2 z变换与离散时间傅里叶变换—习题
课后习题及答案_第3章离散傅里叶变换--上机习题答案
课后习题及答案_第3章离散傅⾥叶变换--上机习题答案第3章离散傅⾥叶变换(DFT)上机习题答案1. 解：该题求解程序为ex323.m，程序运⾏结果如下图所⽰。
第（1）⼩题⽤1024点DFT近似x(n)的傅⾥叶变换；第（2）⼩题⽤32点DFT。
题下图(e)和(f)验证了X(k)是X(e jω)的等间隔采样，采样间隔为2π/N。
图(g) 验证了IDFT 的惟⼀性。
2. 解：设x1(n)和x2(n)的长度分别为M1和M2，X1(k)=DFT［x1(n)］N, X2(k)=DFT［x2(n)］NY c(k)=X1(k)X2(k), y c(n)=IDFT［Y c(k)］N所谓DFT的时域卷积定理，就是当N≥M1+M2－1时，y c(n)=x1(n)*x2(n)。
本题中，M1=M2=4，所以，程序中取N=7。
本题的求解程序ex324.m如下：% 程序ex324.mx1n=［2 1 1 2］；x2n=［1 －1 －1 1］；%时域直接计算卷积yn：yn=conv(x1n，x2n)%⽤DFT计算卷积ycn：M1=length(x1n)；M2=length(x2n)；N=M1+M2－1；X1k=fft(x1n，N)；%计算x1n的N点DFTX2k=fft(x2n，N)；%计算x2n的N点DFTYck=X1k.*X2k；ycn=ifft(Yck，N)程序运⾏结果：直接在时域计算x1(n)与x2(n)的卷积yn和⽤DFT计算x1(n)与x2(n)的卷积ycn 如下：yn=［2 －1 －2 2 －2 －1 2］ycn=［ 2.0000 －1.0000 －2.0000 2.0000－2.0000 －1.0000 2.0000］3.解：本题的求解程序为ex325.m。
程序运⾏结果如下图所⽰。
由图可见，循环卷积为线性卷积的周期延拓序列的主值序列；当循环卷积区间长度⼤于等于线性卷积序列长度时，⼆者相等，见图（b）和图(c)。
第二章 z变换与离散时间傅里叶变换(DTFT)
2.2 z变换
定义： X ( z ) = ΖT [ x (n) ]
注意符号：时域小写 x 变换域大写 X
＝ ∑ x(n)z − n
n =−∞ ∞
∞
=
n =−∞
∑ x(n)r
− n − jω n
e
复变量： z = re jω ，复平面上的点 r = z 幅度，到原点的距离 ω 数字角频率, 与水平轴之间的夹角
重叠区域。一般缩小，个别扩大
十一、时域乘积定理 x(n) ⋅ h(n) ←⎯ → X ( z) ∗ H ( z) Rx − Rh− < z < Rx + Rh + 1 ⎛ z ⎞ −1 = ⎟ν dν ∫ X (ν )H ⎜ 2π j C ν ⎝ ⎠ 1 ⎛ z ⎞ −1 = ⎟ν dν ∫ H (ν )X ⎜ 2π j C ν ⎝ ⎠
Rx − < z < Rx +
Rx − < z < Rx +
2.4 z变换的基本性质和定理
若
ZT x(n) ←⎯→ X ( z)
Rx − < z < Rx +
五、共轭序列 x *(n) ←⎯ → X * ( z *)
Rx − < z < Rx +
六、翻摺序列
⎛1⎞ → X ⎜ ⎟, x(− n) ←⎯ ⎝z⎠ 1 1 < z < Rx + Rx −
实用公式——根据极点的阶，用相应的公式求留数
若zr 是X ( z )z n -1 的多重极点（l 阶极点），则该点处的留数
n -1 ⎤ X z Res ⎡ ( )z ⎣ ⎦ z = zr
1 d l −1 ⎡ l = ⋅ l −1 ( z − zr ) X ( z )z n -1 ⎤ ⎦ z = zr ( l－1)! dz ⎣
第三章离散傅里叶变换及其快速算法习题答案参考
第三章离散傅里叶变换及其快速算法习题答案参考3.1 图P3.1所示的序列是周期为4的周期性序列。
请确定其傅里叶级数的系数。
解：3.2 （1）设为实周期序列，证明的傅里叶级数是共轭对称的，即。
（2）证明当为实偶函数时，也是实偶函数。
证明：（1）（2）因为实函数，故由（1）知有或又因为偶函数，即，所以有3.3 图P3.3所示的是一个实数周期信号。
利用DFS的特性及3.2题的结果，不直接计算其傅里叶级数的系数，确定以下式子是否正确。
（1），对于所有的k；（2），对于所有的k；（3）；（4），对所有的k是实函数。
解：（1）正确。
因为一个周期为N＝10的周期序列，故也是一个周期为N＝10的周期序列。
（2）不正确。
因为一个实数周期序列，由例3.2中的（1）知，是共轭对称的，即应有，这里不一定是实数序列。
（3）正确。
因为在一个周期内正取样值的个数与负取样值的个数相等，所以有（4）不正确。
根据周期序列的移位性质，＝对应与周期序列，如图P3.3_1所示，它不是实偶序列。
由题3.2中的（2）知道，不是实偶序列。
3.4 设，，求，并作图表示和。
解：和的图形如图3.4_1所示：3.5 在图P3.5中表示了两个周期序列和，两者的周期都为6，计算这两个序列的周期卷积，并图表示。
解：图P3.5_1所示的是计算这两个序列的周期卷积的过程，可以看出，是延时1的结果，即。
3.5 计算下列序列的N点DFT：(1)(2)(3)(4)解：（1）（2）（3）（4）3.7 图P3.7表示的是一个有限长序列,画出和的图形。
（1）（2）解：和的图形如图P3.7_1所示：3.8 图P3.8表示一个4点序列。
（1）绘出与的线性卷积结果的图形。
（2）绘出与的4点循环卷积结果的图形。
（3）绘出与的8点循环卷积结果的图形，并将结果与（1）比较，说明线性卷积与循环卷积之间的关系。
解：（1）图P3.8_1（1）所示的是与的线性卷积结果的图形。
（2）图P3.8_1（2）所示的与的4点循环卷积结果的图形。
程佩青《数字信号处理教程》(第4版)(名校考研真题详解 Z变换与离散时间傅里叶变换(DTFT))
2.3 名校考研真题详解1．已知某一序列为x （n ），它的傅里叶变换表示为（1）试画图举例说明序列x （2n ）与x （n ）的关系；（2）试求序列g （n ）＝x （2n ）的傅里叶变换，并说明与的关系。
[武汉理工大学2007研]解：（1）序列x（n ）与x （2n ）的关系图2-1如下：图2-1离散尺度变换只是去掉一些离散值。
（2）已知g（n ）＝x （2n ），设根据离散傅里叶变换的尺度变换性质得：其中F （n,2）又可写为：由上最终可得：2．已知x[k]的傅里叶变换，用表示信号)(Ωj e H )(Ωj e H的傅里叶变换。
[北京交通大学2006研]解：已知x[k]的傅里叶变换，且)(Ωj e H 根据已知所以对y[k]进行傅里叶变换得：3．线性时不变系统的输入为输出为。
（1）求系统的单位抽样响应；（2）判断系统的稳定性和因果性，并说明理由。
[华东理工大学2004研]解：（1）由Z 变换定义直接得：同理，y （n ）的Z 变换为：所以系统函数为：对H（z）求Z逆变换得对应抽样响应为：（2）由（1）知系统收敛域为3/4，包括单位圆和无穷远点，所以既是稳定的又是因果的。
4．若。
请借助线性卷积与Z变换的定义，证明：时域卷积对应子Z域乘积，即。
[南京邮电大学2000研]证明：由线性卷积与Z变换的定义知：即5．序列x（n）的自相关序列c（n）定义为试以x（n）的Z变换表示c（n）的Z变换。
[北京理工大学2007研]解：c（n）可以转化为：根据Z变换的对称性得：6．已知离散序列试求x（n）的Z变换X（z），确定其收敛域，并画出X（z）的零极点图。
[东南大学2007研]解：由Z变换定义可得：可能的零点为，其中；显然k＝0时的零点和极点相互抵消了，所以该Z变换在z＝0处有（N－1）阶极点，零点为：，其中，对应的收敛域为时的零极点图如下图2-2所示：图2-27．求的Z反变换。
[中国地质大学（北京）2006研]解：原式可化解为：由于收敛域，故：8．已知序列的双边Z变换为：解：根据由部分分式展开法，可得：可能对应以下序列：① 当收敛域为∣z∣＞0.5时：② 当收敛域为0.25＜∣z∣＜0.5时：③ 当收敛域为∣z∣＜0.25时：9．一个线性时不变因果系统由下列差分方程描述。
(完整word版)离散傅里叶变换(DFT)试题汇总
第一章离散傅里叶变换（DFT ）3.1 填空题（1） 某序列的DFT 表达式为∑-==1)()(N n knM W n x k X ，由此可以看出，该序列时域的长度为 ，变换后数字频域上相邻两个频率样点之间的间隔是 。
解：N ；Mπ2 （2）某序列DFT 的表达式是∑-==10)()(N k klM W k x l X ，由此可看出，该序列的时域长度是 ，变换后数字频域上相邻两个频率样点之间隔是 。
解： NM π2（3）如果希望某信号序列的离散谱是实偶的，那么该时域序列应满足条件 。
解：纯实数、偶对称（4）线性时不变系统离散时间因果系统的系统函数为252)1(8)(22++--=z z z z z H ，则系统的极点为 ；系统的稳定性为 。
系统单位冲激响应)(n h 的初值为 ；终值)(∞h 。
解： 2,2121-=-=z z ；不稳定 ；4)0(=h ；不存在 (5) 采样频率为Hz F s 的数字系统中，系统函数表达式中1-z 代表的物理意义是 ，其中时域数字序列)(n x 的序号n 代表的样值实际位置是 ；)(n x 的N 点DFT )k X （中，序号k 代表的样值实际位置又是 。
解：延时一个采样周期F T 1=，F n nT =，k Nk πω2=（6）已知}{}{4,3,2,1,0;0,1,1,0,1][,4,3,2,1,0;1,2,3,2,1][=-===k n h k n x ，则][n x 和][n h 的5点循环卷积为 。
解：{}]3[]2[][][][][---+⊗=⊗k k k k x k h k x δδδ{}4,3,2,1,0;2,3,3,1,0])3[(])2[(][55==---+=k k x k x k x（7）已知}{}{3,2,1,0;1,1,2,4][,3,2,1,0;2,0,2,3][=--===k n h k n x 则][][n h n x 和的4点循环卷积为 。
第二章Z变换例题
5 2
z 1
z 2
X(z)的收敛域包括单位圆，试求其x(0)值。
分析：求如何由双边序列z变换X(z)求序列初值x(0)。把序列 分成因果序列和反因果序列两部分（它们求初值的表达式不 同），分别求x(0)将两部分的x(0)相加即得所求。
解：当序列满足n>0，x(n)=0时有
0
X (z) x(n)zn x(0) x(1)z x(2)z2 n
1 2
z
2
因而，x1(n)为n 0时有值的左边序列，x2 (n)为n 0 时
有值的右边序列。则
x1 (0)
lim
z0
X1
z
lim
z0
1 4
z
z2
0
得
x2
(0)
lim
z
X
2
(z)
lim
z
1 3
z
z
1 2
1 3
x(0)
x1(0)
x2
(0)
1 3
例5 有一信号y(n)与另两个信号 x1(n)和x2 (n) 的关系是
y(n) x1(n 3) x2 (n 1)
其中
x1
(n)
(
1 2
)n
u(n),
x2
(n)
(
1 3
)
n
u
(n)
已知
[anu(n)]
1
1 az
1
,
z
a
利用Z变换的性质求y(n)的z变换Y(z)。
分析
（1）移位定理
x(n) X (z), x(n) X (z1) x(n m) zm X (z) x(n m) zm X (z1)
1 2
数字信号处理第三版西科大课后答案第2章
题5解图
(5)
(6)因为
因此
6．试求如下序列的傅里叶变换：
(1) x1(n)=δ(n－3)
(2)
(3) x3(n)=anu(n)0<a<1
(4) x4(n)=u(n+3)－u(n－4)
解
(1)
(2)
(3)
(4)
或者:
7．设：
（1）x(n)是实偶函数，
（2）x(n)是实奇函数，
Y(z)=ZT［RN(n)］·ZT［RN(n)］
故
［例2.4.4］ 时域离散线性非移变系统的系统函数H(z)为
（1）要求系统稳定，确定a和b的取值域。
（2）要求系统因果稳定，重复（1）。
解：（1）H(z)的极点为a、b，系统稳定的条件是收敛域包含单位圆，即单位圆上不能有极点。因此，只要满足|a|≠1, |b|≠1即可使系统稳定，或者说a和b的取值域为除单位圆以的整个z平面。
第2章 时域离散信号和系统的频域分析
2.1学习要点与重要公式
2.2FT和ZT的逆变换
2.3分析信号和系统的频率特性2.4例题
2.5习题与上机题解答
2.1学习要点与重要公式
数字信号处理中有三个重要的数学变换工具，即傅里叶变换（FT）、Z变换（ZT）和离散傅里叶变换（DFT）。利用它们可以将信号和系统在时域空间和频域空间相互转换，这方便了对信号和系统的分析和处理。
2.1.1学习要点
（1）傅里叶变换的正变换和逆变换定义，以及存在条件。
（2）傅里叶变换的性质和定理：傅里叶变换的周期性、移位与频移性质、时域卷积定理、巴塞伐尔定理、频域卷积定理、频域微分性质、实序列和一般序列的傅里叶变换的共轭对称性。
数字信号处理(第三版)第2章习题答案
第２章 时域离散信号和系统的频域分析
2.3
求信号与系统的频域特性要用傅里叶变换。 但分析频 率特性使用Z变换却更方便。 我们已经知道系统函数的极、 零点分布完全决定了系统的频率特性， 因此可以用分析极、 零点分布的方法分析系统的频率特性， 包括定性地画幅频 特性， 估计峰值频率或者谷值频率， 判定滤波器是高通、 低通等滤波特性， 以及设计简单的滤波器（内容在教材第5 章）等。
X e (e j ) FT[xr (n)]
Hale Waihona Puke 1 1 ej2 1 e j2 1 (1 cos 2)
24
4
2
因为 所以
Xe
(e j
)
1 2
[X
(e j
)
X
(e j
)]
X(ejω)=0π≤ω≤2π
X(e-jω)=X(ej(2π-ω))=0 0≤ω≤π
第２章 时域离散信号和系统的频域分析
当0≤ω≤π时，
用留数定理求其逆变换， 或者将z=ejω代入X(ejω)中， 得到X(z)函数， 再用求逆Z变换的方法求原序列。 注意收 敛域要取能包含单位圆的收敛域， 或者说封闭曲线c可取 单位圆。
第２章 时域离散信号和系统的频域分析
例如， 已知序列x(n)的傅里叶变换为
X
(e
j
)
1
1 ae
j
a 1
1 求其反变换x(n)。 将z=ejω代入X(ejω)中， 得到 X (z) 1 az 1
三种变换互有联系， 但又不同。 表征一个信号和系统 的频域特性是用傅里叶变换。 Z变换是傅里叶变换的一种推 广， 单位圆上的Z变换就是傅里叶变换。
第２章 时域离散信号和系统的频域分析