2018届高三第一次模拟考试数学(理)试题含答案

2018届高三第一次模拟考试（理科）试题使用时间:9月9日一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合}2,1,0,1{-=A ，}032{2<-+=x x x B ，则=B AA ．}1{-B ．}0,1{-C ．}1,0,1{-D ．}0,1,2{--2.已知R y x ∈,，i 为虚数单位，若i y xi 3)2(1--=+，则=+yi x A ．2 B ．5 C ．3 D ．103.在等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，若34825a a a ++=，则9S = A ．60 B ．75 C.90 D ．1054．在区间[]0,π上随机地取两个数x 、y ,则事件“sin y x ≤”发生的概率为 A.1π B.2π C.21π D.22π5.某几何体的三视图如图所示，则其表面积为 A.83 B.43C.248+D.246+ 6.下列判断错误．．的是 A ．“22bm am<”是“b a <”的充分不必要条件B ．命题“01,23≤--∈∀x x R x ”的否定是“01,23>--∈∃x x R x ”C ．若q p ,均为假命题,则q p Λ为假命题D ．命题：若12=x ，则1=x 或1-=x 的逆否命题为：若1≠x 或1-≠x ，则12≠x7.设点),(y x P 在不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤-≥03,02,0y x y x x 表示的平面区域上，则22)1(y x z +-=的最小值为A ．1B ．55 C. 2 D ．552 8.若将函数x x f 2cos 21)(=的图像向左平移6π个单位长度，则平移后图像的一个对称中心可以为22俯视图侧视图A ．)0,12(π B ．)0,6(π C ．)0,3(π D ．)0,2(π9. 见右侧程序框图，若输入110011a =，则输出结果是 A.51 B.49 C.47 D.4510.供食用，有5 食都至少有一名同学选择.同学肠胃不好不会选择蛋炒饭，则这5 案种数为A. 48B. 96C. 132D.14411.如图，过抛物线)0(22>=p px y 的焦点F 的直线l 交抛物线于点A B 、，交其准线于点C ，若||3||BF BC =，且4||=AF ， 则p 为 A ．34B ．2C ． 38D ．316 12.已知函数()21sin 21x x f x x x -=+++，若正实数b a ,满足()()490f a f b +-=，则11a b+的最小值为A.1B.29C.9D.18 二.填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13.在8)21(xx -的展开式中，2x 项的系数为 . 14.抛掷两个骰子，至少有一个4点或5点出现时，就说这次试验成功，则在8次试验中，成功次数ξ的期望是 .15.已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C ，B A ,是C 的长轴的两个端点，点M 是C 上的一点，满足︒︒=∠=∠45,30MBA MAB ，设椭圆C 的离心率为e ，则=2e ______.16.已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 是平面ABC 内一点，则)2(+⋅的最小值为 .三.解答题：共70分。

解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。

第21~17题为必做题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

17.（本小题满分12分） 已知幂函数2242()(1)mm f x m x -+=-在(0,)+∞上单调递增，函数()2x g x k =-.（Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）当[1,2]x ∈时，记()f x ，()g x 的值域分别为集合,A B ，设命题A x p ∈:,命题B x q ∈:，若命题p 是q 成立的必要条件，求实数k 的取值范围.18.（本小题共12分）已知在△ABC 中，32π=∠C ． （Ⅰ）若225c a ab =+，求sin sin BA； （Ⅱ）求sin sin A B ⋅的最大值．19．（本小题满分12分）私家车的尾气排放是造成雾霾天气的重要因素之一，因此在生活中我们应该提倡低碳生活，少开私家车，尽量选择绿色出行方式，为预防雾霾出一份力．为此，很多城市实施了机动车车尾号限行，我市某报社为了解市区公众对“车辆限行”的态度，随机抽查了50人，将调查情况进行整理后制成下表：图；（Ⅱ）若从年龄在[15，25)，[25，35)的被调查者中各随机选取2人进行追踪调查，求恰有2人不赞成的概率；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，再记选中的4人中不．赞成．．“车辆限行”的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．20.（本小题共12分）如图，边长为3的正方形ABCD 所在平面与等腰直角三角形ABE 所在平面互相垂直，AB AE ⊥，且2=，AN AB 3=.（Ⅰ）求证：//MN 平面BEC ； （Ⅱ）求二面角C ME N --的大小.21.(本小题满分12分) 已知函数()2ln pf x px x x=--. (Ⅰ) 若函数)(x f 在其定义域内为增函数，求正实数p 的取值范围； (Ⅱ) 设函数2()eg x x=，若在[1,]e 上至少存在一点0x ，使得00()()f x g x >成立，求实数p 的取值范围．选做题（请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多选，则按所做的第一题计分） 22.（本小题满分10分）选修4—5；极坐标与参数方程23.已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧-=+-=ty tx 4231（t 为参数），以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为)4cos(22πθρ-=.(Ⅰ)求直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程； (Ⅱ)设直线l 与曲线C 交于B A ,两点，求AB . 23.（本小题满分10分）选修4—5；不等式选讲 已知函数|1||12|)(-+-=x a x x f（Ⅰ）当1=a 时，解关于x 的不等式4)(≥x f ；（Ⅱ）若|2|)(-≥x x f 的解集包含]2,21[，求实数a 的取值范围.高三第一次模拟考试（数学理科）答案一、选择题1. B2.D3. B4. D5. C6. D7. D8. A9.A 10.C 11.C 12.A 二、填空题 13.7- 14.940 15. 331- 16. 37- 三、解答题17解：（Ⅰ）依题意得：2(1)1,0m m -=⇒=或2m =当2m =时，2()f x x -=在(0,)+∞上单调递减，与题设矛盾，舍去∴0m =． ……………5分（Ⅱ）当[1,2]x ∈时，()f x ，()g x 单调递增，∴[1,4],[2,4]A B k k ==--， 由命题p 是q 成立的必要条件，得B A ⊆，∴210144k k k -≥⎧⇒≤≤⎨-≤⎩． ……………12分18。

解：（Ⅰ）由余弦定理及题设22225c a b ab a ab =++=+，得2b a =．由正弦定理sin sin a b A B =，sin sin b B a A =， 得sin 2sin BA=． （Ⅱ）由（Ⅰ）知3A B π∠+∠=． sin sin sin sin()3A B A A π⋅=⋅-1sin sin )2A A A =⋅-112cos 244A A =+- 11sin(2)264A π=+- 因为03A π<∠<，所以当6A π∠=，sin sin A B ⋅取得最大值1419.解：（Ⅰ）各组的频率分别为1.0,1.0,2.0,3.0,2.0,1.0所以图中各组的纵坐标分别是01.0,01.0,02.0,03.0,02.0,01.0（Ⅱ）由表知年龄在[15，25)内的有5人，不赞成的有1人，年龄在[25，35) 内的有10人，不赞成的有4人，恰有2人不赞成的概率为：()111224644422225105104246666222=,1045104522575C C C C C p C C C C ξ⋅==⋅+⋅=⋅+⋅=……………7分 （Ⅲ）ξ的所有可能取值为：0,1,2,3……………6分()22642251061545150=,104522575C C p C C ξ==⋅=⋅=()21112646442222510510415624102341=,1045104522575C C C C C p C C C C ξ⋅==⋅+⋅=⋅+⋅= ()124422510461243=,104522575C C p C C ξ==⋅=⋅=所以ξ的分布列是：……………………………………………10分所以ξ的数学期望65E ξ=． ………………………………………………12分20.【答案】（Ⅰ）略； （Ⅱ）1122arccos【解析】（Ⅰ）证明：过M 作DC MF //交CE 于F ，连接.,BF MF 因为DC MF //，2=，所以.32//DC MF ……2分又3=，所以.32//DC NB 故NB MF //，……4分所以四边形NBFM 为平行四边形，故//MN BF ， 而BF ⊆平面BEC ，MN ⊄平面BEC ， 所以//MN 平面BEC ；……6分（Ⅱ）以A 为坐标原点，.,所在方向为z y x ,,轴正方向，建立平面 直角坐标系，则)0,0,3(E ，)0,1,0(N ，)2,0,1(M ，)3,3,0(C 平面MEC 的法向量为)1,0,1(=，设平面MNE 的法向量为),,(111z y x n =，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00n EM ，即 ⎩⎨⎧=+-=+-022031111z x y x ，不妨设11=x ，则)1,3,1(=n 11221122||||,cos ==>=<n m 所求二面角的大小为1122arccos……12分 【考点】线面平行，求二面角的大小. 21．已知函数()2ln pf x px x x=--． (Ⅰ) 22222'()p px x pf x p x x x-+=+-=， 220px x p ∴-+≥即221xp x ≥+，对0x ∀>恒成立， 设22()(0)1x h x x x =>+，222222222422'()(1)(1)x x x h x x x +--==++()h x 在(0,1)上增，(1,)+∞减，则max ()(1)1h x h == (1)1p h ∴≥=，即[1,)p ∈+∞………………4分(Ⅱ) 设函数2()()()2ln p ex f x g x px x xϕ+=-=--，[1,]x e ∈ 则原问题⇔在[1,]e 上至少存在一点0x ，使得0()0x ϕ>⇔max ()0x ϕ>．………5分222222(2)'()p e px x p e x p x x x ϕ+-++=+-= 22210'()0x ep x xϕ-+==> ，则()x ϕ在[1,]x e ∈增，max ()()40x e ϕϕ==-<，舍；………………7分20p < ，12()()2ln ex p x x x x ϕ=---，[1,]x e ∈ ，120,0,ln 0ex x x x∴-≥>>，则()0x ϕ<，舍；………………9分22(1)2()30'()0p x e x p x xϕ++->=>， 则()x ϕ在[1,]x e ∈增，max ()()40p x e pe e ϕϕ==-->，整理得241e p e >-………11分综上，24(,)1ep e ∈+∞-………12分 22.【答案】（Ⅰ）:4320l x y +-=,22:220C x y x y +--=； （2）.2=AB【解析】（Ⅰ）直线l :⎩⎨⎧-=+-=t y t x 4231（t 为参数），消去t 得)1(342+-=-x y ，即4320.x y +-=……2分曲线C ：)4cos(22πθρ-=，即θθρsin 2cos 2+=，……3分又cos ,sin x y ρρθρθ===，22cos 2sin ρρθρθ=+……4分故曲线C ：22220.x y x y +--=……5分（Ⅱ）直线l 的参数方程为⎩⎨⎧-=+-=t y t x 4231（t 为参数）⇒直线l 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧+=--=//542531t y t x （/t 为参数），……7分代入曲线C ：22220x y x y +--=，消去y x ,得034/2/=++t t 1,3/2/1-=-=⇒t t ，……9分由参数/t 的几何意义知，.213/2/1=+-=-=t t AB ……10分【考点】方程互化，圆的弦长问题.23.（Ⅰ）),2[]32,(+∞⋃--∞————————————————5分 （Ⅱ）x x a 331-≥-∴对]2,21[∈x 恒成立121<≤x 时，x x a 33)1(-≥-3≥∴a 21≤≤x 时，x x a 33)1(-≥-3-≥∴a综上：3≥a —————————————————————10分。