第十四章 第11课时 公式法(1)
第11课时--利用二次函数求最大利润.doc
第11课时 利用二次函数求最大利润【学习目标】1．能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，体会数学“建模”思想，并感受数学的应用价值；2．并能运用公式当x=－ab2时，y最大（小）值=ab ac 442 解决实际问题。
【学习重点】用“数形结合”的思想理解公式，并能运用公式解决实际问题。
【学习难点】分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系。
【学习过程】 一、学习准备1．二次函数y=ax 2+bx+c 的图像是一条____________，它的对称轴是直线x=－ab2，顶点是______________。
2．二次函数y=-2x 2+3x-1的图象开口______，所以函数有最_______值，即当x= 时，y max =_________。
3.利润= ，利润率= . 二、解读教材3．例1 某商经营T 恤衫，已知成批购买时的单价是5元。
根据市场调查，销售量与销售单价满足如下关系：在一段时间内，单价是15元时，销售量是500件，而单价每降低1元，就可以多售200件。
问销售价是多少时，可以获利最多？分析：若设销售单价为x(x ≤15)元，所获利润为y 元，则：(1)销售量可以表示为______________________________；(2)销售额可以表示为____________________________； (3)销售成本可以表示为____________________________；(4)所获利润可表示为y=_________________________。
解：设＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿根据题意得关系式：y=____________________，即y= 。
∵a= <0，∴y 有最 值。
即当x=_______________=______________时，y max =_________________=__________________。
+第十四章+《整式的乘法与因式分解》小结与复习+课件++2023-2024学年人教版八年级数学上册
五、因式分解
1.因式分解的定定义 把一个多项式化为几个__整__式____的__乘__积____的形式,像
这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做
把这个多项式分解因式. 2.因式分解的方法
(1)提公因式法
步骤： 1.提公因式； 2.套用公式；
的一个因式；
注：单项式乘单项式，积为_单__项__式___.
2.单项式乘多项式： (1)单项式分别_乘__以___多项式的每一项；
(2)将所得的积_相__加_____. 注：单项式乘多项式，积为多项式，项 数与原多项式的项数__相__同____. 3.多项式乘多项式： 先用一个多项式的每一项分别乘另一个多 项式的每__一__项__，再把所得的积__相__加____.
（2）已知an-3·a2n+1=a10,求n的值; 解：n-3+2n+1=10,
n=4; （3） 3×27×9 = 32x-4,求x的值;
解：3×27×9 =3×33×32=32x-4,
2x-4=6;
x=5.
考点二 整式的运算
例2 计算：
(1)(-4x)·(2x2+3x-1)；
（2）
2 3
ab2
ab a b 得的幂_相__乘__. (
= n
)Hale Waihona Puke nn ____________
二、整式的乘法 1.单项式乘单项式：
(1)将_单__项__式__的__系__数__相乘作为积的系数； (2)相同字母的因式，利用_同__底__数__幂__的乘法，
作为积的一个因式； (3)单独出现的字母，连同它的_指__数___，作为积
人教版八年级上册数学课件：第14章整式的乘法与因式分解单元复习
数学
23.请认真观察图形，解答下列问题： (1)根据图中条件，用两种方法表示两个阴影图形的面积的和 (只需表示，不必化简)； (2)由(1)，你能得到怎样的等量关系？请用等式表示；
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(3)如果图中的 a，b(a＞b)满足 a2＋b2＝53，ab＝14，求：
①a＋b 的值；②a2－b2 的值．
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17.若 xm＝3，xn＝5，则 x2m＋n 的值为 45 .
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9.【例 4】已知 a2＋a－4＝0，则代数式 a(a＋1)的值是( A )
A．4
B.8
C.12
D.16
小结：用整体思想解决问题，a2＋a＝4.
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18.已知 a＋b＝m，ab＝－4，化简(a－2)(b－2)的结果是( D )
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解：原式＝x2－4xy＋4y2－(x2－y2)－2y2 ＝x2－4xy＋4y2－x2＋y2－2y2＝－4xy＋3y2. (1)当 x＝1，y＝－3 时， 原式＝－4×1×(－3)＋3×(－3)2＝39. (2)当 4x－3y＝0 时，原式＝－y(4x－3y)＝0. 小结：(1)先化简后直接代入求值；(2)对多项式进行变形后运 用整体思想代入求值.
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解：(1)两个阴影图形的面积和可表示为 a2＋b2，(a＋b)2－2ab. (2)a2＋b2＝(a＋b)2－2ab (3)①∵a2＋b2＝53，ab＝14， ∴(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab＝53＋2×14＝81，∴a＋b＝±9. 又∵a＞0，b＞0，∴a＋b＝9. ②∵(a－b)2＝a2＋b2－2ab＝53－2×14＝25，∴a－b＝±5. 又∵a＞b＞0，∴a－b＝5， ∴a2－b2＝(a＋b)(a－b)＝9×5＝45.
第1课时 用平方差公式进行因式分解
当堂反馈
即学即用
1.下列多项式中能用平方差公式分解因式的是( )A．a2＋(－b)2 B．5m2－20mnC．－x2－y2 D．－x2＋9
D
2.分解因式(2x+3)2 -x2的结果是（ ）A．3(x2+4x+3) B．3(x2+2x+3)C．(3x+3)(x+3) D．3(x+1)(x+3)
＝6.82－3.22
＝(6.8＋3.2)(6.8 － 3.2)
＝10×3.6
＝36 (cm2)
答：剩余部分的面积为36 cm2.
5. (1)992-1能否被100整除吗？
解：(1)因为 992-1=(99+1)(99-1)=100×98，
所以，(2n+1)2-25能被4整除.
(2)n为整数,（2n+1)2-25能否被4整除？
＝5m2(a2＋b2)(a2－b2)
(2)解:原式＝ab(a2－4)
＝ab(a＋2)(a－2)
有公因式的先提公因式再用平方差公式
分解因式后，一定要检查是否还有能继续分解的因式，若有，则需继续分解.
【例3】 计算下列各题：(1)1012－992； (2)53.52×4-46.52×4.
解：(1)原式＝(101＋99)(101－99)＝400；
(2)原式＝4(53.52－46.52)
=4(53.5＋46.5)(53.5－46.5)
＝4×100×7=2800.
方法总结：较为复杂的有理数运算，可以运用因式分解对其进行变形，使运算得以简化.
【例4】已知x+y =7, x-y=5,求代数式x2-y2-2y+2x的值.
人教版八年级数学第十四章《整式的乘法与因式分解》教案
第十四章整式的乘法与因式分解1.了解幂的意义,并学会简单的同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方及同底数幂的除法的运算,能根据幂的各种运算性质解决数学问题和简单的实际问题.2.了解零指数幂的意义;探索整式乘除法的法则,会进行简单的乘除法运算.3.要求学生说出平方差公式和完全平方式的特点,能正确地利用平方差公式和完全平方式进行多项式的乘法.4.了解因式分解的意义及其与整式乘法之间的关系,从中体会事物之间可以相互转化的思想,学会用提公因式法、公式法(直接用公式不超过两次)进行因式分解(指数是正整数).让学生主动参与到一些探索过程中来,逐步形成独立思考、主动探索的习惯,培养思维的批判性、严密性和初步解决问题的能力.通过本章中一些生活实例的学习,体会数学与生活之间的密切联系,在一定程度上了解数学的应用价值,提高学生学习的兴趣.本章是整式的加减的后续学习,首先,从幂的运算开始入手,逐步展开整式的乘除法运算;接着,在整式的乘法中提炼出两种特殊的乘法运算,即两个乘法公式;最后,从整式乘法的逆过程出发,引入因式分解的相关知识.本章主要有如下特点:1.注重知识形成的探索过程,让学生在探索过程中领悟知识,在领悟的过程中建构体系,从而更好地实现知识体系的更新和知识的正向迁移.2.知识内容的呈现方式力求与学生已有的知识结构相联系,同时兼顾学生的思维水平和心理特征.3.让学生掌握基本的数学事实与数学活动经验,减轻不必要的记忆负担.4.注意从生活中选取素材,给学生提供一些交流、讨论的空间,让学生从中体会数学的应用价值,逐步养成谈数学、想数学、做数学的良好习惯.5.教材的安排、例题的讲解与习题的处理都给教师留有较大的余地与足够的空间,教师能根据各地学生的实际情况,充分发挥自己的教学主动性和积极性,创造性地进行教学.【重点】1.理解和掌握幂的运算性质.2.掌握整式的乘除运算方法,理解乘法公式,能对多项式进行因式分解.【难点】1.整式的乘除运算.2.利用乘法公式进行计算,利用提公因式法和因式分解法对多项式进行因式分解.1.幂的运算是整式乘除的基础,在教学幂的运算性质时,要让学生经历探索的过程,通过特例计算,自己概括出有关运算法则,理解并掌握这些法则,并能用来进行简单的计算.要注意留给学生探索与交流的空间,让学生在自己的实践中获得运算法则.在教学中要注意渗透化归的思想.对于整式的乘除法要让学生通过适当的尝试,获得一些直接体验,体验单项式与单项式相乘的运算规律,在此基础上总结出整式乘除法的一些运算法则,对于一些法则的获得要注意结合图形,让学生体会特点,从而加深对知识的理解和掌握.2.对于乘法公式的教学,要留出更多的时间和空间让学生自主探索,发现规律,体验乘法公式的来源,理解公式的意义和作用,降低对公式的记忆要求.教学时可以让学生直接计算较为简单的情况,在此基础上指出这一乘法结果的普遍性.教师要注意从已有的整式乘法的知识中提炼出这一乘法公式,让学生明确公式来源于整式的乘法,又应用于整式乘法的辩证性.3.对于因式分解这部分内容,要注意留给学生讨论的时间,引导学生进行归纳、概括.注意教给学生因式分解的方法和步骤,强化提公因式法和公式法的结构特点,让学生在不断练习中得以巩固和提高.总之,在本章的教学中,教师要创造性地使用教材,充分发挥自己在教学中的组织、引导、合作的作用,通过创设一定的问题情境,帮助学生在做一做、探索、交流与讨论中,主动地去获取知识.本章的教学中,教师不要人为地增加学生的记忆负担,提高对学生的要求,也不要人为地补充一些繁、难、偏、旧的内容,根据学生的具体情况,可以在某些具体问题上,让一部分学有余力的学生得到更好的发展,体现教材的弹性.14.1整式的乘法1.了解幂的意义,并学会简单的同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方及同底数幂的除法的运算.2.从幂的运算入手,逐步展开整式的乘法,要了解单项式与单项式、单项式与多项式、多项式与多项式相乘的法则,会进行简单的整式乘法的计算.3.通过计算,提高学生独立思考、主动探索的能力.1.在推理的过程中,让学生学会类比的方法,培养学生的观察、抽象、概括的能力.2.在观察的过程中,让学生掌握整式乘法的一些计算方法,并能运用这些方法进行计算.1.让学生体验从特殊到一般的过程,能自己在实践中总结概括法则.2.培养学生学习数学的积极性,让学生树立热爱数学的情感.【重点】1.同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方及同底数幂的除法法则.2.整式的乘法法则.【难点】1.能正确进行同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方及同底数幂的除法计算.2.整式的乘法的一些计算.14.1.1同底数幂的乘法1.理解同底数幂的乘法法则.2.能运用同底数幂的乘法法则解决一些实际问题.1.在进一步体会幂的意义时,发展推理能力和有条理的表达能力.2.通过“同底数幂的乘法法则”的推导和应用,使学生初步理解特殊到一般,一般到特殊的认知规律.体会科学的思想方法,激发学生探索创新的精神.【重点】正确理解同底数幂的乘法法则.【难点】正确理解和应用同底数幂的乘法法则.【教师准备】多媒体课件(1,2,3).【学生准备】复习幂的意义.导入一:复习a n的意义:a n表示n个a相乘,我们把这种运算叫做乘方,乘方的结果叫做幂;a叫做底数,n是指数.提出问题:一种电子计算机每秒可进行1千万亿(1015)次运算,它工作103秒可进行多少次运算?【师】能否用我们学过的知识来解决这个问题呢?【生】运算次数=运算速度×工作时间,所以计算机工作103秒可进行的运算次数为:1015×103.【师】1015×103如何计算呢?【生】根据乘方的意义可知:1015×103=(10× (10)15个10×(10×10×10)=(10×10× (10)18个10=1018.【师】很好,通过观察大家可以发现1015,103这两个因数是同底数幂的形式,所以我们把像1015×103的运算叫做同底数幂的乘法,根据实际需要,我们有必要研究和学习这样的运算——同底数幂的乘法.[设计意图]首先让学生回忆幂的一些知识,然后根据教材中的问题1让学生列式、观察并计算出结果,从而导入到本节课的学习之中.导入二:“盘古开天辟地”的故事:公元前一百万年,没有天没有地,整个宇宙是混沌的一团,突然间窜出来一个巨人,他的名字叫盘古,他手握一把巨斧,用力一劈,把混沌的宇宙劈成两半,上面是天,下面是地,从此宇宙有了天地之分,盘古完成了这样一个壮举,累死了,他的左眼变成了太阳,右眼变成了月亮,毛发变成了森林和草原,骨头变成了高山和高原,肌肉变成了平原与谷地,血液变成了河流.【师】盘古的左眼变成了太阳,那么太阳离我们多远呢?光的速度为3×105千米/秒,太阳光照射到地球大约需要5×102秒,你能计算出地球距离太阳大约有多远吗?【生】可以列出算式:3×105×5×102=15×105×102=15ד?”.(引入课题)[设计意图]从远古到现代,让学生感受传说,极大地激发了学生的学习热情,同时相应问题的提出,也为学习同底数幂的乘法埋下了伏笔.导入三:北京奥运场馆一平方千米的土地上,一年内从太阳得到的能量相当于燃烧108千克煤所产生的能量.那么105平方千米的土地上,一年内从太阳得到的能量相当于燃烧多少千克煤?【师】你们能列式吗?(学生讨论得出108×105)【师】108,105我们称之为什么?(幂)【师】我们再来观察底数有什么特点?【生1】都是10.【生2】是一样的.【师】像这样底数相同的两个幂相乘的运算,我们把它叫做同底数幂的乘法.(揭示课题) [设计意图]利用提问题,一方面可以集中学生注意力,使之较快进入课堂学习状态,另一方面可以对学生进行爱国主义教育,增强学生的环保意识.问题1【课件1】计算下列各式:(1)25×22;(2)a3·a2;(3)5m·5n(m,n都是正整数).你发现了什么?注意观察计算前后底数和指数的关系,并能用自己的语言描述.【师】根据乘方的意义,同学们可以独立解决上述问题.【生】25×22 =(2×2×2×2×2)×(2×2)=27 =25+2.25表示5个2相乘,22表示2个2相乘,根据乘方的意义:a3·a2=(a·a·a)·(a·a)=a5=a3+2.5m.5n=(5×5× (5)m个5×(5×5× (5)n个5=5m+n.(让学生自主探索,在启发性设问的引导下发现规律,并用自己的语言叙述)【生】我们可以发现下列规律:(1)这三个式子都是底数相同的幂相乘;(2)相乘结果的底数与原来底数相同,指数是原来两个幂的指数的和.【师生共析】a m·a n表示同底数幂的乘法,根据幂的意义可得:a m·a n=(a×a×…×a)m个a ×(a×a×…×a)n个a=a m+n.于是有a m·a n=a m+n(m,n都是正整数),用语言来描述此法则即为:“同底数幂相乘,底数不变,指数相加”.[知识拓展]同底数幂是具有相同底数的幂.(1)幂可以看做是代数式中的一类,是形如a n的代数式.目前,在我们研究的这类式子中,可以是任何有理数,也可以是整式,而a n中的n只能是正整数.(2)35与155不是同底数幂,因为它们的底数一个是3,一个是15,是不一样的,这说明两个幂是不是同底数幂,与它们的指数是否相同毫无关系.(3)53与515是同底数幂,因为它们的底数相同(都是5).同理,x3与x5,(a+b)2与(a+b)5也都是同底数幂.同底数幂的乘法法则的关键在于底数,底数一定要相同,并且二者是相乘关系,这样指数才能相加,否则不能运用此法则.问题2(针对导入三)1.探索108×105等于多少.(鼓励学生大胆猜想)学生可能会出现以下几种情况:①10013;②1040;③10040;④1013.[设计意图]猜想产生疑问,激发兴趣,为学生推导公式做好情感铺垫.【师】那到底谁的猜想正确呢?小组合作讨论,生回答,师板演:108× 105=(10× 10×…×10) 8个10×(10 × 10× (10)5个10=10×10×…×10 13个10=1013.即108× 105=108+5. [设计意图]师给出适当的提示后,相信学生能在已有的知识基础上,利用集体的智慧,找出猜想中的正确答案,并通过“转化”思想得出结论,也找到了正确的推理过程.2.出示问题:(学生口答,课件显示过程)a 6·a 9=(a ·a ·…·a ) 6个a·(a ·a ·…·a )9个a=a ·a ·…·a 15个a=a 15. 即a 6·a 9=a 6+9.3.观察以上两个式子,你有什么发现? 【师】这是两个特殊的式子,它们的指数分别是8,5;6,9.底数相同的两数的任何次幂相乘,都是底数不变,指数相加吗?能找到一个具有一般性,代表性的式子吗?a m ·a n 怎么计算?[设计意图]a6·a9和a m·a n的推导过程由于108·105打好了坚实的基础,所以用填空的形式简化公式的推导过程,既避免了重复教学过程,也节约时间,同时也能达到让学生经历从具体到一般的推导过程.【板书】a m·a n=a m+n(m,n都是正整数).师补充解释m,n都是正整数的原因,并请学生用自己的语言概括该结论,之后全体学生用精炼的文字概括表述.【板书】同底数幂相乘,底数不变,指数相加.[设计意图]全班学生参与活动,经历从理解法则的含义的概括到用十分准确简练的语言概括过程,从而提高学生的表达能力.问题3【课件2】(教材例1)计算:(1)x2·x5;(2)a·a6;(3)(-2)×(-2)4×(-2)3;(4)x m·x3m+1.计算a m·a n·a p后,能找到什么规律?【师】我们先来看例1,是不是可以用同底数幂的乘法法则呢?【生1】(1)(2)(4)可以直接用“同底数幂相乘,底数不变,指数相加”的法则.【生2】(3)也可以,先算2个同底数幂相乘,将其结果再与第三个幂相乘,仍是同底数幂相乘,再用法则运算就可以了.【师】同学们分析得很好.请自己做一遍,每组出一名同学板演,看谁算得又准又快.【生板演】(1)解:x2·x5=x2+5=x7.(2)解:a·a6=a1+6=a7.(3)解:(-2)×(-2)4×(-2)3=(-2)5×(-2)3=(-2)8=256.(4)解:x m·x3m+1=x m+3m+1=x4m+1.【师】接下来我们来看例2.受例1中第(3)题的启发,能自己解决吗?与同伴交流一下解题方法.解法1:a m·a n·a p=(a m·a n)·a p=a m+n·a p =a m+n+p.解法2:a m·a n·a p=a m·(a n·a p)=a m·a n+p=a m+n+p.解法3:a m·a n·a p= (a×a×…×a)m个a ×(a×a×…×a)n个a×(a×a×…×a)p个a=a m+n+p.【归纳】解法1与解法2都直接应用了运算法则,同时还运用了乘法的结合律;解法3是直接应用乘方的意义.三种解法得出了同一结果,我们需要这种开拓思维的创新精神.【生】那我们就可以推断,不管是多少个幂相乘,只要是同底数幂相乘,就一定是底数不变,指数相加呢?【师】是的,能不能用符号表示出来呢?【生】a m1·a m2·a m3·…·a m n=a m1+m2+m3+…+m n.【师】(鼓励学生)那么例1中的第(3)题我们就可以直接应用法则运算了.(-2)×(-2)4×(-2)3=(-2)1+4+3=(-2)8=256.1.同底数幂的乘法的运算性质是底数不变,指数相加.应用这个性质时,应注意两点:一是必须是同底数幂的乘法才能运用这个性质;二是运用这个性质计算时一定是底数不变,指数相加,即a m·a n=a m+n(m,n 都是正整数).2.推广:a m·a n·a p=a m+n+p.3.(课件3)注意:在应用同底数幂乘法法则时,注意以下几点:(1)底数必须相同,如23与25,(a2b2)3与(a2b2)4,(x-y)2与(x-y)5等.(2)a可以是单项式,也可以是多项式.(3)按照运算性质,只有相乘时才是底数不变,指数相加.1.计算a6×a3的结果是()A.a9B.a2C.a18D.a3解析:原式=a6+3=a9.故选A.2.下列计算正确的是()A.x·x2=x2B.x2·x2=2x2C.x2+x3=x5D.x2·x=x3解析:A.底数不变,指数相加,故A错误;B.底数不变,指数相加,故B错误;C.不是同底数幂的乘法,指数不能相加,故C错误;D.底数不变,指数相加,故D正确.故选D.3.计算(-a)3·(-a)2的正确结果是()A.a5B.-a5C.a6D.-a6解析:原式=(-a)3+2=(-a)5=-a5.故选B.4.计算.(1)(-5)×(-5)2×(-5)3;(2)(-a)·(-a)3;(3)-a3·(-a)2;(4)(a-b)2·(a-b)3;(5)(a+1)2·(1+a)·(a+1)3.解析:利用同底数幂乘法法则进行计算,底数不同的利用互为相反数的奇偶次幂的性质进行转化.解:(1)(-5)×(-5)2×(-5)3=(-5)6=56.(2)(-a)·(-a)3=(-a)4=a4.(3)-a3·(-a)2=-a3·a2=-a5.(4)(a-b)2·(a-b)3=(a-b)5.(5)(a+1)2·(1+a)·(a+1)3=(a+1)6.14.1.1同底数幂的乘法1.法则2.公式例题讲解例1例2一、教材作业【必做题】教材第96页练习.【选做题】教材第104页习题14.1第9,10题.二、课后作业【基础巩固】1.计算(-x2)·x3的结果是()A.x5B.-x5C.x6D.-x62.下列计算正确的是()A.a3·a2=a6B.b4·b4=2b4C.x5+x5=x10D.y7·y=y83.下列运算正确的是()A.a5·a5=2a5B.a5+a5=a10C.a5·a5=2a10D.a5·a5=a104.a2014可以写成()A.a2010+a4B.a2010·a4C.a2014·aD.a2007·a20075.下列运算错误的是()A.(-a)(-a)=(-a)2B.-32·(-3)4=(-3)6C.(-a)3·(-a)2=(-a)5D.(-a)3·(-a)3=a6【能力提升】6.设a m=8,a n=16,则a m+n等于()A.24B.32C.64D.1287.下列各式成立的是()A.(x-y)2=-(y-x)2B.(x-y)n=-(y-x)n(n为正整数)C.(x-y)2(y-x)2=-(x-y)4D.(x-y)3(y-x)3=-(x-y)6【拓展探究】8.阅读材料:求1+2+22+23+24+…+22013的值.解:设S=1+2+22+23+24+…+22012+22013,将等式两边同时乘以2得:2S=2+22+23+24+25+…+22013+22014,将下式减去上式得2S-S=22014-1,即S=22014-1,即1+2+22+23+24+…+22013=22014-1.请你仿照此法计算:(1)1+2+22+23+24+ (210)(2)1+3+32+33+34+…+3n(其中n为正整数).【答案与解析】1.B(解析:(-x2)·x3=-x2+3=-x5.故选B.)2.D(解析:A.应为a3·a2=a5,故本选项错误;B.应为b4·b4=b8,故本选项错误;C.应为x5+x5=2x5,故本选项错误;D.y7·y=y8,正确.故选D.)3.D(解析:A.应为a5·a5=a10,故本选项错误;B.应为a5+a5=2a5,故本选项错误;C.应为a5·a5=a10,故本选项错误;D.a5·a5=a10,正确.故选D.)4.B(解析:A.a2010+a4不能进行计算;B.a2010·a4 =a2014;C.a2014·a=a2015;D.a2007·a2007=a4014,故选B.)5.B(解析:A.(-a)(-a)=(-a)2,故本选项正确;B.-32·(-3)4=-32·34=-36,故本选项错误;C.(-a)3·(-a)2=(-a)3+2=(-a)5,故本选项正确;D.(-a)3·(-a)3=(-a)3+3=(-a)6=a6,故本选项正确.故选B.)6.D(解析:∵a m=8,a n=16,∴a m+n=a m·a n=8×16=128.故选D.)7.D(解析:A.(x-y)2=(y-x)2,故本选项错误;B.(x-y)n=-(y-x)n(n为奇数),故本选项错误;C.(x-y)2(y-x)2=(x-y)4,故本选项错误;D.(x-y)3(y-x)3=-(x-y)6,故本选项正确.故选D.)8.解:(1)设S=1+2+22+23+24+…+210,将等式两边同时乘以2得2S=2+22+23+24+…+210+211,将两式相减得2S-S=211-1,即S=211-1,则1+2+22+23+24+…+210=211-1.(2)设S=1+3+32+33+34+…+3n①,两边同(3n+1-1),则1+3+32+33+34+…时乘以3得3S=3+32+33+34+…+3n+3n+1②,②-①得3S-S=3n+1-1,即S=12(3n+1-1).+3n=12在教学中教师通过实际问题创设情境,导入新课,激发了学生学习数学的兴趣,通过学生的自主探索,让学生经历观察——类比——抽象——概括等过程,归纳出同底数幂的乘法法则,提高了学生的自主意识和自我解题的能力.在归纳出同底数幂的乘法法则之后,教师通过例1、例2的学习,让学生加深了对同底数幂的乘法法则的理解.整个过程学生对知识的接受和理解较好,突出了学生的主体地位和教师的主导作用,学生学得开心,知识掌握较好.因为本节课的内容较简单,所以在习题的设计上,教师可增加些难度,让学生通过变式训练,使学生的能力得到进一步的提高.另外,对于法则的概括和理解要尽量让学生自己去独立完善,教师要少说,多讲评.教学中要适当增加难度,增加变式训练,如法则的逆应用和底数为负数的习题.法则的逆应用要重点让学生掌握,以提高学生解决问题的能力.同时,一定要让学生分清幂的底数,明确只要在同底数幂相乘的时候才能用法则进行计算,否则不行.另外,对于法则的概括以及延伸的a m·a n·a p=a m+n+p,一定要让学生尽量发挥小组合作的能力,发现计算方法,从而总结出规律.教学过程能让学生独立完成的,教师绝不包办代替,把课堂应尽量还给学生.练习(教材第96页)解:(1)原式=b5+1=b6.(2)原式=-121+2+3=-126=164.(3)原式=a2+6=a8.(4)原式=y2n+n+1=y3n+1.题型1一般的同底数幂的乘法问题计算:(1)x2·x3;(2)(-2)4·(-2)3;(3)(a-1)4·(a-1)2.〔解析〕(1)可以直接得到x5;(2)中将(-2)看作相同的底数,由法则可得(-2)7;(3)中将(a-1)看作一个整体作为相同的底数.解:(1)x2·x3=x5.(2)(-2)4·(-2)3=(-2)7 =-27.(3)(a-1)4·(a-1)2=(a-1)6.题型2间接运用同底数幂的乘法法则计算:(1)-t3·(-t)4·(-t)5;(2)(z-y)3·(z-y)·(y-z)2.〔解析〕虽然底数不同,但仅仅只有符号之差,如z-y与y-z,可以先把底数变为相同的底数,再用法则计算.解:(1)-t3·(-t)4·(-t)5 =-t3·t4·(-t5)=t3·t4·t5=t12.(2)(z-y)3·(z-y)·(y-z)2=(z-y)3·(z-y)·(z-y)2=(z-y)6.〔方法提示〕对于不能直接运用同底数幂乘法法则的问题,通常先将题目中各项进行转化,化为同底数幂再运用法则计算,此过程中注意符号的确定.题型3同底数幂乘法法则的逆用计算:(-2)2007+(-2)2008.〔解析〕若直接计算,则相当麻烦,可以运用同底数幂的逆运算,将(-2)2008化成(-2)2007×(-2),再进行计算,比较简便.解:(-2)2007+(-2)2008=(-2)2007+(-2)2007×(-2)=(-2)2007×(1-2)=(-2)2007×(-1)=22007.(2014·温州中考)计算m 6·m3的结果是()A.m18B.m9C.m3D.m2〔解析〕根据同底数幂的乘法法则,底数不变,指数相加可知m6·m3=m9.故选B.14.1.2幂的乘方1.知道幂的乘方的意义.2.会进行幂的乘方计算.1.经历探索幂的乘方的运算性质的过程,进一步体会幂的意义,发展推理能力和有条理的表达能力.2.了解幂的乘方的运算性质,并能解决一些实际问题.通过分组探究,培养学生合作交流的意识、提高学生勇于探究数学的品质.【重点】会进行幂的乘方的运算.【难点】幂的乘方法则的总结及运用.【教师准备】预设学生学习中容易混淆的知识.【学生准备】复习同底数幂的乘法法则.导入一:(1)叙述同底数幂乘法法则,并用字母表示.(2)计算:①a2·a5·a3;②a4·a4·a4.大家已经会进行同底数幂的乘法运算:a m·a n=a m+n(m,n都是正整数),那么幂的乘方运算又应该如何进行呢?[设计意图]通过复习巩固上节课所学的同底数幂的乘法法则的内容,为探索幂的乘方做好准备.导入二:(1)有甲、乙两个球,如果甲球的半径是乙球半径的n倍,那么甲球的体积是乙球体积的多少倍?学生口答:n3倍.(2)引导学生计算:(102)3=,怎样计算?(102)3=106.方法一:(102)3=102×102×102=102+2+2=106.方法二:(102)3=(100)3=1000000=106.[设计意图]在独立思考的基础上,组织学生交流、讨论,培养学生思维的严密性,让学生体验在交流中获益的乐趣.并在此过程中,引导学生主动反思,回顾解决问题的方法,为进入新课做准备.一、法则的探究1.思考.【课件1】根据乘方的意义及同底数幂的乘法填空,看看计算的结果有什么规律:(1)(32)3=32×32×32 =3();(2)(a2)3=a2·a2·a2=a();(3)(a m)3=a m·a m·a m=a()(m是正整数).【师】教师要加强引导,强调应用中的注意事项.2.小组讨论.对正整数n,你认为(a m)n等于什么?能对你的猜想给出检验过程吗?【生】小组互相探索、交流,积极思考,然后各组派代表回答,相互点评,补充得出关于幂的乘方法则.幂的乘方法则:(a m)n=a m·a m·a m·…·a mn个a m =a m+m+m+…+mn个m=a mn.字母表示:(a m)n=a mn(m,n是正整数).语言叙述:幂的乘方,底数不变,指数相乘.教师说明法则中a可以是一个具体的数,也可以是单项式或多项式.[知识拓展]理解法则注意两点:(1)在形式上,幂的乘方的底数本身就是一个幂;(2)法则可推广到[(a m)n]k=a mnk(m,n,k是正整数);(3)幂的乘方不能和同底数幂的乘法相混淆,例如不能把(a5)2写成a7,也不能把a5·a2的计算结果写成a10;(4)幂的乘方是变乘方为乘法(底数不变,指数相乘),如(a3)2=a3×2=a6;而同底数幂的乘法是变乘法为加法(底数不变,指数相加),如a3·a2=a3+2=a5.[设计意图]在探索幂的乘方法则的过程中,学生经历了由特殊到一般的过程,让学生学会了归纳,同时培养学生的合作意识.思路二探索练习1.32表示个相乘;(32)3表示个相乘;a2表示个相乘;(a2)3表示个相乘.2.(32)3=××=(根据a m·a n=a m+n)=;(a2)3=××=(根据a m·a n=a m+n)=.引导学生观察、猜测(32)3与(a2)3的底数、指数,并用乘方的概念解答问题.3.(a m)3=××=(根据a m·a n=a m+n)=;(a m)n=××…×=(根据a m·a n=a m+n)=.通过上面的探索活动,你发现了什么?【归纳】幂的乘方,底数不变,指数相乘.(a m)n=a mn(m,n是正整数).【说明】 在此过程中教师应当鼓励学生,自己发现幂的乘方的性质特点(如底数、指数发生了怎样的变化),并运用自己的语言进行描述,然后再让学生回顾这一性质的得出过程,进一步体会幂的意义.[设计意图]学生在探索练习的指引下,自主完成有关的练习,并在练习中发现幂的乘方的法则,经历由猜测到探索的过程,从而理解法则的实际意义,在本质上认识、学习幂的乘方的来历.思路三1.x 3表示什么意义?2.如果把x 换成a 4,那么(a 4)3表示什么意义?3.怎样把a 2·a 2·a 2·a 2 =a 2+2+2+2写成比较简单的形式?4.由此你会计算(a 4)5吗?5.根据乘方的意义及同底数幂的乘法填空: (1)(53)2 =53×53=5();(2)(52)3=()×( )×()=5();(3) (a 3)5 =a 3×()×( )×( )×()=a ().6.用同样的方法计算(a 3)4,(a 11)9,(b 3)n (n 为正整数).这几道题学生都不难做出,在处理这类问题时,关键是如何得出3+3+3+3=12,教师应多举几例.(a 11)9=a 11·a 11·…·a 11=a 11+11+11+…+119个11=a 99.(b 3)n =b 3·…·b 3=b 3+3+3+…+3n 个3=b 3n .教师应指出这样处理既麻烦,又容易出错,此时应让学生思考,有没有简捷的方法?引导学生认真思考,并得到:(23)2 =23×2=26;(32)3=32×3 =36;(a 11)9=a 11×9=a 99;(b 3)n =b 3×n = b 3n .观察结果中幂的指数与原式中幂的指数及乘方的指数,猜想它们之间有什么关系?结果中的底数与原式的底数之间有什么关系?怎样说明你的猜想是正确的?(a m )n =a m ·a m ·a m·…·a m n 个a m(乘方的意义)=a m +m +m +…+mn 个m(同底数幂的乘法) =a mn (乘法定义),即(a m )n =a mn (m ,n 是正整数).这就是幂的乘方法则.你能用语言叙述这个法则吗?幂的乘方,底数不变,指数相乘. [设计意图]通过层层导入与渗透,让学生通过类比总结出幂的乘方的计算法则,整个过程由浅入深,体现了循序渐进的原则.二、例题讲解(教材例2)计算: (1)(103)5; (2)(a 4)4; (3)(a m )2;(4)-(x 4)3.〔解析〕要充分理解幂的乘方法则,准确地运用幂的乘方法则进行计算.启发学生共同完成例题.学生在教师启发下,完成例题的问题,并进一步理解幂的乘方法则.解:(1)(103)5=103×5=1015.(2)(a4)4=a4×4=a16.(3)(a m)2=a m×2=a2m.(4)-(x4)3=-x4×3=-x12.想一想:a mn等于(a m)n(m,n是正整数)吗?学生类比同底数幂的乘法运算得出a mn=(a m)n(m,n是正整数),也就是说对于幂的乘方法则,它的逆应用同样成立.当一个幂的指数是积的形式时,就可以写成幂的乘方的形式.a20=(a4)()=(a5)()=(a2)()=(a10)().已知x m=4,x n=5,试求代数式x3m+2n的值.〔解析〕x3m+2n x3m·x2n(x m)3·(x n)2,整体代入,x m=4,x n=5即可求解.解:x3m+2n=x3m·x2n=(x m)3·(x n)2=43×52=1600.1.(a m)n=a mn(m,n都是正整数)的使用范围:幂的乘方.方法:底数不变,指数相乘.2.知识拓展:这里的底数、指数可以是数,也可以是单项式或多项式.3.幂的乘方法则与同底数幂的乘法法则区别在于一个是“指数相乘”,一个是“指数相加”.1.下列运算正确的是()A.2a2+3a=5a3B.a2·a3=a6C.(a3)2=a6D.a3-a3=a解析:A.2a2+3a,不是同类项不能相加,故A选项错误;B.a2·a3=a5,故B选项错误;C.(a3)2=a6,故C选项正确;D.a3-a3=0,故D选项错误.故选C.2.下列运算中,计算结果正确的是()A.3x-2x=1B.2x+2x=x2C.x·x=x2D.(a3)2=a4解析:A.3x-2x=x,所以A选项不正确;B.2x+2x=4x,所以B选项不正确;C.x·x=x2,所以C选项正确;D.(a3)2=a6,所以D选项不正确.故选C.3.计算.(1)x n-2·x n+2;(n是大于2的整数)(2)-(x3)5;(3)[(-2)2]3;(4)[(-a)3]2.解析:(1)根据同底数幂的乘法法则求解;(2)(3)(4)根据幂的乘方的法则求解.解:(1)原式=x n-2+n+2=x2n.(2)原式=-x15.(3)原式=43=64.(4)原式=a6.14.1.2幂的乘方一、法则的探究推理过程:(a m)n=a m·a m·…·a mn个a m =a m+m+m+…+mn个m=a mn.公式:(a m)n=a mn(m,n都是正整数).法则:幂的乘方,底数不变,指数相乘.二、例题讲解一、教材作业【必做题】教材第97页练习.【选做题】教材第104页习题14.1第1题(1)~(4).二、课后作业【基础巩固】1.计算(-a3)2的结果是()A.a6B.-a6C.a8D.-a82.计算:(a3)2·a3=.3.若9x=3x+2,则x=.4.已知2m=3,2n=22,则22m+n=.5.若2·8m=42m,则m=.【能力提升】6.若m,n都是正整数,且a>1,则(a n)m和(a m)n是否一定相等?若一定相等,请给予证明;若不一定相等,请举出反例.7.已知a m=2,a n=3,m,n是正整数且m>n.求下列各式的值:(1)a m+1;(2)a3m+2n.【拓展探究】8.试比较35555,44444,53333三个数的大小.【答案与解析】1.A(解析:(-a3)2=a3×2=a6.故选A.)2.a9(解析:先计算幂的乘方,再计算同底数幂的乘法.所以原式=a6·a3=a9.)3.2(解析:9x=32x=3x+2,2x=2+x,解得x=2,故答案为2.)4.36(解析:∵2m=3,2n=22,∴22m+n=22m·2n=(2m)2·2n=32·22=9×4=36.)5.1(解析:∵2·8m=42m,∴2×23m=24m,∴1+3m=4m,解得m=1.)。
14.3.2.2 公式法——完全平方公式
分析： （2）因为它只有两项；
（ 3） 4b² 与-1的符号不统一；
（4）因为ab不是a与b的积的2倍.
P118 例2 分解因式：
（1）16x2+24x+9； （2）-x2+4xy-4y2.
2
P118 例6 分解因式：
(1)3ax2+6axy+3ay2 ； (2)(a+b)2－12(a+b)+36.
分析：(1)中有公因式3a,应先提出公因式,再进一步分解因式； (2)中将a+b看成一个整体,设a+b=m,则原式化为m2－12m+36.
解: (1)原式=3a(x2+2xy+y2) =3a(x+y)2 (2)原式=(a+b)2－2· (a+b) · 6+62
=(x2－6－3)2 =(x2－9)2 =[(x＋3)(x－3)]2 =(x＋3)2(x－3)2
1. 把下列各式分解因式.
2. 因式分解：x4－8x2y2+16y4．
解：原式=(x2)2－2· x2· 4y2 +(4y2)2
=(x2－4y2)2
=[(x＋2y)(x－2y)]2
=(x＋2y)2(x－2y)2
（2）每个多项式的第一项和第三项有什么特征？
这两项都是数或式的平方，并且符号相同
（3）中间项和第一项，第三项有什么关系？
是第一项和第三项底数的积的±2倍
a 2 2ab b 2
完全平方式的特点： 1.必须是三项式（或可以看成三项的）； 2.有两个同号的数或式的平方； 3.中间有两底数之积的±2倍.
最新人教版八年级数学上册 第十四章《公式法》教案1
15.4.2 公式法教学目标1．认识平方差公式与完全平方公式的特点．2．会运用平方差公式和完全平方公式分解因式．3．知道因式分解应把多项式的每一个因式都分解到不能再分解为止．4．培养学生的观察、联想能力，进一步了解换元的思想方法．教学重难点应用公式法分解因式是重点，灵活应用提公因式法、公式法分解因式以及因式分解的标准是难点．教学过程导入新课〈方式1〉问题：在一个边长为12.75 cm的正方形内挖去一边长为7.25 cm的小正方形，那么剩下部分的面积是多少？结果：12.752－7.252→联想到a2－b2＝＝(12.75＋7.25)(12.75－7.25)(a＋b)(a－b)＝20×5.5＝110(cm2)．〈方式2〉问题导入：问题1：你能叙述多项式因式分解的定义吗？多项式的因式分解其实是整式乘法的逆用，也就是把一个多项式化成了几个整式的积的形式．问题2：运用提公因式法分解因式的第一步是什么？提公因式法的第一步是观察多项式各项是否有公因式，如果没有公因式，就不能使用提公因式法对该多项式进行因式分解．问题3：你能将a2－b2分解因式吗？要将a2－b2进行因式分解，可以发现它没有公因式，不能用提公因式法分解因式，但我们还可以发现这个多项式是两个数的平方差形式，所以用平方差公式可以写成如下形式a2－b2＝(a＋b)(a－b)．多项式的乘法公式的逆向应用，就是多项式的因式分解公式，如果被分解的多项式符合公式的条件，就可以直接写出因式分解的结果，这种分解因式的方法称为运用公式法．今天我们就来学习利用公式法分解因式．推进新课【活动一】利用平方差公式分解因式问题：(1)你能将12.752－7.252分解成乘积的形式吗？(2)你能将多项式x2－4与多项式y2－25分解因式吗？这两个多项式有什么共同特点？你会想到什么公式？总结：它们有两项，且都是两个数的平方差，会联想到平方差公式，逆向应用平方差公式即可将它们因式分解．由(x＋2)(x－2)＝x2－4，得x2－4＝(x＋2)(x－2)；由(y＋5)(y－5)＝y2－25，得y2－25＝(y＋5)(y－5)．归纳：把整式乘法的平方差公式(a＋b)(a－b)＝a2－b2反过来，就得到因式分解的平方差公式注意和整式乘法里的平方差公式的区别．【活动二】应用公式，巩固夯实如果多项式是两数差的形式，并且这两个数又都可以写成平方的形式，那么这个多项式可以运用平方差公式分解因式．【例1】 下列多项式能否用平方差公式来分解因式？ (1)a 2＋y 2(不能)；(2)m 2－n 2(能)； (3)－a 2＋b 2(能)；(4)－a 2－b 2(不能)． 【例2】 把下列各式分解因式： (1)4x 2－9；(2)(x ＋p )2－(x ＋q )2. 分析、解答略．明确：①平方差公式中a ，b 可以表示任何一个单项式或多项式．②若给出多项式的两部分不具备明显的平方差关系，需尝试转化为a 2－b 2的形式． 【活动三】 综合运用因式分解的方法分解因式 【例3】 把下列各式分解因式： (1)x 4－y 4；(2)a 3b －a B ． 分析：(1)x 4－y 4可以写成(x 2)2－(y 2)2的形式，这样就可以利用平方差公式进行因式分解；(2)a 3b －ab 有公因式ab ，应先提出公因式，再进一步分解． 解：略．点拨：因式分解必须进行到每一个因式都不能再分解为止． 【例4】 利用平方差公式计算： 25×1012－992×25. 解：略．【活动四】 利用完全平方公式分解因式问题：你能将多项式a 2＋2ab ＋b 2与多项式a 2－2ab ＋b 2分解因式吗？这两个多项式有什么共同特点？你会想到什么公式？总结：它们都是两个数的平方和加上或减去这两个数积的2倍，则恰好是两个数的和或差的平方，我们把a 2＋2ab ＋b 2和a 2－2ab ＋b 2这样的式子叫做完全平方式．利用完全平方公式可以把形如完全平方式的多项式因式分解． 归纳：把整式乘法的完全平方公式 (a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2， (a －b )2＝a 2－2ab ＋b 2即两个数的平方和加上((或差)的平方． 公式中的字母a ，b 可以表示一个数或一个单项式或一个多项式． 【例5】 下列各式是不是完全平方式？ (1)a 2－4a ＋4；(2)x 2＋4x ＋4y 2；(3)4a 2＋2ab ＋14b 2；(4)a 2－ab ＋b 2；(5)x 2－6x －9；(6)a 2＋a ＋0.25. 解：略．【活动五】 应用公式，巩固夯实如果多项式是完全平方式，那么这个多项式就可以运用完全平方公式分解因式． 【例6】 分解因式：(1)16x 2＋24x ＋9；(2)－x 2＋4xy －4y 2. 解：略．点拨：两个平方式都含负号，要提负号，再转化为完全平方式． 【活动六】 分解因式的综合运用及换元法思想 【例7】 把下列各式分解因式： (1)3ax 2＋6axy ＋3ay 2； (2)(a ＋b )2－12(a ＋b )＋36. 解：略．本课小结1．利用公式法分解因式．2．分解因式一般先观察有无公因式，如果多项式各项含有公因式，则第一步是提出这个公因式；如果多项式各项没有公因式，则第一步考虑用公式分解因式．3．第一步分解因式以后，所含的多项式还可以继续分解，则需要进一步分解因式，直到每个多项式因式都不能分解为止．因式分解学以致用因式分解是整式的一种重要的恒等变形，在解题中有着广泛的应用，借助因式分解可解决计算、求值、说理等多方面的问题．一、用于求值【例1】 已知a ＝12m ＋1，b ＝12m ＋2，c ＝m ＋4.求a 2＋2ab ＋b 2－2c (a ＋b )＋c 2的值．分析：根据已知条件，可得a ＋b －c ＝－1，再观察待求式可以变换为(a ＋b －c )2，将a ＋b －c ＝－1整体代入即可．解：a 2＋2ab ＋b 2－2c (a ＋b )＋c 2＝(a ＋b )2－2(a ＋b )c ＋c 2＝(a ＋b －c )2.因为a ＋b －c ＝12m ＋1＋12m ＋2－m －4＝－1，所以a 2＋2ab ＋b 2－2c (a ＋b )＋c 2＝(－1)2＝1. 二、用于说理【例2】 已知a ，b ，c 为不相等的有理数，且(a －c )2－4(a －b )(b －c )＝0，试说明2b ＝a ＋C ．分析：要说明2b ＝a ＋c ，由已知条件，可将(a －c )2－4(a －b )(b －c )进行变形，得到(2b －a －c )2＝0.解：由已知，得(a －b ＋b －c )2－4(a －b )(b －c )＝0， 则(a －b )2＋2(a －b )(b －c )＋(b －c )2－4(a －b )(b －c )＝0. 所以(a －b )2－2(a －b )(b －c )＋(b －c )2＝0. 则[(a －b )－(b －c )]2＝0. 所以(a －b )－(b －c )＝0.故a ＋c －2b ＝0，即2b ＝a ＋C ． 三、用于求面积【例3】 长方形的周长为16 cm ，它的两边x ，y 满足(x －y )2－2x ＋2y ＋1＝0.求其面积．分析：根据周长可得x ＋y ＝8，要求长方形的面积，则需要根据(x －y )2－2x ＋2y ＋1＝0，再求出关于x ，y 的另一个关系式，然后解方程组求x ，y 的值即可．解：(x －y )2－2x ＋2y ＋1＝0变形为(x －y )2－2(x －y )＋1＝0， 则(x －y －1)2＝0.所以x －y －1＝0. 又因为x ＋y ＝8，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝8，x －y ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4.5，y ＝3.5.所以长方形的面积为4.5×3.5＝15.75(cm 2)． 四、用于求整数【例4】 已知m ，n 均为正整数，且m 2－n 2＝68，求m ，n .分析：要求m ，n ，则应将m 2－n 2＝68进行变形，转化为二元一次方程组求解． 解：因为m ，n 为正整数，m 2－n 2＝(m ＋n )(m －n )＝68， 所以(m ＋n )(m －n )等于68×1或34×2或17×4，所以⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝68，m －n ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝34，m －n ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝17，m －n ＝4.但⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝68，m －n ＝1和⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝17，m －n ＝4的解都不是整数，因此应舍去．所以解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝34，m －n ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝18，n ＝16.五、用于比较大小【例5】 设a ＜b ＜c ＜d ，如果x ＝ca －ab ，y ＝cd －bd ，试比较x ，y 的大小．分析：要比较x ，y 的大小，可以通过作差的方法，比较x －y 与0的大小，当x －y ＞0时，x ＞y ；当x －y ＜0时，x ＜y ；当x －y ＝0时，x ＝y .解：因为a ＜b ＜c ＜d ，所以x －y ＝(ca －ab )－(cd －bd )＝a (c －b )－d (c －b )＝(a －d )(c －b )＜0.所以x ＜y .15．4.2 公式法教学目标1．认识平方差公式与完全平方公式的特点． 2．会运用平方差公式和完全平方公式分解因式．3．知道因式分解应把多项式的每一个因式都分解到不能再分解为止． 4．培养学生的观察、联想能力，进一步了解换元的思想方法． 教学重难点应用公式法分解因式是重点，灵活应用提公因式法、公式法分解因式以及因式分解的标准是难点．教学过程导入新课〈方式1〉问题：在一个边长为12.75 cm 的正方形内挖去一边长为7.25 cm 的小正方形，那么剩下部分的面积是多少？结果：12.752－7.252 →联想到a 2－b 2＝ ＝(12.75＋7.25)(12.75－7.25) (a ＋b )(a －b ) ＝20×5.5＝110(cm 2)． 〈方式2〉 问题导入：问题1：你能叙述多项式因式分解的定义吗？ 多项式的因式分解其实是整式乘法的逆用，也就是把一个多项式化成了几个整式的积的形式．问题2：运用提公因式法分解因式的第一步是什么？ 提公因式法的第一步是观察多项式各项是否有公因式，如果没有公因式，就不能使用提公因式法对该多项式进行因式分解．问题3：你能将a 2－b 2分解因式吗？要将a 2－b 2进行因式分解，可以发现它没有公因式，不能用提公因式法分解因式，但我们还可以发现这个多项式是两个数的平方差形式，所以用平方差公式可以写成如下形式a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b )．多项式的乘法公式的逆向应用，就是多项式的因式分解公式，如果被分解的多项式符合公式的条件，就可以直接写出因式分解的结果，这种分解因式的方法称为运用公式法．今天我们就来学习利用公式法分解因式．推进新课【活动一】 利用平方差公式分解因式问题：(1)你能将12.752－7.252分解成乘积的形式吗？(2)你能将多项式x 2－4与多项式y 2－25分解因式吗？这两个多项式有什么共同特点？你会想到什么公式？总结：它们有两项，且都是两个数的平方差，会联想到平方差公式，逆向应用平方差公式即可将它们因式分解．由(x ＋2)(x －2)＝x 2－4，得x 2－4＝(x ＋2)(x －2)； 由(y ＋5)(y －5)＝y 2－25，得y 2－25＝(y ＋5)(y －5)．归纳：把整式乘法的平方差公式(a ＋b )(a －b )＝a 2－b 2反过来，就得到因式分解的平方差公式注意和整式乘法里的平方差公式的区别． 【活动二】 应用公式，巩固夯实 如果多项式是两数差的形式，并且这两个数又都可以写成平方的形式，那么这个多项式可以运用平方差公式分解因式．【例1】 下列多项式能否用平方差公式来分解因式？ (1)a 2＋y 2(不能)；(2)m 2－n 2(能)； (3)－a 2＋b 2(能)；(4)－a 2－b 2(不能)． 【例2】 把下列各式分解因式： (1)4x 2－9；(2)(x ＋p )2－(x ＋q )2. 分析、解答略．明确：①平方差公式中a ，b 可以表示任何一个单项式或多项式．②若给出多项式的两部分不具备明显的平方差关系，需尝试转化为a 2－b 2的形式． 【活动三】 综合运用因式分解的方法分解因式 【例3】 把下列各式分解因式： (1)x 4－y 4；(2)a 3b －a B ． 分析：(1)x 4－y 4可以写成(x 2)2－(y 2)2的形式，这样就可以利用平方差公式进行因式分解；(2)a 3b －ab 有公因式ab ，应先提出公因式，再进一步分解． 解：略．点拨：因式分解必须进行到每一个因式都不能再分解为止． 【例4】 利用平方差公式计算： 25×1012－992×25. 解：略．【活动四】 利用完全平方公式分解因式问题：你能将多项式a 2＋2ab ＋b 2与多项式a 2－2ab ＋b 2分解因式吗？这两个多项式有什么共同特点？你会想到什么公式？总结：它们都是两个数的平方和加上或减去这两个数积的2倍，则恰好是两个数的和或差的平方，我们把a 2＋2ab ＋b 2和a 2－2ab ＋b 2这样的式子叫做完全平方式．利用完全平方公式可以把形如完全平方式的多项式因式分解． 归纳：把整式乘法的完全平方公式 (a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2， (a －b )2＝a 2－2ab ＋b 2即两个数的平方和加上((或差)的平方． 公式中的字母a ，b 可以表示一个数或一个单项式或一个多项式． 【例5】 下列各式是不是完全平方式？ (1)a 2－4a ＋4；(2)x 2＋4x ＋4y 2；(3)4a 2＋2ab ＋14b 2；(4)a 2－ab ＋b 2；(5)x 2－6x －9；(6)a 2＋a ＋0.25. 解：略．【活动五】 应用公式，巩固夯实如果多项式是完全平方式，那么这个多项式就可以运用完全平方公式分解因式． 【例6】 分解因式：(1)16x 2＋24x ＋9；(2)－x 2＋4xy －4y 2. 解：略．点拨：两个平方式都含负号，要提负号，再转化为完全平方式． 【活动六】 分解因式的综合运用及换元法思想 【例7】 把下列各式分解因式： (1)3ax 2＋6axy ＋3ay 2； (2)(a ＋b )2－12(a ＋b )＋36. 解：略．本课小结1．利用公式法分解因式．2．分解因式一般先观察有无公因式，如果多项式各项含有公因式，则第一步是提出这个公因式；如果多项式各项没有公因式，则第一步考虑用公式分解因式．3．第一步分解因式以后，所含的多项式还可以继续分解，则需要进一步分解因式，直到每个多项式因式都不能分解为止．学前温故1．平方差公式：(a ＋b )(a －b )＝a 2－b 2，完全平方公式：(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2，(a －b )2＝a 2－2ab ＋b 2.2．把一个多项式化成了几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．新课早知1．因式分解的平方差公式：a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b )，即两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积．2．下列各式运用平方差公式分解因式正确的是（ ）．A ．x 2＋y 2＝(x ＋y )(x －y )B ．x 2－y 2＝(x ＋y )(x －y )C ．－x 2＋y 2＝(－x ＋y )(－x －y ) D ．－x 2－y 2＝－(x ＋y )(x －y ) 答案：B3．因式分解的完全平方公式： a 2＋2ab ＋b 2＝(a ＋b )2， a 2－2ab ＋b 2＝(a －b )2.即两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方． 4．下列各式能用完全平方公式分解的是（ ）．A ．x 2＋42B ．x 2－2xy ＋4y 2C ．－x 2－4xy ＋4y 2D ．9(x ＋y )2－6(x ＋y )＋1 答案：D1．用公式法分解因式【例1】 运用公式法分解因式：(1)49m 2－19n 2；(2)a 2＋4ab ＋4b 2.分析：应用公式法分解因式的关键是找清公式中的字母各代表什么．解：(1)原式＝(7m )2－⎝⎛⎭⎫13n 2＝⎝⎛⎭⎫7m ＋13n ⎝⎛⎭⎫7m －13n . (2)原式＝(a ＋2b )2.【例2】 计算：1.992－2.992.分析：1.99相当于平方差公式中的a,2.99相当于平方差公式中的B．解：1.992－2.992＝(1.99－2.99)×(1.99＋2.99)＝(－1)×4.98＝－4.98.点拨：如果按一般步骤进行，计算量很大，极易出错．如果能利用因式分解的方法，就可大大简化运算过程．2．分解因式的一般步骤【例3】分解因式：(1)x3－4x；(2)3x2－6x＋3.分析：(1)先提公因式x，再用平方差公式；(2)先提公因式3，再用完全平方公式．解：(1)x3－4x＝x(x2－4)＝x(x＋2)(x－2)；(2)3x2－6x＋3＝3(x2－2x＋1)＝3(x－1)2.点拨：分解因式应首先考虑提公因式，当没有公因式或提完公因式后再考虑公式法．可借助以下口诀记忆：分解因式并不难，提公因式要领先，能用公式用公式，公式不行至此完．1．下列多项式中，能用公式法分解因式的是（）．A．x2－xy B．x2＋xy C．x2＋y2D．x2－y2答案：D2．若多项式a2－ma＋16能用完全平方公式分解因式，则m的值是（）．A．－8 B．8 C．±4 D．±8答案：D3．分解因式：a2＋4a＋4＝________.答案：(a＋2)24．若多项式4a2＋M能用平方差公式分解因式，则单项式M＝________(写出一个即可)．答案：答案不唯一．如：－b25．如图，求圆环形绿化区的面积．解：圆环的面积＝π×352－π×152＝π×(352－152)＝π×(35＋15)(35－15)＝1 000π(m2)．6．把下列各式分解因式．(1)a3b－9ab3；(2)2x2＋4x＋2；(3)－49a＋28a2－4a3；(4)16(x＋y)2－24(x＋y)＋9.解：(1)a3b－9ab3＝ab(a2－9b2)＝ab(a＋3b)(a－3b)．(2)2x2＋4x＋2＝2(x2＋2x＋1)＝2(x＋1)2.(3)－49a＋28a2－4a3＝－a(49－28a＋4a2)＝－a(7－2a)2.(4)16(x＋y)2－24(x＋y)＋9＝[4(x＋y)－3]2＝(4x＋4y－3)2.能力提升1．给出下列各式：①x2＋y2；②x2－y2；③－a2＋b2；④－m2－n2；⑤x2－3.其中在实数范围内能用平方差公式分解因式的有（）．A．2个B．3个C．4个D．5个答案：B2．把代数式mx 2－6mx ＋9m 分解因式，下列结果中正确的是（ ）．A ．m (x ＋3)2B ．m (x ＋3)(x －3)C ．m (x －4)2D ．m (x －3)2 答案：D3．在多项式①x 2＋2xy －y 2，②－x 2＋2xy －y 2，③x 2＋xy ＋y 2，④1＋x ＋24x 中，能用完全平方公式分解的是（ ）．A ．①②B ．①③C ．①④D ．②④答案：D4．分解因式：x (x －1)－3x ＋4＝________. 答案：(x －2)25．已知x ＋y ＝1，那么12x 2＋xy ＋12y 2的值是________． 答案：126．请你写一个能先提公因式，再运用公式来分解因式的三项式，并写出分解因式的结果：________.答案：答案不唯一，如：x 3－2x 2y ＋xy 2＝x (x 2－2xy ＋y 2)＝x (x －y )2.7．用因式分解的方法计算：22402320122011 ＝________.答案：18．在日常生活中如取款、上网等都需要密码．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是：如对于多项式x 4－y 4，因式分解的结果是(x －y )(x ＋y )(x 2＋y 2)，若取x ＝9，y ＝9时，则各个因式的值是：(x －y )＝0，(x ＋y )＝18，(x 2＋y 2)＝162，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．对于多项式4x 3－xy 2，取x ＝10，y ＝10时，用上述方法产生的密码是________．(写出一个即可)答案：103010(或301010或101030)9．利用1个a ×a 的正方形，1个b ×b 的正方形和2个a ×b 的矩形可拼成一个正方形(如图所示)，从而可得到因式分解的公式________．答案：A 2＋2ab ＋b 2＝(a ＋b )210．给出三个多项式2a 2＋3ab ＋b 2,3a 2＋3ab ，a 2＋ab ，请你任选两个进行加(或减)法运算，再将结果分解因式．解：答案不唯一．如：3a 2＋3ab －(2a 2＋3ab ＋b 2)＝3a 2＋3ab －2a 2－3ab －b 2＝a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b )． 11．在实数范围内分解因式： (1)4x 2－5；(2)x 4－16.解：(1)4x 2－5＝(2x )2－2＝(2x x ； (2)x 4－16＝(x 2)2－42＝(x ＋4)(x 2－4) ＝(x 2＋4)(x ＋2)(x －2)．12．若a ，b ，c 分别是△ABC 的三边，且a 2＋b 2＋c 2＝ab ＋bc ＋ca ，请说明△ABC 是等边三角形．分析：对a 2＋b 2＋c 2＝ab ＋bc ＋ca 变形，得到(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2＝0，从而得到a ＝b ＝C ．解：∵a 2＋b 2＋c 2＝ab ＋bc ＋ca ， ∴2a 2＋2b 2＋2c 2＝2ab ＋2bc ＋2c A ．∴(a 2－2ab ＋b 2)＋(b 2－2bc ＋c 2)＋(c 2－2ac ＋a 2)＝0， 即(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2＝0. ∴a －b ＝0且b －c ＝0且c －a ＝0. ∴a ＝b ＝C ．∴△ABC 是等边三角形．创新应用13．阅读下面的解题过程： (1)分解因式：x 2－4x －12. 解：x 2－4x －12 ＝x 2－4x ＋224422--⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭－12 ＝x 2－4x ＋4－4－12＝(x －2)2－42＝(x －2－4)(x －2＋4) ＝(x －6)(x ＋2)．(2)请仿照第(1)小题的解法把下列各式分解因式： ①a 2＋2a －8； ②y 2－y －6.解：①a 2＋2a －8＝a 2＋2a ＋22⎛⎫ ⎪⎝⎭2－22⎛⎫ ⎪⎝⎭2－8 ＝a 2＋2a ＋1－9 ＝(a ＋1)2－32＝(a ＋1＋3)(a ＋1－3) ＝(a ＋4)(a －2)． ②y 2－y －6＝y 2－y ＋12-⎛⎫ ⎪⎝⎭2－12-⎛⎫ ⎪⎝⎭2－6 ＝12y ⎛⎫- ⎪⎝⎭2－254＝12y ⎛⎫- ⎪⎝⎭2－52⎛⎫ ⎪⎝⎭2＝15152222y y ⎛⎫⎛⎫-+-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭＝(y ＋2)(y －3)．因式分解学以致用因式分解是整式的一种重要的恒等变形，在解题中有着广泛的应用，借助因式分解可解决计算、求值、说理等多方面的问题．一、用于求值【例1】 已知a ＝12m ＋1，b ＝12m ＋2，c ＝m ＋4.求a 2＋2ab ＋b 2－2c (a ＋b )＋c 2的值．分析：根据已知条件，可得a ＋b －c ＝－1，再观察待求式可以变换为(a ＋b －c )2，将a ＋b －c ＝－1整体代入即可．解：a 2＋2ab ＋b 2－2c (a ＋b )＋c 2＝(a ＋b )2－2(a ＋b )c ＋c 2＝(a ＋b －c )2.因为a ＋b －c ＝12m ＋1＋12m ＋2－m －4＝－1，所以a 2＋2ab ＋b 2－2c (a ＋b )＋c 2＝(－1)2＝1. 二、用于说理【例2】 已知a ，b ，c 为不相等的有理数，且(a －c )2－4(a －b )(b －c )＝0，试说明2b ＝a ＋C ．分析：要说明2b ＝a ＋c ，由已知条件，可将(a －c )2－4(a －b )(b －c )进行变形，得到(2b －a －c )2＝0.解：由已知，得(a －b ＋b －c )2－4(a －b )(b －c )＝0， 则(a －b )2＋2(a －b )(b －c )＋(b －c )2－4(a －b )(b －c )＝0. 所以(a －b )2－2(a －b )(b －c )＋(b －c )2＝0. 则[(a －b )－(b －c )]2＝0. 所以(a －b )－(b －c )＝0.故a ＋c －2b ＝0，即2b ＝a ＋C ． 三、用于求面积【例3】 长方形的周长为16 cm ，它的两边x ，y 满足(x －y )2－2x ＋2y ＋1＝0.求其面积．分析：根据周长可得x ＋y ＝8，要求长方形的面积，则需要根据(x －y )2－2x ＋2y ＋1＝0，再求出关于x ，y 的另一个关系式，然后解方程组求x ，y 的值即可．解：(x －y )2－2x ＋2y ＋1＝0变形为(x －y )2－2(x －y )＋1＝0， 则(x －y －1)2＝0.所以x －y －1＝0. 又因为x ＋y ＝8，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝8，x －y ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4.5，y ＝3.5. 所以长方形的面积为4.5×3.5＝15.75(cm 2)． 四、用于求整数【例4】 已知m ，n 均为正整数，且m 2－n 2＝68，求m ，n .分析：要求m ，n ，则应将m 2－n 2＝68进行变形，转化为二元一次方程组求解． 解：因为m ，n 为正整数，m 2－n 2＝(m ＋n )(m －n )＝68， 所以(m ＋n )(m －n )等于68×1或34×2或17×4，所以⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝68，m －n ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝34，m －n ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝17，m －n ＝4.但⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝68，m －n ＝1和⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝17，m －n ＝4的解都不是整数，因此应舍去． 所以解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝34，m －n ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝18，n ＝16.五、用于比较大小【例5】 设a ＜b ＜c ＜d ，如果x ＝ca －ab ，y ＝cd －bd ，试比较x ，y 的大小．分析：要比较x ，y 的大小，可以通过作差的方法，比较x －y 与0的大小，当x －y ＞0时，x ＞y ；当x －y ＜0时，x ＜y ；当x －y ＝0时，x ＝y .解：因为a ＜b ＜c ＜d ，所以x －y ＝(ca －ab )－(cd －bd )＝a (c －b )－d (c －b )＝(a －d )(c －b )＜0.所以x ＜y .。
第十四章整式的乘法与因式分解大单元(教案)
2.教学难点
（1）多项式乘法的运算顺序和法则记忆。
-难点分析：学生容易混淆不同类型的乘法法则，忘记分配律。
-解决方法：通过直观图示和反复练习，加深记忆。
（2）完难点分析：学生难以区分两个公式，以及何时使用哪个公式。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了整式的乘法与因式分解的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对这些知识点的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决数学问题时灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
-练习：应用完全平方公式进行乘法和因式分解。
（3）平方差公式：a^2-b^2=(a+b)(a-b)。
-举例：解释公式中a和b的含义，展示公式的应用。
-练习：设计平方差公式的应用题目，加强理解。
（4）因式分解方法：提公因式法、公式法、十字相乘法。
-举例：详细讲解每种方法的步骤，如提取公因式时如何找到最大公因式。
第十四章整式的乘法与因式分解大单元（教案）
一、教学内容
第十四章整式的乘法与因式分解大单元（教案）
1.多项式乘以多项式
-乘法法则
-举例说明
-练习
2.单项式乘以多项式
-乘法法则
-举例说明
-练习
3.多项式乘以单项式
-乘法法则
-举例说明
-练习
4.完全平方公式
-公式推导
-应用实例
-练习
5.平方差公式
-公式推导
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。