意，化简过程做到准确无误．试题解析：解：（1）在△ABD中，∠ADB＝30°，AD＝8 km，AB＝5 km，设DB＝x km，则由余弦定理得52＝82＋x2－2×8×x·cos30°，即x2－8x＋39＝0，解得x＝4±3．∵4＋3>8，舍去，∴x＝4－3，∴这条公路长为（4－3）km．（2）在△ADB中，＝，∴sin∠DAB＝＝＝，∴cos∠DAB＝．在△ACD中，∠ADC＝30°＋75°＝105°，∴sin∠ACD＝sin[180°－（∠DAC＋105°）]＝sin（∠DAC＋105°）＝sin∠DACcos105°＋cos∠DACsin105°＝·＋·＝．∴在△ACD中，＝，∴＝，∴CD＝km．考点：解三角形的应用．20、试题分析：本题主要考察线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法，确定目标函数的斜率关系是解决本题的关键．线性规划类问题的解题关键是先正确画出不等式组所表示的平面区域，然后确定目标函数的几何意义，通过数形结合确定目标函数何时取得最值．画不等式组所表示的平面区域时要通过特殊点验证，防止出现错误．此题需特别注意第一种和第二种钢板均为整数，所以要找到最优整数解，一般的方法就是画网格．试题解析：解：设需截第一种钢板x张，第二种钢板y张，可得且x、y 都是整数，求使z=x+y取得最小值时的x、y．首先作出可行域，其次平移直线z=x+y，可知直线经过点（），此时x=，y=．z=x+y有最小值11,但（，）不是最优解．首先在可行域内打网格，其次推出点A（，）附近所有整点，接着平移直线l：x+y=0，会发现当平移至B（4，8）、C（3，9）时直线与原点的距离最近,即z的最小值为12．考点：线性规划的应用．21、试题分析：（1）等差数列基本量的求解是等差数列的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等差数列的有关公式并能灵活运用；（2）解题时要善于类比要能正确区分等差、等比的性质，不要把两者的性质搞混了．（3）观测数列的特点形式，看使用什么方法求和．使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源和目的．试题解析：解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，因为S5＝5a3＝35，a5＋a7＝26，所以解得a1＝3，d＝2，所以a n＝3＋2（n－1）＝2n＋1，S n＝3n＋×2＝n2＋2n．（2）由（1）知a n＝2n＋1，所以b n＝＝＝－，所以T n＝＋＋…＋＝1－＝．考点：等差数列求通项公式及前n项和，裂项相消求数列的和．22、试题分析：（1）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）=sin（2x ﹣）+，利用周期公式即可求得最小正周期．（2）由三角形面积公式可得，由，结合范围A∈（0，π），可得，由余弦定理可得：b2+c2=4+bc，利用基本不等式可得bc≤4，即可求得△ABC的面积的最大值．解：（1）∵，∴最小正周期T==π．（2），由=sin（2A﹣）+，可得：sin（2A﹣）=1，由A∈（0，π），2A﹣∈（﹣，），即可得：2A﹣=，得到，所以由余弦定理可得：cosA=，解得：c2+b2﹣4=bc，所以，b2+c2=4+bc，由于b2+c2≥2bc，所以4+bc≥2bc解得bc≤4，b=c=2取等号，所以△ABC的面积的最大值为．考点：余弦定理；两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法．。
福建省厦门一中高一上学期期中考试(数学).doc
福建省厦门一中高一上学期期中考试（数学）【答卷说明】 选择题的答案填到答题卡上，填空题与解答题的答案，写在答题卷上，交卷时交答题卡与．．．．．答题卷．．．. 一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分）1、设实数集为R ，若{|0{|12}A x x B x x =<<=≤<，则()R A B =ðA 、 {|x x <B 、{|x x ≥C 、{|1x x ≤<D 、{2}x x < 2、下列关系正确的是①23{|,}y y x x R π∈=-∈ ②{,}x y ={,}y x ，其中x ≠ y③22{(,)|0,,}x y x y x R y R +=∈∈2{(,)|}x y y x = A 、①②B 、①③C 、②③D 、①②③ 3、如果函数221y x ax =++在[－1, 2]上递增，则a 满足的条件是A 、a ≥1B 、2a ≥C 、a ≤１D 、a ≤－24、函数2()4log f x x x =-+的零点所在的区间是A 、（0，1）B 、（1，2）C 、（2，3）D 、（3，4）5、计算2(lg 2)lg 2lg5lg5+⋅+所得结果是A 、1B 、2C 、lg2D 、lg46、如果22log 2x x x <<，那么x 的取值范围是 A 、（1，2） B 、(1，3) C 、（1, 4） D 、（2, 4）7、下列各式关系正确的是A 、0.80.71133> B 、0.50.5log 0.4log 0.6> C 、0.10.10.750.75-< D 、lg1.6lg1.4<8、若函数(2)(2)()2(2)x f x x f x x -+<⎧=⎨≥⎩，则f (－2)的值等于 A 、18 B 、12 C 、14D 、2 9、函数()f x ＝x 2 -2mx+m 2 -1的两个零点都在区间（-2，4）内，则实数m 的取值范围是A 、（－2，2）B 、(－1，3)C 、（1, 4）D 、（－2, 3）10、函数()f x =的定义域是A 、1(,3)2B 、1(,3]2C 、1(,1)(1,3)2 D 、1(,1)(1,3]2 二、填空题（共5小题，每小题4分，共11、已知()22x f x ax =⋅+，若(2)15,f -= 则(2)f 等于12、设01,x <<若16x x-+=，则1122x x --＝ 13、方程1303x --=实根的个数是 14、若偶函数)(x f 在(],0-∞上是增函数，那么3()(1)(2)2f f f --、、中最大的是15、已知a >0, a ≠1，如果5log 14a<，那么a 的取值范围是三、解答题（6题，共80分）16、（13分）定义在R 上的奇函数()f x ，当0x >时，()2f x x =-，(1)用分段函数写出()f x 在R 上的解析式；(2)求不等式1()2f x <的解集。
福建地区厦门市2015-2016年度高一上学期期末质检数学试卷(解析版)
2015-2016学年福建省厦门市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.1．设集合A={﹣2，﹣1，1}，B={x∈Z|﹣1≤x≤1}，则A∪B=（）A．{﹣1，1}B．{0，1}C．{﹣2，﹣1，1}D．{﹣2，﹣1，0，1}【考点】并集及其运算．【专题】计算题；集合．【分析】列举出B中的元素确定出B，找出A与B的并集即可．【解答】解：∪A={﹣2，﹣1，1}，B={x∈Z|﹣1≤x≤1}={﹣1，0，1}，∪A∪B={﹣2，﹣1，0，1}，故选：D．【点评】此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．2．已知f（x﹣1）=2x，则f（3）=（）A．2B．4C．6D．8【考点】函数的值．【专题】计算题；函数思想；同一法；函数的性质及应用．【分析】令x﹣1=3，求出x的值，代入可得答案．【解答】解：∪f（x﹣1）=2x，令x﹣1=3，则x=4，∪f（3）=2×4=8，故选：D【点评】本题考查的知识点是函数的值，难度不大，属于基础题．3．在区间[﹣1，3]内任选一个实数，则x恰好在区间[1，3]内的概率是（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【专题】计算题；方程思想；综合法；概率与统计．【分析】本题利用几何概型求概率，解得的区间长度，求比值即得．【解答】解：利用几何概型，其测度为线段的长度，区间[﹣1，3]的长度为4，区间[1，3]长度为2，由几何概型公式得x恰好在区间[1，3]内的概率是为=．故选：C．【点评】本题主要考查了几何概型，简单地说，如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．4．某产品的广告费x（万元）与销售额y（万元）的统计数据如表：广告费用x2356销售额y20304050由最小二乘法可得回归方程=7x+a，据此预测，当广告费用为7万元时，销售额约为（）A．56万元B．58万元C．68万元D．70万元【考点】线性回归方程．【专题】函数思想；综合法；概率与统计．【分析】求出数据中心（，），代入回归方程求出，再将x=7代入回归方程得出答案．【解答】解：==4，==35．∪35=4×7+，解得=7．∪回归方程为=7x+7．∪当x=7时，y=7×7+7=56．故选：A．【点评】本题考查了线性回归方程的特点与数值估计，属于基础题．5．运行如图的程序，若输入的数为1，则输出的数是（）A．﹣2B．0C．1D．3【考点】伪代码；程序框图．【专题】计算题；阅读型；分类讨论；算法和程序框图．【分析】模拟执行程序代码，可得程序的功能是计算并输出y=，由x=1满足条件x≥0，执行输出y=2x+1即可得解．【解答】解：模拟执行程序代码，可得程序的功能是计算并输出y=，x=1，满足条件a≥0，执行y=2x+1=3，输出y的值为3．故选：D．【点评】本题考查的知识点是条件结构，其中根据已知分析出程序的功能是解答的关键，属于基础题．6．已知a=log0.50.9，b=log0.50.8，c=0.5﹣0.9，则（）A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b【考点】对数值大小的比较．【专题】计算题；函数思想；分析法；函数的性质及应用．【分析】利用对数函数的单调性比较a，b，再以1为媒介比较b，c得答案．【解答】解：∪log0.50.9＜log0.50.8＜log0.50.5=1，0.5﹣0.9＞0.50=1，∪a＜b＜c．故选：B．【点评】本题考查对数值的大小比较，考查了对数函数与指数函数的单调性，是基础题．7．已知函数f（x）=3x，对于定义域内任意的x1，x2（x1≠x2），给出如下结论：①f（x1+x2）=f（x1）•f（x2）②f（x1•x2）=f（x1）+f（x2）③＞0④f（﹣x1）+f（﹣x2）=f（x1）+f（x2）其中正确结论的序号是（）A．①③B．①④C．②③D．②④【考点】指数函数的图象与性质．【专题】数形结合；定义法；函数的性质及应用．【分析】根据指数的运算法则即可①正确，②错误，④错误；根据函数f（x）=3x的单调性可以判断③正确．【解答】解：关于函数f（x）=3x，对于定义域内任意的x1，x2（x1≠x2）：①f（x1+x2）==•=f（x1）•f（x2），∪①正确；②f（x1•x2）=≠+=f（x1）+f（x2），∪②错误；③f（x）=3x是定义域上的增函数，f′（x）=k=＞0，∪③正确；④f（﹣x1）+f（﹣x2）=+≠+=f（x1）+f（x2），∪④错误；综上，正确结论的序号是①③．故选：A．【点评】本题考查了指数函数的图象与性质的应用问题，解题时应结合指数的运算性质与函数图象分析结论中式子的几何意义，再进行判断，是基础题目．8．甲、乙两位运动员6场比赛的茎叶图如图所示，记甲、乙的平均成绩分别为，，下列判断正确的是（）A．＞，甲比乙成绩稳定B．＞，乙比甲成绩稳定C．＜，甲比乙成绩稳定D．＜，乙比甲成绩稳定【考点】茎叶图．【专题】对应思想；定义法；概率与统计．【分析】计算甲、乙二人得分的平均数与方差，即可得出正确的结论．【解答】解：6场比赛甲的得分为16、17、18、22、32和33，乙的得分为14、17、24、28、28和33；∪=（16+17+18+22+32+33）=23，=（14+17+24+28+28+33）=24，∪＜；又=（49+36+25+1+81+100）=，=（100+49+0+16+16+81）=∪＞，乙比甲成绩稳定些．故选：D．【点评】本题利用茎叶图中的数据计算平均数与方差的问题，也考查了计算能力，是基础题目．9．在标准化的考试中既有单选题又有多选题，多选题是从A，B，C，D四个选项中选出所有正确的答案（正确答案可能是一个或多个选项），有一道多选题考生不会做，若他随机作答，则他答对的概率是（）A．B．C．D．【考点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式．【专题】计算题；方程思想；综合法；概率与统计．【分析】先求出基本事件总数，由此利用等可能事件概率计算公式能求出结果．【解答】解：由已知基本事件总数n==15，∪他随机作答，则他答对的概率p=．故选：C．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．10．函数f（x）=2的图象大致是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【专题】作图题；函数思想；数形结合法；函数的性质及应用．【分析】根据指数函数和对数的函数的图象和性质即可判断．【解答】解：因为t=log3x的函数为增函数，且函数值的变化越来越慢，即图象的变化越来越趋向于平缓，又因为y=2t为增函数，其图象的变化是函数值的变化越来越慢，故选：B．【点评】本题考查了指数函数和对数的函数的图象和性质，属于基础题．11．阅读如图所示的程序框图，若输出d=0.1，a=0，b=0.5，则输出的结果是（）参考数据：x f（x）=2x﹣3x0.250.440.3750.170.43750.040.46875﹣0.020.5﹣0.08A．0.375B．0.4375C．0.46875D．0.5【考点】程序框图．【专题】计算题；图表型；数学模型法；算法和程序框图．【分析】根据题意，按照程序框图的顺序进行执行，当|a﹣b|=0.0625，满足条件|a﹣b|＜d，退出循环，输出m的值为0.4375．【解答】解：模拟执行程序，可得：f（x）=2x﹣3x，d=0.1，a=0，b=0.5，m=0.25，不满足条件f（0）f（0.25）＜0，a=0.25，|a﹣b|=0.25，不满足条件|a﹣b|＜d或f（m）=0，m=0.375，不满足条件f（0. 25）f（0.375）＜0，a=0.375，|a﹣b|=0.125，不满足条件|a﹣b|＜d或f （m）=0，m=0.4375，不满足条件f（0.375）f（0.4375）＜0，a=0.4375，|a﹣b|=0.0625，满足条件|a﹣b|＜d，退出循环，输出m的值为0.4375．故选：B．【点评】本题考查了循环结构的程序框图，根据表中函数的值，按照程序框图的顺序进行执行求解即可，考查了用二分法方程近似解的方法步骤，属于基础题．12．已知[t]表示不超过t的最大整数，例如[1.25]=1，[2]=2，若关于x的方程=a在（1，+∞）恰有2个不同的实数解，则实数a的取值范围是（）A．[2，+∞）B．（2，+∞）C．（，2]D．[，2]【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】计算题；作图题；数形结合；函数的性质及应用．【分析】化为解y=[x]与y=a（x﹣1）在（1，+∞）上恰有2个不同的交点，从而作图求解即可．【解答】解：∪关于x的方程=a在（1，+∞）恰有2个不同的实数解，∪y=[x]与y=a（x﹣1）在（1，+∞）上恰有2个不同的交点，作函数y=[x]与y=a（x﹣1）在（1，+∞）上的图象如下，，结合图象可知，k l=2，k m=，实数a的取值范围是（，2]，故选C．【点评】本题考查了方程的解与函数的图象的关系应用及数形结合的思想应用．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．一个田径队中有男运动员56人，女运动员42人，用分层抽样方法从全队的运动员中抽取一个容量为28人的样本，其中男运动员应抽取16人．【考点】分层抽样方法．【专题】计算题．【分析】先求出样本容量与总人数的比，在分层抽样中，应该按比例抽取，所以只需让男运动员人数乘以这个比值，即为男运动员应抽取的人数．【解答】解：∪运动员总数有98人，样本容量为28，样本容量占总人数的∪男运动员应抽取56×=16；故答案为16．【点评】本题主要考查了抽样方法中的分层抽样，关键是找到样本容量与总人数的比．14．已知函数f（x）=x2﹣2x+3的定义域为[0，3]，则函数f（x）的值域为[2，6]．【考点】函数的值域．【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】配方得到f（x）=（x﹣1）2+2，而f（x）的定义域为[0，3]，这样便可求出f （x）的最大值和最小值，从而求出f（x）的值域．【解答】解：f（x）=（x﹣1）2+2；∪x∈[0，3]；∪x=1时，f（x）取最小值2；x=3时，f（x）取最大值6；∪f（x）的值域为[2，6]．故答案为：[2，6]．【点评】考查函数定义域、值域的概念，以及配方求二次函数值域的方法．15．在不同的进位制之间的转化中，若132（k）=42（10），则k=5．【考点】进位制．【专题】计算题；方程思想；转化思想；算法和程序框图．【分析】由已知中132（k）=42（10），可得：k2+3k+2=42，解得答案．【解答】解：∪132（k）=42（10），∪k2+3k+2=42，解得：k=5，或k=﹣8（舍去），故答案为：5【点评】本题考查的知识点是进位制，难度不大，属于基础题．16．已知函数f（x）=|log2x|，g（x）=，若对任意x∈[a，+∞），总存在两个x0∈[，4]，使得g（x）•f（x0）=1，则实数a的取值范围是[2，+∞）．【考点】对数函数的图象与性质．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】根据g（x）的值域和g（x）•f（x0）=1得出f（x0）的范围，结合f（x）的图象得出f（x0）的范围解出a．【解答】解：f（x0）==，∪x∈[a，+∞），∪f（x0）≤，作出f（x）在[，4]上的函数图象如图：∪对任意x∈[a，+∞），总存在两个x0∈[，4]，使得g（x）•f（x0）=1，∪0＜≤1，解得a≥2．故答案为[2，+∞）．【点评】本题考查了对数函数的图象与性质，结合函数图象是解题关键．三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知R为实数集，集合A={x|log2x≥1}，B={x|x﹣a＞4}．（∪）若a=2，求A∩（∁R B）；（∪）若A∪B=B，求实数a的取值范围．【考点】集合的包含关系判断及应用；交、并、补集的混合运算．【专题】计算题；集合思想；综合法；集合．【分析】（∪）若a=2，求出A，∁R B，即可求A∩（∁R B）；（∪）若A∪B=B，则A⊂B，即可求实数a的取值范围．【解答】解：（∪）∪log2x≥1，∪x≥2，即A=[2，+∞），∪a=2，∪B={x|x＞6}，∪∁R B=（﹣∞，6]，∪A∩（∁R B）=[2，6]；（∪）∪A∪B=B，∪A⊆B，∪A=[2，+∞），B={x|x＞a+4}，∪a+4＜2，∪a＜﹣2．【点评】本题考查集合的交、并、补集的混合运算，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于基础题．18．某校举行一次安全知识教育检查活动，从全校1500名学生中随机抽取50名参加笔试，测试成绩的频率分布表如下：分组（分数段）频数（人数）频率[50，60）a0.08[60，70）130.26[70，80）160.32[80，90）100.20[90，100）b c合计50 1.00（∪）请根据频率分布表写出a，b，c的值，并完成频率分布直方图；（∪）根据（∪）得到的频率分布直方图估计全校学生成绩的中位数，选择这种数字特征来描述该校学生对安全知识的掌握程度的缺点是什么？【考点】众数、中位数、平均数；频率分布直方图．【专题】对应思想；综合法；概率与统计．【分析】（∪）由题意知分别求出a，b，c的值即可，由频率分布表能作出频率分布直方图．（∪）根据频率分布直方图，能估计出全校学生成绩的中位数．【解答】解：（∪）a=50×0.08=4，b=50﹣10﹣16﹣13﹣4=7，c=0.14，如图示：；（∪）根据（∪）得到的频率分布直方图估计全校学生成绩的中位数约是80分，选择这种数字特征来描述该校学生对安全知识的掌握程度的缺点是：不准确，很笼统．【点评】本题考查频率分布直方图的作法，考查中位数的估计，是基础题，解题时要认真审题．19．已知f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=x a（a∈R），函数f（x）的图象经过点（4，2）．（1）求函数f（x）的解析式；（2）解不等式f（x2）﹣f（﹣x2+x﹣1）＞0．【考点】函数奇偶性的性质；指数函数的图象与性质．【专题】综合题；转化思想；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】（1）根据函数f（x）的图象经过点（4，2）．可得a值，结合f（x）是定义在R 上的偶函数，可得函数的解析式；（2）不等式f（x2）﹣f（﹣x2+x﹣1）＞0可化为：|x2|＞|﹣x2+x﹣1|，即x2＞x2﹣x+1，解得答案．【解答】解：（1）∪函数f（x）的图象经过点（4，2）．∪4a=2，解得：a=，故当x≥0时，f（x）=，当x＜0时，﹣x＞0，由f（x）是定义在R上的偶函数，可得此时f（x）=f（﹣x）=，综上可得：f（x）=（2）若f（x2）﹣f（﹣x2+x﹣1）＞0，则f（x2）＞f（﹣x2+x﹣1），则|x2|＞|﹣x2+x﹣1|，即x2＞x2﹣x+1，解得：x＞1【点评】本题考查的知识点是函数奇偶性性质，不等式的解法，函数解析式的求法，难度中档．20．联合国教科文组织规定：一个国家或地区60岁以上的人口占该国或该地区人口总数的10%以上（含10%），该国家或地区就进入了老龄化社会，结合统计数据发现，某地区人口数在一段时间内可近似表示为P（x）=（万），60岁以上的人口数可近似表示为L（x）=10×[1+k%•（x﹣2010）]（万）（x为年份，W，k为常数），根据第六次全国人口普查公报，2010年该地区人口共计105万．（∪）求W的值，判断未来该地区的人口总数是否有可能突破142万，并说明理由；（∪）已知该地区2013年恰好进入老龄化社会，请预测2040年该地区60岁以上人口数（精确到1万）．参考数据“0.942=0.88，0.943=0.83，139420=0.29，0.9430=0.16．【考点】函数模型的选择与应用．【专题】应用题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】（∪）利用2010年该地区人口共计105万求W的值，利用≥142，即可判断未来该地区的人口总数是否有可能突破142万；（∪）利用该地区2013年恰好进入老龄化社会，求出k%≈，即可预测2040年该地区60岁以上人口数．【解答】解：（∪）∪2010年该地区人口共计105万，∪x=2010，P==105，∪W≈142．令≥142，∪0.35×（0.94）x﹣2010≤0无解，∪未来该地区的人口总数不可能突破142万；（∪）∪该地区2013年恰好进入老龄化社会，∪10×[1+k%•（2013﹣2010）]=10%×，∪k%≈，∪x=2040，L（2040）≈10×[1+•（2040﹣2010）]=20万【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，正确理解题意是关键．21．某港口船舶停靠的方案是先到先停．（∪）若甲乙两艘船同时到达港口，双方约定各派一名代表猜拳：从1，2，3，4，5中各随机选一个数，若两数之和为奇数，则甲先停靠；若两数之和为偶数，则乙先停靠，这种对着是否公平？请说明理由．（2）根据已往经验，甲船将于早上7：00～8：00到达，乙船将于早上7：30～8：30到达，请应用随机模拟的方法求甲船先停靠的概率，随机数模拟实验数据参考如下：记X，Y都是0～1之间的均与随机数，用计算机做了100次试验，得到的结果有12次，满足X ﹣Y≥0.5，有6次满足X﹣2Y≥0.5．【考点】模拟方法估计概率；几何概型．【专题】应用题；对应思想；转化法；概率与统计．【分析】（∪）这种规则不公平，求出甲胜的概率P（A）与乙胜的概率P（B），比较得出结论；（2）根据题意，求出应用随机模拟的方法甲船先停靠的概率值是X﹣Y≤0的对应值．【解答】解：（∪）这种规则是不公平的；设甲胜为事件A，乙胜为事件B，基本事件总数为5×5=25种，则甲胜即两编号和为偶数所包含的基本事件数有13个：（1，1），（1，3），（1，5），（2，2），（2，4），（3，1），（3，3），（3，5），（4，2），（4，4），（5，1），（5，3），（5，5）∪甲胜的概率P（A）=，乙胜的概率P（B）=1﹣P（A）=；∪这种游戏规则是不公平；（2）根据题意，应用随机模拟的方法求出甲船先停靠的概率是P（C）=1﹣=0.88．【点评】本题考查了古典概型的概率与模拟方法估计概率的应用问题，求解的关键是掌握两种求概率的方法与定义及规则，是基础题．22．设函数f（x）=（∪）若a=1，在直角坐标系中作出函数f（x）的大致图象；（∪）若f（x）≥2﹣x对任意x∈[1，2]恒成立，求实数a的取值范围；（∪）若函数f（x）恰有2个零点，求实数a的取值范围．【考点】分段函数的应用；函数零点的判定定理．【专题】作图题；数形结合；分类讨论；分类法；函数的性质及应用．【分析】（∪）若a=1，则f（x）=，进而可得函数的图象；（∪）若f（x）≥2﹣x对任意x∈[1，2]恒成立，即x2+（1﹣4a）x+（3a2﹣2）≥0对任意x∈[1，2]恒成立，结合二次函数的图象和性质，可得答案；（∪）若函数f（x）恰有2个零点，则，或解得答案．【解答】解：（∪）若a=1，则f（x）=，函数f（x）的图象如下图所示：；（∪）若f（x）≥2﹣x对任意x∈[1，2]恒成立，即x2﹣4ax+3a2≥2﹣x对任意x∈[1，2]恒成立，即x2+（1﹣4a）x+（3a2﹣2）≥0对任意x∈[1，2]恒成立，由y=x2+（1﹣4a）x+（3a2﹣2）的图象是开口朝上，且以直线x=为对称轴的抛物线，故，或，或解得：a≤0，或a≥2，（∪）解3x﹣a=0得：x=log3a，解x2﹣4ax+3a2=0得：x=a，或x=3a若函数f（x）恰有2个零点，则，或解得：a≥3，或≤a＜1．【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数恒成立问题，二次函数的图象和性质，函数的零点，难度中档．。
福建省厦门一中高三数学上学期期中试卷 理(含解析)
2015-2016学年福建省厦门一中高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．设全集U={x∈Z|﹣1≤x≤5}，A={1，2，5}，B={x∈N|﹣1＜x＜4}，则B∩∁U A=( ) A．{0，3} B．{3} C．{0，4} D．{0，3，4}2．在复平面内，复数z=，则其共轭复数z对应的点位于( )A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．下列说法错误的是( )A．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”B．“x＞1”是“|x|＞1”的充分而不必要条件C．若p且q为假命题，则p、q均为假命题D．命题p：“存在x∈R，使得x2+x+1＜0”，则非p：“任意x∈R，均有x2+x+1≥0”4．已知数列﹛a n﹜为等比数列，且，则tan（a2a12）的值为( ) A．B．C．D．5．如图，D，C，B在地平面同一直线上，DC=10m，从D，C两地测得A点的仰角分别为30°和45°，则A点离地面的高AB等于( )A．10m B．5m C．5（﹣1）m D．5（+1）m6．已知函数f（x）=且f（a）=﹣3，则f（6﹣a）=( ) A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣7．函数的部分图象，如图所示，若，则ω等于( )A．B．C．D．8．变量x，y满足约束条件，若z=2x﹣y的最大值为2，则实数m等于( ) A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．29．已知f（x）=e x，x∈R，a＜b，记A=f（b）﹣f（a），B=（b﹣a）（f（a）+f（b）），则A，B的大小关系是( )A．A＞B B．A≥B C．A＜B D．A≤B10．函数y=ln|x﹣1|的图象与函数y=﹣2cosπx（﹣2≤x≤4）的图象所有交点的横坐标之和等于( )A．8 B．6 C．4 D．211．设函数f（x）在R上存在导数f′（x），∀x∈R，有f（﹣x）+f（x）=x2，在（0，+∞）上f′（x）＜x，若f（4﹣m）﹣f（m）≥8﹣4m．则实数m的取值范围为( )A．[﹣2，2] B．[2，+∞）C．[0，+∞）D．（﹣∞，2]∪[2，+∞）12．若数列{a n}满足：存在正整数T，对于任意正整数n都有a n+T=a n成立，则称数列{a n}为周期数列，周期为T．已知数列{a n}满足a1=m（m＞0），则下列结论中错误的是( )A．若a3=4，则m可以取3个不同的值B．若，则数列{a n}是周期为3的数列C．∀T∈N*且T≥2，存在m＞1，使得{a n}是周期为T的数列D．∃m∈Q且m≥2，使得数列{a n}是周期数列二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知α∈（π，），其cosα=﹣，则tanα=__________．14．曲线y=x2与直线y=x所围成图形的面积为__________．15．给定平面上四点A，B，C，D，满足AB=2，AC=4，AD=6，•=4，则△DBC面积的最大值为__________．16．已知曲线C：y2=2x+a在点P n（n，）（a＞0，n∈N）处的切线l n的斜率为k n，直线l n交x轴，y轴分别于点A n（x n，0），B n（0，y n），且|x0|=|y0|．给出以下结论：①a=1；②当n∈N*时，y n的最小值为；③当n∈N*时，k n；④当n∈N*时，记数列{k n}的前n项和为S n，则S n．其中，正确的结论有__________（写出所有正确结论的序号）三、解答题（共6小题，满分70分）17．设函数f（x）=|x﹣a|（Ⅰ）当a=2，解不等式f（x）≥4﹣|x﹣1|；（Ⅱ）若f（x）≤1的解集为{x|0≤x≤2}，+=a（m＞0，n＞0）．求证：m+2n≥4．18．已知向量=（2cosx，sinx），=（cosx，2cosx），函数f（x）=，且当x∈[0，]时，f（x）的最小值为2．（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）先将函数y=f（x）的图象上的点纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，再把所得的图象向右平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求方程g（x）=4在区间[0，]上所有根之和．19．在如图所示的几何体中，△ABC为正三角形，AE和CD都垂直于平面ABC，且AE=AB=2，CD=1，F为BE的中点．（I）求证：平面DBE⊥平面ABE；（II）求直线BD和平面ACDE所成角的余弦值．20．已知各项不为零的数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n=a1（a n﹣1）；数列{b n}满足a nb n=log2a n，数列{b n}的前n项和T n．（Ⅰ）求a n，T n．（Ⅱ）若∀n∈N+，不等式t2+2λt+3＜T n成立，求使关于t的不等式有解的充要条件．21．如图，已知椭圆C的中心在原点，其一个焦点与抛物线的焦点相同，又椭圆C上有一点M（2，1），直线l平行于OM且与椭圆C交于A、B两点，连MA、MB．（1）求椭圆C的方程．（2）当MA、MB与x轴所构成的三角形是以x轴上所在线段为底边的等腰三角形时，求直线l在y轴上截距的取值范围．22．已知函数f（x）=，其中a，b∈R，e为自然对数的底数．（1）当a=b=﹣3，求函数f（x）的单调递增区间；（2）当x≤6时，若函数h（x）=f（x）﹣e﹣x（x3+b﹣1）存在两个相距大于2的极值点，求实数a的取值范围；（3）若函数g（x）与函数f（x）的图象关于y轴对称，且函数g（x）在（﹣6，m），（2，n）上单调递减，在（m，2），（n，+∞）单调递增，试证明：f（n﹣m）＜．2015-2016学年福建省厦门一中高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．设全集U={x∈Z|﹣1≤x≤5}，A={1，2，5}，B={x∈N|﹣1＜x＜4}，则B∩∁U A=( ) A．{0，3} B．{3} C．{0，4} D．{0，3，4}【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】计算题．【分析】由已知中全集U={x∈Z|﹣1≤x≤5}，A={1，2，5}，B={x∈N|﹣1＜x＜4}，根据补集的性质及运算方法，我们求出C U A再根据交集的运算方法，即可求出答案．【解答】解：∵全集U={x∈Z|﹣1≤x≤5}={﹣1，0，1，2，3，4，5}，A={1，2，5}，∴C U A={﹣1，0，3，4}又∵B={x∈N|﹣1＜x＜4}={0，1，2，3}∴B∩C U A={0，3}故选A．【点评】本题考查的知识点是交、并、补的混合运算，其中将题目中的集合用列举法表示出来，是解答本题的关键．2．在复平面内，复数z=，则其共轭复数z对应的点位于( )A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】计算题；对应思想；数学模型法；数系的扩充和复数．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，进一步求出的坐标得答案．【解答】解：∵z==，∴，则z的共轭复数对应的点的坐标为（），位于第四象限．故选：D．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3．下列说法错误的是( )A．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”B．“x＞1”是“|x|＞1”的充分而不必要条件C．若p且q为假命题，则p、q均为假命题D．命题p：“存在x∈R，使得x2+x+1＜0”，则非p：“任意x∈R，均有x2+x+1≥0”【考点】命题的真假判断与应用．【专题】规律型．【分析】A中命题的逆否命题是条件与结论互换并且否定；B中充分而不必要条件要说明充分性成立，必要性不成立；C中p且q为假命题时，则p或q为假命题，或P、Q都是假命题，即一假则假；D中非p是特称命题的否定．【解答】解：A、命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题是“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”，命题正确；B、当x＞1时，|x|＞1成立，当|x|＞1时，有x＞1或x＜﹣1，∴原命题正确；C、当p且q为假命题时，有p或q为假命题，或P、Q都是假命题，∴原命题错误；D、命题p：“存在x∈R，使得x2+x+1＜0”，则非p：“任意x∈R，均有x2+x+1≥0”，命题正确．故选：C．【点评】本题考查了四种命题之间的关系，以及命题的否定，命题真假的判定等知识，是基础题．4．已知数列﹛a n﹜为等比数列，且，则tan（a2a12）的值为( )A．B．C．D．【考点】等比数列的性质；诱导公式的作用．【专题】计算题．【分析】由题意可得=a2a12，再由已知条件求得a2a12=，再利用诱导公式求出tan（a2a12）的值．【解答】解：∵数列﹛a n﹜为等比数列，∴=a2a12 ．再由可得 a2a12=．∴tan（a2a12）=tan=tan=，故选A．【点评】本题主要考查等比数列的定义和性质，诱导公式的应用，属于中档题．5．如图，D，C，B在地平面同一直线上，DC=10m，从D，C两地测得A点的仰角分别为30°和45°，则A点离地面的高AB等于( )A．10m B．5m C．5（﹣1）m D．5（+1）m【考点】解三角形的实际应用．【专题】解三角形．【分析】分别在Rt△ABC和Rt△ABD中用AB表示出BC，BD，作差建立方程求得AB．【解答】解：在Rt△ABC中，BC=AB，在Rt△ABD中，BD=AB，又BD﹣BC=10，∴AB﹣AB=10，AB=5（+1）（m），故A点离地面的高AB为5（+1）m，故选D．【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用．考查了学生的观察思考能力．6．已知函数f（x）=且f（a）=﹣3，则f（6﹣a）=( )A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣【考点】分段函数的应用；函数的零点．【专题】函数的性质及应用．【分析】由f（a）=﹣3，结合指数和对数的运算性质，求得a=7，再由分段函数求得f（6﹣a）的值．【解答】解：函数f（x）=且f（a）=﹣3，若a≤1，则2a﹣1﹣2=﹣3，即有2a﹣1=﹣1＜0，方程无解；若a＞1，则﹣log2（a+1）=﹣3，解得a=7，则f（6﹣a）=f（﹣1）=2﹣1﹣1﹣2=﹣．故选：A．【点评】本题考查分段函数的运用：求函数值，主要考查指数和对数的运算性质，属于中档题．7．函数的部分图象，如图所示，若，则ω等于( )A．B．C．D．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；平面向量数量积的运算．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】由，可求得∠ABC=120°，再由函数最大值为，通过解三角形可求得周期，由此即可求得ω值．【解答】解：由，得||•||•cos（π﹣∠ABC）=，即||•（﹣cos∠ABC）=，由图知||=2||，所以cos∠ABC=﹣，即得∠ABC=120°，过B作BD⊥x轴于点D，则BD=，在△ABD中∠ABD=60°，BD=，易求得AD=3，所以周期T=3×4=12，所以ω==．故选B．【点评】本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式及平面向量数量积的运算，解决本题的关键是由所给数量积求出∠ABC=120°．8．变量x，y满足约束条件，若z=2x﹣y的最大值为2，则实数m等于( ) A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数求得m的值．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（），化目标函数z=2x﹣y为y=2x﹣z，由图可知，当直线过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为，解得：m=1．故选：C．【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．9．已知f（x）=e x，x∈R，a＜b，记A=f（b）﹣f（a），B=（b﹣a）（f（a）+f（b）），则A，B的大小关系是( )A．A＞B B．A≥B C．A＜B D．A≤B【考点】指数函数单调性的应用．【专题】计算题．【分析】利用特殊值验证，推出A，B的大小，然后利用反证法推出A=B不成立，得到结果．【解答】解：考查选项，不妨令b=1，a=0，则A=e﹣1，B=（e+1）．∵e＜3，⇒2e﹣2＜e+1⇒e﹣1＜（e+1）．即A＜B．排除A、B选项．若A=B，则e b﹣e a=（b﹣a）（e b+e a），整理得：（2﹣b+a）e b=（b﹣a+2）e a观察可得a=b，与a＜b矛盾，排除D．故选：C．【点评】本题考查函数的单调性的应用，选择题的解法，如果常用直接法，解答本题难度比较大．考查学生灵活解题能力．10．函数y=ln|x﹣1|的图象与函数y=﹣2cosπx（﹣2≤x≤4）的图象所有交点的横坐标之和等于( )A．8 B．6 C．4 D．2【考点】数列的求和；根的存在性及根的个数判断．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】由图象变化的法则和余弦函数的特点作出函数的图象，由对称性可得答案．【解答】解：由图象变化的法则可知：y=lnx的图象作关于y轴的对称后和原来的一起构成y=ln|x|的图象，向右平移1个单位得到y=ln|x﹣1|的图象，再把x轴上方的图象不动，下方的图象对折上去可得g（x）=ln|x ﹣1||的图象又f（x）=﹣2cosπx的周期为T=2，如图所示：两图象都关于直线x=1对称，且共有6个交点，由中点坐标公式可得：x A+x B=﹣2，x D+x C=2，x E+x F=6故所有交点的横坐标之和为6故选B【点评】本题考查函数图象的作法，熟练作出函数的图象是解决问题的关键，属中档题．11．设函数f（x）在R上存在导数f′（x），∀x∈R，有f（﹣x）+f（x）=x2，在（0，+∞）上f′（x）＜x，若f（4﹣m）﹣f（m）≥8﹣4m．则实数m的取值范围为( )A．[﹣2，2] B．[2，+∞）C．[0，+∞）D．（﹣∞，2]∪[2，+∞）【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】导数的综合应用．【分析】令g（x）=f（x）﹣x2，由g（﹣x）+g（x）=0，可得函数g（x）为奇函数．利用导数可得函数g（x）在R上是减函数，f（4﹣m）﹣f（m）≥8﹣4m，即g（4﹣m）≥g（m），可得 4﹣m≤m，由此解得a的范围．【解答】解：令g（x）=f（x）﹣x2，∵g（﹣x）+g（x）=f（﹣x）﹣x2+f（x）﹣x2=0，∴函数g（x）为奇函数．∵x∈（0，+∞）时，g′（x）=f′（x）﹣x＜0，故函数g（x）在（0，+∞）上是减函数，故函数g（x）在（﹣∞，0）上也是减函数，由f（0）=0，可得g（x）在R上是减函数，∴f（4﹣m）﹣f（m）=g（4﹣m）+（4﹣m）2﹣g（m）﹣m2=g（4﹣m）﹣g（m）+8﹣4m≥8﹣4m，∴g（4﹣m）≥g（m），∴4﹣m≤m，解得：m≥2，故选：B．【点评】本题主要考查函数的奇偶性、单调性的应用，体现了转化的数学思想，属于中档题．12．若数列{a n}满足：存在正整数T，对于任意正整数n都有a n+T=a n成立，则称数列{a n}为周期数列，周期为T．已知数列{a n}满足a1=m（m＞0），则下列结论中错误的是( )A．若a3=4，则m可以取3个不同的值B．若，则数列{a n}是周期为3的数列C．∀T∈N*且T≥2，存在m＞1，使得{a n}是周期为T的数列D．∃m∈Q且m≥2，使得数列{a n}是周期数列【考点】命题的真假判断与应用．【专题】等差数列与等比数列．【分析】利用周期数列的定义，分别进行推理证明．【解答】解：对于选项A，因为，所以，因为a3=4，所以a2=5或，又因为，a1=m，所以m=6或m=或m=，所以选项A正确；对于选项B，＞1，所以；所以，所以，所以数列{a n}是周期为3的数列，所以选项B正确；对于选项C，当B可知当＞1时，数列{a n}是周期为3的周期数列，所以C正确．故错误的是D．故选D．【点评】本题主要考查周期数列的推导和应用，考查学生的推理能力．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知α∈（π，），其cosα=﹣，则tanα=2．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【专题】三角函数的求值．【分析】由cosα的值及α的范围，求出sinα的值，即可确定出tanα的值．【解答】解：∵α∈（π，），cosα=﹣，∴sinα=﹣=﹣，则tanα==2，故答案为：2【点评】此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．14．曲线y=x2与直线y=x所围成图形的面积为．【考点】定积分在求面积中的应用．【专题】计算题．【分析】先根据题意画出区域，然后依据图形得到积分下限为0，积分上限为1，从而利用定积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义求出所求即可．【解答】解：先根据题意画出图形，得到积分上限为1，积分下限为0直线y=x与曲线y=x2所围图形的面积S=∫01（x﹣x2）dx而∫01（x﹣x2）dx=（﹣）|01=﹣=∴曲边梯形的面积是故答案为：．【点评】本题主要考查了学生会求出原函数的能力，以及考查了数形结合的思想，同时会利用定积分求图形面积的能力，属于基础题．15．给定平面上四点A，B，C，D，满足AB=2，AC=4，AD=6，•=4，则△DBC面积的最大值为．【考点】余弦定理；平面向量数量积的运算．【专题】解三角形；平面向量及应用．【分析】先利用向量的数量积公式，求出∠BAC=60°，利用余弦定理求出BC，由等面积可得A到BC的距离，即可求出△DBC面积的最大值．【解答】解：∵AB=2，AC=4，•=4，∴cos∠BAC=，∠BAC=60°，∴BC=，设A到BC的距离为h，则由等面积可得=，∴h=2，∴△DBC面积的最大值为•（2+6）=．故答案为：．【点评】本题考查向量在几何中的应用，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，求出BC，A到BC的距离是解题的关键，属中档题．16．已知曲线C：y2=2x+a在点P n（n，）（a＞0，n∈N）处的切线l n的斜率为k n，直线l n交x轴，y轴分别于点A n（x n，0），B n（0，y n），且|x0|=|y0|．给出以下结论：①a=1；②当n∈N*时，y n的最小值为；③当n∈N*时，k n；④当n∈N*时，记数列{k n}的前n项和为S n，则S n．其中，正确的结论有①③④（写出所有正确结论的序号）【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】计算题；函数的性质及应用；导数的概念及应用；点列、递归数列与数学归纳法．【分析】求出导数，求出切线的斜率，求出切线方程，令x=0，y=0，n=0，得到方程，解得a，即可判断①；令=t（t），得到y n在t上递增，即可得到最小值，即可判断②；令u=（0＜u），则有y=sinu﹣u，求出导数，判断单调性，即可判断③；由于（）2≤（当且仅当a=b取等号），则有＜，则有＜=（﹣），再由裂项相消求和，即可判断④．【解答】解：对于①，由y2=2x+a，当x＞0时，y=，y′=，则k n=，切线方程为y﹣=（x﹣n），令x=0，则y=，令y=0，则x=n﹣（2n+a）=﹣n﹣a，即有x n=﹣n﹣a，y n=，由于|x0|=|y0|，则|a|=||，解得，a=1，则①正确；对于②，由于y n=，令=t（t），则y n==（t+）在t上递增，则有t=取得最小值，且为（）=，则②错误；对于③，当n∈N*时，k n=，令u=（0＜u），则有y=sinu﹣u，y′=cosu ﹣1，由于0＜u＜，则，即有y′＞0，y在0＜u上递增，即有y＞0，即有k n成立，则③正确；对于④，当n∈N*时，记数列{k n}的前n项和为S n，k n=由于（）2≤（当且仅当a=b取等号），则a+b，则有＜，则有＜=（﹣），则S n=++…+＜[（）+（）+…+（）]=（﹣1）．则④正确．故答案为：①③④【点评】本题考查导数的运用：求切线方程，考查函数的单调性的运用：求最值和比较大小，考查数列的求和：放缩和裂项相消法，属于中档题和易错题．三、解答题（共6小题，满分70分）17．设函数f（x）=|x﹣a|（Ⅰ）当a=2，解不等式f（x）≥4﹣|x﹣1|；（Ⅱ）若f（x）≤1的解集为{x|0≤x≤2}，+=a（m＞0，n＞0）．求证：m+2n≥4．【考点】绝对值不等式的解法．【专题】不等式．【分析】对第（1）问，将a=2代入函数的解析式中，利用分段讨论法解绝对值不等式即可；对第（2）问，先由已知解集{x|0≤x≤2}确定a值，再将“m+2n”改写为“（m+2n）（+）”，展开后利用基本不等式可完成证明．【解答】解：（I）当a=2时，不等式f（x）≥4﹣|x﹣1|即为|x﹣2|≥4﹣|x﹣1|，①当x≤1时，原不等式化为2﹣x≥4+（x﹣1），得，故；②当1＜x＜2时，原不等式化为2﹣x≥4﹣（x﹣1），得2≥5，故1＜x＜2不是原不等式的解；③当x≥2时，原不等式化为x﹣2≥4﹣（x﹣1），得，故．综合①、②、③知，原不等式的解集为∪．（Ⅱ）证明：由f（x）≤1得|x﹣a|≤1，从而﹣1+a≤x≤1+a，∵f（x）≤1的解集为{x|0≤x≤2}，∴得a=1，∴+=a=1．又m＞0，n＞0，∴m+2n=（m+2n）（+）=2+（），当且仅当即m=2n时，等号成立，此时，联立+=1，得时，m+2n=4，故m+2n≥4，得证．【点评】1．已知不等式的解集求参数的值，求解的一般思路是：先将原不等式求解一遍，再把结果与已知解集对比即可获得参数的值．2．本题中，“1”的替换很关键，这是解决此类题型的一种常用技巧，应注意体会证明过程的巧妙性．18．已知向量=（2cosx，sinx），=（cosx，2cosx），函数f（x）=，且当x∈[0，]时，f（x）的最小值为2．（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）先将函数y=f（x）的图象上的点纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，再把所得的图象向右平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求方程g（x）=4在区间[0，]上所有根之和．【考点】三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值．【分析】（Ⅰ）由向量的数量积、三角函数降幂公式、三角函数恒等变换，得到f（x）=2sin （2x+）+m+1，再由当x∈[0，]时，f（x）的最小值为2，求出．由此能求出f（x）的单调递增区间．（Ⅱ）由函数y=f（x）伸缩变换、平移变换得到，由此能求出方程g（x）=4在区间[0，]上所有根之和．【解答】解：（Ⅰ）∵向量=（2cosx，sinx），=（cosx，2cosx），函数f（x）=，∴f（x）====2sin（2x+）+m+1，∵x∈[0，]，∴，∴时，f（x）min=2×+m+1=2，解得m=2，∴．令2kπ﹣，得f（x）的增区间为[kπ﹣，kπ+]，（k∈Z）．（Ⅱ）∵函数y=f（x）的图象上的点纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，得到f（x）=2sin（4x+）+3，再把所得的图象向右平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，∴，∵g（x）=4，∴，解得4x﹣=2k或4x﹣=2k，k∈Z，∴或x=，k∈Z．∵，∴x=或x=，故所有根之和为：=．【点评】本题考查三角函数的增区间的求法，考查三角方程所有根之和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量的数量积、三角函数降幂公式、三角函数恒等变换、伸缩变换、平移变换的合理运用．19．在如图所示的几何体中，△ABC为正三角形，AE和CD都垂直于平面ABC，且AE=AB=2，CD=1，F为BE的中点．（I）求证：平面DBE⊥平面ABE；（II）求直线BD和平面ACDE所成角的余弦值．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．【专题】计算题；证明题．【分析】（Ⅰ）取AB中点G，由题意可知四边形CDFG为平行四边形，可得CG∥DF．根据题意可得：平面ABE⊥平面ABC，可得CG⊥平面ABE，进而得到DF⊥平面ABE，即可证明面面垂直．（II）取AC中点M，连接BM、DM，所以BM⊥AC，又平面ACDE⊥平面ABC，所以BM⊥平面ACDE，所以∠BDM为所求的线面角，再结合解三角形的有关知识求出线面角即可得到答案．【解答】解：（I）证明：取AB中点G，则四边形CDFG为平行四边形，∴CG∥DF又AE⊥平面ABC，AE⊂平面ABE∴平面ABE⊥平面ABC，交线为AB．又△ABC为正三角形，G为AB中点∴CG⊥AB，∴CG⊥平面ABE，又CG∥DF，∴DF⊥平面ABE，又DF⊂平面DBE∴平面DBE⊥平面ABE．（II）解：取AC中点M，连接BM、DM，∵△ABC为正三角形，M为AC中点，∴BM⊥AC．又AE⊥平面ABC，AE⊂平面ACDE∴平面ACDE⊥平面ABC，∴BM⊥平面ACDE．∴∠BDM为所求的线面角．又因为△ABC为正三角形且AB=2，所以BM=，BC⊂平面ABC，所以CD⊥BC，所以BD=，所以cos∠BDM=故直线BD和平面ACDE所成角的余弦值为．【点评】本题考查直线与平面面垂直的判定定理，并且也考查求直线与平面所成的角的有关知识，找出直线与平面所成的角是解题的难点和关键，属于难题．20．已知各项不为零的数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n=a1（a n﹣1）；数列{b n}满足a nb n=log2a n，数列{b n}的前n项和T n．（Ⅰ）求a n，T n．（Ⅱ）若∀n∈N+，不等式t2+2λt+3＜T n成立，求使关于t的不等式有解的充要条件．【考点】数列的求和．【专题】转化思想；综合法；等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）利用递推式及其等比数列的通项公式即可得出；利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出T n．（Ⅱ）由b n各项大于0，可得T n的最小值为T1=b1=，由题意可得t2+2λt+3＜，即2t2+4λt+5＜0，关于t的不等式有解，只要△=16λ2﹣40＞0，解得即可得到充要条件．【解答】解：（Ⅰ）当n=1时，a1=a1（a1﹣1），∵a1≠0，解得a1=2．当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=2（a n﹣1）﹣2（a n﹣1﹣1），化为a n=2a n﹣1，∴数列{a n}是等比数列，∴a n=2n．又数列{b n}满足a n b n=log2a n，∴b n==．∴T n=+++…++，∴T n=++…++，∴T n=+++…+﹣=﹣=1﹣﹣，∴T n=2﹣；（Ⅱ）由于b n==＞0，即有T n的最小值为T1=b1=，∀n∈N+，不等式t2+2λt+3＜T n成立，即有t2+2λt+3＜，即2t2+4λt+5＜0，关于t的不等式有解，只要△=16λ2﹣40＞0，解得λ＞或λ＜﹣．则使关于t的不等式有解的充要条件是λ＞或λ＜﹣．【点评】本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查不等式有解的条件，考查错位相减法求和的方法，属于中档题．21．如图，已知椭圆C的中心在原点，其一个焦点与抛物线的焦点相同，又椭圆C上有一点M（2，1），直线l平行于OM且与椭圆C交于A、B两点，连MA、MB．（1）求椭圆C的方程．（2）当MA、MB与x轴所构成的三角形是以x轴上所在线段为底边的等腰三角形时，求直线l在y轴上截距的取值范围．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【专题】计算题．【分析】（1）抛物线的焦点，又椭圆C上有一点M（2，1），由此可求出椭圆方程．（2）设直线在y轴上的截距为m，则直线，由直线l与椭圆C交于A、B两点，可导出m的取值范围是{m|﹣2＜m＜2且m≠0}，设MA、MB的斜率分别为K1，K2，K1+K2=0，然后结合题设条件和根与系数的关系知MA，MB与x轴始终围成等腰三角形，从而得到m的取值范围．【解答】解：（1）抛物线的焦点，又椭圆C上有一点M（2，1）∴椭圆方程为，（2），设直线在y轴上的截距为m，则直线直线l与椭圆C交于A、B两点，∴m的取值范围是{m|﹣2＜m＜2且m≠0}，设MA、MB的斜率分别为K1，K2，∴K1+K2=0，∵==故MA，MB与x轴始终围成等腰三角形．∴m的取值范围是{m|﹣2＜m＜2且m≠0}【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的灵活运用．22．已知函数f（x）=，其中a，b∈R，e为自然对数的底数．（1）当a=b=﹣3，求函数f（x）的单调递增区间；（2）当x≤6时，若函数h（x）=f（x）﹣e﹣x（x3+b﹣1）存在两个相距大于2的极值点，求实数a的取值范围；（3）若函数g（x）与函数f（x）的图象关于y轴对称，且函数g（x）在（﹣6，m），（2，n）上单调递减，在（m，2），（n，+∞）单调递增，试证明：f（n﹣m）＜．【考点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．【专题】导数的综合应用．【分析】（1）当a=b=﹣3时，先求出f（x），然后对函数进行求导，结合导数即可判断函数的单调性；（2）先求出当x＜6时h（x）的解析式，求出h′（x），由h′（x）=0有两个相距大于2的根，列出所满足的不等式组，求出a的取值范围；（3）写出g（x）的表达式，则x=2，x=n，x=m分别是g′（x）=0的三个根，得出m，n，a 的关系，从而证明不等式成立．【解答】（1）解：当x＞6时，，则，即f（x）在（6，+∞）单调递减；当x≤6时，由已知，有f（x）=（x3+3x2﹣3x﹣3）e﹣x，f'（x）=﹣x（x﹣3）（x+3）e﹣x，知f（x）在（﹣∞，﹣3），（0，3）上单调递增，在（﹣3，0），（3，6）上单调递减．综上，f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣3）和（0，3）．（2）解：当x≤6时，h（x）=e﹣x（3x2+ax+1），h'（x）=e﹣x[﹣3x2﹣（a﹣6）x+a﹣1]，令φ（x）=3x2+（a﹣6）x+1﹣a，设其零点分别为x1，x2．由解得．（3）证明：当x≥﹣6时，g'（x）=e x[﹣x3+（6﹣a）x+（b﹣a）]，由g'（2）=0，得b=3a﹣4，从而g'（x）=﹣e x[x3+（a﹣6）x+（4﹣2a）]，因为g'（m）=g'（n）=0，所以x3+（a﹣6）x+（4﹣2a）=（x﹣2）（x﹣m）（x﹣n），将右边展开，与左边比较系数得m+n=﹣2，mn=a﹣2，因为n＞2，所以m＜﹣4，n﹣m＞6，又f（x）在[6，+∞）单调递减，则，因为ln6＜2，所以6ln6＜12，（6ln6）2＜144＜150=，即有，，从而．【点评】本题考查利用导数求函数的单调区间，由零点求参数的取值范围，利用单调性证明不等式成立，试题有一定的难度．解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．21。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
11． （5 分） 已知函数 （ f x） =|log2|x﹣2||+k 有四个零点 x1， x2， x3， x4， 则 x1+x2+x3+x4+k 的取值范围为（ ）
A． （8，+∞） B． （4，+∞） C． （﹣∞，8） D． （﹣∞，4） 12． （5 分）定义在 D 上的函数 f（x）若同时满足：①存在 M＞0，使得对任意的 x1，x2∈D，都有|f（x1）﹣f（x2）|＜M；②f（x）的图象存在对称中心．则称 f （x）为“P﹣函数”． 已知函数 f（ = 1 x） 和 f（ =lg （ 2 x） ﹣x） ， 则以下结论一定正确的是 （ ）
点对”）已知函数 f（x）=
，则此函数的“友好点对”有
对．
16． （5 分）已知偶函数 f（x）x∈R 满足：任意的 x∈R，都有 f（x+2）=f（x） ， 且 x∈[0， 1]时， （ f x） =x 则函数 F （x） =f （x） ﹣log 的所有零点之和为 ．
三．解答题（共 6 小题，满分 70 分） 17． （10 分）已知集合 A={x|3＜x＜6}，B={x|2＜x＜9}， （Ⅰ）求 A∩B， （∁ RA）∪（∁ RB） ， （Ⅱ）已知 C={x|a＜x＜a+1}，若 B∪C=B，求实数 a 的取值范围． 18． （12 分）设二次函数 f（x）=ax2+bx+c 的图象过点（0，1）和（1，4） ，且对 于任意 x∈R，不等式 f（x）≥4x 恒成立． （Ⅰ）求函数 f（x）的解析式； （Ⅱ）求函数 g（x）=logb[f（x）+4]的值域． 19． （12 分）已知函数 f（x）=a2x﹣2ax+1+2（a＞0 且 a≠1） ． （Ⅰ）若 f（﹣1）= ，求函数 g（x）=f（x）+1 的所有零点； （Ⅱ）若函数 f（x）的最小值为﹣7，求实数 a 的值． 20． （12 分）某工厂某种产品的年固定成品为 250 万元，每生产 x 千件，需另投 入成本为 C（x） ，当年常量不足 80 千件时，C（x）= x2+10x（万元） ；当年常量 不小于 80 千件时，C（x）=51x+ ﹣1450（万元） ．每件商品售价为 0.05 万
9． （5 分）计算： （log62）•（log618）+（log63）2 的值为（ A．1 B．2 C．3 D．4
10． （5 分）对于实数 a 和 b，定义运算“*”a*b=
设 f（x）=（2x﹣1）
*（x﹣1） ，且关于 x 的方程 f（x）=a（a∈R）恰有三个互不相等的实数根，则实 数 a 的取值范围是（ A．[0， ] B．[0， ] ） C． （0， ]∪（1，+∞） D． （0， ）
D． ） D．y=x﹣3
7． （5 分）下列函数中，是偶函数且在（0，+∞）上为减函数的是（
8． （5 分）某品牌电脑投放市场的第一个月销售 100 台，第二个月销售 200 台，
第三个月销售 400 台， 第四个月销售 790 台， 则下列函数模型中能较好反映销售 量 y 与投放市场月数 x 之间的关系的是（ A．y=100x B．y=50x2﹣50x+100 C．y=50×2x D．y=100log2x+100 ） ）
A．[1，4） B． （1，4] C． （1，+∞） D． （4，+∞） 5． （5 分）已知幂函数 f（x）的图象经过点（9，3） ，则 A．1 B． C． D． =（ ）
6． （5 分）若函数 F（x）=f（x）﹣2 在（﹣∞，0）内有零点，则 y=f（x）的图 象可能是（ ）
A．
B
．
C． A．y=x2 B．y=x3 C．y=x﹣2
（1）求 f（0）的值，并例举满足题设条件的一个特殊的具体函数； （2）判定函数 f（x）在 R 上的单调性，并加以证明； （3） 若函数 F （x） =f （max{﹣x， 2x﹣x2}） +（﹣ f k） +1 （其中 有三个零点 x1，x2，x3，求 u=（x1+x2+x3）+x1•x2•x3 的取值范围． 22． （12 分）已知函数 ． ）
A．f1（x）和 f2（x）都是 P﹣函数 B．f1（x）是 P﹣函数，f2（x）不是 P﹣函数 C．f1（x）不是 P﹣函数，f2（x）是 P﹣函数 D．f1（x）和 f2（x）都不是 P﹣函数
二．填空题（本小题共 4 题，每小题 5 分，共 20 分） 13． （5 分）已知函数 f（x）= ，则 的值是 ．
14． （5 分）已知函数 f（x）=loga（2x﹣1） （a＞0，a≠1）在区间（0，1）内恒有 f（x）＜0，则函数 y=loga（x2﹣2x﹣3）的单调递减区间是 15． （5 分）若直角坐标平面内的两个不同点 M，N 满足条件： ①M，N 都在函数 y=f（x）的图象上； ②M，N 关于 y 轴对称．则称点对[M， N]为函数 y=f（x）的一对“友好点对”． （注：点对[M，N]与[N，M]为同一“友好 ．
元，通过市场分析，该厂生产的产品能全部售完 （1）写出年利润 L（x） （万元）关于年产量 x（千件）的函数解析式； （2）年常量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？ 21 ． （ 12 分） 已知 函数 f （ x ） （ x ∈ R ） 满足 ： 对于 任意 实数 x ， y ，都 有 恒成立，且当 x＞0 时， 恒成立；
2． （5 分）下列函数中，能用二分法求零点的是（ A．f（x）=log2x B．f（x）=﹣x2 C．f（x）=x2 3． （5 分）函数 f（x）= ﹣x 的图象关于（ A．y 轴对称 4． （5 分）函数
D．f（x）=|x| ） D．直线 y=x 对称 ）
B．直线 y=﹣x 对称 C．坐标原点对称 的定义域是（
2015-2016 学年福建省厦门一中高一（上）期中数学试卷
一．选择题（本小题共 12 题，每小题 5 分，共 60 分） 1． （5 分）已知全集 U={1，2，3，4，5，6，7}，A={1，3，5}，B={2，4，5， 7}，则集合∁ U（A∪B）为（ A．{1，2，3，4，6，7} ）
ห้องสมุดไป่ตู้
B．{1，2，5} C．{3，5，7} D．{6} ）