§3—9 例 题
人教B版高中数学选修排列素材(1)
高考排列问题的解决方案内容提要:本文把常见的排列问题归纳成三种典型问题，并在排列的一般规定性下，对每一种类型的问题通过典型例题归纳出相应的解决方案，并附以近年的高考原题及解析,使我们对排列问题的认识更深入本质,对排列问题的解决更有章法可寻．关键词: “特殊优先”,“大元素”，“捆绑法”,“插空法”,“等机率法”排列问题的应用题是学生学习的难点，也是高考的必考内容,笔者在教学中尝试将排列 问题归纳为三种类型来解决：1.2.3.⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩能排不能排排列问题排列应用题相邻不相邻排列问题机会均等排列问题下面就每一种题型结合例题总结其特点和解法，并附以近年的高考原题供读者参研．一. 能排不能排排列问题(即特殊元素在特殊位置上有特别要求的排列问题)解决此类问题的关键是特殊元素或特殊位置优先.或使用间接法．例1．（1）7位同学站成一排，其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？(2)7位同学站成一排，甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？(3)7位同学站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？(4)7位同学站成一排，其中甲不能在排头、乙不能站排尾的排法共有多少种？解析:(1)先考虑甲站在中间有1种方法，再在余下的6个位置排另外6位同学，共66A 种方法；(2)先考虑甲、乙站在两端的排法有22A 种，再在余下的5个位置排另外5位同学的排法有55A 种，共5522A A ⋅种方法； (3) 先考虑在除两端外的5个位置选2个安排甲、乙有25A 种，再在余下的5个位置排另外5位同学排法有55A 种，共5525A A ⋅种方法；本题也可考虑特殊位置优先,即两端的排法有25A ,中间5个位置有55A 种，共5522A A ⋅种方法； (4)分两类乙站在排头和乙不站在排头，乙站在排头的排法共有66A 种，乙不站在排头的排法总数为：先在除甲、乙外的5人中选1人安排在排头的方法有15A 种，中间5个位置选1个安排乙的方法有15A ，再在余下的5个位置排另外5位同学的排法有55A ，故共有⋅+1566A A 5515A A ⋅种方法；本题也可考虑间接法，总排法为77A ，不符合条件的甲在排头和乙站排尾的排法均为66A ，但这两种情况均包含了甲在排头和乙站排尾的情况，故共有7657652A A A -+种．例2.某天课表共六节课，要排政治、语文、数学、物理、化学、体育共六门课程，如果第一节不排体育，最后一节不排数学，共有多少种不同的排课方法？解法1：对特殊元素—数学和体育进行分类解决（1）数学、体育均不排在第一节和第六节，有24A 种，其他有44A 种，共有2444A A ⋅种；（2）数学排在第一节、体育排在第六节有一种，其他有44A 种，共有44A 种；（3）数学排在第一节、体育不在第六节有14A 种，其他有44A 种，共有1444A A ⋅种；（4）数学不排在第一节、体育排在第六节有14A 种，其他有44A 种，共有1444A A ⋅种；所以符合条件的排法共有()214444442121504A A A A ++==种 解法2：对特殊位置—第一节和第六节进行分类解决（1）第一节和第六节均不排数学、体育有24A 种，其他有44A 种，共有2444A A ⋅种；（2）第一节排数学、第六节排体育有一种，其他有44A 种，共有44A 种；（3）第一节排数学、第六节不排体育有14A 种，其他有44A 种，共有1444A A ⋅种；（4）第一节不排数学、第六节排体育有14A 种，其他有44A 种，共有1444A A ⋅种；所以符合条件的排法共有()214444442121504A A A A ++==种． 解法3：本题也可采用间接排除法解决不考虑任何限制条件共有66A 种排法，不符合题目要求的排法有：（1）数学排在第六节有55A 种；（2）体育排在第一节有55A 种；考虑到这两种情况均包含了数学排在第六节和体育排在第一节的情况44A 种所以符合条件的排法共有6546542504A A A -+=种附：1、（2005北京卷）五个工程队承建某项工程的五个不同的子项目，每个工程队承建1项，其中甲工程队不能承建1号子项目，则不同的承建方案共有( )（A ）1444C C 种 （B ）1444C A 种 （C ）44C 种 （D ）44A 种解析：本题在解答时将五个不同的子项目理解为5个位置，五个工程队相当于5个不同的元素，这时问题可归结为能排不能排排列问题(即特殊元素在特殊位置上有特别要求的排列问题)，先排甲工程队有14C ，其它4个元素在4个位置上的排法为44A 种，总方案为1444C A 种．故选(B)．2、（2005全国卷Ⅱ）在由数字0，1，2，3，4，5所组成的没有重复数字的四位数中，不能被5整除的数共有 个.解析：本题在解答时只须考虑个位和千位这两个特殊位置的限制，个位为1、2、3、4中的某一个有4种方法，千位在余下的4个非0数中选择也有4种方法，十位和百位方法数为24A 种，故方法总数为2444192A ⨯⨯=种． 3、（2005福建卷）从6人中选出4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有 （ ）A ．300种B ．240种C ．144种D ．96种解析：本题在解答时只须考虑巴黎这个特殊位置的要求有4种方法，其他3个城市的排法看作标有这3个城市的3个签在5个位置（5个人）中的排列有35A 种，故方法总数为354240A ⨯=种．故选（B ）．上述问题归结为能排不能排排列问题，从特殊元素和特殊位置入手解决,抓住了问题的本质，使问题清晰明了，解决起来顺畅自然．二.相邻不相邻排列问题(即某两或某些元素不能相邻的排列问题)相邻排列问题一般采用大元素法,即将相邻的元素“捆绑”作为一个元素，再与其他元素进行排列，解答时注意“释放”大元素，也叫“捆绑法”．不相邻排列问题(即某两或某些元素不能相邻的排列问题)一般采用“插空法”．例3． 7位同学站成一排，(1)甲、乙和丙三同学必须相邻的排法共有多少种？(2)甲、乙和丙三名同学都不能相邻的排法共有多少种？（3）甲、乙两同学间恰好间隔2人的排法共有多少种？解析：(1)第一步、将甲、乙和丙三人“捆绑”成一个大元素与另外4人的排列为55A 种， 第二步、“释放”大元素，即甲、乙和丙在“捆绑”成的大元素内的排法有33A 种，所以共5353720A A ⨯=种； (2)第一步、先排除甲、乙和丙之外4人共44A 种方法，第二步、甲、乙和丙三人排在4人排好后产生的5个空挡中的任何3个都符合要求，排法有35A 种，所以共有43451440A A ⋅=种；（3）先排甲、乙，有22A 种排法，甲、乙两人中间插入的2人是从其余5人中选，有25A 种排法，将已经排好的4人当作一个大元素作为“新人”参加下一轮4人组的排列，有44A 种排法，所以总的排法共有224254960A A A ⋅⋅=种．附：1、（2005辽宁卷）用1、2、3、4、5、6、7、8组成没有重复数字的八位数，要求1和2相邻，3与4相邻，5与6相邻，而7与8不．相邻，这样的八位数共有 个.（用数字作答）解析：第一步、将1和2“捆绑”成一个大元素，3和4“捆绑”成一个大元素，5和6“捆 绑”成一个大元素，第二步、排列这三个大元素，第三步、在这三个大元素排好后产生的4个空挡中的任何2个排列7和8，第四步、“释放”每个大元素（即大元素内的每个小元素在“捆绑”成的大元素内部排列），所以共有3234222576A A ⨯⨯⨯⨯=个数．2、 （2004. 重庆理）某校高三年级举行一次演讲赛共有10位同学参赛，其中一班有3位， 二班有2位，其它班有5位，若采用抽签的方式确定他们的演讲顺序，则一班有3位同学恰 好被排在一起（指演讲序号相连），而二班的2位同学没有被排在一起的概率为 （ ）A ．110B ．120C ．140D ．1120解析：符合要求的基本事件（排法）共有：第一步、将一班的3位同学“捆绑”成一个大元素，第二步、这个大元素与其它班的5位同学共6个元素的全排列，第三步、在这个大元素与其它班的5位同学共6个元素的全排列排好后产生的7个空挡中排列二班的2位同学，第四步、“释放”一班的3位同学“捆绑”成的大元素，所以共有623673A A A ⨯⨯个；而基本事件总数为1010A 个，所以符合条件的概率为6236731010120A A A P A ⨯⨯==．故选（B ）． 3、（2003京春理）某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为（ ）A.42B.30C.20D.12解析：分两类：增加的两个新节目不相邻和相邻，两个新节目不相邻采用“插空法”，在5个节目产生的6个空挡排列共有2630A =种，将两个新节目“捆绑”作为一个元素叉入5个节目产生的6个空挡中的一个位置，再“释放”两个新节目 “捆绑”成的大元素，共有 126212A A ⨯=种，再将两类方法数相加得42种方法．故选（ A ）．三.机会均等排列问题(即某两或某些元素按特定的方式或顺序排列的排列问题)解决机会均等排列问题通常是先对所有元素进行全排列,再借助等可能转化，即乘以符合要求的某两（或某些）元素按特定的方式或顺序排列的排法占它们（某两（或某些）元素）全排列的比例，称为“等机率法”；或将特定顺序的排列问题理解为组合问题加以解决.例4、 7位同学站成一排．(1)甲必须站在乙的左边?(2)甲、乙和丙三个同学由左到右排列?解析：（1）7位同学站成一排总的排法共77A 种,包括甲、乙在内的7位同学排队只有甲站在乙的左边和甲站在乙的右边两类，它们的机会是均等的，故满足要求的排法为7721A ，本题也可将特定顺序的排列问题理解为组合问题加以解决，即先在7个位置中选出2个位置安排甲、乙, 由于甲在乙的左边共有27C 种，再将其余5人在余下的5个位置排列有55A 种，得排法数为2575C A ⋅种； （2）参见（1）的分析得3377A A （或4437A C ⋅）．本文通过较为清晰的脉络把排列问题分为三种类型，使我们对排列问题有了比较系统的认识.但由于排列问题种类繁多，总会有些问题不能囊括其中，也一定存在许多不足,希望读者能和我一起研究完善．。
2023-2024学年七年级数学上册同步学与练(人教版)第04讲绝对值(含答案与解析)
i.-2的绝对值是（）5-4c-f D.且2【即学即练2】2.数轴上有力、B、C、。
四个点，其中绝对值等于2的点是（),4B C-J_I A二18・•]]L A-4-3-2-1012•345A.点力B.点BC.点。
D.点D【即学即练3】3.已矢口u—-2,b=l,则同+|-句的值为（)A.3B.1C.0D.-1知识点02绝对值的性质1.绝对值的非负性：由定义可知，绝对值表示到原点的距离，所以不能为O所以绝对值是一个,所以绝对值具有。
即若|。
|0o几个非负数的和等于o,这几个非负数一定分别等于0o即：若\a\+\b\+...+I m|=0,则一定有o题型考点：根据绝对值的非负性求值。
【即学即练1】4.已知|x-2|+加T|=0,则x-y的相反数为（）A.-1B.1C.3D.-3【即学即练2】5.若向+例=0,则口与力的大小关系是（)A.a=b=0B.口与力互为倒数C.Q与b异号D.口与力不相等知识点03绝对值与数轴1.绝对值与数轴：在数轴上，一个数离原点越近，绝对值就,一个数离原点越远，绝对值,题型考点：根据绝对值与数轴进行求解判断。
6.一个数的绝对值越小，则该数在数轴上所对应的点，离原点越・【即学即练2】7.如图，四个有理数m n,p,q在数轴上对应的点分别为N,P,0若乃+0=0,则秫，n,p,q四个有理数中，绝对值最小的一个是（）M OA.p知识点04绝对值与相反数1.绝对值与相反数：①数轴上互为相反数的两个数在原点的两侧，且到原点的距离相等，所以互为相反数的两个数他们的绝对值_________o即若。
与5互为相反数，贝」|q|\b\o②绝对值等于某个正数的数一定有,它们o即若|x|=q（q>0）,则③绝对值相等的两个数要么,要么o即若|。
|=|们，则有或o题型考点：根据相反数的绝对值进行求解。
【即学即练1】8.若|x|=5,贝0x—.【即学即练2】9.已知□=-5,同=|句，则人的值为（）A.±5B.-5C.+5D.0【即学即练3】10.绝对值等于5的数是,它们互为.知识点05求式子的绝对值1.求式子的绝对值：先判断式子与的大小关系，再对式子进行求绝对值。
九年级数学上册第3章例析用列举法解转盘概率题(北师大版)
例析用列举法解转盘概率题转盘游戏涉及的随机事件发生的概率问题，通常用列举法来解．列举的方法有两种：列表法和画树状图法．现以中考题为例，加以说明．例1（广东省广州市中考题）如图1，甲转盘被分成3个面积相等的扇形、乙转盘被分成2个面积相等的扇形．小夏和小秋利用它们来做决定获胜与否的游戏．规定小夏转甲盘一次、小秋转乙盘一次为一次游戏（当指针指在边界线上时视为无效，重转）．（1）小夏说：“如果两个指针所指区域内的数之和为6或7，则我获胜；否则你获胜”．按小夏设计的规则，请你写出两人获胜的可能性肚分别是多少?（2）请你对小夏和小秋玩的这种游戏设计一种公平的游戏规则，并用一种合适的方法(例如：树状图，列表)说明其公平性．解：（用列表法来解） （1）所有可能结果为：甲 1 1 2 2 3 3 乙 4 5 4 5 4 5 和566778由表格可知，小夏获胜的可能为：63=；小秋获胜的可能性为：163=． （2）同上表，易知，和的可能性中，有三个奇数、三个偶数；三个质数、三个合数．因此，游戏规则可设计为：如果和为奇数，小夏胜；为偶数，小秋胜．（答案不唯一）例2（江苏常州中考题）小颖为九年级1班毕业联欢会设计了一个“配紫色”的游戏：图2是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成面积相等的几个扇形，游戏者同时转动两个转盘，两个转盘停止转动时，若有一个转盘的指针指向蓝色，另一个转盘的指针指向红色，则“配紫色”成功，游戏者获胜，求游戏者获胜的概率．解法1：用表格说明图1图2 红蓝 蓝红红转盘 2 转盘1红色 蓝色 红1（红1，红） （红1，蓝） 红2 （红2，红）（红2，蓝）蓝色（蓝，红） （蓝，蓝）解法2：用树状图来说明所以配成紫色得概率为P(配成紫色)＝26 ，所以游戏者获胜得概率为21．做一做，体验中考：1．（湖北省十堰市）小莉和小慧用如图3所示的两个转盘做游戏，转动两个转盘各一次，若两次数字和为奇数，则小莉胜；若两次数字和为偶数，则小慧胜．这个游戏对双方公平吗？试用列表法或树状图加以分析．2．（山东省青岛市）小明和小亮用如下（图4）的同一个转盘进行“配紫色”游戏．游戏规则如下：连续转动两次转盘，如果两次转盘转出的颜色相同或配成紫色（若其中一次转盘转出蓝色，另一次转出红色，则可配成紫色），则小明得1分，否则小亮得1分．你认为这个游戏对双方公平吗？请说明理由；若不公平，请你修改规则使游戏对双方公平．答案：1．P(小莉获胜)＝21，这个游戏对双方公平． 开始红1红2 蓝色红（红1，红） 蓝（红1，蓝） 红（红2，红） 蓝（红2，蓝） 红（蓝，红）蓝（蓝，蓝）图3图4 蓝 黄红2．P （小明获胜）＝95，P （小亮获胜）＝94．∴小明的得分为95×1＝95，小亮的得分为94×1＝94．∵95＞94，∴游戏不公平．修改规则不惟一，如若两次转出颜色相同或配成紫色，则小明得4分，否则小亮得5分．。
计算机操作
大学计算机基础实验指导书A班2012年9月实验一windows基本操作、系统环境一、实验目的1．熟悉Windows的基本知识和基本操作。
2．熟悉Windows的程序管理。
3．熟悉“Windows资源管理器”和“我的电脑”的使用。
4．熟悉文件和文件夹的常用操作。
二、实验内容1. 认识“我的电脑”和“资源管理器”(1)双击桌面“我的电脑”图标，打开我的电脑程序，分别选用缩略图、列表、详细信息等方式浏览Windows主目录，观察各种显示方式之间的区别。
(2)右键单击“我的电脑”通过“资源管理器”查看相关程序，分别按名称、大小、文件类型和修改时间对Windows主目录进行排序，观察四种排序方式的区别。
2. 认识windows菜单栏和工具栏打开我的电脑应用程序，从上到下依次为标题栏，菜单栏和工具栏，通过相关菜单和工具按钮设置windows相关属性（如图1-1所示）。
图1-1 应用程序菜单栏和工具栏3．任务栏的设置(1) 设置任务栏为自动隐藏。
桌面最下方蓝色区域为任务栏，右键单击任务栏空白处，打开任务栏属性对话框，设置任务栏相关属性，如图1-2所示。
2) 在“开始”菜单“附件”程序组中启动“记事本”、“画图”、“计算器”等程序，通过任务栏中的按钮在相应的程序中进行切换，然后对这些窗口进行层叠、横向平铺和纵向平铺操作。
图1-2 任务栏属性设置4．桌面的设置右键单击桌面任意空白区域，弹出快捷菜单设置桌面图标的排列方式、在桌面上新建相关程序，选择“属性”，打面显示属性设置对话框，如图1-3所示，单击相关按钮进行属性设置。
(1)桌面背景选用计算中的一幅图片，并把它拉伸到整个桌面。
(2)屏幕保护程序选用“三维文字”，设置显示“计算机屏幕保护”摇摆式旋转，等待时间为1分钟。
(3)设置屏幕分辨率，如果分辨率为1024×768像素，则设置为800×600像素，反之设置为1024×768像素。
图1-3 显示属性对话框5. 屏幕和窗口复制功能的使用。
排列组合典型问题选讲
一.集团排列问题：部分元素必须安排在一起（相邻）的排列问题，称之为“集团排列”问题.解决这类问题，常用“捆绑法”，其方法是先排“集团”内部的元素，再把这个大“元素”与其它元素一起排列即可.例1 若7位同学站成一排（1）甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？（2）甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种？（3）甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种？（4）甲、乙、丙三个同学必须站在一起，另外四个人也必须站在一起的排法有多少种？解：（1）先将甲、乙两位同学“捆绑”在一起看成一个元素与其余的5个元素（同学）一起进行全排列有66A 种方法；再将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有22A 种方法．所以这样的排法一共有62621440A A ⋅=种.（2）方法同上，一共有55A 33A =720种. （3）解法一：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的5个元素中选取2个元素放在排头和排尾，有25A 种方法；将剩下的4个元素进行全排列有44A 种方法；最后将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有22A 种方法．所以这样的排法一共有25A 44A 22A =960种方法. 解法二：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，若丙站在排头或排尾有255A 种方法，所以，丙不能站在排头和排尾的排法有960)2(225566=⋅-A A A 种方法.解法三：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的四个位置选择共有14A 种方法，再将其余的5个元素进行全排列共有55A 种方法，最后将甲、乙两同学“松绑”，所以，这样的排法一共有14A 55A 22A =960种方法． （4）将甲、乙、丙三个同学“捆绑”在一起看成一个元素，另外四个人“捆绑”在一起看成一个元素，时一共有2个元素，∴一共有排法种数：342342288A A A =（种）说明：对于相邻问题，常用“捆绑法”（先捆后松）．二. 间隔排列问题：部分元素不能安排在一起（间隔）的排列问题，称之为“间隔排列”问题.解决这类问题，常用“插空法”，其方法是先排不需要间隔的元素，再将需要间隔的元素通过插空的方式插进来即可.例2 在一条南北方向的步行街同侧有8块广告牌，牌的底色可选用红、蓝两种颜色.若只要求相邻两块牌的底色不都为红色，则不同的配色方案共有（ ）A .55. B.56. C.46. D.45.解：没有红牌，一种方法；有一块红牌，让其插空，有18C 种方法；有二块红牌，让其插空，有27C 种方法；有三块红牌，让其插空，有36C 种方法；有四块红牌，让其插空，有45C 种方法；共有方法12348765155C C C C ++++=种.说明：对于不相邻问题，常用“插空法”（特殊元素后考虑）．例3 某仪表显示屏上一排有7个小孔，每个小孔可显示出0或1，若每次显示其中三个孔，但相邻的两孔不能同时显示，则这显示屏可以显示的不同信号的种数有 种.解：四个孔不亮，三个孔亮，相当于三个亮着的孔在四个不亮的孔之间插空，故有35222C ⨯⨯⨯=80种方法.三. 部分不同元素定序与部分相同元素排列问题：部分不同元素在排列前后的顺序固定不变（不一定相邻）的排列问题，称之为“定序排列”问题.解决这类问题的基本方法有三种.（1）“消序法”（有些地方叫“整体法”），即若有m n +个元素排成一列，其中有m 个元素之间的排列顺序不变，将这m n +个元素任意排成一列，共有m n m n A ++种不同的排法，其中未定序的n 个元素排在某一特定位置的排列的个数有m m A 种排法，但只有一个排列是我们所需要的排列，因而共有m n m n m m A A ++种不同的排法.类似地还可推广到一般情形，如有有m n k ++个元素排成一列，其中有m 个元素之间的排列顺序不变，且另外k 个元素之间的排列顺序也不变，则共有m n k m n k m k m kA A A ++++中不同的算法. （2）逐一插空法：先将定序的元素进行排列，再将其它元素逐一插入这组元素两端及中间.（3）优序法：先将所有位置中按“特殊元素”个数选出若干位置，并把这些特殊元素按规定顺序排上去，再将普通元素在其余位置上全排列.例4 若5男5女排成一排，按下列要求各有多少种排法（1）男女相间；（2）女生按指定顺序排列.解：（1）先将男生排好，有55A 种排法；再将5名女生插在男生之间的6个“空挡”（包括两端）中，有552A 种排法.故本题的排法有5555228800N A A =⋅=（种）；（2）方法1（消序法）：10510105530240A N A A ===；方法2（逐一插空法）：5个女生按序排列，有1中方法，5个男生逐个插空，有6,7,8,9,10种方法，共有67891030240⨯⨯⨯⨯=种方法.方法3（优序法）：设想有10个位置，先将男生排在其中的任意5个位置上，有510A种排法；余下的5个位置排女生，因为女生的顺序已经指定，所以她们只有一种排法.故本题的结论为510130240N A=⨯=（种）.例5今有2本相同的语文书，3本相同的数学书，4本相同的英语书排成一排，有多少种不同的排法？解：（消序法）有992342341260AA A A=种.例6一个楼梯共18个台阶，12步登完，可一步登一个台阶，也可一步登两个台阶，一共有多少种不同的走法？解：根据题意，要想12步登完，只能6个一步登一个台阶，6个一步登二个台阶.因此，把问题转化为“相同元素”的排列问题.因此有12126666924AA A=（种）.点评：对于部分不同元素定序排列以及相同元素的排列问题，可用优序法.【随堂练习】1．从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有（ B ）A．40种B．60种C．100种D．120种2.安排3名支教老师去6所学校任教，每校至多2人，则不同的分配方案共有210种.（用数字作答）3．用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字，且比20000大的五位偶数有（）A.288个B.240个C.144个D.126个4．如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有390 种（用数字作答）．5．某校开设9门课程供学生选修，其中,,A B C三门由于上课时间相同，至多选一门，学校规定每位同学选修4门，共有75 种不同选修方案.（用数值作答）6．从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有 36 种．（用数字作答）【课后作业】1．某校安排5个班到4个工厂进行社会实践，每个班去一个工厂，每个工厂至少安排一个班，不同的安排方法共有240种．（用数字作答）2．将数字1，2，3，4，5，6拼成一列，记第i 个数为i a （i =1，2，…，6），若11a ≠，33a ≠，55a ≠，135a a a <<，则不同的排列方法有 30 种（用数字作答）． 解：分两步：（1）先排1a ，3a ，5a ，当1a =2时，有2种；当1a =3时，有2种；当1a =4时，有1种，共有5种；（2）再排2a ，4a ，6a ，共有633=A 种，故不同的排列方法种数为5×6=30，填30．3.中韩两支围棋队各由8人组成，按事先排好的次序出场进行围棋擂台赛，双方先由1号队员比赛，负者被淘汰，胜者再与负方2号队员比赛，……，直到有一方全部被淘汰为止，另一方获胜，形成一个比赛过程．（1）已知中方动用了5名队员，取得了胜利，问这样的比赛过程有多少种？（2）求由中方第8位选手获得最后胜利的概率.解：（1）中方胜利时，双方共有8+5=13名队员参加了比赛，将他们按淘汰的顺序从左向右排列，则最右为中方5号，右第二个为韩方8号，从右第三个至最左，共11个位置上，有4个位置排中方队员，其余排韩方队员，每一种排法，对应一种比赛结果，故共有411330C =种．（2）714816415C p C ==. 4. 若7位同学站成一排（1）甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？（2）甲、乙和丙三个同学都不能相邻的排法共有多少种？解：（1）解法一：（排除法）3600226677=⋅-A A A ；解法二：（插空法）先将其余五个同学排好有55A 种方法，此时他们留下六个位置（就称为“空”吧），再将甲、乙同学分别插入这六个位置（空）有26A 种方法，所以一共有36002655=A A 种方法．（2）先将其余四个同学排好有44A 种方法，此时他们留下五个“空”，再将甲、乙和丙三个同学分别插入这五个“空”有35A 种方法，所以一共有44A 35A ＝1440种． 【课后记】四.错位排列问题n 个不同元素排成一排，有m 个元素（m n ≤）不排在相应位置的排列种数共有：112233123(1)n n n n m m n m n m n m n m n m n m A C A C A C A C A ---------+-+⋅⋅⋅+-.当n m =时，规定000!1A ==，这个公式亦成立.例7 五封标号为1～5的信放进5个编号为1～5的信笺里面，若信的编号与信笺的编号都不相同，一共有多少种不同放法.解：这是著名的信封问题，很多著名数学家都研究过.瑞士数学家欧拉按一般情况给出了一个递推公式： 用A 、B 、C ……表示写着n 位友人名字的信封，a 、b 、c ……表示n 份相应的写好的信.把错装的总数记为()f n .假设把a 错装进B 里了，包含着这个错误的一切错装法分两类：（1）b 错装进A 里，这时每种错装的其余部分都与a 、b 、A 、B 无关，应有(2)f n -种错装法.（2）b 错装进A 、B 之外的信封，这时的装信工作实际是把（除a 之外的）信纸b 、c ……装入（除B 之外的）1n -个信封A 、C ……，显然这种错装方法有(1)f n -种.错装的其余部分都与a 、b 、A 、B 无关，应有(2)f n -种错装法.总之在a 错装入B 的错误之下，共有错装法(1)(2)f n f n -+-种.装入D ……的2n -种错误之下，同样都有(1)(2)f n f n -+-种错装法.因此()(1)[(1)(2)]f n n f n f n =--+-，显然(1)0f =，(2)1f =.由此可得(5)44f =.注意：用容斥原理亦可解决此题.普遍结论为错排公式1：1111()![1(1)]1!2!3!!n f n n n =-+-+⋅⋅⋅+-. 错排递推公式2： ()(1)[(1)(2)]f n n f n f n =--+-错排公式3：112233123(1)n n n n m m n m n m n m n m n m n m A C A C A C A C A ---------+-+⋅⋅⋅+-例8 有5个人站成一排，其中A 不站第一位，B 不站第二位，C 不站第三位，D 不站第四位，E 不站第五位，共有多少种不同的站法.解析：上面两例实际上可以看成n 个不同元素中有m （m ≤n ）错位排列的问题.而这个问题是其特殊情况，即全错位排列问题.共有514233241505545352515044A C A C A C A C A C A -+-+-=种（注意000!1A ==）例9 同室四人各写一张贺年卡，先集中起来.然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡.则四张贺年卡不同的分配方式有A.6种B.9种C.11种D.23种解析：由上面公式得：4132231404434241409A C A C A C A C A -+-+=种，∴选择B 答案.因此可得到全错位排列的公式：n 个不同元素排成一排，第一个元素不在第一位，第二个元素不在第二位，……，第n 个元素不在第n 位的排列数为：11223301230(1)n n n n n n n n n n n n n n A C A C A C A C A -------+-+⋅⋅⋅+-这实际上是公式112233123(1)n n n n m m n m n m n m n m n m n m A C A C A C A C A ---------+-+⋅⋅⋅+-的特殊情况.这个公式很有用，只要有特殊元素不站特殊位置的问题，都可以用这个公式很快得到解决，希望这个公式对大家有所帮助.五. 圆桌排列从n 个不同元素中不重复的取出m （1m n ≤≤）个元素排在一个圆周上，叫做这n 个不同元素的圆排列.如果一个m -圆排列旋转可以得到另一个m -圆排列，则认为这两个圆排列是相同的.特别的，当m n =时，n 个不同元素作成的圆排列总数为(1)!n -.证明：在圆周上任选一个位置排1a 有n 种排法，再选一个位置排2a 有1n -种排法，…，最后一个位置排n a 有1种排法.而这n 个人顺时针（或逆时针）挪动n 次位置都是同一种排列.所以共有!(1)!n n n=-种排法. 例10 有5对夫妇参加一场婚宴，他们被安排在一张10个座位的圆桌就餐，但是婚礼操办者并不知道他们彼此之间的关系，只是随机安排座位。
专题03 电能转化为化学能——电解 (考题猜想)(9大题型)(解析版)
专题03 电能转化为化学能——电解题型1电解池及其判断题型2电解规律及其应用【例1】关于如图所示①①两个装置的叙述正确的是()A．装置名称：①是原电池，①是电解池B．硫酸浓度变化：①增大，①减小C．电极反应式：①中阳极：2H2O－4e－===4H＋＋O2↑，①中正极：Zn－2e－===Zn2＋D．离子移动方向：①中H＋向阴极方向移动，①中H＋向负极方向移动【答案】B【解析】①为电解池，电解水，阳极反应式为2H2O－4e－===4H＋＋O2↑，硫酸的浓度增大；①为原电池，溶液中的氢离子移向正极，正极反应式为2H＋＋2e－===H2↑，硫酸的浓度减小。
【变式1-1】下列关于电解池工作原理的说法中，错误的是()A．电解池是一种将电能转化成化学能的装置B．电解池中发生的反应是非自发的氧化还原反应C．电解池工作时，阳极发生氧化反应，阴极发生还原反应D．与原电池不同，电解池放电时，电极本身不会参加电极反应【答案】D【解析】如果阳极是活泼电极，电极本身失去电子，发生氧化反应。
【变式1-2】如图所示是电解CuCl2溶液的装置，其中c、d为石墨电极。
则下列有关判断正确的是()A．a为负极、b为正极B．a为阳极、b为阴极C．电解过程中，d电极质量增加D．电解过程中，氯离子浓度不变【答案】C【解析】电流从电源的正极流出，因此a为正极，b为负极，则c为阳极，d为阴极。
电解CuCl2溶液的电极反应分别为阳极(c电极)：2Cl－－2e－===Cl2↑，阴极(d电极)：Cu2＋＋2e－===Cu，故C项正确。
【变式1-3】某同学将电解池工作时电子、离子流动方向及电极种类等信息表示在图中，下列有关分析完全正确的是()【答案】B【解析】根据题图知，该装置有外接电源，所以属于电解池，根据电子流向知，c是负极，d是正极，a是阴极，b是阳极，电解时，电解质溶液中阳离子向阴极移动，阴离子向阳极移动，则Q离子是阳离子，P离子是阴离子，故B正确。
排列组合典型题大全含答案
排列组合典型题大全一．可重复的排列求幂法：重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，则通过“住店法”可顺利解题，在这类问题使用住店处理的策略中，关键是在正确判断哪个底数，哪个是指数【例1】（1）有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人限报一科，有多少种不同的报名方法？（2）有4名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军，有多少种不同的结果？（3）将3封不同的信投入4个不同的邮筒，则有多少种不同投法？【解析】：（1）43（2）34（3）34【例2】把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法？【解析】：完成此事共分6步，第一步；将第一名实习生分配到车间有7种不同方案，第二步：将第二名实习生分配到车间也有7种不同方案，依次类推，由分步计数原理知共有67种不同方案.【例3】8名同学争夺3项冠军，获得冠军的可能性有（）A、38 B、83 C、38A D、3C8【解析】：冠军不能重复，但同一个学生可获得多项冠军，把8名学生看作8家“店”，3项冠军看作3个“客”，他们都可能住进任意一家“店”，每个“客”有8种可能，因此共有38种不同的结果。
所以选A1、4封信投到3个信箱当中，有多少种投法？2、4个人争夺3项冠军，要求冠军不能并列，每个人可以夺得多项冠军也可以空手而还，问最后有多少种情况？3、4个同学参加3项不同的比赛（1）每位同学必须参加一项比赛，有多少种不同的结果？（2）每项竞赛只许一名同学参加，有多少种不同的结果？4、5名学生报名参加4项比赛，每人限报1项，报名方法的种数有多少？又他们争夺这4项比赛的冠军，获得冠军的可能性有多少？5、甲乙丙分10瓶汽水的方法有多少种？6、（全国II 文）5位同学报名参加两个课外活动小组,每位同学限报其中的一个小组,则不同的报名方法共(A)10种 (B) 20种 (C) 25种 (D) 32种7、5位同学报名参加并负责两个课外活动小组，每个兴趣小组只能有一个人来负责，负责人可以兼职，则不同的负责方法有多少种？8、4名不同科目的实习教师被分配到3个班级，不同的分法有多少种？思考：4名不同科目的实习教师被分配到3个班级，每班至少一个人的不同的分法有多少种？二．相邻问题捆绑法： 题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.【例1】,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边，那么不同的排法种数有【解析】：把,A B 视为一人，且B 固定在A 的右边，则本题相当于4人的全排列，4424A =种例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。
(含答案)九年级数学北师大版上册课时练第3章《用树状图或表格求概率》(1)
答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。
２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。
亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。
相信你是最棒的！课时练第2单元用树状图或表格求概率一、选择题1.学校团委在“五四”青年节举行“感动校园十大人物”颁奖活动，九(4)班决定从甲、乙、丙、丁四人中随机派两名代表参加此活动，则甲、乙两人恰有一人参加此活动概率是().A.32 B.65 C.61 D.212.一个布袋内只装有1个黑球和2个白球，这些球除颜色外其余都相同，随机摸出一个球后放回并搅匀，再随机摸出一个球，则两次摸出的球都是黑球的概率是（）A. B. C. D.3.在一个口袋中有4个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，随机摸出一个小球不放回，再随机摸出一个小球，则两次摸出小球的标号之和为奇数的概率是()A. B. C. D.4.定义一种“十位上的数字比个位、百位上的数字都要小”的三位数叫做“V数”如“967”就是一个“V数”．若十位上的数字为4，则从3，5，7，9中任选两数,能与4组成“V数”的概率是（）A. B. C. D.5.盒子里有3支红色笔芯，2支黑色笔芯，每支笔芯除颜色外均相同.从中任意拿出一支笔芯，则拿出黑色笔芯的概率是（）A.23 B.15 C. D.356.现有四张扑克牌：红桃A、黑桃A、梅花A 和方块A，将这四张牌洗匀后正面朝下放在桌面上，再从中任意抽取一张牌，则抽到红桃A 的概率为（）A．1B．C．D．7.一个盒子中装有标号为1，2，3，4，5的五个小球，这些球除标号外都相同，从中随机摸出两个小球，则摸出的小球标号之和大于5的概率为()A．B．C．D．8.甲、乙两人用如图所示的两个转盘（每个转盘被分成面积相等的3个扇形）做游戏.游戏规则：转动两个转盘各一次，当转盘停止后，指针所在区域的数字之和为偶数时甲获胜；数字之和为奇数时乙获胜.若指针落在分界线上，则需要重新转动转盘.甲获胜的概率是（）A. B. C. D.9.小明同时向上掷两枚质地均匀、同样大小的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，掷得面朝上的点数之和是3的倍数的概率是（）A.13 B.16 C.518 D.5610.有6张写有数字的卡片，它们的背面都相同，现将它们背面朝上（如图所示），从中任意一张是数字3的概率是（）A.61B.31C.21D.32二、填空题11.现有两个不透明的袋子，一个装有2个红球、1个白球，另一个装有1个黄球、2个红球，这些球除颜色外完全相同．从两个袋子中各随机摸出1个球，摸出的两个球颜色相同的概率是12.甲、乙、丙三名学生各自随机选择到A、B 两个书店购书，则甲、乙、丙三名学生到同一个书店购书的概率为.13.有两组卡片，第一组卡片上分别写有数字“2，3，4”，第二组卡片上分别写有数字“3，4，5”，现从每组卡片中各随机抽出一张，用抽取的第一组卡片上的数字减去抽取的第二组卡片上的数字，差为负数的概率为．14.暑假即将来临，小明和小亮每人要从甲、乙、丙三个社区中随机选取一个社区参加综合实践活动，那么小明和小亮选到同一个社区参加实践活动的概率为．15.一个质地均匀的正方体的每个面上都标有数字1，2，3中的一个，其展开图如图所示，随机抛掷此正方体一次，则朝上与朝下的面上数字相同的概率是．16.如图所示是两个各自分割均匀的转盘，同时转动两个转盘，转盘停止时（若指针恰好停在分割线上，那么重转一次，直到指针指向某一区域为止），两个指针所指区域的数字和为偶数的概率是_______.三、解答题17.为落实“垃圾分类”，环卫部门要求垃圾要按A，B，C三类分别装袋、投放，其中A类指废电池、过期药品等有毒垃圾，B类指剩余食品等厨余垃圾，C类指塑料、废纸等可回收垃圾.甲投放了一袋垃圾，乙投放了两袋垃圾，这两袋垃圾不同类.(1)直接写出甲投放的垃圾恰好是A类的概率.(2)求乙投放的垃圾恰有一袋与甲投放的垃圾是同类的概率.18.某校组织了一次“诗词大会”，小明和小丽同时参加，其中，有一道必答题是：从如图所示的九宫格中选取七个字组成一句唐诗，其答案为“山重水复疑无路”.(1)小明回答该问题时，对第二个字是选“重”还是选“穷”难以抉择.若随机选择其中一个，则小明回答正确的概率是.(2)小丽回答该问题时，对第二个字是选“重”还是选“穷”、第四个字是选“富”还是选“复”都难以抉择.若分别随机选择，请用列表或画树状图的方法求小丽回答正确的概率.19.体育组为了了解九年级450名学生排球垫球的情况，随机抽查了九年级部分学生进行排球垫球测试(单位：个)，根据测试结果，制成了下面不完整的统计图表：(1)表中的数a=，b=；(2)估算该九年级排球垫球测试结果小于10的人数；(3)排球垫球测试结果小于10的为不达标，若不达标的5人中有3个男生，2个女生，现从这5人中随机选出2人调查，试通过画树状图或列表的方法求选出的2人为一个男生一个女生的概率．20.有四张反面完全相同的纸牌A、B、C、D，其正面分别画有四个不同的几何图形，将四张纸牌洗匀正面朝下随机放在桌面上．(1)从四张纸牌中随机摸出一张，摸出的牌面图形是中心对称图形的概率是．(2)小明和小亮约定做一个游戏，其规则为：先由小明随机摸出一张，不放回．再由小亮从剩下的纸牌中随机摸出一张，若摸出的两张牌面图形既是轴对称图形又是中心对称图形，则小亮获胜，否则小明获胜．这个游戏公平吗？请用列表法(或画树状图)说明理由．(纸牌用A、B、C、D表示)若不公平，请你帮忙修改一下游戏规则，使游戏公平．参考答案1.A.2.D.3.B.4.D5.C6.B7.C.8.C.9.A10.B11.12.13.14.15.1/316.15717.解：(1)∵垃圾要按A，B，C 三类分别装袋，甲投放了一袋垃圾，∴甲投放的垃圾恰好是A 类的概率为31.(2)画树状图如下：由图可知，共有18种等可能的结果，其中乙投放的垃圾恰有一袋与甲投放的垃圾是同类的结果有12种，∴P(乙投放的垃圾恰有一袋与甲投放的垃圾是同类)=1812=32.18.解：(1)21(2)画树状图如下：由树状图可知共有4种等可能的结果，其中正确的有1种，∴小丽回答正确的概率为41.19.解：(1)抽查了九年级学生数：5÷0.1=50(人)，20≤x＜30的人数：50×=20(人)，即a=20，30≤x＜40的人数：50﹣5﹣21﹣20=4(人)，b==0.08，故答案为20，0.08；(2)该九年级排球垫球测试结果小于10的人数450×(1﹣0.1)=405(人)，答：该九年级排球垫球测试结果小于10的人数为405人；(3)列表如下∴P (选出的2人为一个男生一个女生的概率)==．20.解：(1)共有4张牌，正面是中心对称图形的情况有3种，∴游戏不公平．修改规则：若抽到的两张牌面图形都是中心对称图形(或若抽到的两张牌面图形都是轴对称图形)，则小明获胜，否则小亮获胜．。
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题
——天然地基上浅基础的设计
例题1：某民用建筑为四 层混合结构，底层承重墙 厚240mm，相应于作用标 准组合时，每米长度承重 墙传至±0.00的荷载为 F=188KN/m。场地勘察资 料如图所示。试设计此基 础。 解：（1）选择基础材料 与类型
因是砖墙承重，故拟选用 墙下条形基础。由于地下 水位较高，基础下部采用 300mm厚的C15混凝土， 其上用MU10粘土砖砌大放 脚。用M5水泥砂浆砌
f aK 90KPa
筑，为减小基础高度，采用二一间收砌筑方法。 （2）选择基础埋深 根据地基情况，地下水位较高，基础宜浅埋，取基础埋 深d=0.8m，选第二层粉土为基础持力层。 （3）地基承载力确定
由已知持力层faK=160 KPa, d=0.8m＞0.5m
假设基础宽度＜3m，则 由e=0.85 查表3-8 得ηd=1.0
下卧层顶面处的总应力：
修正后下卧层承载力特征值：
pcz pz 29.40 68.32 97.72KPa
f a f a k b (b 3) d 0 (d 0.5) d 1.0 b 0 查表3-8得，
1.7 0.6 0.2 18.6 1.8 (18.6 10) 0 11.31KN / m3 2.6
按公式：
b b 1 n ( 0 a) 2 2 60
1260 240 1 n ( 300 ) 3.5 则： 2 2 60
取
n=4
则 砼实际悬挑长度： b b0 1260 240 a n 60 4 60 270 mm 300 mm 2 2 2 2 基顶埋深：h=800-300-360=140mm＞100mm， 满足要求。
3 17 KN / m 耕植土
-0.60 m
-0.80 m
粉土
18.6 KN / m 3 Es 15MPa
S r 100% e 0.85
f a K 160KPa -2.60 m
淤泥质土
16.5KN / m3 Es 5MPa
e 1.2 S r 100%
附加应力： p p p 165.2113.92 151.29KPa 0 c
作用在下卧层顶面处的自重应力：
pcz 17 0.6 18.6 0.2 (2.6 0.8)(18.6 10) 29.40KPa
附加应力：
p0 b pz b 2Ztg
由 Es1 E 15 5 3 ， Z b 1.81.26 1.43 ，查表3-10: s2 得θ=23° 151.291.26 故 pz 68.32KPa o 1.26 2 1.8tg 23
取b=1.26m
(5) 地基验算 ① 持力层验算 作用于基底处的总平均压力：
pk
故
Fk Gk 188 1.26 0.8 1 20 165 .21KN / m 2 A 1.26 1
p＜fa=165.74KPa , 满足要求。
② 软弱下卧层验算 作用在基底处的 自重应力：p 17 0.6 18.6 0.2 13.92KPa c
0.6 17 0.2 18.6 0 17.4 KN / m 3 0.6 0.2
f a f ak d 0 (d 0.5)
故
f a 160 1.0 17.4(0.8 0.5) 165.74KPa
（4）计算基底面宽度b（取单位长度）
b Fk 188 1.26m ＜3m，故假设正确。 f a d 165.74 20 0.8
③ 基础强度验算 刚性基础 多用于五层及五层以下的一般民用建筑和墙体承 重的轻型厂房。如超过此范围时，必须进行基础强度验算。
⑺ 绘制施工剖面图
240 60×4
±0.00 60 120 60 120 -0.60 140 360
600 耕植土
200 粉土
270 720 1260 270
-0.80
300
说明： ⒈ 本基础施工图 依据×××单位提供的××勘察报告及有 关技术规范编制而成。 ⒉ 图中除标高单位为m外，其余尺寸单位均为mm。 ⒊ 基础材料，下部采用300mm厚C15混凝土；上部砌筑
砖放脚，采用MU10普通粘土砖，M5水泥砂浆，砌筑方 法为”二一间收“。 ⒋ 严格按照有关施工规范施工，确保工程质量。
⒌ 基坑开挖时，为避免扰动地基持力层，接近基底标高 时0 11.31 (2.6 0.5) 113.75KPa
则 pz pcz 97.72KPaf a 113 .75KPa 下卧层满足强度要求。
③
地基变形验算 由于是四层混合结构，持力层fak=160KPa,查规范表 2-2，属表列范围，且无所给特殊情况，故可不作变形验算。 ④ 地基稳定性验算 拟建建筑无水平荷载，场地不位于斜坡上，地基土层 面也不倾斜，故可不作稳定性验算。 ⑹ 基础的结构构造计算 ① 混凝土基础悬挑长度(a): 因基底平均压力为165.21KPa,基础为C15砼，查规范 表3-2得宽高比允许值为1：1.00 故 混凝土悬挑长度应为a≤300mm, 暂取 a=300mm ② 大放脚的台阶数 (n):