小专题(十一) 角的计算(选做)

小专题(十一)角的计算(本专题部分习题有难度，请根据实际情况选做)类型1直接计算1．如图，已知∠AOC＝∠BOD＝75°，∠BOC＝30°，求∠AOD.2．如图，点A，O，E在同一直线上，∠AOB＝40°，∠EOD＝28°46′，OD平分∠COE，求∠COB的度数．3．已知∠AOB＝40°，OD是∠BOC的平分线．(1)如图1，当∠AOB与∠BOC互补时，求∠COD的度数；(2)如图2，当∠AOB与∠BOC互余时，求∠COD的度数．4．如图，点O是直线AB上一点，∠EOF＝90°，OP平分∠AOE，OQ平分∠BOF，∠AOE＝130°，求∠POQ的度数．类型2 方程思想5．如图，已知∠AOE 是平角，∠DOE ＝20°，OB 平分∠AOC ，且∠COD ∶∠BOC ＝2∶3，求∠BOC 的度数．6．如图，已知∠AOB ＝12∠BOC ，∠COD ＝∠AOD ＝3∠AOB ，求∠AOB 和∠COD 的度数．7.如图，点O为直线AB上一点，将直角三角板OCD的直角顶点放在点O处．已知∠AOC的度数比∠BOD的度数的3倍多10度．(1)求∠BOD的度数；(2)若OE、OF分别平分∠BOD、∠BOC，求∠EOF的度数．(写出必要的推理过程)8．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD.(1)若∠BOD＝68°，∠DOF＝90°，求∠EOF的度数；(2)若OF平分∠COE，∠BOF＝30°，求∠BOD的度数．类型3分类思想9．下面是小明做的一道题目以及他的解题过程：题目：在同一平面上，若∠BOA＝75°，∠BOC＝22°，求∠AOC的度数．解：根据题意可画图，∠AOC＝∠BOA－∠BOC＝75°－22°＝53°.如果你是老师，能判小明满分吗？若能，请说明理由，若不能，请将错误指出来，并给出你认为正确的解法．10．已知：如图，OC是∠AOB的平分线．(1)当∠AOB＝60°时，求∠AOC的度数；(2)在(1)的条件下，∠EOC＝90°，请在图中补全图形，并求∠AOE的度数；(3)当∠AOB＝α时，∠EOC＝90°，直接写出∠AOE的度数．(用含α的代数式表示)11.如图，∠DOE＝50°，OD平分∠AOC，∠AOC＝60°，OE平分∠BOC.(1)用直尺、量角器画出射线OA，OB，OC的准确位置；(2)求∠BOC的度数，要求写出计算过程；(3)当∠DOE＝α，∠AOC＝2β时(其中0°<β<α，0°<α＋β<90°)，用含α，β的代数式表示∠BOC的度数．(直接写出结果即可)类型4角度的旋转12．已知，O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC.(1)如图1.①若∠AOC＝60°，求∠DOE的度数；②若∠AOC＝α，直接写出∠DOE的度数(用含α的式子表示)；(2)将图1中的∠DOC绕点O顺时针旋转至图2的位置，试探究∠DOE和∠AOC的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由．13.点O 为直线AB 上一点，过点O 作射线OC ，使∠BOC ＝65°，将一直角三角板的直角顶点放在点O 处． (1)如图1，将三角板MON 的一边ON 与射线OB 重合时，求∠MOC 的度数；(2)如图2，将三角板MON 绕点O 逆时针旋转一定角度，此时OC 是∠MOB 的平分线，求∠BON 和∠CON 的度数；(3)将三角板MON 绕点O 逆时针旋转至图3时，∠NOC ＝14∠AOM ，求∠NOB 的度数．14．如图，在∠AOB 的内部作射线OC ，使∠AOC 与∠AOB 互补．将射线OA ，OC 同时绕点O 分别以每秒12°，每秒8°的速度按逆时针方向旋转，旋转后的射线OA ，OC 分别记为OM ，ON ，设旋转时间为t 秒．已知t ＜30，∠AOB ＝114°.(1)求∠AOC 的度数；(2)在旋转的过程中，当射线OM ，ON 重合时，求t 的值；(3)在旋转的过程中，当∠COM 与∠BON 互余时，求t 的值．15．(1)如图1，若∠AOC＝∠BOC＝90°，OE、OF分别平分∠AOC与∠BOC.求∠EOF的度数；(2)如图2，若∠AOC＝∠BOD＝80°，OE、OF分别平分∠AOD与∠BOC.求∠EOF的度数；(3)若∠AOC＝∠BOD＝α，将∠BOD绕点O旋转，使得射线OC与射线OD的夹角为β，OE、OF分别平分∠AOD 与∠BOC.若α＋β≤180°，α＞β，则∠EOC＝________．(用含α与β的代数式表示)参考答案1．因为∠AOC ＝75°，∠BOC ＝30°， 所以∠AOB ＝∠AOC －∠BOC ＝75°－30°＝45°. 又因为∠BOD ＝75°，所以∠AOD ＝∠AOB ＋∠BOD ＝45°＋75°＝120°. 2.因为∠EOD ＝28°46′，OD 平分∠COE ， 所以∠COE ＝2∠EOD ＝2×28°46′＝57°32′. 因为∠AOB ＝40°，所以∠COB ＝180°－∠AOB －∠COE ＝180°－40°－57°32′＝82°28′. 3.(1)因为∠AOB 与∠BOC 互补，所以∠AOB ＋∠BOC ＝180°.所以∠BOC ＝180°－40°＝140°. 因为OD 是∠BOC 的平分线，所以∠COD ＝12∠BOC ＝70°.(2)因为∠AOB 与∠BOC 互余，所以∠AOB ＋∠BOC ＝90°.所以∠BOC ＝90°－40°＝50°. 因为OD 是∠BOC 的平分线，所以∠COD ＝12∠BOC ＝25°.4.因为点O 是直线AB 上一点，∠AOE ＝130°，所以∠BOE ＝180°－∠AOE ＝180°－130°＝50°. 因为∠EOF ＝90°，所以∠BOF ＝∠EOF －∠BOE ＝40°. 又因为OP 平分∠AOE ，OQ 平分∠BOF ，所以∠POE ＝12∠AOE ＝65°，∠BOQ ＝12∠BOF ＝20°.所以∠POQ ＝∠POE ＋∠EOB ＋∠BOQ ＝135°.5.设∠COD ＝2x°，则∠BOC ＝3x°，因为OB 平分∠AOC ，所以∠AOB ＝3x°. 所以2x ＋3x ＋3x ＋20＝180.解得x ＝20.所以∠BOC ＝3×20°＝60°.6.设∠AOB ＝x°，则∠COD ＝∠AOD ＝3∠AOB ＝3x°.因为∠AOB ＝12∠BOC ，所以∠BOC ＝2x°.因为∠BOC ＋∠COD ＋∠AOD ＋∠AOB ＝360°，所以2x ＋3x ＋3x ＋x ＝360.解得x ＝40. 所以∠AOB ＝40°，∠COD ＝120°. 7.(1)设∠BOD ＝x°，因为∠AOC 的度数比∠BOD 的度数的3倍多10度，且∠COD ＝90°，所以x ＋(3x ＋10)＋90＝180.解得x ＝20，所以∠BOD ＝20°. (2)因为OE 、OF 分别平分∠BOD 、∠BOC ，所以∠BOE ＝12∠BOD ，∠BOF ＝12∠BOC ＝12(∠BOD ＋∠COD)．所以∠EOF ＝∠BOF －∠BOE ＝12(∠BOC －∠BOD)＝12∠COD ＝45°.8.(1)因为∠BOD ＝68°，OE 平分∠BOD ，所以∠DOE ＝12∠BOD ＝34°.因为∠DOF ＝90°，所以∠EOF ＝∠DOF －∠DOE ＝56°. (2)设∠BOD ＝x°， 因为OE 平分∠BOD ，所以∠DOE ＝∠EOB ＝12∠BOD ＝12x°.所以∠EOC ＝180°－∠DOE ＝180°－x°2.因为∠EOF ＝∠EOB ＋∠BOF ，所以∠EOF ＝x°2＋30°.因为OF 平分∠COE ，所以∠EOC ＝2∠EOF.所以180°－x°2＝2(x°2＋30°)．解得x ＝80.所以∠BOD ＝80°.9.小明不会得满分，他忽略了一种情况，正确解法：①如图1，∠AOC ＝∠BOA －∠BOC ＝75°－22°＝53°； ②如图2，∠AOC ＝∠BOA ＋∠BOC ＝75°＋22°＝97°. 所以∠AOC ＝97°.综上所述：∠AOC 的度数为53°或97°.10.(1)因为OC 是∠AOB 的平分线，所以∠AOC ＝12∠AOB.因为∠AOB ＝60°，所以∠AOC ＝30°.(2)如图1，∠AOE ＝∠EOC ＋∠AOC ＝90°＋30°＝120°；如图2，∠AOE ＝∠EOC －∠AOC ＝90°－30°＝60°. (3)90°＋α2或90°－α2.11.(1)①当射线OA 在∠DOE 外部时，射线OA ，OB ，OC 的位置如图1所示；②当射线OA 在∠DOE 内部时，射线OA ，OB ，OC 的位置如图2所示．(2)①当射线OA 在∠DOE 外部时，此时射线OC 在∠DOE 内部，射线OA ，OD ，OC ，OE ，OB 依次排列，如图1.因为OD 平分∠AOC ，∠AOC ＝60°，所以∠DOC ＝12∠AOC ＝30°.因为∠DOE ＝∠DOC ＋∠COE ，∠DOE ＝50°， 所以∠COE ＝∠DOE －∠DOC ＝50°－30°＝20°. 因为OE 平分∠BOC ，所以∠BOC ＝2∠COE ＝2×20°＝40°；②当射线OA 在∠DOE 内部时，此时射线OC 在∠DOE 外部，射线OC ，OD ，OA ，OE ，OB 依次排列，如图2. 因为OD 平分∠AOC ，∠AOC ＝60°，所以∠COD ＝12∠AOC ＝30°.因为∠DOE ＝50°，所以∠COE ＝∠COD ＋∠DOE ＝30°＋50°＝80°. 因为OE 平分∠BOC ，所以∠BOC ＝2∠COE ＝2×80°＝160°. (3)当射线OA 在∠DOE 外部时，∠BOC ＝2α－2β； 当射线OA 在∠DOE 内部时，∠BOC ＝2α＋2β. 12.(1)①因为∠AOC ＝60°，所以∠BOC ＝180°－∠AOC ＝180°－60°＝120°. 因为OE 平分∠BOC ，所以∠COE ＝12∠BOC ＝12×120°＝60°.又因为∠COD ＝90°，所以∠DOE ＝∠COD －∠COE ＝90°－60°＝30°. ②∠DOE ＝90°－12(180°－α)＝90°－90°＋12α＝12α.(2)∠DOE ＝12∠AOC ，理由如下：因为∠BOC ＝180°－∠AOC ，OE 平分∠BOC ， 所以∠COE ＝12∠BOC ＝12(180°－∠AOC)＝90°－12∠AOC. 所以∠DOE ＝90°－∠COE ＝90°－(90°－12∠AOC)＝12∠AOC. 13.(1)因为∠MON ＝90°，∠BOC ＝65°，所以∠MOC ＝∠MON －∠BOC ＝90°－65°＝25°.(2)因为∠BOC ＝65°，OC 是∠MOB 的平分线，所以∠MOB ＝2∠BOC ＝130°.所以∠BON ＝∠MOB －∠MON ＝130°－90°＝40°.所以∠CON ＝∠BOC －∠BON ＝65°－40°＝25°.(3)设∠AOM ＝4x ，则∠NOC ＝14∠AOM ＝x. 因为∠AOM ＋∠MON ＋∠NOC ＋∠COB ＝180°，所以4x ＋90°＋x ＋65°＝180°.解得x ＝5°.所以∠NOC ＝5°.所以∠NOB ＝∠NOC ＋∠BOC ＝70°.14.(1)因为∠AOC 与∠AOB 互补，所以∠AOC ＋∠AOB ＝180°.因为∠AOB ＝114°，所以∠AOC ＝180°－114°＝66°.(2)由题意得12t ＝8t ＋66.解得t ＝16.5.所以当t ＝16.5时，射线OM ，ON 重合．(3)当t ＜5.5时，射线OM 在∠AOC 内部射线ON 在∠BOC 内部，由题意得66－12t ＋48－8t ＝90，解得t ＝1.2；当t ＞6时，射线ON 在∠BOC 外部，射线OM 在∠AOC 外部，由题意得12t －66＋8t －48＝90，解得t ＝10.2. 综上所述，当∠COM 与∠BON 互余时，t 的值为1.2或10.2.15.(1)因为OE 平分∠AOC ，所以∠EOC ＝12∠AOC ＝12×90°＝45°. 因为OF 平分∠BOC ，所以∠COF ＝12∠BOC ＝12×90°＝45°. 所以∠EOF ＝∠EOC ＋∠COF ＝45°＋45°＝90°.(2)因为OE 平分∠AOD ，所以∠EOD ＝12∠AOD ＝12×(80°＋∠COD)＝40°＋12∠COD. 因为OF 平分∠BOC ，所以∠COF ＝12∠BOC ＝12×(80°＋∠COD)＝40°＋12∠COD. 因为∠COE ＝∠EOD －∠COD ＝40°＋12∠COD －∠COD ＝40°－12∠COD. 所以∠EOF ＝∠COE ＋∠COF ＝40°－12∠COD ＋40°＋12∠COD ＝80°. (3)12α±12β。