量子力学：薛定谔方程

2
•由归一化条件
Ω
w(t,x,y,z)dxdydz
1
Ω 2
C Ψ(t,x,y,z) dxdydz 1
2 Ω
( 全空间)
C 得：
Ψ(t,x,y,z) dxdydz
ω(t,x,y,z)
Ψ(t,x,y,z)
2 Ω
2
物质波的概率密度：
Ψ(t,x,y,z) dxdydz
引入归一波函数 Φ(t,x,y,z) 令： Φ(t,x,y,z) CΨ(t,x,y,z)
2m
描述粒子运动的波函数和粒子所处条件的关系 首先由薛定谔得出，称为薛定谔方程。
一．动量为P．能量为E的自由粒子的薛定谔方程的建立 一维自由粒子物质波的波函数
( t , x ) 0e
求导
i ( Et p x x )
( x ,t ) － i E( x ,t ); t
3. 状态叠加原理
若体系具有一系列的可能状态
则
1，2，
＝C11＋C22＋
也是可能的状态
4. 波函数满足的条件 （1）自然条件：单值、有限和连续 （2） 归一化条件

2 r ,t dV 1
( 全空间)
在汤姆逊电子衍射实验中，衍射图象上亮条纹处出 现的电子数目多。 亮条纹处，即波强度大的地方，电子出现的概率就大； 暗条纹处，即波强度小的地方，电子出现的概率就小。
设归一化因子为C，则归一化的波函数为
(x)= C exp(-2x2/2)
Biblioteka Baidu
( x ) dx 1
2
计算积分得 Ｃ２＝／１／２
Ｃ＝（／１／２）１／２ｅｉ
取 ＝0，则归一化的波函数为
(x)=（／１／２）１／２ exp(-2x2/2)
§20.2
薛定谔方程
有了波，就应该有一个描述波的方程，德拜说。 方程应有下面的性质： 1、方程应是线性的。即 1 与 2 是方程的解，那么 c11 c2 2 是方程的解，其中 c1 , c 2 是复数 2 p 2、能量—动量关系一致。与 E 2 E02 p 2 c 2或 E U 没有矛盾 p2 p2 U con. con. 或 E 3、能量守恒。自由粒 E 2m 2m 子 4、可以描述平面波。 5、一定条件下，与波动方程一致。 6、粒子数守恒。 7、应含有 h
2 2 ( x ,t ) p x ( x ,t ) 2 2 x
ˆu v 算符：作用于一个函数上得出另外一个函数的符号。 F
dx d 如: dt v, dt 就是算符 ˆ 作用于一个函数 等于 乘一个常数 ， 如果算符 F ˆ 即F 为本征函数， 为本征值， 则：
2 2 i 2 t 2 m x
一维自由粒子的薛定谔方程 三维自由粒子的薛定谔方程：
2 2 i t 2m
2 2 2 2 2 2 2 式中： x y z
称为拉普拉斯算符
二．薛定谔一般方程 当粒子处在势场中时，粒子的能量
两缝同时打开
依次打开一个缝
b .双缝依次打开 上缝打开， p1 ; 1 1 2＝P1 2 2＝P2 c.同时打开 下缝打开
p2 ; 2
p12 p1 p 2 1 2
2
2
22 1 2
2
p22 1 2
p22 p12 多了一个干涉项
概率振幅 概率密度
2. 用电子双缝衍射实验说明概率波的含义
两缝同时打开
依次打开一个缝
a.双缝同时打开
(1)入射强电子流 (2)入射弱电子流 概率波的干涉结果
电子确是粒子，但电子 的去向是完全不确定的， 一个电子到达何处完全 是概率事件 这种概率在一定条件下 （经双缝）有确定的规律 在波强强度较强的地方， 单个事件发生的概率大； 在波强强度较弱的地方单 个事件发生的概率小
则 (t,x,y,z) C Ψ(t,x,y,z) Φ(t,x,y,z)
2 2
(t,x,y,z) Φ(t,x,y,z)
2
此式表示物质波的波函数的物理意义：
即：波函数(归一化的)模的平方（即波强度）表 示物质波的概率密度。
例：将波函数 归一化
f x exp 2 x 2 2
方程为本征方程 ˆ 表示力学量 F 量子力学中用算符表示力学量。如果用 F
ˆ 的本征态 时，力学量 F 有确定值，这 当体系处于 F ˆ 在 态的本征值。 个值是 F
上面式中得：
px
2
2 2 2 E i t x
可得自由粒子 的薛定谔方程
2 px E＝ 由 2m 2 px 2 2 i E 2 t 2m 2m x
p2 E U( t , x, y,z ) 2m
与上同样推导：
2 i U t 2m
即为一个沿X轴正向运动的．具有确定动量 P 和能量 E 的自由粒子的波函数。 三维空间运动的微观粒子，用 ( t , x , y , z ) 表示 其波函数。 经典物理中的机械波函数表示振移，而波强度表示 波的能流密度的时间平均值。对电磁波来说，波函 数表示或是电场强度或是磁场强度，而波的强度就 是坡印亭失量，这些都是可测量的量。
电子作为一个整体，只能在某处出现，决不会一半出现 在某处，而另一半出现在另外，这就是它的粒子性的表现。 但是，电子在某处出现的概率，却由波的强度来决定，这 就是它的波动性的表现。
实物粒子也具有波粒二象性
电子在空间某处出现的概率正比于物质波的强度
即微观粒子的物质波是概率波。
则物质波的概率密度为：
(t,x,y,z) C Ψ(t,x,y,z)
微观粒子的波函数表示什么？
二.波函数和概率波
德布罗意波的物理意义是什么？ 1.玻恩假定（1926）
爱因斯坦：关于电磁波和光子的关系，提出电磁波振幅的平方 决定了在各处的单位体积内一个光子存在的概率
(r , t ) 玻恩：物质波是概率 2 * 波 ( r , t ) ( r , t )( r , t )