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指数函数讲义经典整理（含答案）一、同步知识梳理 知识点1：指数函数函数(01)xy a a a =>≠且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R 知识点2：指数函数的图像和性质知识点3：指数函数的底数与图像的关系指数函数在同一直角坐标系中的图像的相对位置与底数大小的关系如图所示，则01c d a b <<<<<， 在y 轴右侧，图像从下到上相应的底数也由小变大， 在y 轴左侧，图像从上到下相应的底数也由小变大 即无论在y 轴左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大在第一象限内，“底大图高”知识点4：指数式、指数函数的理解①分数指数幂与根式或以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算②根式的运算、变形、求值、化简及等式证明在数学中占有重要的地位，是研究方程、不等式和函数的基础，应引起重视③在有关根式、分数指数幂的变形、求值过程中，要注意运用方程的观点处理问题，通过解方程或方程组来求值④在理解指数函数的概念时，应抓住定义的“形式”，像1223,,21xx y y x y y =⋅===-等函数均不符合形式()01x y a a a =>≠且，因此，它们都不是指数函数⑤画指数函数xy a =的图像，应抓住三个关键点：()()11,,0,1,1,a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 二、同步题型分析题型1：指数函数的定义、解析式、定义域和值域 例1：已知函数，且． （1）求m 的值；（2）判定f （Y ）的奇偶性；（3）判断f （Y ）在（0，+∞）上的单调性，并给予证明．考点：指数函数的定义、解析式、定义域和值域；函数单调性的判断与证明．专题：计算题．分析：（1）欲求m的值，只须根据f（4）=的值，当Y=4时代入f（Y）解一个指数方程即可；（2）求出函数的定义域Y|Y≠0}，利用奇偶性的定义判断f（Y）与f（﹣Y）的关系，即可得到答案；（3）利用单调性的定义证明即可．任取0＜Y1＜Y2，只要证明f（Y1）＞f（Y2），即可．解答：解：（1）因为，所以，所以m=1．（2）因为f（Y）的定义域为{Y|Y≠0}，又，所以f（Y）是奇函数．（3）任取Y1＞Y2＞0，则，因为Y1＞Y2＞0，所以，所以f（Y1）＞f（Y2），所以f（Y）在（0，+∞）上为单调增函数．点评：本题主要考查了函数单调性的判断、函数奇偶性的判断，与证明及指数方程的解法．在判定函数奇偶性时，一定注意函数的定义域关于原点对称，属于基础题．例2：已知函数，（1）讨论函数的奇偶性；（2）证明：f（Y）＞0．考点：指数函数的定义、解析式、定义域和值域；函数奇偶性的判断；函数奇偶性的性质．专题：计算题．分析：（1）由2Y﹣1≠0解得义域为{Y|Y≠0}，关于原点对称．f（﹣Y）=（）（﹣Y）=（）Y=f（Y），故该函数为偶函数．（2）任取Y∈{Y|Y≠0}，当Y＞0时，2Y＞20=1且Y＞0，故，从而．当Y＜0时，﹣Y＞0，故f（﹣Y）＞0，由函数为偶函数，能证明f（Y）＞0在定义域上恒成立．解答：解：（1）该函数为偶函数．由2Y﹣1≠0解得Y≠0即义域为{Y|Y≠0}关于原点对称…（2分）f（﹣Y）=（）（﹣Y）=﹣（+）Y=（）Y=（）Y=（）Y=f（Y）（6分）故该函数为偶函数．…（7分）（2）证明：任取Y∈{Y|Y≠0}当Y＞0时，2Y＞20=1且Y＞0，∴2Y﹣1＞0，故从而…（11分）当Y＜0时，﹣Y＞0，∴f（﹣Y）＞0，…（12分）又因为函数为偶函数，∴f（Y）=f（﹣Y）＞0，…（13分）∴f（Y）＞0在定义域上恒成立．…（14分）点评：本题考查函数的奇偶性的判断和证明f（Y）＞0．解题时要认真审题，注意指数函数性质的灵活运用．例3：已知函数Y=aY（a＞0且a≠1）在[1，2]上的最大值与最小值之和为20，记．（1）求a的值；（2）求f（Y）+f（1﹣Y）的值；（3）求的值．考点：指数函数的定义、解析式、定义域和值域．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：（1）由Y=aY单调得a+a2=20，由此可求a；（2）写出f（Y），代入运算可得；（3）借助（2）问结论分n为奇数、偶数讨论可求；解答：解：（1）∵函数Y=aY（a＞0且a≠1）在[1，2]上的最大值与最小值之和为20，且Y=aY单调，∴a+a2=20，得a=4，或a=﹣5（舍去）；（2）由（1）知，∴====1；（3）由（2）知f（Y）+f（1﹣Y）=1，得n为奇数时，=×1=；n为偶数时，=+f（）==；综上，=．点评：本题考查指数函数的单调性、最值等知识，属中档题．题型2：指数函数的图像变换．例1：已知函数Y=|2Y﹣2|（1）作出其图象；（2）由图象指出函数的单调区间；（3）由图象指出当Y取何值时，函数有最值，并求出最值．考点：指数函数的图像变换．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：（1）函数Y=|2Y﹣2|图象是由Y=2Y的图象向下平移2个单位，再将Y轴下方的部分翻着到Y轴上方得到．（2）结合函数的图象，可得函数的减区间和增区间．（3）数形结合可得，当Y=1时，Ymiin=0．解答：解：（1）函数Y=|2Y﹣2|图象是由Y=2Y的图象向下平移2个单位，再将Y轴下方的部分翻着到Y轴上方得到，如图所示：（2）结合函数的图象，可得函数的减区间为（﹣∞，1]，增区间为（1，+∞）．（3）数形结合可得，当Y=1时，Ymiin=0．点评：本题主要考查指数函数的图象和性质综合，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．题型3：指数函数单调性例1：已知函数f（Y）=a•2Y+b•3Y，其中常数a，b满足a•b≠0（1）若a•b＞0，判断函数f（Y）的单调性；（2）若a=﹣3b，求f（Y+1）＞f（Y）时的Y的取值范围．考点：指数函数的单调性与特殊点；函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：（1）分a＞0，b＞0和a＜0，b＜0两种情况讨论，运用单调性的定义可作出判断；（2）当a=﹣3b时，f（Y）=﹣3b•2Y+b•3Y=b（3Y﹣3•2Y），分b＞0，b＜0两种情况进行讨论，整理可得指数不等式解出即可；解答：解：（1）当a＞0，b＞0时，任意Y1，Y2∈Y，且Y1＜Y2，则f（Y1）﹣f（Y2）=a（﹣）+b（﹣），∵＜，＜，a＞0，b＞0，∴a（﹣）＜0，b（﹣）＜0，∴f（Y1）﹣f（Y2）＜0，即f（Y1）＜f（Y2），故函数f（Y）在Y上是增函数；当a＜0，b＜0时，同理，可判断函数f（Y）在Y上是减函数；（2）当a=﹣3b时，f（Y）=﹣3b•2Y+b•3Y=b（3Y﹣3•2Y），则f（Y+1）＞f（Y）即化为b（3Y+1﹣3•2Y+1）＞b（3Y﹣3•2Y），若b＞0，则有3Y+1﹣3•2Y+1＞3Y﹣3•2Y，整理得，解得Y＞1；若b＜0，则有3Y+1﹣3•2Y+1＜3Y﹣3•2Y，整理得，解得Y＜1；故b＞0时，Y的范围是Y＞1；当b＜0时，Y的范围是Y＜1．点评：本题考查函数单调性的判断、指数函数的单调性的应用，考查分类讨论思想，属基础题．例2：已知定义在（﹣1，1）上的奇函数f（Y）．在Y∈（﹣1，0）时，f（Y）=2Y+2﹣Y．（1）试求f（Y）的表达式；（2）用定义证明f（Y）在（﹣1，0）上是减函数；（3）若对于Y∈（0，1）上的每一个值，不等式t•2Y•f（Y）＜4Y﹣1恒成立，求实数t的取值范围．考点：指数函数综合题；奇偶性与单调性的综合．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：（1）由f（Y）是定义在（﹣1，1）上的奇函数可得f（0）=0，Y∈（0，1）时，f（Y）=﹣f（﹣Y）=﹣（2Y+2﹣Y）；从而写出f（Y）的表达式；（2）取值，作差，化简，判号，下结论五步；（3）对于Y∈（0，1）上的每一个值，不等式t•2Y•f（Y）＜4Y﹣1恒成立转化为对于Y∈（0，1）上的每一个值，不等式t＞﹣恒成立，从而可得．解答：解：（1）∵f（Y）是定义在（﹣1，1）上的奇函数，∴f（0）=0，设∈（0，1），则﹣Y∈（﹣1，0），则f（Y）=﹣f（﹣Y）=﹣（2Y+2﹣Y），故f（Y）=；（2）任取Y1，Y2∈（﹣1，0），且Y1＜Y2，则f（Y1）﹣f（Y2）=+﹣（+）=，∵Y1＜Y2＜0，∴﹣＜0，0＜＜1，故f（Y1）﹣f（Y2）＞0，故f（Y）在（﹣1，0）上是减函数；（3）由题意，t•2Y•f（Y）＜4Y﹣1可化为t•2Y•（﹣（2Y+2﹣Y））＜4Y﹣1，化简可得，t＞﹣，令g（Y）=﹣=﹣1+，∵Y∈（0，1），∴g（Y）＜﹣1+=0，故对于Y∈（0，1）上的每一个值，不等式t•2Y•f（Y）＜4Y﹣1恒成立可化为t≥0．点评：本题考查了函数的性质的综合应用及恒成立问题的处理方法，属于难题．例3：已知函数f（Y）=|2Y﹣1﹣1|，（Y∈Y）．（1）证明：函数f（Y）在区间（1，+∞）上为增函数，并指出函数f（Y）在区间（﹣∞，1）上的单调性；（2）若函数f（Y）的图象与直线Y=t有两个不同的交点A（m，t），B（n，t），其中m＜n，求m+n的取值范围．考点：指数函数综合题．专题：计算题；证明题．分析：（1）函数单调性的证明，通常依据定义，步骤为：取值，作差，变形，定号，下结论，由于与指数函数有关，求解时要利用到指数函数的单调性；（2）由（1）可知，函数的值域为（0，1），要使函数f（Y）的图象与直线Y=t有两个不同的交点，故有t∈（0，1）又函数f（Y）的图象与直线Y=t有两个不同的交点，所以A（m，t），B（n，t）分别位于直线Y=1的两侧，由m＜n，得m＜1＜n，故可以求出m+n，进而由t∈（0，1），可求m+n的取值范围．解答：解：（1）证明：任取Y1∈（1，+∞），Y2∈（1，+∞），且Y1＜Y2，=，∵Y1＜Y2，∴，∴，∴f（Y1）＜f（Y2）．所以f（Y）在区间（1，+∞）上为增函数．（5分）函数f（Y）在区间（﹣∞，1）上为减函数．（6分）（2）因为函数f（Y）在区间（1，+∞）上为增函数，相应的函数值为（0，+∞），在区间（﹣∞，1）上为减函数，相应的函数值为（0，1），由题意函数f（Y）的图象与直线Y=t有两个不同的交点，故有t∈（0，1），（8分）易知A（m，t），B（n，t）分别位于直线Y=1的两侧，由m＜n，得m＜1＜n，故2m﹣1﹣1＜0，2n﹣1﹣1＞0，又A，B两点的坐标满足方程t=|2Y﹣1﹣1|，故得t=1﹣2m﹣1，t=2n﹣1﹣1，即m=log2（2﹣2t），n=log2（2+2t），（12分）故m+n=log2（2﹣2t）+log2（2+2t）=log2（4﹣4t2），当0＜t＜1时，0＜4﹣4t2＜4，﹣∞＜log2（4﹣4t2）＜2．因此，m+n的取值范围为（﹣∞，2）．（17分）点评：本题的考点是指数函数综合问题，主要考查函数单调性的证明，考查函数图形的性质，有较强的综合性．依据定义，证明函数的单调性的步骤通常为：取值，作差，变形，定号，下结论三、课堂达标检测检测题1：已知函数f（Y）=（其中e=2.71828…是一个无理数）．（1）求函数f（Y）的定义域；（2）判断奇偶性并证明之；（3）判断单调性并证明之．考点：指数函数的定义、解析式、定义域和值域；函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．专题：计算题；证明题．分析：（1）把分子整理变化成和分母相同的一部分，进行分子常数化，则变量只在分母上出现，根据分母是一个指数形式，恒大于零，得到函数的定义域是全体实数．（2）根据上一问值函数的定义域关于原点对称，从f（﹣Y）入手整理，把负指数变化为正指数，就得到结果，判断函数是一个奇函数．（3）根据判断函数单调性的定义，设出两个任意的自变量，把两个自变量的函数值做差，化成分子和分母都是因式乘积的形式，根据指数函数的性质，判断差和零的关系．解答：解：f（Y）==1﹣（1）∵e2Y+1恒大于零，∴Y∈Y（2）函数是奇函数∵f（﹣Y）==又由上一问知函数的定义域关于原点对称，∴f（Y）为奇函数（3）是一个单调递增函数设Y1，Y2∈Y且Y1＜Y2则f（Y1）﹣f（Y2）=1﹣=∵Y1＜Y2，∴∴f（Y1）﹣f（Y2）＜0即f（Y1）＜f（Y2）∴f（Y）在Y是单调增函数。