直线的两点式、截距式、一般式
直线的两点式方程
小结
1)直线的两点式方程
y y1 xx1 y2 y1 x2 x1
直线的截距式方程：x y 1 . ab
2) 直线方程的一般式Ax+By+C=0
3)中点坐标：
x x1 x2 2
y y1 y2 2
直线方程
二元一次方程
即：对于任意一个二元一次方程 Ax+By+C=0
(A.B不同时为0)，判断它是否表示一条直线？
（1）当B
0时，方程可变形为
y AxC BB
它表示过点( 0 , C )，斜率为 A 的直线.
B
B
（2）当B=0时，因为A,B不同时为零，所以A一定不
为零,于是方程可化为 x C ，它表示一条与 y 轴平
举例
例3: ⑴ 过(1,2)并且在两个坐标轴上的截距 相等的直线有几条?
解: ⑴ 两条
设:直线的方程为: x y 1
aa
把(1,2)代入得：1 2 1
aa
a=3
所以直线方程为：x+y-3=0 那还有一条呢？y=2x (与x轴和y轴的截距都为0)
(2) 过(1,2)并且在两个坐标轴上的截距的绝 对值相等的直线有几条?
1
y= 2 x+3 因此，斜率为k= 1 ,它在y轴上的截距是3.
2
令y=0 得x=－6.即L在x轴上的截距是－6.
由以上可知L与x 轴,y轴的交点
分别为A(-6，0)B(0，3),过
A，B做直线,为L的图形.
练习
m , n 为何值时,直线mx+8y+n=0和2x+my-1=0垂直?
解:（1）若两条直线的斜率都存在，则m不等于0，
y2 x0 32 30
3.2.3直线的一般式方程
讲授新课
所有的直线方程是否都是二元一次方程？
y y1 k ( x x1 )
kx (1) y y1 kx1 0
kx (1) y b 0
( y2 y1 ) x ( x1 x2 ) y x1 ( y1 y2 ) y1 ( x2 x1 ) 0
课堂小结
点斜式 斜率和一点坐标 斜截式
y y0 k ( x x0 )
y kx b
y y1 x x1 y2 y1 x2 x1
两点式
两点坐标 截距式
x y 1 a b
直线方程的一般式与特殊式的互化。
课堂抢答
⒈根据下列条件写出直线的方程，并且 化成一般式：
讲授新课
注：对于直线方程的一般式，一般作如下约定：
①按含x项、含y项、常数项顺序排列； ②x项的系数为正； ③x，y的系数和常数项一般不出现分数；
无特别说明时，最好将所求直线方程的结 果写成一般式。
课堂练习
若直线l在x轴上的截距-4时，倾斜角
4 的正切值是 ， 3
则直线l的点斜式方程是y-0=(-4/3)(x+4) ___________ y=(-4/3)x-16/3 直线l的斜截式方程是___________ 4x+3y+16=0 直线l的一般式方程是___________
讲授新课
例2 把直线 化成斜截式，求
出直线的斜率以及它在y轴上的截距。
3 解：将直线的一般式方程化为斜截式： y x 3 ， 5
3 它的斜率为： ，它在y轴上的截距是3 5
讲授新课
直线的一般式方程
A ，经 B
C C C C ( ,0) (0, ) 过 ， A 两点【横截距为 A ， 纵截距为 B 】但是如果A=0那么斜率K=0， B
直线Ax+By+C=0平行于X轴， A=0且C=0则直线Ax+By+C=0与X轴重合;如果B=0那么 斜率K不存在直线Ax+By+C=0平行于Y轴，B=0且C=0则直线Ax+By+C=0与Y轴重合。
C 0 B C 0 B
C
AX+BY+C=0
A、B、C同号
例1 已知直线经过点（6，-4），斜率为-4/3，求直线的点斜式和一 般式方程。
Y
解：直线的点斜式方程： 4 y+4=- ( x 6) 3 直线的一般式方程： 4x+3y-12=0
(6,-4) ．
o
X
变式1 求经过A（3，-2）B（5，-4）的直线方程，化为一般式。
1 解：直线的斜截式方程：y x 3 2 1 直线的斜率k= 2 直线在x轴上的截距为-6 直线在y轴上的截距为3
-6
x-2y+6=0 3
C 0 B C 0 B
B、C同号，A与之异号
④
直线L经过第二、三、四象限
直线AX+BY+C=0的斜率k= A
A 0 AB 0 B
B
C C 与x轴的交点 ( ,0) ,即横截距为 A ， A
C 0 A C 0 A
与y轴的交点 (0, B )，即纵截距为 C B
经过 ( x1, y1 ),( x2 , y2 ) 两点
直线的截距式方程：a
x
直线的两点式方程、直线的一般式方程课件
___ax_＋__by_＝__1__ 不表示__垂__直__于____坐标轴的直 线及过___原__点_____的直线
[化解疑难]
1．要注意方程yy2－－yy11＝xx2－－xx11和方程(y－y1)·(x2－x1)＝(x－ x1)(y2－y1)形式不同，适用范围也不同．前者为分式形式方程， 形式对称，但不能表示垂直于坐标轴的直线．后者为整式形式 方程，适用于过任何两点的直线方程．
②当 m≠0 时，l1∥l2，需m2 ＝m＋3 1≠－42. 解得 m＝2 或 m＝－3.∴m 的值为 2 或－3. 法二：令 2×3＝m(m＋1)，解得 m＝－3 或 m＝2. 当 m＝－3 时，l1：x－y＋2＝0，l2：3x－3y＋2＝0， 显然 l1 与 l2 不重合，∴l1∥l2. 同理当 m＝2 时，l1：2x＋3y＋4＝0，l2：2x＋3y－2＝0，l1 与 l2 不重合，l1∥l2， ∴m 的值为 2 或－3.
解得ab11＝＝43， 或ab22＝＝19252，， 所以直线 l 的方程为 3x＋4y－12＝0 或 15x＋8y－36＝0.
(2)设直线 l 的方程为ax＋by＝1(a＞0，b＞0)， 由题意知，ab＝12，34a＋2b＝1， 消去 b，得 a2－6a＋8＝0， 解得ab11＝＝43， 或ab22＝ ＝26， ， 所以直线 l 的方程为 3x＋4y－12＝0 或 3x＋y－6＝0.
0.
[活学活用] (1)求与直线3x＋4y＋1＝0平行且过点(1,2)的直线l的方程； (2)求经过点A(2,1)且与直线2x＋y－10＝0垂直的直线l的方程．
解：(1)法一：设直线 l 的斜率为 k， ∵l 与直线 3x＋4y＋1＝0 平行，∴k＝－34. 又∵l 经过点(1,2)，可得所求直线方程为 y－2＝－34(x－1)， 即 3x＋4y－11＝0.
直线的5种形式
直线的5种形式全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：直线是平面几何中非常基础的概念，它是二维空间中最简单的图形之一。
直线在几何学和数学中有着非常重要的作用，是许多几何问题的基础。
在这篇文章中，我们将会介绍关于直线的五种形式，包括点斜式、截距式、一般式、两点式和向量式。
点斜式是描述直线的一种常用形式，它使用一点和直线的斜率来表示直线。
点斜式的表达形式为y = kx + b，其中k是直线的斜率，b 是直线在y轴上的截距，而(x, y)则是直线上的一个任意点。
通过点斜式，我们可以很容易地确定直线的斜率和截距，从而方便地画出直线的图像。
直线有很多种不同的表示形式，每种形式都有其自身的优势和适用范围。
通过学习不同的直线表示形式，我们可以更深入地理解直线的性质和特点，也可以更有效地应用直线相关的知识解决问题。
希望这篇文章能够帮助您更好地理解直线的五种形式，进一步提高您的几何学和数学水平。
第二篇示例：直线是几何学中最基本的图形之一，它具有无穷长度，但宽度可以忽略不计。
直线在数学、物理学、工程学等领域都有广泛的应用，是研究几何学特性和分析空间关系的基础。
在几何学中，有五种常见的形式来描述直线，分别是点斜式、截距式、一般式、两点式和向量式。
接下来，我们将逐一介绍这五种形式。
第一种形式是点斜式。
点斜式是直线的一种常见表示方法，它通过直线上的一点和直线的斜率来确定直线的方程。
点斜式的一般形式为y=mx+b，其中m为直线的斜率，b为直线在y轴上的截距。
通过给定点和斜率，我们可以方便地确定一条直线的方程。
第三种形式是一般式。
一般式是直线的一种标准表示方法，它通过直线的一般方程Ax+By+C=0来描述。
一般式可以方便地表示直线的方向、位置和关系，是直线方程的标准形式。
通过对一般式的系数进行适当选择，我们可以得到点斜式、截距式等其他形式。
直线可以通过多种形式来描述，每种形式都有其独特的特点和应用范围。
在实际问题中，我们可以根据具体情况选择合适的直线表示方法，以便更好地理解和应用直线的几何特性。
直线方程的两点式和一般式 课件
直线方程的应用
直线 l 的方程为(a－2)y＝(3a－1)x－1(a∈R)．
(1)求证：直线 l 必过定点；
(2)若直线 l 不过第二象限，求实数 a 的取值范围． [解] (1)证明：直线方程可变为 a(3x－y)－(x－2y＋1)＝0 的
＝－2(x－15)2＋54 150(0≤x≤90)．②9 分 3
∴当 x＝15，y＝60－2×15＝50 时， 3
Smax＝54 150 m2.11 分
因此点 P 距直线 AE 15 m，距直线 BC 50 m 时所开发的面积 最大，最大面积为 54 150 m2.③12 分 [规范与警示] (1)解答本题的 3 个关键步骤如下： 一是根据条件建立适当的坐标系是将几何问题转化成代数问 题的关键，也是失分点．
二是根据直线方程确定 x 和 y 的关系后，在②处要根据实际情 况确定出 x 的范围，否则会在后面的应用中忽略范围而出现错 误解答．
三 是在解 答的③ 处的 结论一 定不能 漏掉， 否则解 题步骤 不完 整，造成没必要的 失分． (2)解决 该类问题应注意以下两点： 一是利用坐标法解 决生活问题时，首先要建立适当的坐 标系， 再借助已知条件寻求 x 和 y 的关系．要求一定准确、恰当，否 则给后面的运算化 简带来麻烦．
(3)分类讨论思想的运用 对于特殊情况的处理，考虑问题要全面，这对于完整的解题 是必需的，如本例中的截距互为相反数这一条件的处理，就 必须分等于零和不等于零两种情况来分类讨论，使问题的解 决做到不重不漏．
已知直线 l：5ax－5y－a＋3＝0.
(1)求证：不论 a 为何值，直线 l 恒过第一象限；
3、直线截距式、一般式
经过点（0, b）（, a,0）的直线方程（. 其中a 0, b 0）
截距式
x y 1(a 0, b 0) ab
y
说明:（1）此时直线与y轴的交 l
点是（0, b），即直线在y轴上的截
（0, b）
距是b；直线与x轴的交点(a,0)的
横坐标a叫做直线在x轴的截距;
（2）这个方程由直线在x轴和y轴 O
(
x1
x2 ,y1
y2)
两点
截距式
x a
y b
1a
,b
0
②什么叫二元一次方程？直线与二元一次方程有什么关系?
直线的一般式方程:
Ax+By+C=0（A，B不同时为0）
例1、已知直线经过点A（6，- 4），斜率为 求直线的点斜式和一般式方程.
4 3
，
注意 : 对于直线方程的一般式，一般作如下约定：
1、x的系数为正 2、x,y的系数及常数项一般不出 现分数 3、一般按含x项，含y项、常数项顺序排列.
2、a b a 5 2 a 3 把a, b代 入 截 距 式 得 x y 1 23
截距式 x y 1(a 0, b 0) ab
思考：
点斜式、斜截式均不能表示斜率不存在的直线, 两点式不能表示与坐标轴平行或重合的直线， 那么，截距式是否也存在它不能表示的直线？
答：当直线与坐标轴平行、重合，或 者直线过原点时,不能用截距式表示。 （即截距式适用于横、纵截距都存在且 都不为0的直线）
小结
1. 直线方程常见的几种形式及其特点和适 用范围.
2. 直线的一般式方程
1、过点1（、0过，5）点，（0（，5）5，0，）（5，0）直线方程为：5x
y 5
3.2.2 直线的两点式与一般式方程
3.2.2 直线的两点式方程3．2.3 直线的一般式方程[学习目标]1．会根据条件写出直线的两点式方程和截距式方程．2．了解二元一次方程与直线的对应关系，掌握直线方程的一般形式． [知识链接]1．直线的点斜式方程为y －y 0＝k (x －x 0)． 2．直线的斜截式方程为y ＝kx ＋b .3．经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线的斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2)．[预习导引]1．直线的两点式、截距式方程(1)经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)且x 1≠x 2，y 1≠y 2的直线方程y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1，叫做直线的两点式方程．(2)直线l 与x 轴交点A (a,0)；与y 轴交点B (0，b )，其中a ≠0，b ≠0，则得直线方程x a ＋yb ＝1，叫做直线的截距式方程．(3)若点P 1，P 2的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)且线段P 1P 2的中点M 的坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋x 22y ＝y 1＋y 22.2．直线的一般式方程(1)在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都有一个表示这条直线的关于x ，y 的二元一次方程；任何关于x ，y 的二元一次方程都表示一条直线．方程Ax ＋By ＋C ＝0(其中A 、B 不同时为0)叫做直线方程的一般式．(2)对于直线Ax ＋By ＋C ＝0，当B ≠0时，其斜率为－AB ，在y 轴上的截距为－C B ；当B ＝0时，在x 轴上的截距为－CA ；当AB ≠0时，在两轴上的截距分别为－C A ，－C B .要点一 直线的两点式方程例1 已知A (－3,2)，B (5，－4)，C (0，－2)，在△ABC 中， (1)求BC 边的方程；(2)求BC 边上的中线所在直线的方程． 解 (1)∵BC 边过两点B (5，－4)，C (0，－2)， ∴由两点式得y －(－4)(－2)－(－4)＝x －50－5，即2x ＋5y ＋10＝0.故BC 边的方程为2x ＋5y ＋10＝0(0≤x ≤5)． (2)设BC 的中点为M (x 0，y 0)，则x 0＝5＋02＝52，y 0＝(－4)＋(－2)2＝－3.∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－3，又BC 边上的中线经过点A (－3,2)． ∴由两点式得y －2－3－2＝x －(－3)52－(－3)，即10x ＋11y ＋8＝0.故BC 边上的中线所在直线的方程为10x ＋11y ＋8＝0.规律方法 (1)首先要鉴别题目条件是否符合直线方程相应形式的要求，对含有字母的则需分类讨论；(2)注意问题叙述的异同，本题中第一问是表示的线段，所以要添加范围；第二问则表示的是直线．跟踪演练1 已知△ABC 三个顶点坐标A (2，－1)，B (2,2)，C (4,1)，求三角形三条边所在的直线方程．解 ∵A (2，－1)，B (2,2)，A 、B 两点横坐标相同， ∴直线AB 与x 轴垂直，故其方程为x ＝2.∵A (2，－1)，C (4,1)，由直线方程的两点式可得直线AC 的方程为y －1－1－1＝x －42－4， 即x －y －3＝0.同理可由直线方程的两点式得直线BC 的方程为y －21－2＝x －24－2，即x ＋2y －6＝0.要点二 直线的截距式方程例2 求过点(4，－3)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线l 的方程． 解 法一 设直线在x 轴、y 轴上的截距分别为a 、b . ①当a ≠0，b ≠0时，设l 的方程为x a ＋yb ＝1. ∵点(4，－3)在直线上，∴4a ＋－3b ＝1，若a ＝b ，则a ＝b ＝1，直线的方程为x ＋y －1＝0. 若a ＝－b ，则a ＝7，b ＝－7，直线的方程为x －y －7＝0. ②当a ＝b ＝0时，直线过原点，且过点(4，－3)， ∴直线的方程为3x ＋4y ＝0.综上知，所求直线l 的方程为x ＋y －1＝0或x －y －7＝0或3x ＋4y ＝0. 法二 显然直线l 的斜率存在且不为0. 设直线l 的方程为y ＋3＝k (x －4)，k ≠0. 令x ＝0，得y ＝－4k －3； 令y ＝0，得x ＝4k ＋3k .又∵直线在两坐标轴上的截距的绝对值相等， ∴|－4k －3|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4k ＋3k ， 解得k ＝1或k ＝－1或k ＝－34.∴所求直线的方程为x －y －7＝0或x ＋y －1＝0或3x ＋4y ＝0.规律方法 (1)运用直线的截距式方程一定要注意条件，截距均不为零． (2)本例易遗漏直线过原点的情形．跟踪演练2 求过点A (5,2)且在x 轴上的截距是在y 轴上截距的2倍的直线l 的方程．解 由题意知，当直线l 在坐标轴上的截距均为零时， 直线l 的方程为y ＝25x ；当直线l 在坐标轴上的截距不为零时， 设l 的方程为x 2a ＋ya ＝1， 将点(5,2)代入方程得52a ＋2a ＝1， 解得a ＝92，所以直线l 的方程为x ＋2y －9＝0.综上知，所求直线l 的方程为y ＝25x ，或x ＋2y －9＝0. 要点三 直线的一般式方程例3 根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式． (1)斜率是－12，经过点A (8，－2)； (2)经过点B (4,2)，平行于x 轴；(3)在x 轴和y 轴上的截距分别是32、－3； (4)经过两点P 1(3，－2)，P 2(5，－4)． 解 选择合适的直线方程形式． (1)由点斜式得y －(－2)＝－12(x －8)， 即x ＋2y －4＝0.(2)由斜截式得y ＝2，即y －2＝0.(3)由截距式得x 32＋y－3＝1，即2x －y －3＝0.(4)由两点式得y－(－2)－4－(－2)＝x－35－3，即x＋y－1＝0.规律方法 1.体会直线方程的各种形式，以及各种形式向一般式的转化，把握直线方程一般式的特点．求直线方程的题目，无特别要求时，结果写成直线方程的一般式或斜截式．2．与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为Ax＋By＋C1＝0，再由其他条件求C1.与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋C2＝0，再由其他条件列出方程求出C2.跟踪演练3已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，求直线l′的一般式方程，l′满足(1)过点(－1,3)，且与l平行；(2)过点(－1,3)，且与l垂直．解法一由题设l的方程可化为y＝－34x＋3，∴l的斜率为－3 4.(1)由l′与l平行，∴l′的斜率为－3 4.又∵l′过(－1,3)，由点斜式知方程为y－3＝－34(x＋1)，即3x＋4y－9＝0.(2)由l′与l垂直，∴l′的斜率为4 3，又过(－1,3)，由点斜式可得方程为y－3＝43(x＋1)，即4x－3y＋13＝0.法二(1)由l′与l平行，可设l′方程为3x＋4y＋m＝0. 将点(－1,3)代入上式得m＝－9.∴所求直线方程为3x＋4y－9＝0.(2)由l′与l垂直，可设其方程为4x－3y＋n＝0.将(－1,3)代入上式得n＝13.∴所求直线方程为4x－3y＋13＝0.1．过两点(5,2)，(－5,2)的直线方程是( )A ．x ＝5B ．y ＝2C ．x ＋y ＝2D ．x ＝2答案 B解析 因两点纵坐标相等，所以过此两点的直线方程为y ＝2. 2．过P 1(2,0)、P 2(0,3)两点的直线方程是( ) A.x 3＋y 2＝0 B.x 2＋y 3＝0 C.x 2＋y 3＝1 D.x 2－y 3＝1 答案 C解析 由截距式得，所求直线的方程为x 2＋y3＝1. 3．直线x －3y ＋1＝0的倾斜角为( ) A ．30° B ．60° C ．120° D ．150° 答案 A解析 由直线的一般式方程，得它的斜率为33，从而倾斜角为30°. 4．直线3x －2y ＝4的截距式方程是( ) A.3x 4－y2＝1 B.x 13－y 12＝4 C.3x 4－y －2＝1D.x 43＋y －2＝1答案 D解析 由截距式方程的形式可得应选D.5．若方程Ax ＋By ＋C ＝0表示直线，则A 、B 应满足的条件为________． 答案 A 2＋B2≠0解析由二元一次方程表示直线的条件知A、B至少有一个不为零即A2＋B2≠0.1．当直线没有斜率(x1＝x2)或斜率为0(y1＝y2)时，不能用两点式y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1求它的方程，此时直线的方程分别是x＝x1和y＝y1，而它们都适合(x2－x1)(y －y1)＝(y2－y1)(x－x1)，即两点式的整式形式，因此过任意两点的直线的方程都可以写成(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)的形式．2．直线的截距式是两点式的一个特殊情形，用它来画直线以及判断直线经过的象限或求直线与坐标轴围成的三角形的面积比较方便．注意直线过原点或与坐标轴平行时，没有截距式方程，但直线过原点时两截距存在且同时等于零．3．直线方程的一般式同二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为零)之间是一一对应关系，因此研究直线的几何性质完全可以借助于方程的观点来研究，这实际上也是解析几何的思想所在——用方程的思想来研究几何问题．一、基础达标1．下列说法正确的是()A．方程y－y1x－x1＝k表示过点P1(x1，y1)且斜率为k的直线方程B．直线y＝kx＋b与y轴的交点为B(0，b)，其中截距b＝|OB|C．在x轴，y轴上的截距分别为a，b的直线方程为xa＋yb＝1 D．方程(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)表示过任意不同两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线方程答案 D解析对于A，方程y－y1x－x1＝k表示过点P1(x1，y1)且斜率为k的直线方程，但不包括P1(x1，y1)，所以A错；对于B，截距b可以为负值，也可以为0，所以B错；对于C，a，b中有一个或两个都为0时，不能用截距式表示直线方程，所以C错．只有选项D正确．2．直线x3＋y4＝1，化成一般式方程为()A．y＝－43x＋4 B．y＝－43(x－3)C．4x＋3y－12＝0 D．4x＋3y＝12 答案 C解析直线x3＋y4＝1化成一般式方程为4x＋3y－12＝0.3．如果ax＋by＋c＝0表示的直线是y轴，则系数a，b，c满足条件() A．bc＝0 B．a≠0C．bc＝0且a≠0 D．a≠0且b＝c＝0 答案 D解析y轴方程表示为x＝0，所以a，b，c满足条件为b＝c＝0，a≠0.4．若ac<0，bc<0，则直线ax＋by＋c＝0的图形只能是()答案 C解析由ac<0，bc<0，∴abc2>0，∴ab>0，∴斜率k＝－ab<0，又纵截距－cb>0，故选C.5．过点A(4,1)且在两坐标轴上截距相等的直线方程是()A．x＋y＝5 B．x－y＝5C．x＋y＝5或x－4y＝0 D．x－y＝5或x＋4y＝0答案 C解析当直线过点(0,0)时，直线方程为y＝14x，即x －4y ＝0；当直线不过点(0,0)时，可设为x a ＋ya ＝1，把(4,1)代入，可解得a ＝5，∴直线方程为x ＋y ＝5.综上可知直线方程为x ＋y ＝5或x －4y ＝0.6．已知直线与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点且线段AB 的中点为P (4,1)，则直线l 的方程为________．答案 x ＋4y －8＝0解析由题意可设A (x,0)，B (0，y )，由中点坐标公式可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋02＝40＋y2＝1，解得⎩⎨⎧x ＝8y ＝2，∴A (8,0)，B (0,2)，由直线方程的截距式得l 方程为x 8＋y2＝1，即x ＋4y －8＝0.7．求与直线3x ＋4y ＋1＝0平行，且在两坐标轴上的截距之和为73的直线l 的方程．解 法一 由题意，设直线l 的方程为3x ＋4y ＋m ＝ 0(m ≠1)，令x ＝0，得y ＝－m 4；令y ＝0，得x ＝－m3， 所以－m 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 4＝73，解得m ＝－4.所以直线l 的方程为3x ＋4y －4＝0.法二 由题意，直线l 不过原点，则在两坐标轴上的截距都不为0.可设l 的方程为x a ＋yb ＝1(a ≠0，b ≠0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧－b a ＝－34a ＋b ＝73，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝43b ＝1，所以直线l 的方程为3x ＋4y －4＝0. 二、能力提升8．两直线mx ＋y －n ＝0与x ＋my ＋1＝0互相平行的条件是( ) A ．m ＝1B ．m ＝±1C.⎩⎨⎧ m ＝1n ≠－1D.⎩⎨⎧ m ＝1，n ≠－1或⎩⎨⎧m ＝－1，n ≠1答案 D解析根据两直线平行可得m1＝1m，所以m＝±1，又两直线不可重合，所以m＝1时，n≠－1；m＝－1时，n≠1.9．已知直线l与直线3x＋4y－7＝0平行，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为24，则直线l的方程为________．答案3x＋4y＋24＝0或3x＋4y－24＝0解析设l：3x＋4y＋m＝0，当y＝0得x＝－m3；当x＝0得y＝－m4.∵直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为24，∴12×⎪⎪⎪⎪⎪⎪－m3×⎪⎪⎪⎪⎪⎪－m4＝24，∴m＝±24.∴直线l的方程为3x＋4y±24＝0.10．经过点(2,1)，在x轴上的截距是－2的直线方程是________．答案x－4y＋2＝0解析由于直线经过(2,1)，(－2,0)两点，由两点式得y－01－0＝x＋22＋2，即x－4y＋2＝0.11．设直线l：(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y－2m＋6＝0(m≠－1)根据下列条件分别确定m的值：(1)直线l在x轴上的截距为－3；(2)直线l的斜率为1.解(1)令y＝0得x＝2m－6m2－2m－3(m2－2m－3≠0)，由题知，2m－6m2－2m－3＝－3，解得m＝－53.(m＝3舍去)(2)∵直线l的斜率为k＝－m2－2m－3 2m2＋m－1，∴－m2－2m－32m2＋m－1＝1，解得m＝43.(m＝－1舍去)三、探究与创新12．求证：不论m 取什么实数，直线(2m －1)x －(m ＋3)y －(m －11)＝0恒过定点，并求此定点坐标．证明 原方程可化为m (2x －y －1)－(x ＋3y －11)＝0.∵对任意m ∈R ，方程恒成立∴⎩⎨⎧ 2x －y －1＝0，x ＋3y －11＝0， 解得⎩⎨⎧x ＝2.y ＝3.∴直线恒过定点(2,3)． 13．一河流同侧有两个村庄A 、B ，两村庄计划在河上共建一水电站供两村使用，已知A 、B 两村到河边的垂直距离分别为300 m 和700 m ，且两村相距500 m ，问：水电站建于何处送电到两村的电线用料最省？解 如图，以河流所在直线为x 轴，y 轴通过点A ，建立直角坐标系，则点A (0,300)，B (x,700)，设B 点在y 轴上的射影为H ，则x ＝|BH |＝AB 2－AH 2＝300，故点B (300,700)，设点A 关于x 轴的对称点A ′(0，－300)，则直线A ′B的斜率k ＝103，直线A ′B 的方程为y ＝103x －300.令y ＝0得x ＝90，得点P (90,0)，故水电站建在河边P (90,0)处电线用料最省．。
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直线的一般式
Ax+By+C=0 (A,B不同时为0）
问1：平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关 于x,y的二元一次方程表示吗？
问2：每一个x，y的二元一次方程都表示一条直线吗？
根据下列条件求直线方程，并将其化 为一般式
1、过点A（-2，3），斜率为- 3 5
2、过点（-3,0），且垂直于x轴 3、斜率为4，在y轴的截距为-2 4、在y轴上的截距为3，且平行于x轴 5、过两点（2,1），（0，-3） 6、过点（0,5），且在两坐标轴上的截距之和为2
变 2：直 l过 线点 P（ 1,3），且 x,y轴 与正半轴 三角形的面 6，积 求等 直 l的 于 线 方程
课堂练习
▪ P41T1,2 ▪ 补充练习: 1.求经过点P(2,1),且在两坐标轴的正半轴所
围成的面积为9/2的直线方程. 2.求经过点P(2,1),且在两坐标轴上的截距相
等的直线方程. 3.求经过点P(2,1),且与两坐标轴所围成的面
直线的两点式、截距式、一般方程
直线的点斜式方程
斜截式方程
ykxb
截距Βιβλιοθήκη ylP0 b
O
x
当知道斜率和截距时用截距式
新课引入:
求分别经过下列两点的直线的方程:
(1)P1(2,1)、P2（4，3） （2）P1（-3，-2）、P2（3，-2） （3）P1（-3，-2）、P2（-3，2） （4）P1（0，2）、P2（3，0） （5）P1（x1,y1)、P2（x2,y2). x1,x2,y1,y20
变 ： 已 知 （ k1)x-（ k-1)y-2k=0为 直 线 l的 方 程 ， 求 证 ： 不 论 k为 何 实 数 ， 直 线 l必 过 定 点 ， 并 求 出 定 点 坐 标
例5、求过点A（4,2），且在两坐标 轴上的截距相等的直线l的方程
变 、 直 线 l:(a 1 )x y + 2 a 0 (a R ), 若 直 线 在 两 坐 标 轴 上 的 截 距 相 等 ， 求 l的 方 程
积最小的直线方程.
直线的截距式
若直线l经过点A(a，0)，B(0，b)， 其中a≠0，b≠0，则直线l的方程：
x y 1 ab
练习：
根据条件分别写出下列直线的方程
1、斜率是3，且经过点A（5,3） 2、与2y+8x=0平行，在y轴上的截距为7 3、经过A（-1,5），B（2，-1）两点 4、与x,y轴 分别交于是（4,0），（0，-3）
知识提炼：直线的方程
方程名 已知条 对应方 适应条 方程特 不适用 对应图
称
件
程
件
殊情况 方程情 形
况
点斜式
斜截式
两点式
截距式
一般式
例1:三角形的顶点A(-5,0),B(3,-3),C(0,2),
求这个三角形三边所在的直线方程.
解:直线AB过A(-5,0),B(3,-3)两点,由两点式Y得
Y 0
变1：
1、已知直线l1:2x(m1)y40与直线 l2:mx3y20平行，求m的值 2、当a为何值时，直线l1:(a2)x(1a)y10 与直线l2： (a1)x(2a3)y20互相垂直
探究：
直线Ax+By+C=0的系数A,B,C满足什么条件 时，这条直线具有下列性质
1、与x轴垂直 2、与y轴垂直 3、与x轴，y轴都有交点 4、过原点
30
X (5) 3(5)
,
整理得
3 x 8 y 15 0 , 就是直线
AB 的方程。
2C
直线 BC 过 C （ 0，2），
A
斜率是
k
2(2) 03
5 3
,
-5
由点斜式得
y
2
5 3
(x
0 ).
整理得
3X
3
B
5 x 3 y 6 0 这就是直线 BC 的方程。
直线 AC 过 A （ 5，0）， C （ 0，2）两点，由截距式得
例4、已知直线l的方程为：3x+4y-12=0，点 A(-1,3)
(1)求过点A且与直线l平行的直线l1的方程 （2）求过点A且与直线l垂直的直线l2的方程
综合应用
已 知 直 线 l： 5ax5ya30 1、 求 证 ： 不 论 a为 何 值 ， 直 线 l总 经 过 第 一 象 限 2、 为 使 直 线 不 经 过 第 二 象 限 ， 求 a的 取 值 范 围
x 5
y 2
1整理得
2 x 5 y 10 0 这就是直线 AC 的方程。
例2:三角形的顶点A(-5,0),B(3,-3),C(0,2), 求这个三角形三边所在的直线方程.
变1:求三角形边AB的中线所在的直线方 程.
变式2:过C点的直线将△ABC面积两等 分,求该直线所在的直线方程.
变3：过P（3,0）作直线l，使它被两条 直线2x-y-2=0和x+y+3=0所截得的线段 AB恰好被P点平分，求直线l的方程
直线的两点式
yy1
y2 y1
xx1 x2 x1
其中 x1≠x2,y1≠y2
特别的：x1=x2表示的直线是x=x1 y1=y2表示的直线是y=y1
2.求过下列两点的直线的两点式方程, 再化为斜截式方程:
(1)P1(3,2),P2(-1,6);(2)P1(3,-4),P2(0,0)
(3)P1(0,-2),P2(3,0);(4)P1(a,o),P2(0,b).