2018版高中数学人教版A版必修五学案：§2.1 数列的概念与简单表示法(二)

[学习目标]　1.理解数列的几种表示方法，能用函数的观点研究数列.2.理解递推公式的含义，能根据递推公式求出数列的前几项．知识点一　数列的函数性质1．数列可以看成以正整数集N *(或它的有限子集{1，2，…，n })为定义域的函数a n ＝f (n )，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．2．在数列{a n }中，若a n ＋1>a n ，则{a n }是递增数列；若a n ＋1<a n ，则{a n }为递减数列；若a n ＋1＝a n ，则{a n }为常数列．思考1　从定义上看，数列是特殊的函数，因此，表示数列除可以用通项公式外，还可以有哪些方法？答案　还可以用列表法，图象法．思考2　数列单调性与函数单调性的区别和联系是什么？答案　联系：若函数f (x )在[1，＋∞)上单调，则数列f (n )也单调．反之不正确，例如f (x )＝(x －)2，数列f (n )单调递增，但函数f (x )在(1，＋∞)上不是单调递增．54区别：二者定义不同，函数单调性的定义：函数f (x )的定义域为D ，设D ⊇I ，对任意x 1，x 2∈I ，当x 1<x 2时，若f (x 1)>f (x 2)，则f (x )在I 上单调递减，若f (x 1)<f (x 2)，则f (x )在I 上单调递增，定义中的x 1，x 2不能用有限个数值来代替．数列单调性的定义：只需比较相邻的a n 与a n ＋1的大小来确定单调性．知识点二　数列的表示方法1．数列的递推公式：如果数列{a n }的第1项或前几项已知，并且数列{a n }的任一项a n 与它的前一项a n －1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的递推公式．2．数列的表示方法：数列的表示方法有通项公式法、图象法、列表法、递推公式法．思考1　已知数列{a n }满足a 1＝3，a n ＋1＝2a n ＋1，则数列的第5项a 5＝________，由此归纳出{a n }的一个通项公式为________，可以求得a 8＝________．答案　∵a 1＝3，∴a 2＝2a 1＋1＝7，a 3＝2a 2＋1＝15，a 4＝2a 3＋1＝31，a 5＝2a 4＋1＝63，∴a 5＝63.可以看出a n ＝2n ＋1－1，∴a 8＝29－1＝511.思考2　由思考1，体会一下数列的通项公式与递推公式有什么区别？答案　通项公式直接反映了a n 与n 之间的关系，即知道n 值，即可代入通项公式求得该项的值a n ；递推关系则是间接反映数列的式子，它是数列任意两个(或多个)相邻项之间的推导关系，要求a n ，须将前面的各项依次求出才行．题型一　数列的函数特征例1　已知数列{a n }的通项公式为a n ＝(n ∈N *)，写出其前5项，并判断数列{a n }的单nn 2＋9调性．解　当n ＝1，2，3，4，5时，a n 依次为，，，，，11021316425534a n ＋1－a n ＝－＝.n ＋1（n ＋1）2＋9nn 2＋9－n 2－n ＋9[（n ＋1）2＋9][n 2＋9]∵函数f (x )＝－x 2－x ＋9＝－(x ＋)2＋在[1，＋∞)上单调递减，12374又f (1)＝7>0，f (2)＝3>0，f (3)<0，∴当n ＝1，2时，a n ＋1>a n ，当n ≥3，n ∈N *时，a n ＋1<a n ，即a 1<a 2<a 3>a 4>a 5>….∴数列{a n }的前3项是递增的，从第3项往后是递减的．反思与感悟　判断数列的增减性，一般是将其转化为比较相邻两项的大小，常用的方法有作差法、作商法，作差法判断数列增减性的步骤为：①作差；②变形；③定号；④结论．作商法适用于各项都是同号的数列，且应比较比值与1的大小关系．跟踪训练1　求例题中的数列{a n }的最大项．解　∵a 1<a 2<a 3>a 4>a 5>…，∴数列{a n }的最大项为a 3＝.16题型二　递推公式的简单应用例2　(1)已知数列{a n }满足a n a n －1＝a n －1＋(－1)n 且a 1＝1，则等于( )a 5a 3A. B. C. D.16154381583(2)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝.通过它的前5项，归纳得出数列的一个通项公式2anan ＋2是________．答案　(1)B (2)a n ＝(n ∈N *)2n ＋1解析　(1)由a 1＝1知a 2a 1＝a 1＋(－1)2，得a 2＝2；由a 3a 2＝a 2＋(－1)3，得a 3＝；12同理得a 4＝3，a 5＝，故＝＝，选B.23a 5a 3231243(2)a 1＝1＝，a 2＝＝，a 3＝＝＝，222×11＋2232×2323＋21224a 4＝＝，a 5＝＝＝.2×1212＋2252×2525＋21326故数列的一个通项公式为a n ＝(n ∈N *)．2n ＋1反思与感悟　(1)递推公式是表示数列的一种方法，其作用与数列的通项公式类似．可以根据递推公式依次求得数列中的项．(2)利用递推公式求得数列的前几项，可以帮助我们猜想数列的通项公式．跟踪训练2　数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＋2a n a n ＋1－a n ＝0.(1)写出数列的前5项；(2)由(1)写出数列{a n }的一个通项公式．解　(1)由已知可得a 1＝1＝，a 2＝，a 3＝，a 4＝，a 5＝.1113151719(2)由(1)可得数列的每一项的分子均为1，分母分别为1，3，5，7，9，…，所以它的一个通项公式为a n ＝.12n －1题型三　由递推公式求通项公式例3　(1)已知数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln(1＋)，求a n .1n (2)已知数列{a n }中，a 1＝1，且a n ＋1＝2a n (n ∈N *)，写出前3项，猜想a n 并加以证明．解　(1)由题意得a n ＋1－a n ＝ln ，n ＋1n ∴a n －a n －1＝ln (n ≥2)，nn －1a n －1－a n －2＝ln ，n －1n －2……，a 2－a 1＝ln .21∴当n ≥2时，a n －a 1＝ln(··…·)＝ln n ，n n －1n －1n －221∴a n ＝2＋ln n (n ≥2)．当n ＝1时，a 1＝2＋ln 1＝2，符合上式，∴a n ＝2＋ln n (n ∈N *)．(2)a 1＝1＝20，a 2＝2a 1＝21，a 3＝2a 2＝22，猜想a n ＝2n －1(n ∈N *)．证明如下：由题意得，a n ＝2a n －1(n ≥2)，∵a 1＝1≠0，∴a n ≠0，∴＝2，＝2，…，＝2，anan －1an －1an －2a 2a 1∴··…·＝2n －1(n ≥2)，anan －1an －1an －2a 2a 1∴＝2n －1，∴a n ＝2n －1(n ≥2)．ana 1当n ＝1时，a 1＝21－1＝20＝1，符合上式，∴a n ＝2n －1(n ∈N *)．反思与感悟　(1)由递推公式写出通项公式的步骤①先根据递推公式写出数列的前几项(至少是前3项)．②根据写出的前几项，观察归纳其特点，并把每一项统一形式；③写出一个通项公式并证明．(2)用“累加法”求数列的通项公式当a n －a n －1＝f (n )(n ≥2)满足一定条件时，常用a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1累加来求通项a n .(3)用“累乘法”求数列的通项公式当＝g (n )(n ≥2)满足一定条件时，常用a n ＝··…··a 1累乘来求通项a n .an an －1an an －1an －1an －2a 2a 1跟踪训练3　已知数列{a n }中，a 1＝1，＝，则数列{a n }的通项公式是( )an ＋1an 12A ．a n ＝2n B ．a n ＝12nC ．a n ＝D ．a n ＝12n －112n答案　C解析　∵＝，an ＋1an 12∴当n ≥2时，＝，anan －112∴＝，＝，…，＝，an －1an －212an －2an －312a 2a 112∴···…·＝()n －1，anan －1an －1an －2an －2an －3a 2a 112∴a n ＝a 1()n －1＝()n －1(n ≥2)．1212当n ＝1时，a 1＝()1－1＝()0＝1，符合上式，1212∴a n ＝()n －1.12例4　求数列{－2n 2＋29n ＋3}中的最大项．错解　由已知，得a n ＝－2n 2＋29n ＋3＝－2(n －)2＋108，29418∴数列{－2n 2＋29n ＋3}中的最大项为108.18正解　由已知，得a n ＝－2n 2＋29n ＋3＝－2(n －)2＋108.29418由于n ∈N *，故当n 取距离最近的正整数7时，a n 取得最大值108，294∴数列{－2n 2＋29n ＋3}中的最大项为a 7＝108.1．下列四个命题：①如果已知一个数列的递推公式及其首项，那么可以写出这个数列的任何一项；②数列，，，，…的通项公式是a n ＝；23344556n n ＋1③数列的图象是一群孤立的点；④数列1，－1，1，－1，…与数列－1，1，－1，1，…是同一数列．其中真命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案　A解析　只有③正确．①中，如已知a n ＋2＝a n ＋1＋a n ，a 1＝1，无法写出除首项外的其他项．②中a n ＝，④中－1和1排列的顺序不同，即二n ＋1n ＋2者不是同一数列．2．数列2，4，6，8，10，…的递推公式是( )A ．a n ＝a n －1＋2(n ≥2)B ．a n ＝2a n －1(n ≥2)C ．a 1＝2，a n ＝a n －1＋2(n ≥2)D ．a 1＝2，a n ＝2a n －1(n ≥2)答案　C解析　A ，B 中没有说明某一项，无法递推，D 中a 1＝2，a 2＝4，a 3＝8，不合题意．3．数列{x n }中，若x 1＝1，x n ＋1＝－1，则x 2 017等于( )1xn ＋1A ．－1 B ．－12C. D ．112答案　D解析　∵x 1＝1，∴x 2＝－，∴x 3＝1，12∴数列{x n }的周期为2，∴x 2 017＝x 1＝1.4．数列{a n }中，a n ＝，则该数列前100项中的最大项与最小项分别是( )n － 2 011n －2 012A ．a 1，a 50 B ．a 1，a 44C ．a 45，a 44D ．a 45，a 50答案　C解析　a n ＝＝1＋.n －2 011n －2 012 2 012－2 011n －2 012∴当n ∈[1，44]且n ∈N *时，{a n }单调递减，当n ∈[45，＋∞)且n ∈N *时，{a n }单调递减，结合函数f (x )＝的图象，2 012－2 011x －2 012可知(a n )max ＝a 45，(a n )min ＝a 44.5．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n －a n －1＝2(n ≥2)，则数列的通项a n 等于( )A ．2n ＋1B ．2nC ．2n －1D ．2(n －1)答案　C解析　当n ≥2时，∵a n －a n －1＝2，∴(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 3－a 2)＋(a 2－a 1)＝2＋2＋…＋2＝2(n －1)， (n 1)个∴a n ＝2n －1.当n ＝1时，a n ＝1适合上式，∴a n ＝2n －1(n ∈N *)．6．已知数列{a n }，对于任意的p ，q ∈N *，都有a p ＋a q ＝a p ＋q ，若a 1＝，则19a 36＝________．答案　4解析　由已知得a 1＋a 1＝a 1＋1＝a 2，∴a 2＝，29同理a 4＝，a 8＝，4989∴a 9＝a 8＋1＝a 8＋a 1＝＋＝1，8919∴a 36＝2a 18＝4a 9＝4.1.{a n }与a n 是不同的两种表示，{a n }表示数列a 1，a 2，…，a n ，…，是数列的一种简记形式．而a n 只表示数列{a n }的第n 项，a n 与{a n }是“个体”与“整体”的从属关系．2．数列的表示方法：①图象法；②列表法；③通项公式法；④递推公式法．3．通项公式和递推公式的区别：通项公式直接反映a n和n之间的关系，即a n是n的函数，知道任意一个具体的n值，就可以求出该项的值a n；而递推公式则是间接反映数列的式子，它是数列任意两个(或多个)相邻项之间的推导关系，不能由n直接得出a n.。