武汉大学数学分析2009真题
武大_六年真题03-09
武汉大学2009年攻读硕士学位研究生入学考试试题（满分值 150分）科目名称：地理信息系统基础科目代码：923一、辨析题（共4小题，每小题10分，共40分）1、（10分）地理信息和地理数据这两个概念，他们之间存在怎样的联系和区别？2、（10分）地理实体和地理现象分别指的是什么地理要素？对他们进行属性取值，有什么不同？3、（10分）空间索引和非空间索引在建立方法上存在哪些不同？4、（10分）什么是集中式GIS？什么是分布式GIS？根本区别是什么？二、简答题（共4分，每小题15分，共60分）1、（15分）如果有人请你提供选型GIS软件的意见，你会从哪些方面考虑提出选择GIS 软件的意见？2、（15分）如果存在不同参考系统的地理数据源，通常有哪些方法使他们的坐标系统得到统一？3、（15分）通常所说的空间关系是指哪些关系？存储这些关系有什么用途？4、（15分）关系数据库在存储空间数据方面有一些技术发展，这些发展体现在哪些方面？三、综述题（共2小题，每小题25分，共50分）1、（25分）GIS由单机模式发展到局域网模式、WebGIS和GridGIS模式，请描述各个模式的技术和应用特点。
2、（25分）建立一个空间数据库，主要涉及哪些工作内容？科目名称：地理信息系统基础科目代码：841注意：所有的答题内容必须答在答题纸上，凡答在试题或草稿纸上的一律无效。
一．名词解释：（6*5分）1.智能地理信息系统2.邻接矩阵3.标识编码4.有向赋权图5.空间位置特征6.空间数据的不确定性二．简答题（5*16分）1.企业可以完成自身应用。
现在要求能过通过网络平台发布信息。
需要哪种网络系统结构？分为哪几种类型？2.要解决多源数据的空间参考系不一致的问题，可以采用哪些方法？3.理图层数据过大，会影响系统效率。
采用何种索引可以解决该问题？与目标索引什么关系？4.缓冲区多边形是怎么建立的？缓冲区分析与缓冲区查询有什么区别？5.GIS互操作需要解决主要问题？有哪些解决方法？三．分析题（20分）土地管理部门利用GIS给土地分类图进行面积统计时，发现统计结果不一致。
武汉大学近二十年数学分析考研真题
其中 N > 0 为一常数，且逐点有 fn (x) → f (x) （当 n → +∞ ）。证明： （1） f (x) 在[a,b] 上连续。
（2） fn (x)→ f (x) 。
6．设
f
(x,
y)
=
⎪⎪⎧ g ( x, ⎨
y ) sin
⎪0,
⎪⎩
1, x2 + y2
(x, y) ≠ (0,0)
，证明
+
1 32
−
1 4
+
1 52
+"+
1 (2n −1)2
−
1 2n
+ " 是否收敛？为什么？
∑ 3．求级数 ∞ ⎜⎛1 + 1 ⎟⎞n(n+1) x n 的收敛区域。
n=1 ⎝ n ⎠ 4．求函数 f (x, y, z) = xyz 在条件 x + y = 1 及 x − y + z 2 = 1下的极值。
∫+∞⎡
lim
n→+∞
−∞⎢⎣
f
⎜⎛ ⎝
y
+
1 n
⎟⎞ − ⎠
f
⎤ ( y)⎥⎦dy
=
0。
3．设 f (x, y) 为连续函数，且当 (x, y) ≠ (0,0) 时，f (x, y) > 0 ，及满足 f (cx,cy) = cf (x, y) ，
∀c > 0 。证明存在α , β > 0 ，使得α x2 + y 2 ≤ f (x, y) ≤ β x2 + y 2 。
其中
∆u
=
∂2u ∂x 2
+
【解析】2009年全国高考文科数学试题及答案-湖北卷(完整版)
6
, 2)
【答案】D 8. 在“家电下乡”活动中，某厂要将 100 台洗衣机运往邻近的乡镇，现有 4 辆甲型货车和 8 辆乙型货车可供使用，每辆甲型货车运输费用 400 元，可装洗衣机 20 台；每辆乙型货 车运输费用 300 元，可装洗衣机 10 台，若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输 费用为 A.2000 元 【答案】B B.2200 元 C.2400 元 D.2800 元
3602 3602 360 10440.当且仅当 225x= 时，等号成立. x x
即当 x=24m 时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是 10440 元. 18.（本小题满分 12 分） 如图，四棱锥 S ABCD 的底面是正方形，SD ⊥平 面 ABCD , SD AD a ， 点 E 是 SD 上 的 点 ， 且
X 1 <1), 则 A B = X 2
.
14. 过原点 O 作圆 x2 y 2 6x 8 y 20 0 的两条切线，设切点分别为 P、Q，则线段 PQ 的长为 【答案】4 【解析】可得圆方程是 ( x 3)2 ( y 4)2 5 又由圆的切线性质及在三角形中运用正弦定 理得 PQ 4 15. 下图是样本容量为 200 的频率分布直方图。 根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在[6，10)内的频数为 10）内的概率约为 。 ，数据落在[2， 。
0 x 4 【解析】设甲型货车使用 x 辆，已型货车 y 辆.则 0 y 8 ,求 Z=400x+300y 最小 20 x 10 y 100
值.可求出最优解为（4，2）故 min 2200 故选 B.
9. 设 x R , 记 不 超 过 x 的 最 大 整 数 为 [ x ], 令 { x }= x -[ x ] ， 则 [
武汉大学2009—2010学年上学期高等数学期中考试试卷及答案
武汉大学2009—2010学年上学期期末考试试卷《微积分（上）》解答（总学时216）一、填空题：1、!2004dx ；2、32e 3、21；4、e 1；5、1)1()!(2)1(++⨯-n n x n 。
二、选择题：1、D ；2、B ；3、D ；4、A ；5、D 。
三、讨论函数⎩⎨⎧>≤=-00)(2x xe x x x f x的单调性，并求其单调区间和极值。
解：函数的定义为),(+∞-∞，且0=x 为函数的分段点，当0<x 时，x x f 2)(='；当0>x 时，x e x x f --=')1()(；当0=x 时，1)1(lim )0(,02lim )0(0=-='=='-→+→-+-xx x e x f x f 故)0(f '不存在，令0)(='x f ，得1=x ，点1,0==x x 将),(+∞-∞分成三部份：),1(),1,0(),0,(+∞-∞在各区间内的符号如下表所示：0=x 处函数取得极小值0)0(=f ；在1=x 处函数取得极大值1)1(-=e f 。
四、当a 为何值时，函数⎪⎩⎪⎨⎧≤>+=00])1([)(11x e x e x x f a x x 在0=x 处的连续。
解：由ae f =)0(，)0()(lim 0f e x f a x ==-→，故)(x f 在0=x 处左连续， 又记xxe x y 11]/)1[(+=，则2)1ln(]1)1[ln(1ln 1x xx x x y -+=-+=而21])1(1[lim 2121lim ln lim 201100-=+-=-=+++→+→→x x y x x x x ，故a x e f e y ===-→+)0(lim 210 所以21-=a ，故当21-=a 时)(x f 在0=x 处连续。
五、计算下列各题： 1、解:2ln 2cos 2cos 2sin 2x x xy ⋅+=';x x y x d 2d )2ln 22cos cos 2(d 2sin 22=⋅+==ππππ2、解：由：⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-x x x x x x x x x x x x x x sin cos sin sin cos sin sin cos sin 222222， 而2cos sin 1sin cos sin →+=+x xxx x x x （0→x ）。
2009年湖北省高考数学试卷(文科)答案与解析
2009年湖北省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1.（ 5 分）（2009?湖北）若向量二（1，1），b = （- 1 , 1）, : = （4, 2）,则刁=（ ）A . 3 卄 I ，B . 3 r-卜C.- r+3〔，D . i+3 ■【考点】平面向量的基本定理及其意义；平面向量的坐标运算. 【专题】计算题；待定系数法.【分析】设 <=入q +卩b ,由c = （ 4, 2）,用待定系数法求出 入和［1,可得结果.【解答】 解：设 u =仏 + 1 b =（入，X ） + （- 1, 1）=（入-1,A+ 1 ） = （4, 2）, 入-1=4,A+ 1=2,•••入=3, 1=- 1 可得［.：i-1. J 1 :: ■-..,故选B .【点评】 本题考查两个向量的加减法的法则，两个向量坐标形式的运算.宾=2 ［2. （ 5分）（2009?湖北）函数产: -------- （裏ER,且工）的反函数是（）2x _ 12A . 尸丟~T（l£R,且“2）B .y-—~&ER.且澤2） ■ K _ 2C .D .□x - 1 ----- -- （K 且戈工 一2）【考点】反函数.【专题】计算题.賈=21【分析】按照反函数的定义，直接求出函数 •厂 ------------- （xER,且丄）的反函数._ 12【解答】解：尸 可得 2xy - y=x - 2,2x - 12把x , y 互换，y=- （工且:£工卡） 它就是原函数的反函数 故选A .【点评】解答本题首先熟悉反函数的概念， 然后根据反函数求解三步骤：1、换：x 、y 换位,2、解：解出y ,3、标：标出定义域，据此即可求得反函数.所以缶（托出且丙）3. （ 5 分）（2009?湖北）si na 十”是 匚二二：一-：”的（ ） A •充分而不必要条件 B •必要而不充分条件 C .充要条件D .既不充分也不必要条件【考点】二倍角的余弦.【分析】利用二倍角的余弦函数公式化简COS2aJ ，得到sin a 的值等于两个值，得到sina=_2冈是:-丄"的充分不必要条件即可.【解答】解：由- r ■-=—可得1 - 2sin 2 %丄，即sin 2 a,,sin a= ±,故siaa 二丄是si J 于」■成立的充分不必要条件，24故选A .【点评】此题考查学生掌握充分及必要条件的证明方法， 灵活意义二倍角的余弦函数公式化简求值，是一道基础题.4. （5分）（2009?湖北）从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有 2人参加，星期六、星期日各有 1人参加，则不同的选派方法 共有（）A . 40 种B . 60 种C . 100 种D . 120 种【考点】排列、组合的实际应用. 【专题】计算题.【分析】分2步进行，首先从5人中抽出两人在星期五参加活动， 再从剩下的3人中，抽取两人安排在星期六、星期日参加活动，分别计算其情况数目，由分步计数原理计算可得答案.【解答】解：根据题意，首先从 5人中抽出两人在星期五参加活动，有 C 52种情况， 再从剩下的3人中，抽取两人安排在星期六、星期日参加活动，有 A 32种情况，则由分步计数原理，可得不同的选派方法共有 C 52A 32=60种，故选B .【点评】本题考查排列、组合的综合运用，注意优先分析特殊的元素， 同时需要区分排列与 组合的意义.2 25. （5分）（2009?湖北）已知双曲线1:,［的准线经过椭圆U-U则 b=（ ）A . 3B .一二C ..「； D . . ■:【考点】椭圆的标准方程；圆锥曲线的综合.【专题】计算题.【分析】先根据双曲线的方程求得双曲线的准线方程， 根据椭圆的方程求得焦点， 代入双曲2 2三-+丫7二1 (b > 0)的焦点,4 b 2线的准线方程求得b.【解答】解：依题意可得双曲线的准线为_ - J ---，又因为椭圆焦点为—C ~~（土寸护,0）所以有（4 _ b —1 •即b 2=3故b ^3. 故选C .【点评】本题主要考查了椭圆和双曲线的简单性质， 椭圆的标准方程.考查了学生对圆锥曲线基础知识的掌握.6. （ 5 分）（2009?湖北）如图，在三棱柱 ABC - A 1B 1C 1 中，/ ACB=90 ° / ACC 1=6O ° / BCC 1=45°侧棱CC 1的长为1，则该三棱柱的高等于（）【考点】棱柱的结构特征. 【专题】计算题；作图题.【分析】过C i 作面ACB 、线BC 、AC 的垂线，交点分别为 O , D , E ,连接OD 、OC 、OE , 推出四边形OECD 为矩形，求出 OC ,然后求出该三棱柱的高.【解答】解：过C i 作面ACB 、线BC 、AC 的垂线，交点分别为 O , D , E ,连接OD 、OC 、OE , 可知OE 丄AC , OD 丄BE ，又因为/ ACB=90 °所以四边形 OECD 为矩形./ ACC 1=60° 贝U CE==CC 仁丄，同理 CD=—■2 2 2在直角三角形C【点评】本题考查棱柱的结构特征，考查作图和计算能力，是基础题.OCD 中，由勾股定理得在直角三角形 故选A .析式为y=f （x ）,当y=f （x ）为奇函数时，向量a 可以等于（）7TTTITTTA . （— —T -，- 2）B •（— -TT ， 2）C .（^-，- 2）D . （~^~ , 2）61 6 6 61【考点】函数y=Asin （ wx+ $）的图象变换；余弦函数的奇偶性.【专题】计算题.【分析】由左加右减上加下减的原则可确定函数y=cos （ 2x+丄）-2到y= - sin2x 的路线,6【解答】解：：T y=cos （2x+丄）-2 •••将函数y=cos （ 2x+H ） - 2向左平移丄个单位，再向上平移 2个单位可得到 y=cos （2x+-丄）=-sin2x •-卡（,2）6故选B .【点评】 本题是基础题，考查三角函数图象平移，三角函数的平移原则为左加右减上加下 减.注意向量的平移的方向.& （ 5分）（2009?湖北）在 家电下乡”活动中，某厂要将 100台洗衣机运往邻近的乡镇.现 有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用.每辆甲型货车运输费用 400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用 300元，可装洗衣机10台.若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为（）A . 2000 元B . 2200 元C . 2400 元D . 2800 元【考点】 简单线性规划的应用. 【专题】计算题；压轴题；数形结合.【分析】根据题中的叙述将实际问题转化为不等式中的线性规划问题， 利用线性规划确定最值【解答】解：设需使用甲型货车 x 辆，乙型货车y 辆，运输费用z 元，根据题意，f20x+10y>100得线性约束条件（OW 工忑4求线性目标函数 z=400x+300y 的最小值. 解得当［X —° 时，z min =2200 . 故选B .7. （ 5 分）（2009?湖北）函数 y=cos （）-2的图象F 按向量z 平移到F', F'的函数解进而确定向量【点评】在确定取得最大值、最小值时，应注意实际问题的意义，整数最优解.9. （5分）（2009?湖北）设x€R ,记不超过x 的最大整数为[x]，令｛x ｝=x - [x]，则'-（，:■:（是等差数列但不是等比数列 是等比数列但不是等差数列 既是等差数列又是等比数列数列. 解：根据题意可得竺二，[迤工.•岳+[ _ ] =1 2 伍+ ]・ ------- 入 =1 , -------- +2 2 2 2故选B .【点评】本题主要考查了等差关系和等比关系的判定. 定义法之外，也可利用等差中项和等比中项的性质来判断.10. （5分）（2009?湖北）古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如:6 10yi 1\y &X-\ r=+ \2x-i =10 rA .B .C .D .既不是等差数列也不是等比数列【考点】【专题】 【分析】等差关系的确定；等比关系的确定. 计算题；压轴题. 可分别求得 ',：/!-.则等比数列性质易得三者构成等比【解答】2 |，「为等比数列，不是等差数列｝•-{L6他们研究过图1中的1, 3, 6, 10,…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1，4, 9, 16…这样的数成为正方形数•下列数中既是三角形数又是正方形数的是（）A• 289 B• 1024 C• 1225 D • 1378【考点】数列的应用；归纳推理.【专题】计算题；压轴题；新定义.【分析】根据图形观察归纳猜想出两个数列的通项公式，再根据通项公式的特点排除，即可求得结果.【解答】解：由图形可得三角形数构成的数列通项空戏弓（n+1）,同理可得正方形数构成的数列通项b n=n2,则由b n=n2（n€N+）可排除D，又由片J （叶1）,* （n+1）二应与-（n+1）二1024无正整数解，故选C •【点评】考查学生观察、分析和归纳能力，并能根据归纳的结果解决分析问题，注意对数的特性的分析，属中档题.二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11.（5 分）（2009?湖北）已知（1+ax）5=1+10x+a2x2+bx3+・・+a n x n,贝V a2= 40 .【考点】二项式定理.【专题】计算题.【分析】根据题意，已知其展开式中x的系数为10,则结合（1+ax）5的展开式，写出其x项，令其等于10，可得a的值，进而可得a2的值.【解答】解：因为T r+1=C5r? （ax）r r=1 时，T2=C51?a1x=10x ,解得a=2 ；z 2 2r=3 时，C5 ?a =a2,a2=40；故答案为40.【点评】本题考查二项式定理的应用，注意在其展开式中，会根据题意要求与系数的关系、性质，代入特殊值进行计算.12.（5分）（2009?湖北）甲、乙、丙三人将参加某项测试，他们能达标的概率分别是0.8、0.6、0.5,则三人都达标的概率是0.24 ，三人中至少有一人没有达标的概率是0.76 •【考点】相互独立事件的概率乘法公式；互斥事件的概率加法公式.【专题】计算题.【分析】根据题意，设甲、乙、丙三人达标为依次为事件A、B、C,分析可得这三个事件相互独立，三人均达标，即ABC同时发生；由相互独立事件的乘法公式，计算可得第一空的答案，进而分析可得三人中至少有一人没有达标，其对立事件为三人全部达标；由互为对立事件的概率之和为1,计算可得第二空的答案.【解答】解：设甲、乙、丙三人达标为依次为事件 A 、B 、C ,三个事件相互独立，且则 P（A ）=0.8，P （ B ）=0.6，P （ C ）=0.5, 三人均达标，即 ABC 同时发生，故其概率为P l =0.8 >0.6>0.5=0.24 ,三人中至少有一人没有达标，其对立事件为三人全部达标； 由互为对立事件的概率性质，可得三人中至少有一人达标为 1 - 0.24=0.76 ;故答案为0.24; 0.76.【点评】 本题考查相互独立事件的概率的计算，注意首先认真审题，认清事件之间的关系， 出现至少或最多一类的词语时，要运用对立事件进行分析.H — ■13. （5 分）（2009?湖北）设集合 A={x|log 2x v 1} , B={x 「 . v 0}，则 A AB= {x|0 < x < 1}x+2【考点】交集及其运算；对数函数的定义域. 【专题】集合.【分析】 把集合A 中的1变为log 22，然后利用对数函数的定义域和对数函数为增函数即可 求出x 的范围即可得到集合 A ;由集合B 中的不等式得到x - 1与x+2异号，列出不等式求 出解集即可得到集合 B ,然后求出A 与B 的交集即可.【解答】解：由已知，集合 A 中的不等式log 2x <仁Iog 22，由2> 1得到对数函数为增函数 及对数函数的定义域为： x >0得到：0< x < 2;而集合B 中的不等式 一 < 0可化为工+2则 A={x|0 < x < 2} , B={x| - 2< x < 1}，所以 A QB={x|0 < x < 1}. 故答案为：{x|0 < x < 1}. 【点评】 本题考查学生会求对数函数的定义域以及灵活运用对数函数的增减性解决实际问 题，理解不等式一< 0K 一 b与不等式（x - a ） （x - b ）< 0同解，掌握交集的定义并会进行交集的运算.14. （5分）（2009?湖北）过原点O 作圆x 2+y 2 - 6x - 8y+20=0的两条切线，设切点分别为 P 、 Q ,则线段PQ 的长为 4.【考点】直线和圆的方程的应用.【专题】 压轴题；数形结合.【分析】如图：先求出圆心坐标和半径，直角三角形中使用边角关系求出 cos a,二倍角公式求出COS / PO 1Q ，三角形PO 1Q 中， 用余弦定理求出|PQ|.【解答】 解：圆 x 2+y 2- 6x - 8y+20=0 可化为 （x -3） 2+ （y - 4） 2 =5， 圆心（3，4）到原点的距离为 5.故cos 炉二'，523• •• cos / PO 1Q=2cos a- 1=—下，I刖•••|PQ|2= （ 口）2+ （ 口）2+2X c "） • |PQ|=4.1>0 Vx-l<0 或］K +2>0 ，解得-2 < x < 1,故答案为：4.汽【点评】 本题考查直角三角形中的边角关系，二倍角的余弦公式，以及用余弦定理求边长.15. （ 5分）（2009?湖北）如图是样本容量为 200的频率分布直方图.根据样本的频率分布 直方图估计，样本数落在［6 , 10］内的频数为 64 ,数据落在（2, 10）内的概率约为 0.4【考点】【专题】【分析】从直方图得出数落在［6 , 10］内的频率和数据落在（2, 10）内的频率后，再由频率 频数 数落在［6 ,10］内的频率=0.08 >4;数据落在（2, 10）内的频率=（0.02+0.08） >4;•••样本数落在［6 , 10］内的频数为 200 >0.08>4=64,频率为 0.1 >4=0.4 . 故答案为64 0.4.【点评】本题考查读频率分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力.利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题，同时考查频三、解答题（共6小题，满分75分）16.（ 12分）（2009?湖北）在锐角 △ ABC 中，角A ,B,C 的对边分别为 a, b, c ，且.「；a=2cs inA . （I ）确定角C 的大小；（n ）若c= 二且△ ABC 的面积为 ’，求a+b 的值.2 |【考点】余弦定理的应用；正弦定理. 【专题】计算题.【分析】（1）通过正弦定理把题设等式中的边转化成角的正弦，化简整理求得 sinC 的值，进而求得C .频率分布直方图. 计算题；压轴题.，计算频数即得.数据总和【解答】解：观察直方图易得 率、频数的关系：频率频数 数据总和•（2）先利用面积公式求得 ab 的值，进而利用余弦定理求得 a 2+b 2- ab ,最后联立变形求得 a+b 的值. 【解答】解：（1）由：_二 — id 一及正弦定理得：••• sinA 旳17. （12分）（2009?湖北）围建一个面积为 360m 2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧 墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为 2m的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为 45元/m ，新墙的造价为180元/m ,设利用的旧墙的长度为x （单位：米）.（1） 将修建围墙的总费用 y 表示成x 的函数；（2） 当x 为何值时，修建此矩形场地围墙的总费用最小？并求出最小总费用.1丁 p X* ta-'A r2m【考点】函数模型的选择与应用. 【专题】应用题.【分析】（1）设矩形的另一边长为 am ,则根据围建的矩形场地的面积为 360m 2,易得仝辺,x此时再根据旧墙的维修费用为45元/m ,新墙的造价为180元/m ,我们即可得到修建围墙的总费用y 表示成x 的函数的解析式；（2）根据（1）中所得函数的解析式，禾U 用基本不等式，我们易求出修建此矩形场地围墙的 总费用最小值，及相应的x 值.【解答】解：（I ）设矩形的另一边长为am ,则 y=45x+180 （x - 2） +180?2a=225x+360a - 360. 由已知ax=360,得二-一,_ 2所以1 -二 “.2(II )因为 X > 0,所以 7-：r.,| "^1--- . ■ I ：，_ 2 2所以y=225s+^-- 350>10440 ,当且仅当贮5沪竺L 时，等号成立• 即当x=24m 时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元.已 2吕inA. siriA c _ V3 _sinC由面积公式得-即ab=6①2 」 2a +b由余弦定理得ab=7 ②3 1由②变形得（a+b ） 2=25,故a+b=5.【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的运用. 对于这两个定理的基本公式和变形公式应熟练记忆，并能灵活运用.在锐角△ ABC 中,【点评】函数的实际应用题，我们要经过析题T建模T解模T还原四个过程，在建模时要注意实际情况对自变量x取值范围的限制，解模时也要实际问题实际考虑. 将实际的最大(小)化问题，利用函数模型，转化为求函数的最大(小)是最优化问题中，最常见的思路之一.17. (12分)(2009?湖北)如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，SD丄平面ABCD , SD=AD=a，点E 是SD上的点，且DE=扫(0 V入的.(1 )求证：对任意的入€ (0, 1］，都有AC丄BE;(2)若二面角C - AE - D的大小为60°求入的值.【考点】与二面角有关的立体几何综合题；空间中直线与直线之间的位置关系.【专题】计算题；证明题.【分析】(1)以D为原点，DA , DC, DS的方向分别作为x, y, z轴的正方向建立空间直角坐标系，分别求出口|l'［的坐标，计算向量的数量积，只要说明数量积与入无关即可；(2)分别求出平面ADE与平面ACE的一个法向量，利用二面角 C - AE - D的大小为60°建立两法向量的关系式，求出入的值即可.【解答】解：以D为原点，DA , DC, DS的方向分别作为x, y, z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则D (0, 0, 0), A (a, 0, 0),B (a , a , 0),C (0 , a , 0) , E (0 , 0,七),(1)证明：•••『'=(-a , a, 0),---- 耳I—・I—・BE= (—a, —a, ?a), E^= (a , 0, —2a), (0 , a, —?a).•••小’？l‘ = (—a , a , 0) ? (—a, —a, ?a)2 2=a — a +0? 2=0 ,即对任意的入€ ( 0 , 1],都有AC丄BE.(2) ■'= (0 , a , 0)为平面ADE的一个法向量.设平面ACE的一个法向量为n= (x , y , z), 则n丄E , n丄E ,•••即取z=1，得n=(人人1).｛a n ｝是一个公差大于 0的等差数列，且满足 a 3a 6=55, a 2+a 7=16(1) 求数列｛a n ｝的通项公式； (2) 数列｛a n ｝和数列｛b n ｝满足等式 和S n .【考点】 等差数列的通项公式；数列的求和.【专题】计算题.【分析】(1)设等差数列｛a n ｝的公差为d ,分别表示出a 2a 6=55, a 2+a 7=16联立方程求得d 和a 1进而根据等差数列通项公式求得a n .IbJ(2)令 C n = ，则有 a n =c 1+C 2+ --+c n , ai +1=C 1+C 2+-+c n+1 两式相减得 C n+1 等于常数 2,进而可得b n ,进而根据b 1 =2a 1求得b 1则数列｛b n ｝通项公式可得，进而根据从第二项开始按等比 数列求和公式求和再加上 b 1.【解答】解：(1)设等差数列｛a n ｝的公差为d , 则依题意可知d > 0由a 2+a 7=16, 得 2a 1+7d=16 ①由 a 3a 6=55，得(a 1+2d ) (a 1+5d ) =55②由①②联立方程求得 得 d=2 , a 1=1 或 d= - 2, a 1=(排除)a n =i+ (n - 1) ?2=2n - 1(2)令 C n = 1，则有 a n =C l +C 2+・・+c n°1k|V2 X 2+1莎兀=2,・cos60° 以及空间中直线与直线之间的位置关系，属于基18.( 12分)(2009?湖北)已知数列 (n €N *),求数列｛b n ｝的前n 项础题. 由入€ (0, 1］，解得定2na n+1=c1 +C2+ •- +c n+1两式相减得a n+1 —a n=c n+1，由(1 )得a仁1 , a n+1 —a n=2 .c n+1=2，即c n=2 ( n 逐),即当n支时，b n=2n+1，又当n=1 时，b仁2a仁22, (E)b n=于是S n=b1 +b2+b3+ —b n=2+2 +2 + ^ 2 =2 —6, n 登,_(2 n=l*★严-6 n>2【点评】本题主要考查等差数列的性质和等比数列的性质•考查了对数列问题的综合把握.19. (13分)(2009?湖北)如图，过抛物线y2=2px (p > 0)的焦点F的直线与抛物线相交于M、N两点，自M、N向准线I作垂线，垂足分别为M1、N1(1)求证：FM1 丄FN1;(2 )记厶FMM1、△FM1N1, △FNN1的面积分别为S、S2、S3,试判断S2 =4S1 S3是否成立，并证明你的结论.【考点】直线与圆锥曲线的综合问题.【专题】计算题；证明题；压轴题.【分析】(1)由抛物线的定义得|MF|=|MM 1|, |NF|=|NN 1|,所以/ MFM仁/ MM 1F, / NFN 1= / NN1F，由此可知FM1 丄FN1.(2) S22=4S1S3成立，证明如下：设M (x1, y1) , N (x2, y2),则由抛物线的定义得|MM1|=|MF|=巧弋，|NN1|=|NF|=亞遗，由此入手能够推导出S22=4S1S3成立.【解答】(1)证明：由抛物线的定义得|MF|=|MM 1|, |NF|=|NN 1|,•••/ MFM 1 = Z MM 1F, / NFN1 = Z NN1F如图，设准线I与x的交点为F1• MM 1 // NN1 // FF1•••/ F 1FM 1 = / MM 1F , / F 1FN 1= / NN 1F 而/ F I FM I + Z MFM 1 + Z F 1FN 1+ / N 1FN=180° 即 2/F 1FM 1+2/ F 1FN 1=180° • / F 1FM 1 + Z F 1FN 1=90 °故 FM 1 丄 FN 1.(2) S 22=4S 1S 3成立，证明如下： 证：设 M (X 1, y 1) , N (X 2, y 2) 则由抛物线的定义得20. (14分)(2009?湖北)已知关于x 的函数f( x )=-g x 3+bx 2+cx+bc ，其导函数为f'( x ).令 g (x ) =|f ( (x ) |,记函数g (x )在区间［-1、1］上的最大值为 M .4(I )如果函数f (x )在x=1处有极值-二，试确定b 、c 的值：(n )若|b|> 1，证明对任意的c ,都有M >2(川)若M 仝K 对任意的b 、c 恒成立，试求k 的最大值.【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值. 【专题】 综合题；压轴题；分类讨论.于是S 1==|MM 1||F 1M 1|=二 I2 2 2 S 2=jM 1N 2||FF 1|=p. S 3=-JNN 1||F 1N 1| =丄'"丄y 21，2•/ S 2 =4S 1S 3? ly 21y”2屮尹号(丈］+七)+〒］»*」，代入上式,1 2「( _2 尹L ( 口2-P I化简可得p 2 (m 2p 2+p 2) =p 2 (m 2p 2+p 2),此式恒成立.2故S 2 =4S 1S 3成立.【点评】 本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答.得:4文 2np]=[ (my 1峙)(my 2弋)埠(my [垮+»也€2+j?l|MM |=|MF|=|NN 1|=|NF|=符合条件的值.(n )(法1)代入整理g (X ) =||-( X - b ) 2+b 2+c|,结合|b > 1的条件判断函数f' (x )的 对称轴与区间［-1,1］的位置关系，从而求出该函数在［-1, 1］上的最大值M ,贝U M 并’(1), M f (- 1),可证(法2)利用反证法：假设 M v 2，由(1)可知M 应是g (- 1 )和g (1 )中较大的一个， (川)(法1) M 冰恒成立？ k^M min ，转化为求M 的最小值 当|b|> 1,结合(II )讨论|b|W 两只情况讨论，此时 M=max{g (- 1), g (1), g (b ) }，结合条件推理论证.(法2)仿照法1，利用二次函数在区间［-1, 1］的图象及性质求出 M={g (- 1) , g (1), g (b ) }，求出M 的最小值，(n )证法 1: g (x ) =|f (x ) |=|-( x - b ) 2+b 2+c|当|b|> 1时，函数y=f (x )的对称轴x=b 位于区间［-1.1］之外.• f (x )在［-1, 1］上的最值在两端点处取得 故M 应是g (- 1 )和g (1 )中较大的一个， • 2M 司(1) +g (- 1) =| - 1+2b+c|+| - 1 - 2b+c| 耳4b|>4,即卩 M > 2【解答】(I可得 f (1) 解得 解:T f (x ) =- x 2+2bx+c ，由 f (x )在 x=1 处有极值L)二 -142b+<s=0 —— -|+b+c4-bc-- -4 3，或 ［c=3 (x - 1) 2切，此时f (x )没有极值; (x+3) (x - 1) G 二- 1 若 b=1 , c=- 1，则 f (x ) = - x 2+2x -仁- 若 b= - 1, c=3，贝U f (x ) = - x 2- 2x+3=- 当x 变化时，f(x ), f (x ) x (- 8,- 3) - 3 f (x ) - 0 f (x ) \ 极小值-12/ 的变化情况如下表： (-3, + 1) (1, + m ) • ••当x=1时，f (X )有极大值b= - 1, c=3即为所求.【分析】(I )对函数求导，由题意可得，代入可求b , c ,代入验证，找出则有g (1) <2 g <-1) <2，代入课产生矛盾.证法2 (反证法)：因为|b|> 1，所以函数y=f (x)的对称轴x=b位于区间［-1, 1］之外, ••• f(x)在［-1,1］上的最值在两端点处取得.故M应是g (- 1 )和g (1)中较大的一个假设M 电，贝U M=maxg{ (- 1), g (1), g (b) }将上述两式相加得：4耳-1 - 2b+c|+|- 1+2b+c|绍|b>4，导致矛盾，• M >2(川)解法1: g (x) =|f (x) |=|-( x - b) 2+b2+c|(1 )当|b|> 1 时，由(n )可知f ( b)- f ( ±1) =b (?1) 2为；(2)当|b|W时，函数y=f ( x)的对称轴x=b位于区间［-1，1］内，此时M=max{g (- 1 )，g (1 )，g (b) }由f (1)- f (- 1) =4b，有f (b)- f ( ±1) =b (?1) 2为①若-1 住电则f (1)奇(-1)奇(b)，• g (- 1)舸ax{g (1)，g (b) }，于是(1) , lf y(b) ⑴ l+F (b) I) ⑴—F (b) |=^ (I②若0 v b 冬，则f (- 1)譚(1)譚(b)，• g (1)奇axg (- 1)，g ( b) 于是( —1) I, f (b) |}>-i(|r (-1) |+|f J (b) I) C-l)—严(b综上，对任意的b、c都有而当：- 一一一时，「. Z I :— I在区间［-1，1］上的最小值"—丄故M冰对任意的b、c恒成立的k的最大值为二.2解法2：g (x) =|f (x) |=|-(x- b) 2+b2+c|(1 )当|b|> 1时，由(n )可知M >2(2)当|b|Wy=f (x)时，函数的对称轴x=b位于区间［-1，1］内，此时M=max{g (- 1 )，g (1 )，g (b) }4M sg (- 1) +g (1) +2g ( b) =|- 1 - 2b+c|+|- 1+2b+c|+2|b2+c| 彳-1- 2b+c+ (- 1+2b+c)2 2-2 ( b +c) |=|2b +2| 呈，即下同解法1【点评】本小题主要考查函数、函数的导数和不等式等基础知识，考查综合运用数学知识进行推理论证的能力和分类类讨论的思想.。
2009年高考湖北卷数学(理科)试题及参考答案
理科数学本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
第Ⅰ卷1至2页。
第Ⅱ卷3至4页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷 注意事项：1.答题前，考生在答题卡上务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。
请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。
2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。
3．本卷共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
参考公式：如果时间A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+ 如果时间A 、B 相互独立，那么()()()P A B P A P B =如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率()()1n kk kn n P k C P P -=-球的表面积公式24S R π=，其中R 表示球的半径 球的体积公式343V R π=，其中R 表示球的半径 一、选择题⑴、设集合{}20M x x x =-<，{}2N x x =<，则 A ．M N =∅ B ．M N M = C ．M N M = D ．M N R =⑵、已知函数x y e =的图象与函数()y f x =的图象关于直线y x =对称，则 A ．()22()x f x e x R =∈ B ．()2ln 2ln (0)f x x x => C ．()22()x f x e x R =∈ D ．()2ln ln 2(0)f x x x =+> ⑶、双曲线221mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍，则m =A ．14-B ．4-C ．4D ．14⑷、如果复数2()(1)m i mi ++是实数，则实数m =A ．1B ．1-C ．2D ．2-⑸、函数()tan 4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的单调增区间为A ．,,22k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭ B ．()(),1,k k k Z ππ+∈C ．3,,44k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭D ．3,,44k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭⑹、ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 成等比数列，且2c a =，则cos B =A ．14B ．34C ．24D ．23⑺、已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是 A ．16π B ．20π C ．24π D ．32π ⑻、抛物线2y x =-上的点到直线4380x y +-=距离的最小值是A ．43B ．75C ．85D ．3⑼、设平面向量1a 、2a 、3a 的和1230a a a ++=。
2009—数三真题、标准答案及解析
.
x (1,0)
（11）幂级数 en (1)n xn 的收敛半径为
n1
n2
.
（12）设某产品的需求函数为 Q Q(P) ,其对应价格 P 的弹性 p 0.2 ，则当需求量为 10000 件时，价格
增加 1 元会使产品收益增加
元.
3 0 0
（13）设
(1,1,1)T
0
x
0
故
a
1.
排除(D).
所以本题选(A).
梅花香自苦寒来，岁月共理想，人生齐高飞！ 第 - 5 - 页 共 18 页
（3）使不等式 x sin t dt ln x 成立的 x 的范围是
1t
(A) (0,1) .
(B) (1, ) .
2
(C) ( , ) . 2
【答案】A.
示两次取球所取得的红、黑与白球的个数.
（Ⅰ）求 P X 1 Z 0 ；
（Ⅱ）求二维随机变量 ( X ,Y ) 的概率分布.
2009 年全国硕士研究生入学统一考试
数学三试题解析
一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题
梅花香自苦寒来，岁月共理想，人生齐高飞！ 第 - 4 - 页 共 18 页
0) 内可导，且 lim x0
f ' (x)
A ，则
f' (0)
存在，
且
f
'
(0)
A.
（19）（本题满分 10 分）
梅花香自苦寒来，岁月共理想，人生齐高飞！ 第 - 3 - 页 共 18 页
设 曲 线 y f (x) ， 其 中 f (x) 是 可 导 函 数 ， 且 f (x) 0 . 已 知 曲 线 y f (x) 与 直 线 y 0, x 1 及
武汉大学2008-2009学年第二学期考试试卷及答案
武汉大学2008-2009学年第二学期考试试卷《计算方法》 （A 卷） （36学时用）学院： 学号： 姓名： 得分：一、（10分）已知)(x f y =的三个值（1）求二次拉格朗日插值 L )(2x ； （2）写出余项)(2x R 。
二、（10分）给定求积公式)31()31()(11f f dx x f +-≈⎰-求出其代数精度，并问是否是Gauss 型公式。
三、（10分）若矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a a a a A 000002，说明对任意实数0≠a ，方程组b AX =都是非病态的（范数用∞⋅）。
四、（12分）已知方程0410=-+x e x 在]4.0,0[内有唯一根。
迭代格式A ：)104ln(1n n x x -=+；迭代格式B ：)4(1011n x n e x -=+ 试分析这两个迭代格式的收敛性。
五、（12分）设方程组⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛212122211211b b x x a aa a ，其中02211≠a a ， 分别写出Jacob 及Gauss-Seidel 迭代格式，并证明这两种迭代格式同时收敛或同时发散。
六、（12分）已知)(x f y =的一组值分别用复化梯形公式和复化辛卜生公式计算 ⎰2.20.1)(dx x f七、（12分）2009年5月左右，北美爆发甲型H1N1流感，美国疾病控制和预防中心发布的美国感染者人数见下表。
为使计算简单，分别用x =-1，0，1，2代表2009年5月2，3，4，5日。
根据上面数据，求一条形如bx ax y +=2的最小二乘拟合曲线。
八、（12分）用改进欧拉方法（也称预估-校正法）求解方程：⎩⎨⎧=+='1)0(2y y x y ]1,0[∈x 。
（取步长5.0=h ）九、（10分）对于给定的常数c ，为进行开方运算，需要求方程02=-c x 的根。
（1）写出解此方程的牛顿迭代格式；（2）证明对任意初值c x >0, 牛顿迭代序列}{n x 单调减且收敛于c .。