5.2复数的四则运算课件
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复数的四则运算公开课完整ppt课件
z1-z2＝(a＋bi)-(c＋di)＝(a-c)＋(b-d)i
2、复数的乘法： 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是
任意两个复数，则它们积为
z1•z2＝(a＋bi)•(c＋di)＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i 3、(复a数b的i) 除(法c：di)abi (abi)(cdi)
显然,实数集R是复数集C的真子集,即R C.
问题：复数集是实数集的扩展，如何规定 复数的运算？
1.复数加减法的运算法则： (1)运算法则:设复数z1=a+bi,z2=c+di,
那么：z1+z2=(a+c)+(b+d)i; z1-z2=(a-c)+(b-d)i.
即: 两个复数相加(减)就是实部与实部， 虚部与虚部分别相加(减).
一复习引入
4. 两个复数相等
设z1=a+bi,z2=c+di(a、b、c、dR),则 z1=z2
a
b
ห้องสมุดไป่ตู้
c,
d
即实部等于实部,虚部等于虚部.
特别地，a+bi=0 a=b=0 .
注意:一般地,两个复数只能说相等或不相等,而不能比较大小.
思考:对于任意的两个复数到底能否比较大小?
答案:当且仅当两个复数都是实数时,才能比较大小.
x2 x24,
x2 3x220.
解得
x 3或x 2 x 3或x 6
所以 x3．
复数的除法应怎样进行呢? 注意到,实数的除法运算是乘法的逆运算,类
比思考,我们可定义复数的除法:
定义: 把满足(c+di)(x+yi) =a+bi (c+di≠0) 的 复 数 x+yi 叫做复数 a+bi 除以复数 c+di 的商, 其中a,b,c,d,x,y都是实数,
2、复数的乘法： 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是
任意两个复数，则它们积为
z1•z2＝(a＋bi)•(c＋di)＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i 3、(复a数b的i) 除(法c：di)abi (abi)(cdi)
显然,实数集R是复数集C的真子集,即R C.
问题：复数集是实数集的扩展，如何规定 复数的运算？
1.复数加减法的运算法则： (1)运算法则:设复数z1=a+bi,z2=c+di,
那么：z1+z2=(a+c)+(b+d)i; z1-z2=(a-c)+(b-d)i.
即: 两个复数相加(减)就是实部与实部， 虚部与虚部分别相加(减).
一复习引入
4. 两个复数相等
设z1=a+bi,z2=c+di(a、b、c、dR),则 z1=z2
a
b
ห้องสมุดไป่ตู้
c,
d
即实部等于实部,虚部等于虚部.
特别地，a+bi=0 a=b=0 .
注意:一般地,两个复数只能说相等或不相等,而不能比较大小.
思考:对于任意的两个复数到底能否比较大小?
答案:当且仅当两个复数都是实数时,才能比较大小.
x2 x24,
x2 3x220.
解得
x 3或x 2 x 3或x 6
所以 x3．
复数的除法应怎样进行呢? 注意到,实数的除法运算是乘法的逆运算,类
比思考,我们可定义复数的除法:
定义: 把满足(c+di)(x+yi) =a+bi (c+di≠0) 的 复 数 x+yi 叫做复数 a+bi 除以复数 c+di 的商, 其中a,b,c,d,x,y都是实数,
复数的四则运算(2个课时)(课件)高一数学(人教A版2019必修第二册)
i2021 i45051 (i4 )505 i i
2i 5 5
55
3.实系数一元二次方程在复数集内的解
x2 2x 1 0在复数集内的解: 析 : (2)2 4 1 (1) 8 0, 配方得(x 1)2 2 ( 2 )2
x 1 2, x 1 2.
求根公式: x 2 8 1 2
②若 b2 4ac 0, 方程系数化为1得x2 b x c 0,
aa
配方得(x
b )2 2a
b2 4ac 4a2
[(b2 4ac)] 4a2
[(b2 4ac)]i2 4a2
x b 2a
(b2 4ac) i, x
b
2a
2a
b2 4ac i b 2a
b2 4ac i 2a
(1)z 1; (2)z i; (3)z (2 i) 复数加减法→对应向量加减法
(1)记OZ1 (1,0),则z 1对应的向量是OZ OZ1 OA1.
(2)记OZ2 (0,1),则z i对应的向量是OZ OZ2 Z2Z.
(3)记OZ3 (2,1),则z (2 i)对应的向量是OZ OZ3 OA2.
y
y
A2
y
Z A1
Z
Z
Z2
Z3
Z1
x
x
x
[例6]复数z满足 | z i | 2,求复数z对应的点Z在复平面内的轨迹. 析 : 设i对应的点Z1(0,1).
| z 1|| OZ OZ1 | | Z1Z | 2
即Z与Z1(0,1)的距离为2. 点Z的轨迹是以(0,1)为圆心,以2为半径的圆.
[变1]复数z满足| z i | 1 3i,求复数z对应的点Z 在复平面内的轨迹. 析 : 即 | z i | 2. (同上)
复数的四则运算公开课课件
应用：信号分析
复数和傅里叶变换有重要关系。通过将信号化简为一系列复数，就可以方便地进行处理，找到其 中的周期性和规律。
应用：频域滤波
傅里叶变换后，一个信号就可以变成频域上的一条曲线。可以通过对这条曲线进行复数运算，如 旋转或拉伸等，来实现对信号的改变和优化。
应用：图像处理
图像可以看成由一个个像素点构成的矩阵。通过将颜色信息表示成复数的形式，就可以对图像进 行各种复数运算，并在频域上进行过滤和优化。
应用：量子力学中的波函数
波函数用来描述粒子的运动状态。可以将某个物理量关联到一个复函数，然 后通过对这个函数进行一系列复数运算，来求出这个粒子的各种物理性质和 概率分布。
复数的模
复数的模长的平方为实部的平方加上虚部的平方。
复数的幂
复数的幂满足和实数的幂的规则完全一样。可以把复数映射成一个向量，然 后旋转向量并拉伸长度。
球面坐标系下的复数
可以通过将复平面旋转，将复平面变成球面上的一个维度，从而建立球面坐标系下的复数，并且 可以通过这种方式增加复数属性。
极坐标系下的复数
复数相除等于在复 平面上旋转和缩小
相当于把一个向量在复 平面上旋转一个角度， 同时将其长度缩小了。
复数的倒数
一个非零复数的倒数为其共轭复数除以模长的平方。
实部和虚部
复数z= a+bi，a为实数部分，b为虚数部分。实数可以看作虚数部分为0的复数。
共轭复数
复数z= a+bi的共轭复数为a-bi。共轭复数实部相等，虚部相反，通过把这个复 数映射成平面上的一个向量，共轭复数就相当于把这个向量垂直反转了。
无理数加减法规则
有理数
有理数是可以表示成两个整 数的比值的数，如3/4 、12/5 等。
高中数学-5.2复数的四则运算
特征:两个复数的积仍然是一个复数。运算与多项式运算 类似
2、复数的乘法满足交换律、结合律及乘法对加法的 分配律。 （1）z1z2=z2z1 (交换律) （2）(z1z2)z3=z1(z2z3) (结合律) （3）z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 (分配律)
3、复数中正整数指数幂的运算律(其中m,n为正整数)
5.2 复数的四则运算
知识回顾
我们一起来回顾一下上一节课所学知识: i2 1
数
复数代数式 Z a bi(a,b R)
系 的
数
复数分类条件 b 0和b 0
扩 充
复数相等条件
与 复
实部 实部且虚部 虚部
数 的
形
复数的模长(绝对值)的计算
引
入
Z a bi a2 b2
两个复数能比较大小,则一定均为实数
新课讲解
三、复数的除法
把满足(c+di)(x+yi) =a+bi (c+di≠0) 的复数 x+yi 叫做复数
a+bi 除以复数c+di的商,
记做(a bi) (c
di
)或
a
bi
.
c di
(a bi) (c di) a bi (a bi)(c di) c di (c di)(c di)
4 i2 2
25
i 2i2
i 1i
2 2
31 2i
2 3i 1 2i 2 3i
2 3i 2 3i
1
2i2
4 9i2
3i
2 7i 6i2 13
4 7i 4 7 i
13
13 13
试一试
(1)
2、复数的乘法满足交换律、结合律及乘法对加法的 分配律。 （1）z1z2=z2z1 (交换律) （2）(z1z2)z3=z1(z2z3) (结合律) （3）z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 (分配律)
3、复数中正整数指数幂的运算律(其中m,n为正整数)
5.2 复数的四则运算
知识回顾
我们一起来回顾一下上一节课所学知识: i2 1
数
复数代数式 Z a bi(a,b R)
系 的
数
复数分类条件 b 0和b 0
扩 充
复数相等条件
与 复
实部 实部且虚部 虚部
数 的
形
复数的模长(绝对值)的计算
引
入
Z a bi a2 b2
两个复数能比较大小,则一定均为实数
新课讲解
三、复数的除法
把满足(c+di)(x+yi) =a+bi (c+di≠0) 的复数 x+yi 叫做复数
a+bi 除以复数c+di的商,
记做(a bi) (c
di
)或
a
bi
.
c di
(a bi) (c di) a bi (a bi)(c di) c di (c di)(c di)
4 i2 2
25
i 2i2
i 1i
2 2
31 2i
2 3i 1 2i 2 3i
2 3i 2 3i
1
2i2
4 9i2
3i
2 7i 6i2 13
4 7i 4 7 i
13
13 13
试一试
(1)
复数的四则运算课件
共轭复数
1.设Z =a+bi (a,b∈R )
Z + Z = 2a
Z－ Z = 2bi
2.共轭复数的性质
(1) z1 z2 z1 z2
(2) z1 z2 z1 z2
(3) z1 z2 z1 z2
(4)
z1 z2
z1 z2
(5)zz R, z z R; (6)z z; (7)zn (z)n (n 2).
c di
a c
bi di
(a (c
bi)(c di) di)(c di)
ac
bd (bc c2 d2
ad )i
ac c2
bd d2
bc c2
ad d2
i
例题选讲
1 i i
1.计算： ①
1 1
i i
①
i
②
1 1
i i
②
-
i
③ （1+2i)÷(3-4i);
③ (- 1＋2i)/5
对于任意复数z=a+bi ,有 （a+bi)(a-bi)=a2+b2
其中Z =a + bi 与a – bi 叫共轭复数.
如果两个复数的实部相等，虚部互为相反数 时，这两个复数叫做互为共轭复数。（当虚部 不等于0时也叫做互为共轭虚数） 思考：复数Z 为实数的充要条件是 Z = Z
即 实数的共轭复数仍是其本身.
证明: Z 1+Z2 = Z1+Z2 ，Z1-Z=2 Z-1 Z2
证明：设Z=1 a1+b1i， Z2= a2+b2i (a1 , a2 , b1 , b2) ∈R ，则
Z1+Z2 = (a1+b1i )+ (a2+b2i ) = (a1+a2) + (b1+b2 )i = (a1+a2)－( b1+b2 )i = (a1－b1i)+( a2－b2 i) =Z1+ Z2
复数四则运算【公开课教学PPT课件】
=-47+79i
(4)(3 + 2i)^2
=5+12i
(5)试求，i1，i2，i3，i4，i5，i6，i7，i8的值； i，-1，-i，1，i，-1，-i，1
(6)由(1)推测in(n∈N＋)的值有什么规律，
并求 i 2016的值．
①i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i， i4n＝1(n∈N＋)；
1．复数的定义： 形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数.
z＝a＋b i ，a ∈R，b∈R
2．复数的分类． 实部 虚部
实数b 0
复数a＋bi
虚数b
纯虚数a 0，b 0 0非纯虚数a 0，b
0
3．复数相等．
若a，b，c，d ∈R，
a＋bi＝c＋d i
1：1+ i 2 = 0
[例2] 计算：
（1）(1 + 4i) (7 - 2i)
1 7 (2)i 4 7i 8i2 7 + 26i + 8 15+ 26i
练习：
(1)(-2-i)(3+i)
(2)(-2-3i)(-1+3i)
=-5-5i
=11-3i
(3)(3 - 2i) ( - 4 + 3i)(5 + i)
i 2016 =1
观察下列三组复数
(1)z1＝2＋i；z2＝2－i；
5
(2)z1＝3＋4i；z2＝3－4i； 25
(3)z1＝4i；z2＝－4i.
16
实部相等，虚部互为相反数．
并且z1与z2的积等于z1的实部与虚部的平方和．
共轭复数
当两个复数的 实部 相等， 虚部 互为相反数时，这样的
《复数——复数的四则运算》数学教学PPT课件(4篇)
＝(1－i)(1＋i)－12＋
3
2
i
＝(1－i2)－12＋
3
2
i
＝2－12＋ 23i＝－1＋ 3i.
第七章 复 数
栏目 导引
第七章 复 数
(2)选 D.因为 a－i 与 2＋bi 互为共轭复数， 所以 a＝2，b＝1，所以(a＋bi)2＝(2＋i)2＝3＋4i. (3)设 z＝a＋bi(a，b∈R)，则－z ＝a－bi， 由已知得，(1＋2i)(a－bi)＝(a＋2b)＋(2a－b)i＝4＋3i，由复数相等 的条件知，a2＋a－2bb＝＝43，，解得 a＝2，b＝1， 所以 z＝2＋i.
复数 z＝14＋ －ii的虚部为________． 解析：z＝41－ ＋ii＝（ （41－ ＋ii） ）（ （11－ －ii） ）＝3－2 5i＝32－52i. 答案：－52
栏目 导引
第七章 复 数
复数的乘法运算
(1)(1－i)－12＋ 23i(1＋i)＝(
)
A．1＋ 3i
B．－1＋ 3i
C． 3＋i
(2)
1＋i 1－i
2
019
＝
（1＋i）（1＋i） （1－i）（1＋i）
2
9
＝
2i
2
2
019
＝
i2
019 ＝
(i4)504·i3＝1504·(－i)＝－i.
【答案】 (1)B (2)－i
栏目 导引
第七章 复 数
(1)i 的周期性要记熟，即 in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N*)． (2)记住以下结果，可提高运算速度． ①(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i. ②11－ ＋ii＝－i，11＋ －ii＝i. ③1i ＝－i.
复数的四则运算PPT优秀课件
特别地，a+bi=0 a=b=0 .
问题：
a=0是z=a+bi(a、bR)为 纯虚数的 必要不充分条件
注意:一般地,两个复数只能说相等 或不相等,而不能比较大小.
思考:对于任意的两个复数到底能否 比较大小? 答案:当且仅当两个复数都是实数 时,才能比较大小.
1.复数加减法的运算法则：
(1)运算法则:设复数z1=a+bi,z2=c+di,
例1.计算 (5 6 i) ( 2 i) (3 4 i)
解: (56i)(2i)(34i) (523)(614)i 11i
2.复数的乘法与除法
(1)复数乘法的法则 复数的乘法与多项式的乘法是类似
的,但必须在所得的结果中把i2换成-1, 并且把实部合并.即:
(2) 那么：z1+z2=(a+c)+(b+d)i;
(3)
z1-z2=(a-c)+(b-d)i.
即:两个复数相加(减)就是实部与
实部,虚部与虚部分 别相加(减).
(2)复数的加法满足交换律、结合律,
即对任何z1,z2,z3∈C,有
z1+z2=z2+z1, (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).
例2：计算（ 1） (ab)ia (b)i
a 2 a bai bb 2 ii2
a2 b2
（ 2 ） (ab)2ia22 a bb2 i2
a22abbi2
（ 3 ） (1 2 i)3 ( 4 i) ( 2 i)
(12i)(34i)(2i) (11 2i)(2i) 2015i
97.有三个人是我的朋友爱我的人.恨我的人.以及对我冷漠的人。 爱我的人教我温柔；恨我的人教我谨慎；对我冷漠的人教我自立。――[J·E·丁格] 98.过去的事已经一去不复返。聪明的人是考虑现在和未来，根本无暇去想过去的事。――[英国哲学家培根] 99.真正的发现之旅不只是为了寻找全新的景色，也为了拥有全新的眼光。――[马塞尔·普劳斯特] 100.这个世界总是充满美好的事物，然而能看到这些美好事物的人，事实上是少之又少。――[罗丹] 101.称赞不但对人的感情，而且对人的理智也发生巨大的作用，在这种令人愉快的影响之下，我觉得更加聪明了，各种想法，以异常的速度接连涌入我的脑际。――[托尔斯泰] 102.人生过程的景观一直在变化，向前跨进，就看到与初始不同的景观，再上前去，又是另一番新的气候――。[叔本华] 103.为何我们如此汲汲于名利，如果一个人和他的同伴保持不一样的速度，或许他耳中听到的是不同的旋律，让他随他所听到的旋律走，无论快慢或远近。――[梭罗] 104.我们最容易不吝惜的是时间，而我们应该最担心的也是时间；因为没有时间的话，我们在世界上什么也不能做。――[威廉·彭] 105.人类的悲剧，就是想延长自己的寿命。我们往往只憧憬地平线那端的神奇【违禁词，被屏蔽】，而忘了去欣赏今天窗外正在盛开的玫瑰花。――[戴尔·卡内基] 106.休息并非无所事事，夏日炎炎时躺在树底下的草地，听着潺潺的水声，看着飘过的白云，亦非浪费时间。――[约翰·罗伯克] 107.没有人会只因年龄而衰老，我们是因放弃我们的理想而衰老。年龄会使皮肤老化，而放弃热情却会使灵魂老化。――[撒母耳·厄尔曼] 108.快乐和智能的区别在于：自认最快乐的人实际上就是最快乐的，但自认为最明智的人一般而言却是最愚蠢的。――[卡雷贝·C·科尔顿] 109.每个人皆有连自己都不清楚的潜在能力。无论是谁，在千钧一发之际，往往能轻易解决从前认为极不可能解决的事。――[戴尔·卡内基] 110.每天安静地坐十五分钟·倾听你的气息，感觉它，感觉你自己，并且试着什么都不想。――[艾瑞克·佛洛姆] 111.你知道何谓沮丧---就是你用一辈子工夫，在公司或任何领域里往上攀爬，却在抵达最高处的同时，发现自己爬错了墙头。－－[坎伯] 112.「伟大」这个名词未必非出现在规模很大的事情不可；生活中微小之处，照样可以伟大。――[布鲁克斯] 113.人生的目的有二：先是获得你想要的；然后是享受你所获得的。只有最明智的人类做到第二点。――[罗根·皮沙尔·史密斯] 114.要经常听.时常想.时时学习，才是真正的生活方式。对任何事既不抱希望，也不肯学习的人，没有生存的资格。