2.8 函数与方程
2022数学第二章函数2
2.8函数与方程必备知识预案自诊知识梳理1.函数的零点(1）函数零点的定义对于函数y=f（x)(x∈D),把使成立的实数x叫做函数y=f（x)（x∈D)的零点。
(2）与函数零点有关的等价关系方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x）的图象与有交点⇔函数y=f(x)有.（3）函数零点的判定（零点存在性定理）2。
二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与零点的关系图象3.二分法函数y=f（x)的图象在区间［a,b]上连续不断，且，通过不断地把它的零点所在区间，使所得区间的两个端点逐步逼近,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.1.若y=f（x)在闭区间[a,b]上的图象连续不断，且有f(a)f （b）<0,则函数y=f（x)一定有零点.2。
f（a)f(b）<0是y=f（x）在闭区间［a，b]上有零点的充分不必要条件.3.若函数f(x）在［a，b］上是单调函数,且f(x）的图象连续不断,则f（a)f(b)<0⇒函数f(x)在区间[a,b］上有且只有一个零点。
考点自诊1.判断下列结论是否正确，正确的画“√",错误的画“×”。
(1）函数f（x）=x2—1的零点是（—1,0）和(1，0).(）(2)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0）在b2—4ac〈0时没有零点。
() (3）只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值。
()（4）已知函数f（x）在(a,b）内图象连续且单调，若f（a）f（b)〈0,则函数f（x）在[a，b］上有且只有一个零点.（)（5)函数y=2sin x—1的零点有无数多个.() 2。
(2020云南玉溪一中二模)函数f(x）=2x+3x的零点所在的一个区间是（）A。
(—2，—1)B.（—1，0)C。
（0,1）D。
（1，2)3.（2020山东济南二模,2）函数f（x)=x3+x—4的零点所在的区间为()A.（—1，0）B.(0,1）C。
人教版高中总复习一轮数学精品课件 第2章 函数 2.8 函数与方程
通过画函数的图象,观察图象与x轴在给定区间上是否有公共
点来判断
对点训练1
(1)函数f(x)=πx+log2x的零点所在的区间为( A )
1 1
A. 4 , 2
1 1
B. 8 , 4
1
C. 0, 8
1
D. 2 ,1
因为函数f(x)在定义域上是增函数,所以f(x)至多存在一个零点.
数f(x)的零点个数;或将函数f(x)拆分成函数h(x)和g(x)的差,根据
f(x)=0⇔h(x)=g(x),则函数f(x)的零点个数就是函数y=h(x)和
y=g(x)的图象的公共点个数
若能确定函数的单调性,则其零点个数不难得到;若所考查的函
数是周期函数,则只需求出在一个周期内的零点个数,根据周期
性则可得函数的零点个数
e
解题心得判断函数y=f(x)在某个区间上是否存在零点的方法
解方程法
利用函数
零点存在
定理
图象法
当对应方程易解时,可通过解方程,观察方程是否有根落在给
定区间上
首先看函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是否是一条连续不断
的曲线,然后看是否有f(a)f(b)<0.若有,则函数y=f(x)在区间(a,b)
点的横坐标.
1
2.并不是所有的函数都有零点,如函数 y= 就没有零点.
3.当函数y=f(x)的图象在区间[a,b]上是连续的曲线,但是不满足f(a)·
f(b)<0
时,函数y=f(x)在区间(a,b)内可能存在零点,也可能不存在零点.
2.二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与函数零点的关系
2014版高中数学复习方略课时提升作业：2.8函数与方程(北师大版)(北师大版·数学理·通用版)
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课时提升作业(十一)一、选择题1.(2013·九江模拟)设函数f(x)=x-lnx(x>0),则y=f(x) ( )(A)在区间(e-1,1),(1,e)内均有零点(B)在区间(e-1,1),(1,e)内均无零点(C)在区间(e-1,1)内有零点,在区间(1,e)内无零点(D)在区间(e-1,1)内无零点,在区间(1,e)内有零点2.(2013·安庆模拟)如图是函数f(x)的图像,它与x轴有4个不同的公共点.给出下列四个区间之中,存在不能用二分法求出的零点,该零点所在的区间是( )(A)[-2.1,-1] (B)[4.1,5](C)[1.9,2.3] (D)[5,6.1]3.已知函数f(x)=x+2x,g(x)=x+lnx的零点分别为x1,x2,则x1,x2的大小关系是( ) (A)x1<x2 (B)x1>x2 (C)x1=x2 (D)不能确定4.函数f(x)=|x-2|-lnx在定义域内零点的个数为( )(A)0 (B)1 (C)2 (D)35.(2013·合肥模拟)已知符号函数sgn(x)=则函数f(x)=sgn(lnx)-lnx 的零点个数为( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)46.设x1,x2是方程ln|x-2|=m(m为实常数)的两根,则x1+x2的值为( )(A)4 (B)2 (C)-4 (D)与m有关7.(2013·吉安模拟)设f(x)与g(x)是定义在同一区间[a,b]上的两个函数,若函数y=f(x)-g(x)在x∈[a,b]上有两个不同的零点,则称f(x)和g(x)在[a,b]上是“关联函数”,区间[a,b]称为“关联区间”.若f(x)=x2-3x+4与g(x)=2x+m在[0,3]上是“关联函数”,则m的取值范围是( )(A)(-,-2] (B)[-1,0] (C)(-∞,-2] (D)(-,+∞)8.若函数y=()|1-x|+m的图像与x轴有公共点,则m的取值范围是( )(A)m≤-1 (B)m≥1 (C)-1≤m<0 (D)0<m≤19.(2013·温州模拟)对实数a和b,定义运算“⊗”:a⊗b=设函数f(x)=(x2-1)⊗(x-x2),x∈R.若函数y=f(x)-c恰有两个不同的零点,则实数c的取值范围是( ) (A)(-∞,-1)∪(-,0) (B){-1,-}(C)(-1,-) (D)(-∞,-1)∪[-,0)10.(能力挑战题)若函数y=4sin(2x+)(x∈[0,])的图像与直线y=m有三个交点且它们的横坐标分别为x1,x2,x3(x1<x2<x3),则x1+2x2+x3的值是( )(A) (B) (C) (D)二、填空题11.若函数f(x)=a x-x-a(a>0且a≠1)有两个零点,则实数a的取值范围是.12.已知函数f(x)=3x+x-5的零点x0∈[a,b],且b-a=1,a,b∈N+,则a+b= .13.若函数f(x)=(m-1)x2+2(m+1)x-1有且仅有一个零点,则实数m的取值集合是.14.(能力挑战题)若函数y=f(x)(x∈R)满足f(x+2)=f(x),且x∈[-1,1]时,f(x)=1-x2,函数g(x)=lg|x|,则函数y=f(x)与y=g(x)的图像在区间[-5,5]内的交点个数为.三、解答题15.已知二次函数f(x)=x2+(2a-1)x+1-2a.(1)判断命题“对于任意的a∈R(R为实数集),方程f(x)=1必有实数根”的真假,并写出判断过程.(2)若y=f(x)在区间(-1,0)及(0,)内各有一个零点,求实数a的范围.答案解析1.【解析】选D.f'(x)=-,当x∈(0,3)时,f'(x)<0,即f(x)在(0,3)上是减函数,又f(e-1)=e-1+1>0,f(1)=>0,f(e)=e-1<0,≨f(e-1)·f(1)>0,f(1)·f(e)<0,故选D.2.【解析】选C.由图像可以看出函数在[-2.1,-1],[1.9,2.3],[4.1,5],[5,6.1]上各有一个零点,对比四个选项,C中的零点不能用二分法求.3.【解析】选A.在同一坐标系中作函数y=-x,y=2x,y=lnx的图像如图所示,由图像知x1<x2.4.【思路点拨】本题可转化为求函数y=|x-2|和y=lnx图像的交点个数.【解析】选C.在同一直角坐标系中,作出函数y=|x-2|与y=lnx的图像如图,从图中可知,两函数共有2个交点,≨函数f(x)的零点的个数为2.5.【解析】选C.令f(x)=0,则sgn(lnx)-lnx=0,即sgn(lnx)=lnx,≨lnx=1或lnx=0或lnx=-1,≨x=e或x=1或x=.6.【解析】选A.函数y=ln|x-2|的图像关于直线x=2对称,从而x1+x2=4.7.【解析】选A.由题意知函数M(x)=f(x)-g(x)=x2-5x+4-m在[0,3]上有两个不同的零点,则有≨-<m≤-2.8.【解析】选C.由已知得函数y=()|1-x|+m有零点,即方程()|1-x|+m=0有解,此时m=-()|1-x|.≧|1-x|≥0,≨0<()|1-x|≤1,≨m∈[-1,0).9.【解析】选A.由x2-1≤x-x2得-≤x≤1,≨f(x)=函数f(x)的图像如图所示,由图像知,当c<-1或-<c<0时,函数y=f(x)-c恰有两个不同的零点.10.【解析】选C.函数y=4sin(2x+)的图像的对称轴在[0,π]有2条,分别为x=和x=,由对称性可得x1+x2=2×=,x2+x3=2×=,故x1+2x2+x3=x1+x2+x2+x3=+=.11.【解析】函数f(x)的零点的个数就是函数y=a x与函数y=x+a交点的个数,两函数的图像如图所示,可知a>1时两函数图像有两个交点,0<a<1时两函数图像有唯一交点,故a>1.答案:(1,+≦)12.【解析】由已知x0∈[a,b],且b-a=1,a,b∈N+,≨a,b的可能取值为a=1,b=2,或a=2,b=3,….又f(1)=3+1-5=-1<0,f(2)=32+2-5=6>0,≨f(1)f(2)<0,故a=1,b=2符合要求.又≧f(x)为增函数,当x取大于或等于2的整数时,所对应的函数值都大于0, ≨a=1,b=2.≨a+b=1+2=3.答案:313.【解析】当m=1时,f(x)=4x-1=0,得x=,符合要求.当m≠1时,依题意得Δ=4(m+1)2+4(m-1)=0.即m2+3m=0,解得m=-3或m=0,≨m的取值集合是{-3,0,1}.答案:{-3,0,1}【误区警示】本题求解过程中易忽视m=1而失误.根据原式将f(x)误认为是二次函数.14.【思路点拨】根据周期性画函数f(x)的图像,根据对称性画函数g(x)的图像,注意定义域.【解析】函数y=f(x)以2为周期,y=g(x)是偶函数,画出图像可知两函数在区间[-5,5]内有8个交点.答案:815.【解析】(1)“对于任意的a∈R(R为实数集),方程f(x)=1必有实数根”是真命题.依题意:f(x)=1有实根,即x2+(2a-1)x-2a=0有实根,≧Δ=(2a-1)2+8a=(2a+1)2≥0对于任意的a∈R(R为实数集)恒成立,即x2+(2a-1)x-2a=0必有实数根,从而f(x)=1必有实数根.(2)依题意:要使y=f(x)在区间(-1,0)及(0,)内各有一个零点,只需即解得<a<.【变式备选】已知函数f(x)=4x+m·2x+1有且仅有一个零点,求m的取值范围,并求出该零点.【解析】≧f(x)=4x+m·2x+1有且仅有一个零点,即方程(2x)2+m·2x+1=0仅有一个实根.设2x=t(t>0),则t2+mt+1=0,当Δ=0时,即m2-4=0,≨m=2或m=-2.又m=-2时,t=1,m=2时,t=-1(不合题意,舍去),≨2x=1,x=0符合题意.当Δ>0时,即m>2或m<-2时,t2+mt+1=0有两正或两负根,即f(x)有两个零点或没有零点,≨这种情况不符合题意.综上可知:m=-2时,f(x)有唯一零点,该零点为0.关闭Word文档返回原板块。
2015届高考数学(浙江文)一轮复习课件：2.8函数与方程
2 1. 函数 f(x)＝ 2x－ －a 的一个零点在区间 (1,2)内，则实数 x a 的取值范围是( A．(1,3) ) C． (0,3) D．(0,2)
B．(1,2)
解析：选 C
由条件可知 f(1)f(2)<0，即 (2－2－a)(4－1－a)<0，
即 a(a－3)<0，解得 0<a<3.
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高频考点全通关——函数零点的应用 闯关四：及时演练，强化提升解题技能
3. 已知 f(x)＝x3－6x2＋9x－abc，a<b<c，且 f(a)＝f(b)＝f(c)＝0. 现给出如下结论：①f(0)f(1)>0；②f(0)f(1)<0；③f(0)f(3)>0； ④f(0)·f(3)<0.其中正确结论的序号是( A．①③
解析：选 C
) D．②④
B．①④
C．②③
由题设知 f(x)＝0 有 3 个不同零点． 设 g(x)＝x3－6x2＋9x，∴g(x)＝x(x2－6x＋9)＝x(x－3)2， 令 g(x)＝0，得 x＝0 或 x＝3，g′(x)＝3x2－12x＋9， 令 g′(x)>0，得 x<1 或 x>3；令 g′(x)<0，得 1<x<3， 所以 g(x)在(－∞，1)，(3，＋∞)上是单调递增的；在(1,3) 上是单调递减的．g(1)＝4，作出 g(x)的图象，如图所示． ∴f(x)＝g(x)－abc，f(x)有 3 个零点，需将 g(x)的图象向下 平移至如图所示位置．由图象观察可知，f(0)f(1)<0 且 f(0)f(3)>0.
分三步：①判断函数的单调性；②利用零点存在性定理，得到参数所满 足的不等式；③解不等式，即得参数的取值范围． (2)已知函数零点的个数求参数．常利用数形结合法． (3)借助函数零点比较大小．要比较 f (a)与 f (b)的大小，通常先比较 f (a)、 f (b)与0的大小．
2.8函数与方程
(B
)
D．3
变式训练2 (2)(2013· 南京 29 中调研)函数 f(x)＝ x＋log2 x
1 的零点个数为________ ．
(3)(2013· 无锡调研)定义在 R 上的奇函数 f(x)满 足：当 x>0 时，f(x)＝2 013x＋log2 013x，则在 R
3 上函数 f(x)零点的个数为________ ． x＋1，x≤0， (4) 已知函数 f(x) ＝ 则函数 y ＝ log2x，x>0，
题型二 函数零点个数的判断
【例 2】P28 若定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(x ＋2)＝f(x)，且当 x∈[0,1]时，f(x)＝x，则函数 y
4 ． ＝f(x)－log3|x|的零点个数是________
变式训练 2(1)P29 (2012· 天津)函数 f(x)＝2 ＋ x －2 在区间(0,1)内的零点个数是 A．0 B．1 C．2
（-5，-2）
变式训练4
（ 3 ） 已 知 以 T ＝ 4 为 周 期 的 函 数 f(x) ＝
2 m 1－x ，x∈－1，1]， 1－|x－2|，x∈1，3]，
其中 m>0.若方程 3f(x)
＝x 恰有 5 个实数解，则 m 的取值范围为( B ) 4 8 4 15 8 15 A. ， B. ， 7 C.3，3 D.3， 7 3 3 3
m<x1< n<x2<p
只有一根在 (m，n)之间
题型一 确定函数零点所在区间
【例 1】 (1)(2012· 山东省实验中学一诊)函数 f(x) 1 ＝－x＋log2x 的一个零点落在区间( ) B A．(0,1) B．(1,2)
2.8二次函数与一元二次方程上课课件
解 : 当h 60时, 得 5t 2 40t 60. 解得 : x1 2, x2 6.
2.二次函数y=ax2+bx+c何时为一元二次方程?它们的关 系如何?
一般地,当y取定值时, 二次函数即为一元二次方程.
5
6
1.已知竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t(s)的关 系可用公式h=-5t2+v0t+h0表示,其中h0(m)是抛出时的 高度,v0(m/s)是抛出时的速度.一个小球从地面以 40m/s的速度竖直向上抛出起,小球的高度h(m)与运动 时间t(s)的关系如图所示,那么
(1).h和t的关系式是什么？ 解 : 1.h 5t 2 40t. (2).小球经过多少秒后落地? 你有几种求解方法?与同伴 进行交流.
二次函数 y=ax2+bx+c的图 象和x轴交点 有两个交点 有一个交点 没有交点
一元二次方程 ax2+bx+c=0的根
一元二次方程 ax2+bx+c=0根的判 别式Δ=b2-4ac b2-4ac > 0 b2-4ac = 0 b2-4ac < 0
有两个相异的实数根 有两个相等的实数根
没有实数根
当堂训练
九年级数学(下)第二章 二次函数
8. 二次函数与一元二次方程
学习目标：
1.会根据二次函数的图象和 横轴交点的个数判别一元二 次方程的根的情况 2.理解一元二次方程的根就 是二次函数与x轴交点的横坐 标。
自学指导：
1.完成课本70页的两个问题。 2.完成课本71页的议一议。 3.二次函数的图象与x轴的交点有几种 情况？即y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐 标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有 什么关系？
2.8.1二次函数与一元二次方程
二次函数y=x2+2x的图象 与x轴有几个交点？
一元二次方程x2+2x=0 有几个根？ 解：x(x+2)=0 x=0或x+2=0 ∴ x1=-2，x2=0
二次函数y=x2-2x+1 的图象与x轴有几个交点？
一元二次方程x2-2x+1=0 有几个根？
二次函数y=x2-2x+2 一元二次方程x2-2x+2=0 的图象与x轴有几个交点？ 有几个根？ 解：∵△=(-2)2-4×1×2
问题：
• 1.求一次函数y=2x-4与x轴的交点坐标 是( ， )
• 2.说一说你是怎样得到的？
温故引新
一次函数y=kx+b(k≠0)与x轴的交点的横 坐标就是一元一次方程kx+b=0(k≠0)的解
那么，二次函数和一元二次方程又有什么关 系呢？
活动探究1
活动探究1
二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象如图所示.
2
例3 设二次函数 y x ( m 2 ) x 3 ( m 1 ) 的图像与X轴交于A，B两点，与y轴交于 C点，线段OA与OB的长的积等于6 （O是坐标原点） 求：m的值
2
练习1.已知抛物线Y=X2—（m—3）X+m （1）求证：无论M取何值时，抛物线都与X 轴有两个交点。 （2）M为何值时，抛物线都与X轴有两个交 点间的距离等于3。
2
2
2
( A) y x 2
2
(B) y x
2
x
2
(C ) x
2
6x 9
(D ) y x
x 2
2.8二次函数与医院二次方程学案
2.8 二次函数与一元二次方程导学案一、复习引入1、如何判断一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠根的情况？2、解一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的方法有哪些？3、已知20 (0)ax bx c a ++=≠，则12x x += ，12x x = 。
4、二次函数的三种表达式是： 5、二次函数的对称轴是： ，顶点坐标公式： 6、二次函数2369y x x =++的图像可以由23y x =的图像先向 平移 个单位，再向 平移 个单位得到。
平移变换的口诀是： 7、二次函数232y x x =-+的图像与x 轴的交点的坐标为 二、新课探究探究1：在下图中分别作出函数2222 , 2 1 , 22y x x y x x y x x =-=-+=-+的图像：（1）函数2222 , 2 1 , 22y x x y x x y x x =-=-+=-+与X 轴有几个交点？ （2）函数2222 , 2 1 , 22y x x y x x y x x =-=-+=-+与X 轴交点坐标是多少？ （3）一元二次方程22220 , 210 , 220x x x x x x -=-+=-+=的根是多少？ （4）通过以上问题你可以得出什么结论？探究2：已知二次函数2 (0)yax bx c a =++≠，它的图象与X 轴的交点个数能不能用一元二次方程的知识来说明呢？探究3：如图，二次函数2 (0)yax bx c a =++≠图象与X 轴交与A 、B 两点，求AB ？例1、已知抛物线221y x x m =+++。
（1）若抛物线与x轴有两个交点，求m 的值；（2）若抛物线与直线y=x+2m 只有一个交点，求m 的值。
例2、已知二次函数 的图像与X 轴有两个不同的交点 （1） 求k 的取值范围；（2） 当k 为何值时，这两个交点横坐标的平方和等于50。
例3、在抛物线223y x x =-++上是否存在点P （点C 除外），使△ABP 面积等于△ABC 面积?小结与作业2y kx 6x 7=--2．8 二次函数与一元二次方程基础过关1．抛物线y =a （x －2）（x ＋5）与x 轴的交点坐标为 ．2．已知抛物线的对称轴是x =－1，它与x 轴交点的距离等于4，它在y 轴上的截距是－6，则它的表达式为 ．3．若a ＞0，b ＞0，c ＞0，△＞0，那么抛物线y =ax 2＋bx ＋c 经过 象限．4．抛物线y =x 2－2x ＋3的顶点坐标是 ．5．若抛物线y =2x 2－（m ＋3）x －m ＋7的对称轴是x =1，则m = ．6．抛物线y =2x 2＋8x ＋m 与x 轴只有一个交点，则m = ．7．已知抛物线y =ax 2＋bx ＋c 的系数有a －b ＋c =0，则这条抛物线经过点 ． 8．二次函数y =kx 2＋3x －4的图象与x 轴有两个交点，则k 的取值范围 ． 9．抛物线222y x ax a =-+的顶点在直线y =2上，则a 的值是 ．10．抛物线y =3x 2＋5x 与两坐标轴交点的个数为（ ）A ．3个B ．2个C ．1个D ．无11．如图所示，函数y =ax 2－bx ＋c 的图象过（－1，0），则b ac a c b c b a +++++的值是（ ） A ．－3B ．3C ．21D ．－2111题图 12题图12．已知二次函数y =ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则下列关系正确的是（ ）A ．0＜－a b2＜1B ．0＜－a b2＜2C ．1＜－a b2＜2D ．－ab 2=113．一元二次方程x 2＋7x ＋9=1的根与二次函数y =x 2＋7x ＋9的图像有什么关系? 试把方程的根在图像上表示出来．14．已知二次函数y =x 2＋mx ＋m －2．求证：无论m 取何实数，抛物线总与x 轴有两个交点．15．已知二次函数y =－x 2＋4x －3，其图像与y 轴交于点B ，与x 轴交于A ，C 两点． 求△ABC 的周长和面积．16．已知二次函数y =x 2－2kx ＋k 2＋k －2．（1）当实数k 为何值时，图象经过原点？（2）当实数k 在何范围取值时，函数图象的顶点在第四象限内？17．已知抛物线y =mx 2＋（3－2m ）x ＋m －2（m ≠0）与x 轴有两个不同的交点．（1）求m 的取值范围；（2）判断点P （1，1）是否在抛物线上； （3）当m =1时，求抛物线的顶点Q 及P 点关于抛物线的对称轴对称的点P ′的坐标，并过P ′、Q 、P 三点，画出抛物线草图．18．在平原上，一门迫击炮发射的一发炮弹飞行的高度y （m ）与飞行时间x （s ）的关系满足21105y x x =-+．（1）经过多长时间，炮弹达到它的最高点？最高点的高度是多少？ （2）经过多长时间，炮弹落在地上爆炸？19．已知二次函数y =x 2－（m －3）x －m 的图象是抛物线，如图． （1）试求m 为何值时，抛物线与x 轴的两个交点间的距离是3？ （2）当m 为何值时，方程x 2－（m －3）x －m =0的两个根均为负数？ （3）设抛物线的顶点为M ，与x 轴的交点P 、Q ，求当PQ 最短时△MPQ 的面积．20．如图，已知抛物线y =－x 2＋bx ＋c 与x 轴的两个交点分别为A （x 1，0），B （x 2，0），且x 1＋x 2=4，1213x x =．（1）求抛物线的代数表达式；（2）设抛物线与y 轴交于C 点，求直线BC 的表达式； （3）求△ABC 的面积．。