第7讲 比例法解行程(学生版)
六年级奥数-第七讲.行程问题(一).教师版
第七讲行程问题（一）教学目标：1比例的基本性质2、熟练掌握比例式的恒等变形及连比问题3、能够进行各种条件下比例的转化，有目的的转化；4、单位“1”变化的比例问题5、方程解比例应用题知识点拨：发车问题（1）、一般间隔发车问题。
用3个公式迅速作答；汽车间距=（汽车速度+行人速度）X相遇事件时间间隔汽车间距=（汽车速度-行人速度）X追及事件时间间隔汽车间距=汽车速度X汽车发车时间间隔（2）、求到达目的地后相遇和追及的公共汽车的辆数。
标准方法是：画图一一尽可能多的列3个好使公式一一结合s全程=vXt-结合植树问题数数。
（3）当出现多次相遇和追及问题一一柳卡火车过桥火车过桥问题常用方法⑴ 火车过桥时间是指从车头上桥起到车尾离桥所用的时间，因此火车的路程是桥长与车身长度之和⑵火车与人错身时，忽略人本身的长度，两者路程和为火车本身长度；火车与火车错身时，两者路程和则为两车身长度之和•⑶ 火车与火车上的人错身时，只要认为人具备所在火车的速度，而忽略本身的长度，那么他所看到的错车的相应路程仍只是对面火车的长度•对于火车过桥、火车和人相遇、火车追及人、以及火车和火车之间的相遇、追及等等这几种类型的题目，在分析题目的时候一定得结合着图来进行接送问题根据校车速度（来回不同）、班级速度（不同班不同速）、班数是否变化分类为四种常见题型：（1）车速不变-班速不变-班数2个（最常见）（2）车速不变-班速不变-班数多个（3）车速不变-班速变-班数2个（4）车速变-班速不变-班数2个标准解法：画图+列3个式子1、总时间=一个队伍坐车的时间+这个队伍步行的时间；2、班车走的总路程；3、一个队伍步行的时间=班车同时出发后回来接它的时间。
时钟问题：时钟问题可以看做是一个特殊的圆形轨道上2人追及问题，不过这里的两个“人”分别是时钟的分针和时针。
时钟问题有别于其他行程问题是因为它的速度和总路程的度量方式不再是常规的米每秒或者千米每小时，而是2个指针“每分钟走多少角度”或者“每分钟走多少小格”。
第7讲函数、一次函数与正比例函数(原卷版)
第7讲函数、一次函数与正比例函数2.初步理解函数的概念，能判断两个变量间的关系，初步形成利用函数的观点认识现实世界的意识3.理解一次函数和正比例函数的概念;4.能根据所给条件写出简单的一次函数表达式.5.了解一次函数两个变量之间的变化规律.在认识一次函数图象的基础上，掌握一次函数图象及其简单性质;6.经历对一次函数图象变化规律的探究过程,学会解决一次函数问题知识精讲1.变量与常量在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。
一般地，在某一变化过程中有两个变量x 与y ，如果对于x 的每一个值，y 都有唯一确定的值与它对应，那么就说x 是自变量，y 是x 的函数。
2.函数解析式用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。
使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。
3.函数的三种表示法及其优缺点（1）解析法两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法。
（2）列表法把自变量x 的一系列值和函数y 的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。
（3）图像法用图像表示函数关系的方法叫做图像法。
4.一般地，如果b kx y +=（k ，b 是常数，k ≠0），那么y 叫做x 的一次函数。
特别地，当一次函数b kx y +=中的b 为0时，kx y =（k 为常数，k ≠0）。
这时，y 叫做x 的正比例函数。
5.一次函数的图像所有一次函数的图像都是一条直线6.一次函数、正比例函数图像的主要特征：一次函数b kx y +=的图像是经过点（0，b ）的直线；正比例函数kx y =的图像是经过原点（0，0）的直线。
7.正比例函数的性质一般地，正比例函数kx y =有下列性质：（1）当k>0时，图像经过第一、三象限，y 随x 的增大而增大；（2）当k<0时，图像经过第二、四象限，y 随x 的增大而减小。
(完整版)六年级奥数比例解行程问题
_________________个性化辅导讲义年 级：时 间年 月 日课 题比例解行程问题教学目标1.了解物体匀速运动的特点。
2.掌握运用比例知识解决行程问题的方法。
3.培养想像力，增强思维力。
教 学 内 容【知识梳理】我们常常会应用比例的工具分析2个物体在某一段相同路线上的运动情况，我们将甲、乙的速度、时间、路程分别用来表示，大体可分为以下两种情况：,,v v t ts s 乙乙乙甲甲甲，；；1.当2个物体运行速度在所讨论的路线上保持不变时，经过同一段时间后，他们走过的路程之比就等于他们的速度之比。
，这里因为时间相同，即,所以由s v t s v t =⨯⎧⎨=⨯⎩甲甲甲乙乙乙t t t ==乙甲s s t t v v ==甲乙乙甲乙甲，得到，，甲乙在同一段时间t 内的路程之比等于速度比s s t v v ==甲乙乙甲s vs v=甲甲乙乙2.当2个物体运行速度在所讨论的路线上保持不变时，走过相同的路程时，2个物体所用的时间之比等于他们速度的反比。
，这里因为路程相同，即，由s v t s v t =⨯⎧⎨=⨯⎩甲甲甲乙乙乙s s s ==乙甲s v t s v t =⨯=⨯乙乙乙甲甲甲，得，，甲乙在同一段路程s 上的时间之比等于速度比的反比。
s v t v t =⨯=⨯乙乙甲甲v tv t =甲乙乙甲比例的知识是小学数学最后一个重要内容，从某种意义上讲仿佛扮演着一个小学“压轴知识点”的角色。
从一个工具性的知识点而言，比例在解很多应用题时有着“得天独厚”的优势，往往体现在方法的灵活性和思维的巧妙性上，使得一道看似很难的题目变得简单明了。
比例的技巧不仅可用于解行程问题，对于工程问题、分数百分数应用题也有广泛的应用。
【例题精讲】例题1 甲、乙两人同时地出发，在、两地之间匀速往返行走，甲的速度大于乙的速度，A A B甲每次到达地、地或遇到乙都会调头往回走，除此以外，两人在之间行走方向不会改变，A B AB已知两人第一次相遇的地点距离地米，第三次的相遇点距离地米，那么第二次相遇B1800B800的地点距离地。
行程比例关系
路程相同的情况下：速度比等于时间的反比速度相同的情况下：路程比等于时间的正比时间相同的情况下：路程比等于速度的正比实践出真知例1. 甲、乙两车的速度之比是5：3，两车分别从A、B两地同时出发并匀速行驶。
如果两车相向而行，则经过0.5小时相遇；如果两车同向而行，甲车追上乙车需要几小时？［分析与解］因为甲、乙两车的速度之比是5：3，所以可把A、B 两地之间的路程平均分为8小段，则当甲、乙两车相向而行相遇时，甲车行了5小段路程，乙车行了3小段路程，即0.5小时内甲车比乙车多行了2小段路程。
当甲、乙两车同向而行甲车追上乙车时，甲车要比乙车多行8小段路程，结合前面的分析，用比例法可求得甲多行这8小段路程需要（小时），即甲车追上乙车需要2小时。
例2. 一队伍以8千米/时的速度前进，队尾的一名战士有事要报告给队首的队长，当他以10千米/时的速度向前追上队长后，立即以同样的速度返回队尾，共用去10分，求队伍有多长？［分析与解］分析题意，可知队尾这名战士追及的路程和他返回队尾所行的路程都等于队伍的长。
这样，根据“追及问题”和“相遇问题”的计算关系式：追及路程＝速度差×追及时间、相遇路程＝速度和×相遇时间，可得：速度差×追及时间＝速度和×相遇时间，进而根据比例知识可得：相遇时间：追及时间＝速度差：速度和＝（10-8）：（10+8）＝1：9。
根据题意可知，相遇时间与追及时间的总和是10分，故可求得相遇时间是（分），追及时间是（分）。
所以，这个队伍长（千米）。
甲、乙，丙三个机器人参加跑步比赛，当甲跑到终点时，已离终点还有20千米，丙离终点还有40千米；当乙跑到终点时，丙离终点还有24千米。
问题：这次比赛要跑多少千米？问题：这次比赛要跑多少千米？看题后知道：乙跑到终点时，丙离终点还有40千米，而乙跑到终点时，丙离终点还有24千米，那么乙跑20千米的时间丙只跑了16千米，由此可知它们的速度比是5：4，时间比是4：5。
比例法解行程问题
比例法解行程问题
比例法解行程问题是一种常见的数学方法，可以用来解决有关行程问题的问题。
比例法的基本思想是将复杂的行程问题转化为简单的比例关系。
具体来说，如果一个行程问题中涉及到两个量，比如路程和时间，我们可以将它们的比例关系表示出来，然后通过比例关系来推导出问题的答案。
下面是比例法解行程问题的三个步骤:
1. 找到两个量的比例关系。
通常可以通过比较它们的长度、时间、体积等来找到它们的比例关系。
2. 根据比例关系列出比例式。
例如，如果两个量的比例关系是3:4，那么可以列出比例式 3/4。
3. 利用比例式推导出问题的答案。
例如，如果问题要求总共需要多少时间，可以利用比例式推导出答案:4 小时 = 总共需要时间
× 3，因此总共需要时间 = 4 ÷ 3 = 1.33 小时 (保留两位小数)。
比例法不仅可以解决常见的行程问题，还可以解决其他相似的问题，比如机械效率、生产率等问题。
比例行程问题
1. 会解一些简单的方程.2. 掌握寻找等量关系的方法来构建方程．比例的知识是小学数学最后一个重要内容，从某种意义上讲仿佛扮演着一个小学“压轴知识点”的角色。
从一个工具性的知识点而言，比例在解很多应用题时有着“得天独厚”的优势，往往体现在方法的灵活性和思维的巧妙性上，使得一道看似很难的题目变得简单明了。
比例的技巧不仅可用于解行程问题，对于工程问题、分数百分数应用题也有广泛的应用。
我们常常会应用比例的工具分析2个物体在某一段相同路线上的运动情况，我们将甲、乙的速度、时间、路程分别用,,v v t t s s 乙乙乙甲甲甲，；；来表示，大体可分为以下两种情况：1. 当2个物体运行速度在所讨论的路线上保持不变时，经过同一段时间后，他们走过的路程之比就等于他们的速度之比。
s v t s v t =⨯⎧⎨=⨯⎩甲甲甲乙乙乙，这里因为时间相同，即t t t ==乙甲,所以由s st t v v ==甲乙乙甲乙甲， 得到s st v v ==甲乙乙甲，s v s v =甲甲乙乙，甲乙在同一段时间t 内的路程之比等于速度比2. 当2个物体运行速度在所讨论的路线上保持不变时，走过相同的路程时，2个物体所用的时间之比等于他们速度的反比。
s v t s v t =⨯⎧⎨=⨯⎩甲甲甲乙乙乙，这里因为路程相同，即s s s ==乙甲，由s v t s v t =⨯=⨯乙乙乙甲甲甲， 得s v t v t =⨯=⨯乙乙甲甲，v tv t =甲乙乙甲，甲乙在同一段路程s 上的时间之比等于速度比的反比。
模块一：比例初步——利用简单倍比关系进行解题【例 1】 甲、乙两车从相距330千米的A 、B 两城相向而行，甲车先从A 城出发，过一段时间后，乙车才从B 城出发，并且甲车的速度是乙车速度的56。
当两车相遇时，甲车比乙车多行驶了30千米，则甲车开出 千米，乙车才出发。
知识精讲教学目标比例解行程问题【例 2】甲乙两地相距12千米，上午10：45一位乘客乘出租车从甲地出发前往乙地，途中，乘客问司机距乙地还有多远，司机看了计程表后告诉乘客：已走路程的13加上未走路程的2倍，恰好等于已走的路程，又知出租车的速度是30千米/小时，那么现在的时间是。
用比例法解行程问题
了 全 程 的 詈 × 吾 ＝ ， 乙 车 距 中 点 还 有 全 程 的 吾 一 ＝ ， 由 此 可 以
求出Ａ 、 Ｂ 两地的路程是 ３ ６ ＋杀 ＝ ２ ４ ０ （ 千米） 。
【 例２ 】 从 甲地到 乙地 ， Ａ车需要 行驶 １ ０小时 ， Ｂ车 需要 行驶 ８小 时。 现
在 两车 分别从 甲、 乙两地 同时 出发 ， 相 向而行 ， 相遇 时 ， Ａ车 离 中点还 有 ３ ０
间： 追及 时 间＝速 度差 ： 速度 和 …（ １ ０ ８ ） ： （ １ ０＋ ８ ） ＝１ ： ９ 。根据 题 意可 知 ， 相
１
遇 时 间与 追及 时间的总和 是 １ ０ 分钟 ， 故可求得 相遇 时间是 １ ０ ｘ
Ｉ Ｔ
＝１ （ 分）
ｎ
钟， 追 及 时间是 １ ０ ｘ
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・ ～ 用 ， ＂ １ ４ 比例 法解 行程 问题
。
江西
文 辉
在 行程 问题 中， 如果 时间一 定 ， 那 么路程 和速度 成正 比例 ； 如 果路程 一
定， 那 么 时间和速 度成 反 比例 ； 如 果速度 一 定 ， 那么 路程 和时 间成 正 比例 。
利用这 些性 质 ， 可 以很 方便地 解答 一些较 复 杂 的行 程 问题 。
还有 ３ ０千米 ” 可知， 相遇 时 Ｂ车 比 Ａ车 多行 了 ３ ０ ｘ ２ ＝６ ０ （ 千米 ） 。所 以甲、
乙 两地相距６ ０ ＋ ￣ － ＝ ５ ４ ０ （ 千米） 。
铸
浙江 陶 云娥
在学 习 《 长方体 和 正方体 》 时， 双胞 胎 马大虎 和 马小虎 都 出现 了错误 。 现在， 让 我们 一起 来看 看他俩 错 在哪 儿 了。 【 例１ 】 一 个 长方体 由 ３个 同样 大小的正 方体拼 成 ， 如 果去掉 旁边 的一 个 正 方体 ，长方体 的表 面积 就减 少 ２ ４ ｃ ｍ 。原 长方体 的 表 面积是 多少平
2012第7讲—比例与行程问题
2012小升初数学第7讲——比例法解行程问题应用题【要点】行程问题中：1、路程一定，时间和速度成反比；2、时间一定，路程和速度成正比；3、速度一定，路程和时间成正比。
【例1】一辆汽车从甲地开往乙地，每小时行驶50千米，返回时每小时行60千米，已知去时用6小时，那么返回时用几小时？【自我完成】一辆汽车从甲地到乙地，去时每小时行驶45千米，返回时每小时行50千米，问这辆汽车去时和返回时所用的时间比。
【例2】一辆汽车从甲地到乙地，每小时行40千米，返回时每小时行50千米，已知去时比返回时多用151小时，那么去时用了多少时间？甲、乙两地相距多少千米？（两种方法）【自我完成】一辆汽车从甲地到乙地，每小时行48千米，返回时每小时行60千米，返回时比去时少用了48分钟，那么去时用了多少时间？甲、乙两地相距多少千米？（两种方法）【强化提高】一辆汽车从甲地到乙地，每小时行60千米，返回时速度减小了51，已知去时比返回时多用151小时，那么去时用了多少时间？甲、乙两地相距多少千米？（两种方法）【例3】甲、乙两辆汽车从A 、B 两地相向而行，当甲车行了全程的41时，乙车行了全程的31，当乙车行完全程时，甲车距终点还有20千米。
问A 、B 两地相距多少千米？【自我完成】甲、乙两辆汽车从A 、B 两地相向而行，当甲车行了全程的52时，乙车行了全程的31，当甲车行完全程时，乙车距终点还有15千米。
问A 、B 两地相距多少千米？【强化提高】A 、B 两地相距380千米，甲、乙两车同时分别从A 、B 两地出发相向而行，当甲车行了全程的32时，乙车行了全程53的。
那么甲、乙两车相遇时，各行了多少千米？作业：1、一辆汽车从甲地到乙地，每小时行40千米，返回时每小时行50千米，已知去时比返回时多用1小时，那么去时用了多少时间？甲、乙两地相距多少千米？（两种方法）2、甲、乙两辆汽车从A 、B 两地相向而行，当甲车行了全程的53时，乙车行了全程的43，当甲车行完全程时，乙车距终点还有30千米。
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【例题6】 甲班与乙班学生同时从学校出发去公园，两班的步行速度相等都是 千米/小时，学校有一 辆汽车，它的速度是每小时 千米，这辆汽车恰好能坐一个班的学生．为了使两班学生在 最短时间内到达公园，设两地相距 千米，那么各个班的步行距离是 千米．
【例题7】 如图， ， 为 的三等分点； 点整时甲从 过几分钟后丙也从 出发匀速向 行走；甲，乙在 点相遇时丙恰好走到 点， 甲、丙 相遇时乙恰好到 ．那么，丙出发时是 点__________分．
三、模块3 行程中的反比例
【例题8】 一辆车从甲地开往乙地．如果车速提高 驶 米． 千米后，再将车速提高 ，可以比原定时间提前 小时到达;如果以原速行 千
【练习2】 艾迪和薇儿从学校出发去公园，二人的速度比为 儿走到公园要用 分钟？ ，艾迪走到公园用了 分钟，请问薇
【例题2】 回答下列问题： （1）甲乙两人的速度比为 ，两人同时出发，行走的时间比为 ，则甲，乙走的路程比为 : ； ，甲乙的速度比为 ，则甲乙的时间比为
（2）甲乙两人要走的路程比为 : ；
【作业2】 客车和货车同时从甲、乙两城之间的中点向相反的方向行驶，3小时后，客车到达甲城，货 车离乙城还有30千米．已知货车的速度是客车的 ，甲、乙两城相距 千米.
【作业3】 甲、乙两人分别从 、 地走．甲从 地到达 达 地共用了 两地同时相向出发．相遇后，甲继续向 地．比乙返回 小时． 地迟 地走，乙马上返回，往
小时．已知甲的速度是乙的 ．甲从 地到
【作业4】 甲、乙两列火车的速度比是 ，乙车先出发，从 站开往 站，当走到离 站 千米的地 ，那么， 、
方时，甲车从 站出发开往 站．两车相遇的地方离 、 两站的距离比是
两站之间的距离是
千米．
【作业5】 小明跑步速度是步行速度的 倍，他每天从家到学校都是步行．有一天由于晚出发 分钟， 他不得不跑步行了一半路程，另一半路程步行，这样与平时到达学校的时间一样．那么小 明每天步行上学需要时间 分钟．
【例题5】 早上 ，菲菲从家步行去上学， 分钟后，狗狗出发跑去追她，在离家 米的地方追上
了她;追上后立刻往家跑去，到家后又立刻回去追菲菲，在离家
米的地方再次追上了
她，追上后又立刻往家跑去，到家后又立刻去追菲菲，刚好在学校追上．请问： （1）狗的速度是菲菲的多少倍? （2）菲菲家到学校的距离为多少?
（3）菲菲到校时间是 点多少分?
【例题3】 甲乙两人的路程比为 千米/时． ，两人用的时间比为 ，甲的速度为 千米/时，则乙的速度为
二、模块2 行程中的正比例
【例题4】 甲、乙两车分别从 、 两地同时出发，相向而行．出发时，甲、乙的速度之比是 遇后甲的速度减少 那么 、 两地相距 ，乙的速度增加 千米． ，相
．这样当甲到达 地时，乙离 地还有 千米．
，则可以提前 分钟到达．那么甲、乙两地相距
【练习3】 一辆汽车从 地去 地，原计划 小时到达． 但是这辆车在以原计划速度行驶了 千米时， 突然接到了紧急通知，速度提升了 千米． ，最终提前 小时到达 地，那么
、
两地全长是
【例题9】
如图，甲、乙分别从 、 两地同时出发，匀速相向而行，他们的速度之比为
【教学提示】 直接从公式入手，可以举例： 若 若 若
甲 乙 ，则 甲 乙 乙 乙 甲 甲 甲 甲 甲 甲 乙 乙 甲 乙 乙 乙 乙 乙 乙 甲 甲 乙； 乙； 甲．
甲 甲
乙 ，则 甲 乙 ，则 甲
【例题1】 、 两地距离 千米，甲乙两车分别从 、 两地同时出发，相向而行． 千米． 千米．
（1）甲车的速度是 千米/时，乙车的速度是 千米/时．相遇时距 地 （2）甲车的速度是 千米/时，乙车的速度是 千米/时．相遇时距 地
第7讲 比例法解行程
一、模块1 行程中的比例关系
知识剖析
根据“路程=速度×时间”的公式，可以得到三组比例关系： 1. 2. 3. 当时间一定时，路程之比等于速度之比，即 当速度一定时，路程之比等于时间之比，即
甲 乙 时， 甲 乙 乙 乙 甲 甲 乙 乙． 乙． 甲．
甲 甲
乙 时， 甲 乙 时， 甲
当路程一定时，时间之比等于速度的反比，即
，相遇于
地后，甲继续以原来的速度向 地前进，而乙则立即调头返回，并且乙的速度比相遇前降 低 ，这样当乙回到 地时，甲恰好到达离 地 千米的 处，那么 、 两地之间的距离是 千米．
四、本讲巩固
【作业1】 甲、乙两人从 ， 两地同时出发，相向而行．甲走到全程的 每小时走 千米，乙每小时走全程的 ．则 、 之间的距离为 的地方与乙相遇．已知甲 千米．
【作业6】 一辆汽车从甲地开往乙地，如果车速提高 离后，再将速度提高 几？ 可以提前 小时到达．如果按原速行驶一段距
，也可以提前 小时到达，那么按原速行驶了全部路程的几分之
【作业7】 某天早上 点甲从 地出发，同时乙从 地出发追甲，结果在距离 地 千米的地方追上．如 果乙把速度提高一倍，而甲的速度不变，那么将在距离 地 千米处追上．问： 、 两地相 距 千米．
（3）甲车的速度是 千米/时，乙车的速度是 千米/时．各自走完全程，两车行驶的时 间之比是 ．
（4）如果两地距离未知，甲车的速度是 千米/小时，乙车的速度是 千米/小时．相遇 时甲走了全程的 ．各自走完全程，两车行驶的时间之比是 ．
【练习1】 甲、乙两人从A、B两地同时出发，相向而行．甲走到全程的 每小时走 千米，那么乙的速度是 千米/时？ 的地方与乙相遇，已知甲