基本初等函数(I)填空题训练
基本初等函数(Ⅰ)专题训练
1.(优质试题·全国丙卷改编)已知a ＝23，b ＝45，c ＝253，则a ，b ，c 的大小关系为________．解析：因为a ＝243，b ＝425＝245，由函数y ＝2x 在R 上为增函数知，b <a ；又因为a＝243＝423，c ＝2513＝523，由函数y ＝x 23在(0，＋∞)上为增函数知，a <c .综上得c >a >b .答案：c >a >b2．(优质试题·浙江高考)已知a ＞b ＞1，若log a b ＋log b a ＝52，a b＝b a ，则a ＝________，b ＝________.解析：因为log a b ＋log b a ＝log a b ＋1log a b ＝52，所以log a b ＝2或12.因为a ＞b ＞1，所以log a b ＜log a a ＝1，所以log a b ＝12，所以a ＝b 2.因为a b ＝b a ，所以(b 2)b ＝bb 2，即b 2b ＝bb 2，所以2b ＝b 2，所以b ＝2，a ＝4. 答案：4 23．(优质试题·山东高考改编)若函数f (x )＝2x ＋12x －a 是奇函数，则使f (x )>3成立的x 的取值范围为________．解析：因为函数y ＝f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，即2－x ＋12－x －a ＝－2x ＋12x －a .化简可得a ＝1，则2x ＋12x －1>3，即2x ＋12x －1－3>0，即2x ＋1－3(2x －1)2x－1>0，故不等式可化为2x －22x －1<0，即1<2x <2，解得0<x <1.答案：(0,1)4．(优质试题·江苏高考)不等式2x 2－x ＜4的解集为________． 解析：因为2x 2－x ＜4，所以2x 2－x ＜22， 所以x 2－x ＜2，即x 2－x －2＜0，所以－1＜x ＜2. 答案：(－1,2)5．(优质试题·安徽高考)⎝⎛⎭⎫1681－34＋log 3 54＋log 3 45＝________. 解析：原式＝⎝⎛⎭⎫⎝⎛⎭⎫234－34＋log 3⎝⎛⎭⎫54×45＝⎝⎛⎭⎫23－3＝278. 答案：2786．(优质试题·全国卷Ⅰ)若函数f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝________. 解析：因为f (x )为偶函数，所以f (－x )－f (x )＝0恒成立， 所以－x ln(－x ＋a ＋x 2)－x ln(x ＋a ＋x 2)＝0恒成立，所以x ln a ＝0恒成立，所以ln a ＝0，即a ＝1.答案：17．(优质试题·山东高考)已知函数f (x )＝a x ＋b (a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[－1,0]，则a ＋b ＝________.解析：当a >1时，函数f (x )＝a x ＋b 在[]－1，0上为增函数，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a －1＋b ＝－1，a 0＋b ＝0无解．当0<a <1时，函数f (x )＝a x ＋b 在[－1,0]上为减函数，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝0，a 0＋b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－2，所以a ＋b ＝－32.答案：－328．(优质试题·天津高考)已知a >0，b >0，ab ＝8，则当a 的值为________时，log 2a ·log 2(2b )取得最大值．解析：由于a >0，b >0，ab ＝8，所以b ＝8a .所以log 2a ·log 2(2b )＝log 2a ·log 2⎝⎛⎭⎫16a ＝log 2a ·(4－log 2a )＝－(log 2a －2)2＋4，当且仅当log 2a ＝2，即a ＝4时，log 2a ·log 2(2b )取得最大值4. 答案：49．(优质试题·江苏高考)已知函数f (x )＝a x ＋b x (a ＞0，b ＞0，a ≠1，b ≠1)． (1)设a ＝2，b ＝12.①求方程f (x )＝2的根；②若对于任意x ∈R ，不等式f (2x )≥mf (x )－6恒成立，求实数m 的最大值． (2)若0＜a ＜1，b ＞1，函数g (x )＝f (x )－2有且只有1个零点，求ab 的值． 解：(1)因为a ＝2，b ＝12，所以f (x )＝2x ＋2－x .①方程f (x )＝2，即2x ＋2－x ＝2， 亦即(2x )2－2×2x ＋1＝0，所以(2x －1)2＝0，即2x ＝1，解得x ＝0.②由条件知f (2x )＝22x ＋2－2x ＝(2x ＋2－x )2－2＝(f (x ))2－2. 因为f (2x )≥mf (x )－6对于x ∈R 恒成立，且f (x )＞0， 所以m ≤(f (x ))2＋4f (x )对于x ∈R 恒成立．而(f (x ))2＋4f (x )＝f (x )＋4f (x )≥2f (x )·4f (x )＝4，且(f (0))2＋4f (0)＝4，所以m ≤4，故实数m 的最大值为4.(2)因为函数g (x )＝f (x )－2＝a x ＋b x －2有且只有1个零点，而g (0)＝f (0)－2＝a 0＋b 0－2＝0，所以0是函数g (x )的唯一零点．因为g ′(x )＝a x ln a ＋b x ln b ，又由0＜a ＜1，b ＞1知ln a ＜0，ln b ＞0， 所以g ′(x )＝0有唯一解x 0＝log b a ⎝⎛⎭⎫－ln a ln b .令h (x )＝g ′(x )，则h ′(x )＝(a x ln a ＋b x ln b )′＝a x (ln a )2＋b x (ln b )2，从而对任意x ∈R ，h ′(x )＞0，所以g ′(x )＝h (x )是(－∞，＋∞)上的单调增函数． 于是当x ∈(－∞，x 0)时，g ′(x )＜g ′(x 0)＝0； 当x ∈(x 0，＋∞)时，g ′(x )＞g ′(x 0)＝0.因而函数g (x )在(－∞，x 0)上是单调减函数，在(x 0，＋∞)上是单调增函数． 下证x 0＝0.若x 0＜0，则x 0＜x 02＜0，于是g ⎝⎛⎭⎫x 02＜g (0)＝0. 又g (log a 2)＝a log a 2＋b log a 2－2＞a log a 2－2＝0，且函数g (x )在以x 02和log a 2为端点的闭区间上的图象不间断，所以在x 02和log a 2之间存在g (x )的零点，记为x 1.因为0＜a ＜1，所以log a 2＜0.又x 02＜0，所以x 1＜0，与“0是函数g (x )的唯一零点”矛盾． 若x 0＞0，同理可得，在x 02和log b 2之间存在g (x )的非0的零点，与“0是函数g (x )的唯一零点”矛盾．因此，x 0＝0.于是－ln a ln b＝1，故ln a ＋ln b ＝0，所以ab ＝1.10．(优质试题·上海高考)已知a ∈R ，函数f (x )＝log 2⎝⎛⎭⎫1x ＋a .(1)当a ＝5时，解不等式f (x )>0；(2)若关于x 的方程f (x )－log 2[(a －4)x ＋2a －5]＝0的解集中恰有一个元素，求a 的取值范围；(3)设a >0，若对任意t ∈⎣⎡⎦⎤12，1，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值范围．解：(1)由log 2⎝⎛⎭⎫1x ＋5>0，得1x ＋5>1，解得x ∈⎝⎛⎭⎫－∞，－14∪(0，＋∞)．(2)由原方程可得1x ＋a ＝(a －4)x ＋2a －5，即(a －4)x 2＋(a －5)x －1＝0.①当a ＝4时，x ＝－1，经检验，满足题意． ②当a ＝3时，x 1＝x 2＝－1，经检验，满足题意． ③当a ≠3且a ≠4时，x 1＝1a －4，x 2＝－1，x 1≠x 2.若x 1是原方程的解，则1x 1＋a >0，即a >2；若x 2是原方程的解，则1x 2＋a >0，即a >1.由题意知x 1，x 2只有一个为方程的解，所以⎩⎨⎧a >2，a ≤1或⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2，a >1，于是满足题意的a ∈(1,2]．综上，a 的取值范围为(1,2]∪{3,4}． (3)易知f (x )在(0，＋∞)上单调递减，所以函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上的最大值与最小值分别为f (t )，f (t ＋1)．f (t )－f (t ＋1)＝log 2⎝⎛⎭⎫1t ＋a －log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ＋1＋a ≤1，即at 2＋(a ＋1)t －1≥0对任意t ∈⎣⎡⎦⎤12，1恒成立．因为a >0，所以函数y ＝at 2＋(a ＋1)t －1在区间⎣⎡⎦⎤12，1上单调递增，当t ＝12时，y 有最小值34a －12.由34a －12≥0，得a ≥23.故a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫23，＋∞.1.(2016·山东高考)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧|x |，x ≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x ＞m ，其中m ＞0.若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________．解析：作出f (x )的图象如图所示．当x ＞m 时，x 2－2mx ＋4m ＝(x －m )2＋4m －m 2，所以要使方程f (x )＝b 有三个不同的根，则4m －m 2＜m ，即m 2－3m ＞0.又m ＞0，解得m ＞3.答案：(3，＋∞)2．(优质试题·江苏高考)已知函数f (x )＝|ln x |，g (x )＝⎩⎨⎧0，0＜x ≤1，|x 2－4|－2，x ＞1，则方程|f (x )＋g (x )|＝1实根的个数为________．解析：①当0＜x ≤1时，方程为－ln x ＝1，解得x ＝1e.②当1＜x ＜2时，f (x )＋g (x )＝ln x ＋2－x 2单调递减，值域为(ln 2－2,1)，方程f (x )＋g (x )＝1无解，方程f (x )＋g (x )＝－1恰有一解．③当x ≥2时，f (x )＋g (x )＝ln x ＋x 2－6单调递增，值域为[ln 2－2，＋∞)，方程f (x )＋g (x )＝1恰有一解，方程f (x )＋g (x )＝－1恰有一解．综上所述，原方程有4个实根． 答案：43．(优质试题·江苏高考)已知f (x )是定义在R 上且周期为3的函数，当x ∈[0,3)时，f (x )＝⎪⎪⎪⎪x 2－2x ＋12.若函数y ＝f (x )－a 在区间[－3,4]上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是________．解析：函数y ＝f (x )－a 在区间[－3,4]上有互不相同的10个零点，即函数y ＝f (x )，x ∈[－3,4]与y ＝a 的图象有10个不同交点．作出函数y ＝f (x )在[－3,4]上的图象如图所示，f (－3)＝f (－2)＝f (－1)＝f (0)＝f (1)＝f (2)＝f (3)＝f (4)＝12，观察图象可得0<a <12.答案：⎝⎛⎭⎫0，121.(优质试题·x (单位：℃)满足函数关系y ＝e kx ＋b (e ＝2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是________小时．解析：由已知条件，得192＝e b ，所以b ＝ln 192. 又因为48＝e 22k ＋b ＝e 22k ＋ln 192＝192e 22k ＝192(e 11k )2，所以e 11k ＝⎝⎛⎭⎫4819212＝⎝⎛⎭⎫1412＝12.设该食品在33 ℃的保鲜时间是t 小时，则t ＝e 33k ＋ln 192＝192e 33k ＝192(e 11k )3＝192×⎝⎛⎭⎫123＝24. 答案：242．(优质试题·江苏高考)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路．记两条相互垂直的公路为l 1，l 2，山区边界曲线为C ，计划修建的公路为l .如图所示，M ，N 为C 的两个端点，测得点M 到l 1，l 2的距离分别为5千米和40千米，点N 到l 1，l 2的距离分别为20千米和2.5千米．以l 2，l 1所在的直线分别为x ，y 轴，建立平面直角坐标系xOy .假设曲线C 符合函数y ＝ax 2＋b(其中a ，b 为常数)模型．(1)求a ，b 的值．(2)设公路l 与曲线C 相切于P 点，P 的横坐标为t . ①请写出公路l 长度的函数解析式f (t )，并写出其定义域． ②当t 为何值时，公路l 的长度最短？求出最短长度． 解：(1)由题意知，点M ，N 的坐标分别为(5,40)，(20，2.5)． 将其分别代入y ＝ax 2＋b，得⎩⎪⎨⎪⎧a25＋b ＝40，a 400＋b ＝2.5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1 000，b ＝0.(2)①由(1)知，y ＝1 000x 2(5≤x ≤20)， 则点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫t ，1 000t 2. 设在点P 处的切线l 交x ，y 轴分别于A ，B 两点， y ′＝－2 000x3，则l 的方程为y －1 000t 2＝－2 000t3(x －t )，由此得A ⎝⎛⎭⎫3t 2，0，B ⎝⎛⎭⎫0，3 000t 2. 故f (t )＝⎝⎛⎭⎫3t 22＋⎝⎛⎭⎫3 000t 22＝32t 2＋4×106t4，t ∈[5,20]．②设g (t )＝t 2＋4×106t 4，则g ′(t )＝2t －16×106t 5.令g ′(t )＝0，解得t ＝10 2.当t ∈(5,102)时，g ′(t )＜0，g (t )是减函数； 当t ∈(102，20)时，g ′(t )＞0，g (t )是增函数． 从而，当t ＝102时，函数g (t )有极小值，也是最小值， 所以g (t )min ＝300，此时f (t )min ＝15 3. 故当t ＝102时，公路l 的长度最短， 最短长度为153千米．3．(优质试题·江苏高考)如图，建立平面直角坐标系xOy ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1千米，某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y ＝kx －120(1＋k 2)x 2(k ＞0)表示的曲线上，其中k 与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．(1)求炮的最大射程；(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．解：(1)令y ＝0，得kx －120(1＋k 2)x 2＝0， 由实际意义和题设条件知x ＞0，k ＞0， 故x ＝20k 1＋k 2＝20k ＋1k≤202＝10，当且仅当k＝1时取等号．所以炮的最大射程为10千米．(2)因为a＞0，所以炮弹可击中目标⇔存在k＞0，使3.2＝ka－120(1＋k2)a2成立⇔关于k的方程a2k2－20ak＋a2＋64＝0有正根⇔判别式Δ＝(－20a)2－4a2(a2＋64)≥0⇔a≤6.所以当a不超过6(千米)时，可击中目标．。
初等函数习题附答案
函数、基本初等函数练习（一）一、选择题1． 已知函数2y ax bx c =++，如果a b c >>且0a b c ++=，则它的图象可能是（ ） Ｄ2．已知函数()213axy -=是定义域上的减函数，则字母a 的取值范围是（ ）Ａ．01a <<Ｂ．1a <<Ｃ．11a -<<Ｄ．10a -<<Ｃ3．已知函数()()2log 03(0]xx x f x x ⎧∈+∞⎪=⎨∈-∞⎪⎩，，，，，，则14f f ⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦等于（ ）Ａ．9 Ｂ．19Ｃ．9- Ｄ．19-Ｂ4．已知2312a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，322b -=，1312c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则下列关系中正确的是（ ）Ａ．b a c <<Ｂ．c a b << Ｃ．a c b << Ｄ．a b c <<Ａ5．若()f x 是定义在区间[66]-，上的偶函数，且(3)(1)f f >-，则下列各式中一定成立的是（ ） Ａ．(1)(3)f f <- Ｂ．(0)(6)f f <Ｃ．(3)(2)f f >Ｄ．(2)(0)f f >Ａ6．已知A B ，两地相距150千米，某人开汽车以60千米／小时的速度从A 地到达B 地，在B 地停留1小时后再以50千米／小时的速度返回A 地，把汽车离开A 地的距离x 表示为时间t （小时）的函数表达式是（ ） Ａ．60x t =Ｂ．6050x t t =+Ｃ．60(0 2.5)1505( 3.5)t t x t x ⎧=⎨->⎩， ，≤≤Ｄ．600 2.5150(2.5 3.5)15050( 3.5)(3.5 6.5)t t x t t t ()⎧⎪=<⎨⎪--<⎩， ， ，≤≤≤≤Ｄ二、填空题7．已知函数()12g x x =-，[]221()x f g x x-=，则12f ⎛⎫=⎪⎝⎭．15 8．函数e 1e 1xxy -=+的值域为 ．(11)-，9．327log 2log 64= ．1210．若1()2ax f x x +=+在区间(2)-+∞，上是增函数，则a 的取值范围是 ．12a >11．设函数2()4(1)5f x x a x =-++在[1)-+∞，上是增函数，在(1]-∞-，上是减函数，则(1)f -= ．112．函数1log (54)xx y +=-的定义域为．4(10)(0log 5)- ，，三、解答题13．已知01a <<，x y ，满足2log (log )3log 3a a a y x x =-+，如果y有最大值4，求此时a 和x 的值．14a =，18x =14．根据信息产业部、国家计委、财政部《关于电信资费结构性调整的通知》和江苏省邮电管理局、江苏省物价局相关文件通知，盐城市因特网业务资费（以下简称上网资费）自2006年1月21日起执行新标准．用户有两种上网方式可供选用：①使用163拨号上网，每月上网资费用1y （元）表示；②使用宽带接入方式上网，每月上网资费用2y （元）表示，根据新标准，得到上网资费和使用时间x （小时）之间的函数关系图（如下图，每月以30天，即720小时计算）．（1）写出12y y ，的函数表达式；（2）现在已知某用户平均每天上网2小时，该用户用哪种方式上网，每月的上网资费更少？ （3）该用户每月上网总时间满足什么条件时，选用第一种上网方式更划算？ （1）1 2.450(0720)y x x =+≤≤，299(0720)y x =≤≤；（2）该用户使用宽带接入方式上网，每月的上网资费更少； （3）每月上网点时间不多于52012小时时，选用第一种上网方式更划算．15．设函数22()21(01)f x x ax a x =-+++≤≤． （1）求()f x 的最大值()M a ；（2）求[11]a ∈-，时，求函数()M a 的值域． （1）2210()10121a a M a a a a a a ⎧+<⎪=+⎨⎪+>⎩2，2，；≤≤（2）[13]，．函数、基本初等函数练习（二）一、选择题1．下列各式正确的是（ ）Ａ．35a-=32x =Ｃ．111111248824a a a a ⎛⎫⨯⨯--⎪⎝⎭= Ｄ．112333142212xx x x --⎛⎫-=- ⎪⎝⎭Ｄ2．设函数2()(0)f x x x a a =++>，若存在实数m ，使()0f m <，则必有（ ） Ａ．(1)0f m -<且(1)0f m +< Ｂ．(1)0f m ->且(1)0f m +> Ｃ．(1)0f m ->且(1)0f m +<Ｄ．(1)0f m -<且(1)0f m +>Ｂ3．设0x >，且1x x a b <<，0a b >，，则a b ，的大小关系是（ ） Ａ．1b a <<Ｂ．1a b <<Ｃ．1b a <<Ｄ．1a b <<Ｂ4．下列函数中，值域为(0)+∞，的函数是（ ）Ａ．12x y =Ｂ．112xy -⎛⎫= ⎪⎝⎭Ｃ．y =Ｄ．y =Ｂ5．设a b c ，，都是正数，且346a b c==，则以下正确的是（ ） Ａ．221cab=+Ｂ．111cab=+Ｃ．122cab=+Ｄ．212cab=+Ａ6．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润（单位：万元）分别为21 5.060.15L x x =-和22L x =，其中x 为销售量（单位：辆）．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为（ ） Ａ．45.606万元 Ｂ．45.56万元 Ｃ．45.6万元 Ｄ．45.51万元Ｃ二、填空题 7．函数y =的单调递减区间是 ．[13]，8．奇函数()f x 在区间[15]，上递减，且在[15]，上的最大值是10，在区间[51]--，上的最大值是1，则(5)2(1)f f --=．199．若函数()f x 是定义在R 上的偶函数，在(0]-∞，上是减函数，且(2)0f =，则使得()0f x <的x 的取值范围是 ．(22)-，10．二次函数2y ax bx c =++中，若0a c < ，则函数的零点个数是 个．两11．5255log log (2)log log log (4)x x x x y x x =++ ，且2284y x= ，则y =．2112．王老师给出一个函数()y f x =，四个学生甲、乙、丙、丁各指出这个函数的一个性质： 甲：对于x ∈R ，都有(1)(1)f x f x +=-； 乙：在(0]-∞，上是减函数； 丙：在(0)+∞，上是增函数； 丁：(0)f 不是函数的最小值．现已知其中恰有三个说得正确，则这个函数可能是 （只须写出一个这样的函数即可）．2(1)y x =-三、解答题13．设()f x 在[]a b ，上的图象是连续不断的一条曲线，且()a f x b ≤≤，求证：在[]a b ，中至少有一个常数，使()f c c =． 证明略．14．已知11()212xf x x ⎛⎫=+⎪-⎝⎭． （1）指出()f x 的奇偶性，并予以证明； （2）证明()0f x >．（1）偶函数，证明略； （2）证明略． 15．设函数2221()log log (1)log ()1x f x x p x x +=+-+--（其中1p >）． （1）求()f x 的定义域；（2）()f x 是否存在最大值或最小值？如果存在，请把它求出来；若不存在，请说明理由． （1）(1,)p ；（2）13p <≤时，()f x 即无最大值又无最小值；当3p >时，()f x 有最大值22(1)log 4p +，但没有最小值，理由略．DBBBAC [13]， 19 (22)-， 2 21 2(1)y x =-。
复习验收卷(二)函数概念与基本初等函数Ⅰ
复习验收卷(二) 函数概念与基本初等函数Ⅰ(时间：120分钟 满分：150分)一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知函数y ＝2x ＋1，x ∈{x ∈Z|0≤x ＜3}，则该函数的值域为( )A.{y |1≤y ＜7}B.{y |1≤y ≤7}C.{1，3，5，7}D.{1，3，5}答案 D解析 由题意可知，函数的定义域为{0，1，2}， 把x ＝0，1，2代入函数解析式可得y ＝1，3，5， 所以该函数的值域为{1，3，5}，故选D.2.定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x )＝x 2－2x (x ≥0)，则函数f (x )的零点个数为( )A.0B.1C.2D.3答案 D解析 依题意，当x ＞0时，由f (x )＝x 2－2x ＝0得x ＝2，即函数f (x )的一个零点为x ＝2.又函数f (x )为奇函数，于是－2也是函数f (x )的一个零点， 又f (0)＝0，因此函数f (x )的零点个数为3，故选D.3.已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (2x －1)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13的x 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，23 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，23 答案 A解析 由于函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，且f (x )为偶函数， 则由f (2x －1)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13得f (|2x －1|)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，即有－13＜2x －1＜13，解得13＜x ＜23.故x 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23.4.(2020·北京海淀区一模)形如22n ＋1(n 是非负整数)的数称为费马数，记为F n ，数学家费马根据F 0，F 1，F 2，F 3，F 4都是质数提出了猜想：费马数都是质数.多年之后，数学家欧拉计算出F 5不是质数，那F 5的位数是( )(参考数据：lg 2≈0.301 0) A.9 B.10C.11D.12答案 B解析 F 5＝232＋1，设m ＝232，则两边取常用对数得lg m ＝lg 232＝32lg 2＝32×0.301 0＝9.632.m ＝109.632＝109×100.632，所以F 5＝109×100.632＋1，又1＜100.632＜10，故F 5是10位数.5.将甲桶中的a 升水缓慢注入空桶乙中，t min 后甲桶剩余的水量符合指数衰减曲线y ＝a e nt .假设过5 min 后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m min 甲桶中的水只有a4升，则m 的值为( )A.5B.6C.8D.10答案 A解析 根据题意知，因为5 min 后甲桶和乙桶的水量相等，所以函数f (t )＝a e nt 满足f (5)＝a e 5n ＝12a ，可得n ＝15ln 12，设当k min 后甲桶中的水只有a4升，所以f (k )＝a 4，即15ln 12·k ＝ln 14，所以15ln 12·k ＝2ln 12，解得k ＝10，所以k －5＝5，即m ＝5，故选A.6.(2021·安徽联盟联考)已知函数f (x )＝10（x 2＋1）x ·e |x |，则函数f (x )的图象大致为( )答案 A解析 函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，又f (－x )＝10[（－x ）2＋1]－x ·e |－x |＝－10（x 2＋1）x ·e |x |＝－f (x )，故函数f (x )为奇函数，则函数f (x )的图象关于原点对称，排除B ，因为f (1)＝20e >0，且f (5)＝52e 5<1，所以排除C ，D ，选A.7.设函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d ，若2f (2)＝3f (3)＝4f (4)，则f (5)－13f (1)的值等于( )A.8B.12C.20D.36答案 A解析 设2f (2)＝3f (3)＝4f (4)＝k ， 则xf (x )－k ＝(x －2)(x －3)(x －4)·(x －p ).令x ＝0，得p ＝－k 24，于是f (1)＝－6＋3k 4，f (5)＝6＋k 4， 即f (5)－13f (1)＝8，故选A.8.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧ln （x ＋1）（x ≥0），x 3－3x （x <0），若函数y ＝f (x )－k 有三个不同的零点，则实数k 的取值范围是( ) A.(－2，2) B.(－2，1)C.(0，2)D.(1，3)答案 C解析 当x <0时，f (x )＝x 3－3x ，则f ′(x )＝3x 2－3， 令f ′(x )＝0，所以x ＝－1(舍去正根)，故f (x )在(－∞，－1)上单调递增，在(－1，0)上单调递减， 又f (x )＝ln(x ＋1)在[0，＋∞)上单调递增， 则函数f (x )的图象如图所示.当x <0时，f (x )极大值＝f (－1)＝2，且f (0)＝0， 故当k ∈(0，2)时，y ＝f (x )－k 有三个不同的零点.二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)9.在下列四组函数中，f (x )与g (x )表示同一函数的是( )A.f (x )＝x －1，g (x )＝x 2－1x ＋1B.f (x )＝|x ＋1|，g (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，x ≥－1，－1－x ，x <－1C.f (x )＝1，g (x )＝(x ＋1)0D.f (x )＝（x ）2x ，g (x )＝x（x ）2答案 BD解析 对于A ，函数f (x )的定义域为R ，g (x )的定义域为{x |x ≠－1}，f (x )与g (x )的定义域不相同，则不是同一函数；对于B ，函数f (x )的定义域为R ，g (x )的定义域为R ，f (x )与g (x )的定义域相同，f (x )＝|x ＋1|＝⎩⎨⎧x ＋1，x ≥－1，－1－x ，x <－1，对应关系相同，则f (x )与g (x )是同一函数；对于C ，函数f (x )的定义域为R ，g (x )的定义域为{x |x ≠－1}，f (x )与g (x )的定义域不相同，则不是同一函数；对于D ，函数f (x )＝（x ）2x ＝1(x >0)，g (x )＝x（x ）2＝1(x >0)的定义域与对应法则均相同，是同一函数，故选BD.10.关于函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3的结论正确的是A.定义域、值域分别是[－1，3]，[0，＋∞)B.单调增区间是(－∞，1]C.定义域、值域分别是[－1，3]，[0，2]D.单调增区间是[－1，1]答案CD解析由－x2＋2x＋3≥0，可得x2－2x－3≤0，解得－1≤x≤3，即函数的定义域是[－1，3]，由二次函数的性质可知，y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4∈[0，4]，∴函数的值域为[0，2]，结合二次函数的性质可知，函数在[－1，1]上单调递增，在[1，3]上单调递减. 故选CD.11.设x，y，z为正实数，且log2x＝log3y＝log5z>0，则下列关系式可能成立的是()A.x2<y3<z5 B.z5<y3<x2C.y3<z5<x2 D.x2＝y3＝z5答案ABD解析令log2x＝log3y＝log5z＝k>0，则x＝2k>1，y＝3k>1，z＝5k>1，故x2＝2k－1，y3＝3k－1，z5＝5k－1，若0<k<1时，f(x)＝x k－1在(0，＋∞)上单调递减，则z5<y3<x2，B项成立.若k＝1时，x2＝y3＝z5＝1，D项成立.若k>1时，则f(x)＝x k－1在(0，＋∞)上单调递增，∴x2<y3<z5，选项A成立.C不成立.12.(2021·福州质检)已知f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于点(1，0)对称.以下关于f(x)的结论正确的有A.f (x )是周期函数B.f (x )满足f (x )＝f (4－x )C.f (x )在(0，2)上单调递减D.f (x )＝cos πx2是满足条件的一个函数 答案 ABD解析 因为f (x )为偶函数，所以f (－x )＝f (x ).又其图象关于点(1，0)对称，所以f (－x )＝－f (2＋x )，所以f (x ＋2)＝－f (x )，所以f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，所以函数f (x )是以4为周期的周期函数，故A 正确； 由题意知，f (－x )＝f (x )＝f (x ＋4).又f (x ＋4)＝f (－x ＋4)，所以f (x )＝f (4－x )，故B 正确；函数f (x )＝cos πx 2是定义在R 上的偶函数，且由πx 2＝k π＋π2(k ∈Z)，得x ＝2k ＋1(k ∈Z)，所以(1，0)是它的一个对称中心，故D 正确；又f (x )在(0，2)上不能确定单调性，故C 错误.综上所述，故选ABD. 三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分) 13.求值：log 315－12log 325＝________. 答案 1解析 log 315－12log 325＝log 315－log 32512 ＝log 315－log 35＝log 33＝1.14.若函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ＋2，x ≤1，2x －1，x ＞1，则f (f (0))＝________.答案 5解析 ∵f (0)＝3，∴f (f (0))＝f (3)＝5.15.已知函数f (x )的定义域为(0，1)，则y ＝f [log 12(2x －1)]的定义域为______.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，1解析 ∵函数f (x )的定义域为(0，1)，∴0<log 12(2x －1)<1，即12<2x －1<1，解得34<x <1，∴函数y ＝f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤log 12（2x －1）的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫34，1. 16.已知函数f (x )＝m ·9x －3x ，若存在非零实数x 0，使得f (－x 0)＝f (x 0)成立，则实数m 的取值范围是________. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12解析 由题意得关于x 的方程m ·9－x －3－x ＝m ·9x －3x 有非零实数解，整理得到m ＝3x（3x ）2＋1＝13x ＋13x＜12，又m ＞0，所以实数m 的取值范围是0＜m ＜12.四、解答题(本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分10分)已知幂函数f (x )＝(m －1)2x m 2－4m ＋2在(0，＋∞)上单调递增，函数g (x )＝2x －k . (1)求m 的值；(2)当x ∈[1，2)时，记f (x )，g (x )的值域分别为集合A ，B ，设p ：x ∈A ，q ：x ∈B ，若p 是q 成立的必要条件，求实数k 的取值范围. 解 (1)依题意得：(m －1)2＝1⇒m ＝0或m ＝2， 当m ＝2时，f (x )＝x－2在(0，＋∞)上单调递减，与题设矛盾，舍去，∴m ＝0.(2)由(1)得，f (x )＝x 2，当x ∈[1，2)时，f (x )∈[1，4)，即A ＝[1，4)， 当x ∈[1，2)时，g (x )∈[2－k ，4－k )， 即B ＝[2－k ，4－k )，因p 是q 成立的必要条件，则B ⊆A ， 则⎩⎨⎧2－k ≥1，4－k ≤4，即⎩⎨⎧k ≤1，k ≥0，得0≤k ≤1. 故实数k 的取值范围是[0，1].18.(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 2－4x ＋a ＋3，a ∈R. (1)若函数y ＝f (x )的图象与x 轴无交点，求a 的取值范围； (2)若函数y ＝f (x )在[－1，1]上存在零点，求a 的取值范围. 解 (1)若函数y ＝f (x )的图象与x 轴无交点，则f (x )＝0的根的判别式Δ＜0，即16－4(a ＋3)＜0，解得a ＞1.故a 的取值范围为(1，＋∞).(2)因为函数f (x )＝x 2－4x ＋a ＋3图象的对称轴是直线x ＝2， 所以y ＝f (x )在[－1，1]上单调递减. 又y ＝f (x )在[－1，1]上存在零点， 所以⎩⎨⎧f （1）≤0，f （－1）≥0，即⎩⎨⎧a ≤0，a ＋8≥0，解得－8≤a ≤0.故实数a 的取值范围为[－8，0].19.(本小题满分12分)已知定义在R 上的奇函数f (x )和偶函数g (x )满足12f (x )－g (x )＝x －1x 2＋1. (1)求f (x )，g (x )的解析式；(2)若g (x ＋5)＋g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1＜g (x )＋g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ，求x 的取值范围.解 (1)因为12f (x )－g (x )＝x －1x 2＋1，所以12f (－x )－g (－x )＝－x －1x 2＋1，即－12f (x )－g (x )＝－x －1x 2＋1，所以f (x )＝x －1x 2＋1－－x －1x 2＋1＝2x x 2＋1，g (x )＝1x 2＋1. (2)因为g (x )＋g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x 2＋1＋11x 2＋1＝1，所以由g (x ＋5)＋g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1＜g (x )＋g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ，得1（x ＋5）2＋1＋（x －1）21＋（x －1）2＜1， 整理得1（x ＋5）2＋1＜11＋（x －1）2，解得x ＞－2.结合分母不为零得x 的取值范围是(－2，0)∪(0，1)∪(1，＋∞). 20.(本小题满分12分)已知定义在区间(－1，1)上的函数f (x )＝x ＋ax 2＋1为奇函数. (1)求函数f (x )的解析式，并判断函数f (x )在区间(－1，1)上的单调性； (2)解关于t 的不等式f (t －1)＋f (t )＜0. 解 (1)∵f (x )是在区间(－1，1)上的奇函数， ∴f (0)＝a ＝0，∴f (x )＝x1＋x 2(经验证f (x )为奇函数).设－1＜x 1＜x 2＜1， 则f (x 1)－f (x 2)＝x 11＋x 21－x 21＋x 22 ＝（x 1－x 2）（1－x 1x 2）（1＋x 21）（1＋x 22）， ∵－1＜x 1＜x 2＜1，∴x 1－x 2＜0，1－x 1x 2＞0，(1＋x 21)(1＋x 22)＞0，∴f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)， ∴函数f (x )在区间(－1，1)上单调递增. (2)∵f (t －1)＋f (t )＜0，且f (x )为奇函数， ∴f (t )＜－f (t －1)＝f (1－t ).又函数f (x )在区间(－1，1)上单调递增，∴⎩⎨⎧t ＜1－t ，－1＜t ＜1，－1＜1－t ＜1，解得0＜t ＜12， ∴关于t的不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫t |0＜t ＜12. 21.(本小题满分12分)已知函数g (x )＝ax 2－2ax ＋1＋b (a ＞0)在区间[2，3]上有最大值4和最小值1.设f (x )＝g （x ）x .(1)求a ，b 的值；(2)若不等式f (2x )－k ·2x ≥0在x ∈[－1，1]上有解，求实数k 的取值范围. 解 (1)g (x )＝a (x －1)2＋1＋b －a ，因为a ＞0，所以g (x )在区间[2，3]上是增函数，故⎩⎨⎧g （2）＝1，g （3）＝4，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝0.(2)由(1)可得g (x )＝x 2－2x ＋1， 所以f (x )＝x ＋1x －2，所以f (2x )－k ·2x ≥0可化为2x ＋12x －2≥k ·2x ，即1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2·12x ≥k . 令t ＝12x ，则k ≤t 2－2t ＋1.因为x ∈[－1，1]，所以t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2.记h (t )＝t 2－2t ＋1，因为t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，所以h (t )max ＝1，所以实数k 的取值范围是(－∞，1].22.(本小题满分12分)已知定义在R 上的奇函数f (x )，当x ≥0时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－x ＋33.(1)求f (x )的解析式；(2)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )＜0恒成立，求实数k 的取值范围.解 (1)当x ＜0时，－x ＞0， 则f (－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x－－x ＋33＝2x＋x －33.又f (x )为奇函数，所以－f (x )＝2x＋x －33，所以f (x )＝－2x＋3－x 3，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－x ＋33，x ≥0，－2x＋3－x 3，x ＜0.(2)因为当x ≥0时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－x ＋33，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x单调递减，y ＝－x ＋33也单调递减，所以f (x )在[0，＋∞)上单调递减. 又f (x )是定义在R 上的奇函数， 所以f (x )在(－∞，0]上单调递减， 所以f (x )在R 上单调递减.因为f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )＜0在t ∈R 上恒成立， 所以f (t 2－2t )＜－f (2t 2－k ). 又f (x )为奇函数， 所以f (t 2－2t )＜f (k －2t 2)，所以t 2－2t ＞k －2t 2在t ∈R 上恒成立，即3t 2－2t －k ＞0在t ∈R 上恒成立， 所以4＋12k ＜0，即k ＜－13.所以实数k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13.。
基本初等函数(15)
基本初等函数（1）一．选择题1、已知是偶函数，且在上是增函数，，则有A． B． C． D．2、已知函数A．-1 B． C． D．3、在下列四组函数中，与表示同一函数是A． B．C． D．4、定义在R上的函数f(x)满足f(x)= ，则f（2009）的值为( )A.-1B. 0C.1D. 25、已知奇函数对所有的的取值范围是A． B． C． D．6、等于A． B． C． D．7、函数的定义域是、A． B． C． D．8、已知是定义在R上的偶函数，并满足时，则f（5.5）A．5.5 B．－5.5 C．－2.5 D．2.59、已知函数为R上的增函数，则满足的实数x的取值范围是A．（－1，1）B．（0，1）C．（－1，0）∪（0，1）D．（－∞，－1）∪（1，+∞）10、若奇函数在[1，3]上为增函数，且有最小值7，则它在[－3，－1]上A．是减函数，有最小值－7 B．是增函数，有最小值－7C．是减函数，有最大值－7 D．是增函数，有最大值－711、设函数则的值为（）A． B． C． D．12、函数的图像大致为( ).13、设是定义在R上的函数，均为偶函数”是“为偶函数”的A．充要条件B．充分不必要条件 C．必要不充分条件D．既不充分又不必要条件14、已知函数的值域为R，则k的取值范围是A． B． C． D．15、已知，A．2007 B． C．2 D．－216、偶函数在区间[0,a]（a>0）上是单调函数，且f（0）・f（a）<0，则方程在区间[－a,a]内根的个数是A．1 B．2 C．3 D．017、若方程有四个不同的实根，则实数k的取值范围为A． B． C． D．19、函数的单调增区间是A. B. C. D.20、如图所示，阴影部分的面积S是h的函数，则该函数的图象是21、函数f(x)=1+log2x与g（x）=2-x+1在同一直角坐标系下的图象大致是（）二。
计算题22、已知函数。
（1）求m的值；（2）判断上的单调性并加以证明；（3）当的值域是（1，+），求a的值。
陕西省高中数学人教新课标A版必修1第二章基本初等函数(I)2.1.2指数函数及其性质
陕西省高中数学人教新课标A版必修1 第二章基本初等函数(I) 2.1.2 指数函数及其性质姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共16题；共32分)1. （2分） (2016高一上·临川期中) 下列各函数中，是指数函数的是（）A . y=（﹣3）xB . y=﹣3xC . y=3x﹣1D . y=3﹣x2. （2分） (2019高一上·九台期中) 函数是指数函数，则的值是（）A . 4B . 1或3C . 3D . 13. （2分） (2018高三上·双鸭山月考) 已知是定义在上的偶函数，且在上是增函数，设，，，则的大小关系是（）A .B .C .D .4. （2分）已知实数a，b满足＞（）a＞（）b＞，则（）A . b＜2B . b＞2C . a＜D . a＞5. （2分） (2018高一上·台州期末) 已知函数，则其值域为（）A .B .C .D .6. （2分）若，则（）A . a>b>cB . b>a>cC . c>a>bD . b>c>a7. （2分）函数y=22x﹣2x+1+2的定义域为M，值域P=[1，2]，则下列结论一定正确的个数是（）①M=[0，1]；②M=（﹣∞，1）；③[0，1]⊆M；④M⊆（﹣∞，1]；⑤1∈M；⑥﹣1∈M．A . 2个B . 3个C . 4个D . 5个8. （2分） (2016高三上·宝清期中) 已知函数f（x）= ，当x1≠x2时，＜0，则a的取值范围是（）A . （0， ]B . [ ， ]C . （0， ]D . [ ， ]9. （2分）下列函数是指数函数的是（）A .B .C .D .10. （2分）某工厂产生的废气经过过滤后排放，排放时污染物的含量不得超过1%．已知在过滤过程中废气中的污染物数量P（单位：毫克/升）与过滤时间t（单位：小时）之间的函数关系为：P=P0e﹣kt ，（k，P0均为正的常数）．若在前5个小时的过滤过程中污染物被排除了90%．那么，至少还需（）时间过滤才可以排放．A . 小时B . 小时C . 5小时D . 10小时11. （2分）已知函数f（x）=x﹣4+，x∈（0，4），当x=a时，f（x）取得最小值b，则函数g（x）=a|x+b|的图象为（）A .B .C .D .12. （2分）已知正实数、、满足，，，则、、的大小关系是（）A .B .C .D .13. （2分）若函数f(x)=的值域为[0，+∞），则实数a的取值范围是（）A . 3＞a≥2B . 3≥a＞2C . a≤2D . a＜214. （2分） (2018高二上·山西月考) 已知，，，则a,b,c的大小关系为（）A .B .C .D .15. （2分） (2018高一上·寻乌期末) 若且在上既是奇函数又是增函数，则函数的图像是（）A .B .C .D .16. （2分） (2019高一上·水富期中) 已知，，，则（）A .B .C .D .二、填空题 (共7题；共8分)17. （1分） (2016高一上·淮阴期中) 函数f（x）=（）x+1，x∈[﹣1，1]的值域是________18. （1分） (2018高二下·赣榆期末) 若指数函数的图象过点，则不等式的解集是________.19. （1分） (2019高一上·张家口月考) 已知函数为偶函数，函数为奇函数，，则________.20. （2分） (2018高一上·宁波期中) 函数的值域是________，单调递增区间是________.21. （1分） (2016高一上·大同期中) 已知函数f（x）=ax+b（a＞0，a≠1）的定义域和值域都是[﹣1，0]，则a+b=________．22. （1分）关于x的方程4x+2（m﹣1）•2x+m+1=0，有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是________．23. （1分）已知函数f(x)满足当x≥4时；当x<4时f(x)=f(x＋1)，则f(2＋log23)=________.三、解答题 (共6题；共50分)24. （5分） (2018高一上·牡丹江期中) 求不等式中的取值范围。
第2章 函数概念与基本初等函数单元检测(苏教版必修1)(有答案,含部分试题解析)
第2章函数概念与基本初等函数Ⅰ单元测验（本卷满分160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．．1．（2012•诸城市）已知函数y=f（x）是定义在R上的增函数，函数y=f（x﹣1）图象关于点（1，0）对称，若对任意的x，y∈R，不等式f（x2﹣6x+21）+f（y2﹣8y）＜0恒成立，则当x＞3时，x2+y2的取值范围是_________．2．（2008•浙江）已知t为常数，函数y=|x2﹣2x﹣t|在区间[0，3]上的最大值为2，则t=_________．3．已知图象变换：①关于y轴对称；②关于x轴对称；③右移1个单位；④左移一个单位；⑤右移个单位；⑥左移个单位；⑦横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变；⑧横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变．由y=e x的图象经过上述某些变换可得y=e1﹣2x 的图象，这些变换可以依次是_________（请填上变换的序号）．4．（2010•天津）设函数f（x）=x﹣，对任意x∈[1，+∞），f（mx）+mf（x）＜0恒成立，则实数m的取值范围是_________．5．已知函数f（x）=x2，x∈[﹣1，2]，g（x）=ax+2，x∈[﹣1，2]，若对任意x1∈[﹣1，2]，总存在x2∈[﹣1，2]，使f（x1）=g（x2）成立，则a的取值范围是_________．6．设定义域为R的函数f（x），若关于x的方程2f2（x）+2bf（x）+1=0有8个不同的实数根，则b的取值范围是_________．7．设函数f（x）=x3+x，若时，f（mcosθ）+f（1﹣m）＞0恒成立，则m取值范围是_________．8．若不等式对于一切实数x∈（0，2）都成立，则实数λ的取值范围是_________．9．（2010•天津）设函数f（x）=x2﹣1，对任意，恒成立，则实数m的取值范围是_________．10．已知函数，，设F （x ）=f （x+3）•g （x ﹣3），且函数F （x ）的零点均在区间[a ，b]（a ＜b ，a ，b ∈Z ）内，则b ﹣a 的最小值为 _________ ．11．不等式a ＞2x ﹣1对于x ∈[1，2恒成立，则实数的取值范围是 _________ ．12．若函数y=f （x ）存在反函数y=f ﹣1（x ），且函数y=2x ﹣f （x ）的图象过点（2，1），则函数y=f ﹣1（x ）﹣2x 的图象一定过点 _________ ．13．定义在R 上的函数满足f （0）=0，f （x ）+f （1﹣x ）=1，，且当0≤x 1＜x 2≤1时，f （x 1）≤f （x 2），则= _________ ．14．（2010•福建）已知定义域为（0，+∞）的函数f （x ）满足： （1）对任意x ∈（0，+∞），恒有f （2x ）=2f （x ）成立； （2）当x ∈（1，2]时f （x ）=2﹣x 给出结论如下：①任意m ∈Z ，有f （2m）=0； ②函数f （x ）的值域为[0，+∞）；③存在n ∈Z ，使得f （2n+1）=9；④“函数f （x ）在区间（a ，b ）上单调递减”的充要条件是“存在k ∈Z ，使得（a ，b ）⊆（2k，2k ﹣1）．其中所有正确结论的序号是 _________二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）（2012年高考（上海文理））已知函数)1lg()(+=x x f .(1)若1)()21(0<--<x f x f ,求x 的取值范围;(2)若)(x g 是以2为周期的偶函数,且当10≤≤x 时,有)()(x f x g =,求函数)(x g y =])2,1[(∈x 的反函数.16．（本小题满分14分）已知函数()21f x x =-，2,0()1,0x x g x x ⎧≥=⎨-<⎩，求[()]f g x 和[()]g f x 的解析式.17．（本小题满分14分）设函数.)2(,2)2(,2)(2⎩⎨⎧>≤+=x x x x x f（1）求)9(f 的值； （2）若8)(0=x f ，求.0x18. （本题满分16分）已知函数32)(2-+-=mx x x f 为)3,5(n +--上的偶函数， （1）求实数n m ,的值； （2）证明：)(x f 在]0,5(-上是单调增函数19. （本题满分16分）（2012年高考（江苏））如图,建立平面直角坐标系xoy ,x 轴在地平面上,y 轴垂直于地平面,单位长度为1千米.某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程221(1)(0)20y kx k x k =-+>表示的曲线上,其中k 与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标. (1)求炮的最大射程;(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小),其飞行高度为3.2千米,试问它的横坐标a 不超过多少时,炮弹可以击中它?请说明理由.20.（本小题满分16分）已知函数()log (1)log (3)a a f x x x =-++，其中01a <<，记函数)(x f 的定义域为D ． （1）求函数)(x f 的定义域D ；（2）若函数()f x 的最小值为4-，求a 的值；（3）若对于D 内的任意实数x ,不等式2222x mx m m -+-+＜1恒成立,求实数m 的取值范围．第2章函数概念与基本初等函数Ⅰ单元测验参考答案与试题解析一、填空题（共14小题）（除非特别说明，请填准确值）1．（2012•诸城市）已知函数y=f（x）是定义在R上的增函数，函数y=f（x﹣1）图象关于点（1，0）对称，若对任意的x，y∈R，不等式f（x2﹣6x+21）+f（y2﹣8y）＜0恒成立，则当x＞3时，x2+y2的取值范围是（13，49）．﹣1）的图象关于点（1，0）对称，）的图象关于点（0，0）对称，）为奇函数，则f（﹣x）=﹣f（x），）是定义在R上的增函数且f（x2﹣6x+21）+f（y2﹣）＜﹣f（y2﹣8y）=f（8y﹣y2）恒成立，y2，4）2＜4恒成立，，则当x＞3时，M表示以（3，4）为圆心2为半径的右半圆内的任意d=表示区域内的点和原点的距离．，2．（2008•浙江）已知t为常数，函数y=|x2﹣2x﹣t|在区间[0，3]上的最大值为2，则t=1．3．已知图象变换：①关于y轴对称；②关于x轴对称；③右移1个单位；④左移一个单位；⑤右移个单位；⑥左移个单位；⑦横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变；⑧横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变．由y=e x的图象经过上述某些变换可得y=e1﹣2x 的图象，这些变换可以依次是①⑧⑤或①③⑧或⑧①⑤或⑧⑥①或④⑧①或④①⑧（请填上变换的序号）．的图象与函数y=e的图象，均在x轴上方，关于x轴对称变换，但观察到两个解析式，底数相同，指数部分含x项符号相反，故一定要进行）若第一步进行对称变换，第二步进行伸缩变换，第三步进行平移变换，平移变换为：右移个单位，即①⑧⑤；）若第一步进行对称变换，第二步进行平移变换，第三步进行伸缩变换，1个单位，即①③⑧；）若第一步进行伸缩变换，第二步进行对称变换，第三步进行平移变换，则平移变换为：右移个单位，即⑧①⑤；则平移变换为：左移个单位，即4．（2010•天津）设函数f（x）=x﹣，对任意x∈[1，+∞），f（mx）+mf（x）＜0恒成立，则实数m的取值范围是m＜﹣1．时，有1+5．已知函数f（x）=x2，x∈[﹣1，2]，g（x）=ax+2，x∈[﹣1，2]，若对任意x1∈[﹣1，2]，总存在x2∈[﹣1，2]，使f（x1）=g（x2）成立，则a的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）．，解得6．设定义域为R的函数f（x），若关于x的方程2f2（x）+2bf（x）+1=0有8个不同的实数根，则b的取值范围是﹣1.5＜b＜﹣．）∈（0，1）时，有四个不同的x与f（x）对应．再结合题中+1=0有8个不同实数解“，可以分解为形如关于有两个不同的实数根K1、K2，且K1和K2均为大于0且小于列式如下：，即＜﹣＜﹣7．设函数f（x）=x3+x，若时，f（mcosθ）+f（1﹣m）＞0恒成立，则m取值范围是（﹣∞，1）．时，，解得：8．若不等式对于一切实数x∈（0，2）都成立，则实数λ的取值范围是[4，+∞）．+8）（8﹣x），y1=f（x），y2=λ（x+1）．利用导数工具得出）单调增，原不等式对于一切实数x∈（0，2）都成立转化为：y1＜f（x）都成立，从而得出实数λ的取值范围．x2+8）（8﹣x），y1=f（x），y2=λ（x+1（x）=24x2﹣4x3+64﹣16x＞0．）时，f（x）单调增，=12 9．（2010•天津）设函数f（x）=x2﹣1，对任意，恒成立，则实数m的取值范围是．依据题意得上恒定成立，即在立，求出函数函数的最小值即可求出解：依据题意得在时，函数取得最小值，所以解得，﹣[，10．已知函数，，设F（x）=f（x+3）•g（x﹣3），且函数F（x）的零点均在区间[a，b]（a＜b，a，b∈Z）内，则b﹣a的最小值为9．﹣﹣，=+…11．不等式a＞2x﹣1对于x∈[1，2恒成立，则实数的取值范围是a≥3．12．若函数y=f（x）存在反函数y=f﹣1（x），且函数y=2x﹣f（x）的图象过点（2，1），则函数y=f﹣1（x）﹣2x的图象一定过点（3，﹣4）．13．定义在R上的函数满足f（0）=0，f（x）+f（1﹣x）=1，，且当0≤x1＜x2≤1时，f（x1）≤f（x2），则=．求出一些特值，），（，再利用条件将逐步转化到内，代入求解即可．）的图象关于中令），=可得因为所以所以故答案为：14．（2010•福建）已知定义域为（0，+∞）的函数f（x）满足：（1）对任意x∈（0，+∞），恒有f（2x）=2f（x）成立；（2）当x∈（1，2]时f（x）=2﹣x给出结论如下：①任意m∈Z，有f（2m）=0；②函数f（x）的值域为[0，+∞）；③存在n∈Z，使得f（2n+1）=9；④“函数f（x）在区间（a，b）上单调递减”的充要条件是“存在k∈Z，使得（a，b）⊆（2k，2k﹣1）．其中所有正确结论的序号是①②④，则）﹣（（，﹣17. 解：（1）因为29>，所以1892)9(=⨯=f（2） ⅰ）若8220=+x ，则620=x ，即660-=或x ，而20≤x ，所以0x 的值不存在；ⅱ）若2,24,82000=>==x x x 所以则 综上得20=x 18. 解：（1）8,0==n m（2）由（1）知，32)(2--=x x f设215x x <<-，22212122)()(x x x f x f +-=- =))((22112x x x x +- 因为215x x <<-，所以0,02112<+>-x x x x所以0)()(21<-x f x f ，即)(x f 在]0,5(-上是单调增函数. 19. 解:(1)在221(1)(0)20y kx k x k =-+>中,令0y =,得221(1)=020kx k x -+.由实际意义和题设条件知00x>k >，. ∴2202020===10112k x k k k≤++,当且仅当=1k 时取等号. ∴炮的最大射程是10千米.(2)∵0a >,∴炮弹可以击中目标等价于存在0k >,使221(1)=3.220ka k a -+成立, 即关于k 的方程2222064=0a k ak a -++有正根. 由()()222=204640a a a ∆--+≥得6a ≤.此时,0k (不考虑另一根).∴当a 不超过6千米时,炮弹可以击中目标.20. 解：（1）要使函数有意义：则有1030x x ->⎧⎨+>⎩，解得13<<-x∴ 函数的定义域D 为)1,3(- ………………………………………2分（2）22()log (1)(3)log (23)log (1)4a a a f x x x x x x ⎡⎤=-+=--+=-++⎣⎦13<<-x 201)44x ++≤∴<-(10<<a ，2log (1)4log 4a a x ⎡⎤-++≥⎣⎦∴，即min ()log 4a f x =， ……5分由log 44a =-，得44a-=，1424a -==∴． ………………………7分 （注：14242a -==∴不化简为14242a -==∴扣1分）（3）由题知－x 2+2mx －m 2+2m ＜1在x ∈)1,3(-上恒成立，2x ⇔－2mx +m 2－2m +1＞0在x ∈)1,3(-上恒成立， ……………………9分令g (x )=x 2－2mx+m 2－2m+1，x ∈)1,3(-，配方得g (x )=(x －m )2－2m +1，其对称轴为x =m ， ①当m ≤－3时， g (x )在)1,3(-为增函数，∴g (－3)= (－3－m )2－2m +1= m 2+4m +10≥0， 而m 2+4m +10≥0对任意实数m 恒成立，∴m ≤－3． ………………11分 ②当－3＜m ＜1时，函数g (x )在（－3,－1）为减函数，在（－1, 1）为增函数， ∴g (m )=－2m +1＞0，解得m ＜.21 ∴－3＜m ＜21…………13分 ③当m ≥1时，函数g (x )在)1,3(-为减函数，∴g (1)= (1－m )2－2m +1= m 2－4m+2≥0， 解得m ≥2m ≤2 ∴－3＜m ＜21………………15分 综上可得，实数m 的取值范围是 (－∞，21)∪[2+∞) ……………16分。
( 一轮复习用卷)基本初等函数
基本初等函数第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合A ＝{x |y ＝lg(2x －x 2)}，B ＝{y |y ＝2x ，x >0}，R 是实数集，则(∁R B )∩A 等于 （ ）A ．[0,1]B ．(0,1]C ．(－∞，0]D ．以上都不对2．下列四个函数中，与y ＝x 表示同一函数的是 ( )A ．y ＝(x )2B ．y ＝3x 3C ．y ＝x 2D ．y ＝x 2x3．设a ＝log 3π，b ＝log 23，c ＝log 32，则 ( )A ．a >b >cB ．a >c >bC ．b >a >cD ．b >c >a4．由方程x |x |＋y |y |＝1确定的函数y ＝f (x )在(－∞，＋∞)上是 ( )A ．增函数B ．减函数C ．先增后减D ．先减后增5．函数f (x )＝|x |－k 有两个零点，则 ( )A ．k ＝0B ．k >0C ．0≤k <1D ．k <06．若0<x <y <1，则 ( )A ．3y <3xB ．log x 3<log y 3C ．log 4x <log 4yD ．(14)x <(14)y 7．函数y ＝lg|x |x 的图象大致是 ()8．若函数f (x )＝212log ,0,log (),0,x x x x >⎧⎪⎨-<⎪⎩若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值范围( ) A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0,1)9．已知幂函数f (x )的图象经过点(18，24)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)(x 1<x 2)是函数图象上的任意不同两点，给出以下结论：①x 1f (x 1)>x 2f (x 2)；②x 1f (x 1)<x 2f (x 2)；③f (x 1)x 1>f (x 2)x 2； ④f (x 1)x 1<f (x 2)x 2. 其中正确结论的序号是 ( )A ．①②B ．①③C ．②④D ．②③10．已知函数f (x )＝112log (421)x x +-+的值域为[0，＋∞)，则它的定义域可以是 （ ）A ．(0,1]B ．(0,1)C ．(－∞，1]D ．(－∞，0]11．已知定义在R 上的奇函数f (x )，满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，( )A ．f (－25)<f (11)<f (80)B ．f (80)<f (11)<f (－25)C ．f (11)<f (80)<f (－25)D ．f (－25)<f (80)<f (11)12．已知a >0且a ≠1，f (x )＝x 2－a x ，当x ∈(－1,1)时，均有f (x )<12，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(0，12]∪[2，＋∞)B ．[14，1)∪(1,4] C ．[12，1)∪(1,2] D ．(0，14]∪[4，＋∞) 选择题答题栏题 号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答 案第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)13．已知对不同的a 值，函数f (x )＝2＋a x －1(a >0，且a ≠1)的图象恒过定点P ，则P 点的坐标是________．14．定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝2log (1),0(1)(2),0x x f x f x x -≤⎧⎨--->⎩，则f (2 011)的值为__________．15．定义：区间[x 1，x 2](x 1<x 2)的长度为x 2－x 1.已知函数y ＝|log 0.5x |的定义域为[a ，b ]，值域为[0,2]，则区间[a ，b ]的长度的最大值为________．16．设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R 恒有f (x ＋1)＝f (x －1)，已知当x∈[0,1]时f (x )＝(12)1－x ，则 ①2是函数f (x )的周期；②函数f (x )在(1,2)上是减函数，在(2,3)上是增函数；③函数f (x )的最大值是1，最小值是0；④当x ∈(3,4)时，f (x )＝(12)x －3. 其中所有正确命题的序号是________．三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)对定义在实数集上的函数f (x )，若存在实数x 0，使得f (x 0)＝x 0，那么称x 0为函数f (x )的一个不动点．(1)已知函数f (x )＝ax 2＋bx －b (a ≠0)有不动点(1,1)、(－3，－3)，求a 、b ；(2)若对于任意实数b ，函数f (x )＝ax 2＋bx －b (a ≠0)总有两个相异的不动点，求实数a 的取值范围．18．(本小题满分12分)已知f (x )为定义在[－1,1]上的奇函数，当x ∈[－1,0]时，函数解析式f (x )＝14x －a 2x (a ∈R )． (1)写出f (x )在[0,1]上的解析式；(2)求f (x )在[0,1]上的最大值．19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2x －12|x |. (1)若f (x )＝2，求x 的值；(2)若2t f (2t )＋mf (t )≥0对于t ∈[1,2]恒成立，求实数m 的取值范围．20．(本小题满分12分)(2011·银川模拟)已知函数f (x )的图象与函数h (x )＝x ＋1x＋2的图象关于点A (0,1)对称．(1)求函数f (x )的解析式；(2)若g (x )＝f (x )＋a x，g (x )在区间(0,2]上的值不小于6，求实数a 的取值范围．21．(本小题满分12分)经市场调查，某城市的一种小商品在过去的近20天内的销售量(件)与价格(元)均为时间t (天)的函数，且销售量近似满足g (t )＝80－2t (件)，价格近似满足f (t )＝20－12|t －10|(元)．(1)试写出该种商品的日销售额y与时间t(0≤t≤20)的函数表达式；(2)求该种商品的日销售额y的最大值与最小值．22．(本小题满分12分)(2011·合肥模拟)对于定义域为[0,1]的函数f(x)，如果同时满足以下三条：①对任意的x∈[0,1]，总有f(x)≥0；②f(1)＝1；③若x1≥0，x2≥0，x1＋x2≤1，都有f(x1＋x2)≥f(x1)＋f(x2)成立，则称函数f(x)为理想函数．(1)若函数f(x)为理想函数，求f(0)的值；(2)判断函数f(x)＝2x－1 (x∈[0,1])是否为理想函数，并予以证明；(3)若函数f(x)为理想函数，假定存在x0∈[0,1]，使得f(x0)∈[0,1]，且f[f(x0)]＝x0，求证：f(x0)＝x0.数学卷（三）1．B由2x－x2>0，得x(x－2)<0⇒0<x<2，故A＝{x|0<x<2}，由x>0，得2x>1，故B＝{y|y>1}，∁R B＝{y|y≤1}，则(∁R B)∩A＝{x|0<x≤1}．2．B3．A ∵log 32<log 22<log 23，∴b >c .又∵log 23<log 22＝log 33<log 3π，∴a >b ，∴a >b >c .4．B①当x ≥0且y ≥0时，x 2＋y 2＝1，②当x >0且y <0时，x 2－y 2＝1，③当x <0且y >0时，y 2－x 2＝1，④当x <0且y <0时，无意义．由以上讨论作图如右，易知是减函数．5．B[令y ＝|x |，y ＝k ，由题意即要求两函数图象有两交点，利用数形结合思想，作出两函数图象，得k >0.6．C ∵0<x <y <1，∴由函数的单调性得3x <3y ，log x 3>log y 3，(14)x >(14)y ，即选项A 、B 、D 错，故选C.7．D8．C 由分段函数的表达式知，需要对a 的正负进行分类讨论．f (a )>f (－a )⇒⎩⎪⎨⎪⎧ a >0log 2a >log 12a 或 ⎩⎪⎨⎪⎧ a <0log 12(－a )>log 2(－a )⇒⎩⎨⎧ a >0a >1或⎩⎨⎧a <0－1<a ⇒a >1或－1<a <0.9．D 依题意，设f (x )＝x α，则有(18)α＝24，即(18)α＝(18)12，所以α＝12，于是f (x )＝x 12. 由于函数f (x )＝x 12在定义域[0，＋∞)内单调递增，所以当x 1<x 2时，必有f (x 1)<f (x 2)，从而有x 1f (x 1)<x 2f (x 2)，故②正确；又因为f (x 1)x 1，f (x 2)x 2分别表示直线OP 、OQ 的斜率，结合函数图象，容易得出直线OP 的斜率大于直线OQ 的斜率，故f (x 1)x 1>f (x 2)x 2，所以③正确． 10．A ∵f (x )的值域为[0，＋∞)，令t ＝4x －2x ＋1＋1，∴t ∈(0,1]恰成立，即0<(2x )2－2·2x ＋1≤1恰成立，0<(2x －1)2成立，则x ≠0，(2x )2－2·2x ＋1≤1可化为2x (2x －2)≤0，∴0≤2x ≤2，即0≤x ≤1，综上可知0<x ≤1.11．D 因为f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，所以f (x －8)＝f (x )，所以函数是以8为周期的周期函数，则f (－25)＝f (－1)，f (80)＝f (0)，f (11)＝f (3)，又因为f (x )在R 上是奇函数，f (0)＝0得f (80)＝f (0)＝0，f (－25)＝f (－1)＝－f (1)，而由f (x －4)＝－f (x )得f (11)＝f (3)＝－f (－3)＝－f (1－4)＝f (1)，又因为f (x )在区间[0,2]上是增函数，所以f (1)>f (0)＝0，－f (1)<0，即f (－25)<f (80)<f (11)．12．C 将f (x )<12化为x 2－12<a x ，利用数形结合，分a >1和0<a <1两种情况求解．结合图象得⎩⎪⎨⎪⎧ a >1a －1≥12或⎩⎪⎨⎪⎧ 0<a <1a ≥12，解得1<a ≤2或12≤a <1. 13．(1,3)14．－1解析 由已知得f (－1)＝log 22＝1，f (0)＝0，f (1)＝f (0)－f (－1)＝－1，f (2)＝f (1)－f (0)＝－1，f (3)＝f (2)－f (1)＝－1－(－1)＝0，f (4)＝f (3)－f (2)＝0－(－1)＝1，f (5)＝f (4)－f (3)＝1，f (6)＝f (5)－f (4)＝0，所以函数f (x )的值以6为周期重复性出现，所以f (2 011)＝f (1)＝－1.15.154解析 由0≤|log 0.5x |≤2解得14≤x ≤4， ∴[a ，b ]长度的最大值为4－14＝154. 16．①②④解析 由f (x ＋1)＝f (x －1)可得f (x ＋2)＝f [(x ＋1)＋1]＝f (x ＋1－1)＝f (x )，∴2是函数f (x )的一个周期．又函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且x ∈[0,1]时，f (x )＝(12)1－x ， ∴函数f (x )的简图如右图，由简图可知②④也正确．17．解 (1)∵f (x )的不动点为(1,1)、(－3，－3)，∴有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b －b ＝1，9a －3b －b ＝－3，∴a ＝1，b ＝3.………………………………………………4分 (2)∵函数总有两个相异的不动点，∴ax 2＋(b －1)x －b ＝0，Δ>0，即(b －1)2＋4ab >0对b ∈R 恒成立，……………………………………………………7分 Δ1<0，即(4a －2)2－4<0，………………………………………………………………9分 ∴0<a <1.…………………………………………………………… …………………10分18．解 (1)∵f (x )为定义在[－1,1]上的奇函数，且f (x )在x ＝0处有意义，∴f (0)＝0，即f (0)＝140－a 20＝1－a ＝0. ∴a ＝1.……………………………………………………………………………………3 设x ∈[0,1]，则－x ∈[－1,0]．∴f (－x )＝14－x －12－x ＝4x －2x . 又∵f (－x )＝－f (x )∴－f (x )＝4x －2x .∴f (x )＝2x －4x .……………………………………………………………………………8分(2)当x ∈[0,1]，f (x )＝2x －4x ＝2x －(2x )2，∴设t ＝2x (t >0)，则f (t )＝t －t 2.∵x ∈[0,1]，∴t ∈[1,2]．当t ＝1时，取最大值，最大值为1－1＝0.……………………………………………12分19．解 (1)当x <0时，f (x )＝0；当x ≥0时，f (x )＝2x －12x .…………………………………………………………………3分 由条件可知2x －12x ＝2，即22x －2·2x －1＝0， 解得2x ＝1±2.∵2x >0，∴x ＝log 2(1＋2)．……………………………………………………………6分(2)当t ∈[1,2]时，2t ⎝⎛⎭⎫22t －122t ＋m ⎝⎛⎭⎫2t －12t ≥0， 即m (22t －1)≥－(24t －1)．∵22t －1>0，∴m ≥－(22t ＋1)．…………………………………………………………9分 ∵t ∈[1,2]，∴－(1＋22t )∈[－17，－5]，故m 的取值范围是[－5，＋∞)． (2)20．解 (1)设f (x )图象上任一点坐标为(x ，y )，点(x ，y )关于点A (0,1)的对称点(－x,2－y )在h (x )的图象上，……………………………………………………………………………2分∴2－y ＝－x ＋1－x＋2，∴y ＝x ＋1x ， 即f (x )＝x ＋1x.……………………………………………………………………………6分 (2)由题意g (x )＝x ＋a ＋1x， 且g (x )＝x ＋a ＋1x≥6，x ∈(0,2]． ∵x ∈(0,2]，∴a ＋1≥x (6－x )，…………………………………………………………8分 即a ≥－x 2＋6x －1.令q (x )＝－x 2＋6x －1，x ∈(0,2]，q (x )＝－x 2＋6x －1＝－(x －3)2＋8，∴x ∈(0,2]时，q (x )max ＝q (2)＝7，∴a ≥7.……………………………………………12分21．解 (1)y ＝g (t )·f (t )＝(80－2t )·(20－12|t －10|)＝(40－t )(40－|t －10|) ＝⎩⎪⎨⎪⎧(30＋t )(40－t )， 0≤t <10，(40－t )(50－t )， 10≤t ≤20.……………………………………………………4分(2)当0≤t<10时，y的取值范围是[1 200,1 225]，在t＝5时，y取得最大值为1 225；……………………………………………………8分当10≤t≤20时，y的取值范围是[600,1 200]，在t＝20时，y取得最小值为600.所以第5天，日销售额y取得最大值为1 225元；第20天，日销售额y取得最小值为600元．………………………………………12分22．(1)解取x1＝x2＝0，可得f(0)≥f(0)＋f(0)⇒f(0)≤0.又由条件①得f(0)≥0，故f(0)＝0.………………………………………………………4分(2)解显然f(x)＝2x－1在[0,1]满足条件①f(x)≥0；也满足条件②f(1)＝1.若x1≥0，x2≥0，x1＋x2≤1，则f(x1＋x2)－[f(x1)＋f(x2)]＝2x1＋x2－1－[(2x1－1)＋(2x2－1)]＝2x1＋x2－2x1－2x2＋1＝(2x2－1)(2x1－1)≥0，即满足条件③，故f(x)是理想函数．………………………………8分(3)证明由条件③知，任给m、n∈[0,1]，当m<n时，n－m∈[0,1]，∴f(n)＝f(n－m＋m)≥f(n－m)＋f(m)≥f(m)．若x0<f(x0)，则f(x0)≤f[f(x0)]＝x0，前后矛盾．若x0>f(x0)，则f(x0)≥f[f(x0)]＝x0，前后矛盾．故f(x0)＝x0.……………………………………………………………………………12分。
阶段质量检测(二)基本初等函数(Ⅰ)
阶段质量检测（二） 基本初等函数(Ⅰ)(时间120分钟 满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知函数f (x )＝log 2(x ＋1)，若f (a )＝1，则a 的值为( ) A ．0 B ．1 C ．2D ． 3解析：选B 由题意知log 2(a ＋1)＝1，∴a ＋1＝2，∴a ＝1. 2．函数y ＝x －1·ln(2－x )的定义域为( )A ．(1,2)B ．[1,2)C ．(1,2]D ． [1,2]解析：选B 要使解析式有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，2－x ＞0，解得1≤x ＜2，所以所求函数的定义域为[1,2)．3．下列幂函数中过点(0,0)，(1,1)的偶函数是( ) A ．y ＝x 12B ．y ＝x 4C ．y ＝x －2D ． y ＝x 13解析：选B 对A ，y ＝x 12的定义域为[0，＋∞)，不是偶函数；C 中，y ＝x －2不过(0,0)点，D 中，y ＝x 13是奇函数，B 中，y ＝x 4满足条件．4．下列函数中定义域与值域相同的是( )A ．f (x )＝B ．f (x )＝lg xC ．f (x )＝2x －1D ． f (x )＝lg x解析：选C A 中，定义域为(0，＋∞)，值域为(1，＋∞)；B 中，定义域为(0，＋∞)，值域为R ；C 中，由2x ≥1，得x ≥0，所以定义域与值域都是[0，＋∞)；D 中，由lg x ≥0，得x ≥1，所以定义域为[1，＋∞)，值域为[0，＋∞)．选C.5．设f (x )＝⎝⎛⎭⎫12|x |，x ∈R ，那么f (x )是( ) A ．奇函数且在(0，＋∞)上是增函数 B ．偶函数且在(0，＋∞)上是增函数 C ．奇函数且在(0，＋∞)上是减函数 D ．偶函数且在(0，＋∞)上是减函数 解析：选D ∵f (－x )＝⎝⎛⎭⎫12|－x |＝⎝⎛⎭⎫12|x |＝f (x )，∴f (x )是偶函数．∵x ＞0，∴f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x在(0，＋∞)上是减函数，故选D.6．下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递减的是( ) A ．y ＝1xB ．y ＝e －xC ．y ＝－x 2＋1D ． y ＝lg|x |解析：选C A 项，y ＝1x 是奇函数，故不正确；B 项，y ＝e －x 为非奇非偶函数，故不正确；C 、D 两项中的两个函数都是偶函数，但y ＝－x 2＋1在(0，＋∞)上是减函数，y ＝lg|x |在(0，＋∞)上是增函数，故选C.7．已知幂函数f (x )满足f ⎝⎛⎭⎫13＝9，则f (x )的图象所分布的象限是( ) A ．第一、二象限 B ．第一、三象限 C ．第一、四象限D ．只在第一象限解析：选A 设f (x )＝x n ，则⎝⎛⎭⎫13n ＝9，n ＝－2. ∴f (x )＝x －2，因此f (x )的图象在第一、二象限． 8．设a ＝log 3π，b ＝log 13π，c ＝π－3，则( )A ．a ＞c ＞bB ．b ＞a ＞cC ．a ＞b ＞cD ． c ＞b ＞a解析：选A ∵a ＝log 3π＞1，b ＝log 13π＜0,0＜c ＝π－3＜1，∴a ＞c ＞ B.故选A.9．若log a 3＝m ，log a 5＝n ，则a 2m＋n的值是( )A ．15B ．75C ．45D ．.225解析：选C 由log a 3＝m ，得a m ＝3， 由log a 5＝n ，得a n ＝5， ∴a 2m ＋n ＝(a m )2·a n ＝32×5＝45.10．函数f (x )＝log a [(a －1)x ＋1]在定义域上( ) A ．是增函数B ．是减函数C ．先增后减D ．先减后增解析：选A 当a ＞1时，y ＝log a t 为增函数，t ＝(a －1)x ＋1为增函数，∴f (x )＝log a [(a －1)x ＋1]为增函数；当0＜a ＜1时，y ＝log a t 为减函数，t ＝(a －1)x ＋1为减函数，∴f (x )＝log a [(a －1)x ＋1]为增函数．综上，函数f (x )在定义域上是增函数．11．已知f (x )＝a x ，g (x )＝log a x (a ＞0且a ≠1)，若f (3)·g (3)＜0，则f (x )与g (x )在同一坐标系里的图象是( )解析：选C ∵a ＞0且a ≠1，∴f (3)＝a 3＞0，又f (3)·g (3)＜0，∴g (3)＝log a 3＜0， ∴0＜a ＜1，∴f (x )＝a x 在R 上是减函数，g (x )＝log a x 在(0，＋∞)上是减函数，故选C.12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(a －2)x ，x ≥2，⎝⎛⎭⎫12x －1，x ＜2，满足对任意的实数x 1≠x 2都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＜0成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，2) B.⎝⎛⎦⎤－∞，138 C ．(－∞，2]D.⎣⎡⎭⎫138，2解析：选B 由题意知函数f (x )是R 上的减函数，于是有⎩⎪⎨⎪⎧a －2＜0，(a －2)×2≤⎝⎛⎭⎫122－1，由此解得a ≤138，即实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，138，选 B.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 13．函数y ＝1－⎝⎛⎭⎫12x的定义域是________．解析：由已知1－⎝⎛⎭⎫12x ≥0，则⎝⎛⎭⎫12x ≤1＝⎝⎛⎭⎫120，所以x ≥0. 答案：[0，＋∞)14．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x ＞0，2x ，x ≤0，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫19的值为________． 解析：因为19＞0，所以f ⎝⎛⎭⎫19＝log 319＝log 33－2＝－2，所以f (－2)＝2－2＝14.答案：1415．若偶函数f (x )＝x+a 53的定义域为[3a ，a 2＋2]，则实数a 的值为________．解析：∵f (x )是偶函数，∴a 2＋2＝－3a ，即a 2＋3a ＋2＝0，解得a ＝－1或a ＝－2.当a ＝－1时，f (x )＝ x 43＝3x 4，∴f (－x )＝3(－x )4＝3x 4＝f (x )，此时f (x )是偶函数；当a ＝－2时，f (x )＝x ，∴f (－x )＝－x ＝－f (x )，此时f (x )是奇函数．故a ＝－1.答案：－116．如图，矩形ABCD 的三个顶点A ，B ，C 分别在函数y ＝log 22x ，y ＝x 12，y ＝⎝⎛⎭⎫22x 的图象上，且矩形的边分别平行于两坐标轴．若点A 的纵坐标为2，则点D 的坐标为________．解析：由图象可知，点A (x A,2)在函数y ＝log22x 的图象上，所以2＝log 22x A ，x A ＝⎝⎛⎭⎫222＝12. 点B (x B,2)在函数y ＝x 12的图象上，所以2＝(x B )12，x B ＝4.所以点C (4，y C )在函数y ＝⎝⎛⎭⎫22x 的图象上， 所以y C ＝⎝⎛⎭⎫224＝14. 又x D ＝x A ＝12，y D ＝y C ＝14，所以点D 的坐标为⎝⎛⎭⎫12，14. 答案：⎝⎛⎭⎫12，14三、解答题(本小题满分本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)计算：(1)12－1－⎝⎛⎭⎫350＋⎝⎛⎭⎫94－0.5＋ 4(2－e )4； (2)lg 500＋lg 85－12lg 64＋50×(lg 2＋lg 5)2.解：(1)原式＝2＋1－1＋23＋e －2＝23＋e.(2)原式＝lg 5＋lg 102＋lg 23－lg 5－12lg 26＋50×(lg 10)2＝lg 5＋2＋3lg 2－lg 5－3lg 2＋50＝52.18．(本小题满分12分)已知函数y ＝log a (x ＋3)－89(a ＞0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 也在函数f (x )＝3x ＋b 的图象上，求b 的值．解：当x ＋3＝1，即x ＝－2时，对任意的a ＞0，且a ≠1都有y ＝log a 1－89＝0－89＝－89，所以函数y ＝log a (x ＋3)－89的图象恒过定点A ⎝⎛⎭⎫－2，－89， 若点A 也在函数f (x )＝3x ＋b 的图象上，则－89＝3－2＋b ，所以b ＝－1.19．(本小题满分12分)若函数f (x )＝log a (x ＋1)(a ＞0且a ≠1)的定义域和值域都为[0,1]，求a 的值．解：当a ＞1时，函数f (x )在区间[0,1]上为增函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧ f (0)＝0，f (1)＝1，解得a ＝2. 当0＜a ＜1时，函数f (x )在区间[0,1]上为减函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝1，f (1)＝0，方程组无解． 综上可知a ＝2.20．(本小题满分12分)已知函数g (x )是f (x )＝a x (a ＞0且a ≠1)的反函数，且g (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫22，32. (1)求f (x )与g (x )的解析式；(2)比较f (0.3)，g (0.2)与g (1.5)的大小．解：(1)∵函数g (x )是f (x )＝a x (a ＞0且a ≠1)的反函数，∴g (x )＝log a x (a ＞0且a ≠1)． ∵g (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫22，32，∴log a 22＝32， ∴a 32＝22，解得a ＝2. ∴f (x )＝2x ，g (x )＝log 2x .(2)∵f (0.3)＝20.3＞20＝1，g (0.2)＝log 20.2＜0，又g (1.5)＝log 21.5＜log 22＝1，且g (1.5)＝log 21.5＞log 21＝0， ∴0＜g (1.5)＜1， ∴f (0.3)＞g (1.5)＞g (0.2)．21．(本小题满分12分)已知f (x )＝|log 3x |. (1)画出函数f (x )的图象；(2)讨论关于x 的方程|log 3x |＝a (a ∈R)的解的个数．解：(1)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x ≥1，－log 3x ，0＜x ＜1，对应的函数f (x )的图象如图所示．(2)设函数y ＝|log 3x |和y ＝a .当a ＜0时，两图象无交点，原方程解的个数为0个． 当a ＝0时，两图象只有1个交点，原方程只有1解． 当a ＞0时，两图象有2个交点，原方程有2解．22．(本小题满分12分)已知定义域为R 的函数f (x )＝b －2x2x ＋a 是奇函数．(1)求a ，b 的值；(2)证明f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数；(3)若对于任意t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )＜0恒成立，求k 的取值范围． 解：(1)∵f (x )为R 上的奇函数，∴f (0)＝0，b ＝1.又f (－1)＝－f (1)，得a ＝1.经检验a ＝1，b ＝1符合题意．(2)证明：任取x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝1－2x 12x 1＋1－1－2x 22x 2＋1＝(1－2x 1)(2x 2＋1)－(1－2x 2)(2x 1＋1)(2x 1＋1)(2x 2＋1)＝2(2x 2－2x 1)(2x 1＋1)(2x 2＋1).∵x 1＜x 2，∴2x 2－2x 1＞0. 又∵(2x 1＋1)(2x 2＋1)＞0，∴f (x 1)＞f (x 2)，∴f (x )为R 上的减函数．(3)∵t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )＜0恒成立， ∴f (t 2－2t )＜－f (2t 2－k )．∴f (x )为奇函数，∴f (t 2－2t )＜f (k －2t 2)．∵f (x )为减函数，∴t 2－2t ＞k －2t 2，即k ＜3t 2－2t 恒成立，而3t 2－2t ＝3⎝⎛⎭⎫t －132－13≥－13.∴k ＜－13.故k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－13。
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基本初等函数（I ）填空题训练
1. 下列命题正确的有___________
①已知A,B 是椭圆的左右两个顶点, P 是该椭圆上异于A,B 的任一点,则 ．
②已知双曲线的左顶点为A 1 ， 右焦点为F 2 ， P 为双曲线右支上一点，则的最小值为－2．
③若抛物线:
的焦点为 ， 抛物线上一点和抛物线内一点
， 过点Q 作抛物线的
切线 ， 直线过点且与垂直，则平分
；
④已知函数
是定义在R 上的奇函数,, 则不等式
的解集是 ．
2. 若C(－ ， 0)，D( ， 0)，M 是椭圆＋y 2
＝1上的动点，则
＋的最小值为________．
3.若椭圆＋＝1的焦点在x 轴上，过点(1，)作圆x 2＋y 2
＝1的切线，切点分别为A ，B ，直线AB 恰好经
过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是________．
4.过抛物线的焦点的直线
与抛物线交于
、
两点，且
（
为坐标原
点）的面积为 ， 则
= .
5.过抛物线的焦点的直线
与抛物线交于
、
两点，且
（
为坐标原
点）的面积为
， 则= .
6.已知双曲线（）的焦距为
， 右顶点为 ， 抛物线的焦点为,
若双曲线截抛物线的准线所得线段长为 ， 且
， 则双曲线的渐近线方程为___________.
7. 设分别为椭圆:的左右顶点,为右焦点,为
在点处的切线,为上异
于的一点,直线交于,
为
中点,有如下结论:① 平分
;②
与椭圆
相
切;③平分
;④使得
的点
不存在.其中正确结论的序号是_____________.
8.若P
0(x
，y
)在椭圆＝1(a＞b＞0)外，则过P
作椭圆的两条切线的切点为P
1
，P
2
，则切点弦P
1
P
所在直线方程是＝1.那么对于双曲线则有如下命题：若P
0(x
，y
)在双曲线＝1(a＞0，b＞
0)外，则过P
0作双曲线的两条切线的切点为P
1
，P
2
，则切点弦P
1
P
2
所在的直线方程是______．
9. 设抛物线的焦点为,已知为抛物线上的两个动点，且满足,过弦
的中点作抛物线准线的垂线,垂足为,则的最大值为．
10. 已知函数f(x)＝x2－2ax＋5在(－∞，2]上是减函数，且对任意的x
1， x
2
∈[1，a＋1]，总有|f(x
1
)－
f(x
2
)|≤4，则实数a的取值范围为______．
基本初等函数（I ）填空题训练参考解析
1. 答案：②③④
解析：试题分析：①令P 为上顶点，其坐标为（0,2）A ,B ,所以，故①错．
②左顶点A 1（-1,0），右焦点F 2（2,0）
，设P ，
, P
在双曲线上，故，所以= = ，
当
时，其最小值为-2，故②正确．
③抛物线:变形为，，即在点的切线的斜率为1，故直线的斜率
为-1，与直线FQ,RQ 的夹角都为，所以平分；故③正确．
④令则
，
，即在上是
增函数，
，故
在
上也是增函数，又因为函数是定义在R 上的奇函数,所以
在
上是减函数，则不等式的解集是
．故④正确．
综上：答案为②③④．
考点：向量的坐标运算；导数的几何意义；导数与单调性的关系；斜率公式． 2. 答案：1
3. 答案：＋＝1
4. 答案：
解析：试题分析：先根据抛物线的方程求得焦点的坐标，代入直线方程求得和的关系式，进而把直线
与抛物线方程联立消去
，求得方程的解，进而根据直线方程可分别求得
和
，的面积可分为
与
的面积之和，而与
若以为公共底，则其高即为
、
两点的
轴坐标
的绝对值，进而可表示三角形的面积进而求得，则
的值可得，代入中，即可求得答案．
考点：椭圆的简单性质．
5. 答案：
解析：试题分析：先根据抛物线的方程求得焦点的坐标，代入直线方程求得和的关系式，进而把直线
与抛物线方程联立消去
，求得方程的解，进而根据直线方程可分别求得
和
，
的面积可分为
与的面积之和，而与若以为公共底，则其高即为、两点的轴坐标的绝对值，进而可表示三角形的面积进而求得，则的值可得，代入中，即可求得答案．
考点：椭圆的简单性质．
6. 答案：
7. 答案：①②
解析：试题分析：设，则的方程为：，令得
.
对①，的方程为：即，所以点M到直线PF的距离为
即点M到PF到距离等于M到FB的距离，所以平分，成立；对②，直线PM的斜率为
，将求导得
，所以过点P的切线的斜率为（也可用求得切线的斜率），
所以椭圆在点处的切线即为PM，②成立；对③，延长与直线交于点，由椭圆的光学性质知，
，于是平分，而不平分，故③不成立；
若，则为的斜边中线，，这样的有4个，故④不成立.
考点：1、椭圆；2、椭圆的切线；3、角平分线.
8. 答案：＝1
9. 答案：
解析：试题分析：过作准线的垂线,垂足为,由图可知,,根据抛物线的定义
可知,所以．在中,根据余弦定理可知
,所以．
根据基本不等式的性质,所以上式可化为,即,
所以．
考点：抛物线定义,余弦定理,基本不等式．
10. 答案：[2,3]。