低复杂度非相干分布源参数估计方法
数据分布非参数估计计算公式
数据分布非参数估计计算公式数据分布非参数估计是一种统计方法，用于估计未知数据分布的参数。
与参数估计相比，非参数估计不需要对数据分布做出假设，因此更加灵活和广泛适用。
本文将介绍数据分布非参数估计的基本原理和常用方法。
一、数据分布非参数估计的基本原理数据分布非参数估计的目标是利用样本数据来推断总体数据的概率分布。
与参数估计不同，非参数估计不对总体数据的分布做出任何假设，而是利用样本数据的分布特征来进行推断。
非参数估计的基本原理是利用样本数据的经验分布函数来近似总体数据的分布。
经验分布函数是在给定样本数据的情况下，对总体分布函数的估计。
通过计算样本数据中小于等于某个值的观测值的比例，可以得到经验分布函数的近似值。
二、数据分布非参数估计的常用方法1. 核密度估计核密度估计是一种常用的非参数估计方法，它通过将核函数（通常为正态分布）放置在每个观测值上，并将它们加权求和，以估计数据的概率密度函数。
核密度估计能够平滑地估计数据的分布，并且不需要对数据的分布形状做出任何假设。
2. 直方图估计直方图估计是另一种常用的非参数估计方法，它将数据分成一系列的区间，并计算每个区间中观测值的频数或频率。
直方图可以直观地展示数据的分布情况，并且不需要对数据的分布形状做出任何假设。
然而，直方图估计的精度受到区间宽度的影响，选择合适的区间宽度是一个挑战。
3. 分位数估计分位数估计是一种用于估计数据分布的非参数方法，它基于数据的分位点来推断总体数据的分布。
常见的分位数估计方法包括最小二乘法和最大似然估计。
分位数估计方法能够在不假设数据分布形状的情况下，对数据的分布进行推断。
三、数据分布非参数估计的应用领域数据分布非参数估计在各个领域都有广泛的应用。
在金融领域，非参数估计方法可以用于估计资产收益率的分布，从而评估投资风险。
在医学领域，非参数估计方法可以用于估计疾病发病率的分布，从而帮助制定预防措施。
在环境科学领域，非参数估计方法可以用于估计大气污染物的浓度分布，从而评估环境质量。
数据分布非参数估计的基本公式
数据分布非参数估计的基本公式
数据分布非参数估计的基本公式是指根据数据的样本来推算出
数据总体的概率分布函数，而不需要对数据的分布进行任何先验假设。
以下是非参数估计的基本公式：
1. 核密度估计公式：
$$hat{f}_{h}(x)=frac{1}{nh}sum_{i=1}^{n}Kleft(frac{x-X_{i}} {h}right)$$
其中，$hat{f}_{h}(x)$是在$x$处的核密度估计值，$n$是样本量，$h$是带宽参数，$K(u)$是核函数，$X_{i}$是样本点。
2. 经验分布函数公式：
$$hat{F}_{n}(x)=frac{1}{n}sum_{i=1}^{n}I_{{X_{i}leq x}}$$
其中，$hat{F}_{n}(x)$是在$x$处的经验分布函数估计值，$n$是样本量，$X_{i}$是样本点，$I_{{X_{i}leq x}}$是指示函数。
3. 分位数估计公式：
$$hat{q}_{p}(X)=X_{(k)}+(ncdot p-k)cdot
frac{X_{(k+1)}-X_{(k)}}{n}$$
其中，$hat{q}_{p}(X)$是$p$分位数的估计值，$X_{(k)}$是第$k$个有序样本，$n$是样本量，$p$是要估计的分位数。
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非参数统计的方法与应用
非参数统计的方法与应用非参数统计是指一类不依赖于任何参数假设的统计方法，特别是不依赖于任何分布假设的统计方法。
相较于参数统计，非参数统计具有更广泛的适用范围和更强的鲁棒性，适用于数据形式和规模不确定的情况。
本文将介绍非参数统计的方法和应用，希望读者可以对此有更深刻的认识。
一、非参数统计的基础非参数统计的基础是经验分布函数、核密度估计和分位数等概念。
经验分布函数是指样本分布函数，它给出了样本观测值小于等于某个值的概率。
核密度估计是将样本的实际观测值拟合为一个概率密度函数，通过选择核函数和带宽大小来控制拟合的平滑程度。
分位数是一种描述样本分布位置的指标，例如中位数、分位数和分位点。
在实际应用中，非参数统计方法可以用于拟合和检验数据的分布、比较两个或多个数据集之间的差异，以及探究变量之间的关系等。
因为它不需要假设特定的分布结构，因此可以在数据形式、规模和质量方面具有更大的灵活性。
二、非参数统计方法的分类根据数据类型和假设类型，非参数统计方法可以划分为不同的类型。
常用的非参数统计方法主要包括：1. 秩和检验：适用于从两个或多个独立样本中检验两个或多个总体的中位数是否相等。
2. Wilcoxon符号秩检验：适用于从两个独立样本中检验两个总体的中位数是否相等。
3. Kruskal-Wallis单因素方差分析：适用于从两个或多个独立样本中比较几个相互独立的总体的中位数是否相等。
4. Mann-Whitney U检验：适用于从两个独立样本中检验两个总体的分布是否相等。
这是一个非参数的等价于t检验的方法。
5. Kolmogorov-Smirnov检验：适用于从两个或多个样本中检验两个总体的分布是否相等。
6. Anderson-Darling检验：适用于从一个样本中检验给定某一个分布类型的数据是否符合该分布。
例如，我们可以使用这个检验来检验数据是否服从正态分布。
7. 卡方检验：适用于检验两个或多个与分类变量相关的样本间比例差异是否存在显著差异。
参数辨识方法
参数辨识方法指通过实验数据或观测结果，推断或估计系统或模型的参数值的一类方法。
这些方法通常用于建立数学模型、探索系统行为、优化控制策略等领域。
以下是几种常见的参数辨识方法：
1. 最小二乘法（Least Squares Method）：最小二乘法是一种常见的参数辨识方法，通过最小化实际观测值与模型预测值之间的差异来估计参数。
它适用于线性和非线性模型，并可考虑测量误差。
2. 极大似然估计（Maximum Likelihood Estimation）：极大似然估计是一种统计方法，用于通过最大化观测数据的似然函数来估计参数。
它适用于概率模型和随机过程的参数辨识。
3. 遗传算法（Genetic Algorithms）：遗传算法是一种优化算法，可以用于参数辨识问题。
它模拟生物进化过程中的选择、交叉和变异等操作，通过迭代搜索来找到最优参数组合。
4. 粒子群优化算法（Particle Swarm Optimization）：粒子群优化算法是一种启发式优化算法，模拟鸟群或鱼群的行为，通过协作和信息共享来寻找最优参数组合。
5. 系统辨识理论（System Identification Theory）：系统辨识理论提供了一系列数学和统计方法，用于从实验数据中推断系统的结构和参数。
它涵盖了许多方法，包括参数估计、频域分析、时域分析等。
这些方法的选择取决于具体的应用和问题领域。
不同方法有不同的假设和适用条件，需要根据实际情况选择合适的参数辨识方法来获得准确的参数估计。
五种估计参数的方法
五种估计参数的方法在统计学和数据分析中，参数估计是一种用于估计总体的未知参数的方法。
参数估计的目标是通过样本数据来推断总体参数的值。
下面将介绍五种常用的参数估计方法。
一、点估计点估计是最常见的参数估计方法之一。
它通过使用样本数据计算出一个单一的数值作为总体参数的估计值。
点估计的核心思想是选择一个最佳的估计量，使得该估计量在某种准则下达到最优。
常见的点估计方法有最大似然估计和矩估计。
最大似然估计（Maximum Likelihood Estimation，简称MLE）是一种常用的点估计方法。
它的核心思想是选择使得样本观测值出现的概率最大的参数值作为估计值。
最大似然估计通常基于对总体分布的假设，通过最大化似然函数来寻找最优参数估计。
矩估计（Method of Moments，简称MoM）是另一种常用的点估计方法。
它的核心思想是使用样本矩和总体矩之间的差异来估计参数值。
矩估计首先计算样本矩，然后通过解方程组来求解参数的估计值。
二、区间估计点估计只给出了一个参数的估计值，而没有给出该估计值的不确定性范围。
为了更全面地描述参数的估计结果，我们需要使用区间估计。
区间估计是指在一定的置信水平下，给出一个区间范围，该范围内包含了真实参数值的可能取值。
常见的区间估计方法有置信区间和预测区间。
置信区间是对总体参数的一个区间估计，表示我们对该参数的估计值的置信程度。
置信区间的计算依赖于样本数据的统计量和分布假设。
一般来说，置信区间的宽度与样本大小和置信水平有关，较大的样本和较高的置信水平可以得到更准确的估计。
预测区间是对未来观测值的一个区间估计，表示我们对未来观测值的可能取值范围的估计。
预测区间的计算依赖于样本数据的统计量、分布假设和预测误差的方差。
与置信区间类似，预测区间的宽度也与样本大小和置信水平有关。
三、贝叶斯估计贝叶斯估计是一种基于贝叶斯理论的参数估计方法。
它将参数看作是一个随机变量，并给出参数的后验分布。
贝叶斯估计的核心思想是根据样本数据和先验知识来更新参数的分布，从而得到参数的后验分布。
基于稀疏分解的非相干分布式信号源DOA估计
方 差 矩 阵 大 特 征 值 随着 角度 扩 展 的增 大 而 增 加 ，且 大 于 实 际 信 号 个 数 ［ ４ １ 。ＤＳ Ｐ Ｅ ［ 】 和 ＤＩ Ｓ Ｐ ＡＲ Ｅ ［ ５ ］ 等 将 ＭＵＳ Ｉ Ｃ 算 法 推 广 到 非 相 干 分 布 源 的 情 况 ，但 需 要 多 维搜 索 。文 献 ［ ６ 】 将 Ｃ ａ ｐ ｏ ｎ波 束 形成 方 法推 广 到 非 相 干 分 布 源 情 况 ，可 实 现 多个 非 相 干 分 布 源 的 参 数 估 计 。文 献 ［ ７ ］ 则 利 用 特 殊 阵 列 结 构 ，得 到 角度 和角 度 扩 展 的 估 计 值 ，但 是 其 阵 型 受 限 。 以上 算 法 均 需要 信 号 角 功率 密 度 函数 相 同并 且 己知 。文 献 ［ ８ ］ 将Ｅ Ｓ Ｐ Ｒ Ｉ Ｔ推 广 到 非相 干 分布 源 ，在
角功率密度 函数先验信 息未知 的情况 下进行 Ｄ Ｏ Ａ 估计 ，但需要借助特殊结构设计 。文献 ［ ９ ］ 利用信号
角功 率 密 度 的 中 心矩 和 非 中 心矩 来 近 似 协 方 差 矩 阵 ，可 在 不 搜 索 的 情 况 估 计 得 到角 度 ，但 该方 法 需要 对 ＤＯ Ａ 的初 始 估 计 。由 文献 ［ １ ０ ］ 可 知 非 相 干 分布 源 的 角度 扩 展 不 影 响协 方 差 矩 阵 元 素 的相 位 ，本 文 据 此 提 出 了基 于稀 疏 分 解 的分 布 源 ＤＯＡ 估 计 方 法 ， 在 估 计 得 到 协 方 差矩 阵后 ，获 取 相 位 信 息并 对 其 行 进重构 ， 然 后 利用 稀 疏 分 解 的方 法 进 行 ＤＯＡ 估 计 。 在 分 布 源 分 布 特 性 未 知 的情 况 下 有 效 的 得 到 了 ＤＯ Ａ
数据分布非参数估计的公式
数据分布非参数估计的公式数据分布的非参数估计公式通常包括以下几种方法：1. 核密度估计法核密度估计法是一种常用的非参数概率密度估计方法，其基本思想是将每个数据点周围的一小段区间用一个核函数来表示其分布。
具体的公式如下：$$\hat{f}_{h}(x)=\frac{1}{nh}\sum_{i=1}^{n} K\left(\frac{x-x_{i}}{h}\right) $$其中，$\hat{f}_{h}(x)$表示在点$x$处的密度估计值，$K$表示核函数，通常取高斯核函数或更平滑的Epanechnikov核函数，$h$表示核函数的带宽参数，控制核函数的宽度，$n$表示数据样本大小，$x_{i}$为其中的样本点。
2. 直方图法直方图法也是一种常用的非参数概率密度估计方法，其基本思想是将数据集划分为若干个区间，然后计算每个区间内数据点的数量占总数据点数量的比例。
具体的公式如下：$$\hat{f}_{h}(x) =\frac{1}{n h}\sum_{i=1}^{n} I_{\left(x_{i} \inB_{j}\right)}$$其中，$\hat{f}_{h}(x)$表示在点$x$处的密度估计值，$B_{j}$表示第$j$个区间，$n$表示数据样本大小，$h$表示每个区间的长度，$I_{\left(x_{i} \in B_{j}\right)}$为指示函数，当$x_{i}$属于区间$B_{j}$时，取值为1，反之为0。
3. 分位数法分位数法也是一种常用的非参数概率密度估计方法，其基本思想是根据数据点的分位数来估计概率密度函数。
具体的公式如下：$$\hat{f}_{h}(x)=\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{h\left(q_{i}-q_{i-1}\right) }I_{[q_{i-1}, q_{i})}(x)$$其中，$\hat{f}_{h}(x)$表示在点$x$处的密度估计值，$q_{i}$表示第$i$个分位数，$I_{[q_{i-1},q_{i})}(x)$为指示函数，当$x$落在范围$[q_{i-1},q_{i})$内时，取值为1，反之为0。
一种低复杂度线性调频信号参数估计算法
一种低复杂度线性调频信号参数估计算法熊竹林;刘策伦;安建平【摘要】A quadratic estimation algorithm is proposed to reduce the complexity of accurate Linear Frequency Modulation (LFM) parameter estimation. First, the frequency rate and initial frequency are estimated coarsely by short time coherent integral and incoherent accumulation. Then, the parallel Partial Matched Filters combined with FFT (PMF-FFT) and quadratic interpolation are utilized to estimate the residuals of the frequency rate and initial frequency. Last, the final estimated values are obtained by synthesizing the results of both estimations. Simulation shows that the proposed algorithm has a low SNR threshold, and the accuracy is close to Cramer-Rao Lower Bound (CRLB). The complexity and hardware consumption of the proposed algorithm are much less than the frequency rate test algorithm and joint estimation algorithm based on interpolation.%为降低线性调频(LFM)信号参数估计的复杂度，该文提出一种二次估计算法。
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7/20/2011
COMET-EXIP[9]利用非相干分布源的近似模型，结 合其角度在协方差矩阵的相位信息，角度扩展在其 幅度信息的特点， 实现DOA和角度扩展的解耦估计。 该方法将二维搜索问题转化为两个一维搜索问题处 理， 一定程度上降低了复杂度。 文献[10]提出的方法 进一步解决了 COMET-EXIP 方法存在的模糊性问 题。 文献[11]利用信号角功率密度的中心矩和非中心 矩来近似协方差矩阵，可在不搜索的情况估计得到 DOA和角度扩展，但该方法需要先进行 DOA预估 计。文献[12] 将ESPRIT算法推广到非相干分布源的 情形，但需要利用空间两个靠得很近的平移阵列， 在工程上难以实现。 文献[13]提出了一种非相干分布 源DOA和角度扩展参数去耦估计方法， 无需谱搜索， 但只能用于高斯形式的分布源。 本文针对单个非相干分布源，提出了一种估计 其中心波达方向和角度扩展的新方法。该方法首先 利用样本协方差矩阵次对角线上元素的相位信息估 计分布源的中心波达方向。然后，基于无噪声协方 差矩阵的列矢量和采样伪噪声子空间之间的近似正 交性，以及估计出的中心波达方向，建立关于分布 源角度扩展参数的代价函数，并通过一维搜索估计 出分布源的角度扩展参数。本文方法无需对样本协 方差矩阵进行特征分解，因而克服了常规子空间方 法在确定伪信号子空间维数方面的困难。此外，该 方法仅需做一次一维谱搜索，具有较低的计算复杂 度。仿真结果表明，本文方法在小角度扩展下的估 计性能良好。
2 s 2 n
( )
2 n
I
(7)
2 数据模型
考虑单个窄带非相干多径分布信号以一定的角 度范围入射到一个阵元数为 M，阵元间距为Δ（Δ 代表以波长为单位的阵元间距）的均匀线阵上。则 在 t 时刻，阵列的接收矢量可表示为
x (t ) s (t ) !
L n 1 n (t )a( 0
其中， 是噪声功率， ( ) 是归一化无噪声协方差 矩阵，且可表示为 /2 ( ) &# / 2 p ( ; ) a ( ) a H ( ) d (8) 。其中 对任意的波达方向 , 定义
网络出版时间：2011-10-24 10:15 网络出版地址：/kcms/detail/11.2127.tp.20111024.1015.089.html
7/20/2011
低复杂度非相干分布源ห้องสมุดไป่ตู้数估计方法
王莉 , 罗海 （1.四川农业大学信息与工程技术学院， 四川 雅安 625014; 2.成都电子机械高等专科学校通信工程系， 四川 成都 611730） 摘要: 本文提出了一种低复杂度的非相干分布源参数估计方法。 该方法证明了在小角度扩展下， 无噪声 协方差矩阵的元素能够被分离成幅度信息和相位信息两部分。基于此性质，本文利用样本协方差矩阵 次对角线上元素的相位信息首先估计出分布源的中心波达方向。然后，根据无噪声协方差矩阵列矢量 和采样伪噪声子空间之间的近似正交性构造代价函数，并通过一维搜索估计出分布源的角度扩展参数。 本文方法避免了对样本协方差矩阵进行特征分解，不需要确定伪信号子空间的维数，而这是现有子空 间方法的主要困难。此外，它估计分布源的两个角度参数时仅需要完成一次一维谱搜索，计算复杂度 较低。仿真结果证实了所提方法的有效性。 关键词: 非相干分布源； 中心波达方向； 角度扩展； 无噪声协方差矩阵列； 采样伪噪声子空间； 中图分类号：TN911.7 文献标识码：A Low-Complexity Method for Parameter Estimation of an Inoherently Distributed Source WANG Li1, LUO Hai2 (1. School of Information and Engineering Technology, Sichuan Agricultural University, Yaan Sichuan 625014, China; 2. Department of Communication Engineering, Chengdu Electromechanical College, Chengdu Sichuan 611730, China) Abstract: A low-complexity method for estimating the parameters of an incoherently distributed source is proposed by this paper. The proposed method shows that the elements of the noise-free covariance matrix can be separated into two parts denoting, respectively, the amplitude information and phase information under small spread. Based on the above property, the nominal direction-of-arrival (DOA) is firstly estimated by using the phase information of the secondary diagonal elements of the sample covariance matrix. And then a cost function is formulated by exploiting the approximate orthogonality property between the column vectors of the noise-free covariance matrix and the sample pseudonoise subspace. The angular spread is estimated by one-dimensional searching. The proposed method avoids the eigendecomposition of the sample covariance matrix, and thus does not require the knowledge of the effective dimension of the pseudosignal subspace, which is a main different in the existing subspace methods. In addition, it estimates two parameters by only using once one-dimensional spectrum searching, and thus provides low computational complexity. Simulation results indicate the efficiency of the method. Key words: Incoherently distributed source; Nominal DOA; Angular spread; Noise-free covariance matrix; Sample pseudonoise subspace; 出现“秩多”现象，即无噪声协方差矩阵的秩会随 1 引 言 着角度扩展的增加而增加，大于实际的信源数。因 而，点源参数估计方法不能被直接推广应用于非相 传统的波达方向（Direction-Of-Arrival，DOA） 干分布源。为此，人们提出了一些专门针对非相干 估计方法一般都假设目标信号为点源。但在无线通 分布源的参数估计方法。其中，最大似然[3]和渐进 信、雷达和声呐等许多应用领域，信号的多径传播 最大似然法[4]可以获得最优的估计性能，但需要对 常引起信号能量的空间扩散。在这种情形下，目标 目标函数进行二维非线性优化。文献[5]给出了一种 适合被建模为分布式信号源，简称分布源。对于分 加权子空间匹配算法， 它可以获得参数的一致估计， 布源，采用传统的基于点源假设的DOA估计方法， 但该方法需要做二维谱搜索。DSPE[2]和DISPARE[6] 其性能将严重恶化。因此，非常有必要研究基于分 等将MUSIC算法推广应用于非相干分布源，但都需 布源的参数估计方法。分布源根据内部不同波达方 要进行二维搜索。文献[7] 将Capon波束形成方法推 向成分之间的相关程度可分为相干分布源和非相干 广到非相干分布源的情形，可实现多个非相干分布 分布源[1,2]。在本文中，我们考虑非相干分布源。 源的参数估计，但仍需二维搜索。文献[8]在文献[7] 对于非相干分布源，由于其数据协方差矩阵会 的基础上给出了一种更稳健的Capon波束形成方法。
i
为相对于中心波达方向
i 的角度偏差。则在小角度
扩展条件下, 对 ( ) 中的第 ( k , l ) 个元素 [ ( )]kl 做 如下近似 [ ( )]kl
∋ & p( ; )[a( )]k [a( )]l d i 2 ∀ ( k # l )sin d & p ( ; )e i 2 ∀ ( k # l )sin( 0 & p ( 0 ; ) e ; )ei 2 ∀ ( k #l )(sin 0 / & p( 0
[ 0 , ]T 是未知的角度参数向量， 表示角度扩 展参数。 对于非相干分布源，其不同散射路径到达的信号完 全不相关，所以有 2 () E[ s ( , t ; ) s ∋ ( (, t ; )] (3) s p ( ; )! ( #
在上式中， s2 是信号功率， p( ; ) 为归一化角功率 密度函数，它通常被假设为单峰对称函数，满足 /2 1 (4) &# / 2 p ( ; ) d 根据不同的角分布， p( ; ) 有不同的数学形式，下 面给出两种常见的角功率密度函数形式 高斯分布： 2 2 1 p( ; ) e# ( # 0 ) / 2 (5) 2 均匀分布： ) 1 , # 0 ∗ + p( ; ) , 2 (6) +0, # 0 − . 假设噪声与信号之间互不相关。则阵列接收数据的 协方差矩阵可写作 R E[ x (t ) x H (t )]