北京市东城区2018届高三第二次(4月)模拟数学理试题Word版含答案

北京市东城区2018届高三第二次（4月）模拟数学理试题本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合{1,2,3,4,5},{0,2,4},M N P MN===，则P 的子集共有（A ）2个（B ）4个 （C ）6个（D ）8个（2）若,x y 满足0,1,0.x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩则2z x y=+的最大值为（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）23（3）执行如图所示的程序框图，若输入A 的值为2，则输出的n 值为 （A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6（4）在61()2x x-的展开式中，4x 的系数为（A ）3- （B ）12-（C ）3（D ）6 （5）设函数2()s in f x a x x=+，若(1)2f = ，则(1)f -=（A ）2 （B ）-2 （C ）1（D ）0（6）多面体M N A B C D -的底面A B C D 为矩形，其正（主）视图和侧（左）视图如图，其中正（主）视图为等腰梯形，侧（左）视图为等腰三角形，则A M 的长为（A（B（C（D）（7）已知等差数列{}n a 满足*n a N ∈，且前10项和10290S =，则9a 的最大值为（A ）29（B ）49 （C ）50（D ）58（8）为促进资源节约型和环境友好型社会建设，引导居民合理用电、节约用电，北京居民北京市某户居民2016年1月的平均电费为0.4983（元/千瓦时），则该用户1月份的 用电量为 （A ）350千瓦时 （B ）300千瓦时 （C ）250千瓦时 （D ）200千瓦时二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

（9）定积分121x d x -⎰的值为___.（10）已知P A 是圆O 的切线，切点为A ，2P A =，A C 是圆O 的直径，P C 交圆O 于点圆B ，∠30P A B =°，则圆O 的半径为___.（11）已知:,:13p x m q x <≤≤，若p是q 的必要而不充分条件，则实数m 的取值范围是___.（12）抛物线28yx =的准线l 的方程为____，若直线l 过双曲线22221(0,0)x y a b ab-=>>的一个焦点, 且双曲线的离心率为2, 则该双曲线的方程为___.（13）直线yk x=与函数tan ()22yx x ππ=-<<的图象交于,MN(不与坐标原点O 重合) 两点，点A 的坐标为(,0)2π-，则()A MA N A O +⋅=___.（14取值范围是___；②若关于x 的方程(())0f f x =有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是___.三、解答题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

（15）（本小题13分）如图，在△A B C 中，点D 在BC 边上，3,co s 45C A DC π∠=∠=．（Ⅰ）求sin A D B ∠的值；（Ⅱ）若25B D D C ==，求△A B D 的面积．（16）（本小题13分）随着2022年北京冬奥会的成功申办，冰雪项目已经成为北京市民冬季休闲娱乐的重要方式．为普及冰雪运动，寒假期间学校组织高一年级学生参加冬令营．其中一班有3名男生和1名女生参加，二班有2名男生和2名女生参加．活动结束时，要从参加冬令营的学生中选出部分学生进行展示． （Ⅰ）若要从参加冬令营的这8名学生中任选4名，求选出的4名学生中有女生的概率； （Ⅱ）若要从一班和二班参加冬令营的学生中各任选2名，设随机变量X 表示选出的女生 人数，求X 的分布列和数学期望．（17）（本小题14分）如图，已知直角梯形A C E F 与等腰梯形A B C D 所在的平面互相垂直，E F A C ∥，12E F A C =，E C A C ⊥，112A D D C CBC E A B =====．（Ⅰ）证明：B C A E ⊥；（Ⅱ）求二面角D B E F --的余弦值；（Ⅲ）判断直线D F 与平面B C E 的位置关系，并说明理由．FEDC BAADBC（18）（本小题13分）已知函数2()(0)xa e f x a x=≠.（Ⅰ）当1a=时，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）设2()()ln g x f x x x=--，若()g x 在区间(0,2)上有两个极值点，求实数a 的取值范围.（19）（本小题14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b ab+=>>过点(0,1). 过椭圆左焦点F 的直线交椭圆C 于A ，B 两点，O 为坐标原点. （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若直线AB 垂直于x 轴，判断点O 与以线段AB 为直径的圆的位置关系，并说明理由； （Ⅲ）若点O 在以线段AB 为直径的圆内，求直线AB 的斜率k 的取值范围.（20）（本小题13分）已知函数2()(1)1xf x x x=≠-，数列{}n a 满足1(1)a m m =≠，1()n n a f a +=．（Ⅰ）当1m =-时，写出数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）是否存在实数m ，使得数列{}n a 是等比数列？若存在，求出所有符合要求的m 的值；若不存在，请说明理由； （Ⅲ）当102m <<时，求证：111()2ni i i a a m+=+<∏.（其中∏是求乘积符号，如5112345i i ==⨯⨯⨯⨯∏，121ni n i a a a a ==⨯⨯⨯∏）北京市东城区2018届高三第二次（4月）模拟数学理试题答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案BDCADCCB二、填空题：每小题5分，共30分．（第一空3分，第二空2分） 9.233m >12.222,13yx x =--= 13.22π14. [1,0),(1,0)(0,)--+∞三、解答题：本大题共6小题,共80分． 15（共13分） 解：（Ⅰ）因为3c o s 5C ∠=，C 是三角形内角所以4sin 5C ∠==．………2分又因为4C A Dπ∠=，所以4A D BC π∠=∠+．sin sin ()sin co sco s sin444A DBC C C πππ∠=∠+=∠⋅+∠⋅…………………5分43525210=⋅=…………………7分（Ⅱ）在ACD ∆中，由sin sinD C A D C A DC=行， …………………9分得54s in s in 2D C C A D C A D⋅⋅∠===∠． …………………11分所以11s in 572210A B D S A D B D A D B ∆=⋅⋅∠=⋅⋅= ……………13分16（共13分）（Ⅰ）从参加冬令营的8名学生中任选4名，有女生的概率为 454841318764144321C 1C -=-=⨯⨯⨯⨯⨯⨯…………………3分（Ⅱ）随机变量X 的可能取值为0,1,2,3， …………………4分ADBC2232224431(0)3612C C P X C C ====1122113123222244155(1)3612C C C C C C P XC C +====11122322322244155(2)3612C C C C C P X C C +====112312224431(3)3612C C C P XC C ====…………………………………8分所以 X 的分布列为X0 1 2 3P112512512112…………………………………10分15513123121212122E X 0=⨯+⨯+⨯+⨯=…………………13分17（共14分）（Ⅰ）取A B 中点G ，连结C G ， 由已知可得A D C G 是平行四边形，所以12C GA D A B==， 所以 A CB C^…………………1分又 平面A C E F⊥平面A B C D ，平面A C E F 平面A B C DA C=所以 B C ⊥平面A C E F ， …………………3分 又 A EÌ平面A C E F ，所以 B C A E ^ …………………4分（Ⅱ）因为 平面A C E F⊥平面A B C D ，平面A C E F 平面A B C DA C=E C A C ⊥所以 E C^平面A B C D ，由（Ⅰ）知A CB C^如图，以C 为坐标原点，以,,C A C B C E 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系， …………………5分1(0,0,0),(0,1,0),(0,0,1),0,1),,0)222C B E F D -y333(0,0),(0,1,1),,0)222E F B E B D ==-=-设平面BC E 的法向量为(,,)nxy z =，则00n E F n B E ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即 020x y z ⎧=⎪⎨⎪-+=⎩所以(0,1,1)n= …………………7分设平面BD E 的法向量为(,,)mx y z=，则00m B D m B E ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即30220x y y z -=⎨⎪-+=⎩所以m=…………………9分c o s ,52m n m nm n×<>===…………………11分所以 二面角D B E F --5（Ⅲ）直线D F 与平面B C E 平行． …………………12分平面B C E 的法向量为(1,0,0)t=，1(0,,1)2D F =因为0t D F ⋅= 所以t D F ⊥ 所以 D F 平面B C E………………………………14分18（共13分）解：（Ⅰ）当1a=时，2()x e f x x=24432(2)(2)'()(0)x xxxx e x ee x x e xf x x xxx---===≠…………2分令'()0f x = 得2x =,(),()x f x f 'x 变化情况 x(,0)-?(0,2)2 (2,)+? ()f 'x+ - + ()f x增减增所以 函数()f x 增区间为(,0)-∞，(2,)+∞，减区间为(0,2)………………………………5分（Ⅱ）方法一：22()ln xa e g x x xx=--323221()(2)'()x xxa x e a ea e x x g x xxxx---=+-=………7分 当(0,2)x ∈时， 320,0x x -<>若()g x 在(0,2)上有两个极值点，'()g x 在(0,2)上至少有两零点， 即方程0xa e x -=在(0,2)上至少有两个不等实根，即方程x x a e=在(0,2)上至少有两个不等实根设()((0,2))xx F x x e=∈，21'()x xxxe x e x F x ee--==………8分解'()0F x =的1x =()F x 在(0,1)上单增，在(1,2)上单减所以 ()F x 在(0,2)上的最大值为1(1)F e=又22(0)0,(2)F F e==………………………………10分所以 要使方程xx a e=有两个不等实根，a 的取值范围为221(,)ee…………………………………11分设()xh x a e x =-， 解'()10xh x a e =-=得1ln x a=当221(,)a ee∈时，1ln (0,2)x a=∈且()h x 在1(0,ln )a单调递减；在1(ln2)a，单调递增．设1212,()x x x x <为方程0xa e x -=的两个不等实根，则在1(0,)x 上()0h x >，在12(,)x x 上()0h x <，在2(,2)x 上()0h x > 所以在1(0,)x 上()0g x <，在12(,)x x 上()0g x >，在2(,2)x 上()0g x < 即12,x x 为()g x 的两个极值点综上所述， ()g x 在(0,2)内存在两个极值点时，a 的取值范围为221(,)e e.………………………………………13分方法二： （Ⅱ）22()ln xa e g x xxx=--，323221()(2)'()x xxa x e a ea e x x g x xxxx---=+-=因为()g x 在(0,2)上有两个极值点，所以'()g x 在(0,2)上至少有两零点，所以方程0xa e x -=，即方程1xx e a=在(0,2)上至少有两个不等实根，所以直线1y x a=与曲线()xh x e =在(0,2)上有两个不同的交点因为2(2)h e =，所以过点2(2,)P e 和(0,0)O 的直线的斜率212ek =设过点(0,0)O 的直线l 与曲线()xh x e =相切于点00(,)x x e因为'()xh x e =，所以直线l 的斜率00x k e = 所以直线l 的方程为00()x x y eex x -=-因为直线l 过点(0,0)O ，所以01x =，所以0k e =因为直线1y x a =与曲线()xh x e =在(0,2)上有两个不同的交点所以212ee a<<，即221a ee <<设1212,()x x x x <为直线1y x a=与曲线()xh x e =在(0,2)上两个交点的横坐标，显然在1(0,)x 上10xe x a->，在12(,)x x 上10xe x a-<，在2(,2)x 上10xe x a->所以在1(0,)x 上()0g x <，在12(,)x x 上()0g x >，在2(,2)x 上()0g x < 即12,x x 为()g x 的两个极值点所以当()g x 在(0,2)内有两个极值点时，a 的取值范围为221(,)ee.方法三：22()ln xa e g x x xx=--323221()(2)'()xxxa x e a ea e x x g x xxxx---=+-=当0a <时，在区间(0,2)上，30,20,0xa e x x x -<-<>所以'()0g x >从而()g x 在区间(0,2)上是增函数，故()g x 在区间(0,2)上无极值点； 当0a >时，设()xh x a e x =-，(0,2)x ∈若()g x 在(0,2)上有两个极值点，'()g x 在(0,2)上至少有两零点，即()h x 在(0,2)上至少有两零点'()1xh x a e =-令'()0h x =得1ln x a =当1lna <即1a >时，(0,2)x ∈，'()10xh x a e =->，所以()h x 在(0,2)x ∈单调递增， ()(0)0h x h a >=> 故()g x 在(0,2)内不存在两个极值点． 当1ln2a>即210a e<<时，(0,2)x ∈，'()10xh x a e =-<，所以()h x 在(0,2)x ∈单调递减， 2(0)0,(2)2120h a h a e =>=-<-< 所以 ()h x 在(0,2)上只有一个零点0x0(0,)x x ∈，'()0g x <，0(,2)x x ∈，'()0g x >所以0(0,)x x ∈，()g x 单调增，0(,2)x x ∈，()g x 单调减所以()g x 在(0,2)上只有一个极值点（()g x 在(0,2)内不存在两个极值点）当10ln2a<<即211a e<<时，1(0,ln)x a∈时，'()0h x <，1(ln2)x a∈，，'()0h x >所以 1(0,ln)x a∈时，函数()h x 单调递减；1(ln2)x a∈，，函数()h x 单调递增．所以函数()h x 的最小值为1ln11(ln)lnah a e aa=-．函数()g x 在(0,2)内存在两个极值点当且仅当(0)01(ln )0(2)0h h a h >⎧⎪⎪<⎨⎪>⎪⎩解得221a ee<<.综上所述，函数()g x 在(0,2)内存在两个极值点时，a 的取值范围为221(,)ee.19（共14分）解：2a =，即a =又因为椭圆过点(0,1)，所以1b = 由222a b c =+，得1a c ==所以椭圆的标准方程为：2212xy+= …………………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）得(1,0)F -，当直线AB 垂直于x 轴时，直线AB 的方程是1x =-由22112x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2y =±所以2A B y ==1O F c ==因为2A B O F <所以点O 在以线段AB 为直径的圆外 …………………8分方法二：点,A B的坐标为(1,),(1,22---11co s ((1,102222O A O B O A O B A O B ⋅=∠=-⋅--=-=>所以 cos 0A OB ∠>，即A O B ∠为锐角.所以点O 在以线段AB 为直径的圆外（Ⅲ）设直线AB 的方程为(1)y k x =+，11(,)A x y ，22(,)B x y ，由22(1)12y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(21)4220k x k x k +++-=所以22121222422,2121k k x x x x kk-+=-=++方法一：因为点O 在以线段AB 为直径的圆内，所以A O B ∠为钝角，所以0O A O B ⋅< 121212122221212224222(1)(1)(1)()2(1)(1)402121O A O B x x y y x x k x k x k x x k x x k kk k k kk⋅=+=+++=++++-+-=++<++整理得 22k < 所以k -<<…………………………………………………14分方法二：线段A B 的中点00(,)M x y ，则212022221x x k xk+==-+，20222(1)2121k k y k kk=-+=++A B==22121kk+==+O M ==因为点O 在以线段AB 为直径的圆内，所以2A B O M>所以224A BO M >所以22228(1)(21)k k ++42224(4)(21)k k k+>+422320kk--<202k ≤<所以k -<<20（共13分）解：（Ⅰ）11a m ==-， 2111()112a f a ===+2321()12()1212a f a ===-所以 数列{}n a 的通项公式为1,11,22nn a n -=⎧⎪=⎨≥⎪⎩…………………3分（Ⅱ）由已知 1a m =，21()1nn n na a f a a +==-所以221ma m=-，22321a a a =-，假设存在实数m ，使数列{}n a 为等比数列，则必有2213a a a =，且0,1n n a a ≠≠所以2222121a a a a =-，即211a a -=，211mmm-=-解得 12m =因为当12m =时，112a =，11()2n n a f a +==，数列{}n a 为等比数列，所以存在12m =，使得数列{}n a 是等比数列 …………………6分（注：只写出当12m =时，数列{}n a 是等比数列，没有说明理由，只给1分）（Ⅲ）因为1a m=，102m <<，21()1nn n na a f a a +==-所以0n a ≠且211n n n n a a a a ++-=，即()2111n n n n n n n a a a a a a a +++=+=+所以11n n n na a a a +++=…………………8分所以311124111231()nn n n i i i na a a a a a a a a a a a a m++++=+=⋅⋅==∏ …………………9分设221921244y x x x ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭当102x <<时，0y <，所以2021x x <<-即当102x <<时，21012xx<<-…………………11分所以当102m <<时，1102n a +<<…………………12分1111()2nn i i i a a a mm++=+=<∏……………………………………13分。