高二数学—期末考复习(6)2013年天河区高二上期末考试S
广东高二上学期期末数学试题(解析版)
一、单选题1．若集合，集合，则图中阴影部分表示（ ）{}1,2,3,4,5A =()(){}230B x x x =+-<A ．B ． {}3,4,5{}1,2,3C ．D ．{}1,4,5{}1,2【答案】A【分析】，阴影部分表示，计算得到答案. {}23B x x =-<<U A B ⋂ð【详解】，或. ()(){}{}23023B x x x x x =+-<=-<<{U 2B x x =≤-ð}3x ≥阴影部分表示. {}U 3,4,5A B = ð故选：A 2．复数的虚部为（ ） 2i1i+A B ．1 C D ．i 【答案】B【分析】利用复数的除法运算法则对原式化简成的形式，即可的虚部 i a b +【详解】因为()()()()()2i 1i 2i 1i 2i i 1i 1i 1i 1i 1i 2--===-=+++-所以虚部为1.故选：B3．经过点，且斜率为的直线方程是（ ） (1,2)2A ． B ．C ．D ．20x y -=20x y +=210x y -+=230x y +-=【答案】A【分析】根据点斜式方程求解即可.【详解】解：经过点，且斜率为的直线方程是，整理得. (1,2)2()221y x -=-20x y -=故选：A4．《将夜》中宁缺参加书院的数科考试，碰到了这样一道题目：那年春，夫子游桃山，一路摘花饮酒而行，始切一斤桃花，饮一壶酒，复切一斤桃花，又饮一壶酒，后夫子惜酒，故再切一斤桃花，只饮半壶酒，再切一斤桃花，饮半半壶酒，如是而行，终夫子切六斤桃花而醉卧桃山.问：夫子切了五斤桃花一共饮了几壶酒？（ ）A ．B ．C ．D ．1847162383116【答案】C【分析】分析数列特征，求前5项的和.【详解】由题意可知，数列前2项都是1，从第二项开始，构成公比为的等比数列，所以前5项12和为：. 11123112488++++=故选：C5．双曲线的一条渐近线方程为，则的离心率为（ ）2222:1(0,0)y x C a b a b -=>>0x =CA B C ．2 D【答案】C【分析】根据渐近线得到. a b =【详解】因为的一条渐近线方程为，所以 C 0x -=a b =所以的离心率.C 2e ==故选：C6．甲射击命中目标的概率是，乙命中目标的概率是，丙命中目标的概率是，现在三人同时141312射击目标，则目标被击中的概率为（ ） A ．B ．C ．D ．342345710【答案】A【分析】根据目标被击中的概率等于1减去甲､乙､丙三人都没有击中目标的概率求解即可. 【详解】因为目标被击中的概率等于1减去甲､乙､丙三人都没有击中目标的概率， 所以目标被击中的概率是，111311114324⎛⎫⎛⎫⎛⎫----= ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故选：.A7．如图所示，在正方体中，分别是的中点，有下列结论：①1111ABCD A B C D -,E F 11,AB BC ；②平面；③与所成角为；④平面，其中正确1EF BB ⊥EF ⊥11BCC B EF 1C D 45 //EF 1111D C B A 的序号是（ ）A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④【答案】B【分析】利用线面垂直可得线线垂直即可判断①；利用线面垂直可判断②；利用异面直线的夹角可判断③；利用线面平行的判定定理可判断④.【详解】连接，则交于，又因为为中点，1A B 1A B 1AB E F 1BC得，由平面，平面, 11//EF A C 1B B ⊥1111D C B A 11AC ⊂1111D C B A 得，得，故①正确；111B B A C ⊥1B B EF ⊥由平面，得平面，1111//,EF A C A C ⊥11BDD B EF ⊥11BDD B 而平面与平面不平行，所以平面错误， 11BDD B 11BCC B EF ⊥11BCC B 故②错误；因为与所成角就是，连接, EF 1C D 11A C D ∠1A D 则为等边三角形，11AC D A所以，故③错误； 1160AC D ∠=由分别是的中点，得，,E F 11,AB BC 11//EF A C 平面，平面，EF ⊄1111D C B A 11AC ⊂1111D C B A 得平面， //EF 1111D C B A 故④正确； 故选:B.8．血氧饱和度是血液中被氧结合的氧合血红蛋白的容量占全部可结合的血红蛋白容量的百分比，即血液中血氧的浓度，它是呼吸循环的重要生理参数．正常人体的血氧饱和度一般不低于95%，在95%以下为供氧不足．在环境模拟实验室的某段时间内，可以用指数模型：描述血氧饱()0e KtS t S =和度（单位：%）随给氧时间（单位：时）的变化规律，其中为初始血氧饱和度，为参()S t t 0S K 数．已知，给氧1小时后，血氧饱和度为70．若使得血氧饱和度达到正常值，则给氧时间060S =至少还需要（取，，，）（ ） ln6 1.79=ln7 1.95=ln12 2.48=ln19 2.94=A ．1.525小时 B ．1.675小时 C ．1.725小时 D ．1.875小时【答案】D【分析】根据已知条件列方程或不等式，化简求得正确答案. 【详解】由题意知：，，，， 60e 70K =60e 95Kt ≥70ln ln 7ln 660K ==-95ln ln19ln1260Kt ≥=-则，则给氧时间至少还需要小时.ln19ln12 2.94 2.482.875ln 7ln 6 1.95 1.79t --≥==-- 1.875故选：D二、多选题9．将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则下列关于()sin2f x x =4π()y g x =说法错误的是（ ）()g x A ．最大值为，图象关于直线对称12x π=B ．在上单调递减，为奇函数04π⎛⎫⎪⎝⎭，C ．在上单调递增，为偶函数388ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，D ．周期是，图象关于点对称 π308π⎛⎫⎪⎝⎭，【答案】BCD【分析】由题意化简得，为偶函数，可以判断选项B ，结合余弦函数的性质判断()cos 2g x x =()g x 选项A ，由于，，则不具有单调性，判断选项C ，388x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，3244x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，()g x，判断选项D. 308g π⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭【详解】将函数的图象向左平移个单位长度后，()sin2f x x =4π得到函数的图象，()sin 2cos 22y g x x x π⎛⎫==+= ⎪⎝⎭关于，显然它是偶函数，周期为，故B 不正确； ()g x 22ππ=由于当时，，为最小值，故的图象关于直线对称，2x π=()1g x =-()g x 2x π=结合余弦函数的性质可得，的最大值为，故A 正确；()g x 1由于当时，，不具有单调性，故C 错误；388x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，3244x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，()g x由于当时，，故的图象不关于点对称，故D 不正确． 38x π=()0g x =≠()g x 308π⎛⎫ ⎪⎝⎭，故选：BCD ．10．已知空间三点，设.则下列结论正确的是（ ）(2,0,2),(1,1,2),(3,0,4)A B C ---,a AB b AC ==A ．若，且，则3c = //C c B (2,1,2)c =-B ．和的夹角的余弦值a bC ．若与互相垂直，则的值为2；ka b +2ka b - k D ．若与轴垂直，则，应满足()()λμ++-a b a b z λμ0λμ-=【答案】BD【分析】利用空间向量的基本定理及坐标表示判断即可. 【详解】依题意，，，(1,1,0)a = (1,0,2)b =- (2,1,2)BC =--对于A ，因为，所以，又，//C c B(2,,2)c BC λλλλ==-- 3c = 3=解得，所以或，A 不正确；1λ=±(2,1,2)c =- (2,1,2)c =--对于B ，，B 正确；cos ,a b a b a b⋅<>===对于C ，因与互相垂直，则， ka b + 2ka b - ()()2222222100ka b ka b k a ka b b k k +⋅-=-⋅-=+-= 解得或，C 不正确；2k =52k =-对于D ，因为，轴的一个方向向量()()()()()0,1,22,1,22,,22a b a b λμλμμλμλμ++-=+-=+-z ，(0,0,1)n =依题意，即，D 正确； ((0,0,12,,22)220)μλμλμλμ=+-⋅-=0λμ-=故选：BD11．已知数列满足，，记数列的前项和为，则（ ） {}n a 13a =111n na a +=-{}n a n n S A ． B ． 232a =31312n n S S +-=-C ． D ．121n n n a a a ++=-1922S =【答案】CD【分析】根据递推公式求出、、，即可找到规律得到数列是以为周期的周期数列，即2a 3a 4a {}n a 3可判断A 、B 、D ，再根据递推公式表示出，即可得到，从而判断C. 2n a +12n n n a a a ++【详解】解：因为，， 13a =111n na a +=-所以，故A 错误； 221121133a a =-=-=，，所以数列是以为周期的周期数列， 3211111223a a =-=-=-4131111312a a a =-=-==-{}n a 3所以，故B 错误； 3133113n n n a S S a ++=-==因为，， 1111n n n na a a a +=-=-2111111111n n n n n n n n a a a a a a a a ++-==-=----=--所以，故C 正确； 121111n n n n n n n a a a a a a a ++-⋅--=⋅=-，故D 正确；()()191231819123192166332232S a a a a a a a a a ⎛⎫=+++++=+++=⨯+-+= ⎪⎝⎭ 故选：CD12．已知抛物线的焦点为为坐标原点，点在抛物线上，若，则2:4C x y =,F O ()00,M x y C 5MF =（ ）A ．的坐标为B ．F ()1,004y =C ．D ．以为直径的圆与轴相切OM =MF x 【答案】BCD【分析】由抛物线的方程求出焦点的坐标，可判断A 选项；利用抛物线的定义可求得的值，F 0y 可判断B 选项；先根据抛物线的方程求的值，再利用平面内两点间的距离公式可判断C 选项；0x 求出的中点坐标，进而可得该点到y 轴的距离，结合直线与圆的位置关系判断D 选项. MF 【详解】对于抛物线，可得，且焦点在y 轴正半轴上，则点错误； 2:4C x y =2,12pp ==()0,1,A F 由拋物线的定义可得，可得正确；015MF y =+=04,B y =由可知，，可得，C 正确；04y =2016x =04,x OM =±==∵的中点坐标为，则点到y 轴的距离，MF 52,2⎛⎫± ⎪⎝⎭52,2⎛⎫± ⎪⎝⎭5122d MF ==∴以为直径的圆与轴相切，D 正确. MF x 故选：BCD.三、填空题13．设等差数列的前项和为整数，若，则公差________. {}n a n ,n S n 132,12a S ==d =【答案】2【分析】根据等差数列的前项和公式求解即可. n 【详解】因为是等差数列, {}n a 所以， 31132333122S a d a d ⨯=+=+=又因为，所以. 12a =2d =故答案为:.214．已知直线被圆截得的弦长为2，则____ :l y x =()()()222:310C x y r r -+-=>r =【分析】由题意，利用点到直线的距离公式求得弦心距，根据弦长公式，可得答案. 【详解】由圆的方程，则其圆心为，()()22231x y r -+-=()3,1圆心到直线的距离，弦长的一半为1，d r ==15．《九章算术》第三章“衰分”中有如下问题:“今有甲持钱五百六十，乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关，关税百钱，欲以钱数多少衰出之，问各几何?”其意为:“今有甲带了560钱，乙带了350钱，丙带了180钱，三人一起出关，共需要交关税100钱，依照钱的多少按比例出钱”，则丙应出 ____________钱．（所得结果四舍五入，保留整数） 【答案】17【分析】利用分层抽样找到丙所带钱数占三人所带钱总数的比例即可. 【详解】依照钱的多少按比例出钱，则丙应出:钱.18056100=1617560+350+180109⨯≈故答案为：1716．已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，，是边长为2的正三角-P ABC O PA PB PC ==ABC A 形，若点分别是的中点，，则球的半径为___________. ,E F ,PA AB 90CEF ∠=︒O【分析】先判断得三棱锥为正三棱锥，从而利用线面垂直的判定定理依次证得平面-P ABC AC ⊥，平面，结合勾股定理证得正三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，由此将三PBG PB ⊥PAC -P ABC棱锥补形为正方体，利用的半径.-P ABC 2R O 【详解】由，是边长为2的正三角形，得三棱锥为正三棱锥， PA PB PC ==ABC A -P ABC 则顶点在底面的射影为底面三角形的中心，连接并延长，交于， P O BO AC G 则，又，，平面， AC BG ⊥PO AC ⊥PO BG O = ,PO BG ⊂PBG 所以平面，又平面，则， AC ⊥PBG PB ⊂PBG PB AC ⊥因为分别是的中点，所以， ,E F ,PA AB //EF PB 又，即，所以，90CEF ∠=︒EF CE ⊥PB CE ⊥又，平面，所以平面， AC CE C = ,AC CE ⊂PAC PB ⊥PAC 又平面，所以，,PA PC ⊂PAC ,PB PA PB PC ⊥⊥易知在中，，所以，则， Rt PAB A 222PA PB AB +=222PA PC AC +=PA PC ⊥又，所以，2AB =2222PA PB PC ===所以正三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，-P ABC 将三棱锥补形为正方体，则正方体外接球即为三棱锥的外接球， -P ABC其直径，则球的半径．2R =O R =.四、解答题17．我国某口罩生产企业在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量，该企业质检人员从所生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下六组：，得到如图所示的频率分布直方图.[)[)[)[]40,50,50,60,60,70,,90,100(1)求图中的值；m (2)利用样本估计总体的思想，估计该企业所生产的口罩的质量指标值的平均数.（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） 【答案】(1) 0.030m =(2)71【分析】(1)根据小矩形面积之和为1可计算得的值.(2)平均值为每组数据中的中点値乘以频率再m 相加即可.【详解】（1）由， ()100.0100.0150.0150.0250.0051m ⨯+++++=得.0.030m =（2）样本平均数， 450.1550.15650.15750.3850.25950.0571x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=故可以估计该企业所生产的口罩的质量指标值的平均数为71.18．已知公差不为0的等差数列的前项和为，、、成等差数列，且、、{}n a n n S 2S 4S 55S +2a 7a 成等比数列．22a (1)求的通项公式； {}n a (2)若，数列的前项和为，证明：． 11n n n b a a +={}n b n n T 16n T <【答案】(1) 21n a n =+(2)证明见解析【分析】（1）公式法列方程组解决即可；（2）运用裂项相消解决即可. 【详解】（1）由题知，设的公差为，由题意得，{}n a d 42527222250S S S a a a d =++⎧⎪=⎨⎪≠⎩即，解得，11121112(46)(2)(510)5(6)()(21)0a d a d a d a d a d a d d +=++++⎧⎪+=++⎨⎪≠⎩132a d =⎧⎨=⎩所以， 1(1)3(1)221n a a n d n n =+-=+-⨯=+所以的通项公式为. {}n a 21n a n =+（2）证明：由（1）得，21n a n =+所以， 111111(21)(23)22123n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪++++⎝⎭所以．1111111111123557212323236n T n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-=-< ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭19．在中，设角所对的边长分别为，且． ABC A ,,A B C ,,a b c 22cos c b a C =-(1)求角；A (2)若的面积的值． ABC A S =c =sin sin B C 【答案】(1)3A π=(2) 1sin sin 2B C =【分析】（1）由正弦定理边化角，或余弦定理角化边解决即可；（2）根据题意与面积公式求得 ，结合余弦定理得，由正弦定理得c =b =3a =，即可解决. 2sin a R A=()22sin sin bc R C B =【详解】（1）解法一：因为，22cos c b a C =-由正弦定理得：sin 2sin 2sin cos C B A C =-所以()sin 2sin 2sin cos 2sin cos 2cos sin 2sin cos 2cos sin C A C A C A C A C A C A C =+-=+-=因为，sin 0C ≠所以，即 2cos 1A =1cos 2A =因为， 0πA <<所以． π3A =解法二：因为，22cos c b a C =-由余弦定理得： 222222a b c c b a ab+-=-⋅整理得，即222bc b c a =+-222a b c bc =+-又由余弦定理得，2222cos a b c bc A =+-所以，即 2cos 1A =1cos 2A =因为， 0πA <<所以． π3A =（2）由（1）得， π3A =因为的面积， ABC A S =所以 11πsin sin 223bc A bc ==所以， 6bc =由于 c =所以，b =又由余弦定理：，2222cos 12369a b c bc A =+-=+-=所以．3a =所以 2sin a R A==所以由正弦定理得，()22sin sin 12sin sin 6bc R C B C B ===所以． 1sin sin 2B C =20．已知椭圆的右焦点，长半轴长与短半轴长的比值为2． 2222:1(0)x y C a b a b+=>>)F (1)求椭圆的标准方程； C (2)设为椭圆的上顶点，直线与椭圆相交于不同的两点，，若B C ():1l y x m m =+≠C M N ，求直线的方程． BM BN ⊥l 【答案】(1) 2214x y +=(2) 35y x =-【分析】（1）由条件写出关于的方程组，即可求椭圆方程；,,a b c （2）首先直线与椭圆方程联立，利用韦达定理表示，即可求参数.0BM BN ⋅= m【详解】（1）由题意得，，， c =2a b=222a b c =+，，2a ∴=1b =椭圆的标准方程为． ∴C 2214x y +=（2）依题意，知，设，．()0,1B ()11,M x y ()22,N x y 联立消去，可得． 2244y x m x y =+⎧⎨+=⎩y 2258440x mx m ++-=，即， ()2Δ1650m ∴=->m <<1m ≠，． 1285m x x -+=212445m x x -=，．BM BN ⊥ 0BM BN ∴⋅= ，()()()()211221212,1,121(1)0BM BN x x m x x m x x m x x m ⋅=+-⋅+-=+-++-= ， ()2244821(1)055m m m m --∴⨯+-+-=整理，得，25230m m --=解得或（舍去）． 35m =-1m =直线的方程为． ∴l 35y x =-21．如图所示的几何体是圆柱的一部分，它是由边长为2的正方形（及其内部）以边所ABCD AB 在直线为旋转轴顺时针旋转得到的，是的中点． 23πG A DF(1)求此几何体的体积；(2)设是上的一点，且，求的大小； P A CEAP BE ⊥CBP ∠(3)当，时，求二面角的大小．3AB =2AD =E AG C --【答案】(1) 83π(2)30CBP ∠= (3)．60【分析】(1)由题意可知该几何体为圆柱的三分之一，根据计算圆柱体积即可得出此几何体的体积；(2)利用线面垂直的判定定理可得平面，然后结合几何体的结构特征计算可得的大BE ⊥ABP CBP ∠小；(3)建立空间直角坐标系，用空间向量法即可求出二面角的余弦值，从而可得二面角的大E AG C --小.【详解】（1）此几何体的体积； 2182233V ππ=⋅⋅=（2）因为，，，平面，，AP BE ⊥AB BE ⊥AB AP ⊂ABP AB AP A =I 所以平面， 又平面， 所以，BE ⊥ABP BP ⊂ABP BE BP ⊥又，因此120EBC ∠= 30CBP ∠= （3）以为坐标原点，分别以所在的直线为轴，B ,,BE BP BA ,,x y z 建立如图所示的空间直角坐标系．由题意得，(0,0,3),(2,0,0),(A E G C -故，，，(2,0,3)AE =- AG = (2,0,3)CG =设是平面的一个法向量．111(,,)m x y z = AEG 由，得，取，则， 00m AE m AG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩11112300x z x -=⎧⎪⎨+=⎪⎩12z=113,x y ==得平面的一个法向量．AEG (3,m =设是平面的一个法向量．222(,,)n x y z = ACG 由，得，取，则， 00n AG n CG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩22220230x x z ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩22z =-113,x y ==得平面的一个法向量．ACG (3,2)n =- 所以． 1cos ,||||2m n m n m n ⋅<>==⋅ 因此二面角的大小为．E AG C --60 22．已知函数．()()21，f x x g x x ==-(1)若，使，求实数b 的范围；R x ∃∈()()f x b g x <⋅(2)设，且在上单调递增，求实数m 的范围．()()()21F x f x mg x m m =-+--()F x []0,1【答案】(1)()()04,∪,-∞+∞(2))102,∪,⎡⎤⎡-+∞⎣⎦⎣【分析】对于（1），，， R x ∃∈()()20R，f x b g x x x bx b <⋅⇔∃∈-+<即函数在x 轴下方有图像，据此可得答案；2y x bx b =-+对于（2），，分两种情况讨论得答案.()221F x x mx m =-+-00，∆≤∆>【详解】（1）由，，得. R x ∃∈()()f x b g x <⋅20R ，x x bx b ∃∈-+<则函数在x 轴下方有图像，2y x bx b =-+故，解得或，()240b b ∆=-->0b <4b >故实数b 的范围是； ()()04,∪,-∞+∞（2）由题设得， ()222251124m F x x mx m x m ⎛⎫=-+-=-+- ⎪⎝⎭得对称轴方程为，， 2m x =()2224154m m m ∆=--=-由于在上单调递增，则有：()F x []0,1①当即≤m 时，时，在上单调递增， 0∆≤x ∈R ()F x ,2m ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭则， 012,,m ⎡⎫⎡⎤⊆+∞⇒⎪⎢⎣⎦⎣⎭02m m ⎧≤⎪⎪⎨⎪≤≤⎪⎩0m ≤≤②当Δ＞0即的解为：m <m >()0F x =，则. 12x x ==0>12x x <当时，可知在上单调递增. x ∈R ()Fx )122,，,m x x ⎡⎤⎡+∞⎢⎥⎣⎣⎦i 若，则， m >02m >>[]1120,1,02m mx m ⎧≥⎪⎡⎤⊆⇒⎢⎥⎣⎦⎪>⎪⎩解得；2m ≥ii 若，m <0m <-<则，解得. [][)200,1,x m ∞⊆+⇒⎪<⎪⎩1m -≤<综上所述，实数m 的范围是.)102,∪,⎡⎤⎡-+∞⎣⎦⎣。
广东高二高中数学期末考试带答案解析
广东高二高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.若复数z满足，则z的虚部为A．B．C．D．2.若,则的解集为 ( )A．(0,)B．(-1,0)(2,)C．(2,)D．(-1,0)3.函数的最小正周期为A．B．C．D．4.已知某企业上半年前5个月产品广告投入与利润额统计如下：由此所得回归方程为，若6月份广告投入10（万元）估计所获利润为（）A．95.25万元 B．96.5万元 C．97万元 D．97.25万元5.某几何体是由直三棱柱与圆锥的组合体，其直观图和三视图如图所示，正视图为正方形，其中俯视图中椭圆的离心率为A．B．C．D．6.在区间[-3，3]上任取两数x，y，使成立的概率为A．B．C．D．7.在平面直角坐标系中，不等式表示的平面区域的面积是A．8B．4C．D．8.如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割成125个同样大小的小正方体。
经过搅拌后，从中随机取出一个小正方体，记它的涂油漆面数为，则的均值为A．B．C．D．9.如图所示，圆的直径，为圆周上一点，，过作圆的切线，则点到直线的距离__________.二、填空题1.．2.函数若不等式f（x）≥6的解集为（—∞，-2][4，+∞），则实数a的值为．3.二项式的展开式中的系数为．4.7颗颜色不同的珠子，可穿成种不同的珠子圈．5.已知：长方体，，为对角线的中点，过的直线与长方体表面交于两点，为长方体表面上的动点，则的取值范围是．6.极坐标系中，圆：的圆心到直线的距离是_______________.三、解答题1.为了研究玉米品种对产量的影响，某农科院对一块试验田种植的一批玉米共10000株的生长情况进行研究，现采用分层抽样方法抽取50株为样本，统计结果如下：3株之中既有圆粒玉米又有皱粒玉米的概率；(2)根据对玉米生长情况作出的统计，是否能在犯错误的概率不超过0.050的前提下认为玉米的圆粒与玉米的高茎有关？(下面的临界值表和公式可供参考)：，其中n=a+b+c+d 为样本容量.2.一个袋中装有大小相同的黑球和白球共9个，从中任取2个球，记随机变量为取出2球中白球的个数，已知．（Ⅰ）求袋中白球的个数；（Ⅱ）求随机变量的分布列及其数学期望．3.数列{a n }中，a n >0，a n ≠1，且(n ∈N*).(1)证明：a n ≠a n+1； (2)若，计算a 2，a 3，a 4的值，并求出数列{a n }的通项公式.4.如图，在四棱锥中，四边形是正方形，，，分别为的中点.（Ⅰ）求证:平面平面;（Ⅱ）求二面角的平面角的大小.5.已知椭圆：的左焦点，离心率为，函数，（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设，，过的直线交椭圆于两点，求的最小值，并求此时的的值．6.已知，函数（为自然对数的底数）.（Ⅰ）若，求函数的单调区间；（Ⅱ）若的最小值为，求的最小值．广东高二高中数学期末考试答案及解析一、选择题1.若复数z满足，则z的虚部为A．B．C．D．【答案】Ｄ【解析】由已知得，所以的虚部为；故选D．【考点】复数的运算及概念．2.若,则的解集为 ( )A．(0,)B．(-1,0)(2,)C．(2,)D．(-1,0)【答案】Ｃ【解析】由已知得，所以等价于，即的解集为(2,)；故选Ｃ．【考点】１．导数的运算；２．二次不等式组的解法．3.函数的最小正周期为A．B．C．D．【答案】Ｄ【解析】函数的最小正周期为，故选Ｄ．【考点】三角函数的性质．4.已知某企业上半年前5个月产品广告投入与利润额统计如下：由此所得回归方程为，若6月份广告投入10（万元）估计所获利润为（）A．95.25万元 B．96.5万元 C．97万元 D．97.25万元【答案】A【解析】∵点在回归直线上，计算得，∴回归方程过点（9.3，90）代入得90=7.5×9.3+a，∴a=20.25；从而回归方程为y=7.5x+20.25,令x=10,得y=7.5×10+20.25=95.25,故选A.【考点】回归分析．5.某几何体是由直三棱柱与圆锥的组合体，其直观图和三视图如图所示，正视图为正方形，其中俯视图中椭圆的离心率为A．B．C．D．【答案】C【解析】设正视图正方形的边长为m，根据正视图与俯视图的长相等，得到俯视图中椭圆的短轴长2b=m，俯视图的宽就是圆锥底面圆的直径，得到俯视图中椭圆的长轴长2a=，则椭圆的焦距，根据离心率公式得，；故选：C．【考点】１．三视图；２．椭圆的性质．6.在区间[-3，3]上任取两数x，y，使成立的概率为A．B．C．D．【答案】A【解析】由已知得所有基本事件构成的图形是不等式组所对应的平面区域，而使事件“成立”发生的事件构成的图形是由不等式组所确定的平面区域；如图：，则所求概率为，故选A．【考点】１．几何概率；２．定积分．7.在平面直角坐标系中，不等式表示的平面区域的面积是A．8B．4C．D．【答案】Ａ【解析】由|y-2|+|x+2|≤2得|y-2|≤2-|x+2|，若y≥2，则不等式等价为y-2≤2-|x+2|，即y≤4-|x+2|，若y＜2，则不等式等价为-（y-2）≤2-|x+2|，即y≥|x+2|，作出不等式组对应的平面区域如图：则对应的区域为正方形，其中C（-2，0），D（0，2），|CD|=，则正方形的面积；故选：A．【考点】简单线性规划．8.如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割成125个同样大小的小正方体。
广东省2013-2014学年第一学期高二(理)数期末综合复习
(共4页)1(第10题）D 1C 1B 1A 1DCBA广东省2013-2014学年第一学期高二（理）数期末综合复习一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．设甲是乙的充分不必要条件，乙是丙的充要条件，丁是丙的必要非充分条件，则甲是丁的（ ）。
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 2．下列命题中是真命题的是（ ）。
①“若x 2＋y 2≠0，则x ，y 不全为零”的否命题; ②“正多边形都相似”的逆命题; ③“若m>0，则x 2＋x －m=0有实根”的逆否命题;④“若x －123是有理数，则x 是无理数”的逆否命题.A 、①②③④B 、①③④C 、②③④D 、①④ 3．若椭圆的焦距长等于它的短轴长，则椭圆的离心率等于（ ）。
A ．21B ．2C ．22 D ．24．抛物线24x y =的焦点坐标为 （ ）。
A ．(1,0)-B ．(1,0)C ．(0,1)-D ．(0,1) 5.在△ABC 中，如果sin :sin :sin 2:3:4A B C =，那么cos C 等于（ ）。
2A.3 2B .-3 1C .-3 1D .-46.已知{}n a 是等差数列且2381148a a a a +++=,则57a a += ( ) 。
A ．12 B ．16 C ．20 D ．247.若a >b ，在①ba 11<；②a 3>b 3；③)1lg()1lg(22+>+b a ；④b a 22> 中正确的有（ ）。
A.1个B.2个C.3个D.4个8.不等式20(0)ax bx c a ++<≠的解集为R ，那么 （ ）。
A. 0,0a <∆<B. 0,0a <∆≤C. 0,0a >∆≥D. 0,0a >∆>9．已知空间坐标系中，)2.2,0(A ，)1,1,1(B ，B 是线段AC 的中点，则点C 的坐标为 （ ）。
广东省高二上学期期末数学试题(解析版)
一、单选题1．已知直线经过点和点，则直线的倾斜角为（ ） (3,1)A -()0,2B AB A ． B ．C ．D ．30︒60︒120︒135︒【答案】D【分析】设直线的倾斜角为，求出直线的斜率即得解. α【详解】设直线的倾斜角为， α由题得直线的斜率为， 21tan 13k α+===--因为， 0180α≤< 所以. 135α= 故选：D.2．若直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线与平面l ()2,2,4v =--- α()1,1,2n =l 的位置关系是（ ）αA ．垂直 B ．平行C ．相交但不垂直D ．平行或线在面内【答案】A【分析】根据得到与共线，即可得到直线与平面垂直.2n υ=-υ n l α【详解】因为，所以与共线，直线与平面垂直.2n υ=-υ n l α故选：A.3．疫情防控期间，某单位把120个口罩全部分给5个人，使每人所得口罩个数成等差数列，且较大的三份之和是较小的两份之和的3倍，则最小一份的口罩个数为（ ） A ．6 B ．10 C ．12 D ．14【答案】C【分析】利用等差数列前项和公式及等差数列通项公式联立方程组解出即可. n 【详解】设等差数列的首项为，公差为，由条件可知， {}n a 1a 0d > 51545120,2S a d ⨯=+=，()345123a a a a a ++=+即，()()113332a d a d +=+即，1122420a d a d +=⎧⎨-=⎩解得，112,6a d ==所以最小一份的口罩个数为12个， 故选：C ．4．双曲线的一条渐近线方程为（ ）2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>CA B ． 0y -=0x =C D ．0y -=0x =【答案】B【分析】根据离心率计算公式，即可容易求得结果.【详解】因为的离心率为，所以C e =b a =所以渐近线方程为. 0x =故选：B.5．在各棱长均相等的直三棱柱中，点M 在上，点N 在AC 上且111ABC A B C -1BB 12BM MB =，则异面直线与NB 所成角的正切值为（ ）2AN NC =1A MA B C D【答案】B【分析】建立空间直角坐标系，然后利用空间向量的方法求异面直线所成角即可. 【详解】设棱长为3，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，， ()10,0,3A 3,22M ⎫⎪⎪⎭3,02B ⎫⎪⎪⎭()0,2,0N ∴，．设异面直线与BN 所成角为，13,12A M ⎫=-⎪⎪⎭1,02BN ⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭ 1A M θ则∴∴异面直线与BN所成角的正切值为11cos A M BN A M BN θ⋅===⋅tanθ=1A M故选：B ．6．圆截直线：所得的弦长最短为（ ） 22(1)4x y -+=l (2)1y k x =-+A B ．1C D ．【答案】D【分析】先判断得点在圆C 内部，再结合图像与弦长公式得到当时，弦长取得最小值，M CM l ⊥由此得解.【详解】因为直线：恒过定点，又， l (2)1y k x =-+(2,1)M22(21)14-+<所以点在圆C ：内部，M 22(1)4x y -+=因为圆C ：的圆心为，半径，22(1)4x y -+=(1,0)C 2r =因为弦长为最大时，弦长最短，AB ==dAB 所以当时，最大，则弦长最短， CM l ⊥d CM =AB=所以.min AB =故选：D..7．双曲线方程，，为其左、右焦点，过右焦点的直线与双曲线右支交于点A 和22221x y a b-=1F 2F 2F 点B ，以为直径的圆恰好经过A 点，且，则该双曲线的离心率为（ ） 1BF 134AF AB =A B C D【答案】C【分析】由几何关系及双曲线的定义列方程即可求得离心率. 【详解】如图：由题可知，由， 190BAF ∠=︒134AF AB =可设，则， 13AF x =4AB x =15BF x =设，则 2AF y =24BF x y =-因为A 、B 都在双曲线上， 所以 12122AF AF BF BF a -=-=即 ()3542x y x x y a -=--=解得，x y a ==又， 122F F c ===所以， c x =则离心率．c e a ==故选：C ．8．数列满足：，，记数列的前项和为，若恒成{}n a 12a =()*1111n nn aa +-=∈N {}1n n a a +⋅n n S n S m <立，则实数的取值范围是（ ） m A ． B ．C ．D ．[1,)+∞3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭[2,)+∞5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】C【分析】由条件求出数列的通项公式，再求数列的前项和为及其范围，再由条件{}n a {}1n n a a +⋅n n S 恒成立求的取值范围.n S m <m 【详解】因为，，所以数列为首项为，公差为1的等差数列，所()*1111n nn a a +-=∈N 12a =1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭12以，所以， ()11211122n n n a -=+-⨯=()()1411221212121n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪⋅-+-+⎝⎭所以数列的前项和为，{}1n n a a +⋅n 1111121223352121n S n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以，又，所以，12121n S n ⎛⎫- ⎪+⎝⎭=N n *∈2n S <因为恒成立，所以， n S m <2m ≥故实数的取值范围是， m [2,)+∞故选：C.二、多选题9．已知空间向量，则下列结论正确的是（ ）()()2,1,1,3,4,5a b =--=A ．B ()2//a b a +C ．D ．在上的投影数量为()54a a b ⊥+a b 【答案】BD【分析】根据向量坐标运算，验证向量的平行垂直，向量的模，向量的投影即可解决.【详解】由题得，而，故A 不正确； ()()21,2,7,2,1,1a b a +=-=--127211-≠≠--因为B 正确；|||a b ==因为，故C 错； ()()()542,1,12,11,25100a a b ⋅+=--=≠A因为在上的投影数量为D 正确； a b cos ,a b a a b b ⋅=== 故选：BD.10．已知圆上有且仅有三个点到直线的距离为1，则直线的方程可以是（ ） 224x y +=l lA ．B ．C ．D ．10x y -+=70x y -+=0x y -+==1x -【答案】BCD【分析】将圆上有且仅有三个点到直线的距离为1，转化为圆心到直线的距离，224x y +=l l 1d =根据圆心到直线距离公式计算即可.【详解】由题知，圆，圆心为，半径为， 224x y +=(0,0)O 2r =因为圆上有且仅有三个点到直线的距离为1， 224x y +=l 所以圆心到直线的距离，l 1d =对于A ，圆心为到直线的距离A 错误； (0,0)O 10x y -+=d ==对于B ，圆心为到直线的距离，故B 正确；(0,0)O 70x y -+=1d对于C ，圆心为到直线的距离，故C 正确；(0,0)O 0x y -=1d 对于D ，圆心为到直线的距离，故D 正确； (0,0)O =1x -0(1)1d =--=故选：BCD11．如图，已知正方体的棱长为2，E ，F ，G 分别为AD ，AB ，的中点，以下1111ABCD A B C D -11B C 说法正确的是（ ）A ．三棱锥的体积为1B ．平面EFGC EFG -1A C ⊥C ．平面EFGD ．平面EGF 与平面ABCD11//A D 【答案】AB【分析】根据锥体体积公式求得三棱锥的体积.建立空间直角坐标系，利用向量法判断C EFG -BCD 选项的正确性.【详解】A 选项，，111132211121241122222CEF S =⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=---=A 所以，A 选项正确.132132C EFG G CEF V V --==⨯⨯=建立如图所示空间直角坐标系，，()()()()()()112,0,2,0,2,0,0,0,2,1,0,0,2,1,0,1,2,2A C D E F G ,()()()()1112,2,2,2,0,0,1,1,0,0,2,2A C A D EF EG =--=-==，所以， 110,0AC EG AC EF ⋅=⋅= 11,A C EG A C EF ⊥⊥由于平面，所以平面，B 选项正确.,,EG EF E EG EF ⋂=⊂FEG 1A C ⊥EFG 平面的一个法向量为，EFG ()12,2,2A C =--，所以与平面不平行，C 选项错误. 11140A D AC ⋅=≠ 11A D EFG 平面的法向量为，ABCD ()0,0,1n =设平面于平面的夹角为，EFG ABCD θ则，D 选项错误. cosθ=故选：AB12．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，此定理讲的是关于整除的问题.现将1到1000这1000个数中能被2除余1且被7除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，其前n 项和为，则{}n a n S （ ） A ． B ． 10814a a -=10127a =C ． D ．共有72项10640S ={}n a 【答案】BCD【分析】先求得数列的通项公式，进而求得的值判断选项A ；求得{}n a 1413(72)n a n n =-≤108a a -的值判断选项B ；求得的值判断选项C ；求得的项数判断选项D.10a 10S {}n a 【详解】将1到1000这1000个数中能被2除余1且被7除余1的数按 从小到大的顺序排成一列，构成首项为1末项为995公差为14的等差数列 则数列的通项公式为 {}n a 114(1)1413(72)n a n n n =+-=-≤则数列共有72项.故选项D 判断正确；{}n a .故选项A 判断错误； 10821428a a -=⨯=.故选项B 判断正确； 10141013127a =⨯-=.故选项C 判断正确.10110(1127)6402S =⨯⨯+=故选：BCD三、填空题13．若直线：与：平行，则的值为_____________． 2l 330kx y ++=1l (4)10x k y +-+=k 【答案】1【分析】根据两直线平行的条件列出方程，解之并进行检验，排除重合的情况即可求解. 【详解】由已知得，，即，解得或． ()1340k k ⨯--=2430k k -+=1k =3k =当时，，，显然两直线平行；1k =1:310++=l x y 2:330l x y ++=当时，，化简后，显然两直线重合，舍去． 3k =1:10l x y ++=2:10l x y ++=所以． 1k =故答案为：.114．经过原点的平面的一个法向量为，点坐标为，则点到平面的距离为α(3,1,2)n =A (0,1,0)A α______.【分析】使用空间向量法求点到平面的距离,点到平面的距离可视为在上的投影A αOA (3,1,2)n =大小.【详解】设坐标原点为,则,点到平面的距离可视为在上的投影大小, O (0,1,0)OA = A αOA (3,1,2)n =故d =15．已知直线，若是抛物线上的动点，则点到直线和它到轴的距离:4380l x y -+=P 24y x =P l y 之和的最小值为______ 【答案】75【分析】首先利用抛物线的定义，将抛物线上的点到y 轴的距离转化为其到抛物线的焦点的距离减1，从而将其转化为求抛物线的焦点到直线的距离减1，从而求得结果.4380x y -+=【详解】， ()()127111155F l PA PB PH PB PF PB d ≥→+=-+=+--=-=故答案是：. 75【点睛】该题考查的是有关抛物线上的点到两条定直线的距离之和的最小值问题，涉及到的知识点有抛物线的定义，利用抛物线的定义将距离转化为抛物线上的点到焦点的距离和到定直线的距离之和的最小值问题，属于简单题目.16．我国古代数学著作《孙子算经》中有一道题: “今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩二，七七数之剩二，问物几何?”根据这一数学思想，所有被 3除余 2的正整数按从小到大的顺序排列组成数列，所有被 5 除余 2的正整数按从小到大的顺序排列组成数列，把数列{}n a {}n b {}n a 与的公共项按从小到大的顺序排列组成数列， 则数列的第10项是数列的第{}n b {}n c {}n c {}n b ______项.【答案】28【分析】根据给定的条件，求出数列，的通项公式，再推导出数列的通项即可计算作{}n a {}n b {}n c 答.【详解】依题意，数列，的通项公式分别为，令，{}n a {}n b 31,53n n a n b n =-=-,,N k m a b k m *=∈即有，则，因此，即，有3153k m -=-522233m m k m -+==-23,N m p p *+=∈32,N m p p *=-∈，32p p c b -=于是得数列的通项为，，由得：， {}n c 325(32)31513n n c b n n -==--=-10137c =53137n -=28n =所以数列的第10项是数列的第28项. {}n c {}n b 故答案为：28四、解答题17．在等差数列中，． {}n a 162712,16a a a a +=+=(1)求等差数列的通项公式；{}n a (2)设数列是首项为1，公比为2的等比数列，求数列的前项和． {}2n n a b +{}n b n n S 【答案】(1)； 21n a n =-(2). 2221n n --【分析】（1）根据等差数列的通项公式列出方程组求解即可；（2）设数列的通项公式为，由等比数列公式求出可得， {}2n n a b +n c n c n b 再由分组求和得解.【详解】（1）设等差数列的公差为，{}n a d 由题知，则，解得 16271216a a a a +=⎧⎨+=⎩1125122716a d a d +=⎧⎨+=⎩11,2.a d =⎧⎨=⎩．()12121n a n n ∴=+-=-（2）设数列的通项公式为，{}2n n a b +n c 则，122n n n n c a b -=+=，()122221n n n n b c a n -∴=-=--则 ()()11242213521n n S n -=++++-++++- ． ()2121122221122nn n n n +--=-⋅=---18．已知点，圆. (),1P t t --()22:34C x y -+=(1)判断点与圆的位置关系，并说明理由；P C (2)当时，经过点的直线与圆相切，求直线的方程.5t =P n C n 【答案】(1)点在圆外，理由见解析；P C (2)或.5x =4320x y +-=【分析】（1）求出与半径比较，即可得出；PC r （2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，满足条件；当直线的斜率存在时，设直n n 5x =n 线的方程为，根据圆心到直线的距离列出方程，求解即可得到的值，进而n ()65y k x +=-d r =k 解出切线方程.【详解】（1）点在圆外.P C 由已知得，圆心，半径.()3,0C 2r =， ==2r ≥>=所以，点在圆外.P C （2）当时，点.5t =()5,6P -①当直线的斜率不存在时，直线的方程为，圆心到直线的距离为2等于半径，所n n 5x =()3,0C 以直线是圆的切线；5x =②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，n n ()65y k x +=-560kx y k ---=圆心到直线的距离，解得， ()3,0C n 2d 43k =-所以直线的方程为，即. n ()4653y x +=--4320x y +-=综上，直线方程为或.n 5x =4320x y +-=19．如图，在四棱锥中，⊥平面，正方形的边长为，，设为P ABCD -PA ABCD ABCD 24PA =E 侧棱的中点.PC(1)求四棱锥的体积；E ABCD -V (2)求直线与平面所成角的大小.BE PCD θ【答案】(1)； 83(2) 【分析】（1）利用锥体的体积公式即得；（2）利用坐标法，根据线面角的向量求法即得.【详解】（1）在四棱锥中，⊥平面，正方形的边长为2，，为P ABCD -PA ABCD ABCD 4PA =E 侧棱的中，PC 所以，点到平面为高， E ABCD 122h PA ==又因为，4ABCD S =正方形所以，四棱锥的体积； E ABCD -11842333ABCD V S h =⋅=⨯⨯=正方形（2）如图，以为原点，建立空间直角坐标系，A则，，，，，()2,0,0B ()2,2,0C ()0,0,4P ()1,1,2E ()0,2,0D 所以，，，()1,1,2BE =- ()0,2,4DP =- ()2,0,0DC =u u u r设平面的法向量，则， PCD (),,n x y z = 24020n DP y z n DC x ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩取，得，2y =()0,2,1n =因为直线与平面所成角为，BE PCD θ，sin BE n BE n θ⋅∴===⋅θ∴=因此，直线与平面所成角为.BE PCD 20．已知数列的前n 项和为，，且．{}n a n S 11a =()*121,2n n S S n n -=+∈≥N (1)求的通项公式；{}n a (2)设，求数列的前n 项和．n n b na ={}n b n T 【答案】(1)12n n a -=(2)(1)21n n T n =-⨯+【分析】（1）根据作差可得，再求出，即可得到，从而得到是11n n n a S S ++=-12n n a a +=2a 212a a ={}n a 以为首项，为公比的等比数列，即可得到其通项公式；12（2）由（1）可得，利用错位相减法求和即可；12n n b n -=⋅【详解】（1）解：因为①， ()*121,2n n S S n n -=+∈≥N 所以②，121n n S S +=+②①得即，-()112121n n n n S S S S +---=++12n n a a +=所以，3542342a a a a a a ===⋯=又当时，，又，所以，所以， 2n =2121S S =+11a =22a =212a a =所以，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，*12(N )n na n a +=∈{}n a 12所以．12n n a -=（2）解：由（1）可得，12n n n b na n -==⋅所以， 012321112223242(1)()22n n n T n n --=⨯+⨯+⨯+⨯+⋯+-⨯+⨯则12341212223242(1)22n n n T n n -=⨯+⨯+⨯+⨯+⋯+-⨯+⨯两式相减得， 012311222222221(1)212n n nn n n T n n n ---=++++⋯+-⨯=-⨯=---⨯-所以， (1)21n n T n =-⨯+21．如图，已知四棱锥的底面为直角梯形，平面平面P ABCD -PAD ⊥,,ABCD AD BC AD CD ⊥∥，且的中点分别是．请用空间向量知识解答下列224,,AD BC CD PA PD AD AB =====,O G 问题：(1)求证：平面；OG ⊥POC (2)求二面角的余弦值．D PG O --【答案】(1)证明见解析；.【分析】（1）先证明两两相互垂直，再建立空间直角坐标系，向量法证明,,OB OD OP ，再由线面垂直的判定定理得证；,OG OC OG OP ⊥⊥（2）利用向量法求出二面角的余弦值即可.【详解】（1）连接，由，知四边形是平行四边形，OB //OD BC =OD BC OBCD 又，所以，AD CD ⊥OB AD ⊥因为，是的中点，所以，PA PD =O AD PO AD ⊥又平面平面，是两平面交线，平面，PAD ⊥ABCD AD PO ⊂PAD 所以平面，PO ⊥ABCD 因为平面，所以，OB ⊂ABCD PO OB ⊥即两两相互垂直，,,OB OD OP 以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的∴O ,,OB OD OP ,,x y z 空间直角坐标系，，2OP ∴===则．()()()()()0,0,0,1,1,0,2,2,0,0,0,2,0,2,0O G C P D -，()()()1,1,0,2,2,0,0,0,2OG OC OP ∴=-== ， ()()()()1,1,02,2,00,1,1,00,0,20OG OC OG OP ⋅=-⋅=⋅=-⋅= ，,OG OC OG OP ∴⊥⊥又，平面，OC OP O = ,OC OP ⊂POC 平面．OG ∴⊥POC （2）由（1）知，又平面，平面， OG OC ⊥PO ⊥ABCD OC ⊂ABCD 所以，由，平面，PO OC ⊥OG PO O = ,OG OP ⊂OPG 所以平面，OC ⊥OPG 故平面的一个法向量为，OPG ()2,2,0m = 因为．()()1,3,0,1,1,2DG PG =-=-- 设平面的一个法向量为，DPG (),,n x y z = 则即取，解得 0,0,n DG n PG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 30,20,x y x y z -=⎧⎨--=⎩1y =3,1,1.x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩故平面的法向量为，DPG ()3,1,1n = 设二面角的大小为，由图可知为锐角，D PG O --θθ．cos cos ,m n m n m nθ⋅∴==== 故二面角D PG O --22．已知双曲线：的焦距为4，且过点 Γ2222=1(0,0)a x y ab b ->>P ⎛ ⎝(1)求双曲线的方程；Γ(2)过双曲线的左焦点分别作斜率为的两直线与，直线交双曲线于两点，直线ΓF 12,k k 1l 2l 1l Γ,A B 交双曲线于两点，设分别为与的中点，若，试求与2l Γ,C D ,M N AB CD 121k k -⋅=OMN A FMN △的面积之比.【答案】(1) 2213x y -=(2)3【分析】（1）由题意得，再将代入双曲线方程，结合可求出，从24c=P ⎛ ⎝222c a b =+22,a b 而可求出双曲线方程，（2）设直线方程为，，将直线方入双曲线方程化简后利用根与系数1l 1(2)y k x =+1122(,),(,)A x y B x y 的关系，结合中点坐标公式可表示点的坐标，再利用表示出点的坐标，再表示出直M 121k k -⋅=N 线的方程，可求得直线过定点，从而可求得答案.MN MN (3,0)E -【详解】（1）由题意得，得，24c ==2c 所以，224a b +=因为点在双曲线上，P ⎛ ⎝所以， 22413=1a b -解得，223,1a b ==所以双曲线方程为， 2213x y -=（2），设直线方程为，， (2,0)F -1l 1(2)y k x =+1122(,),(,)A x y B x y 由，得 122=(+2)=13y k x x y -⎧⎪⎨⎪⎩2222111(13)121230k x k x k ----=则， 22111212221112123,1313k k x x x x k k --+==--所以， 2121216213x x k k +=-所以的中点， AB 211221162,1313k k M k k ⎛⎫ ⎪--⎝⎭因为，121k k -⋅=所以用代换，得， 11k -1k 1221126,33k N k k ⎛⎫- ⎪--⎝⎭当，即时，直线的方程为，过点， 212211661313k k k =--11k =±MN 3x =-(3,0)E -当时，， 11k ≠±112211122112211221332663(1)133MNk k k k k k k k k k ----==-----直线的方程为， MN 2111222111226133(1)13k k k y x k k k ⎛⎫-=-- ⎪---⎝⎭令，得， =0y 221122113(1)631313k k x k k -=+=---所以直线也过定点， MN (3,0)E -所以 12312N M OMNFMN M N y y OE OE S S FE y y FE -===-A A。
广东高二上学期期末数学试题(解析版)
高二数学试题全卷满分150分，时间120分钟.注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名､准考证号､座位号､学校､班级等考生信息填写在答题卡上.2.作答单项及多项选择题时，选出每个小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效.3.非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效.一､单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分.1.过点且平行于直线的直线方程为（） ()1,3P -230x y -+=A. B. 210x y +-=250x y +-=C. D.250x y +-=270x y -+=2.已知是等差数列，且是和的等差中项，则的公差为（） {}n a 21a +1a 4a {}n a A.1B. C.2D.2-1-3.棱长为1的正四面体中，则等于（）ABCD AD BC ⋅A.0B. C. D.121414-4.已知椭圆的一个焦点为，且过点，则椭圆的标准方程为（）C ()1,0(C A. B. 22123x y +=22143x y +=C. D. 22132x y +=22134x y +=5.已知空间向量，则向量在坐标平面上的投影向量是（）()2,1,3a =- axOy A. B. C. D.()0,2,1()0,1,3-()2,1,0()2,0,3-6.直线与圆交于两点，则当弦最短时:210l mx y m +--=22:(2)4C x y +-=,A B AB 直线的方程为（）l A. B. 430x y -+=2430x y --=C. D.2410x y ++=2430x y -+=7.已知直线的方程是的方程是，则下列图形中，1l 2,y ax b l =+()0,y bx a ab a b =-≠≠正确的是（）A. B.C. D.8.在数列中，若（为常数），则称为“等方差数{}n a 221,n n a a p --=*2,,n n N p ≥∈{}n a 列”，下列是对“等方差数列”的判断：①若是等方差数列，则是等差数列；{}n a {}2n a ②不是等方差数列；{}(1)n-③若是等方差数列，则（为常数）也是等方差数列； {}n a {}kn a *,k k ∈N ④若既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列. {}n a 其中正确命题序号为（）A.①③B.②④C.①③D.①④二､多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.9.已知数列的前项和为，则下列说法不正确的是（）{}n a n 2,5n n S S n n =-A.为等差数列B.{}n a 0n a >C.最小值为 D.为单调递增数列 n S 254-{}n a 10.已知空间中，则下列结论正确的有（） ()()2,1,0,1,2,1AB AC ==-A. B.与共线的单位向量是 AB AC ⊥ AB()1,1,0C. D.平面的一个法向量是BC =ABC ()1,2,5-11.已知曲线，则下列判断正确的是（）22:1x y C a b-=A.若，则是圆，其半径为0a b =->C aB.若，则是双曲线，其渐近线方程为 0ab >C y =C.若，则是椭圆，其焦点在轴上 0a b -<<C xD.若，则是两条直线1a b ==C 12.2022年4月16日9时56分，神舟十三号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的座舱，返回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半椭圆组成的“曲圆”.如图在平面直角坐标系中半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的焦点，椭圆的短轴与半圆的直()0,2F 径重合，下半圆与轴交于点.若过原点的直线与上半椭圆交于点，与下半圆交于y G O A 点，则（）BA.椭圆的长轴长为B.的周长为AFG A 4+C.线段长度的取值范围是AB 4,2⎡+⎣D.面积的最大值是ABF A 三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.抛物线的焦点坐标为__________.28y x =14.已知双曲线经过点，则离心率为__________.22:1y C x m-=)215.已知圆上有且仅有3个点到直线的距离等于1，请写出满足上述条件的一224x y +=l 条直线方程__________.（写出一个正确答案即可）l 16.空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方xOy ()000,,P x y z (),,n a b c =α程为，过点且方向向量为()()()0000a x x b y y c z z -+-+-=()000,,P x y z 的直线的方程为，阅读上面材料，并解()(),,0n u v w uvw =≠ l 000x x y y z z u v w---==决下面问题：已知平面的方程为，直线是两个平面与α10x y z -++=l 20x y -+=的交线，则直线与平面所成角的正弦值为__________.210x z -+=l α四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）已知数列满足.{}n a *111,2,n n a a a n n +==+∈N （1）求数列的通项公式；{}n a （2）设，求数列的前项和.2n n b a n =-{}n b n n S 18.（本小题满分12分）如图，在棱长为2的正方体中，分别是的中点.1111ABCD A B C D -,,E F G 11,,DD BD BB（1）求证：；EF CF ⊥（2）求与所成角的余弦值. EF CG 19.（本小题满分12分）已知为平面内的一个动点，且满足()()1,0,1,0,A B C -AC =（1）求点的轨迹方程；C （2）若直线，求直线被曲线截得的线段长度. :10l x y +-=l C 20.（本小题满分12分）已知抛物线经过点是抛物线上异于点的不同的两点，其中2:2C y px =()2,2,P A B ､C O 为原点.O （1）求抛物线的方程；C （2）若，求面积的最小值. OA OB ⊥AOB A 21.（本小题满分12分）如图，在多面体中，四边形是菱形，，，ABCDEF ABCD //EF AC 1EF =60ABC ∠=︒，平面，，是的中点.CE ⊥ABCD CE ==2CD G DE（1）求证：平面平面；ACG //BEF （2）求直线与平面所成的角的正弦值. AD ABF 22.（本小题满分12分）已知双曲线的右焦点为为坐标原点，双曲线的两条2222:1(0)x y C a b a b -=>>()2,0,F O C 渐近线的夹角为.3π（1）求双曲线的方程；C （2）过点作直线交于两点，在轴上是否存在定点，使为定F l C ,P Q x M MP MQ ⋅值？若存在，求出定点的坐标及这个定值；若不存在，说明理由.M惠州市2022-2023学年第一学期期末质量检测高二数学参考答案与评分细则一､单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案DCABCDAA1.【解析】设直线的方程为，把点坐标代入直线方程得()203x y c c -+=≠()1,3P -，所以所求的直线方程为.160c --+=7c ∴=270x y -+=2.【解析】设等差数列的公差为.由已知条件，得，即{}n a d ()14221a a a +=+，解得.()()111321a a d a d ++=++2d =3.【解析】由题意以作为基底，， ,,AB AC AD BC AC AB =-则()0AD BC AD AC AB AD AC AD AB ⋅=⋅-=⋅-⋅=4.【解析】椭圆的焦点在轴上，故设其方程为：，显然x 22221(0)x ya b a b+=>>，故椭圆方程为.1,c b ==2224a b c =+=22143x y +=5.【解析】由题意可知，向量在坐标平面上的投影向量是.axOy ()2,1,06.【解析】由，则令，解得()210,2110mx y m x m y +--=-+-=21010x y -=⎧⎨-=⎩121x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩故直线过定点，由，则圆心，半径，当l 1,12P ⎛⎫⎪⎝⎭22(2)4x y +-=()0,2C 2r =时，弦最短，直线的斜率，则直线的斜率，AB CP ⊥AB CP 12212CP k -==-l 12AB k =故直线为，则.l 11122y x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭2430x y -+=7.【解析】逐一判定即可.对于A ，由的图象知，由的图象知，故A 正确； 1l 0,0a b <>2l 0,0a b <>对于B ，由的图象知，由的图象知，矛盾，故B 错误； 1l 0,0a b <>2l 0,0a b <<对于，由的图象知，由的图象知，矛盾，故错误； C 1l 0,0a b ><2l 0,0a b <>C 对于D ，由的图象知，由的图象知，矛盾，故错误.1l 0,0a b >>2l 0,0a b <<D 8.【解析】①是等方差数列，（为常数）得到为首项是，公{}n a 221n n a a p --=p {}2n a 21a 差为的等差数列；故①正确 p ②数列中，，所以是等方差数列；{}(1)n-222211(1)(1)0n n nn aa --⎡⎤⎡⎤-=---=⎣⎦⎣⎦{}(1)n -故②不正确③数列中的项列举出来是数列中的项列举：{}n a 122,,..,,..,k k a a a a ⋯⋯⋯{}2kn a23,,k k k a a a ⋯⋯ ()()222222121221k k k k k k a a a a a a p +++--=-=⋯=-=()()()222222121221k k k k k k a a a a a a kp +++-∴-+-+⋯+-=，即数列是等方差数列，故③正确；()221kn k n a a kp +∴-={}kn a ④数列是等差数列，数列是等方差数列，{}n a ()112.n n a a d n -∴-=≥ {}n a ，当时，为常数()22122n n a a d n -∴-=≥()121,n n a a d d -∴+=∴10d ≠12122n d d a d =+列；当，数列为常数列.则该数列必为常数列，故④正确.10d ={}n a {}n a 正确命题的是①③④，故A 正确.∴二､多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.题号 9 10 11 12 全部正确选项BCACDBCBC9.【解析】对于A ，当时，，2n ≥()2215(1)5126n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-----=-⎣⎦时满足上式，所以，所以1n =114a S ==-*26,n a n n N =-∈，()()1216262n n a a n n +-=+---=所以为等差数列，故正确；{}n a A 对于B ，由上述过程可知，故B 错误； *12326,N ,40,20,0n a n n a a a =-∈=-<=-<=对于C ，因为，对称轴为，又因为，所以当或325n S n n =-52.52n ==*N n ∈2n =时，最小值为，故错误；n S 6-C 对于D ，由上述过程可知的公差等于2，所以为单调递增数列，故D 正确.{}n a {}n a 10.【解析】对于，故正确；()()A,2,1,01,2,1220AB AC ⋅=⋅-=-+= ,A AB AC ⊥对于不是单位向量，且与不共线，错误； (),1,1,0B ()1,1,0()2,1,0AB =B对于正确；(),3,1,1,C BC AC AB BC C =-=-∴=对于，设，则，D ()1,2,5m =- ()()1,2,52,1,0220m AB ⋅=-⋅=-=，所以，又()()1,2,53,1,13250m BC ⋅=-⋅-=--+= ,m AB m BC ⊥⊥AB BC B⋂=，所以平面的一个法向量是正确.ABC ()1,2,5,D -11.【解析】对于，若时，转化为A 0a b =->22:1x y C a b-=22x y a +=，故错误；A 对于，若，当是焦点在轴上的双曲线，当是焦点B 0ab >0,0,ab C >>x 0,0,a b C <<在轴上的双曲线，无论焦点在哪个轴上，令，整理可得均是y 220x y a b-=y =C的渐近线，B 正确；对于，若转化为，由于可知，C 220,:1x y a b C a b -<<-=22:1x y C a b+=-0a b >->C是焦点在轴上的椭圆，故C 正确；x 对于，若转化为，是双曲线不是两条直线，故DD 221,:1x y ab C a b==-=221x y -=错误.12.【解析】对于，由题知，椭圆中，得，则A 2b c ==a ==2a =，故错误；A 对于，由定义知，的周长正B 2AF AG a AFG +==A 4L FGB =+=+确；对于，由性质知C,2AB OB OA OA =+=+2OA ≤≤42AB C ≤≤+正确；对于，设所在直线方程为，联立可得， D AB y kx =22148y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩A x =联立可得，则224y kx x y =⎧⎨+=⎩B x =显然，当1122ABF AOF OBF A B S S S OF x OF x=+=+=+A A A 20k ≥2k 增大时，是减小，所以当时，有最大值4，故D 错误. y=0k=ABF S A 三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. ()2,014.（写出一个即可） 1103450,x y x y x y =±=±++=++= ､､､【注】若答案形式为：，则系数必须满足： 0Ax By C ++=222A B C +=若答案形式为：，则系数必须满足： y kx b =+221k b +=13.【解析】对比标准方程可得焦点坐标为()2,014.【解析】双曲线经过点，所以，解得，所以双22:1y C x m-=)2421m-=4m =曲线方程为，所以双曲线焦点在轴上，2214y x -=x1,2,a b c ===率为.e =15.【解析】数形结合可知，只要是半径的垂直平分线，均满足题意要求， 设直线为，则由题可知圆心到直线的距离为，0AxBy C ++=()0,01,1d ==所以222A B C +=16.【解析】因为平面的方程为，故其法向量可取为， α10x y z -++=()1,1,1p =-平面的法向量可取为，平面的法向量可取为20x y -+=()1,1,0m =-210x z -+=，()2,0,1n =-直线是两个平面与的交线，设其方向向量为，则l 20x y -+=210x z -+=(),,s t q μ=，令，则，故设直线与平面所成的角为020m s t n s q μμ⋅=-=⎧⎨⋅=-=⎩1s =()1,1,2μ=l α，,0,2πθθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦则sin |cos ,|||p p p μθμμ⋅=〈〉=== ‖四､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分，第一小问5分，第二小问5分.） 【解析】（1）当时，*2,n n N ≥∈()()()112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+2(1)2(2)211n a n n ∴=-+-++⋅+()()21211n n ⎡⎤=-+-+++⎣⎦ ()()111212n n ⎡⎤-+-⎣⎦=⋅+因为也满足上式，1n =()2*1n a n n n N ∴=-+∈（2），则2221n n b a n n n n =-=-+-1n b n =-+所以是以0为首项，为公差的等差数列 {}n b 1-故()()101S 22n n b b n n n +⋅-+⋅==21122n S n n ∴=-+18.（本小题满分12分，第一小问7分，第二小问5分.）【解法一】（1）以为坐标原点，为轴正方向建立如图所示空间直角坐标系D DAX()()()0,0,1,1,1,0,0,2,0E F C 则所以 ()1,1,1EF =-()1,1,0CF =-因为1100EF CF ⋅=-+=所以 EF CF ⊥ 即EF CF ⊥（2）由（1）知，()2,2,1G 则()2,0,1CG =所以 cos ,EF CG EF CG EF CG⋅=⋅==所以与EF CG 【解法二】由题意得：在中有：，Rt EDFA 11,2ED DF BD====EF ∴==在中有：R EDC AA 1,2,ED DC EC ==∴==在正方形中， ABCD 12CF AC ==在中有： ∴EFC A 222EF FC CE +=所以有：EF CF ⊥（2）连接，取的中点，连接，11,A E A F 1A A H ,HG HD 四边形为平行四边形∴1,A HDE HDCG1,HD A E HD CG ∴∥∥1A E CG ∴∥在Rt 中有：，11A D EA 1A E ==在Rt 中有：，1AAF A 1A F ==在中有：∴1A EFA 2221111cos 2A E EF A F A EF A E EF ∠+-===⋅所以与EF CG 19.（本小题满分12分，第一小问5分，第二小问7分.） 【解析】（1）由题意可设点的坐标为，由C (),xy AC==整理得点的轨迹方程为. C 22610x y x +-+=（2）由（1）可知，曲线 22:(3)8C xy -+=则圆心坐标为， ()3,0半径为则圆心到直线的距离:10l x y +-=d=所以弦的长度==直线被曲线截得的线段长度为l C 20.（本小题满分12分，第一小问3分，第二小问9分.） 【解析】（1）由抛物线经过点知，2:2C y px =()2,2P 44p =解得，1p =则抛物线的方程为；C 22y x =（2）【解法一】由题知，直线不与轴垂直，设直线，AB y :AB x ty a =+由消去，得， 22x ty a y x=+⎧⎨=⎩x 2220y ty a --=，设，2Δ480t a =+>()()1122,,,A x y B x y 则，12122,2y y t y y a +==-因为，所以即，所以 OA OB ⊥0OA OB ⋅= 12120x x y y +=22121204y y y y +=解得（舍去）或，120y y =124y y =-所以即，24a -=-2a =所以直线，所以直线过定点，:2AB x ty =+AB ()2,012122АОВS y y =⨯⨯-==A4≥=当且仅当或时，等号成立，122,2y y ==-122,2y y =-=所以面积的最小值为4.AOB A 【注：面积也可以用的方式来计算 AOB A 12AOB S OA OB =⨯⨯A 【解法二】由题意知直线，直线的斜率均存在，且不为0 OA OB 不妨设直线方程为，代入由可得 OA y kx =2y OA OB ⊥()22,2B k k -22OA k =OB =12AOB S OA OB ==A4≥=当且仅当时等号成立1k =±所以面积的最小值为4 AOB A 【解法三】当直线斜率不存在时，则为等腰直角三角形，此时， AB AOB A 4AOB S =A 当直线斜率存在时，设直线，AB :AB y kx b =+由消去，得， 22y kx b y x=+⎧⎨=⎩y ()222210k x kb x b +-+=()()1122Δ840,,,,,kb A x y B x y =-+>设则， ()212122221,kb b x x x x k k -+=-=因为，所以即，OA OB ⊥0OA OB ⋅= 12120x x y y +=所以 ()()22121210kb x x k x x b ++++=解得（舍去）或，0b =2b k =-所以直线，所以直线过定点，():2AB y k x =-AB ()2,0()()121212222AOB S y y k x k x =⨯⨯-=---=A 4=>综上：面积的最小值为4.AOB A 21.（本小题满分12分，第一小问5分，第二小问7分.）（1）证明：连接交于，则是的中点，BD AC O O BD 连接，是的中点，，OG G DE //OG BE ∴平面，平面，BE ⊂ BEF OG ⊄BEF 平面；//OG ∴BEF 又，平面，平面，//EF AC AC ⊄BEF EF ⊂BEF 平面，//AC BEF 又与相交于点，平面，AC OG O ,AC OG ⊂ACG 所以平面平面.//ACG BEF （2）【解法一】解：连接，因为四边形是菱形，所以， OF ABCD AC BD ⊥又，，所以为等边三角形，所以，又， 60ABC ∠=︒=2CD ABC A =2AC 1EF =所以且，所以四边形为平行四边形，所以， EF OC =//EF OC OCEF //OF CE 因为平面，所以平面，CE ⊥ABCD OF ⊥ABCD 如图，以为坐标原点，分别以､､为､､轴建立空间直角坐标系， O OC OD OF x y z 则，，，，()1,0,0A-()0,B()D(F ，，，AD =(1,AB = AF = 设面的法向量为，ABF =(,,)m a b c 依题意有，则， m AB m AF ⊥⊥⎧⎪⎨⎪⎩==0==0m AB a m AF a ⋅-⋅⎧⎪⎨⎪⎩令，，则，a =1b =1c =-1)m =-所以cos ,AD mAD m AD m ⋅<>==⋅ 所以直线与面AD ABF【解法二】连接，因为四边形是菱形，所以，OF ABCD AC BD ⊥所以为等边三角形，所以，又，ABC A 2AC =1EF =所以且，所以四边形为平行四边形，所以， EF OC =EF OC ∥OCEF OF CE ∥因为平面，所以平面，CE ⊥ABCD OF ⊥ABCD在Rt 中，， FOB A BF==在Rt 中，FOA A 2AF ==又在中，由等腰三角形易计算得 ABF A 2,AB =∴ABF S =A 设为点到平面的距离d D ABF 11,33D ABF F ABD ABF ABD V V S d S FO --=⋅=⋅A A 即有计算得： d =设直线与平面所成的夹角为，则 AD ABF θsin d DA θ===所以直线与面AD ABF 22.（本小题满分12分，第一小问5分，第二小问7分.）【解析】（1）双曲线的渐近线为， 22221x y a b -=b y x a =±又，结合已知条件可知渐近线的的倾斜角为 0,01b a b a >><<b y x a =,6π则. b a =a =，得 2=1a b ==所以双曲线的方程是. C 2213x y -=（2）当直线不与轴重合时，设直线的方程为，l x l 2x ty =+代入，得，即. 2213x y -=22(2)33ty y +-=()223410t y ty -++=设点，则. ()()1122,,,P x y Q x y 12122241,33t y y y y t t +=-=--设点，则 (),0M m ()()()()1212121222MP MQ x m x m y y ty m ty m y y ⋅=--+=+-+-+()()()22121212(2)t y y t m y y m =++-++- ()()22223312113m t m m t ---+=-令，得， ()223121133m m m -+=-53m =此时. 2239MP MQ m ⋅=-=- 当直线与轴重合时，则点为双曲线的两顶点，不妨设点. l x ,P Q ()),P Q 对于点. 5552,0,,0·,03339M MP MQ ⎛⎫⎛⎫⎫⋅=-=- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎭ 所以存在定点，使为定值.5,03M ⎛⎫ ⎪⎝⎭2239MP MQ m ⋅=-=-。
2013高二上册文科数学期末试卷(含答案)
2013高二上册文科数学期末试卷(含答案)广东实验中学2012—2013学年（上）高二级期末考试文科数学本试卷分基础检测与能力检测两部分，共4页．满分为150分，考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答卷和答题卡上，并用2B铅笔在答题卡上填涂学号．2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，不能答在试题卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷交回．第一部分基础检测(共100分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．命题“”的否定是（）A．B．C．D．．2．设实数和满足约束条件，则的最小值为（）A．B．C．D．3．抛物线的准线方程为（）A．B．C．D．4．“为锐角”是“”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．非充分非必要条件D．充要条件5．设双曲线的渐近线方程为，则a的值为()A．4B．3C．2D．16．在空间直角坐标系中，已知点P（x，y，z），给出下列四条叙述：①点P关于x轴的对称点的坐标是（x，－y，z）②点P关于yOz平面的对称点的坐标是（x，－y，－z）③点P关于y轴的对称点的坐标是（x，－y，z）④点P关于原点的对称点的坐标是（－x，－y，－z）其中正确的个数是（）A．3B．2C．1D．07．给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另外一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.其中，为真命题的是（）A．①和②B．②和③C．③和④D．②和④8．若的弦被点（4，2）平分，则此弦所在的直线方程是（）A．B．C．D．9．设,是椭圆:=1(>>0)的左、右焦点,为直线上一点,△是底角为的等腰三角形,则的离心率为（）A．B．C．D．10．椭圆的左焦点为,点在椭圆上,若线段的中点在轴上,则（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．11．若圆心在轴上、半径为的圆位于轴左侧，且与直线相切，则圆的方程是.12．某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的体积是。
湖北省武汉市2012—2013学年高二数学上学期期末联考 理
高二年级期末考试数学试卷（理科）考试时间：2013年1月26日 下午15:30－17:30 试卷满分：150分一、选择题：每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. 准线方程为1-=y 的抛物线的标准方程为 （ ） A ．y x 42-= B ．y x 412-= C ．y x 42= D ．y x 412= 2. 某大学数学专业一共有160位学生，现将学生随机编号后用系统抽样的方法抽取一个容量为5的样本，已知40号、72号、136号同学在样本中，那么样本中还有2位同学的编号应该为 （ ） A ．104,10 B ．104,8 C ．106,10 D ．106,8 3. 下列说法正确的是 ( )A.命题“若,12=x 则1=x ”的否命题为“若,12=x 则1≠x ”B.命题“∈∃x R,012<++x x ”的否定是“∈∀x R,012<++x x ”C.“0=m ”是“直线()012=-++y m mx 与直线()01=+-my x m 垂直”的充要条件D.命题“若,y x =则y x sin sin =”的逆否命题为真命题4. 随机变量ξ服从正态分布2(,)N μσ，且函数()ξ++=x x x f 42没有零点的概率为21, 则=μ （ ） A ．4B ．2C ．0D ．85. 双曲线122=+my x 的一条渐近线的倾斜角(0)3πα∈，，则m 的取值范围为 （ ） A ．()0,3- B．( C ．()3,0 D．( 6. 两变量y 与x 的回归直线方程为3－2x y =∧,若17101=∑=i ix,则∑=101i i y 的值为 （ ）A ．3B ．4C ．4.0D ．407. Q 是曲线192522=+y x 上的动点,)(0,41-F ,)(0,42F ,则21QF QF +满足 ( ) A. 小于10 B. 大于10 C. 不小于10 D. 不大于108. 从1,2,3,4,5,6,7中任取两个不同的数，事件=A “取到的两个数之和为偶数”， 事件=B “取到的两个数均为偶数”，则()A B P = ( ) A ．73B ．74 C ．31 D ．329. 点P 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与圆2222b a y x +=+在第一象限的交点，1F 、2F 分别为双曲线左右焦点，且213PF PF =，则双曲线的离心率为 （ ）A ．5B ．25C ．10D ．210 10. 记422≤+y x 确定的区域为U ,x y ≥确定的区域为V ,在区域U 中每次任取1个点,连续取3次得到3个点,则这3个点中恰好只有2个点在区域V 中的概率为 （ ） A ．649 B ．6427 C ．274 D ．92二、填空题：每小题5分，共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.11. 双曲线3322=-y x 的焦距等于 .12. 椭圆19222=+y mx ()0>m 的一个焦点为()0,4,则该椭圆的离心率为 . 13. 直线3410x y --=与圆222x y r += ()0r >交于A 、B 两点,O 为坐标原点，若OB OA ⊥，则半径=r .14. 甲、乙两人在3次测评中的成绩由右边茎叶图表示，其中有一个数字无法看清，现用字母a 代替，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为 .15. 下图中椭圆内的圆的方程为122=+y x ，现借助计算机利用如下程序框图来估计该椭圆的面积，已知随机输入该椭圆区域内的1000个点()y x ,时，输出的800=i ，则由此可估计该椭圆的面积为 .甲 乙 8 8 8 5 19ay三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分12分）一组数据4,7,10,s ,t 的平均数是7,n 是这组数据的中位数,设()21()nf x x x=-.（Ⅰ）求()x f 的展开式中1-x 的项的系数;（Ⅱ）求()x f 的展开式中系数最大的项和系数最小的项.17.（本小题满分12分）命题p ：过原点O 可以作两条直线与圆0)(453222=++-++m m y x y x 相切， 命题q ：直线31()022m x y m +-+-=若命题“q p ∧”为真命题，求实数m18.（本小题满分12分）由0,1,2,3,4（Ⅰ）求大于20000的五位数的个数;（Ⅱ）求三个偶数数字0,2,419.（本小题满分12分）过点()1,m M 作直线AB 交抛物线y x =2于A 轴的垂线交抛物线于点C . （Ⅰ）求m 的取值范围；y（Ⅱ）求ABC ∆的面积的最大值，并求此时m 的值.20.（本小题满分13分）医生的专业能力参数K 可有效衡量医生的综合能力，K 越大，综合能力越强，并规定: 能力参数K 不少于30称为合格，不少于50称为优秀.某市卫生管理部门随机抽取300名医生进行专业能力参数考核,得到如图所示的能力K 的频率分布直方图:（Ⅰ）求出这个样本的合格率、优秀率;（Ⅱ）现用分层抽样的方法从中抽出一个样本容量为20的样本,再从这20名医生中随机选出2名.①求这2名医生的能力参数K 为同一组的概率;②设这2名医生中能力参数K 为优秀的人数为X ,求随机变量X 的分布列和期望. 21．（本小题满分14分）已知椭圆C :12222=+by a x (0>>b a )的离心率22=e ，且过点()1,0 .（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（II ）如果直线t x =（∈t R ）与椭圆相交于A 、B ，若()0,2-E , ()0,2D，求证：直线EA 与直线BD 的交点K 必在一条确定的双曲线上;(Ⅲ) 若直线l 经过椭圆C 的左焦点交椭圆C 于P 、Q 两点, O 为坐标原点，且31-=⋅OQ OP ，求直线l 的方程.仙桃中学 麻城一中 新洲一中 武汉二中一、选择题 二、填空题11. 4 12. 54 13.52 14. 53 15. π5 三、解答题16.解：（I ）依题意有：751074=++++ts 得：14=+t s ，不妨设t s ≥，则7,7≤≥t s ，则这组数据的中位数是7，故7=n ，()x f 的展开式中()()()737271711---+-=-=k kkkkk k x C x x C T ， 2173=⇒-=-k k ，故展开式中1-x 的项的系数为()211227=-C ―――――――6分（II ）()x f 的展开式中共8项，其中第4项和第5项的二项式系数最大，而第5项的系数等于第5项二项式系数，故第5项的系数最大，即最大项为()()5423147535x x xC T =-=- ,第4项的系数等于第4项二项式系数的相反数，故第4项的系数最小，即最小项为()()2324137435x x xC T -=-=- ――――12分17. 解:当命题p 为真命题时有：()⎪⎩⎪⎨⎧>+⨯-+>+0)(4549104522m m m m 解得⎩⎨⎧<<--<>1210m m m 或则1210-<<-<<m m 或. ―――――――5分当命题q 为真命题时有：21)23(-++=m x m y ,故⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+021023m m , 则2123≤≤-m , ―――――――10分依题意有p 、q 均为真命题,故 123-<≤-m 或210≤<m ―――――12分18. （Ⅰ）可知首位数字为2,3,4即可，故大于20000的五位数的个数为724413=A C ―――――――6分（Ⅱ）首先当0可以在首位时的方法数是：7222222323=A A A C ，若0在首位且2,4相邻时的方法数是：8222212=A A C ， 若0在首位且0与2或4相邻时的方法数是：822212=A C ，故三个偶数数字0,2,4有且只有两个相邻的五位数的个数是：568872=-- ―――――――――12分19.（I ）解：易知直线AB 的斜率存在，设AB 直线方程为()1y k x m =-+ 代入抛物线方程2x y =得，210x kx mk -+-= （*）设1122(,),(,)A x y B x y 因为M 是AB 的中点，所以1222x x km +==，即2k m = 方程（*）即为：222210x mx m -+-=（**） 由224840m m ∆=-+>得11m -<<所以m 的取值范围是(1,1)- ―――――――6分 （II ）因为2(,1),(,),M m C m m MC x ⊥轴，所以|MC |=21m -，由方程（**）得212122,21x x m x x m +==- 所以ABC S ∆=ACM BCM S S +＝121||||2x x MC -．=||MC ．2(1)m -．=322(1)m -≤1 所以ABC ∆的面积的最大值为1，此时m 0= ―――――――12分 20. 解：（I ）解: 各组的频率依次为0.2, 0.3, 0.2, 0.15, 0.1, 0.05,∴这个样本的合格率为1－0.2=0.8,优秀率为0.15+0.1+0.05=0.3 ―――――――3分（II ）①用分层抽样抽出的样本容量为20的样本中,各组人数依次为4,6,4,3,2,1.从20名医生中随机选出2名的方法数为190220=C ,选出的2名医生的能力参数K 为同一组的方法数为312223242624=++++C C C C C .故这2名医生的能力参数K 为同一组的概率19031=P ―――――――7分②20名医生中能力参数K 为优秀的有6人,不是优秀的有14人. 依题意, X 的所有可能取值为0,1,2,则()，190910220214===C C X P ()9542122016114===C C C X P ,383)2(22026===C C X P . ∴X 的分布列为∴X 的期望值53829511900=⨯+⨯+⨯=EX .――――――13分 21. 解：（I ）依题意有：22,1==a c b ，又122+=c a ， 解得：1,2==c a ，故椭圆C 的方程为：1222=+y x ――――――――3分 （II ）依题意可设).,(),,(),,(00y x K y t B y t A -且有12202=+y t ,又)2(2:0++=x t y y EA ,)2(2:0---=x t y y DB ,故)2(222202---=x t y y ,由12202=+y t 得：()220221t y -=代入即得)2(2122-=x y ,即为：1222=-y x ，所以直线EA 与直线BD 的交点K 必在双曲线1222=-y x 上 ――――8分 (Ⅲ)(A)当直线l 的斜率不存在时，⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,1,21,1Q P ，此时21211=-=⋅OQ OP ，不满足要求； （B ）当直线l 的斜率存在时设为k ，则直线l 为：()1+=x k y ，代入1222=+y x 得：()022*******=-+++k x k x k ， 由31-=⋅OQ OP 得：()()311121221-=+++x x k x x ， 即：()()3112212212-=++++k x x k x x k ；则：()31214212212222222-=++-++-+k k k k k k k；解得：112±=⇒=k k ；直线l 过椭圆C 的左焦点，故恒有两个交点，则1±=k 满足要求， 故直线l 的方程为：1+=x y 或1--=x y ――――14分。
广东高二高中数学期末考试带答案解析
广东高二高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.已知集合M＝{x|}，N＝{x|}，则M∩N＝（）A．{x|－1≤x＜1}B．{x|x＞1}C．{x |－1＜x＜1}D．{x |x≥－1}2.若复数是纯虚数（是虚数单位，是实数），则（）A．－2B．C．D．23.若集合，，则“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4.要得到y=2sin(2x+)的图象，只需将y=2sinx的图象上的所有的点( )A．向左平移个单位长度，再横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)B．向右平移个单位长度，再横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)C．横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，向左平移个单位长度D．横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，向右平移个单位长度5.函数（）是上的减函数，则的取值范围是（）A．B．C．D．6.在△ABC中，，则k的值是（）A．5B．－5C．D．7.若奇函数f (x) (x∈R)满足f (2) = 1，f (x + 2) =" f" (x) + f (2)，则f (1) =" ( " )A．0B．1C．－D．8.已知点P为圆上一动点，则点P到直线的最远距离是( ). A．B．C．D．9.已知函数在区间上恒有，则实数的取值范围为( )A．B．C．D．10.函数的零点所在的区间是（）A．（0，1）B．（1，10]C．D．二、填空题1.在平面直角坐标系中，已知抛物线关于轴对称，顶点在原点，且过点P（2，4），则该抛物线的方程是．2.函数的单调递增区间是．3.已知各项均为正数的数列中，是数列的前项和，对任意，有,则数列的通项公式为．4.(坐标系与参数方程选做题)已知直线与抛物线交于A、B两点，则实数的取值范围是．5.(几何证明选讲选做题)如图：EB、EF是⊙O的两条切线，B、C是切点，A、D是⊙O上两点，如果∠E＝500，∠DCF＝300，则∠A的度数是 .三、解答题1.（本小题满分12分）设函数f (x)=，其中向量=(cosx＋1，)， =(cosx－1，2sinx)，x∈R．（Ⅰ）求f (x)的解析式；（Ⅱ）求f (x)的最小正周期、对称轴方程和对称中心的坐标。