2014考研提高班线性代数例题-2矩阵
2014级线代试题及解答
线性代数期末试题一、填空题 （每小题3分，共15分）1．设3阶矩阵A 与B 相似，且B 的特征值为1,2,2，则14A E --=2．若四阶行列式的第1行元素依次为1,0,2,,a - 第3行元素的余子式依次为5,6,4,1,-则a =_________3．若向量组1(,1,1,1)T αλ=，2(1,,1,1)T αλ=，3(1,1,,1)T αλ=，4(1,1,1,)T αλ=，其秩为3，则 λ=4．设方阵A 满足方程2(0),A bA cE O c ++=≠ E 为单位矩阵，则=-1A5. 设矩阵2112A ⎛⎫=⎪-⎝⎭，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足2BA B E =+，则B =二、单项选择题（每小题3分，共15分）1．设A 和B 都是n 阶方阵, 下列正确的是( )（A ） 222()2A B A AB B +=++ （B ）111()A B A B ---+=+（C ）若0AB =, 则0A =或0B = （D ）()T T T AB A B =2．设,,A B C 均为n 阶方阵，且AB BC CA E ===. 则222A B C ++=（ ）（A ） 3E （B ） 2E （C ） E （D ） 03．设βααα,,,321均为n 维向量，又βαα,,21线性相关，βαα,,32线性无关，则下列正确的是（ ）（A ）321,,ααα线性相关 （B ）321,,ααα线性无关 （C ）1α可由βαα,,32线性表示 （D ）β可由21,αα线性表示4．设A 和B 都是n 阶非零方阵, 且0AB =, 则A 的秩必( )（A ）等于n （B ）小于n （C ）大于n （D ）不能确定5．设n 阶矩阵A 的伴随阵为12340,,,,A ηηηη*≠是非齐次线性方程组Ax b =的互不相等的解向量, 则0Ax = 的基础解系向量个数为 ( )（A ）不确定 （B ）3个 （C ）2个 （D ）1个三、（10分） 已知2AB A B =+， 其中110011101A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，求B 四、（12分）设向量组1(2,1,4,3)T α=，2(1,1,6,6)T α=--，3(1,2,2,9)T α=---，4(1,1,2,7)T α=-，5(2,4,4,9)T α=. 求该向量组的最大无关组向量，并把其余向量用最大无关组向量线性表示.五、（13分）设矩阵433231213A --⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭1.求A 的特征值与特征向量；2. 判断A 是否可以对角化，并说明理由.六、（15分）讨论λ取何值时, 线性方程组1231232123244x x x x x x x x x λλλ-+=-⎧⎪++=⎨⎪-++=⎩1.有惟一解；2. 无解；3.有无穷多个解, 并求其通解.七、（10分）设123,,ααα均为三维列向量，矩阵123(,,)A ααα=，且1A =. 若123123123(,23,34)B ααααααααα=++++++ ，计算B .八、（10分）设0ξ是非齐次线性方程组Ax b =的一个解，12,,,n r -ξξξ 是对应的齐次线性方程组的基础解系. 证明： 向量001010,,,n r n r --==+=+ηξηξξηξξ是非齐次线性方程组Ax b =线性无关的解向量.线性代数 解答一、填空题1. 3 ;2. -3 ; 3 -3 ; 4. A bEc+-; 5. 2 二、单项选择题1. C;2. A;3. C;4. B;5. D三、(2)A E B A += ⇒ 1(2)B A E A -=+～100011010101001110⎛-⎫ ⎪ - ⎪⎪ -⎭⎝011101110B ⎛-⎫⎪=- ⎪⎪-⎭⎝四、 ()1234521112101041121401103,,,,,46224000133697900000A ααααα---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--⎪ ⎪==→ ⎪ ⎪---⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭即124,,ααα为一个极大无关组. 312,ααα=-- 5124433.αααα=+-五、2433231(2)(4)0,213A E λλλλλλ----=--=--=-A 的特征值1234, 2.λλλ===由0331014211011,211000A E ---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=--→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 基础解系为111,1⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭ξ得对应1λ=0的全部特征向量为111111,(0)1k k k ⎛⎫⎪=-≠ ⎪ ⎪⎝⎭ξ由2331002211011,211000A E --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=-→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭基础解系为201,1⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭ξ对应232λλ==的全部特征向量为222,(0)k k ≠ξ；2.不能对角化。
考研数学一-线性代数行列式、矩阵(二)
考研数学一-线性代数行列式、矩阵(二)(总分：100.00，做题时间：90分钟)一、填空题(总题数：20，分数：20.00)1.设矩阵 A 3的秩为 1．（分数：1.00）解析：1．解利用矩阵乘法，容易计算得由于A 3中非零子式的最高阶数为1，故由矩阵的秩的定义，即知r(A 3 )=1．本题综合考查矩阵乘法运算及矩阵的秩的概念．2.设α为3维单位列向量，E为3阶单位矩阵，则矩阵E-ααT的秩为 1．（分数：1.00）解析：2．解1若取单位向量α=(1，0，0) T，则矩阵的秩为2，本题作为填空题，要求一般成立的结果，自然应对个例成立，所以矩阵E=ααT的秩为2．解2设3维单位列向量，矩阵的左上角的2阶子式为，所以矩阵E-ααT的秩至少是2；又由αTα=1，得(E-ααT )α=α-α(αTα)=0，知齐次线性方程组(E-ααT )x=0存在非零解α，所以矩阵E-ααT的秩小于3，综上知矩阵E-ααT的秩为2．解3记矩阵A=E-ααT，则由αTα=1，易得A 2 =A，由此知A不可逆．(否则A可逆，用A -1左乘A 2 =A 两端，得A=E，这与A≠E矛盾(若A=E，则ααT =O，但ααT≠0))，所以A不可逆(由此也可知A的秩小于3)，因此A有特征值为0．设A按列分块为A=(β1，β2，β3)，则由A 2=A可得Aβj=βj(j=1，2，3)，这表明βj是A的属于特征值1的特征向量．以上说明A有特征值λ1 =0，λ2 =1．再由A的全部特征值之和=A的主对角线元素之和，知A的另一特征值λ3=1．因此，A的全部特征值为0，1，1．因为A是3阶实对称矩阵，所以，A相似于对角矩阵M=diag(0，1，1)．因相似矩阵有相同的秩，从而得r(A)=r(M)=2．本题综合考查矩阵运算及矩阵的秩的概念及计算。
本题也可利用方阵E-ααT的行列式等于0，从而推出方阵E-ααT的秩小于3，读者可以一试．3.设A=(a ij )是3阶非零矩阵，｜A｜为A的行列式，A ij为a ij的代数余子式．若a ij +A ij =0(i，j=1，2，3)，则｜A｜= 1．（分数：1.00）解析：-1．解由A≠O，不妨设a 11≠0，由已知的A ij =-a ij (i，j=1，2，3)，得，及A=-(A * ) T，其中A *为A的伴随矩阵．以下有两种方法：方法1 用A T右乘A=-(A * ) T的两端，得AA T =-(A * )A T =-(AA * ) T =-(｜A｜I) T，其中I为3阶单位矩阵，上式两端取行列式，得｜A｜2 =(-1) 3｜A｜3，或｜A｜2 (1+｜A｜)=0，因｜A｜≠0，所以｜A｜=-1．方法2 从A=-(A * ) T两端取行列式，并利用｜A *｜=｜A｜2，得｜A｜=(-1) 3。
考研线性代数历年真题
考研线性代数历年真题考研线性代数是研究生入学考试中的一门重要科目，通过解答历年真题可以帮助考生更好地了解考试要求和复习重点。
本文将为大家整理归纳考研线性代数历年真题，以供参考。
第一部分：矩阵与行列式1、考点：矩阵的运算【真题一】计算矩阵相乘已知矩阵A=（1 2 3；4 5 6）、B=（7 8；9 10；11 12），求A与B 的乘积AB。
【真题二】矩阵求逆已知矩阵A=（1 2 3；0 4 5；0 0 6），求A的逆矩阵。
2、考点：行列式的性质与运算【真题三】行列式展开已知行列式D=|1 0 2；1 1 1；3 1 0|，计算D的展开式。
【真题四】行列式的性质已知行列式D=|1 2 3；4 k 6；7 8 9|，若D=0，则k的取值范围是多少？第二部分：向量空间与线性变换1、考点：线性相关性【真题五】判断线性相关性已知向量组V={(1, 0, -1)，(2, 1, 1)，(3, 1, 0)}，判断向量组V的线性相关性。
【真题六】线性相关向量组的线性表示已知向量组V={(1, 3, -1)，(2, 5, -2)，(4, a, b)}，若向量(7, 18, -6)可以由向量组V线性表示，则a和b应满足的条件是什么？2、考点：矩阵的特征值和特征向量【真题七】矩阵的特征值与特征向量已知矩阵A=（3 4；1 2），求矩阵A的特征值和特征向量。
【真题八】矩阵对角化已知矩阵A=（1 2 -1；-1 0 3；2 2 -1），求可对角化矩阵和相似矩阵。
第三部分：线性方程组与矩阵的应用1、考点：线性方程组的解【真题九】线性方程组的解已知线性方程组x + 2y + 3z = 62x + y + z = 43x + 3y + z = 7求线性方程组的解。
【真题十】齐次线性方程组的解空间已知齐次线性方程组x + 2y + 3z = 02x + y + z = 0求齐次线性方程组的解空间的维数。
2、考点：矩阵的秩【真题十一】矩阵的秩已知矩阵A=（1 4 5；2 5 1；3 6 2），求矩阵A的秩。
《线性代数》第二章矩阵及其运算精选习题及解答
An
=
⎜⎜⎝⎛
0 C
⎜⎛ 1
B 0
⎟⎟⎠⎞
,
其中
C = (n) ，
B
=
⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
0 M 0
0 L 0 ⎟⎞
2 M 0
L L
n
0
M −
⎟ ⎟ 1⎟⎟⎠
，
故 C −1 = ( 1 ) , n
⎜⎛1 0 L
0 ⎟⎞
B −1
=
⎜0
⎜ ⎜⎜⎝
M 0
12 M 0
L L
1
0⎟ (nM− 1) ⎟⎟⎟⎠
，
根据分块矩阵的逆矩阵公式
⎜⎛ 2 ⎜0
0 4
2⎟⎞ 0⎟
⎜⎝ 4 3 2⎟⎠
例 2.12 设 X(E − B −1 A)T BT = E , 求 X . 其中
⎜⎛1 −1 0 0 ⎟⎞
⎜⎛ 2 1 3 4⎟⎞
A
=
⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
0 0 0
1 0 0
−1 1 0
0⎟ −11⎟⎟⎟⎠ ,
B
=
⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
0 0 0
2 0 0
1 2 0
0⎟
0 8
⎟ ⎟⎟⎠
,
求B,
使 ABA −1
=
BA −1
+ 3E
．
解 根据 ABA −1 = BA−1 + 3E , 得到 (A − E )BA−1 = 3E
故 A − E, A 皆是可逆的, 并且
( ) [ ] B = 3(A − E )−1 A = 3(A − E )−1 A−1 −1 = 3 (A−1 )(A − E) −1 = 3(E − A−1 )−1
第二章 矩阵及其运算
线性代数-矩阵及其运算习题
设
D−1 = X 11
X 21
n阶矩阵(i, j = 1,2),
X 12 ,其中 X ij 均为 X 22
D
⋅
D−1
=
A C
0 ⋅ X 11 B X 21
X 12 X 22
=
A X 11
A X 12
C X 11 + B X 21 C X 12 + B X 22
= E 0 (E是n阶单位阵) 0 E
典型例题
一、矩阵的运算 二、逆矩阵的运算及证明 三、矩阵的分块运算
一、矩阵的运算
例１ 计算
n − 1 − 1
n −1
n n−1
n n
− 1 2 n
−1 n
−1
−1
−1
n
−
1
n
n
n n n×n
解
n − 1 − 1 − 1 2
n −1
n n−1
−
n 1
n n
n
+ B,证明A可逆 ,并求其逆 .
三、(6分) 设n阶实方阵A ≠ O,且 A∗ = AT ,证明A 可逆. 四、(8分)解下列矩阵方程．
解
X = A−1 B X = BA−1 X = A−1C B−1
三、矩阵的分块运算
例５ 设A, B都是n阶可逆矩阵,证明D = A 0 C B
必为可逆矩阵 , 并求D的逆矩阵 .
证 因为det D = det A ⋅ det B ≠ 0( A, B均可逆,
det A ≠ 0,det B ≠ 0),所以D为可逆矩阵.
其中k是正整数. Ak Al = Ak + l , ( Ak )l = Akl ,
《线性代数》考点强化班 配套讲义 第二章 矩阵
( A2 )2
0
1
0
0
1
0
E
0
0
1
0
0
1
所以 B2 P1APP1AP P1A(PP1) AP P1A2P,,
B2020 P1A2020 P P1 A4 505 P P1EP P1P E
1 0 0 3 0 0
所以Leabharlann B2020 2 A2 E 2 0
1
0
，
AB A AE 1,33 A E 1,33 2E 1,33
1 0 3
AB
1
2E
1, 3 3
1
1 2
0 0
1 0
0
1
1 0 0
【例
12】设
A
为
3
阶矩阵，
P
为
3
阶可逆矩阵，且
P 1
AP
0
1
0
.若
0
0
2
P 1,2 ,3 ， Q (1 2 ,2 ,3 ) ，则 Q1AQ （ ）
行（3）-3行（1）
3 4 6 0 0 1
0 -2 -3 -3 0 1
1 0 0 -2 0 1
1 0 0 -2 0 1
行（1）行（3）
行（3）-2行（2）
0 -1 -1 -1 1 -1 0 1 1 1 -1 1
行（2）-行（3）
（-1）行（2）
0 -2 -3 -3 0 1
0 0 -1 -1 -2 3
0
0 a2
0
【例 2】设 A 其中 ai 0 ；求 Ak1 Ak 2 Akn .
0 0 0 an1
an 0 0 0
1
0 A 0
矩阵习题带答案
矩阵习题带答案矩阵习题带答案矩阵是线性代数中的重要概念，广泛应用于各个领域。
掌握矩阵的运算和性质对于学习线性代数和解决实际问题都具有重要意义。
在这篇文章中，我们将提供一些矩阵习题，并附上详细的解答，帮助读者更好地理解和掌握矩阵的相关知识。
1. 习题一已知矩阵A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]，求矩阵A的转置矩阵AT。
解答：矩阵A的转置矩阵AT即将A的行变为列，列变为行。
因此，矩阵A的转置矩阵为：AT = [1 4 7; 2 5 8; 3 6 9]2. 习题二已知矩阵B = [2 4; 1 3]，求矩阵B的逆矩阵B-1。
解答：对于一个二阶矩阵B，如果其行列式不为零，即|B| ≠ 0，那么矩阵B存在逆矩阵B-1，且B-1 = (1/|B|) * [d -b; -c a]，其中a、b、c、d分别为矩阵B的元素。
计算矩阵B的行列式：|B| = ad - bc = (2*3) - (4*1) = 6 - 4 = 2因此，矩阵B的逆矩阵为：B-1 = (1/2) * [3 -4; -1 2]3. 习题三已知矩阵C = [1 2 3; 4 5 6]，求矩阵C的秩rank(C)。
解答：矩阵的秩是指矩阵中非零行的最大个数，也可以理解为矩阵的行向量或列向量的最大线性无关组的向量个数。
对于矩阵C，我们可以通过高斯消元法将其化为行简化阶梯形矩阵：[1 2 3; 0 -3 -6]可以看出，矩阵C中非零行的最大个数为1，因此矩阵C的秩为1。
4. 习题四已知矩阵D = [2 1; -1 3]，求矩阵D的特征值和特征向量。
解答：对于一个n阶矩阵D，如果存在一个非零向量X，使得D*X = λ*X，其中λ为常数，则称λ为矩阵D的特征值，X为对应的特征向量。
首先，我们需要求解矩阵D的特征值，即求解方程|D - λI| = 0，其中I为n阶单位矩阵。
计算矩阵D - λI：[D - λI] = [2-λ 1; -1 3-λ]设置行列式等于零，得到特征值的方程式：(2-λ)(3-λ) - (1)(-1) = 0λ^2 - 5λ + 7 = 0解特征值的方程，得到两个特征值：λ1 = (5 + √(-11))/2λ2 = (5 - √(-11))/2由于特征值的计算涉及到虚数，这里不再继续计算特征向量。
2014考研提高班线性代数例题-2矩阵
13
B16: (03 二)设α为三维列向量，α 是α的转置，
1 −1 1 T 若α α T = −1 1 −1 ，则α α= 1 −1 1
T
.
T T
B17: (09 一)若 3 维列向量α、 β满足α β =2， 则矩阵β α 的非零特征值为____.
Τ Τ
B18: (08 一)设α, β 为 3 维列向量，矩阵 A=αα +ββ ， 证明：(1) r(A)≤2; (2)若α, β 线性相关，则 r(A)< 2.[ r(A)≠2]
9
B14: (01 三)设 A = (aij )
0 另有 P = 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0
(4, 3, 2, 1)的矩阵，其中 A 可逆，
1 1 0 , 0 P2 = 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 ,则 B-1=[ 0 1
18
B27: (02 四) A,B 为 n 阶方阵， A*,B*为对应的伴随矩阵， A O C = ，则 C*=[ ]. O B * A A* O BB O (A) ; (B) ; * * O BB AA O A B* (C) O O ; * BA B A* (D ) O O . * AB
(A)a=b 或 a+2b=0；(B) a=b 或 a+2b≠ 0； (C) a≠b 且 a+2b=0；(D) a≠b 且 a+2b≠0.
4
1 2 3 B7: (93 一)已知 Q = 2 4 t ， P 为三阶非零矩阵， 3 6 9 P Q = O，则有：
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.
7
B′′11:(10 二,三) 设 A,B 为 3 阶矩阵,且|A|=3, |B|=2, -1 -1 | A +B |=2,则│A+B │= .
B12: (92 四)设 A, B, A+B 均为 n 阶可逆方阵， -1 -1 试证 A +B 也是可逆的，并求其逆。
8
B13:(08 一~三)设 A 为 n 阶方阵， E 为 n 阶单位矩阵， 3 若 A =O，则[ ]. (A) E−A 不可逆，E+A 不可逆； (B) E−A 不可逆，E+A 可逆； (C) E−A 可逆，E+A 可逆； (D) E−A 可逆，E+A 不可逆.
B A B A C D ~ O D - CA-1B 相 当 于
．
25
3B * O (A) ; 2A* O 3 A * O (C) ; 2B * O
20
B28: A 为 n 阶非零矩阵，A*=AT，试证|A|≠0. B29: A 为 n 阶方阵，且 A2=E，则 R(A+E)+ R(A-E)=n. B30:设 A 是 m 阶方阵，B 是 m×n 阵，R(B)=m， 求证: (1)若 AB=O 则 A=O；(2)若 AB=B 则 A=E. B′30:设 A 是 m×n 阵，B 是 n 阶方阵，C 为 n×m 阵, 如果 AB=A，BC=O，且 R(A)=n，求|CA-B|.
13
B16: (03 二)设α为三维列向量，α 是α的转置，
1 −1 1 T 若α α T = −1 1 −1 ，则α α= 1 −1 1
T
.
T T
B17: (09 一)若 3 维列向量α、 β满足α β =2， 则矩阵β α 的非零特征值为____.
Τ Τ
B18: (08 一)设α, β 为 3 维列向量，矩阵 A=αα +ββ ， 证明：(1) r(A)≤2; (2)若α, β 线性相关，则 r(A)< 2.[ r(A)≠2]
B′9:若 B=(E+A)-1(E-A)，求(E+B)-1 =？ B″9:若 A(E-C B) C =E，求 A=？
6
-1
T
T
B10: (02 二)已知 A,B 均为三阶方阵，且有 -1 2A B=B-4E，(1)证明 A-2E 可逆；
1 (2)若 B= 1 0 −2 2 0 0 ，求 0 2
第 2 章 矩阵及其运算 [题型举例] 1 0 0 -1 B0:(95 三)已知 A= 2 2 0 ，(A*) = 3 4 5
. . .
B1:(93 四)已知 4 阶方阵 A 的秩为 2,则 A*的秩为 B2:A, B 皆为 n 阶方阵,|A|= 2，|B|=–3,则|2A*B |=
16
-1
2
B24: (08 一)设 n 阶方阵 A 可逆，且 A 的每行元素之 和均为常数 a，证明 a≠0 且 A-1 的每行元素之和均为 1 . a B25: 设 A 为 m×n 阵，B 为 n×m 阵，证明: 若 Em-AB 可逆，则 En-BA 也可逆. ！由本题可证|En-BA|=|Em-AB|. 特殊有 1 − α T β = En − βα T ，α , β 为 n 维列向量. 可否推广成 En − kBA = Em − kAB ？k 为任意实数.
-1
B′2: (2012二) 设A为3 阶矩阵，A =3，A*为A的伴随 . 矩阵,若交换A的第1行和第2行得矩阵B,则BA* =
1
B3:求矩阵
a b L b a O B4:求 n (n>2) 阶方阵 A= M O O M O b L O 1 a a 1 B′4: (98 三)n(n≥ 3)阶方阵 A= M O M a L
19
B′27: (09 一,三) 设 A,B 为 2 阶方阵， A*,B*为对应的
O A 伴随矩阵，若|A|=2, |B|=3, 分块矩阵C = ,则伴随 B O
矩阵 C*=[
].
2B * O (B) 3A* O 2 A * O (D) . 3B * O
1 0 0 1 0 0 , P = 0 0 1 则 矩阵，记 P1 = 1 1 0 2 0 0 1 0 1 0
A=[
].
(A) P1P2 ;
(B) P1-1P2;
(C) P2P1;
(D) P2P1-1.
12
B15: (05 一,二) 设 A 为 n 阶可逆矩阵,交换 A 的第 1 行与第 2 行得到 B， A*,B*分别为 A,B 的伴随矩阵 ， 则[ ]. (A)交换 A*的第 1 列与第 2 列得到 B*； (B)交换 A*的第 1 行与第 2 行得到 B*； (C)交换 A*的第 1 列与第 2 列得到-B*； (D)交换 A*的第 1 行与第 2 行得到-B*.
18
B27: (02 四) A,B 为 n 阶方阵， A*,B*为对应的伴随矩阵， A O C = ，则 C*=[ ]. O B * A A* O BB O (A) ; (B) ; * * O BB AA O A B* (C) O O ; * BA B A* (D ) O O . * AB
4×4
，B 是把 A 的1 (C) P1A P2;
(B) P1P2 A-1; -1 (D) P2 A P1.
10
B′14: (06 一~三) 设 A 为 3 阶矩阵,将 A 的第 2 行加到 第 1 行得 B,再将 B 的第 1 列的−1倍加到第 2 列得 C，
17
B26: (98 二) n 阶 ( n ≥ 3) 方阵 A 的伴随矩阵为 A*，且 k ≠ 0, ± 1，则必有(kA)*=[ ]. n-1 n -1 (A) kA*; (B) k A*; (C) k A*; (D) k A*. B′26: (96 三)设 n 阶矩阵 A 非奇异(n≥2),则[ n-1 n+1 (A) (A*)*=|A| A ; (B) (A*)*=|A| A ; (C) (A*)*=|A|n-2A ; (D) (A*)*=|A|n+2A . ].
1 A= − 2 1
2 1 −1
−1
4 的秩.
2
L b M O M 的秩. a b b a L L a O M O O M 的 O O a L a 1
2
秩为 n−1，则 a =
.
1 0 0 0 0 1 0 0 0 0
0 0 B5: (07 一~三) 设矩阵 A = 0 0
(A)a=b 或 a+2b=0；(B) a=b 或 a+2b≠ 0； (C) a≠b 且 a+2b=0；(D) a≠b 且 a+2b≠0.
4
1 2 3 B7: (93 一)已知 Q = 2 4 t ， P 为三阶非零矩阵， 3 6 9 P Q = O，则有：
(A) t = 6 时 R( P ) = 1；(B) t = 6 时 R( P ) = 2； (C) t ≠ 6 时 R( P ) = 1；(D) t ≠ 6 时 R( P ) = 2. B8: (03 四)设 A,B 均为三阶方阵， E 为三阶单位矩阵，
A.
2 1 ， B11: (06 一~四)设矩阵 A = E 为 2 阶单位矩阵， −1 2
矩阵 B 满足 BA = B + 2E，则|B|= B′11:(04 一)设矩阵 2BA* + E，则|B|=
2 A= 1 0 1 2 0 0 0 1
.
, 矩阵 B 满足 ABA* =
2 0 2 -1 已知 AB=2A+B， B = 0 4 0 ,则(A-E) = 2 0 2
.
5
1 0 0 0 1 1 B9: (01 三)已知矩阵 A = 1 1 0 ，B = 1 0 1 ， 1 1 1 1 1 0 且矩阵 X 满足 AXB+BXA+E=AXA+BXB，求 X.
21
B31: (97 三)设 A 是 n 阶非奇异阵， α为 n 维列向量， v O En A α ，Q = v T b 为常数，且 P = ， vT * −α A A b α (1) 计算并化简 PQ ； T -1 (2) 证明 Q 可逆(r(Q)=n+1) ⇔ b≠α A α.
15
B21:设 A 为 2 阶方阵，且 A5 = O，求证 E − A 可逆, 且(E − A) =E + A. B22: (95 一)设 A 为 n 阶正交矩阵，|A|<0，求|A+E|. B23:已知 n 阶方阵 A≠E，且 A +A-2E=O，则不可逆 的矩阵是 A, A+E, A+2E, A+3E 中的哪一个？ ！进一步考虑： A+kE (k∈R) 是否可逆？A 可对角化否？
14
1 1T B19:(94,一)设α = (1, 2, 3) , β = (1, , ) ，设 2 3
T
A=αβ ，求 A .
Τ
n
1 0 0 1 0 0 B′19:设 AP = PB，且 B= 0 0 0 ，P= 2 − 1 0 ， 0 0 − 1 2 1 1 5 求 A, A 。 1 0 1 n n-1 B20: (99 三) A = 0 2 0 ， n ≥ 2 ，求 A -2A . 1 0 1
1 记P = 0 0 1 1 0 0 ，则[ 0 1
]. (B) C=PAP ; T (D) C=PAP .