高考试卷-高三数学九月联考试题理.doc

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上海市青浦高级中学2024-2025学年高三上学期9月考试数学试卷(含答案)

上海市青浦高级中学2024学年第一学期9月质量检测高三数学试卷考试时间：120分钟满分：150分一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．直线的倾斜角大小为__________．2．在的展开式中，含项的系数为__________．3．已知集合，集合，则__________．4．若关于x ，y 的方程组有唯一解，则实数a 满足的条件是__________．5．已知x ，，则“”是“”的____________________条件．6．已知，的最小值为__________．7．从1，2，3，4，5这五个数字中任意选取两个不同的数字组成一个两位数，则这个两位数是偶数的概率为__________．8．已知函数，且，则方程的解是__________．9．已知集合，，若，则m 的取值范围是__________．10．甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果都相互独立，第1局甲当裁判，则前4局中乙恰好当一次裁判的概率是__________．11．设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线上任意一点，M 是线段PF 上的点且，则直线OM 斜率的取值范围是__________．12．对于定义在D 上的函数，若同时满足：（1）对任意的，均有；（2）对任意的，存在，且，使得成立，则称函数10x +=51x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭3x 211x A x x ⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭{1,0,1,2,3}B =-A B = 2436x y x ay +=⎧⎨+=⎩y ∈R ||||||x y x y -=+0xy <1ab =2249a b +()21xf x -=+2log (1),0()(),0x x g x f x x +≥⎧=⎨-<⎩()2g x =5322A x x ⎧⎫=-≤⎨⎬⎩⎭{13,}B x m x m m =+≤≤∈R ∣A B A = 1222(0)y px p =>4PM MF = ()y f x =x D ∈()()0f x f x -+=1x D ∈2x D ∈21x x ≠-()()1122f x x x f x -=-()y f x =为“等均”函数．下列函数中：①；②；③；④，“等均”函数的序号是__________．二、选择题（本大题共有4题，满分18分．第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）13．若实数a ，b 满足，则下列不等式中恒成立的是（）A ．B．C ．D ．14．在2022北京冬奥会单板滑雪U 型场地技巧比赛中，6名评委给A 选手打出了6个各不相同的原始分，经过“去掉其中一个最高分和一个最低分”处理后，得到4个有效分，则经处理后的4个有效分与6个原始分相比，一定会变小的数字特征是（）A ．平均数B ．中位数C ．众数D ．方差15．如图所示，在正方体中，M 是棱上一点，若平面与棱交于点N ，则下列说法中正确的是（）A ．存在平面与直线垂直B ．四边形可能是正方形C ．不存在平面与直线平行D ．任意平面与平面垂直16．已知无穷数列的各项均为实数，为其前n 项和，若对任意正整数都有，则下列各项中可能成立的是（）A ．，，，…，为等差数列，，，，…，为等比数列B ．，，，…，为等比数列，，，，…，为等差数列C ．，，，…，为等差数列，，，…，，…为等比数列D ．，，，…，为等比数列，，，…，，…为等差数列三、解答题（本大题共有5题，满分78分）17．（本题满分14分，本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图，在四棱锥中，平面ABCD ，底面ABCD 为梯形，，，()f x x =1()1x f x x -=+2()f x x =()sin f x x =0a b >>22a b +>22a b +<a b +>a b +<1111ABCD A B C D -1AA 1MBD 1CC 1MBND 1BB 1MBND 1MBND 11A C 1MBND 1ACB {}n a n S 2024k >1k k S S +>1a 3a 5a 21n a -2a 4a 6a 2n a 1a 3a 5a 21n a -2a 4a 6a 2n a 1a 2a 3a 2024a 2024a 2025a n a 1a 2a 3a 2024a 2024a 2025a n a P ABCD -PD ⊥//AB CD 60BAD ∠=︒，．（1）在侧面PBC 中能否作出一条线段，使其与AD 平行？如果能，请写出作图过程并给出证明；如果不能，请说明理由；（2）若四棱锥的体积是，求直线BP 与平面PCD 所成角的大小．18．（本题满分14分，本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分）记为数列的前n 项和，已知，是公差为的等差数列．（1）求的通项公式；（2）证明：．19．（本题满分14分，本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分）汽车智能辅助驾驶已得到广泛应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离（并结合车速转化为所需时间），当此距离等于报警距离时就开始报警提醒，等于危险距离时就自动刹车．某种算法（如下图所示）将报警时间划分为4段，分别为准备时间、人的反应时间、系统反应时间、制动时间，相应的距离分别为、、、．当车速为v （米/秒），且时，通过大数据统计分析得到下表（其中系数k 随地面湿滑程度等路面情况而变化，）阶段0、准备1、人的反应2、系统反应3、制动时间秒秒2AD AB ==4CD =P ABCD -n S {}n a 11a =n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭13{}n a 121112na a a +++< 0t 1t 2t 3t 0d 1d 2d 3d [0,33.3]v ∈[0.5,0.9]k ∈0t 10.8t =20.2t =3t距离米米（1）请写出报警距离d （米）与车速v （米/秒）之间的函数关系式，并求时，若汽车达到报警距离时人和系统均不采取任何制动措施，仍以此速度行驶，则汽车撞上固定障碍物的最短时间．（精确到0.1秒）（2）若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于80米，则汽车的行驶速度应限制在多少米/秒以下？合多少千米/小时〈精确到1千米/小时〉？20．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）已知椭圆的左、右焦点分别为、、点在椭圆上，且．（1）求椭圆的方程；（2）过点作斜率为k 的直线l 交椭圆于M 、N 两点，若，O 为坐标原点，求直线l 的方程；（3）点P 、Q 为椭圆上的两个动点，O 为坐标原点，若直线OP 、OQ 的斜率之积为，求证：为定值．21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）设函数，直线l 是曲线在点处的切线．（1）当，求单调区间；（2）求证：l 不经过；（3）当时，设点，，，B 为l 与y 轴的交点，与分别表示和的面积．是否存在点A 使得成立？若存在，这样的点A 有几个？020d =1d 2d 23120d v k=()d v 0.9k =2222:1(0)x y a b a b Γ+=>>1F 2F T ⎛- ⎝124TF TF +=Γ(1,0)Γ35OM ON ⋅=- Γ14-22||||OP OQ +()ln(1)(0)f x x k x k =++≠()y f x =(,())(0)t f t t >1k =-()f x (0,0)1k =(,())(0)A t f t t >(0,())C f t (0,0)O ACO S △ABO S △ACO △ABO △215ACO ABO S S =△△上海市青浦高级中学2024学年第一学期9月质量检测高三数学试卷考试时间：120分钟满分：150分一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．2．53．4．5．必要不充分6．127．8．39．10．1112．①③二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）13．C 14．D 15．D 16．C三、解答题（本大题共有5题，满分78分）17．（本题满分14分，本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分）解：（1）不能．因为梯形ABCD 中，，，，所以AD 不平行于BC ，则AD 与BC 必相交于一点，设为M ，面，在侧面PBC 中不能作AD 的平行线．（2）过点B 作于H ，连接PH ，因为平面ABCD ，平面ABCD ，所以，所以平面PCD ，所以PH 是BE 在平面PCD 内的射影，所以是直线BP 与平面PCD 所成角，因为中，，，所以是等边三角形，所以，，又因为，所以，所以，所以中，，又因为四棱锥的体积是所以，解得，所以中，，，直线BP 与平面PCD 所成角大小是18．（本题满分14分，本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分）π6{1,0}-6a ≠2543m ≤58//AB CD 2AB =4CD =AD ∴ PBC M =∴BH CD ⊥PD ⊥BH ⊂PD PH ⊥BH ⊥BPH ∠ABD △2AB AD ==60BAD ∠=︒ABD △60ADB ∠=︒2BD =//AB CD 120ADC ∠=︒60BDC ∠=︒Rt BDH △BH =1DH =P ABCD -111(2332V Sh h ==⋅+=2h =Rt BPH △PH ==BH =tan BH BPH PH ∠===arctan解：（1），当时，，作差，累加得，满足，．（2），．19．（本题满分14分，本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分）解：（1）由题意得，，当时，，（秒）．（2）根据题意，要求对于任意，恒成立，即对于任意，，即恒成立，由得，，即，解得，（米/秒），（千米/小时），汽车的行驶速度应限制在20米/秒以下，合72千米/小时．20．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）解：（1）椭圆的左右焦点分别为、，点在椭圆上，且．，椭圆的方程．（2）设，，2233n n n n S n n S a a ++=⇒=2n ≥1113n n n S a --+=111n n a n a n -+=-1(1)2n a n n a +=1a n a (1)2n n n a +∴=11121n a n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭1211112121na a a n ⎛⎫∴+++=-< ⎪+⎝⎭ 0123()d v d d d d =+++21()2020d v v v k ∴=++0.9k =2()2018v d v v =++20()1112 3.118v t v v =++≥+=+=[0.5,0.9]k ∈()80d v <[0.5,0.9]k ∈21208020v v k ++<2160120k v v <-[0.5,0.9]k ∈111,201810k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦2160110v v ∴<-2106000v v +-<3020v -<<020v ∴≤<360020721000⨯=∴ 2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>1F 2F T ⎛- ⎝Γ124TF TF +=21a b =⎧⎨=⎩∴2214x y +=()11,M x y ()22,N x y根据题意得，，与联立，整理可得，根据韦达定理可得①②将①代入②，解得，即直线l 的方程为或．（3）证明：设直线，联立方程组，得，，又直线，同理可得，为定值．21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）解：（1）当时，，得的单调增区间是，单调减区间是．（2），，，整理得，假设l 过原点，，设，，(1)y k x =-2214x y +=22(1)14y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩()2222148440k x k x k +-+-=212221228144414k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩()()()()22212121212121231115OM ON x x y y x x k x k x k x x k x x k ⋅=+=+--=+-++=- 1k =±1y x =-1y x =-+:OP y kx =2244y kx x y =⎧⎨+=⎩22414x k =+()()222222241||114k OP x y k x k +∴=+=+=+1:4OQ y x k=-222161||41k OQ k +=+2222222244161205||||5414141k k k OP OQ k k k +++∴+=+==+++1k =-()(1)1x f x x x'=>-+()f x (0,)+∞(1,0)-()ln(1)(0)f x x k x k =++≠()11k f x x∴'=++:[ln(1)]1()1k l y t k t x t t ⎛⎫∴-++=+- ⎪+⎝⎭1ln(1)(0)11k kt y x k t k t t⎛⎫=+-++≠ ⎪++⎝⎭ln(1)0*1t t t -⇒++=+()ln(1)1t F t t t=+-+2211()01(1)(1)t F t t t t '=-=>+++所以在上严格增，，与*式矛盾．所以l 不经过原点．（3），，由（2）知时，，，，，设，，，极大值，极小值，又，所以在上有两个零点．存在点A 使得且点A 有两个．()F t (0,)+∞()0F t ∴>ln(1)1t t t∴+>+(,ln(1))A t t t ++(0,ln(1))C t t ++1k =0,ln(1)1t B t t ⎛⎫+- ⎪+⎝⎭215ACO ABO S S = △△112||||15||||22OC AC OB AC ∴⨯⋅=⨯2||15||OC OB ∴=15()213ln(1)1t g t t t t =-+++(0)t >222294(21)(4)()(1)(1)t t t t g t t t -+--'==++13613ln 022g ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭(4)2013ln 50g =-<40(8)1613ln 903g =-+>()g t (0,)+∞∴215ACO ABO S S =△△。

2025届东北三省9月联考数学试卷+答案

东北三省精准教学2024年9月高三联考数学本试卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}24x A x =<，13log 1B x x=>−，则A B = （）A.(0,2)B.(,2)−∞C.(,3)−∞D.∅2.已知5250125(21)x a a x a x a x +=++++ ，则2a =（） A.10B.20C.40D.803.已知{}n a 是无穷数列，13a =，则“对任意的*,m n ∈N ，都有m n m n a a a +=+”是“{}n a 是等差数列”的（） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.攒尖式屋顶是中国古代传统建筑的一种屋顶样式，如图所示的建筑屋顶是圆形攒尖，可近似看作一个圆锥，已知该圆锥的底面直径为8m ，高为3m ，则该屋顶的面积约为（）A.215πmB.220πmC.224πmD.230πm5.已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，若抛物线上一点M 满足||2MF =，60OFM ∠=°，则p =（）A.3B.4C.6D.86.如图，3,5A α 是函数sin 6yx π − 图象上的一点，则tan 26πα+=（）A.247−B.247C.724−D.7247.已知函数()f x ，对任意的,x y ∈R 都有()2()2()xyf x y f y f x +=+，且(1)2f =，则下列说法不正确．．．的是（） A.(0)0f =B.()2xf x 是奇函数 C.()y f x =是R 上的增函数D.()*()2n f n n n =⋅∈N8.已知直线1:50l ax y −+=与直线2:40()l x ay a a +−+=∈R 的交点为P ，则点P 到直线:3l y x =−距离的取值范围是（）A.B.C.D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知向量(1,2)a =，(2,1)b =− ，则下列判断正确的是（）A.(3,1)a b +=B.(2,2)a b ⋅=−C.a b ⊥D.||||a b =10.现统计具有线性相关关系的变量X ，Y ，Z 的n 组数据，如下表所示：并对它们进行相关性分析，得到11Z b X a =+，Z 与X 的相关系数是1r ，22Z b Y a =+，Z 与Y 的相关系数是2r ，则下列判断正确的是（）附：经验回归方程 y bxa =+ 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为()()()121niii nii x x y y b x x ==−−=−∑∑ ，ay bx =− ，相关系数nx y r =A.10y x =B.222110σσ=C.1210b b =D.21r r =11.如图，直四棱柱1111ABCD A B C D −中，底面ABCD 是菱形，其所在平面为α，且60BAD ∠=°，122AB AA ==.O 是AC ，BD 的交点，P 是平面α内的动点（图中未画出）.则下列说法正确的是（）A.若12C P =，则动点P 的轨迹长度为2πB.若190OC P ∠=°，则动点P 的轨迹是一条直线C.若1OP C P =，则动点P 的轨迹是一条直线D.若动点P 到直线1OC 的距离为1，则PA PC +为定值三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知复数z 的实部为2，且z2i+为纯虚数，则复数z =___________.13.已知双曲线22:9C x y −=，点N 的坐标为(,)m n ，其中,{1,2,3}m n ∈，存在过点N 的直线与双曲线C 相交于A ，B 两点，且点N 为弦AB 的中点，则点N 的坐标是___________.（写出一个符合条件的答案即可）14.已知0a >且0x >时，不等式21e ln()04x a x m a−++>恒成立，则正数m 的取值范围是___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）已知函数32()231f x x ax =−+.（1）当1a =时，求函数()f x 的单调递减区间；（2）若0x =是函数()f x 的极小值点，求实数a 的取值范围.16.（15分）某市为了解车主用车的能源类型与对该市交通拥堵感受的关系，共调查了100名车主，并得到如下的22×列联表：觉得交通拥堵觉得交通不拥堵合计燃油车车主 30 20 50 新能源车车主25 25 50 合计5545100（1）将频率估计为概率，从该市燃油车和新能源车车主中随机抽取1名，记“抽取到燃油车车主”为事件1A ，“抽取到新能源车车主”为事件2A ，“抽取到的车主觉得交通拥堵”为事件1B ，“抽取到的车主觉得交通不拥堵”为事件2B ，计算()11P B A ，()12P B A ，比较它们的大小，并说明其意义；（2）是否有90%的把握认为该市车主用车的能源类型与对该市交通拥堵的感受有关？将分析结果与（1）中结论进行比较，并作出解释. 附表及公式：22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ−=++++，n a b c d =+++.17.（15分）如图，已知斜三棱柱111ABC A B C −中，侧面11BB C C ⊥侧面11AA B B ，侧面11BB C C 是矩形，侧面11AA B B 是菱形，160BAA ∠=°，22AB BC ==，点E 是棱1AA 的中点.（1）证明：BE ⊥平面11BB C C ；（2）求二面角11A B C E −−的余弦值.18.（17分）已知直线:2l x =经过椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点F 且被椭圆C 截得的弦长为（1）求椭圆C 的方程；（2）若过点(4,0)P 的动直线m 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且直线l 上的点M 满足//AM FP，求证：直线MB 过定点，并求该定点的坐标.19.（17分）二进制是在数学和数字电路中以2为基数的记数系统，在这一系统中，通常用两个不同的符号0，1来表示数.如果十进制中的整数()1110222{0,1},0,1,,kk k k i n a a a a a i k −−=⋅+⋅++⋅+∈= ，则这个数在二进制下记为110k k a a a a − ，即()101102()k k n a a a a −= .记十进制下的整数n 在二进制表示下的各位数字之和为()n ϕ，即01()k n a a a ϕ=+++ . （1）计算(7)ϕ；（2）证明：(43)(21)1n n ϕϕ+=++；（3）求数列(){}321nϕ⋅−的前n 项和n S .东北三省精准教学2024年9月高三联考数学参考答案及解析1．【答案】A【解析】由题可知(,2)A −∞，(0,3)B =，因此(0,2)A B = . 2.【答案】C【解析】3225C 240a =⋅=.3.【答案】A【解析】对任意的*,m n ∈N ，都有m nm n a a a +=+，令1m =，可以得到11n n a a a +=+，因此{}n a 是公差为1a 的等差数列；若21na n =+，则2112a a a +≠+，故“对任意的*,m n ∈N ，都有m n m n a a a +=+”是“{}n a 是等差数列”的充分不必要条件. 4.【答案】B【解析】由题知，圆锥底面圆半径4m r =，高3m h =⇒母线5m l =，因此圆锥的侧面积为2π20πm S rl ==.5.【答案】A【解析】||||cos 603p MF MF =+⋅°=. 6.【答案】D【解析】由图可知ππ,π62α−∈，又因为π3sin 65α −=，所以π4cos 65α−=−，所以22πππππsin 2cos 2cos sin π732366tan 2πππππ624cos 2sin 22sin cos 32366ααααααααα−+−−−− +==−=−= −+−−−.7.【答案】C【解析】令0x y ==，得到(0)(0)(0)f f f =+，因此(0)0f =，所以选项A 正确；令y x =−，得到02()2()x x f x f x −=−+，即()()22xx f x f x −−=−，所以选项B 正确；条件可以化为()()()222x y x yf x y f x f y ++=+，记()()2x f xg x =，因此()()()g x y g x g y +=+，()g x x =符合条件，从而()2x f x x =⋅，不是R 上的增函数，所以选项C 不正确；令x n =，1y =，得(1)2(1)2()n f n f f n +=+，即11(1)()(1)222n n f n f n f ++=+，又1(1)12f =，所以()2n f n是首项为1，公差为1的等差数列，()1(1)12nf n n n =+−⋅=，所以D 选项正确. 8.【答案】D【解析】直线1l ，2l 分别过定点(0,5)A ，(4,1)B −，且互相垂直，所以点P 的轨迹是以AB 为直径的圆（不含点()0,1），这个圆的圆心坐标为()2,3−，半径为圆心到直线l距离为d因此圆上的点到直线l距离最大值为，最小为(0,1)，因此取值范围是. 9.【答案】ACD【解析】根据向量的坐标运算(3,1)a b +=，220a b a b ⋅=−=⇒⊥，||||ab == ，所以选项ACD 正确.10.【答案】ACD【解析】由公式可以得到选项ACD 正确，2221100σσ=，选项B 不正确. 11.【答案】BCD【解析】对于选项A ，点P 的轨迹是以C的圆，其轨迹长度是，所以选项A 错误；对于选项B ，点P 的轨迹是过点1C 且垂直1OC 的平面与α的交线，所以选项B 正确；对于选项C ，点P 的轨迹是过1OC 的中点且垂直1OC 的平面与α的交线，所以选项C 正确；对于选项D ，空间中到直线1OC 的距离为1的点的轨迹是一个以1OC 为轴的圆柱面，因此点P 的轨迹是一个以O 为中心的椭圆，短半轴长为1，长半轴长a 满足sin 3012a a °⇒，从而半焦距c =，因此点A ，C 为该椭圆的焦点，4PA PC +=，所以选项D 正确. 12.【答案】24i −（5分）【解析】设z 2i y =+，zi 2it =+（,y t ∈R ，0t ≠），则2i 2i y t t +=−+，所以2t =−，4y =−，故z 24i =−. 13.【答案】(1,2)（或(1,3)，(2,3)）（5分）【解析】法一：设()11,A x y ，()22,B x y ，则22119x y −=，22229x y −=，两式相减得到12121212y y y y lx x x x +−⋅+−，又122x x m +=，122y y n +=，因此AB m k n=，所以直线AB 的方程为()my nx m n−=−，与双曲线22:9C x y −=联立得22229m n m x x n n −−+=，即()2222222221290n m mm n m x x n n n n − −−−⋅−−=，因此()()()22222222222224490n mn mn m m n n n n−−− ∆=⋅+⋅+>，整理后得到22n m >.所以点N 的坐标可以为(1,2)，(1,3)，(2,3). 法二：由题意易知，双曲线22:9C x y −=的渐近线为y x =±，因为,{1,2,3}m n ∈，所以(,)N m n 在双曲线靠原点的一侧，又因为点N 为弦AB 的中点，故A ，B 一定位于双曲线的两支上，所以1mn<，即||||m n <. 所以点N 的坐标可以为(1,2)，(1,3)，(2,3). 14.【答案】(0,e]（5分）【解析】将a 视为主元，设21()e ln()(0)4x g a a x m a a=−++>，则21()e ln()ln()e ln()4xx g a a x m x m x m a =−++≥−+=−+，当且仅当21e 4x a a=时取等号，故当0x >时，e ln()0xx m −+>恒成立. 设()e ln()(0)xh x x m x =−+>，则1()e x h x x m′=−+，()h x ′单调递增，且011(0)e 1h m m ′=−=−， ①若110m−≥，即1m ≥时，则()(0)h x h ′′>，所以()h x 在(0,)+∞单调递增，故只需(0)0h ≥，即1ln 0m −≥，解得1e m ≤≤； ②若110m−<，即01m <<时， ()e ln()(1)(1)20x h x x m x x m m =−+>+−+−=−>，即01m <<时，()0h x >恒成立. 综上，m 的取值范围是(0,e]. 15.【答案】（1）(0,1)（5分）（2）(,0)−∞（8分）【解析】解：（1）当1a =时，32()231f x x x =−+，（1分）2()666(1)f x x x x x ′=−=−，（2分）由()0f x ′<解得01x <<，（4分）所以函数()f x 的单调递减区间为(0,1).（5分）（2）()6()f x x x a ′=−，()0f x ′=时，0x =或x a =. （6分）①若0a <，当x a <或0x >时，()0f x ′>，当0a x <<时，()0f x ′<，因此0x =时，函数()f x 取极小值；（8分）②若0a =，当0x <或0x >时，()0f x ′>，因此0x =不是函数()f x 的极值点；（10分） ③若0a >，当0x <或x a >时，()0f x ′>，当0x a <<时，()0f x ′<，因此0x =时，函数()f x 取极大值. （12分）综上，a 的取值范围是(,0)−∞. （13分） 16.【答案】（1）答案见解析（7分）（2）答案见解析（8分）【解析】解：（1）由题意得()1135P B A =，（2分） ()1212P B A =，（4分）()()1112P B A P B A >，（5分）说明从抽样情况来看，燃油车车主觉得交通拥堵的比例比新能源车车主觉得交通拥堵的比例更高.（7分）（2）22100(30252025)1001002.7065545505011999χ××−×===<××××，（10分）因此没有90%的把握认为该市车主用车的能源类型与是否觉得该市交通拥堵有关，（12分）说明调查人数太少，（1）中的结论不具有说服力，需要调查更多车主. （15分）17.【答案】（1）证明见解析（6分）（2（9分）【解析】（1）证明：因为侧面11BB C C 是矩形，所以1BC BB ⊥，（1分）又因为侧面11BB C C ⊥侧面11AA B B ，平面11BB C C 平面111AA B B BB =，所以BC ⊥平面11AA B B ，（3分）因为BE ⊂平面11AA B B ，所以BC BE ⊥.（4分）菱形11AA B B 中，160BAA ∠=°，所以1AA B △是等边三角形，又E 是1AA 的中点，所以1BE AA ⊥，得1BE BB ⊥，（5分）又1BB BC B = ，1BB ，BC ⊂平面11BB C C ，所以BE ⊥平面11BB C C .（6分）（2）解：由（1），如图，以B 为坐标原点，BE ，1BB ，BC 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系.因为22AB BC ==，所以sin 60BE AB °==，（7分）因此1(0,2,0)B，1A，E ，(0,0,1)C ，（8分）所以1(0,2,1)B C =−，12,0)B E =−，111,0)B A =− ，设平面1EB C 的法向量为()111,,m x y z =，由1m B C ⊥，得1120y z −+=，由1m B E ⊥1120y −=，令11y =，得2m=，（10分）设平面11A B C 的法向量为()222,,n x y z =，由1n B C ⊥，得2220y z −+=，由11n B A ⊥220y −=，令21y =，得2n =，（12分）cos ,||||m n m n m n ⋅〈〉==⋅所以二面角11A B C E −−. （15分）18.【答案】（1）22184x y += （5分）（2）证明见解析，定点坐标为(3,0) （12分）【解析】（1）解：由题意得2c =，将x c =代入椭圆方程，可以求到两交点坐标为22,b a ±，（1分）所以2b a =，因此240a −−=，（2分）解得a =a =，2b =，（4分）即椭圆方程为22184x y +=. （5分）（2）证明：当直线m 的斜率为0时，直线MB 的方程为0y =，此时//AM FP ；（7分）当直线m 的斜率不为0时，可设直线m 的方程为4x ty =+，代入椭圆方程，得到()222880t y ty +++=，（9分）由0∆>，得到t <t >，因此A ，B 点不在直线l 上，（10分）设点()11,A x y ，()22,B x y ，则12282ty y t +=−+，12282y y t =+，（12分）则1212y y t y y +=−，（13分）因为//AM FP ，所以()12,M y ，所以直线MB 的方程为2112(2)2y y y y x ty −−=−+，令0y =，得到()121212(2)ty y y y y x −−=−−，（14分）所以121121212122223ty y y y y y x y y y y −−+−+=+=−−，综上，直线MB 过定点()3,0. （17分）19.【答案】（1）(7)3ϕ=（3分）（2）证明见解析（6分）（3）232n n nS +=（8分）【解析】（1）解：因为27122=++，所以(7)1113ϕ=++=. （3分）（2）证明：设012122k k n a a a ++⋅++⋅ ，即01(21)k n a a a ϕ+=+++ ，（6分）则2101432(21)11222k k n n a a a ++=++=+⋅+⋅++⋅ ，（8分）所以01(43)1(21)1k n a a a n ϕϕ+=++++=++ . （9分）（3）解：因为112132122121222n n n n ++−⋅−=+−=+++++ ，（13分）所以()3211n n ϕ⋅−=+，（15分）因此数列(){}321n ϕ⋅−的前n 项和为22(1)322n n n nS n +++=⋅=. （17分）。

2025届山东高三9月七校联考高三数学试题

2024-2025学年上学期高三九月七校联考数学试卷本页4页满分150分，考试用时120分钟注意事项：1．答题前，先将自已的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．如图，已知矩形U 表示全集，A 、B 是U 的两个子集，则阴影部分可表示为（）A ．()U AB ∪B ．()U A B ∩C ．()U B A ∩D ．()U A B ∩2．中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为a ，b ，c ，则三角形的面积S 可由公式S 求得，其中p 为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式.现有一个三角形的边长满足6p ，8a b +=，则此三角形面积的最大值为（）A ．B ．C ．D ．3．已知点A 是抛物线()2:20C y px p =>上一点，若A 到抛物线焦点的距离为5，且A 到x 轴的距离为4，则p =（）A ．1或2B ．2或4C ．2或8D ．4或84．圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线长为4．已知P 为该圆台某条母线的中点，若一质点从点P 出发，绕着该圆台的侧面运动一圈后又回到点P ，则该质点运动的最短路径长为（）A ．B ．6C ．6πD ．3π5．将数字1,2,3,4,5,6,7,8,9随机填入33×的正方形格子中，则每一横行､每一竖列以及两条斜对角线上的三个数字之和都相等的概率为（）A ．89!B ．129!C ．249!D ．489!6．定义：已知数列{}()*n a n ∈N 的首项11a =，前n 项和为n S .设λ与k 是常数，若对一切正整数n ，均有11111k k k n n n S S a λ++−=成立，则称此数列为“&k λ”数列.若数列{}()*n a n ∈N 是”数列，则数列{}n a 的通项公式n a =（）A ．234n −×B ．21(1)34(2)n n n −= ×≥C ．243n −×D ．21(1)43(2)n n n −= ×≥ 7．在(1)(2)()()x x x m x n ++++的展开式中，含3x 的项的系数是7，则m n +=（）A ．1B ．2C ．3D ．48．已知函数是定义在R 上的偶函数，且在区间[)0,+∞单调递减，若a +∈R ，且满足()()313log log 22f a f a f +≤，则a 的取值范围是（） A ．1,99 B ．1,9 −∞ C ．1,22 D ．[)10,9,9 +∞二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．欧拉公式i e cos isin x x x =+（i 为虚数单位，x ∈R ）是由数学家欧拉创立的，该公式建立了三角函数与指数函数的关联，被誉为“数学中的天桥”.依据欧拉公式，下列选项正确的是（）A ．πi 3eB ．i πe 1=−C ．xi e cos sin x x =+D ．πi 2e 的共轭复数为i −10．对于随机事件A ，B ，若2()5P A =，3()5P B =，()14P B A =，则（） A ．3()20P AB = B ．()16P A B = C ．9()10P A B += D ．1()2P AB =11．如图，正方体1111ABCD A B C D −的棱长为1，动点P 在对角线1BD 上，过P 作垂直于1BD 的平面α，记平面α与正方体1111ABCD A B C D −的截面多边形（含三角形）的周长为L ，面积为S ，(,BP x x =∈，下面关于函数()L x 和()S x 的描述正确的是（）A ．()S x ；B ．()L x 在x =C ．()L x 在上单调递增，在上单调递减；D ．()S x 在上单调递增，在上单调递减三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．《易经》是中华民族智慧的结晶，易有太极，太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦，易经包含了深刻的哲理.如图所示是八卦模型图以及根据八卦图抽象得到的正八边形ABCDEFGH ，其中1,AB O =为正八边形的中心，则AB HD ⋅=.13．已知数列{}n a 满足12a =，21a =，33a =−，且21n n n a a a λ++=+，则5a = . 14．已知函数()223,0ln ,0x x x f x x x ++≤= >，若存在实数123,,x x x 且123x x x <<，使得()()()123f x f x f x ==，则()()()112233++x f x x f x x f x 的最大值为 .四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（本小题13分）已知锐角ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2cos a c c B −=． (1)证明：2B C =；(2)若2a =，求cos 1C b c +的取值范围．16.（本小题15分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且112,2n n a a S +==+. (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设22log 11n n b a =−，求数列{}n b 的前n 项和n T .17.（本小题15分）如图，四边形ABCD 为菱形，PB ⊥平面ABCD ．(1)证明：平面PAC ⊥平面PBD ；(2)若PA PC ⊥，二面角A BP C −−的大小为120°，求PC 与BD 所成角的余弦值．18.（本小题17分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点分别为12,F F ，点P 为C 上一点，12PF F 周长为2，其中O 为坐标原点．(1)求C 的方程；(2)直线:l y x m =+与C 交于,A B 两点，（i ）求OAB △面积的最大值；（ii ）设OQ OA OB =+ ，试证明点Q 在定直线上，并求出定直线方程．19.（本小题17分）已知函数()()1ln 1e x f x a x x +=+−. (1)当0a <时，求() f x 的单调区间；(2)若函数() f x 存在正零点0x ，（i ）求a 的取值范围；（ii ）记1x 为() f x 的极值点，证明：013x x <.。

贵州省2024-2025学年高三上学期第一次联考(9月月考)数学试题答案

数学参考答案·第1页（共9页）贵阳第一中学2025届高考适应性月考卷（一）数学参考答案一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 DCBCBCAA【解析】1．由题，{|13}A x x x =<->或，{1234}B =，，，，则{4}A B = ，故选D ．2．对于A 选项，1y x=-的定义域为(0)(0)-∞+∞，，，该函数在(0)-∞，和(0)+∞，上单调递增，在定义域内不单调；对于B 选项，2ln y x =的定义域为(0)(0)-∞+∞ ，，，该函数在(0)-∞，上单调递减，在(0)+∞，上单调递增，在定义域内不单调；对于C 选项，32y x ==[0)+∞，，该函数在定义域上单调递增；对于D 选项，e x y x =的定义域为R . (1)e x y x '=+∵，当(1)x ∈-∞-，时，0y '<；当(1)x ∈-+∞，时，0y '>，e x y x =∴在(1)-∞-，上单调递减，在(1)-+∞，上单调递增，因此该函数在定义域内不单调，故选C ．3．537232a a a =+=∵，516a =，6426d a a =-=，3d =，1544a a d =-=，故选B ．4．设点00()A x y ，，则20000252||4y px p x y ⎧=⎪⎪+=⎨⎪=⎪⎩，，，整理得582p p ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，解得2p =或8p =，故选C ．5．(23)f x -∵的定义域为[23]，. 当23x ≤≤时，1233x -≤≤，()f x ∴的定义域为[13]，，即[13]A =，. 令1213x -≤≤，解得12x ≤≤，(21)x f -∴的定义域为[12]，，即[12]B =，. B A ⊆∵，∴“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件，故选B ．6．由题，()()()e ()e ()()()5e ()5e x xx xg x g x f x fx hx h x f x f x --⎧=-+=-+⎧⎪⇒⎨⎨=---=--+⎩⎪⎩，，，解得()3e 2e x xf x -=+，所以()3e 2e x x f x -=+≥，当且仅当3e 2e x x -=，即12ln 23x =时，等号成立，min ()f x =∴C ．数学参考答案·第2页（共9页）7．设51x ⎫+⎪⎭的二项展开式的通项公式为53521551C C kkk k kk T xx --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，0k =，1，2，3，4，5，所以二项展开式共6项. 当0k =，2，4时的项为无理项；当1k =，3，5时的项为有理项. 两项乘积为有理数当且仅当此两项同时为无理项或同时为有理项，故其概率为223326C C 25C +=，故选A ． 8．由题，1C ：22(1)(1)2x y -+-=，即圆心为1(11)C ，(20)M ，，(02)N ，，MN 为1C 的直径. 1C ∵与2C 相外切，12||C C =+=∴. 由中线关系，有222222121||||2(||||)2(182)40C M C N C C C M +=+=⨯+=，22||||C M C N ∴≤2222||||202C M C N +=，当且仅当22||||C M C N =时，等号成立，所以22||||C M C N 的最大值为20，故选A ．二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分）题号 9 10 11 答案 ACDBCBCD【解析】9．对于A 选项，由分布列性质可知正确；对于B 选项，由两点分布定义可知错误；对于C 选项，()202420252024(1)20252024E X m n n n n =+=-+=+. 01n <<∵，2024()2025E X <<∴，正确；对于D 选项，令2024Y X =-，则Y 服从两点分布，()(1)D Y n n mn =-=，()(2024)()D X D Y D Y mn =+==∴，正确，故选ACD.10．令2()21g x ax ax =-+，244a a ∆=-，对于A 选项，()f x 的定义域为0a ⇔=R 或0010a a >⎧⇔<⎨∆<⎩，≤，故A 错误；对于B 选项，()f x 的值域为()g x ⇔R 在定义域内的值域为0(0)0a a >⎧+∞⇔⇔⎨∆⎩，，≥1≥，故B 正确；对于C 选项，()f x 的最大值为2()g x ⇔在定义域内的最小值为011511616(1)16a a g >⎧⎪⇔⇔=⎨=⎪⎩，，故C 正确；对于D 选项，()f x 有极值()g x ⇔在定义域内有极值01(1)0a a g ≠⎧⇔⇔<⎨>⎩，且0a ≠，故D 选项错误，故选BC.数学参考答案·第3页（共9页）11．对于A 选项，因为(1)g x +为奇函数，所以(1)0g =，又由()(1)1g x f x --=，可得(1)(0)1g f -=，(0)1f =-，故A 错误；对于B 选项，由()(3)f x g x ''=+可得()(3)f x g x C =++，C 为常数，又由()(1)1g x f x --=，可得(1)()1g x f x --=，则(1)(3)1g x g x C --+-=，令1x =-，得(2)(2)1g g C --=，所以1C =-，所以(1)(3)g x g x -=+，()g x 的图象关于直线2x =对称，故B 正确；对于C 选项，因为(1)g x +为奇函数，所以(3)(1)(1)g x g x g x +=-=-+，所以(2)()g x g x +=-，(4)(2)g x g x +=-+ ()g x =，所以()g x 是一个周期为4的周期函数，()(3)1f x g x =+-，(4)(7)f x g x +=+ 1(3)1()g x f x -=+-=，所以()f x 也是一个周期为4的周期函数，故C 正确；对于D 选项，因为(1)g x +为奇函数，所以(1)0g =，(2)(0)(4)g g g =-=-，又(3)(1)0g g ==，又()g x 是周期为4的周期函数，所以20251()(1)0k g k g ===∑，故D 正确，故选BCD.三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）题号 12 13 14 答案 e14433e 6-【解析】12．设切点坐标为()t t a ，，ln x y a a '=∵，∴切线方程为ln x y a a x = . 将()t t a ，代入得ln t t a a t a = ，可得1log e ln a t a==，∴切点纵坐标为e log e t a a a ==. 13．先对小七孔和千户苗寨两个相邻元素捆绑共有22A 种方法，再安排梵净山的位置共有13C 种方法，再排其余元素共有44A 种排法，故共有214234A C A 144= 种不同的方案.14．设123()()()f x f x f x t ===，由()f x 的函数图象知，23t <≤，又122x x +=-，3ln x t =∵，3e t x =，112233()()()2e t x f x x f x x f x t t ++=-+∴. 令()2e t t t t ϕ=-+，23t <≤，()t ϕ'= (1)e 20t t +->，()t ϕ∴在(23]，上单调递增，则3max ()(3)3e 6t ϕϕ==-，112233()()()x f x x f x x f x ++∴的最大值为33e 6-.四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（本小题满分13分）（1）解：数列{n a }是首项为1，公比为3的等比数列，因此11133n n n a --=⨯=；…………………………………………………………………………………（3分）数学参考答案·第4页（共9页）数列{n b }是首项为1，公比为34的等比数列，因此，1133144n n n b --⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.…………………………………………………………………………………（6分）（2）证明：由（1）可得121121121333344n n n n n n n c a b a b a b a b ----⎛⎫⎛⎫=++++=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭121333344n n --⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 12101111141111331444414n n n n n ----⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎣⎦=++++=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦- 214314n n -⎡⎤⎛⎫=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦ ， ………………………………………………………（10分）因为2114314411334n n n nn nc a --⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，所以413n n c a <≤，所以4.3n n n a c a <≤ …………………………………………………（13分） 16．（本小题满分15分）（1）证明：如图1，连接1A C ，设11A C C G O = ，连接1HO A G ，，三棱台111A B C ABC -，则11A C AC ∥，又122CG AC ==， ∴四边形11A C CG 为平行四边形，则1.CO OA = ………………………………………………………………（2分）∵点H 是BC 的中点，∴1BA OH ∥. …………………………………………………………………（4分）又OH ⊂平面1C HG ，1A B ⊄平面1C HG ，∴1A B ∥平面1C HG . …………………………………………………………………（6分）（2）解：因为平面1C GH 分三棱台111A B C ABC -所成两部分几何体的体积比为2∶5，所以111127C GHC A B C ABC V V --=，即11111121()373GHC ABC A B C S CC S S CC =++ △△△，化简得12GHC ABC S S =△△，图1数学参考答案·第5页（共9页）此时点H 与点B 重合. ……………………………………………………………（8分）1190C CA BCC ∠=∠=︒，∵11C C BC CC AC BC AC C ⊥⊥= ∴，，且都在平面ABC ，则1CC ⊥平面ABC ，又ABC △为等腰直角三角形，则BG AC ⊥. 又由（1）知11A G CC ∥，则1A G ⊥平面ABC ，建立如图2所示的坐标系G xyz -，…………………………………………………（10分）则(200)(020)(000)(020)H A G C -，，，，，，，，，，，，11(02(122)1)C B --，，，，，.设平面1C HG 的法向量()n x y z =，，，1(022)(200)GC GH =-= ，，，，，，则22020y z x -+=⎧⎨=⎩，，令1y =，解得(011)n =，，，设平面1B GH 的法向量1()(112)m a b c GB ==-，，，，，，则2020a b c a -+=⎧⎨=⎩，，令2b =，解得(021)m = ，，. ……………………………………（12分）设二面角11C GH B --的平面角为θ，|||cos |=|cos |||||m n m n m n θ〈〉==，=， ………………（14分）所以sin θ==所以二面角11C GH B --的正弦值为10. …………………………………………（15分）解得21m =，即双曲线N ：2212y x -=. ………………………………………………（3分）因为双曲线M 与双曲线N 的离心率相同，不妨设双曲线M 的方程为222y x λ-=，因为双曲线M 经过点(22)，，所以42λ-=，解得2λ=，则双曲线M 的方程为221.24x y -= ………………………………………………（6分）图2数学参考答案·第6页（共9页）（2）易知直线l 的斜率存在，不妨设直线l 的方程为11223344()()()()y kx t A x y B x y C x y D x y =+，，，，，，，，，联立222y kx t y x λ=+⎧⎪⎨-=⎪⎩，，消去y 并整理得222(2)220k x ktx t λ----=，此时222222Δ44(2)(2)0202k k t t t k λλ⎧=+-+>⎪⎨--<⎪-⎩，，可得22k <，…………………………………（8分）当2λ=时，由韦达定理得21222kt x x k +=-，221242t x x k --=-；当1λ=时，由韦达定理得23422kt x x k +=-，232422t x x k --=-，………………………（10分）则||||2AB CD ==== 化简可得222t k +=， …………………………………………………………………（13分）由（1）可知圆O ：222x y +=，则圆心O 到直线l的距离d ==== 所以直线l 与圆O 相切或相交. …………………………………………………（15分） 18．（本小题满分17分）解：（1）由频率分布直方图知，200只小白鼠按指标值分布为：在[020)，内有0.00252020010⨯⨯=（只）；在[2040)，内有0.006252020025⨯⨯=（只）；在[4060)，内有0.008752020035⨯⨯=（只）；在[6080)，内有0.025********⨯⨯=（只）；在[80100]，内有0.00752020030⨯⨯=（只）.…………………………………………（1分）由题意，有抗体且指标值小于60的有50只；而指标值小于60的小白鼠共有10253570++=（只），所以指标值小于60且没有抗体的小白鼠有20只，同理，指标值不小于60且没有抗体的小白鼠有20只，故列联表如下：数学参考答案·第7页（共9页）单位：只指标值抗体小于60不小于60合计有抗体 50 110 160 没有抗体 20 20 40 合计70130200……………………………………………………………………………………………（3分）零假设为0H ：注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60无关联.…………………………………………………………………………………………（4分）根据列联表中数据，得220.01200(502020110) 4.945 6.6351604070130x χ⨯⨯-⨯=≈<=⨯⨯⨯. ………………………………………………………………………………………（6分）根据0.01α=的独立性检验，没有充分证据认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关.…………………………………………………………………………………（7分）（2）（i ）令事件A =“小白鼠第一次注射疫苗产生抗体”，事件B =“小白鼠第二次注射疫苗产生抗体”，事件C =“小白鼠注射2次疫苗后产生抗体”. 记事件A ，B ，C 发生的概率分别为()P A ，()P B ，()P C ，则160()0.8200P A ==，20()0.540P B ==， ……………………………………………（9分） 0.20.509()1()().1P C P A P B =-=-⨯=，所以一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率0.9P =.……………………………（11分）（ii ）由题意，知随机变量(1000.9)X B ，，所以()1000.990.E X np ==⨯= ………………………………………………（13分）又()C 0.90.1()012k k n kn P k n X k -=⨯⋅⋅==⨯⋅，，，，，设0k k =时，()P X k =最大，所以000000000000100119910010010011101100100C 0.90.1C 0.90.1C 0.90.1C 0.90.1k k k k k k k k k k k k -++-----⎧⨯⨯⨯⨯⎪⎨⨯⨯⨯⨯⎪⎩≥，≥， ………………………………（15分）解得089.990.9k ≤≤，因为0k 是整数，所以090k =.…………………………………（17分）数学参考答案·第8页（共9页）19．（本小题满分17分）（1）若选①，证明如下：22sin 3sin(2)sin 2cos cos 2sin 2sin cos (12sin )sin θθθθθθθθθθθ=+=+=+-2232sin (1sin )(12sin )sin 3sin 4sin θθθθθθ=-+-=-.………………………………（4分）若选②，证明如下：22cos3cos(2)cos 2cos sin 2sin (2cos 1)cos 2sin cos θθθθθθθθθθθ=+=-=--3232cos cos 2(1cos )cos 4cos 3cos θθθθθθ=---=-. ………………………………（4分）（2）(i)解：2()33f x x a =-'， …………………………………………………………（5分）当0a ≤时，()0f x '≥恒成立，所以()f x 在()-∞+∞，上单调递增，至多有一个零点；令()0fx '>，得x <x >，所以()f x 在(上单调递减，在(-∞，，)+∞上单调递增．0f <⎪⎩，220a -<⎪⎩，且3222(4)(4)3(4)(4)(516)0f a a a a aa aa a +=+-++=++++>，所以()f x 在4)a +上有唯一一个零点，同理-<2(22)0g a-=-+=<，所以()f x 在(-上有唯一一个零点.又()f x 在(上有唯一一个零点，所以()f x 有三个零点，综上可知a 的取值范围为(04).， …………………………………………………（10分） (ii)证明：设22133()()3())(x f x x x x x ax x a x ==----+，则23211(0)f x x x a ==-=.又04a <<，所以1a =. ………………………………………………………………（11分）此时(2)10(1)30(1)10(2)30f f f f -=-<-=>=-<=>，，，，方程3031x x -+=的三个根均在(22)-，内，…………………………………………（12分）数学参考答案·第9页（共9页）方程3031x x -+=变形为3143222x x =⎛⎫- ⎪⎝⎭ ，令ππsin 222x θθ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭，则由三倍角公式31sin 33sin 4sin .2θθθ=-= 因为3π3π322θ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，所以7ππ5π3666θ=-，，，7ππ5π.181818θ=-，，…………………………………………………………………………………………（14分）因为123x x x <<，所以12327ππ52sin2si π181n n 81si 8x x x =-==， ……………………………………………………………………………（15分）所以222221π7ππ7π21cos 21cos 18184sin4sin 99x x ⎛⎫⎛⎫-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝=⎭- 137ππ5π7π2cos2cos 2sin 2sin .991818x x =-=--=- …………………………………（17分）。

2025届山东新高考联合质量测评高三9月联考数学试卷及答案

试卷类型：A山东新高考联合质量测评9月联考试题高三数学2024.9本卷满分150分，考试时间120分钟注意事项：1.答题前，考生先将自己的学校、班级、姓名、考号、座号填涂在相应位置.2.选择题答案必须使用2B 铅笔（按填涂样例）正确填涂；非选择题答案必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，绘图时，可用2B 铅笔作答，字体工整、笔迹清楚.3.请按照题号在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.保持卡面清洁，不折叠、不破损.一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}(,),,A x y y x x y =≥∈Z ，{}2(,)log (2)B x y y x ==+，则A B 中元素的个数为（）A.2B.3C.4D.无数个2.“21x<”是“2x >”的（）A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分又不必要条件3.已知{}n a 为等差数列，n S 是其前n 项和，若94S S <，且150S >，则当n S 取得最小值时，n =（）A.3B.6C.7D.84.已知关于x 的不等式20(,,)ax bx c a b c ++>∈R 的解集为(4,1)−，则29c a b++的取值范围为（）A.[6,)−+∞B.(,6)−∞ C.(6,)−+∞ D.(,6]−∞−5.已知函数()2sin f x x ax =−，a ∈R ，若曲线()f x 在点ππ,22f处的切线方程为0x y k ++=，则函数()f x 在(0,2π)内的单调递减区间是（）A.π5π,33B.(0,π]C.[π,2π)D.π50,,π,2π336.若使不等式2(1)0x a x a +−−≤成立的任意一个x ，都满足不等式|32|1x +>，则实数a 的取值范围为（）A.1,3−∞B.1,3 −+∞C.1,3 −∞D.1,3 +∞7.若函数32()1f x x x x =−−−的图象与直线y k =有3个不同的交点，则实数k 的取值范围为（）A.22,227B.222,27−−C.(2,)−+∞D.22,27 −∞−8.设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数.已知数列{}n a 满足21a =，2n n S na =，若()lg 1n n b a =+ ，数列{}n b 的前n 项和为n T ，则2024T =（）A.4956B.4965C.7000D.8022二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知正实数a ，b ，满足1a b +=，则（）A.22a b+≥+≤C.234a b +≤D.1122a b+≥+10.记n S 为正项等比数列{}n a 的前n 项和，则（）A.{}n a 是递增数列 B.{}1n n a a +是等比数列C.n n S a不是等比数列 D.n S ，2n n S S −，32n n S S −，…成等比数列11.已知e ()(1)1xf x x x =>−+，()(1)e (1)xg x x x =−<，且()() 1.01f a f b ==，()()0.99g c g d ==.若a b >，c d >，则（）A.0a b +>B.0a d +>C.0b c +> D.0c d +>三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知集合[,1]M a a =+，且“x M ∀∈，10xa −>（0a >，且1a ≠）”是假命题，则实数a 的取值范围为__________.13.等比数列{}n a 的前n 项和记为n S ，若21S =−，8417S S =，则6S =__________. 14.已知曲线11y ax x=−，2(1)ln y a x =+，若曲线1y ，2y 恰有一个交点，则实数a 的取值范围为__________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.（13分）解关于x 的不等式：(38)1()32m x m x −>∈−R .16.（15分）在数列{}n a 中，12a =，12112n n na a a ++=+，n +∈N . （1）求证：数列(){}lg 1n a +为等比数列；（2）设数列{}n b 满足112nn nb a a =++，求数列{}n b 的前n 项和n S 的最小值. 17.（15分）如图，一海岛O 离岸边最近点B 的距离是120km ，在岸边距点B 300km 的点A 处有一批药品要尽快送达海岛.已知A 和B 之间有一条快速路，现要用海陆联运的方式运送这批药品，若汽车时速为90km ，快艇时速为60km.设海运起点C 到点B 的距离为 k m x .2.2≈）（1）写出运输时间()t x 关于x 的函数；（2）当点C 选在何处时运输时间最短？18.（17分）已知函数()ln ()f x mx x m =+∈R .（1）当1m =−时，求曲线()f x 在1x =处的切线方程；（2）若函数2()()ln g x f x x x =++，求函数()g x 极值点的个数；（3）当1m =时，若()(1)f x k x b ≤++在(0,)+∞上恒成立，求证：(e 1)(1)b k ≥+−.19.（17分）已知数列{}n a 的首项为2，n S 为数列{}n a 的前n 项和，12n n S qS +=+，其中0q >，*n ∈N .（1）若3a 是22a 和24a +的等差中项，求数列{}n a 的通项公式；（2）设双曲线2221n y x a −=的离心率为n e，且2e =，证明：1234663nn e e e e ++++>⋅−；（3）在（1）的条件下，记集合{}n Ax x a ==，{}*21,B x x n n ==−∈N ，若将A B 所有元素从小到大依次排列构成一个新数列{}n b ，n T 为数列{}n b 的前n 项和，求使得112n n T b +>成立的n 的最小值.山东新高考联合质量测评9月联考高三数学参考答案及评分标准2024.9一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.B2.C3.C4.D5.A6.C7.B8.B二、多选题：本题共3小题，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.ABD10.BCD11.AC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.（0，1）13.21−14.()0,+∞四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.（13分）解：原不等式可化为(33)28032m x mx −+−>−，即()()3328320m x m x −+−−> .（1）当1m =时，不等式可化为6(32)0x −×−>，解得23x <.（2）当1m >时，822333m m −>−，解得23x <或8233m x m −>−. （3）当01m <<时，822333m m −<−，解得282333m x m −>>−. （4）当0m <时，282333m m −<−，解得282333m x m −<<−.（5）当0m =时，原不等式可化为1>，解集为∅.综上所述：当1m >时，不等式的解集为282,,333m m − −∞+∞ −；当1m =时，不等式的解集为2,3−∞；当01m <<时，不等式的解集为822,333m m − − ；当0m <时，不等式的解集为282,333m m −−；当0m =时，不等式的解集为∅. 16.（15分）（1）证明：因为12112n n na a a ++=+，n +∈N ，212n n n a a a +∴=+.()2211211n n n n a a a a +∴+=++=+.()()()21lg 1lg 12lg 1n n n a a a +∴+=+=+，()()1lg 12lg 1n n a a ++∴=+. 所以数列(){}lg 1n a +是以lg 3为首项，2为公比的等比数列.（2）解：由（1）得()1lg 1(lg 3)2n n a −+=⋅，则1231n n a −=−，11122n n n a a a +=−+，所以1122112n n n n n b a a a a ++ =−=−.221223111*********12222123131n nn n n n S a a a a a a a a ++ ∴=−+−++−=−=−=− −− . 因为数列{}n S 递增，134n S S =≥∴.所以数列{}n S 的最小值为34.17.（15分）解：（1）由题意知||OC =，||300AC x =−，300()(0300)90xt x x −∴=+≤≤. （2）()12221202111()2609090x xt x −+×′=×−−. 令()0t x ′=，得x =当0x <<()0t x ′<，当300x <<时，()0t x ′>，所以105.6x≈时()t x 取最小值.所以当点C 选在距B 点105.6km 时运输时间最短.18.（17分）（1）解：()f x 的定义域为(0,)+∞，()ln f x x x =−+，()11f x x′=−+，所以(1)1f =−，(1)0f ′=，所以曲线()f x 在1x =处的切线方程为1y =−.（2）解：22()()ln 2ln g x f x x x x mx x =++=++，()22222(0)x mx g x x m x x x++′=++=>，对于方程2220x mx ++=，216m ∆=−，①当44m −≤≤时，2160m ∆=−≤，()0g x ′≥，此时()g x 没有极值点；②当4m <−时，方程2220x mx ++=的两根为1x ，2x ，不妨设12x x <，则1202mx x +=−>，121x x =，120x x <<，当10x x <<或2x x >时，()0f x ′>，当12x x x <<时，()0f x ′<，此时1x ，2x 是函数()g x 的两个极值点；③当4m >时，方程2220x mx ++=的两根为3x ，4x ，且3402mx x +=−<，341x x =，故30x <，40x <，当(0,)x ∈+∞时，()0g x ′>，故()g x 没有极值点；综上，当4m <−时，函数()g x 有两个极值点；当4m ≥−时，函数()g x 没有极值点.（3）证明：由()(1)f x k x b ≤++在(0,)+∞上恒成立，得ln (1)x x k x b +−+≤在(0,)+∞上恒成立，设()ln (1)h x x x k x =+−+，1()1h x k x′=+−，当1k ≤时，()0h x ′≥，()h x 在(0,)+∞上单调递增，此时()b h x ≥显然不恒成立.当1k >时，若10,1x k ∈ − ，则()0h x ′>，()h x 在10,1k −上单调递增，若1,1x k ∈+∞− ，则()0h x ′<，()h x 在1,1k+∞ −上单调递减，所以max 1111()ln 1ln(1)11111h x h k k k k k k k==+−+=−−−−−−−−，所以ln(1)1k k b −−−−≤.要证(e 1)(1)b k ≥+−成立，因为1k >，即证明e 11bk ≥−−−.因为ln(1)111b k k k k −−−−≥−−令1(0)k t t −=>，ln 2()t t p t t −−−=，2ln 1()t p t t +′=，令()0p t ′=得1e t =，当10,e t∈ 时，()0p t ′<，()p t 在10,e上单调递减，当1,e t ∈+∞ 时，()0p t ′>，()p t 在1,e +∞上单调递增，所以min 1()e 1e p t p ==−−，所以e 11bk ≥−−−，所以(e 1)(1)b k ≥+−成立.19.（17分）（1）解：由12n n S qS +=+①可知，当2n ≥时12n n S qS −=+②，两式相减可得1n n a qa +=，所以{}n a 从第二项开始是公比为q 的等比数列，当1n =时，代入可得1212a a qa +=+，即22a q =，所以{}n a 是公比为q 的等比数列.又3a 是22a 和24a +的等差中项，所以322224a a a ++，即22320q q −−=，解得2q =或12−（舍去），所以()*2n n a n =∈N . （2）证明：由双曲线的性质可知，ne =，由（1）知{}n a 是首项为2，公比为q的等比数列，故2e =43q =，所以()1*423n n a n −=∈N .所以1423n n e − >=，则21123414444322222664333313nn nn e e e e −−++++>+⋅+⋅++⋅=⋅=⋅−− . （3）解：{2,4,8,16,32,64,128,}A = ，与集合B 相比，元素间隔大，所以在集合B 中加了几个A 中的元素考虑，1个：112n =+=，23T =，31236b =； 2个：224n =+=，410T =，51260b =； 3个：437n =+=，730T =，812108b =； 4个：8412n =+=，1294T =，1312204b =； 5个：16521n =+=，21318T =，2212396b =； 6个：32638n =+=，381150T =，3912780b =；发现2138n ≤≤时，112n n T b +−与0的大小关系发生变化，以下采用二分法查找：30687T =，3112612b =，所以所求n 应在2229−之间， 25462T =，2612492b =，所以所求n 应在2629−之间，27546T =，2812540b =， 26503T =，2712516b =，因为272812T b >，而262712T b <，所以使得112n n T b +>成立的n 的最小值为27.。

2024-2025学年高三上学期第一次联考(9月月考) 数学试题[含答案]

2024~2025学年高三第一次联考（月考）试卷数学考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围：集合､常用逻辑用语､不等式､函数､导数及其应用.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则集合的真子集的个数为（）{}4,3,2,0,2,3,4A =---{}2290B x x =-≤A B ⋂A.7B.8C.31D.322.已知，，则“，”是“”的（）0x >0y >4x ≥6y ≥24xy ≥A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件3.国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京冬奥会的标志性场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整个系统的碳排放接近于零，做到了真正的智慧场馆､绿色场馆，并且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的污水､雨水过滤系统，已知过滤过程中废水的污染物数量与时间（小时）的关系为()mg /L N t （为最初污染物数量，且）.如果前4个小时消除了的污染物，那么污染物消0e kt N N -=0N 00N >20%除至最初的还需要（）64%A.3.8小时 B.4小时C.4.4小时D.5小时4.若函数的值域为，则的取值范围是（）()()2ln 22f x x mx m =-++R m A.B.()1,2-[]1,2-C.D.()(),12,-∞-⋃+∞(][),12,-∞-⋃+∞5.已知点在幂函数的图象上，设，(),27m ()()2n f x m x =-(4log a f =，，则，，的大小关系为（）()ln 3b f =123c f -⎛⎫= ⎪⎝⎭a b c A.B.c a b <<b a c<<C. D.a c b <<a b c<<6.已知函数若关于的不等式的解集为，则的()()2e ,0,44,0,x ax xf x x a x a x ⎧->⎪=⎨-+-+≤⎪⎩x ()0f x ≥[)4,-+∞a 取值范围为（）A.B. C. D.(2,e ⎤-∞⎦(],e -∞20,e ⎡⎤⎣⎦[]0,e 7.已知函数，的零点分别为，，则（）()41log 4xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()141log 4xg x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭a b A. B.01ab <<1ab =C.D.12ab <<2ab ≥8.已知，，，且，则的最小值为（）0a >0b >0c >30a b c +-≥6b a a b c ++A. B. C. D.29495989二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.函数是相同的函数()f x =()g x =B.函数6()f x =C.若函数在定义域上为奇函数，则()313xx k f x k -=+⋅1k =D.已知函数的定义域为，则函数的定义域为()21f x +[]1,1-()f x []1,3-10.若，且，则下列说法正确的是（）0a b <<0a b +>A. B.1a b >-110a b+>C. D.22a b <()()110a b --<11.已知函数，则下列说法正确的是（）()()3233f x x x a x b=-+--A.若在上单调递增，则的取值范围是()f x ()0,+∞a (),0-∞B.点为曲线的对称中心()()1,1f ()y f x =C.若过点可作出曲线的三条切线，则的取值范围是()2,m ()()3y f x a x b =+-+m ()5,4--D.若存在极值点，且，其中，则()f x 0x ()()01f x f x =01x x ≠1023x x +=三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.__________.22lg 2lg3381527log 5log 210--+⋅+=13.已知函数称为高斯函数，表示不超过的最大整数，如，，则不等式[]y x =x []3.43=[]1.62-=-的解集为__________；当时，的最大值为__________.[][]06x x <-0x >[][]29x x +14.设函数，若，则的最小值为__________.()()()ln ln f x x a x b =++()0f x ≥ab 四､解答题：本题共5小题､共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）已知全集，集合，.U =R {}231030A x x x =-+≤{}220B x xa =+<（1）若，求和；8a =-A B ⋂A B ⋃（2）若，求的取值范围.()UA B B ⋂= a 16.（本小题满分15分）已知关于的不等式的解集为.x 2280ax x --<{}2x x b-<<（1）求，的值；a b （2）若，，且，求的最小值.0x >2y >-42a bx y +=+2x y +17.（本小题满分15分）已知函数.()()()211e 2x f x x ax a =--∈R （1）讨论的单调性；()f x （2）若对任意的恒成立，求的取值范围.()e x f x x ≥-[)0,x ∈+∞a 18.（本小题满分17分）已知函数是定义在上的奇函数.()22x xf x a -=⋅-R（1）求的值，并证明：在上单调递增；a ()f x R （2）求不等式的解集；()()23540f x x f x -+->（3）若在区间上的最小值为，求的值.()()442x x g x mf x -=+-[)1,-+∞2-m 19.（本小题满分17分）已知函数.()()214ln 32f x x a x x a =---∈R （1）若，求的图像在处的切线方程；1a =()f x 1x =（2）若恰有两个极值点，.()f x 1x ()212x x x <（i ）求的取值范围；a （ii ）证明：.()()124ln f x f x a+<-数学一参考答案､提示及评分细则1.A 由题意知，又，所以{}2290B x x ⎡=-=⎢⎣∣ {}4,3,2,0,2,3,4A =---，所以的元素个数为3，真子集的个数为.故选.{}2,0,2A B ⋂=-A B ⋂3217-=A 2.A 若，则，所以“”是“”的充分条件；若，满足4,6x y 24xy 4,6x y 24xy 1,25x y ==，但是，所以“”不是“”的必要条件，所以“”是24xy 4x <4,6x y 24xy 4,6x y “”的充分不必要条件.故选A.24xy 3.B 由题意可得，解得，令，可得4004e 5N N -=44e 5k -=20004e 0.645t N N N -⎛⎫== ⎪⎝⎭，解得，所以污染物消除至最初的还需要4小时.故选B.()248e e ek kk---==8t =64%4.D 依题意，函数的值域为，所以，解得()()2ln 22f x x mx m =-++R ()2Δ(2)420m m =--+ 或，即的取值范围是.故选D.2m 1m - m ][(),12,∞∞--⋃+5.C 因为是軍函数，所以，解得，又点在函数的图()()2nf x m x =-21m -=3m =()3,27()n f x x =象上，所以，解得，所以，易得函数在上单调递增，又273n=3n =()3f x x =()f x (),∞∞-+，所以.故选C.1241ln3lne 133log 2log 2->==>=>=>a c b <<6.D 由题意知，当时，；当时，；当时，(),4x ∞∈--()0f x <[]4,0x ∈-()0f x ()0,x ∞∈+.当时，，结合图象知；当时，，当()0f x 0x ()()()4f x x x a =-+-0a 0x >()e 0x f x ax =- 时，显然成立；当时，，令，所以，令，解0a =0a >1e x x a (),0e x x g x x =>()1e xxg x -='()0g x '>得，令0，解得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以01x <<()g x '<1x >()g x ()0,1()1,∞+，所以，解得综上，的取值范围为.故选D.()max 1()1e g x g ==11e a0e a < a []0,e 7.A 依题意得，即两式相减得4141log ,41log ,4a b a b ⎧⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎪⎨⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭⎩441log ,41log ,4a ba b ⎧⎛⎫=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪-= ⎪⎪⎝⎭⎩.在同一直角坐标系中作出的图()44411log log log 44a ba b ab ⎛⎫⎛⎫+==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4141log ,log ,4xy x y x y ⎛⎫=== ⎪⎝⎭象，如图所示：由图象可知，所以，即，所以.故选A.a b >1144ab⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()4log 0ab <01ab <<8.C 因为，所以，所以30a b c +- 30a b c +> 11911121519966399939911b a b a b b b b a b c a b a b a a a a ⎛⎫++=+=++--=-= ⎪+++⎝⎭++ ，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为.故选C.1911991b b a a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭+29b a =6b aa b c ++599.AD 由解得，所以，由，解得10,10x x +⎧⎨-⎩ 11x - ()f x =[]1,1-210x -，所以的定义域为，又，故函数11x - ()g x =[]1,1-()()f x g x ===与是相同的函数，故A 正确；，()f x ()g x ()6f x ==当且仅当方程无解，等号不成立，故B 错误；函数=2169x +=在定义域上为奇函数，则，即，即()313x x k f x k -=+⋅()()f x f x -=-331313x xx x k k k k ----=-+⋅+⋅，即，整理得，即，()()33313313x x xxxxk k k k ----=-+⋅+⋅313313x x x x k kk k ⋅--=++⋅22919x x k k ⋅-=-()()21910x k -+=所以，解得.当时，，该函数定义域为，满足，210k -=1k =±1k =()1313xx f x -=+R ()()f x f x -=-符合题意；当时，，由可得，此时函数定义域为1k =-()13311331x x xxf x --+==--310x -≠0x ≠，满足，符合题意.综上，，故C 错误；由，得{}0x x ≠∣()()f x f x -=-1k =±[]1,1x ∈-，所以的定义域为，故D 正确.故选AD.[]211,3x +∈-()f x []1,3-10.AC 因为，且，所以，所以，即，故A 正确；0a b <<0a b +>0b a >->01a b <-<10ab -<<因为，所以，故В错误；因为，所以，0,0b a a b >->+>110a ba b ab ++=<0a b <<,a a b b =-=由可得，所以，故C 正确；因为当，此时，故0a b +>b a >22a b <11,32a b =-=()()110a b -->D 错误.故选AC.11.BCD 若在上单调递增，则在上佰成立，所以()f x ()0,∞+()23630f x x x a '=-+- ()0,x ∞∈+，解得，即的取值范围是，故A 错误；因为()min ()13630f x f a '==--'+ 0a a (],0∞-，所以，又()()32333(1)1f x x x a x b x ax b =-+--=---+()11f a b =--+，所以点()()()332(21)21(1)1222f x f x x a x b x ax b a b -+=-----++---+=--+为曲线的对称中心，故B 正确；由题意知，所以()()1,1f ()y f x =()()3233y f x a x b xx =+-+=-，设切点为，所以切线的斜率，所以切线的方程为236y x x =-'()32000,3x x x -20036k x x =-，所以，整理得()()()3220000336y x x x x x x --=--()()()322000003362m xx x x x --=--.记，所以3200029120x x x m -++=()322912h x x x x m =-++()26h x x '=-，令，解得或，当时，取得极大值，当时，1812x +()0h x '=1x =2x =1x =()h x ()15h m =+2x =取得极小值，因为过点可作出曲线的三条切线，所以()h x ()24h m=+()2,m ()()3y f x a x b =+-+解得，即的取值范围是，故C 正确；由题意知()()150,240,h m h m ⎧=+>⎪⎨=+<⎪⎩54m -<<-m ()5,4--，当在上单调递增，不符合题意；当，()223633(1)f x x x a x a =-+-=--'()0,a f x (),∞∞-+0a >令，解得，令，解得在()0f x '>1x <-1x >+()0f x '<11x -<<+()f x 上单调递增，在上单调递堿，在上单调递增，因为,1∞⎛- ⎝1⎛+ ⎝1∞⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭存在极值点，所以.由，得，令，所以，()f x 0x 0a >()00f x '=()2031x a-=102x x t+=102x t x =-又，所以，又，()()01f x f x =()()002f x f t x =-()()32333(1)1f x x x a x b x ax b =-+--=---+所以，又，所以()()()330000112121x ax b t x a t x b ---+=-----+()2031x a-=，化简得()()()()()()()322320000000013112121312x x x b x x b t x x t x b----=----=------，又，所以，故D 正确.故选BCD.()()20330t x t --=010,30x x x t ≠-≠103,23t x x =+=12. 由题意知10932232862log 184163381255127log 5log 210log 5log 121027---⎛⎫+⋅+=+⋅-+ ⎪⎝⎭62511411410log 5log 2109339339=-⋅+=-+=13.（2分）（3分）因为，所以，解得，又函数[)1,616[][]06x x <-[][]()60x x -<[]06x <<称为高斯函数，表示不超过的最大整数，所以，即不等式的解集为.当[]y x =x 16x < [][]06x x <-[)1,6时，，此时；当时，，此时01x <<[]0x =[]2[]9x x =+1x []1x ，当且仅当3时等号成立.综上可得，当时，的[][][]2119[]96x x x x ==++[]x =0x >[]2[]9x x +最大值为.1614. 由题意可知：的定义域为，令，解得令，解21e -()f x (),b ∞-+ln 0x a +=ln ;x a =-()ln 0x b +=得.若，当时，可知，此时，不合题1x b =-ln a b -- (),1x b b ∈--()ln 0,ln 0x a x b +>+<()0f x <意；若，当时，可知，此时，不合ln 1b a b -<-<-()ln ,1x a b ∈--()ln 0,ln 0x a x b +>+<()0f x <题意；若，当时，可知，此时；当ln 1a b -=-(),1x b b ∈--()ln 0,ln 0x a x b +<+<()0f x >时，可知，此时，可知若，符合题意；若[)1,x b ∞∈-+()ln 0,ln 0x a x b ++ ()0f x ln 1a b -=-，当时，可知，此时，不合题意.综上所ln 1a b ->-()1,ln x b a ∈--()ln 0,ln 0x a x b +<+>()0f x <述：，即.所以，令，所以ln 1a b -=-ln 1b a =+()ln 1ab a a =+()()ln 1h x x x =+，令，然得，令，解得，所以在()ln 11ln 2h x x x '=++=+()0h x '<210e x <<()0h x '>21e x >()h x 上单调递堿，在上单调递增，所以，所以的最小值为.210,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭21,e ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭min 2211()e e h x h ⎛⎫==- ⎪⎝⎭ab 21e -15.解：（1）由题意知，{}2131030,33A x x x ⎡⎤=-+=⎢⎥⎣⎦∣ 若，则，8a =-{}()22802,2B x x =-<=-∣所以.(]1,2,2,33A B A B ⎡⎫⋂=⋃=-⎪⎢⎣⎭（2）因为，所以，()UA B B ⋂= ()UB A ⊆ 当时，此时，符合题意；B =∅0a 当时，此时，所以，B ≠∅0a <{}220Bx x a ⎛=+<= ⎝∣又，U A ()1,3,3∞∞⎛⎫=-⋃+ ⎪⎝⎭13解得.209a -< 综上，的取值范围是.a 2,9∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭16.解：（1）因为关于的不等式的解集为，x 2280ax x --<{2}xx b -<<∣所以和是关于的方程的两个实数根，且，所以2-b x 2280ax x --=0a >22,82,b a b a⎧=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩解得.1,4a b ==（2）由（1）知，所以1442x y +=+()()()221141422242241844242y xx y x y x y x y y x ⎡⎤+⎛⎫⎡⎤+=++-=+++-=+++-⎢⎥ ⎪⎣⎦++⎝⎭⎣⎦，179444⎡⎢+-=⎢⎣ 当且仅当，即时等号成立，所以.()2242y x y x +=+x y ==2x y +74-17.解：（1）由题意知，()()e e x x f x x ax x a=-=-'若，令.解得，令，解得，所以在上单调递琙，在0a ()0f x '<0x <()0f x '>0x >()f x (),0∞-上单调递增.()0,∞+若，当，即时，，所以在上单调递增；0a >ln 0a =1a =()0f x ' ()f x (),∞∞-+当，即时，令，解得或，令，解得，ln 0a >1a >()0f x '>0x <ln x a >()0f x '<0ln x a <<所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；()f x (),0∞-()0,ln a ()ln ,a ∞+当，即时，令，解得或，令，解得，ln 0a <01a <<()0f x '>ln x a <0x >()0f x '<ln 0a x <<所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.()f x (),ln a ∞-()ln ,0a ()0,∞+综上，当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在0a ()f x (),0∞-()0,∞+01a <<()f x 上单调递增，在上单调递减，在上单调递增当时，在上(,ln )a ∞-()ln ,0a ()0,∞+1a =()f x (),∞∞-+单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.1a >()f x (),0∞-()0,ln a ()ln ,a ∞+（2）若对任意的恒成立，即对任意的恒成立，()e xf x x - [)0,x ∞∈+21e 02xx ax x -- [)0,x ∞∈+即对任意的恒成立.1e 102x ax -- [)0,x ∞∈+令，所以，所以在上单调递增，当()1e 12x g x ax =--()1e 2x g x a=-'()g x '[)0,∞+，即时，，所以在上单调递增，所以()10102g a =-' 2a ()()00g x g '' ()g x [)0,∞+，符合题意；()()00g x g = 当，即时，令，解得，令，解得，所()10102g a =-<'2a >()0g x '>ln 2a x >()0g x '<0ln 2a x < 以在上单调递减，()g x 0,ln 2a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭所以当时，，不符合题意.0,ln 2a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()()00g x g <=综上，的取值范围是.a (],2∞-18.（1）证明：因为是定义在上的奇函数，所以，()f x R ()010f a =-=解得，所以，1a =()22x xf x -=-此时，满足题意，所以.()()22x x f x f x --=-=-1a =任取，所以12x x <，()()()()211122121211122222122222222122x x x x x x x x x x x x f x f x x x --⎛⎫--=---=--=-+ ⎪++⎝⎭又，所以，即，又，12x x <1222x x <12220x x -<121102x x ++>所以，即，所以在上单调递增.()()120f x f x -<()()12f x f x <()f x R （2）解：因为，所以，()()23540f x x f x -+->()()2354f x x f x ->--又是定义在上的奇函数，所以，()f x R ()()2354f x x f x ->-+又在上单调递增，所以，()f x R 2354x x x ->-+解得或，即不等式的解集为.2x >23x <-()()23540f x x f x -+->()2,2,3∞∞⎛⎫--⋃+ ⎪⎝⎭（3）解：由题意知，令，()()()44244222xxxxxxg x mf x m ---=+-=+--322,,2x x t t ∞-⎡⎫=-∈-+⎪⎢⎣⎭所以，所以.()2222442x xxxt --=-=+-()2322,,2y g x t mt t ∞⎡⎫==-+∈-+⎪⎢⎣⎭当时，在上单调递增，所以32m -222y t mt =-+3,2∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭，解得，符合题意；2min317()323224g x m m ⎛⎫=-++=+=- ⎪⎝⎭2512m =-当时，在上单调递减，在上单调递增，32m >-222y t mt =-+3,2m ⎛⎫- ⎪⎝⎭(),m ∞+所以，解得或（舍）.222min ()2222g x m m m =-+=-=-2m =2m =-综上，的值为或2.m 2512-19.（1）解：若，则，所以，1a =()214ln 32f x x x x =---()14f x x x =--'所以，又，()14112f =--='()1114322f =--=所以的图象在处的切线方程为，即.()f x 1x =()1212y x -=-4230x y --=（2）（i ）解：由题意知，()22444a x a x x x af x x x x x '---+=--==-又函数恰有两个极值点，所以在上有两个不等实根，()f x ()1212,x x x x <240x x a -+=()0,∞+令，所以()24h x x x a =-+()()00,240,h a h a ⎧=>⎪⎨=-<⎪⎩解得，即的取值范围是.04a <<a ()0,4（ii ）证明：由（i ）知，，且，12124,x x x x a +==04a <<所以()()2212111222114ln 34ln 322f x f x x a x x x a x x ⎛⎫⎛⎫+=---+--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()2212121214ln ln 62x x a x x x x =+-+-+-，()()()21212121214ln 262x x a x x x x x x ⎡⎤=+--+--⎣⎦()116ln 1626ln 22a a a a a a =----=-+要证，即证，只需证.()()124ln f x f x a+<-ln 24ln a a a a -+<-()1ln 20a a a -+-<令，所以，()()()1ln 2,0,4m a a a a a =-+-∈()11ln 1ln a m a a a a a -=-++=-'令，所以，所以即在上单调递减，()()h a m a ='()2110h a a a =--<'()h a ()m a '()0,4又，所以，使得，即，()()1110,2ln202m m '-'=>=<()01,2a ∃∈()00m a '=001ln a a =所以当时，，当时，，所以在上单调递增，在()00,a a ∈()0m a '>()0,4a a ∈()0m a '<()m a ()00,a 上单调递减，所以.()0,4a ()()()max 00000000011()1ln 2123m a m a a a a a a a a a ==-+-=-+-=+-令，所以，所以在上单调递增，所以()()13,1,2u x x x x =+-∈()2110u x x =->'()u x ()1,2，所以，即，得证.()000111323022u a a a =+-<+-=-<()0m a <()()124ln f x f x a +<-。

2024新高考「九省联考」数学试题+答案及解析(高清版)

加油！有志者事竟成答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。

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相信你是最棒的！1九省2024年新高考数学普通高考适应性测试一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.样本数据16，24，14，10，20，30，12，14，40的中位数为（） A. 14 B. 16 C. 18 D. 20【解答】样本数据按照从小到大排列为10，12，14，14，16，20，24，30，40，中位数为16，故选：B.2.椭圆2221(1)x y a a +=>的离心率为12，则a =（）A.B. C. D. 2【解答】由12c e a ==，则12c a =；由方程可得21b =，即2222314b ac a =−==，所以243a =，又0a >，则a =故选：A.3.记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，376a a +=，1217a =，则16S =（） A. 120 B. 140 C. 160 D. 180【解答】由等差数列项与项的性质：37526a a a +==，则53a =，51220a a +=；由等差数列项与和的性质：161165128()8()160.S a a a a =+=+= 故选：C.4.设,αβ是两个平面，,m l 是两条直线，则下列命题为真命题的是（） A.若,//,//m l αβαβ⊥，则m l ⊥ B. 若,,//m l m l αβ⊂⊂，则//αβC. 若,//,//m l l αβαβ⋂=，则//m lD.若,,//m l m l αβ⊥⊥，则αβ⊥【解答】由已知条件，,m l 可能共面，也可异面，A 错；若n αβ=，m ∥n ，l ∥n ，也符合要求，B 错；m ∥l ，,,m l αβ⊥⊥则α∥β，D 错，故选：C.5.甲、乙、丙等5人站成一排，且甲不在两端，乙和丙之间恰有2人，则不同排法共有（） A. 20种 B. 16种 C. 12种 D. 8种【解答】乙丙之间如果没有甲，则甲一定在两端，与已知矛盾，所以甲一定在乙丙之间，从甲乙丙之外的两人中选一人放在乙丙之间有122C =种方法，与甲之间的顺序有2种方法，乙丙之间的顺序有2种方法，这4人看作一个整体和剩下的一人排序有2种方法，所以总计有2×2×2×2=16种不同排法，故选：B.6.已知Q 为直线:210l x y ++=上的动点，点P 满足(1,3)OP =−，记P 的轨迹为E ，则（）A.EB. E 是一条与l 相交的直线C.E 上的点到lD. E 是两条平行直线【解答】设00(,),(,)Q x y P x y ，则00(,)(1,3)QP x x y y =−−=−，那么0013x x y y −=⎧⎨−=−⎩，即0013x x y y =−⎧⎨=+⎩；因为00(,)Q x y 在直线:210l x y ++=上，则00210x y ++=，所以(1)2(3)10x y −+++=，即P 点轨迹E 的方程260x y ++=，ABD 错，两平行直线之间距离d ==C 对，故选：C.7.已知3,4πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，tan 24tan 4πθθ⎛⎫=−+ ⎪⎝⎭，则21sin 22cos sin 2θθθ+=+（）A.14 B. 34 C. 1 D. 32【解答】由tan 24tan()4πθθ=−+，则22tan tan 141tan 1tan θθθθ+=−−−，整理得22tan 5tan 2(2tan 1)(tan 2)0θθθθ++=++=，故1tan 2θ=−或tan 2θ=−，又3(,)4θππ∈−，故tan (1,0)θ∈−，所以1tan 2θ=−. 222221sin 2sin cos 2sin cos tan 12tan tan 112cos sin 22cos 2sin cos 22tan 24θθθθθθθθθθθθθθ++++++====+++. 故选：A.8.设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b−=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过坐标原点的直线与C交于A ，B 两点，211222,4F B F A F A F B a =⋅=，则C 的离心率为（）A.B. 2C.D.【解答】由双曲线的对称性，四边形12F BF A 为平行四边形. 设11||2||2F B F A m ==，由双曲线定义11||||2F B F A m a −==，故1212||||24,||||2F B F A m a F A F B m a ======,2222222||||cos 42cos 4,F A F B F A F B AF B a a AF B a ⋅=∠=⋅⋅∠=21cos 2AF B ∠=， 2212,33AF B F BF ππ∠=∠=，在21F BF 中由余弦定理，22221(4)(2)(2)1cos 2422a a c F BF a a +−∠==−⋅⋅，解得2227,c e e a===故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。

贵州省贵阳市第一中学2024-2025学年高三上学期9月月考试题数学 (解析版)

数学试卷注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号在答题卡上填写清楚.2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号､在试题卷上作答无效.3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟.一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，则（）A. B. C. D.2.下列函数在其定义域内单调递增的是（）A. B.C. D.3.已知等差数列满足，则（）A.2B.4C.6D.84.已知点是抛物线上一点，若到抛物线焦点的距离为5，且到轴的距离为4，则（）A.1或2B.2或4C.2或8D.4或85.已知函数的定义域为.记的定义域为集合的定义域为集合.则“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.已知函数的定义域为.设函数，函数.若是偶函数，是奇函数，则的最小值为（）A.B.C.D.7.从的二项展开式中随机取出不同的两项，则这两项的乘积为有理项的概率为（）{}{}2230,1,2,3,4A xx x B =-->=∣A B ⋂={}1,2{}1,2,3{}3,4{}41y x=-2ln y x =32y x =e xy x ={}n a 376432,6a a a a +=-=1a =A ()2:20C y px p =>A A x p =()23f x -[]2,3()f x (),21xA f -B x A ∈x B ∈()f x R ()()e xg x f x -=+()()5e xh x f x =-()g x ()h x ()f x e 2e51x ⎫⎪⎭A.B. C. D.8.已知圆，设其与轴､轴正半轴分别交于，两点.已知另一圆的半径为，且与圆相外切，则的最大值为（）A.20B.C.10D.二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.离散型随机变量的分布列如下表所示，是非零实数，则下列说法正确的是（）20242025A.B.服从两点分布C.D.10.已知函数，下列说法正确的是（）A.的定义域为，当且仅当B.的值域为，当且仅当C.的最大值为2，当且仅当D.有极值，当且仅当11.设定义在上的可导函数和的导函数分别为和，满足，且为奇函数，则下列说法正确的是（）A.B.的图象关于直线对称C.的一个周期是4D.三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.过点作曲线且的切线，则切点的纵坐标为__________.13.今年暑期旅游旺季，贵州以凉爽的气候条件和丰富的旅游资源为依托，吸引了各地游客前来游玩.由安25351323221:220C x y x y +--=x y M N 2C 1C 22C M C N ⋅X ,m n X Pm n1m n +=X ()20242025E X <<()D X mn=()()214log 21f x ax ax =-+()f x R 01a <<()f x R 1a …()f x 1516a =()f x 1a <R ()f x ()g x ()f x '()g x '()()()()11,3g x f x f x g x --=''=+()1g x +()00f =()g x 2x =()f x 20251()0k g k ==∑()0,0(0x y a a =>1)a ≠顺黄果树瀑布､荔波小七孔､西江千户苗寨､赤水丹霞､兴义万峰林､铜仁梵净山6个景点谐音组成了贵州文旅的拳头产品“黄小西吃晚饭”.小明和家人计划游览以上6个景点，若铜仁梵净山不安排在首末位置，且荔波小七孔和西江千户苗寨安排在相邻位置，则一共有__________种不同的游览顺序方案.（用数字作答）14.已知函数若存在实数且，使得，则的最大值为__________.四､解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.（本小题满分13分）下图中的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形.图（1）是一个面积为1的实心正三角形，分别连接这个正三角形三边的中点，将原三角形分成4个小正三角形，并去掉中间的小正三角形得到图（2），再对图（2）中的每个实心小正三角形重复以上操作得到图（3），再对图（3）中的每个实心小正三角形重复以上操作得到图（4），…，依此类推得到个图形.记第个图形中实心三角形的个数为，第n 个图形中实心区域的面积为.（1）写出数列和的通项公式；（2）设，证明.16.（本小题满分15分）如图，在三棱台中，和都为等腰直角三角形，为线段的中点，为线段上的点.（1）若点为线段的中点，求证：平面；（2）若平面分三棱台所成两部分几何体的体积比为，求二面角的正弦值.()223,0,ln ,0,x x x f x x x ⎧++=⎨>⎩…123,,x x x 123x x x <<()()()123f x f x f x ==()()()112233x f x x f x x f x ++n n n a n b {}n a {}n b 121121n n n n n c a b a b a b a b --=++++ 43n n n a c a <…111A B C ABC -111A B C V ABC V 111112,4,90,CC C A CA ACC BCC CBA G ∠∠∠====== AC H BC H BC 1A B ∥1C GH 1C GH 111A B C ABC -2:511C GH B --17.（本小题满分15分）已知双曲线与双曲线的离心率相同，且经过点的焦距为.（1）分别求和的方程；（2）已知直线与的左､右两支相交于点，与的左､右两支相交于点，D，，判断直线与圆的位置关系.18.（本小题满分17分）为了检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，需要进行动物与人体试验.研究人员将疫苗注射到200只小白鼠体内，一段时间后测量小白鼠的某项指标值，按分组，绘制频率分布直方图如图所示.试验发现小白鼠体内产生抗体的共有160只，其中该项指标值不小于60的有110只.假设小白鼠注射疫苗后是否产生抗体相互独立.（1）填写下面的列联表，并根据列联表及的独立性检验，判断能否认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关；单位：只指标值抗体小于60不小于60合计有抗体没有抗体合计（2）为检验疫苗二次接种的免疫抗体性，对第一次注射疫苗后没有产生抗体的40只小白鼠进行第二次注射疫苗，结果又有20只小白鼠产生抗体.（i ）用频率估计概率，求一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率；（ii ）以（i ）中确定的概率作为人体注射2次疫苗后产生抗体的概率，进行人体接种试验，记100个人注射2次疫苗后产生抗体的数量为随机变量.求及取最大值时的值.()2222:10,0x y M a b a b -=>>2222:12x y N m m-=M ()2,2,N M N l M ,A B N C AB CD=l 222:O x y a +=[)[)[)[)[]0,20,20,40,40,60,60,80,80,10022⨯0.01α=P P X ()E X ()P X k =k参考公式：（其中为样本容量）参考数据：0.1000.0500.0100.0052.7063.8416.6357.87919.（本小题满分17分）三角函数是解决数学问题的重要工具.三倍角公式是三角学中的重要公式之一，某数学学习小组研究得到了以下的三倍角公式：①；②.根据以上研究结论，回答：（1）在①和②中任选一个进行证明；（2）已知函数有三个零点且.（i ）求的取值范围；（ii ）若，证明：.()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++n a b c d =+++αx α3sin33sin 4sin θθθ=-3cos34cos 3cos θθθ=-()323f x x ax a =-+123,,x x x 123x x x <<a 1231x x x =-222113x x x x -=-贵阳第一中学2025届高考适应性月考卷（一）数学参考答案一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）题号12345678答案DCBCBCAA【解析】1.由题，或，则，故选D.2.对于A 选项，的定义域为，该函数在和上单调递增，在定义域内不单调；对于B 选项，的定义域为，该函数在上单调递减，在上单调递增，在定义域内不单调；对于C 选项，，该函数在定义域上单调递增；对于D 选项，的定义域为，当时，；当时，，在上单调递减，在上单调递增，因此该函数在定义域内不单调，故选C.3.，故选B.4.设点，则整理得，解得或，故选C.5.的定义域为.当时，的定义域为，即.令，解得的定义域为，即.“”是“”的必要不充分条件，故选B.{1A xx =<-∣{}3},1,2,3,4x B >={}4A B ⋂=1y x=-()(),00,∞∞-⋃+(),0∞-()0,∞+2ln y x =()(),00,∞∞-⋃+(),0∞-()0,∞+32y x ==[)0,∞+e x y x =().1e xy x =+'R (),1x ∞∈--0y '<()1,x ∞∈-+0y '>x e y x ∴=(),1∞--()1,∞-+53756415232,16,26,3,44a a a a d a a d a a d =+===-===-= ()00,A x y 200002,5,24,y px p x y ⎧=⎪⎪+=⎨⎪=⎪⎩582p p ⎛⎫-= ⎪⎝⎭2p =8p =()23f x - []2,323x ……()1233,x f x -∴……[]1,3[]1,3A =1213x -……()12,21xx f ∴-……[]1,2[]1,2B =,B A ⊆∴ x A ∈x B ∈6.由题，解得，所以，即时，等号成立，C.7.设的二项展开式的通项公式为，，所以二项展开式共6项.当时的项为无理项；当时的项为有理项.两项乘积为有理数当且仅当此两项同时为无理项或同时为有理项，故其概率为，故选A.8.由题，，即圆心为，且，为的直径.与相外切，.由中线关系，有，当且仅当时，等号成立，所以的最大值为20，故选A.二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分）题号91011答案ACDBCBCD【解析】9.对于A 选项，由分布列性质可知正确；对于B 选项，由两点分布定义可知错误；对于C 选项，，正确；对于D 选项，令，则服从两点分布，，，正确，故选ACD.10.令，对于A 选项，的定义域为或，故A 错误；对于B 选项，的值域为在定义域内的值域为()()()()()()()(),e e ,5e 5e ,x xx xg x g x f x f x h x h x f x f x --⎧⎧=-+=-+⎪⎪⇒⎨⎨=---=--+⎪⎪⎩⎩()3e 2e x xf x -=+()3e 2e xxf x -=+…3e 2e x x -=12ln 23x =min ()f x ∴=51x ⎫⎪⎭53521551C C ,0,1,2kkk k kk T x k x --+⎛⎫=== ⎪⎝⎭3,4,50,2,4k =1,3,5k =223326C C 2C 5+=221:(1)(1)2C x y -+-=()11,1C ()()2,0,0,2M N MN 1C 1C 2C 12C C ∴=+=()()2222222222121222218240,202C M C NC M C N C C C MC M C N ++=+=⨯+=∴⋅=…22C M C N =22C M C N ⋅()()()202420252024120252024.01,20242025E X m n n n n n E X =+=-+=+<<∴<< 2024Y X =-Y ()()1D Y n n mn =-=()()()2024D X D Y D Y mn ∴=+==()2221,Δ44g x ax ax a a =-+=-()f x 0a ⇔=R 0,01Δ0a a >⎧⇔<⎨<⎩…()f x ()g x ⇔R，故B 正确；对于C 选项，的最大值为在定义域内的最小值为，故C 正确；对于D 选项，有极值在定义域内有极值且，故D 选项错误，故选BC.11.对于A 选项，因为为奇函数，所以，又由，可得，故A 错误；对于B 选项，由可得为常数，又由，可得，则，令，得，所以，所以的图象关于直线对称，故B 正确；对于C 选项，因为为奇函数，所以，所以，所以是一个周期为4的周期函数，，所以也是一个周期为4的周期函数，故C 正确；对于D 选项，因为为奇函数，所以，又，又是周期为4的周期函数，所以，故D 正确，故选BCD.三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）题号121314答案144【解析】12.设切点坐标为切线方程为.将代入得，可得切点纵坐标为.13.先对小七孔和千户苗寨两个相邻元素捆绑共有种方法，再安排梵净山的位置共有种方法，再排其()0,0,1Δ0a a ∞>⎧+⇔⇔⎨⎩……()f x ()2g x ⇔()0,11511616116a a g >⎧⎪⇔⇔=⎨=⎪⎩()f x ()g x ⇔()0,110a a g ≠⎧⇔⇔<⎨>⎩0a ≠()1g x +()10g =()()11g x f x --=()()()101,01g f f -==-()()3f x g x '=+'()()3,f x g x C C =++()()11g x f x --=()()11g x f x --=()()131g x g x C --+-=1x =-()()221g g C --=1C =-()()()13,g x g x g x -=+2x =()1g x +()()()311g x g x g x +=-=-+()()()()()2,42g x g x g x g x g x +=-+=-+=()g x ()()()()()()31,47131f x g x f x g x g x f x =+-+=+-=+-=()f x ()1g x +()()()()10,204g g g g ==-=-()()310g g ==()g x 20251()(1)0k g k g ===∑e33e 6-(),,ln ,txt a y a a ='∴ ln x y a a x =⋅(),tt aln tta a t a ⋅=1log e,ln a t a==∴e log e t a a a ==22A 13C余元素共有种排法，故共有种不同的方案.14.设，由的函数图象知，，又，.令在上单调递增，则，的最大值为.四､解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.（本小题满分13分）（1）解：数列是首项为1，公比为3的等比数列，因此；数列是首项为1，公比为的等比数列，因此，.（2）证明：由（1）可得因为，所以，所以.16.（本小题满分15分）（1）证明：如图1，连接，设，连接，44A 214234A C A 144⋅⋅=()()()123f x f x f x t ===()f x 23t <…1232,ln x x x t +=-= ()()()3112233e ,2e t t x x f x x f x x f x t t =∴++=-+()()()()2e ,23,1e 20,t t t t t t t t t ϕϕϕ'=-+<=+->∴…(]2,3()3max ()33e 6t ϕϕ==-()()()112233x f x x f x x f x ∴++33e 6-{}n a 11133n n n a --=⨯={}n b 341133144n n n b --⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭1210121121121333333334444n n n n n n n n n c a b a b a b a b ------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++=⋅+⋅++⋅+⋅ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭12101111134444n n n ---⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++⎢⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦121114134311414n nn n --⎡⎤⎛⎫⋅-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=⋅=⋅⋅-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-2114314411334n n nnn nc a --⎡⎤⎛⎫⋅⋅-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦413n n c a <…43n n n a c a <…1AC 11AC C G O ⋂=1,HO A G三棱台，则，又，四边形为平行四边形，则.点是的中点，.又平面平面，平面.（2）解：因为平面分三棱台所成两部分几何体的体积比为，所以，即，化简得，此时点与点重合.，且都在平面，则平面，111A B C ABC -11AC ∥AC 122CG AC ==∴11AC CG 1CO OA = H BC 1BA ∴∥OH OH ⊂11,C HG A B ⊄1C HG 1A B ∴∥1C HG 1C GH 111A B C ABC -2:511127C GHC AB V V B C ABC -=-()1111121373GHC ABC AB C S CC S S CC ⋅⋅=⋅⋅+⋅V V V 12GHC ABC S S =V V H B 1190C CA BCC ∠∠== 11,,C C BC CC AC BC AC C ∴⊥⊥⋂=ABC 1CC ⊥ABC又为等腰直角三角形，则.又由（1）知，则平面，建立如图2所示的坐标系则，设平面的法向量，则令，解得，设平面的法向量，则令，解得.设二面角的平面角为，，所以，所以二面角.17.（本小题满分15分）解：（1）由题意可知双曲线的焦距为，解得，即双曲线.因为双曲线与双曲线的离心率相同，不妨设双曲线的方程为，因为双曲线经过点，所以，解得，则双曲线的方程为.ABC V BG AC ⊥1A G ∥1CC 1A G ⊥ABC ,G xyz -()()()()2,0,0,0,2,0,0,0,0,0,2,0H A G C -()()110,2,2,1,1,2C B --1C HG ()()()1,,,0,2,2,2,0,0n x y z GC GH ==-= 220,20,y z x -+=⎧⎨=⎩1y =()0,1,1n = 1B GH ()()1,,,1,1,2m a b c GB ==- 20,20,a b c a -+=⎧⎨=⎩2b =()0,2,1m = 11C GH B --θcos cos ,m n m n m n θ⋅=<>=== sin θ==11C GH B --N =21m =22:12y N x -=M N M 222y x λ-=M ()2,242λ-=2λ=M 22124x y -=（2）易知直线的斜率存在，不妨设直线的方程为，联立消去并整理得此时可得，当时，由韦达定理得；当时，由韦达定理得，则，化简可得，由（1）可知圆，则圆心到直线的距离，所以直线与圆相切或相交.18.（本小题满分17分）解：（1）由频率分布直方图知，200只小白鼠按指标值分布为：在内有（只）；在）内有（只）；在）内有（只）；在）内有（只）；在内有（只）由题意，有抗体且指标值小于60的有50只；而指标值小于60的小白鼠共有（只），所以指标值小于60且没有抗体的小白鼠有20只，同理，指标值不小于60且没有抗体的小白鼠有20只，故列联表如下：单位：只l l ()()()()11223344,,,,,,,,y kx t A x y B x y C x y D x y =+22,,2y kx t y x λ=+⎧⎪⎨-=⎪⎩y ()2222220,k x ktx t λ----=()()222222Δ44220,20,2k t k tt k λλ⎧=+-+>⎪⎨--<⎪-⎩22k <2λ=212122224,22kt t x x x x k k--+==--1λ=234342222,22kt t x x x x k k--+==--ABCD ====222t k +=22:2O x y +=O l d ====l O [)0,200.00252020010⨯⨯=[20,400.006252020025⨯⨯=[40,600.008752020035⨯⨯=[60,800.025********⨯⨯=[]80,1000.00752020030⨯⨯=10253570++=指标值抗体小于60不小于60合计有抗体50110160没有抗体202040合计70130200零假设为：注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60无关联.根据列联表中数据，得.根据的独立性检验，没有充分证据认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关.（2）（i ）令事件“小白鼠第一次注射疫苗产生抗体”，事件“小白鼠第二次注射疫苗产生抗体”，事件“小白鼠注射2次疫苗后产生抗体”.记事件发生的概率分别为，则，.所以一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率.（ii ）由题意，知随机变量，所以.又，设时，最大，所以解得，因为是整数，所以.19.（本小题满分17分）（1）若选①，证明如下：若选②，证明如下：.0H 220.01200(502020110) 4.945 6.6351604070130x χ⨯⨯-⨯=≈<=⨯⨯⨯0.01α=A =B =C =,,A B C ()()(),,P A P B P C ()()160200.8,0.520040P A P B ====()1P C =-()()10.20.50.9P A P B =-⨯=0.9P =()100,0.9X B ~()1000.990E X np ==⨯=()()C 0.90.10,1,2,,k k n k n P X k k n -==⨯⨯= 0k k =()P X k =00000000000010011910010010011101100100C 0.90.1C 0.90.1,C 0.90.1C 0.90.1,k k k k k k k k k k k k -++-----⎧⨯⨯≥⨯⨯⎪⎨⨯⨯≥⨯⨯⎪⎩089.990.9k ……0k 090k =()()22sin3sin 2sin2cos cos2sin 2sin cos 12sin sin θθθθθθθθθθθ=+=+=+-()()2232sin 1sin 12sin sin 3sin 4sin θθθθθθ=-+-=-()()22cos3cos 2cos2cos sin2sin 2cos 1cos 2sin cos θθθθθθθθθθθ=+=-=--()3232cos cos 21cos cos 4cos 3cos θθθθθθ=---=-（2）（i ）解：，当时，恒成立，所以在上单调递增，至多有一个零点；当时，令，得；令，得令，得或所以在上单调递减，在上单调递增.有三个零点，则即解得，当时，，且，所以在上有唯一一个零点，同理所以在上有唯一一个零点.又在上有唯一一个零点，所以有三个零点，综上可知的取值范围为.（ii ）证明：设，则.又，所以.此时，方程的三个根均在内，方程变形为，令，则由三倍角公式.因为，所以.()233f x x a =-'0a …()0f x '…()f x (),∞∞-+0a >()0f x '=x =()0f x '<x <<()0f x '>x <x >()f x ((),,∞∞-+()f x (0,0,f f ⎧>⎪⎨<⎪⎩2220,20,a a ⎧+>⎪⎨-<⎪⎩04a <<04a <<4a +>()()()()32224(4)3445160f a a a a a a a a a +=+-++=++++>()f x )4a +()2220,g a -<-=-=-<()f x (-()f x (()f x a ()0,4()()()()321233f x x ax a x x x x x x =-+=---()212301f a x x x ==-=04a <<1a =()()()()210,130,110,230f f f f -=-<-=>=-<=>3310x x -+=()2,2-3310x x -+=3134222x x ⎛⎫=⋅-⋅ ⎪⎝⎭ππsin 222x θθ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭31sin33sin 4sin 2θθθ=-=3π3π3,22θ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭7ππ5π7ππ5π3,,,,,666181818θθ=-=-因为，所以，所以.123x x x <<1237ππ5π2sin ,2sin ,2sin 181818x x x =-==222221π7ππ7π4sin 4sin 21cos 21cos 181899x x ⎛⎫⎛⎫-=-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭137ππ5π7π2cos 2cos 2sin 2sin 991818x x =-=--=-。

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（全国II 卷）陕西省高三数学九月联考试题理
注意事项：
1本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.
2.本试卷满分150分，测试时间120分钟。

3.考试范围：必修1～5，选修2—1，2—2，2—3。

第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合2{4120},{2}A x x x B y y x =--<==+，则A B =I
A.[0，6)
B.[2，6)
C.(－2，0]
D.φ
2.
3229i i
-=+ A.12318585i - B.12318585i -+ C.12318585i + D.12318585i -- 3.已知346log 15,log 20,log 30,a b c === 则
A.a>b>c
B.a>c>b
C.b>a>c
D.b>c>a
4.“沉鱼、落雁、闭月、羞花”是由精彩故事组成的历史典故。

“沉鱼”，讲的是西施浣纱的故事；“落雁”，指的就是昭君出塞的故事；“闭月”，是述说貂蝉拜月的故事；“羞花”，谈的是杨贵妃醉酒观花时的故事。

她们分别是中国古代的四大美女。

某艺术团要以四大美女为主题排演一部舞蹈剧，甲、乙、丙、丁抽签决定扮演的对象，则甲不扮演貂蝉且乙不扮演杨贵妃的概率为
A.13
B.712
C.512
D.12
5.函数3()sin x e f x x x =+ 的图象大致为
6.2734()x x - 的展开式中，x 4项的系数为
A.－280
B.280
C.－560
D.560
7.已知A(2，4)，B(4，1)，C(9，5)，D(7，8)，现有如下四个结论：
①AB AC ⊥u u u r u u u r ； ②四边形为平行四边形；
③AC BD ⊥u u u r u u u r 与夹角的余弦值为729； ④85AB AC +=u u u r u u u r ；则上述正确结论的序号为
A.①③
B.②④
C.①④
D.②③
8.《九章算术》卷七——盈不足中有如下问题：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三。

问人数、羊价各几何？”翻译为：”现有几个人一起买羊，若每人出五钱，还差四十五钱，若每人岀七钱，还差三钱，问人数、羊价分别是多少”。

为了研究该问题，设置了如图所示的程序框图，若要输出人数和羊价，则判断框中应该填
A. k>20
B. k>21
C. k>22
D. k>23
9.已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积为2P 在正方形A 1B 1C 1D 1上，且A 1，C 到P 的距离
分别为2
，CP 与平面BDD 1B 1所成角的正切值为
12 D.13
10.已知椭圆C ：22
182
x y +=的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线l 过F 2点且与椭圆C 交于M ，N 两点，且MA AN =u u u r u u u r ，若2OA AF =，则直线l 的斜率为
A.1±
B.12±
C.13±
D.14
± 11.关于函数()sin
cos 22x x f x =+有下述三个结论： ①函数f(x)的图象既不关于原点对称，也不关于y 轴对称；②函数f(x)的最小正周期为π；③0x R ∃∈
，0()1f x =。

其中正确结论的个数为
A.0
B.1
C.2
D.3
12.在三棱锥S －ABC 中，AC ＝2AB ＝4，BC
＝AS ⊥SC ，平面ABC ⊥平面SAC ，则当△CBS 的面积最大时，三棱锥S －ABC 内切球的半径为
A.0.125
B.0.25
C.0.5
D.0.75
0.25≈ 第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13.已知函数3ln(2)()x f x x x =-，则曲线y ＝f(x)在11(,())22
f 处的切线方程为 14.设实数x ，y 满足2105x y x y y +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩
，则z ＝x ＋4y 的最小值为
15.若随机变量ξ服从正态分布N(9，16)，则(313)P ξ-<≤＝
参考数据：若2
~(,)N ξμσ，则()0.6827P μσξμσ-<≤+=， (22)0.9545P μσξμσ-<≤+=，(33)0.9973P μσξμσ-<≤+=。

16.已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b
-=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，点M 在C 的渐近线上，且MF 1⊥MF 2，122MF b MF =+，则2
2b a
＝三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(本小题满分10分)
记首项为1的数列{a n }的前项n 和为S n ，且123(31)n n n n S a +=-g。

(1)求证：数列{a n }是等比数列；
(2)若29(1)(log )n n n b a =-⋅，求数列{b n }的前2n 项和。

18.(本小题满分12分)
在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且222
222cos a c b c bc A
+-=-。

(1)求A 的值；
(2)若AM ⊥BC ，垂足为M ，且BC ＝12，求AM 的取值范围。

19.(本小题满分12分)
如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，四边形ABCD 为矩形，∠PDC ＝∠PCD ，∠CPB=∠CBP ，BC=2AB ，PD ⊥BC ，点M 是线段AB 上靠近A 的三等分点。

(1)求证：PC ⊥PA ；
(2)求二面角M ―PC ―B 的余弦值。

20.(本小题满分12分)
记抛物线C ：y 2
＝－2x 的焦点为F ，点M 在抛物线上，，N(－3，1)斜率为k 的直线l 与抛物线C 交于P 、Q 两点。

(1)求MN MF +的最小值；
(2)若M(－2，2)，直线MP ，MQ 的斜率都存在，且k MP ＋k MQ ＋2＝0；探究：直线l 是否过定点，
若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由。

21.(本小题满分12分)
已知函数2
()2ln ,()12()f x x ax g x x f x =+=+-。

(1)讨论函数f(x)在[4，＋∞)上的单调性；
(2)若a>0，当(1,)x ∈+∞时，g(x)≥0，且g(x)有唯一零点，证明：a<1。

22.(本小题满分12分)
某游戏公司对今年新开发的一些游戏进行评测，为了了解玩家对游戏的体验感，研究人员随机调查了300名玩家，对他们的游戏体验感进行测评，并将所得数据统计如图所示，其中a －b ＝0.016。

(1)求这300名玩家测评分数的平均数；
(2)由于该公司近年来生产的游戏体验感较差，公司计划聘请3位游戏专家对游戏进行初测，如果3人中有2人或3人认为游戏需要改进，则公司将回收该款游戏进行改进；若3人中仅1人认为游戏需要改进，则公司将另外聘请2位专家二测，二测时，2人中至少有1人认为游戏需要改进的话，公司则将对该款游戏进行回收改进。

已知该公司每款游戏被每位专家认为需要改进的概率为p(0<p<1)，且每款游戏之间改进与否相互独立。

(i)对该公司的任意一款游戏进行检测，求该款游戏需要改进的概率；
(ii)每款游戏聘请专家测试的费用均为300元/人，今年所有游戏的研发总费用为50万元，现对该公司今年研发的600款游戏都进行检测，假设公司的预算为110万元，判断这600款游戏所需的最高费用是否超过预算，并通过计算说明。