浙江省衢州市2016-2017学年高二6月教学质量检测数学试卷(精编含解析)
中学2016-2017学年高二下期末考试数学试卷含解析
2016学年第二学期高二数学期末考试一、填空题(本大题满分54分)本大题共有12题，其中第1题至第6题每小题4分，第7题至第12题每小题5分，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，否则一律得零分．1. 的展开式中项的系数为______．【答案】【解析】的展开式的通项公式为，令，求得，可得展开式中项的系数为，故答案为10.2. 已知直线经过点且方向向量为，则原点到直线的距离为______.【答案】1【解析】直线的方向向量为，所以直线的斜率为，直线方程为，由点到直线的距离可知，故答案为1.3. 已知全集，集合,,若，则实数的值为___________.【答案】2【解析】试题分析：由题意，则，由得，解得．考点：集合的运算．4. 若变量满足约束条件则的最小值为_________.【答案】【解析】由约束条件作出可行域如图，联立，解得，化目标函数，得，由图可知，当直线过点时，直线在y轴上的截距最小，有最小值为，故答案为. 点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.5. 直线上与点的距离等于的点的坐标是_____________.【答案】或.【解析】解：因为直线上与点的距离等于的点的坐标是和6. 某学生在上学的路上要经过2个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，则这名学生在上学路上到第二个路口时第一次遇到红灯的概率是_______.【答案】【解析】设“这名学生在上学路上到第二个路口首次遇到红灯”为事件，则所求概率为，故答案为.7. 某学校随机抽取名学生调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中，上学所需时间的范围是，样本数据分组为，，，，．则该校学生上学所需时间的均值估计为______________．（精确到分钟）.【答案】34................点睛：本题考查频率分布直方图，解题的关键是理解直方图中各个小矩形的面积的意义及各个小矩形的面积和为1，本题考查了识图的能力；根据直方图求平均值的公式，各个小矩形的面积乘以相应组距的中点的值，将它们相加即可得到平均值.8. 一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球，若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有多少种________.【答案】186【解析】试题分析：设取红球个，白球个，则考点：古典概型.9. 如图，三棱锥满足：，，，，则该三棱锥的体积V的取值范围是______．【答案】【解析】由于平面，，在中，，要使面积最大，只需，的最大值为，的最大值为，该三棱锥的体积V的取值范围是.10. 是双曲线的右支上一点，分别是圆和上的点，则的最大值等于_________.【答案】9【解析】试题分析：两个圆心正好是双曲线的焦点，，，再根据双曲线的定义得的最大值为.考点：双曲线的定义，距离的最值问题.11. 棱长为1的正方体及其内部一动点，集合,则集合构成的几何体表面积为___________.【答案】【解析】试题分析：.考点：几何体的表面积.12. 在直角坐标平面中，已知两定点与位于动直线的同侧，设集合点与点到直线的距离之差等于，，记,.则由中的所有点所组成的图形的面积是_______________.【答案】【解析】过与分别作直线的垂线，垂足分别为，，则由题意值，即，∴三角形为正三角形，边长为，正三角形的高为，且，∴集合对应的轨迹为线段的上方部分，对应的区域为半径为1的单位圆内部，根据的定义可知，中的所有点所组成的图形为图形阴影部分．∴阴影部分的面积为，故答案为.二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．13. 已知为实数，若复数是纯虚数，则的虚部为（）A. 2B. 0C. -2D. -2【答案】C【解析】∵复数是纯虚数，∴，化为，解得，∴，∴，∴的虚部为，故选C.14. 已知条件：“直线在两条坐标轴上的截距相等”，条件：“直线的斜率等于”，则是的（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件【答案】B【解析】当直线过原点时，直线在两条坐标轴上的截距相等，斜率可以为任意数，故不成立；当直线的斜率等于，可设直线方程为，故其在两坐标轴上的截距均为，故可得成立，则是的必要非充分条件，故选B.15. 如图，在空间直角坐标系中，已知直三棱柱的顶点在轴上，平行于轴，侧棱平行于轴．当顶点在轴正半轴上运动时，以下关于此直三棱柱三视图的表述正确的是（）A. 该三棱柱主视图的投影不发生变化；B. 该三棱柱左视图的投影不发生变化；C. 该三棱柱俯视图的投影不发生变化；D. 该三棱柱三个视图的投影都不发生变化．【答案】B【解析】A、该三棱柱主视图的长度是或者在轴上的投影，随点得运动发生变化，故错误；B、设是z轴上一点，且，则该三棱柱左视图就是矩形，图形不变．故正确；C、该三棱柱俯视图就是，随点得运动发生变化，故错误．D、与矛盾．故错误；故选B.点睛：本题考查几何体的三视图，借助于空间直角坐标系．本题是一个比较好的题目，考查的知识点比较全，但是又是最基础的知识点；从正面看到的图叫做主视图，从左面看到的图叫做左视图，从上面看到的图叫做俯视图，根据图中C点对三棱柱的结构影响进一步判断.16. 如图，两个椭圆，内部重叠区域的边界记为曲线，是曲线上任意一点，给出下列三个判断：①到、、、四点的距离之和为定值；②曲线关于直线、均对称；③曲线所围区域面积必小于．上述判断中正确命题的个数为（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个【答案】C【解析】对于①，若点在椭圆上，到、两点的距离之和为定值、到、两点的距离之和不为定值，故错；对于②，两个椭圆，关于直线、均对称，曲线关于直线、均对称，故正确；对于③，曲线所围区域在边长为6的正方形内部，所以面积必小于36，故正确；故选C.三、解答题(本大题满分76分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17. 已知复数满足，（其中是虚数单位），若，求的取值范围．【答案】或【解析】试题分析：化简复数为分式的形式，利用复数同乘分母的共轭复数，化简为的形式即可得到，根据模长之间的关系，得到关于的不等式，解出的范围.试题解析：，，即，解得或18. 如图，直四棱柱底面直角梯形，，，是棱上一点，，，，，.（1）求异面直线与所成的角；（2）求证：平面.【答案】（1）（2）见解析【解析】试题分析：（1）本题中由于有两两垂直，因此在求异面直线所成角时，可以通过建立空间直角坐标系，利用向量的夹角求出所求角；（2）同（1）我们可以用向量法证明线线垂直，以证明线面垂直，，，，易得当然我们也可直线用几何法证明线面垂直，首先，这由已知可直接得到，而证明可在直角梯形通过计算利用勾股定理证明，，，因此，得证.（1）以原点，、、分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系.则，，，. 3分于是,,,异面直线与所成的角的大小等于. 6分（2）过作交于，在中，，，则，，，，10分，.又，平面. 12分考点：（1）异面直线所成的角；（2）线面垂直.19. 如图，圆锥的顶点为，底面圆心为，线段和线段都是底面圆的直径，且直线与直线的夹角为，已知，．（1）求该圆锥的体积；（2）求证：直线平行于平面，并求直线到平面的距离．【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）利用圆锥的体积公式求该圆锥的体积；（2）由对称性得，即可证明直线平行于平面，到平面的距离即直线到平面的距离，由，求出直线到平面的距离.试题解析：（1）设圆锥的高为，底面半径为，则，，∴圆锥的体积；（2）证明：由对称性得，∵不在平面，平面，∴平面，∴C到平面的距离即直线到平面的距离，设到平面的距离为，则由，得，可得，∴，∴直线到平面的距离为．20. 阅读：已知，，求的最小值.解法如下：，当且仅当，即时取到等号，则的最小值为.应用上述解法，求解下列问题：（1）已知，，求的最小值；（2）已知，求函数的最小值；（3）已知正数，，求证：.【答案】（1）9（2）18（3）见解析【解析】试题分析：本题关键是阅读给定的材料，弄懂弄清给定材料提供的方法（“1”的代换），并加以运用.主要就是，展开后就可应用基本不等式求得最值.（1）；（2）虽然没有已知的“1”，但观察求值式子的分母，可以凑配出“1”：，因此有，展开后即可应用基本不等式；（3）观察求证式的分母，结合已知有，因此有此式中关键是凑配出基本不等式所需要的两项，如与合并相加利用基本不等式有，从而最终得出.（1），2分而，当且仅当时取到等号，则，即的最小值为. 5分（2），7分而，，当且仅当，即时取到等号，则，所以函数的最小值为. 10分（3）当且仅当时取到等号，则. 16分考点：阅读材料问题，“1”的代换，基本不等式.21. 设椭圆的长半轴长为、短半轴长为，椭圆的长半轴长为、短半轴长为，若，则我们称椭圆与椭圆是相似椭圆．已知椭圆，其左顶点为、右顶点为．（1）设椭圆与椭圆是“相似椭圆”，求常数的值；（2）设椭圆，过作斜率为的直线与椭圆仅有一个公共点，过椭圆的上顶点为作斜率为的直线与椭圆仅有一个公共点，当为何值时取得最小值，并求其最小值；（3）已知椭圆与椭圆是相似椭圆．椭圆上异于的任意一点，求证：的垂心在椭圆上．【答案】（1）或；（2）当时，取得最小值．（3）见解析【解析】试题分析：（1）运用“相似椭圆”的定义，列出等式，解方程可得s；（2）求得的坐标，可得直线与直线的方程，代入椭圆的方程，运用判别式为，求得，再由基本不等式即可得到所求最小值；（3）求得椭圆的方程，设出椭圆上的任意一点，代入椭圆的方程；设的垂心的坐标为，运用垂心的定义，结合两直线垂直的条件：斜率之积为，化简整理，可得的坐标，代入椭圆的方程即可得证．试题解析：（1）由题意得或，分别解得或.（2）由题意知：，，直线，直线，联立方程，整理得：.因为直线与椭圆仅有一个公共点，所以. ①联立方程，整理得：.因为直线与椭圆仅有一个公共点，所以. ②由①②得：.所以，此时，即.（3）由题意知：，所以，且.设垂心，则，即. 又点在上，有，. 则，所以的垂心在椭圆上.。
衢州四校2016--2017学年高二数学下学期期中联考试题(含解析)
亲爱的同学：这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，我们一直投给你信任的目光……衢州四校2017学年第二学期高二年级期中联考数学试题第Ⅰ卷（选择题，共40分）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1. 若全集，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：解集合中的不等式，由元素，可知元素应为整数。
求集合中元素。
由补集的定义可求。
详解：因为，又因为全集，由补集定义可得。
所以选A。
点睛：本题主要考查补集运算、一元二次不等式的解法、整数集的符号表示等知识。
意在考查学生的计算求解能力。
2. 已知复数满足（是虚数单位），则复数在复平面内对应的点在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C【解析】分析：根据复数的运算由，变形得，根据复数除法法则计算，可得，进而得复数对应的点为（-1,-2），判断点所在象限。
详解：因为满足，所以。
所以复数在复平面内对应的点为（-1，-2），故复数在复平面内对应的点在第三象限。
故选C。
点睛：本题主要考查复数乘法、除法运算、复平面内的点与复数的对应关系等知识点。
意在考查学生的转化与计算求解能力。
3. 已知，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：复合函数的函数值，先求里面的函数值，根据分段函数自变量的范围，先求，再求根据分段函数求。
详解：因为，所以，因为-1<0，所以。
故选B。
点睛：（1）分段函数求函数值，应按照自变量的范围分段代入。
（2）复合函数求函数值，应遵循从内到外的原则，先求的函数值。
4. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】D【解析】分析：平行一个平面的两条直线有三种位置关系：相交、异面、平行，排除A；两面垂直，平行其中一个平面的直线与该平面有三种位置关系：平行、相交、在面内，故排除B；平行与一条直线的两个平面有两种位置关系：平行、相交，故排除C；由直线与平面垂直和平面与平面垂直的判定可知选项D正确。
浙江省衢州四校2016---2017学年高二第二学期期中联考数学试题
【全国校级联考】浙江省衢州四校2016---2017学年高二第二学期期中联考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若全集{}1,0,1,2U =-，{}2|3A x Z x =∈<，则U C A =（ ）A ．{}2B ．{}0,2C ．{}1,2-D ．{}1,0,2-2．已知复数z 满足(1)13i z i +=-（i 是虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．若函数2log ,0(){3,0x x x f x x >=≤，则1(())2=f f （ ）A ．12B ．13C ．2D ．34．已知m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题是真命题的为A ．若m α，n α，则m nB ．若m α，αβ⊥，则m β⊥C ．若m α，m β，则αβ∥D ．若m n ，m α⊥，n β⊂，则αβ⊥5．等比数列{}n a 中，10a >，则“13a a <”是“14a a <”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件6．若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（ ）2cmA ．5B ．5+C ．5+D ．77．已知12,F F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，若双曲线右支上存在点A ，使1230F AF ∠=，且线段1AF 的中点在y 轴上，则双曲线的离心率是（ ）A．2 BCD．8．把函数()()(0)6f x cos x πωω=+>的图像向右平移23π个单位长度后与原图像重合，则当ω取最小值时，()f x 的单调递减区间是（ ）A ．5[,]()1212k k k Z ππππ-+∈B ．7[,]()1212k k k Z ππππ--∈ C ．225[,]()318318k k k Z ππππ-+∈D ．272[,]()318318k k k Z ππππ--∈9．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若函数32221()()13f x x bx a c ac x =+++-+有极值点，则sin(2)3B π+的最小值是（ ） A ．0B ．1-CD． 10．设函数()f x 的定义域为D ，若存在闭区间[,]a b D ⊆，使得函数()f x 满足：①()f x 在[,]a b 上是单调函数；②()f x 在[,]a b 上的值域是[2,2]a b ，则称区间[,]a b 是函数()f x 的“和谐区间”．下列结论错误．．的是（ ）A ．函数2()(0)f x x x =≥存在“和谐区间”B ．函数()3()f x x x R =+∈不存在“和谐区间”C ．函数24()(0)1xf x x x =≥+存在“和谐区间” D ．函数1()log ()8xc f x c =- （0c >且1c ≠）不存在“和谐区间”二、双空题11．椭圆22143x y +=的长轴长是______，离心率是______．12．设数列{}n a 是公差为d 的等差数列，135246105,99a a a a a a ++=++=．则n a =______；数列{}n a 的前n 项和n S 取得最大值时，n =______．13．若变量,x y 满足约束条件101020x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则2z x y =+的最大值为______；的最小值为________．14．若函数221,0(),0(2),0x x x f x a x g x x ⎧+->⎪==⎨⎪<⎩为奇函数，则a =______，[(2)]f g -=______．三、填空题15．已知()cos()f x x x m =++为奇函数，且m 满足不等式28150m m -+<，则实数m 的值为___．16．正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在线段1A C 上运动（包括端点），则BP 与1AD 所成角的取值范围是_______．17．设M 是ABC ∆内一点，23AB AC ⋅=60BAC ∠=︒，定义()(,,)f M m n p = 其中,,m n p 分别是,,MBC MAC MAB ∆∆∆的面积，若()(2,,)f M x y =，14a x y+=，则22a a+的取值范围是______．四、解答题18．已知函数21()cos cos 2f x x x x =-+. （1）求函数()f x 的对称轴；（2）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若()1,3f A a ==，ABC ∆的面积为b c +的值.19．如图，在四棱锥P ABCD -中，侧面PCD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为矩形，4,3AB AD PC PD ====.(1)求证：PC AD ⊥；（2）求直线AC 与平面PAD 所成角的正弦值.20．已知函数32()23xx f x ae x x =--- ()a R ∈（1）当1a =时，求()y f x =在0x =处的切线方程； （2）若函数()f x 在[1,1]-上单调递减，求实数a 的取值范围.21．已知M 是抛物线C :22(0)x py p =>上异于原点O 的动点，(02),(01)A B -，，是平面上两个定点.当M 的纵坐标为34时，点M 到抛物线焦点F 的距离为1. (1)求抛物线C 的方程；（2）直线MA 交C 于另一点1M ，直线MB 交C 于另一点2M ，记直线12M M 的斜率为1k ，直线OM 的斜率为2k . 求证：12k k ⋅为定值，并求出该定值.22．已知各项为正的数列{}n a 满足：11a =，13421n n n a a a ++=+ （n *∈N ）.（1）求234,,a a a ；（2）证明：1(2)(2)0n n a a +--< （n *∈N ）； （3）记数列{}{}2|2n na a--的前n 项和为n S ，求证：17331(1())(1())141723n n n S -≤≤-.参考答案1．A 【详解】分析：解集合A 中的不等式，由元素x Z ∈，可知元素应为整数．求集合A 中元素．由补集的定义可求．详解：因为2A={3}{x x Z x x x Z x ∈<=∈<，又因为全集{}1,0,1,2U =-，由补集定义可得U C A ={2}．所以选A ．点睛：本题主要考查补集运算、一元二次不等式的解法、整数集的符号表示等知识．意在考查学生的计算求解能力． 2．C 【解析】分析：根据复数的运算由()113i z i +=-，变形得131iz i-=+，根据复数除法法则计算， 可得12Z i =--，进而得复数对应的点为（-1,-2），判断点所在象限。
浙江省衢州市数学高二下学期理数期末教学质量调研考试试卷
浙江省衢州市数学高二下学期理数期末教学质量调研考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）(2018·凯里模拟) 已知复数，则（）A . 0B . 1C .D . 22. （2分） (2019高三上·沈阳月考) 高二年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂参观学习，去哪个工厂可以自由选择，甲工厂必须有班级要去，则不同的参观方案有（）A . 16种B . 18种C . 37种D . 48种3. （2分）在中，，求证：证明：. ，其中，画线部分是演绎推理的（）A . 大前提B . 小前提C . 结论D . 三段论4. （2分）(2018·鞍山模拟) 二项式的展开式中只有第11项的二项式系数最大，则展开式中的指数为整数的顶的个数为（）A . 3B . 5C . 6D . 75. （2分）定义在R上的函数f（x）满足：f'（x）＞1﹣f（x），f（0）=6，f′（x）是f（x）的导函数，则不等式exf（x）＞ex+5（其中e为自然对数的底数）的解集为（）A . （0，+∞）B . （﹣∞，0）∪（3，+∞）C . （﹣∞，0）∪（1，+∞）D . （3，+∞）6. （2分）若随机变量X～B（n，0.6），且E（X）=3，则P（X=1）的值是（）A . 2×0.44B . 2×0.45C . 3×0.44D . 3×0.647. （2分）(2017·新乡模拟) 函数y=f（x）图象上不同两点A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）处的切线的斜率分别是kA ， kB ，规定φ（A，B）= 叫做曲线在点A与点B之间的“弯曲度”．设曲线y=ex上不同的两点A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），且x1﹣x2=1，若t•φ（A，B）＜3恒成立，则实数t的取值范围是（）A . （﹣∞，3]B . （﹣∞，2]C . （﹣∞，1]D . [1，3]8. （2分） (2017高二下·黑龙江期末) 某校有六间不同的电脑室，每天晚上至少开放两间，欲求不同安排方案的种数，现有3位同学分别给出了下列三个结果：① ；②26-7；③ ，其中正确的结论是（）A . 仅有①B . 仅有②C . ②与③D . 仅有③9. （2分）甲、乙两校体育达标抽样测试，两校体育达标情况抽检，其数据见下表：达标人数未达标人数合计甲校4862110乙校523890合计100100200若要考察体育达标情况与学校是否有关系最适宜的统计方法是（）A . 回归分析B . 独立性检验C . 相关系数D . 平均值10. （2分）在的展开式中，系数最小的项是（）A . 第4项B . 第5项C . 第6项D . 第7项11. （2分）一对夫妇有两个孩子，已知其中一个孩子是女孩，那么另一个孩子也是女孩的概率为（）A .B .C .D .12. （2分） (2016高二上·衡阳期中) 在实数集R中定义一种运算“*”，对任意a，b∈R，a*b为唯一确定的实数，且具有性质：①对任意a∈R，a*0=a；②对任意a，b∈R，a*b=ab+（a*0）+（b*0）．则函数f（x）=（ex）* 的最小值为（）A . 2B . 3C . 6D . 8二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2015高二下·盐城期中) 在复平面内，复数z=﹣1+2i对应的点所在的象限是________．14. （1分）(2017·南通模拟) 口袋中有若干红球、黄球和蓝球，从中摸出一只球．摸出红球的概率为0.48，摸出黄球的概率为0.35，则摸出蓝球的概率为________．15. （1分） (2017高三上·孝感期末) 若（mx+y）6展开式中x3y3的系数为﹣160，则m=________．16. （1分）函数f（x）=exsinx在区间[0， ]上的值域为________．三、解答题 (共6题；共60分)17. （10分）(2018·宣城模拟) 近年来全国各一、二线城市打击投机购房，陆续出台了住房限购令.某市为了进一步了解已购房民众对市政府出台楼市限购令的认同情况，随机抽取了一小区住户进行调查,各户人均月收入(单位：千元)的频数分布及赞成楼市限购令的户数如下表：人均月收入频数610131182赞成户数5912941若将小区人均月收入不低于7.5千元的住户称为“高收入户”,人均月收入低于7.5千元的住户称为“非高收入户”非高收入户高收入户总计赞成不赞成总计（Ⅰ）求“非高收入户”在本次抽样调杳中的所占比例；（Ⅱ）现从月收入在的住户中随机抽取两户，求所抽取的两户都赞成楼市限购令的概率；（Ⅲ）根据已知条件完成如图所给的列联表，并说明能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为“收入的高低”与“赞成楼市限购令”有关.附：临界值表0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.072 2.7063.841 5.024 6.6357.87910.828参考公式：， .18. （10分） (2017高一下·新余期末) 设关于x的一元二次方程x2+ax﹣ +1=0．（1）若a是从1，2，3这三个数中任取的一个数，b是从0，1，2这三个数中任取的一个数，求上述方程中有实根的概率；（2）若a是从区间[0，3]中任取的一个数，b是从区间[0，2]中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．19. （10分） (2017高一下·廊坊期末) 数列{an}的前n项和为Sn ，且Sn=n（n+1），n∈N* ．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若数列{bn}满足：，求数列{bn}的通项公式；（3）令，求数列{cn}的前n项和Tn．20. （10分） (2016高一下·龙岩期中) 某公司对新研发的一种产品进行合理定价，且销量与单价具有相关关系，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：单价x（单位：元）88.28.48.68.89销量y（单位：万件）908483807568（1）现有三条y对x的回归直线方程： =﹣10x+170； =﹣20x+250； =﹣15x+210；根据所学的统计学知识，选择一条合理的回归直线，并说明理由．（2）预计在今后的销售中，销量与单价服从（1）中选出的回归直线方程，且该产品的成本是每件5元，为使公司获得最大利润，该产品的单价应定多少元？（利润=销售收入﹣成本）21. （10分） (2017高二下·仙桃期末) 汽车租赁公司为了调查A，B两种车型的出租情况，现随机抽取了这两种车型各100辆汽车，分别统计了每辆车某个星期内的出租天数，统计数据如下表：A型车出租天数1234567车辆数51030351532B型车出租天数1234567车辆数1420201615105（ I）从出租天数为3天的汽车（仅限A，B两种车型）中随机抽取一辆，估计这辆汽车恰好是A型车的概率；（Ⅱ）根据这个星期的统计数据，估计该公司一辆A型车，一辆B型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率；（Ⅲ）如果两种车型每辆车每天出租获得的利润相同，该公司需要从A，B两种车型中购买一辆，请你根据所学的统计知识，给出建议应该购买哪一种车型，并说明你的理由．22. （10分）设f（x）=（x+1）eax（其中a≠0），曲线y=f（x）在x=处有水平切线．求a的值.参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共60分)17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、19-3、20-1、20-2、21-1、22-1、。
衢州市高二数学质量检测答案
衢州市高二数学质量检测答案The document was prepared on January 2, 2021衢州市2018年6月高二年级教学质量检测试卷数学参考答案1．D 2．B 3．A 4．B 5．A 6．D 7．C 8．D 9．C 10．B 11．230x y ±= ，131222i ，-13．112， 1432，15．[0,]3π16．[17,17 17．14918. （I ） x x x f 2cos 2sin 3)(-=------------------------------------------------------------2分)62sin(2π-=x ，---------------------------------------------------------------4分∴ )6(πf 21)662sin(2=-⨯=ππ-----------------------------------------------------6分∴ππ==22T ，--------------------------------------------------------------------------7分（直接计算()6f π，同等给分；直接写出T ，扣2分）（II ）由（I ）知，)62sin(2)(π-=x x f ，5[0,]12x π∈，则]32,6[62πππ-∈-x ，--------------------------------------------9分∴]1,21[)62sin(-∈-πx ，---------------------------------------------------------------12分∴)(x f 的最大值为分19.解：（I ） E A D A '⊥'，F A D A '⊥'，∴⊥'D A 平面EF A '.…3分又⊂EF 平面EF A '，∴⊥'D A EF .由已知可得BD EF ⊥，∴⊥EF 平面BD A '. …………………………………7分（II ）法一： 在BD A '∆内过点A '作BD M A ⊥'于点M . 由（1）知平面⊥'BD A 平面BEDF ，平面 BD A '平面BD BEDF =，则EM A '∠即为E A '与平面BEDF 所成角. …………10分设EF 与BD 交于点O ，连接O A '，则22=='BO O A ，223=DO . 又⊥'D A 平面EF A '，O A '⊂平面EF A '，O A D A '⊥'， 在Rt △A DM '，32='⋅'='OD D A O A M A ，35=EM . ………13分 35cos ='='∠∴E A EM EM A ，即E A '与平面BEDF 所成角的余弦值35． …15分法二（第2小题）：以点B 为坐标原点，如图建立空间直角坐标系. 则)0,0,0(B ，)0,1,0(E ，)0,0,1(F ，)0,2,2(D ，设),,(z y x A '，则⎪⎩⎪⎨⎧=+-+-='=++-='=+-+='4)2()2(1)1(1)1(222222222222z y x D A z y x F A z y x E A ，解得)32,32,32(A '.…………………………10分于是)32,31,32(--='E A .又平面BEDF 的一个法向量为)1,0,0(=n .……………12分 故32|||,cos |sin =''=>'<=E A n E A n E A θ.……………14分 因此，E A '与平面BEDF 所成角的余弦值35．…………15分 20.解：（I ） 2=a ，则∴x x x f 63)(2-='--------------------------------------------------------------------2分∴3)1(-='f ，又(1)0f =，∴ 切线方程为033=-+y x .-------------------------------------------------------6分（II ） )(333)(2a x x ax x x f -=-='，当0a =时，03)(2≥='x x f ，即()f x 在]1,1[-上为增函数， 01)1(<-=-f ，01)1(>=f ，∴()f x 在]1,1[-上有一个零点，-----------------------------------------------------8分当01a <<时，)(3)(a x x x f -='，0211)1(<--=-a f ，0)211(21)(23>-=-=a a a a a f ，∴()f x 在]1,1[-上有一个零点.---------------------------------------------------------10分当1a =时，在)0,1[-上()f x 为增函数，]1,0(上()f x 为减函数，023)1(<-=-f ，021)1(>=f ，此时()f x 在]1,1[-上有一个零点.-------12分当1a >时，易知在)0,1[-上()f x 为增函数，]1,0(上()f x 为减函数，0)1(<-f ，0)0(>f ，又有a f 211)1(-=，当0211)1(>-=a f ，即12a <<时，()f x 在]1,1[-上有一个零，当2a ≥时，()f x 在]1,1[-上有两个零.----------------------------------------14分综上所述， 当02a ≤<时，函数()f x 在]1,1[-上有一个零；当2a ≥时，函数()f x 在]1,1[-上有两个零点.----------15分21．解：(Ⅰ)由1(F得c =242a a =⇒=， …………2分∴1b = ∴椭圆的标准方程为2214x y +=． (5)分(Ⅱ)当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y kx b =+，联立方程组2214y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，化简为：222(14)8440k x kmx m +++-=，设112200(,),(,),(,)M x y N x y P x y ，由韦达定理得2121222844,1414km m x x x x k k -+=-=++， 由0∆>得2241k m +>； ………………………………8分四边形OMPN 为平行四边形得OP OM ON =+，∴ 01220121228142()214km x x x k my y y k x x m k ⎧=+=-⎪⎪+⎨⎪=+=++=⎪+⎩代入椭圆方程化简得：22414k m +=适合2241(0)k m m +>≠；……………………10分原点O 到直线l的距离d =，||AB ====，……………12分∴24||||4OMPN m S AB d m =⋅=== ……13分 当直线l 的斜率不存在时，由题意得直线l 必过长半轴的中点，不妨设其方程为1x =-，算出122OMPN S =⨯=分综上所述，平行四边形OMPN的面积=分21题说明：（1）若设直线方程为x my n =+也同样给分；（2）若学生设直线l 的斜率为特殊值如1k =或斜率不存在时得出平行四边OMPN酌情给分．22.（I ）解：由题意，12221+-=a a a ， 解得2512+=a 或2512-=a （舍去）.……………………………3分 （II ） 证明：因为)1(111-=-++n n n a a a ，且0>n a ，……………4分所以)1(1-+n a 与)1(-n a 同号，... ，与)1(1-a 也同号.而011>-a ，因此)(1*∈>N n a n . …………………………………………6分又0)1(12211211>-=+-=-++++n n n n n a a a a a ，……………………………8分所以1+>n n a a .综上，有11>>+n n a a 成立.………………………………………………9分 （III ）证明：令1-=n n a b ，则01>>+n n b b ，且11=b .由)1(111-=-++n n na a a ，得到121++-=n nn b b b . ……………………10分于是当2≥n 时，22)()()(132212112<-=-+⋅⋅⋅+-+-+=-=∑n n n nk k b b b b b b b b b ，又212n nk k nb b >∑=，因此22<n nb ，即nb n 2<. ……………………12分 考虑()1221222222--=-+<=<n n n n n n b n ，…………14分 故()()()[]n n n b nk k 2211201221=--+⋅⋅⋅+-+-<∑=，即n n S n 22<-. 当1=n 时，22121+<=a 也成立.综上所述，n n S n 22+<. …………15分。
浙江省衢州市2023-2024学年高二下学期6月教学质量检测数学试题含答案
衢州市2024年6月高二年级教学质量检测试卷数学（答案在最后）考生须知：1.全卷分试卷和答题卷.考试结束后，将答题卷上交.2.试卷共4页，有4大题，19小题.满分150分，考试时间120分钟.3.请将答案做在答题卷的相应位置上，写在试卷上无效.一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目的要求.1.复数2(1i)+=（）A.22i - B.22i+ C.2i- D.2i【答案】D 【解析】【分析】根据复数乘法计算.【详解】22(1i)12i i 12i 12i +=++=+-=.故选：D2.设随机变量316,4X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则X 的数学期望为（）A.3B.6C.9D.12【答案】D 【解析】【分析】根据二项分布的变量的期望公式，代入运算得解.【详解】316,4X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭Q :，()316124E X np ∴==⨯=.故选：D.3.已知直线m 和平面α，则“m α⊄”是“直线m 与平面α无公共点”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据直线与平面的位置关系，结合充分，必要条件关系判断.【详解】因为m α⊄包含m α∥和直线m 与平面α相交两种情况，因此若m α⊄，则直线m 可以与平面α无公共点也可以与平面α有一个公共点，因此“m α⊄”是“直线m 与平面α无公共点”的必要不充分条件.故选：B ．4.某圆锥的轴截面是腰长为1的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为（）A.π2B.π2C.πD.【答案】A 【解析】【分析】先求出该圆锥的底面半径和母线长，再求圆锥的侧面积得解.=所以该圆锥的底面半径为2，母线长为1，所以该圆锥的表面积为12π1π222⨯⨯⨯⨯=.故选：A.5.已知向量(a =- ，且()a ab ⊥+ ，则b 在a上的投影向量为（）A.)1- B.12⎫-⎪⎪⎝⎭C.(1,D.1,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】先根据条件求出a b ⋅ ，再根据投影向量的概念计算b 在a上的投影向量.【详解】由(a =- ，得：2a =.又()a ab ⊥+ ⇒()0a a b ⋅+= ⇒24a b a ⋅=-=- .所以b 在a 上的投影向量为：((41,22a b a aa -⋅-⋅=⋅=.故选：C6.在ABC 中，π3B =，D 是AB 的中点，CD =，则2AB BC +的取值范围为（）A.B.(C.(D.(0,【答案】C 【解析】【分析】根据题意，由正弦定理可得2sin ,2sin BD BCD BC BDC =∠=∠，即可得到π26AB BC BCD ⎛⎫+=∠+ ⎪⎝⎭，再由正弦型函数的值域，代入计算，即可求解.【详解】因为π3B =，CD =，在BCD △中，由正弦定理可得2sin sin sin 32BD BC CDBCD BDC B===∠∠∠，则2sin ,2sin BD BCD BC BDC =∠=∠，且D 是AB 的中点，则2224sin 4sin AB BC BD BC BCD BDC +=+=∠+∠，又π3B =，则2π3BCD BDC ∠=-∠，则224sin π4sin 3AB BC BDC BDC ⎛⎫+=-∠+∠⎪⎝⎭14cos sin 22BCD BCD BCD ⎛⎫=∠+∠+∠ ⎪ ⎪⎝⎭34sin 22BCD BCD ⎛⎫=∠+∠ ⎪ ⎪⎝⎭π6BCD ⎛⎫=∠+ ⎪⎝⎭，又20π3BCD ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，，则ππ5π666BCD ⎛⎫∠+∈ ⎪⎝⎭，，所以π1sin 162BCD ⎛⎫⎛⎤∠+∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，，则(π6BCD ⎛⎫∠+∈ ⎪⎝⎭，即2AB BC +的取值范围为(.故选：C7.若曲线()1ln y ax x =+有两条过坐标原点的切线，则a 的取值范围是（）A.210,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B.()20,e C.21,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D.221,e e ⎛⎫⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】先设切点()()000,1ln x ax x +，再根据导数的几何意义求出切线斜率，利用点斜式得到切线方程；再根据切线过点()0,0，得到0,x a 的关系，利用0x 有两解求a 的取值范围.【详解】设切点()()000,1ln x ax x +，又()11ln 1ln y a x ax a x a x x'=++⋅=++，所以切线斜率为：001ln k a x a x =++.由点斜式，切线方程为：()001ln y ax x -+=()0001ln a x a x x x ⎛⎫++- ⎪⎝⎭.因为切线过点()0,0，所以()001ln ax x -+=()0001ln 0a x a x x ⎛⎫++- ⎪⎝⎭.所以：00ln 10ax x -+=.因为过原点的切线有两条，所以关于x 方程ln 10ax x -+=有两解.由ln 10ax x -+=（0x >）⇒ln 1x a x-=，设()ln 1x h x x-=，则()()221ln 12ln x x x x h x x x ⋅---'==，由()0h x '>得2ln 0x ->⇒2e x <，所以()h x 在()20,e单调递增，在()2e ,+∞单调递减，所以()221e e h =，且当e x >时，()0h x >.所以ln 1x a x -=有两解，则210ea <<.故选：A8.已知曲线1C ：2y x =，曲线2C ：2231022x y x y ++-=，两曲线在第二象限交于点P ，1C ，2C 在P 处的切线倾斜角分别为α，β，则（）A.2π3αβ+= B.3π4αβ+=C.5π4αβ+=D.π2αβ-=【答案】B 【解析】【分析】易知()1,1P -，利用导数的几何意义可求得tan 2α=-，再根据圆的切线求法可得1tan 3β=，再根据三角恒等变换可判断B 正确.【详解】联立22231022y x x y x y ⎧=⎪⎨++-=⎪⎩，得42230x x x ++=，即()3230x x x ++=，可得()()212230x x x x +-+=，解得10x =，21x =-，可得()1,1P -由1C ：2y x =可知2y x '=；所以曲线1C 在P 处的切线斜率为112tan x k y α=-'==-=|，π3π,24α⎛⎫∈⎪⎝⎭曲线2C 可化为22315448x y ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其圆心为31,44⎛⎫- ⎪⎝⎭，()21143314PC k -==-⎛⎫--- ⎪⎝⎭，所以圆2C 在P 处的切线斜率为21tan 3k β==，π0,4β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭π,π2αβ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，()tan tan tan 11tan tan αβαβαβ++==--⋅，即3π4αβ+=，故B 正确，A 、C 错误，()()()123tan tan 71123αβαβ---=-==-+-⨯，故D 错误，故选：B.二、选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列论述正确的是（）A.样本相关系数0r =时，表明成对样本数据间没有线性相关关系B.由样本数据得到的经验回归直线y bx a =+$$$必过中心点(),x y C.用决定系数2R 比较两个回归模型的拟合效果时，2R 越大，表示残差平方和越大，模型拟合效果越差D.研究某两个属性变量时，作出零假设0H 并得到2×2列联表，计算得20.05x χ≥，则有95%的把握能推断0H 不成立【答案】ABD 【解析】【分析】对于A ：根据相关系数的性质分析判断；对于B ：根据经验回归方程过样本中心点分析判断；对于C ：根据决定系数的性质分析判断；对于D ：根据独立性检验思想分析判断.【详解】对于选项A ：样本相关系数r 的绝对值越大，线性相关性越强，所以样本相关系数0r =时，表明成对样本数据间没有线性相关关系，故A 正确；对于选项B ：经验回归直线y bx a =+$$$必过中心点(),x y ，故B 正确；对于选项C ：在回归分析中，2R 越大，残差平方和越小，模型的拟合效果越好，故C 错误；对于选项D ：因为20.05x χ≥，根据独立性检验的思想可知有95%的把握能推断0H 不成立，故D 正确；故选：ABD.10.已知F 是双曲线22145x y -=的右焦点，P 为其左支上一点，点()0,6A -，则（）A.双曲线的焦距为6B.点F 到渐近线的距离为2C.PA PF +的最小值为4+D.若8PF =，则OPF △的面积为【答案】AC 【解析】【分析】根据双曲线的性质判断A ，利用点到直线的距离公式判断B ，利用双曲线的定义判断C ，求焦点三角形的面积，可判断D.【详解】如图：由双曲线的标准方程22145x y -=，可知2a =，b =，所以3c ==，所以双曲线的焦距为：26c =，故A 正确；双曲线的渐近线为52y x =±20y ±=，点()3,0F 到渐近线的距离为：d ==，故B 错误；设双曲线的左焦点为F ',根据双曲线的定义：4PF PF -'=，所以PA PF +4PA PF ='++4AF ≥'+44==，故C 正确；在PFF ' 中，由8PF =，844PF '=-=，6FF '=，由余弦定理得：222cos 2PF PF FF FPF PF PF ''+-=⋅''∠641636284+-=⨯⨯641636284+-=⨯⨯1116=，所以53sin 16FPF '∠=，所以184216FPF S '=⨯⨯⨯= 122OPF FPF S S '==，故D 错误.故选：AC11.已知函数()f x 的定义域为R ，若()()21322f x f x -+-=，且()2f x -为偶函数，()22f =，则（）A.()()4f x f x +=B.()20240f =C.()()392f f +=D.()25125i f i ==∑【答案】BCD【分析】首先根据函数既是中心对称又是轴对称，求得函数的周期，判断A ，再根据函数周期和对称性求值，并求函数值，判断BCD.【详解】∵()()21322f x f x -+-=，∴()f x 关于()1,1对称∵()2f x -为偶函数，∴()f x 关于2x =-对称∴()f x 的周期()41212T ⎡⎤=--=⎣⎦，故A 错；()()20244f f =-（∵()f x 的周期为12）()()40f f -=（∵()f x 关于2x =-对称）()()0220f f =-=（∵()f x 关于()1,1对称），故B 正确；()()93f f =-（∵()f x 的周期为12）()()31f f -=-（∵()f x 关于2x =-对称）()()123f f -=-（∵()f x 关于()1,1对称）()()132f f -+=，即()()932f f +=，故C 正确；∵()f x 的周期为12∴()()()()()()2313141525f f f f f f ++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+，()()312f f +-=，又()()111f f -=，所以()()3112f f +=，同理()()4102f f +=，()()592f f +=，()()682f f +=，()()752f f +-=，又()()57f f -=，所以()272f =，即()71f =，由()()21322f x f x -+-=，令1x =，得()212f =，()11f =，()()1200f f ==，所以()()()()123...1212f f f f ++++=，所以()()()1314...2412f f f +++=，()()2511f f ==，()25124125i f i ==+=∑，故D 正确.【点睛】关键点点睛：本题的关键是通过对称性判断函数的周期.三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.12.5(2)x y -的展开式中23x y 的系数是______.(用数字作答)【答案】40-【解析】【分析】写出二项展开式的通项，再根据通项赋值即可得展开式中23x y 的系数.【详解】5(2)x y -的展开式的通项()()()555155C 2C 21,0,1,2,5rrrrrr r r r T x y x y r ---+=-=⋅⋅-= 所以展开式中23x y 的系数是()3325C 2140⋅⋅-=-.故答案为：40-.13.甲、乙、丙、丁四人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外三个人中的任何一个人.则4次传球的不同方法总数为_________（用数字作答）；4次传球后球在甲手中的概率为_________.【答案】①.81②.727【解析】【分析】先求出4次传球的方法总数，再求出4次传球后球在甲手中的方法总数，设n A 表示经过第n 次传球后球在甲手中，设n 次传球后球在甲手中的概率为n P ，依题意利用全概率公式得到11133n n P P +=-，即可得到14n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以14-为首项，13-为公比的等比数列，从而求出n P ，再将4n =代入计算可得.【详解】由题意可知，4次传球总的传球路线种数为4381=种，设n A 表示经过第n 次传球后球在甲手中，设n 次传球后球在甲手中的概率为n P ，1,2,3,n = ，则有10P =，111n n n n n A A A A +++=+，所以()()()11111n n n n n n n n n P P A A A A P A A P A A +++++=+=+()()()()11||n n n n n n P A P A A P A P A A ++=⋅+()()1110133n n n P P P =-⨯+⨯=-，即11133n n P P +=-，所以1111434n n P P +⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，又111044P -=-≠，所以14n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以14-为首项，13-为公比的等比数列，所以1111443n n P -⎛⎫-=-⨯- ⎪⎝⎭，即1111443n n P -⎛⎫=-⨯- ⎪⎝⎭，当4n =时34111744327P ⎛⎫=-⨯-= ⎪⎝⎭.故答案为：81，727.14.如图，等腰直角三角形ABC 中，AC BC ⊥，4AB =，D 是边AC 上一动点（不包括端点）.将ABD △沿BD 折起，使得二面角1A BD C --为直二面角，则三棱锥1A BCD -的外接球体积的取值范围是_________.【答案】32π,33⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【解析】【分析】根据两平面互相垂直判断外接球球心的位置，再由已知条件计算出球半径表达式，即可求出体积取值范围.【详解】因为BCD △是直角三角形，所以其外接圆的圆心在Rt BCD 的斜边BD 上，即BD 是该圆的直径，又因为平面1A BD ⊥平面BCD ，所以平面1A BD 必过球心，外接球半径即为1A BD 外接圆的半径，设球的半径为r ，球的体积为V ，在1A BD中，根据正弦定理得，12πsin sin 4BD BDr BA D ===∠，又因为()4BD ∈，所以(124,sin sin BD BDr BA D A===∈∠，所以3432ππ,333V r ⎛⎫=∈ ⎪ ⎪⎝⎭.故答案为：32π,33⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭【点睛】关键点点睛：本题关键是通过两平面垂直关系以及三棱锥的底面为直角三角形判断出球心的位置，判断球心在平面1A BD 上，得出球心为1A BD 外接圆的圆心，再求出BD 的取值范围即可解决问题.四、解答题：本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤.15.已知数列{}n a 为等比数列，1a ，14，4a 成等差数列，且524a a a =.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n na 的前n 项和n S .【答案】（1）13n na -=（2）()21314n nn S -⋅+=【解析】【分析】（1）根据1a ，14，4a 成等差数列，得1428a a +=，再结合524a a a =及等比数列的通项公式，可求1,a q ，从而得到等比数列的通项公式.（2）利用“错位相减求和法”求数列的前n 项和.【小问1详解】由题意可知1428a a +=，即31128a a q +=，又∵43111a q a q a q =⋅，即211a a =，∴11a =或10a =（舍），∴3q =，∴1113n n n a a q --==.【小问2详解】令13n n n b na n -==⋅，∴12n n S b b b =++⋅⋅⋅+，即()121123133n n n S n n --=+⋅+⋅⋅⋅+-⋅+⋅①∴()213323133n n n S n n -=+⋅+⋅⋅⋅+-⋅+⋅②①-②得：∴21133121333333132n n n nn nn S n n n ----=+++⋅⋅⋅+-⋅=-⋅=-⋅-∴()21311132444n n n n n S -⋅+⎛⎫=-⋅+= ⎪⎝⎭.16.如图，在棱长为1的正四面体A BCD -中，E 是AB 的中点，F ，G 分别在棱AD 和CD 上（不含端点），且//FG 平面ABC .（1）证明：//AC 平面EFG ；（2）若F 为AD 中点，求平面EFG 截该正四面体所得截面的面积；（3）当直线EG 与平面BCD 所成角为π6时，求DG .【答案】（1）证明见解析（2）14（3）126DG =±【解析】【分析】（1）线面平行的判定定理和性质定理证明即可；（2）取BC 中点H ，则平面EFGH 即为平面EFG 截正四面体A BCD -的截面，求解即可.（3）方法一：取CD 中点M ，连接BM ，过点E 作BM 的垂线，垂足为N ，连接NG ，由线面角的定义可知EGN ∠即为直线EG 与平面BCD 所成角，求解即可；方法二：如图，取CD 中点M ，连接BM ，以M 为坐标原点，MD ，MB 所在直线分别为x ，y 轴，由向量法求解即可.【小问1详解】证明：因为//FG 平面ABC ，FG ⊂平面ACD ，平面ACD 平面ABC AC =，所以//FG AC ，又FG ⊂面EFG ，AC ⊂/面EFG ，所以//AC 平面EFG ；【小问2详解】因为E ，F ，G 为AB ，AD ，CD 中点，取BC 中点H ，则平面EFGH 即为平面EFG 截正四面体A BCD -的截面，且EFGH为边长是12的正方形，所以14S =截面；【小问3详解】方法一：取CD 中点M ，连接BM ，过点E 作BM 的垂线，垂足为N ，连接NG易知，EN ⊥平面BCD ，所以EGN ∠即为直线EG 与平面BCD 所成角，又66EN =，tan EN EGN NG ∠=，所以22NG =，33MN =，所以66GM =，即1626DG =±方法二：如图，取CD 中点M ，连接BM ，以M 为坐标原点，MD ，MB 所在直线分别为x ，y 轴，过点M 且与平面BCD 垂直的直线为z 轴建立空间直角坐标系，360,,36E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，设(),0,0DG DC λλ==- ，所以1,0,02MG MD DG λ⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭ ，即1,0,02G λ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，所以1,,236EG λ⎛=-+- ⎝⎭，又平面BCD 的法向量为()0,0,1n =，所以1sin cos ,2EG n EG n EG n θ⋅===⋅ ，解得126λ=±，即126DG =±.17.已知函数()e xf x ax b =--.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()0f x ≥，求ab 的最大值.【答案】（1）答案见解析（2）e2【解析】【分析】（1）求导，分0a ≤和0a >两种情况，利用导数判断()y f x =的单调性；（2）根据题意结合（1）中的单调性可得22ln ,0ab a a a a ≤->，令()()22ln 0g x x x x x =->，利用导数判断其单调性和最值.【小问1详解】由题意可知：()e xf x a '=-，①当0a ≤时，()0f x '>，可知()y f x =在R 上单调递增；②当0a >时，令()0f x '>，解得ln x a >；令()0f x '<，解得ln x a <；可知()y f x =在(),ln a ∞-上单调递减，在()ln ,a ∞+上单调递增；综上所述：当0a ≤时，()y f x =在R 上单调递增；当0a >时，()y f x =在(),ln a ∞-上单调递减，在()ln ,a ∞+上单调递增.【小问2详解】因为()0f x ≥，由（1）可得：①当0a ≤时，可知()y f x =在R 上单调递增，且x 趋近于-∞时，()f x 趋近于-∞，与题意不符；②当0a >时，可知()y f x =在(),ln a ∞-上单调递减，在()ln ,a ∞+上单调递增，则()()ln ln 0f x f a a a a b ≥=--≥，可得ln b a a a ≤-，且0a >，则22ln ab a a a ≤-，令()()22ln 0g x x x x x =->，则()()12ln g x x x =-'，令()0g x '>，解得0x <<；令()0g x '<，解得x >；可知()y g x =在(上单调递增，在)∞+上单调递减，则()e 2g x g ≤=，所以当a =e 2b =时，ab 的最大值为e 2.18.某学校的数学节活动中，其中有一项“抽幸运数字”擂台游戏，分甲乙双方，游戏开始时，甲方有2张互不相同的牌，乙方有3张互不相同的牌，其中的2张牌与甲方的牌相同，剩下一张为“幸运数字牌”.游戏规则为：①双方交替从对方抽取一张牌，甲方先从乙方中抽取；②若抽到对方的牌与自己的某张牌一致，则将这两张牌丢弃；③最后剩一张牌（幸运数字牌）时，持有幸运数字牌的那方获胜.假设每一次从对方抽到任一张牌的概率都相同.奖励规则为：若甲方胜可获得200积分，乙方胜可获得100积分.（1）已知某一轮游戏中，乙最终获胜，记X 为甲乙两方抽牌次数之和.（ⅰ）求()2P X =；（ⅱ）求()2P X k =，*k ∈N ；（2）为使获得积分的期望最大，你会选择哪一方进行游戏？并说明理由.【答案】（1）（ⅰ）23；（ⅱ）12139k -⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭，*k ∈N （2）乙方，理由见解析【解析】【分析】（1）（i ）分析得到甲方抽到的乙方的牌为与自己相同的牌，从而乙方会剩下“幸运数字牌”，求出概率；（ii ）前22k -次抽牌都只抽到对方手中的幸运数字牌，概率均为13，得到概率；（2）方法一：记乙方获胜为事件A ，利用等比数列求和公式和极限得到()34P A =，求出乙方获得积分的期望175E =，求出甲方获胜的概率和积分的期望250E =，根据12E E >选择乙方进行游戏.方法二：设乙方获胜为事件A ，由题意得到()()()21133P A P A =+-，求出()34P A =，求出乙方获得积分的期望175E =，求出甲方获胜的概率和积分的期望250E =，根据12E E >选择乙方进行游戏.【小问1详解】（i ）甲乙两方抽牌次数之和为2，则甲方抽到的乙方的牌为与自己相同的牌，从而乙方会剩下“幸运数字牌”，即乙获胜，()223P X ==；（ii ）前22k -次抽牌都只抽到对方手中的幸运数字牌，概率均为13，甲方在第()21k -次抽到的不是对方手中的幸运数字牌，从而乙方最后获胜，所以()221122123339k k P X k --⎛⎫⎛⎫==⨯=⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，*k ∈N ；【小问2详解】方法一：记乙方获胜为事件A ，则()()1211393132lim 1149419k k k k P A X k ∞∞+→+=⎛⎫⎛⎫⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎛⎫⎝⎭====⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-∑.乙方获得积分的期望为()110075E P A ==，则甲方获胜的概率为()()114P A P A =-=，甲方获得积分的期望为()220050E P A ==，因为12E E >，所以我会选择乙方进行游戏.方法二：记乙方获胜为事件A ，则乙方获胜的概率为()P A ，事件A 可分为甲第一次抽中的牌不是幸运数字牌和是幸运数字牌两种情况，其中若甲第一次抽中的牌不是幸运数字牌，则乙会获胜，概率为23，若甲第一次抽中的牌是幸运数字牌，此时甲乙手中的牌相当于进行了互换，则此时甲获胜的概率与乙获胜的概率相同，则甲不获胜的概率即为()1P A -，则()()()21133P A P A =+-，解得()34P A =，乙方获得积分的期望为()110075E P A ==，则甲方获胜的概率为()()114P A P A =-=，甲方获得积分的期望为()220050E P A ==，因为12E E >，所以我会选择乙方进行游戏.【点睛】关键点点睛：如图求解乙方获胜的概率，可使用等比数列求和公式和极限思想，也可以通过题意得到方程，求出答案.19.已知椭圆C ：()222210y x a b a b +=>>的离心率为22，斜率为12的直线l 与y 轴交于点P ，l 与C 交于A ，B 两点，T 是A 关于x 轴的对称点.当P 与原点O 重合时，ABT 面积为89.（1）求C 的方程；（2）当P 异于O 点时，记直线BT 与x 轴交于点Q ，求OPQ △周长的最小值.【答案】（1）2212y x +=（21【解析】【分析】（1）设出各点坐标，表示出面积后，结合面积与离心率计算即可得；（2）要求OPQ △的周长，则需把各边长一一算出，即需把Q x 、P y 算出，设出直线方程与椭圆方程联立得与横坐标有关韦达定理，借助韦达定理表示出Q x 、P y ，可得OPQ △各边边长，结合基本不等式即可求得最值.【小问1详解】当P 与原点O 重合时，可设()()000,0A x y x >，则有()00,B x y --、()00,T x y -，且002x y =，AT BT ⊥，则0011822229ABT S AT BT y x =⋅=⋅⋅= ，即20429y =，∴2029y =，则2089x =，即有2228199a b +=，由离心率为2，即2c a =，则22222a c b c ==+，∴222a b =，即有2218199b b +=，解得21b =，∴22a =，即C 的方程为2212y x +=；【小问2详解】设直线l 方程为2x y t =+，令0x =，有2t y =-，即2P t y =-，设点()11,A x y 、()22,B x y ，则()11,T x y -，联立直线与椭圆方程：22212x y t y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 有2298220y ty t ++-=，有1289t y y +=-，212229t y y -=，()226436220t t =--> ，得33t -<<，BT l 为()212221y y y x x y x x +=-+-，令0y =，1222122121212Q x y x y x y x y x x y y y y -+=+=++，由2x y t =+中，得()()212211221121212122242241989t y t y y t y x y x y y y t t t y y y y y y t -++++==+==-+++，即1Q x t =，则12OPQ P Q tC y x t =+++++1≥+=+，当且仅当t =时等号成立，故OPQ △1.【点睛】关键点睛：本题的关键点在于把OPQ △各边长一一算出，即需把Q x 、P y 算出，设出直线方程与椭圆方程联立得与横坐标有关韦达定理，借助韦达定理表示出Q x 、P y ，可得OPQ △各边边长，结合基本不等式即可求得最值.。
浙江省衢州市2016-2017学年高二6月教学质量检测数学试卷Word版含答案
衢州市2017年6月高二年级教学质量检测试卷数学一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．设i 是虚数单位，复数13i -的虚部是（ ）A ．1B ．3i -C ．-3D ．3i2．若实数,x y R ∈，则“0,0x y >>”是“0x y +>”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知集合M 满足{}{}1,21,2,3,4M ⊆⊆，则集合M 的个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．54．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为线段11A C 的中点，则异面直线DE 与1B C 所成角的大小为（ ）A ．3πB ．4πC ． 6π D ．12π 5．在等比数列{}n a 中，若33a -，则此数列的前5项之积等于（ ）A ．-15B ．15C ． 243D ．-2436．已知,0a b >，若211a b+=，则2a b +的最小值是（ ） A ．9 B ．8 C ． 7 D ．67．已知()f x 是R 上的奇函数，当0x ≥时，2log (1),01()|3|,1x x f x x x +≤<⎧=⎨-≥⎩，则函数1()2y f x =-的所有零点之和是（ ）A ．5B ．1C ． 1D ．58．设双曲线22221(0,0y x a b a b-=>>）的下焦点为(0)F c -，，直线y kx c =-与圆222x y a +=相切于点M ，与双曲线上支交于点N ，若MOF MON ∠=∠(O 是坐标原点)，则此双曲线的离心率为（ ）A C ． D 9．已知()f x 是(0,)+∞的增函数，若[()ln ]1f f x x -=，则()f e =（ ）A ．2B ．1C ． 0D ．e10．数列{}n a 中，12n a +=+，则12018a a +的最大值为（ ）A ．2B ．4C ． 4-．4+二、填空题（本大题共7小题，多空每小题6分，单空每小题4分，共36分．把正确答案填在答题卡中的横线上．）11．设函数()2sin(2)4f x x π=+，则函数()f x 的最小正周期为 ，单调递增区间为 ．12．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ，表面积为 ．13．若抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点(1,0)F ，则P = ；设M 是抛物线C 上的动点，(4,3)A ，则||||MA MF +的最小值为 ．14．对于任意两个正实数,a b ，定义a a b bλ*=⨯．其中常数λ∈，“x ”是实数乘法运算，若833*=，则λ= ；若0a b ≥>，a b *与b a *都是集合{|,}2n x x n Z =∈中的元素，则a b *= ．15．已知实数,x y 满足2101010x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪++≥⎩，则331x y z x ++=+的取值范围是 ． 16．已知定义在R上的函数()2017)20172018x x f x x -=+-+，若对任意的x R ∈，不等式(32)()4036f x f x -+>恒成立，则实数x 的取值范围是 ．17．在平面内，6AB AC BA BC CA CB ===u u r u u u r u u r u u u r u u r u u r g g g ，若动点,P M 满足||2,AP PM MC ==u u r u u u r u u u r ，则||BM u u u r 的最小值是 ．三、解答题 （本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）18．已知函数21111()cos )cos sin 2222f x x x x x =-+ （1）求函数()f x 的值域； （2）ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c，()2,f B b ==ABC ∆面积4S =，求a c +的值． 19．三棱锥A BCD -中，E 是BC 的中点，且8,6,10,BD CD BC ===AB AD ==（1）求证：AE BD ⊥；（2）若二面角A BD C --的余弦值为34，求AD 与平面BCD 所成角的正切值． 20．已知函数21()ln (1)12f x x ax a x =-+-+． （1）当1a =时，）求函数()f x 在2x =处的切线方程；（2）求函数()f x 在[]1,2x ∈时的最大值．21．已知椭圆2222:1(0)x y G a b a b+=>>的长轴长为(1,0)F -，若过点(2,0)B b -的直线与椭圆交于,M N 两点．（1）求椭圆G 的标准方程；（2）求证：MFB NFB π∠+∠=；（3）求FMN ∆面积S 的最大值．22．数列{}n a 中，11,n a a ==．（1）证明：1n n a a +<；（2）证明：121n n a a n +≥+；（3）设n b =22)n b n <<≥．试卷答案一、选择题1-5: CACCD 6-10: AABAD二、填空题11．3,[,],88k k k Z πππππ-++∈ 12．13;32．2，5 14．95,82 15．7[2,]2 16．12x > 17．2三、解答题18．（1）∵()cos f x x x =-2sin()6x π=-x R ∈，∴()f x 的值域是[]2,2-（2）由()2sin()1,(0,)6f B B B ππ=⇒-=∈ ∴23B π=由2222cos b a c ac B =+-223a c ac ⇒=++14S ac =⇒=∴2()42a c a c +=⇒+=19．（1）简证：设BD 的中点为F ，易得BD EF ⊥BD AF ⊥BD ⇒⊥面AEF BD AE ⇒⊥（2）简解：3,4EF AF ==，3os 4c AFE AE EF ∠=⇒⊥，AE =又∵AE BD AE ⊥⇒⊥面BCDADE ⇒∠就是AD 与平面BCD 所成的角θ∴5tan AEDE DE θ=⇒==20．解：（1）当1a =时，21()ln 12f x x x =-+ ∴1()f x x x'=- ∴3(2)2f '=-，即32k =-切 已知切点为(2,1ln 2)-+ ∴切线的方程为：32ln 22y x =-++ （2）∵2(1)1()(12)ax a x f x x x-+-+'=≤≤ 当0a ≤时，()0f x '>在[]1,2x ∈恒成立∴()f x 在[]1,2x ∈单调递增∴max ()(2)43ln 2f x f a ==-++ 当102a <≤时，()f x 在[]1,2x ∈单调递增 ∴max ()(2)43ln 2f x f a ==-++ 当112a <<时，()f x 在11,x a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦单调递增，在1[,2]x a ∈单调递减 ∴max 11()()ln 2f x f a a a ==- 当1a ≥时，()f x 在[]1,2x ∈单调递减 ∴max 3()(1)22f x f ==-+ 综上所述max 143ln 2,211()ln ,12232,12a a f x a a a a a ⎧-++≤⎪⎪⎪=-+<<⎨⎪⎪-+≥⎪⎩21．解：（1）∵椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的长轴长为，焦距为2，即222a c ==∴22b =，∴椭圆的标准方程为2212x y +=．（2）QAB PAB π∠+∠=，即证：0MF NF k k +=设MN 直线方程为(2)y k x =+，代入椭圆方程得：2222(12)8820k x k x k +++-= 其中0∆>，所以212k < 设1122(,),(,)M x y N x y ，则2122812k x x k +=-+，21228212k x x k-=+ 121211MF NF y y k k x x +=+++1212(2)(2)11k x k x x x ++=+++1212[2]0(1)(1)x x k x x ++=+=++ （3）121211||||||22S FB y y k x x =-=-gg =令212t k =+则S ==当216k =（满足212k <），所以S的最大值为4 22．证明：（1）11200n n n n n n a a a a a a ++>⇒-=>⇒> （2）2112n n n n n a a a a a -+<=-112n n n n a a a a +-⇒->1n =时1213n n a a n +=+=2n ≥时132(1)21n n a a n n +>+-=+综述：121n n a a n +≥+；（3）需证245n n a n <<，∵22112244n n n n n na a a a a a ++=+⇒=++ ∴22124404(4,)9n n n a a a +⇒-=+∈ 22240(2)(4(2),)9n n a a n -⇒-∈- 2401(41,)(4,5)9n n a n n n +⇒∈+⊆得证。
浙江省衢州市2017-2018学年高二下学期期末数学试题(解析版)
衢州市2018年6月高二年级教学质量检测试卷数学一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}1,2A =，{}1,3,B m =，若{}1,2,3,4A B =U ，则m 等于（ ） A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】D 【解析】 【分析】由已知可得4B ∈，则4m =.【详解】由{}1,2,3,4A B =U ，得4A ∈或4B ∈ 又由{}1,2A =，得4A ∉， 则4B ∈，即4m = 故选：D【点睛】本题考查了集合的并集运算，属于基础题.2.“2x >”是“3x >”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】由23x x >>¿且32x x >⇒>可得解. 【详解】Q 23x x >>¿，∴“2x >”是“3x >”不充分条件；又Q 32x x >⇒>，∴“2x >”是“3x >”的必要条件.综上，“2x >”是“3x >”的必要不充分条件. 故选：B【点睛】本题考查了充分条件和必要条件，属于基础题. 3.在等差数列{}n a 中，1236a a a ++=，则2a 为（ ） A. 2 B. 3C. 4D. 5【答案】A 【解析】 【分析】由等差数列性质，得123236a a a a ++==，问题得解. 【详解】Q {}n a 是等差数列，∴1322a a a +=，∴123236a a a a ++==，解得22a =. 故选：A【点睛】本题考查了等差数列的性质，属于基础题.4.已知函数()(]()ln ,0,11,1,x x f x x x ⎧∈⎪=⎨-∈+∞⎪⎩，则()2f f ⎡⎤⎣⎦等于（ ） A. -1 B. 0C. 1D. ln21-【答案】B 【解析】 【分析】先求()21f =，再求()2f f ⎡⎤⎣⎦. 【详解】由已知，得：()2211f =-= 所以()()21ln10f f f ===⎡⎤⎣⎦ 故选：B【点睛】本题考查了分段函数求值，属于基础题.5.若x ，y 满足条件20402x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =-的最小值为（ ）A. -2B. -1C. 1D. 2【答案】A 【解析】作出约束条件20402x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩对应的平面区域（阴影部分），由z=2x ﹣y ，得y=2x ﹣z ，平移直线y=2x ﹣z ，由图象可知当直线y=2x ﹣z ， 经过点A 时，直线y=2x ﹣z 的截距最大，此时z 最小．由 220y x y =⎧⎨-+=⎩解得A （0，2）． 此时z 的最大值为z=2×0﹣2=﹣2， 故选A ．点睛：利用线性规划求最值的步骤：(1)在平面直角坐标系内作出可行域．(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．常见的类型有截距型（ax by +型）、斜率型（y b x a++型）和距离型（()()22x a y b +++型）．(3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解．(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值． 6.已知2πϕ<，将函数()()sin 2f x x ϕ=+的图象向左平移3π个单位，得到的图象关于y 轴对称，则ϕ为（ ） A.3π B. 3π-C.6π D. 6π-【答案】D 【解析】 【分析】由()f x 平移后，得()2sin 23g x x πϕ⎛⎫=++⎪⎝⎭，再由()g x 图象关于y 轴对称，得()20sin 13g πϕ⎛⎫=+=± ⎪⎝⎭，解之即可.【详解】将函数()()sin 2f x x ϕ=+的图象向左平移3π个单位,得 ()2sin 2sin 233g x x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦Q ()g x 图象关于y 轴对称∴()20sin 13g πϕ⎛⎫=+=± ⎪⎝⎭∴2,32k k ππϕπ+=+∈Z ，即,6k k πϕπ=-+∈Z 又Q 2πϕ<∴0k =时6πϕ=-满足要求.故选：D【点睛】本题考查了三角函数图象的平移和函数的对称性，属于中档题. 7.函数cos sin 2x xy =的大致图象为（） A.B.C. D.【答案】A 【解析】 分析】先判断函数奇偶性，排除C ，D 选项，再特殊值检验，排除B 选项，即可. 【详解】由题意可知，函数cos sin ()2xxy f x ==的定义域为R ，关于原点对称. Q cos()cos sin()sin ()()22x x x xf x f x ----===-∴函数cos sin 2x xy =为奇函数. 图象关于原点成中心对称，排除C ，D 选项. 又Q x ∈R 时cos [1,1]x ∈-∴cos 20x >当(0,)x π∈时sin 0x >，故0y >，排除B 选项.故选 A【点睛】本题考查函数图象问题，解决本题应从定义域，奇偶性，单调性，特殊值四个方面研究，属于较易题.8.倾斜角为α的直线l 经过抛物线C ：()220x py p =>的焦点F ，且与抛物线C 交于A ，B 两点（点A ，B 分别位于y 轴的左、右两侧），2BFAF=，则cos α的值是（ ） A.13B.12C.23D.22【答案】D 【解析】 【分析】设AF t =，则2BF t =，由抛物线的定义，得AC t =，2BD t =，进而可求BE 、AE ，最后由cos AE ABα=可求解.【详解】设AF t =，则2BF t = A 、B 两点到准线2py =-的距离分别为AC 、BD ， 由抛物线的定义可知：AC AF t ==，2BD BF t ==过A作AE BD⊥，垂足E.2BE BD DE BD AC t t t ∴=-=-=-=AE∴===cos cos33AEBAEAB tα=∠===.故选：D【点睛】本题考查了抛物线的定义，考查了转化思想，属于中档题.9.已知实数x，y满足(21x y=，则x与y的关系是（）A. 0x y== B. 0xy= C. 20x y+= D. 20x y+>【答案】C【解析】【分析】设a x=，2b y=+，则1ab=，对2a xb y⎧-=⎪⎨-=⎪⎩进行平方展开化简得222141a axb by⎧-=⎨-=⎩，代入1ab=得24a x bb y a-=⎧⎨-=⎩，两式相加即可.【详解】设a x=，2b y=，则1ab=且,0ab≠2a xb y⎧-=⎪∴⎨-=⎪⎩等式两边同时平方展开得：222222214441a ax x xb by y y⎧-+=+⎨-+=+⎩，即222141a axb by⎧-=⎨-=⎩令等式中1ab=，化简后可得：24a x bb y a-=⎧⎨-=⎩两式相加可得20x y+=故选：C【点睛】本题考查了代数式的计算化简求值，考查了换元法，属于中档题 10.如图，平面ABCD 与平面BCEF 所成的二面角是3π，PQ 是平面BCEF 内的一条动直线，4DBC π∠=，则直线BD 与PQ 所成角的正弦值的取值范围是（ ）A. 3,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. 6,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 23,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D. 2,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B 【解析】 【分析】假定ABCD 和BCEF 均为正方形，过D 作DG CE ^，可证DG ⊥平面BCEF ，进而可得直线BD 与平面BCEF 所成的角正弦值sin DBG ∠，即直线BD 与PQ 所成角的正弦值的最小值，当直线BD 与PQ 异面垂直时，所成角的正弦值最大.【详解】过D 作DG CE ^，垂足为G ，假定ABCD 和BCEF 均为正方形，且边长为1 则BC ⊥平面CDG ，故BC DG ⊥ 又BC CE C =I ，DG ∴⊥平面BCEF 故直线BD 在平面BCEF 内的射影为BG ，由已知可得cos32DG CD π=⋅=，则以直线BD 与平面BCEF 所成的角正弦值sin DG DBG BD ∠==，所以直线BD 与平面BCEF 内直线所成的角正弦值最小为4， 而直线BD 与PQ 所成角最大为90︒（异面垂直），即最大正弦值为1. 故选：B【点睛】本题考查了立体几何中线面角，面面角找法，考查了转化思想，属于难题.二、填空题：本大题共7小题，多空每小题6分，单空每小题4分，共36分.把正确答案填在答题卡中的横线上.11.双曲线22194x y -=的渐近线方程是______，离心率是______.【答案】 (1). 230x y ±= (2). 3【解析】【详解】由22194x y -=，可知：双曲线焦点在x 轴上，且3,2a b ==c ∴==所以，双曲线的渐近线方程是23b y x x a =±=±，即230x y ±=双曲线离心率是3c e a ==.故答案为：230x y ±= 【点睛】本题考查了双曲线的渐近线和离心率，属于基础题. 12.已知复数1z i =-，则z =______，2z =______.【答案】 (1). (2). 2i -【解析】 【分析】由复数的模和平方运算公式可求之. 【详解】由1z i =-，可得：z ==()2221122z i i i i =-=-+=-.；2i -【点睛】本题考查了复数模运算和平方运算，属于基础题.13.在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，23A π=，a =1b =，则sin B =______，c =______.【答案】(1). 12(2). 1 【解析】 【分析】由正弦定理sin sin a b A B=可得B ，再由余弦定理2222cos c a b ab C =+-可得c . 【详解】由正弦定理，得sin sin a bA B=1sin sin 3B =，解得1sin 2B =6B π∴=，则2=636C ππππ--= 由余弦定理，得22222cos 1211c a b ab C =+-=+-= 1c ∴=故答案为：12；1 【点睛】本题考查了正余弦定理解三角形，属于中档题.14.某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积是______3cm ；最长棱的长度是______cm .【答案】 (1). 3 (2). 22【解析】 【分析】由已知可得，该几何体是底面为上底1，下底2，高为3的直角梯形，高为2的四棱锥，问题得解. 【详解】由三视图可知，该几何体是底面为直角梯形的四棱锥，如下所示：则()1231123332A BCDE BCDE V S AD -+=⋅=⨯=梯形 最长边2222AC AD CD +=322【点睛】本题考查了立体几何三视图和锥体体积公式，考查了直观想象力，属于中档题.15.已知平面向量a r ，b r 满足3a b +=r r ，3a b -=r r ，则向量a r 与b r夹角的取值范围是______. 【答案】0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】由已知，得22222923a a b b a a b b +⋅⎧⎪⎨⎪+=-⋅+=⎩r r r r Lr r Lr r ②①，由+①②，得226a b +=r r ，由不等式可知3a b ≤r r ，再由-①②，得32a b ⋅=r r ，最后由cos ,a ba b a b⋅=r r r r r r 可得解. 【详解】由3a b +=r r，a b -=r r ，得()()2239b a a b⎧⎪⎨⎪-==+⎩r r r r ，即22222923a a b b a a b b +⋅⎧⎪⎨⎪+=-⋅+=⎩r r r r L r r L r r ②①由+①②，得226a b +=r r ，即226a b +=r r由-①②，得32a b ⋅=r r由222a b a b +≥r rr r ，得3a b ≤r r1cos ,2a b a b a b ⋅=≥r r r rr r所以，0,3a b π≤≤rr .故答案为：0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查了向量及其模的运算，考查了向量的夹角公式和基本不等式，考查了计算能力，属于中档题.16.已知,x y R ∈，区域Ω满足：221x y +≤，设()(),22,f x y ax by a b R =+-∈，若对区域Ω内的任意两点()11,x y ，()22,x y 都有()()1122,,0f x y f x y ⋅≥成立，则2a b +的取值范围是______.【答案】⎡⎣【解析】 【分析】由题意可知直线220+-=ax by 与圆221x y +=相切，由相切定义可得2244a b +=， 令2cos ,sin a b θθ==，由()2a b θϕ+=+可求其范围. 【详解】由题意可得：直线220+-=ax by 与圆221x y +=相切即1d ==，化简得：22224412a a b b ⎛⎫+=⇒+= ⎪⎝⎭， 令2cos ,sin a b θθ==()24cos sin a b θθθϕ+=++ ()1sin 1,2a b θϕ-≤+≤+≤Q故答案为：⎡⎣【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，考查了三角换元法，本题的关键在于题干条件的转化，由线性规划知识可知位于直线同一侧的点正负性相同，满足题目要求.属于难题. 17.函数()()24f x x a a R x =+-∈在区间[]1,6上的最大值为()M a ，则()M a 的最小值为______. 【答案】149【解析】 【分析】 令()[]241,6g x x a x x =+-∈，，由导函数()381g x x '=-得()g x 最小值为()23g a =-，且端点处函数值()()16g g <.再由()()26g g <时，()()6M a g =；()()26g g ≥时，()()2M a g =，可得()M a 表达式，问题可得解. 【详解】则()381g x x'=-，由()0g x ¢=得2x = 当[]1,2x ∈时()0g x ¢<，当[]2,6x ∈时()0g x ¢>所以()g x 在[]1,2上单调递减，在[]2,6上单调递增. 最小值为()23g a =-， 又()15g a =-，()5569g a =-，且()()16g g < ①当()()26g g <时，即5539a a -<-，解得419a <，()()5569a g a M =-=； ②当()()26g g ≥时，即由5539a a -≥-，得419a ≥， ()()23a g a M ==-. 综上，()5541,99413,9a a a M a a ⎧-<⎪⎪⎨⎪-≥⎩=⎪当419a <时，()M a 单调递减，当419a ≥时，()M a 单调递增， 所以当419a =时()M a 取最小值为4114()99M =. 故答案为：149【点睛】本题考查了通过导数分析函数的单调性和最值，考查了绝对值函数，还考查了分类讨论思想，属于难题.三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.已知函数()2cos 2cos 1f x x x x =-+.（Ⅰ）求6f π⎛⎫⎪⎝⎭的值及函数()f x 的最小正周期； （Ⅱ）当50,12x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的最大值.【答案】（Ⅰ）162f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，最小正周期为π；（Ⅱ）2. 【解析】 【分析】（Ⅰ）整理，得()2sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，由周期公式可得解； （Ⅱ）由已知可得22,663x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，问题得解.【详解】（Ⅰ）∵()2cos2f x x x =-2sin 26x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，∴12sin 26662f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴22T ππ==， （Ⅱ）由（Ⅰ）知，()2sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭， ∵50,12x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则22,663x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， ∴1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， ∴()f x 的最大值为2.【点睛】本题考查了辅助角公式和三角函数周期公式，考查了整体法求三角函数的值域，属于中档题. 19.如图，正方形ABCD 的边长为2，点E ，F 分别为AB ，BC 的中点，将ADE ∆，DCF ∆分别沿DE ，DF 折起，使A ，C 两点重合于点A '，连接A B '.（Ⅰ）求证：EF ⊥平面A BD '；（Ⅱ）求A E '与平面BEDF 所成角的余弦值. 【答案】（Ⅰ）详见解析；5【解析】 【分析】（Ⅰ）由已知易证A D '⊥平面A EF '，可得A D EF '⊥，又由EF BD ⊥可得证；（Ⅱ）法一：在A BD '∆内过点A '作A M BD '⊥于点M ，可证A EM '∠为所求线面角；法二：以点B 为坐标原点，建立空间直角坐标系，用空间向量方法求解.【详解】解：（Ⅰ）∵A D A E ''⊥，A D A F ''⊥，∴A D '⊥平面A EF '， 又EF ⊂平面A EF '，∴A D EF '⊥.由已知可得EF BD ⊥， ∴EF ⊥平面A BD '.（Ⅱ）法一：在A BD '∆内过点A '作A M BD '⊥于点M.由（Ⅰ）知平面A BD '⊥平面BEDF ，平面A BD 'I 平面BEDF BD =， 则A EM '∠即为A E '与平面BEDF 所成角. 设EF 与BD 交于点O ，连接A O '，则22A O BO '==，322DO =. 又A D '⊥平面A EF '，AO '⊂平面A EF '，A D A O ''⊥，在Rt A DM '∆，23A O A D A M OD ''⋅'==，53EM =.∴5cos EM A EM A E '∠=='，即A E '与平面BEDF 所成角的余弦值5. 法二：以点B 为坐标原点，如图建立空间直角坐标系.则()0,0,0B ，()0,1,0E ，()1,0,0F ，()2,2,0D ， 设(),,A x y z '，则()()()()222222222222'11'11'224A E x y z A F x y z A D x y z ⎧=+-+=⎪⎪=-++=⎨⎪=-+-+=⎪⎩，解得222,,333A ⎛⎫' ⎪⎝⎭，于是212,,333A E ⎛⎫'=-- ⎪⎝⎭u u u u r .又平面BEDF 的一个法向量为()0,0,1n =r，故2sin cos ,3A E n A E n A E n θ'⋅'==='u u u u r r u u u u r ru u uu r r . 因此，A E '与平面BEDF所成角的余弦值3【点睛】本题考查了线面垂直的证明和线面角的求法，考查了直观想象能力和数学计算能力，属于中档题. 20.已知函数()3232f x x ax a =-+，0a ≥. （Ⅰ）当2a =时，求函数()f x 在点()()1,1f 处的切线方程； （Ⅱ）当[]1,1x ∈-时，讨论函数()f x 的零点个数. 【答案】（Ⅰ）330x y +-=；（Ⅱ）分类讨论，详见解析. 【解析】 【分析】（Ⅰ）由已知得()236f x x x '=-，求得()13f '=-，()10f =，由点斜式方程可得解.（Ⅱ）由已知得()()2333f x x ax x x a '=-=-，分类讨论0a =，01a <<，1a =，1a >四种情况下()f x 的零点个数.【详解】解：（Ⅰ）∵2a =，∴()236f x x x '=-，∴()'13f =-，又()10f =， ∴切线方程为330x y +-=.（Ⅱ）∵()()2'333f x x ax x x a =-=-，当0a =时，()230f x x '=≥，即()f x 在[]1,1-上为增函数，∵()110f -=-<，()110f =>， ∴()f x 在[]1,1-上有一个零点. 当01a <<时，()()3f x x x a '=-，∵()11102f a -=--<，()32111022f a a a a a ⎛⎫=-=-> ⎪⎝⎭，∴()f x 在[]1,1-上有一个零点.当1a =时，在[)1,0-上()f x 为增函数，(]0,1上()f x 为减函数， ∵()3102f -=-<，()1102f =>，此时()f x 在[]1,1-上有一个零点. 当1a >时，易知在[)1,0-上()f x 为增函数，(]0,1上()f x 为减函数， ∵()10f -<，()00f >，又有()1112f a =-， 当()11102f a =->，即12a <<时，()f x 在[]1,1-上有一个零， 当2a ≥时，()f x 在[]1,1-上有两个零.综上所述，当02a ≤<时，函数()f x 在[]1,1-上有一个零； 当2a ≥时，函数()f x 在[]1,1-上有两个零点.【点睛】本题考查了用导数求过曲线上一点的切线方程和讨论函数零点个数问题，考查了分类讨论的思想，属于难题.21.在平面直角坐标系xOy 中，已知点1F ，2F 是椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点，且()13,0F -，椭圆C 上任意一点到1F ，2F 的距离之和为4.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线l 交椭圆C 于M ，N 两点，椭圆C 上存在点P 使得四边形OMPN 为平行四边形，求四边形OMPN 的面积.【答案】（Ⅰ）2214x y +=；. 【解析】 【分析】（Ⅰ）由已知可求出2a =，c =（Ⅱ）设()11,M x y ，()22,N x y ，()00,P x y ，l 的方程为y kx m =+，联立方程组2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()222148440k x kmx m +++-=，所以122814km x x k +=-+，21224414m x x k-=+，由已知得OP OM ON =+uu u r uuu r uuu r ，代入坐标运算得22414k m +=，由弦长公式可求出AB =，且O 到直线l的距离d =，再由OMPN S AB d =⋅Y 即可求解，最后还要考虑斜率不存在的情况.【详解】解：（Ⅰ）由()1F得c =242a a =⇒=，∴1b =，∴椭圆的标准方程为2214x y +=.（Ⅱ）当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y kx m =+，联立方程组2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩， 消去y ，化简为：()222148440kxkmx m +++-=，设()11,M x y ，()22,N x y ，()00,P x y ，由韦达定理得122814km x x k +=-+，21224414m x x k -=+，由>0∆得2241k m +>；四边形OMPN 为平行四边形得OP OM ON =+uu u r uuu r uuu r， ∴()01220121228142214km x x x k m y y y k x x m k ⎧=+=-⎪⎪+⎨⎪=+=++=⎪+⎩，代入椭圆方程化简得：22414k m +=适合()22410k m m +>≠；原点O 到直线l的距离d =B A ====，∴OMPN S AB d ==⋅Y ==当直线l 的斜率不存在时，由题意得直线l 必过长半轴的中点，不妨设其方程为1x =-，算出122OMPN S =⨯=Y 综上所述，平行四边形OMPN 的面积=【点睛】本题考查了椭圆的方程和直线与椭圆位置关系的综合应用，将平行四边形转化为向量坐标运算，实现形到数的转化，是本题的核心思想，属于难题.22.已知正项数列{}n a 满足：12a =，2111n n n a a a ++=-+，*n N ∈.（Ⅰ）求2a ；（Ⅱ）证明：()*11n n a a n N+>>∈；（Ⅲ）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，证明：n S n <+. 【答案】（Ⅰ）212a +=；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）详见解析. 【解析】 【分析】（Ⅰ）由题意，得21221a a a =-+，可求出2a ；（Ⅱ）由()1111n n n a a a ++-=-，得()1n a -与()11a -同号，可得1n a >，再由()2111n n n a a a ++-=-可得1n n a a +>，问题得证；（Ⅲ）令1n n b a =-，得211n n n b b b ++=-，10n n b b +>>当2n ≥时，由()()()2221122311=nnk n n k nb b b b b b b b b -=+-+-+<+-∑L可得n b <=<=可使问题得证.【详解】（Ⅰ）解：由题意，21221a a a =-+，解得2a =或2a =（舍去）. （Ⅱ）证明：因为()1111n n n a a a ++-=-，且0n a >， 所以()11n a +-与()1n a -同号，…，与()11a -也同号. 而110a ->，因此()*1n a n >∈N.又()2211112110n n n n n a a a a a ++++-=-+=->，所以1n n a a +>.综上，有11n n a a +>>成立.（Ⅲ）证明：令1n n b a =-，则10n n b b +>>，且11b =.由()1111n n n a a a ++-=-，得到211n n n b b b ++=-.于是当2n ≥时，()()()221122311nkn n k bb b b b b b b -==+-+-++-∑L 22n b =-<，又221nkn k bnb =>∑，因此22n nb <，即n b <考虑n b <=<=，故1nkk b=⎤<+++=⎦∑L即n S n -<当1n =时，121a =<+也成立.综上所述，n S n <+.【点睛】本题考查了数列递推式，数列求和，考查了放缩法证明不等式，考查了推理能力和计算能力，属于难题.。
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衢州市2017年6月高二年级教学质量检测试卷
数学
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. ）
A. 1 C. -3 D.
【答案】C
-3,所以选C.
点睛：本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其
其次要熟悉复数相关基本概念，如
的实部为、对应点为
2. ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
,选A.
点睛：充分、必要条件的三种判断方法．
1
2
定式的命题，一般运用等价法．
3
3. ）
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
【答案】C
的个数为选C.
4. 的中点，则异面直线）
【答案】C
【解析】设BD与AC交于O,则四边形DOB1E为平行四边形,因此异面直线设正
方体棱长为1
C.
5. 在等比数列中，若，则此数列的前5项之积等于（）
A. -15
B. 15
C. 243
D. -243
【答案】D
，选D.
6. ）
A. 9
B. 8
C. 7
D. 6
【答案】A
,时取等号选A.
点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.
7. 时，（）
D.
【答案】A
【解析】时，，所以当时，；得
A.
8. 设双曲线的下焦点为相切于点
，若()，则此双曲线的离心率为（）
D.
【答案】B
，由双曲线定义得，所以
，选B.
点睛：再根据
要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.
9. ）
【答案】A
为常数，设为a
，选A.
10. ）
A. 2
B. 4
C.
D.
【答案】D
），选D.
二、填空题（本大题共7小题，多空每小题6分，单空每小题4分，共36分．把正确答案填在答题卡中的横线上．）
11. __________．
(1). (2).
的最小正周期为 ,由
12. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为__________，表面积为__________．
【答案】(1). (2).
【解析】
13. 若抛物线，则__________；设是抛物线上的动点，，则
的最小值为__________．
【答案】(1). 2(2). 5
；设M,A在准线上的射影为M1，A1
点睛：1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理． 2
AB
若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到．
14.
与都是集合．
【答案】(1).
【解析】得，
15. 已知实数__________．
为可行域内一点，可行域如图，所以
点睛：线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.
16.
__________．
,而不等式
17. 在平面内，，若动点
__________．
【答案】2
ABC，以AC所在直线为x轴，AC中点为坐标原点建系，则，因此
三、解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
18.
（1的值域；
（2
【答案】（12）2
【解析】试题分析：（1）先利用二倍角公式、配角公式将函数化为基本三角函数形式
2B，再利用余弦定理得
，利用三角形面积公式得
试题解析：（1）∵
，∴的值域是
∴
19. 三棱锥中，的中点，且
（1
（2
【答案】（1）见解析（2
【解析】试题分析：（1）取
2）由线面角定义得
试题解析：（1
（2
所成的角
20. 已知函数
（1时，）求函数在处的切线方程；
（2
【答案】（12
【解析】试题分析：（1）由导数几何意义得切线斜率为，再根据点斜式可得切线方程；（2）先研究导函时，为正；当时，先正后负；当
定函数最值
试题解析：解：（1
，即
已知切点为
（2
时，在恒成立
单调递增
时，在
21. 已知椭圆的长轴长为点．
（1
（2
（3
【答案】（12）见解析（3
【解析】试题分析：（1）由椭圆几何意义得2）即证：
，直线方程为
简即证（3，再利用直线方程得
，利用换元可化为一元二次函数：，数对称轴与定义区间位置关系可得最值
试题解析：解：（12，∴椭圆的标准方程为．
（2，即证：
，代入椭圆方程得：
，所以
，则
（3
），所以的最大值为
点睛：解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决.
22.
（1
（2
（3，证明：
【答案】（1）见解析（2）见解析
试题解析：证明：（1
（2
时
；
（3
得证。