人教版七年级数学上册-4.3.3 余角和补角精品课件
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人教版七年级数学上册4.3.3 余角和补角 课件
的定义解答.
感悟新知
(1)图中互余的角有几对？各是哪些？
解：因为点O 为直线AB 上一点，
所以∠ BOC+ ∠ AOC=180°180°，∠ DOE+ ∠ 1+
∠ 4=180° (平角的定义).因为∠ AOC= ∠ DOE=90°，
所以∠ 1+ ∠ 2=90 °， ∠ 2+ ∠ 3=90 °， ∠ 3+
角外，还有哪些相等的角？请说明理由；
解：相等．因为O为直线AB上一点，OC平分∠AOB，
所 以 ∠ AOC ＝ ∠ BOC ＝ 90°. 所 以 ∠ AOD ＋ ∠ COD ＝
90°. 又 因 为 ∠ COE ＋ ∠ COD ＝ 90° ， 所 以 ∠ AOD ＝
∠ COE( 同 角 的 余 角 相 等 ) ． 相 等 的 角 还 有 ∠ BOE ＝
那么∠ 2= ∠ 4.
感悟新知
特别提醒
1. “同角”指同一个角“，等角”指度数相等的角.
2. 余角、补角的性质是说明两个角相等的重要依据.
感悟新知
例 3 如图4.3-25，直线AB 与∠ COD 的两边OC，OD 分别
相交于点E，F，∠ 1+ ∠ 2=180° .找出图中与∠ 2
相等的角，并说明理由.
第四章
几何图形初步
4.3 角
4.3.3 余角和补角
学习目标
1 本节要点
余角和补角
余角、补角的性质
方位角
2 学习流程
逐点
学练
本节
小结
作业
提升
感悟新知
知识点 1 余角和补角
1. 余角 如果两个角的和等于 90°(直角)，就说这两个角
感悟新知
(1)图中互余的角有几对？各是哪些？
解：因为点O 为直线AB 上一点，
所以∠ BOC+ ∠ AOC=180°180°，∠ DOE+ ∠ 1+
∠ 4=180° (平角的定义).因为∠ AOC= ∠ DOE=90°，
所以∠ 1+ ∠ 2=90 °， ∠ 2+ ∠ 3=90 °， ∠ 3+
角外，还有哪些相等的角？请说明理由；
解：相等．因为O为直线AB上一点，OC平分∠AOB，
所 以 ∠ AOC ＝ ∠ BOC ＝ 90°. 所 以 ∠ AOD ＋ ∠ COD ＝
90°. 又 因 为 ∠ COE ＋ ∠ COD ＝ 90° ， 所 以 ∠ AOD ＝
∠ COE( 同 角 的 余 角 相 等 ) ． 相 等 的 角 还 有 ∠ BOE ＝
那么∠ 2= ∠ 4.
感悟新知
特别提醒
1. “同角”指同一个角“，等角”指度数相等的角.
2. 余角、补角的性质是说明两个角相等的重要依据.
感悟新知
例 3 如图4.3-25，直线AB 与∠ COD 的两边OC，OD 分别
相交于点E，F，∠ 1+ ∠ 2=180° .找出图中与∠ 2
相等的角，并说明理由.
第四章
几何图形初步
4.3 角
4.3.3 余角和补角
学习目标
1 本节要点
余角和补角
余角、补角的性质
方位角
2 学习流程
逐点
学练
本节
小结
作业
提升
感悟新知
知识点 1 余角和补角
1. 余角 如果两个角的和等于 90°(直角)，就说这两个角
人教版七年级上册数学4.3.3余角、补角的概念与性质课件(23张ppt)
（简称互余）
2、什么叫互为补角？
如果两个角的和等于 180 ° ，那么这两个角互为补角。
（简称互补）
反之也成立
1、什么叫互为余角？
如果两个角的和等于 90°,那么这两个角互为余角 （简称互余）
几何语言： ∵∠1＋∠2 ＝ 90°， ∴∠1、∠2互为余角
2、什么叫互为补角？ 如果两个角的和等于 180∠°1，+那∠么2 这= 两90个°角互为补角
180 ° － ∠AOC
= =
180 °－ 115 °
65答° ：这个角为
60°。90
°－
∠AOD
答：∠ BOC 的度数为 115 °
能力提升
如图，将两块三角板的直角顶点重叠在一起。
AD
C
20°
70 ° 70 °
O 图1 B
AD
C 40 °50°
40 °
O 图2 B
A
x 90C°－ x
D
90 °－ x
2、如图，点O为直线AB上的一点，OD平分∠AOB,
∠COE = 90 ° ， 则∠BOC = ∠DOE ,
∠COD = ∠AOE .
E
D
C
A
O
B
D
C
1 2 34
E
A
O
B
综合运用
方程的思想
1、一个角的补角是它的余角的 4 倍，求这个角？
2、如图，A、O、B三点在一条直线上， 已知∠ AOD=25 ° ，∠COD=90 °， 求∠ BOC的度数？
D
25 ° O
A
B
C
强化练习，巩固提高
2、1已、如知图一∠，个AA、O角DO=、2的5B三°补点，在角∠一是C条OD直它=9线0的上°，余， 角的 4 倍，
2、什么叫互为补角？
如果两个角的和等于 180 ° ，那么这两个角互为补角。
（简称互补）
反之也成立
1、什么叫互为余角？
如果两个角的和等于 90°,那么这两个角互为余角 （简称互余）
几何语言： ∵∠1＋∠2 ＝ 90°， ∴∠1、∠2互为余角
2、什么叫互为补角？ 如果两个角的和等于 180∠°1，+那∠么2 这= 两90个°角互为补角
180 ° － ∠AOC
= =
180 °－ 115 °
65答° ：这个角为
60°。90
°－
∠AOD
答：∠ BOC 的度数为 115 °
能力提升
如图，将两块三角板的直角顶点重叠在一起。
AD
C
20°
70 ° 70 °
O 图1 B
AD
C 40 °50°
40 °
O 图2 B
A
x 90C°－ x
D
90 °－ x
2、如图，点O为直线AB上的一点，OD平分∠AOB,
∠COE = 90 ° ， 则∠BOC = ∠DOE ,
∠COD = ∠AOE .
E
D
C
A
O
B
D
C
1 2 34
E
A
O
B
综合运用
方程的思想
1、一个角的补角是它的余角的 4 倍，求这个角？
2、如图，A、O、B三点在一条直线上， 已知∠ AOD=25 ° ，∠COD=90 °， 求∠ BOC的度数？
D
25 ° O
A
B
C
强化练习，巩固提高
2、1已、如知图一∠，个AA、O角DO=、2的5B三°补点，在角∠一是C条OD直它=9线0的上°，余， 角的 4 倍，
人教版初中数学课标版七年级上册第四章4.3.3余角和补角课件(共18张PPT)
3、Patience is bitter, but its fruit is sweet. (Jean Jacques Rousseau , French thinker)忍耐是痛苦的，但它的果实是甜蜜的。10:516.17.202110:516.17.202110:5110:51:196.17.202110:516.17.2021
考考你:
图中给出的各角，那些互为补角？
10o
30o
60o
80o
100o
120o
150o
170o
85°
175°
58° 19°21 ′
148° 109°21 ′
无 无 90°-X°
80° 44.5° 180°- X°
结论:锐角的补角比它的余角大90°
1、互余的两个角一定都是锐角吗？ 2、若∠1+ ∠2+∠3= 90°，则∠1、 ∠2和 ∠3互余吗？ 3、一个角的补角是否一定是钝角？
义务教育教科书《数学》七年级上册
问题1、如图两堵墙围一个 ∠AOB ，但人不能进入围 墙，我们如何去测量这个角的大小呢？
A
B O
(1)分别过直角∠AOB和平角∠DEF两个角的顶点画 射线OC,EG
A
C G
O
B
D
E
F
问题2：射线将直角和平角分成几部分？
它们的度数关系如何？
问题3：将两个角拉开，它们的度数关系 有变化吗？
∠4 =90°－ ∠3
∵ ∠1 =∠3
∴ 90°－∠1 = 90°－∠3 即：∠2 =∠4
1 与 2 互 补 ， 3 与 4 互 补 ， 如 果 1 = 3 ， 那 么 2 与 4 相 等 吗 ？ 为 什 么 ？
人教版七年级上册数学第四章几何图形初步课件：4.3.3余角和补角课件-(共29张PPT)
1
4
3
如果两个角的和为90° (直角)，那么称这两个
角 互为余角 ，简称“互余”。
几何语言叙述：
如果∠1+∠2=90°(或者∠1=90°-∠2)，
那么∠1与∠2互为余角 .
总结归纳
2
1
4
3
如果两个角的和为180°(平角)，那么称这两
个角 互为补角，简称“互补”。
几何语言叙述：
如果∠3+∠4=180°(或者∠3=180°-∠4)，
o
10
o
30
o
o
80
60
o
100
o
120
o
150
o
170
3.填表：
∠α
5°
∠α的余角
∠α的补角
85°
175°
32°
58°
148°
45°
45°
135°
77°
13°
103°
27°37′
117°37′
90° x
180° x
62°23′
x
4.如右图，点A、O、B在同一直线上，OD平分
AOB， COE=90°。回答下列问题：
总结归纳
性质：
同角或等角的余角相等。
同角或等角的补角相等。
例题解析
请认真观察下图，回答下列问题：
①图中有哪几对互余的角？请用几何语言形式表示：
(∠A+∠1=90°, ∠1+∠2=90°)
(∠A+∠E=90°) (∠2+∠E=90°)
②图中哪几对角是相等的角(直角除外)？为什么？
(∠2=∠A) （同角的余角相等）
O
人教版七年级数学上册 4.3.3余角和补角 课件
二
③图中相等的角有_______________________
D
E
3
1
A
C
B
四、教学过程的设计
活 动 三
（6）在上图中添加射线CF，使∠2=∠1
①∠3与∠4相等吗？为什么？ ②∠ECA与∠FCB相等吗？为什么？
等角的余角相等
③图中互余的角有哪些？图中互补的角有哪些？ 等角的补角相等
∵∠1+∠3=90°，∠2+∠4=90° ∴∠3= 90° －∠1，
讨论质疑
（1）定义中的“互为”一词如何理解？ （2）互余或互补的两角是否一定有公共顶点或公共边？ （3） ∠1与∠2互余，用符号语言可以表示为∠1+ ∠2=90°，
另外，用符号语言还可以表示为________________。 ∠1 与∠2互补如何表示呢？
∠2=90°－∠1
∠1+ ∠2=180° ∠2=180°－∠1
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
活 动 二
四、教学过程的设计
找朋友:图中给出各角中,哪些互为余角?哪些互为补角?
101°0
880°
115500°
3300°
6600°
110000°
121020°
117700°
四、教学过程的设计
∠α ∠α的余角 ∠α的补角
活
5°
动
32°
二
45°
77°
85° 58° 45° 13°
175° 148° 135° 103°
四、教学过程的设计
研究实例
活
（1）在一副三角尺中，每块都有一个角是 9
动 （20）°进，行如那下么操其作余后两，个∠9角01+的°∠2和=_是________。____。
人教版七年级数学上册教学课件-4.3.3余角和补角精选课件
B
C
D2
恭喜你，你们组运气很好哦，不用作答， 加3分！
如图∠AOC= ∠BOC=∠DOE=90°，则 （1） 图中与∠3互余的角是__∠__2__,∠__4_, （2）图中与∠2互补的角是__∠__A_O__E__.
想 一
DC
E
1
23 4
A
O
B
向你的美好的希冀和追求撒开网吧，九百九十九次落空了，还有一千次呢人若软弱就是自己最大的敌人游手好闲会使人心智生锈。故天将降大任于斯人也，必先苦其心 乏其身，行拂乱其所为，所以动心忍性，增益其所不能。让生活的句号圈住的人，是无法前时半步的。少一点预设的期待，那份对人的关怀会更自在。榕树因为扎根于 越长越茂盛。稗子享受着禾苗一样的待遇，结出的却不是谷穗。进取乾用汗水谱烈军属着奋斗和希望之歌。患难可以试验一个人的品格，非常的境遇方可以显出非常的 角度来看它。机会只对进取有为的人开放，庸人永远无法光顾。困苦能孕育灵魂和精神的力量骄傲，是断了引线的风筝，稍纵即逝；自卑，是剪了双翼的飞鸟，难上青 圆规的两只脚都动，永远也画不出一个圆。有困难是坏事也是好事，困难会逼着人想办法，困难环境能锻炼出人才来。只存在於蠢人的字典里。青，取之于蓝而青于蓝 ，然后知松柏之后凋也。积极的人在每一次忧患中都看到一个机会，而消极的人则在每个机会都看到某种忧患。一个能从别人的观念来看事情，能了解别人心灵活动的 。志当存高远。绳锯木断，水滴石穿让我们将事前的忧虑，换为事前的思考和计划吧！锲而舍之，朽木不折；锲而不舍，金石可镂。没有天生的信心，只有不断培养的 上下而求索天行健，君子以自强不息。会当凌绝顶，一览众山小。丈夫志四海，万里犹比邻。也，而不可夺赤。信言不美，美言不信。善者不辩，辩者不善。知者不博 ，和其光，同其尘，是谓“玄同”。故不可得而亲，不可得而疏；不可得而利，不可得而害；不可得而贵，不可得而贱。故为天下贵。天下之至柔，驰骋天下之至坚。 有益。知者不言，言者不知。更多老子名言敬请关注习古堂国学网的相关文章。柔弱胜刚强。鱼不可脱於渊，国之利器不可以示人。善为士者，不武；善战者，不怒； 为之下。是谓不争之德，是谓用人之力，是谓配天古之极是以圣人后其身而身先，外其身而身存无为而无不为。取天下常以无事，及其有事，不足以取天下。合抱之木 累土；千里之行，始於足下。多言数穷，不如守中。天下莫柔弱於水，而攻坚强者莫之能胜，以其无以易之。天长地久。天地所以能长且久者，以其不自生，故能长生 其身而身存。非以其无故能成其私。譬道之在天下，犹川谷之於江海。江海之所以能为百谷王者，以其善下之，故能为百谷王。是以圣人欲上民，必以言下之；欲先民 而民不重，处前而民不害。是以天下乐推而不厌。以其不争，故天下莫能与之争。是以圣人抱一为天下式。不自见，故明；不自是，故彰；不自伐，故有功；不自矜， 与之争。故道大，天大，地大，人亦大。域中有四大，而人居其一焉修之於身，其德乃真；修之於家，其德乃余；修之於乡，其德乃长；修之於邦，其德乃丰；修之於 ，以家观家，以乡观乡，以邦观邦，以天下观天下。吾何以知天下然哉？以此。慈故能勇；俭故能广；不敢为天下先，故能成器长。今舍慈且勇；舍俭且广；舍後且先 天将救之，以慈卫之。道生一，一生二，二生三，三生万物。知人者智，自知者明。胜人者有力，自胜者强。知足者富。强行者有志。一个实现梦想的人，就是一个成 己完全投入于权力和仇恨中，你怎么能期望他还有梦梦想无论怎样模糊，总潜伏在我们心底，使我们的心境永远得不到宁静，直到这些梦想成为事实。落叶——树叶撒 弯腰拾起；与其肩负苦涩的回忆，不如走向明天，淋浴春雨梦想绝不是梦，两者之间的差别通常都有一段非常值得人们深思的距离。一个人要实现自己的梦想，最重要 气和行动。一个人如果已经把自己完全投入于权力和仇恨中，你怎么能期望他还有梦？如果一个人不知道他要驶向哪个码头，那么任何风都不会是顺风。最初的梦想紧 由让一切都曾失去过。谁不曾迷茫？谁有不曾坠落呢？安逸的日子谁不想有呢？如果骄傲没被现实大海冷冷拍下，如果梦想不曾坠落悬崖千钧一发，又怎会懂得要多努 执著的人拥有隐形翅膀？现在的一切都是为将来的梦想编织翅膀，让梦想在现实中展翅高飞。很多时候，我们富了口袋，但穷了脑袋；我们有梦想，但缺少了思想。、 低微，但是不可以没有梦想。只要梦想一天，只要梦想存在一天，就可以改变自己的处境乐理知识和乐器为我的音乐梦想插上了一双希望的翅膀。长大以后，我要站在 的风采，为大家带来欢乐。没有�
4.3.3余角和补角 课件 (共28张PPT) 人教版七年级数学上册
45°
F
G
东北方向:___射__线__O_H__
B 南
例:如图,轮船O在航行过程中，发现灯塔A在它南偏东60°的方向上，同时， 在它北偏东40°，南偏西10°、西北（即北偏西45°）方向上又分别发现了 客轮B、货轮C、和海岛D，仿照表示灯塔方位的方法，画出表示客轮B、 货轮C和海岛D方向的射线．
北
90°
2
3
从数量上看： ∵ 24°+66°=90° ∴∠1+∠2=∠3=90°
如图，可以说∠1和∠2互为余角，∠1是∠2的余角，∠2是∠1的余角.
探究新知 如果两个角的和等于180º（平角），就说这两个 角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角.
4 3
如图，可以说∠3和∠4互为余角，∠3是∠4的余角，∠4是∠3的余角.
探究新知
如果两个角的和等于180º（平角），就说这两个 角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角.
114° 从图形上看：
α
66° β
180° γ
从数量上看： ∵ 114°+66°=180° ∴∠α+∠β=∠γ=180°
如图，可以说∠α和∠β互为余角，∠α是∠β的余角，∠β是∠α的余角.
做一做
1.图中给出的各角，哪些互为补角？
12°26′ 102°26′
27°37′ 117°37′
90 x 180 x
二、余角的性质： 1.画一画:已知∠α，请利用三角板画的∠α 的余角
1 α
2.图中∠α的余角∠1，∠2的大小有什么关 系？为什么？
3.这同一角结的论余用角文相字等怎么叙述？
例：如图，A，O，B在同一直线上,射线OD和射线OE分别平分 ∠AOC和∠BOC， （1）求∠DOE的度数； （2）图中哪些角互为余角，那些角互补？
人教版七年级数学上 4.3.3《余角和补角》课件(共18张PPT)课件
理由：由（1）可知∠1+∠2+∠3+∠4=180° 由（2）可知 ∠1+∠3=∠2+∠4=∠1+∠4=∠2+∠3=90°
知识的Ne超twor市k Op，timi生zatio命n Ex的pert狂Tea欢m
第3关：合作展示 求知、求真、求健，求美
2.若一个角的补角是这个角的余角的4倍，求这个角. 解：设这个角是x°， 则 180－x= 4 ( 90－x) 解得x = 60 答：这个角是60°.
第3关：合作展示 求知、求真、求健，求美
1.如下图，点A，O，B在同一条直线上，射线OD和射线OE分别平
分∠AOC和∠BOC，
（1）∠AOC与∠BOC的关系是什么？
互补 （2）图中有哪几对相等的角？
因为OD平分∠AOC，所以∠1=∠2，
23
1
4
同理，∠3=∠4
（3）图中有哪几对互余的角？
∠2和∠3， ∠1和∠4， ∠1和∠3， ∠2和∠4.
的角？ ∠1=∠A ，∠2=∠B
因为∠1与∠2互余
因为∠1与∠2互余
∠A与∠2互余恭喜大家∠1！与∠B互余
所以∠1=∠A 闯关所成以功∠2！=∠B
（同角的余角相等） （同角的余角相等）
知识的Ne超twor市k Op，timi生zatio命n Ex的pert狂Tea欢m
课堂小结
求知、求真、求健，求美
思考：直角和平角中，被分成的两个角的度数分别有什 么关系呢？
1 2
3
4
∠1+∠2=__9_0_°，
∠3+∠4=__1_8_0.°
结论：两个角的数量关系与角的位置无关.
知识的Ne超twor市k Op，timi生zatio命n Ex的pert狂Tea欢m
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117°37′ (180－x)°
观察可得结论： 锐角的补角比它的余角大__9_0_°_.
二 余角和补角的性质
思考：∠1 与∠2，∠3都互为补角， ∠2 与∠3 的大小有什么关系？
1
2
3
= ∠2=180°－∠1 ∠3=180°－∠1
结论：同角 (等角) 的补角相等. 类似地，可以得到：同角 (等角) 的余角相等.
例3 如图，点A，O，B在同一直线 上，射线 OD 和射线 OE 分别平分 D
∠AOC 和∠BOC，图中哪些角互
为余角？
C E
解：因为点A，O，B在同一直线 A O
B
上，所以 ∠AOC 和 ∠BOC 互为补角.
又因为射线 OD 和射线 OE 分别平分∠AOC 和
∠BOC，所以∠COD+∠COE= 1∠AOC+
所以 1 (180 - x) 1 x 40 ,
2
2
解得x=50°，则180°-x=130°.
即∠AOB=50°，
∠AOC=130°.
C
B
M N
DO
A
观察与思考
∠α
∠α的余角
5°
85°
32°
58°
45°
45°
77°
13°
62°23′ 27°37′
x°(0＜x＜90) (90－x)°
∠α的补角 175° 148° 135° 103°
∠A+∠2=90°
∠1+∠B=90°
A
∠1+∠2=90°
C 21
DB
(2) 图中哪几对角是相等的角(直角除外)？为什么？
答案：∠B=∠2 ( 同角的余角相等 ) ∠A=∠1 ( 同角的余角相等 )
6. 垃圾打捞船 A 和 B 都停驻在湖边观测湖面，从 A 船发现它的北偏东60°方向有白色漂浮物， 同时，从 B 船也发现该白色漂浮物在它的北偏 西30°方向.
(3) 射线 OC 表示的方向 西 为 南偏西 45°(西南) .
(4) 射线 OD 表示的方向
C
为 南偏东 20°.
北 A
65° 40°
O
70° 东
45°20°
南D
例4 如图，货轮O在航行过程中，发现灯塔A在它
南偏东60°的方向上. 同时，在它北偏东40°，南
偏西10°，西北(即北偏西45°)
方向上又分别发现了客 轮B，货轮C和海岛D. ● D 仿照表示灯塔方位的
∠COD的余角是__∠__C__O_E_、__∠__B__O_E__;
（2 ）OE是∠BOC的平分线吗？请说明理由．
解：OE平分∠BOC，理由如下：
D
C
∵∠DOE=90°，∴∠AOD+∠BOE=90°，
E
∴∠COD+∠DOE=90°，
∴∠AOD+∠BOE=∠COD+∠DOE，
∵OD平分∠AOC∴∠AOD=∠COD，A
数量关系 (1 90 2)
互补
1 2 180 (1 180 2)
对应图形
性质
同角或等角的 余角相等
同角或等角的 补角相等
定义 方位角
物体运动的方向与正北、正南方向之 间的夹角称为方位角，一般以正北、 正南为基准，用向东或向西旋转的角 度表示方向
书写 通常要先写北或南，再写偏东或偏西
3.已知∠A与∠B互余，∠B与∠C互补，若∠A=60°，
则∠C的度数是__1_5_0___. °
4. ∠1 与 ∠2 互余，∠1 = (6x + 8)°，∠2 = (4x－8)°， 则∠1= 62°，∠2= 28°.
5. 如图，已知∠ACB=∠CDB=90°.
(1) 图中有哪几对互余的角？
答案：∠A+∠B=90°
2
1 ∠BOC = 1 (∠AOC+∠BOC ) = 90°.
2
2
所以∠COD和∠COE互为余角，
同理∠AOD和∠BOE，∠AOD和∠COE，
∠COD和∠BOE也互为余角. D
C E
AO
B
变式训练 如图，O为直线AB上一点，OD平分∠AOC，
∠DOE=90°．
（1）∠AOD的余角是_∠__C_O__E_、__∠__B_O__E_，
O
B
∴∠COE=∠BOE，∴OE平分∠BOC．
练一练
如图,已知∠AOB=90°， ∠AOC= ∠BOD，则与 ∠AOC互余的角有__∠__B_O__C_和___∠__A_O__D__.
AC
D
O
B
三 方位角
互动探究
观看下列视频，议一议其中蕴含的数学知识.
E 西
C F
北 D
45° 45°
O
45° 45°
●
远望一号
●
远望二号
●
60°
●
远望一号
30°
●
远望二号
当堂练习
1.一个角的余角是它的2倍，这个角的度数是（ A ） A．30° B．45° C．60° D．75°
2.下列说法正确的是（ D ） A．一个角的补角一定大于它本身 B．一个角的余角一定小于它本身 C．一个钝角减去一个锐角的差一定是一个锐角 D．一个角的余角一定小于其补角
北 ●B
40°
方法画出表示客轮B， 西
●O
东
货轮C和海岛D方向的 射线.
60°
10° C ●南
●A
练一练
费俊龙、聂海胜乘坐“神舟”六号遨游太空时， 我国当时派出远望一号~四号船队，跟踪检测. 其中 远望一、二号停在太平洋洋面上，某一时刻，分别 测得神舟六号在北偏东60°和北偏东30°的方向， 你能在下图中画出当时神舟六号所处的位置吗？
如图，可以说 ∠1 是 ∠2 的余角，或 ∠2 是 ∠1的余角，或 ∠1和 ∠2互余.
图中给出的各角，哪些互为余角？
15o
24o
46.2o
75o
66o
43.8o
4 3
如果两个角的和等于180°(平角)，就说这 两个角互为补角 ( 简称为两个角互补 ).
如图，可以说 ∠3 是 ∠4 的补角，或 ∠4 是 ∠3 的补角，或 ∠3 和 ∠4 互补.
(1) 试在图中确定白色漂浮物C的位置；
北 60°
A
C
北
30°
B
(2) 点 C 在点 A 的北偏东60°的方向上，那么点 A 在点 C 的__D____方向上.
A. 南偏东30° B. 南偏西30° C. 南偏东60° D. 南偏西60° 北
60°
北
C 60°
北 30°
A
B
课堂小结
互余
两角间的 1 2 90
互补，OM，ON分别为∠AOC，∠AOB的平分线，
若∠MON=40°，试求∠AOC与∠AOB的度数．
解：设∠AOB=x，
因为∠AOC与∠AOB互补， 则∠AOC=180°-x．
C
M
因为OM，ON分别为∠AOC，
∠AOB的平分线，
DO
所以∠AOM=
1 (180 2
-
x) ，∠AOM=
1 2
x.
B N
A
2
沿一个角折叠后，折痕与 1
长方形的边形成了4个角.
4
3
思考：
1. ∠1 与∠2 有什么数量关系？
∠1+∠2 = 90°
2. ∠3与∠4有什么数量关系？ ∠3+∠4 = 180°
讲授新课
一 余角和补角的概念
2 1
如果两个角的和等于90°( 直角 )，就说这 两个角互为余角 ( 简称为两个角互余 ).
答：这个角的度数是 60 °.
练一练
已知 ∠A 与∠B 互余，且 ∠A 的度数比∠B 度数的 3 倍还多30°，求∠B的度数.
解：设∠B的度数为x°，则 ∠A 的度数为 (3x+30)°. 根据题意得： x + ( 3x+30 ) = 90. 解得 x=15. 故 ∠B 的度数为15°.
例2 如图，已知O为AD上一点，∠AOC与∠AOB
B 南
八大方位
正东：射线 OA
H
正南：射线 OB
正西：射线 OC
正北：射线 OD
A 东 西北方向：射线 OE
西南方向：射线 OF
G
东北方向：射线 OH
东南方向：射线 OG
如图，说出下列方位
(1) 射线 OA 表示的方向
为 北偏东 40°.
(2) 射线 OB 表示的方向 B
为 北__偏_ 西 65_°.
第四章 图形初步认识
4.3 角
4.3.3 余角和补角
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1. 了解余角、补角的概念，掌握余角和补角的性质， 并能利用余角、补角的知识解决相关问题.(重点、 难点)
2. 了解方位角的概念，并能用方位角知识解决一些 简单的实际问题.(难点)
导入新课
情境引入
将一张长方形纸片，
图中给出的各角，哪些互为补角？
10o
30o
60o
80o
100o
120o
150o
170o
典例精析
例1 若一个角的补角等于它的余角的 4 倍，求这 个角的度数.
解：设这个角为 x°，则它的补角是 ( 180－x )°， 余角是 ( 90－x )° . 根据题意，得 180－x = 4 ( 90－x ) . 解得 x = 60.
观察可得结论： 锐角的补角比它的余角大__9_0_°_.
二 余角和补角的性质
思考：∠1 与∠2，∠3都互为补角， ∠2 与∠3 的大小有什么关系？
1
2
3
= ∠2=180°－∠1 ∠3=180°－∠1
结论：同角 (等角) 的补角相等. 类似地，可以得到：同角 (等角) 的余角相等.
例3 如图，点A，O，B在同一直线 上，射线 OD 和射线 OE 分别平分 D
∠AOC 和∠BOC，图中哪些角互
为余角？
C E
解：因为点A，O，B在同一直线 A O
B
上，所以 ∠AOC 和 ∠BOC 互为补角.
又因为射线 OD 和射线 OE 分别平分∠AOC 和
∠BOC，所以∠COD+∠COE= 1∠AOC+
所以 1 (180 - x) 1 x 40 ,
2
2
解得x=50°，则180°-x=130°.
即∠AOB=50°，
∠AOC=130°.
C
B
M N
DO
A
观察与思考
∠α
∠α的余角
5°
85°
32°
58°
45°
45°
77°
13°
62°23′ 27°37′
x°(0＜x＜90) (90－x)°
∠α的补角 175° 148° 135° 103°
∠A+∠2=90°
∠1+∠B=90°
A
∠1+∠2=90°
C 21
DB
(2) 图中哪几对角是相等的角(直角除外)？为什么？
答案：∠B=∠2 ( 同角的余角相等 ) ∠A=∠1 ( 同角的余角相等 )
6. 垃圾打捞船 A 和 B 都停驻在湖边观测湖面，从 A 船发现它的北偏东60°方向有白色漂浮物， 同时，从 B 船也发现该白色漂浮物在它的北偏 西30°方向.
(3) 射线 OC 表示的方向 西 为 南偏西 45°(西南) .
(4) 射线 OD 表示的方向
C
为 南偏东 20°.
北 A
65° 40°
O
70° 东
45°20°
南D
例4 如图，货轮O在航行过程中，发现灯塔A在它
南偏东60°的方向上. 同时，在它北偏东40°，南
偏西10°，西北(即北偏西45°)
方向上又分别发现了客 轮B，货轮C和海岛D. ● D 仿照表示灯塔方位的
∠COD的余角是__∠__C__O_E_、__∠__B__O_E__;
（2 ）OE是∠BOC的平分线吗？请说明理由．
解：OE平分∠BOC，理由如下：
D
C
∵∠DOE=90°，∴∠AOD+∠BOE=90°，
E
∴∠COD+∠DOE=90°，
∴∠AOD+∠BOE=∠COD+∠DOE，
∵OD平分∠AOC∴∠AOD=∠COD，A
数量关系 (1 90 2)
互补
1 2 180 (1 180 2)
对应图形
性质
同角或等角的 余角相等
同角或等角的 补角相等
定义 方位角
物体运动的方向与正北、正南方向之 间的夹角称为方位角，一般以正北、 正南为基准，用向东或向西旋转的角 度表示方向
书写 通常要先写北或南，再写偏东或偏西
3.已知∠A与∠B互余，∠B与∠C互补，若∠A=60°，
则∠C的度数是__1_5_0___. °
4. ∠1 与 ∠2 互余，∠1 = (6x + 8)°，∠2 = (4x－8)°， 则∠1= 62°，∠2= 28°.
5. 如图，已知∠ACB=∠CDB=90°.
(1) 图中有哪几对互余的角？
答案：∠A+∠B=90°
2
1 ∠BOC = 1 (∠AOC+∠BOC ) = 90°.
2
2
所以∠COD和∠COE互为余角，
同理∠AOD和∠BOE，∠AOD和∠COE，
∠COD和∠BOE也互为余角. D
C E
AO
B
变式训练 如图，O为直线AB上一点，OD平分∠AOC，
∠DOE=90°．
（1）∠AOD的余角是_∠__C_O__E_、__∠__B_O__E_，
O
B
∴∠COE=∠BOE，∴OE平分∠BOC．
练一练
如图,已知∠AOB=90°， ∠AOC= ∠BOD，则与 ∠AOC互余的角有__∠__B_O__C_和___∠__A_O__D__.
AC
D
O
B
三 方位角
互动探究
观看下列视频，议一议其中蕴含的数学知识.
E 西
C F
北 D
45° 45°
O
45° 45°
●
远望一号
●
远望二号
●
60°
●
远望一号
30°
●
远望二号
当堂练习
1.一个角的余角是它的2倍，这个角的度数是（ A ） A．30° B．45° C．60° D．75°
2.下列说法正确的是（ D ） A．一个角的补角一定大于它本身 B．一个角的余角一定小于它本身 C．一个钝角减去一个锐角的差一定是一个锐角 D．一个角的余角一定小于其补角
北 ●B
40°
方法画出表示客轮B， 西
●O
东
货轮C和海岛D方向的 射线.
60°
10° C ●南
●A
练一练
费俊龙、聂海胜乘坐“神舟”六号遨游太空时， 我国当时派出远望一号~四号船队，跟踪检测. 其中 远望一、二号停在太平洋洋面上，某一时刻，分别 测得神舟六号在北偏东60°和北偏东30°的方向， 你能在下图中画出当时神舟六号所处的位置吗？
如图，可以说 ∠1 是 ∠2 的余角，或 ∠2 是 ∠1的余角，或 ∠1和 ∠2互余.
图中给出的各角，哪些互为余角？
15o
24o
46.2o
75o
66o
43.8o
4 3
如果两个角的和等于180°(平角)，就说这 两个角互为补角 ( 简称为两个角互补 ).
如图，可以说 ∠3 是 ∠4 的补角，或 ∠4 是 ∠3 的补角，或 ∠3 和 ∠4 互补.
(1) 试在图中确定白色漂浮物C的位置；
北 60°
A
C
北
30°
B
(2) 点 C 在点 A 的北偏东60°的方向上，那么点 A 在点 C 的__D____方向上.
A. 南偏东30° B. 南偏西30° C. 南偏东60° D. 南偏西60° 北
60°
北
C 60°
北 30°
A
B
课堂小结
互余
两角间的 1 2 90
互补，OM，ON分别为∠AOC，∠AOB的平分线，
若∠MON=40°，试求∠AOC与∠AOB的度数．
解：设∠AOB=x，
因为∠AOC与∠AOB互补， 则∠AOC=180°-x．
C
M
因为OM，ON分别为∠AOC，
∠AOB的平分线，
DO
所以∠AOM=
1 (180 2
-
x) ，∠AOM=
1 2
x.
B N
A
2
沿一个角折叠后，折痕与 1
长方形的边形成了4个角.
4
3
思考：
1. ∠1 与∠2 有什么数量关系？
∠1+∠2 = 90°
2. ∠3与∠4有什么数量关系？ ∠3+∠4 = 180°
讲授新课
一 余角和补角的概念
2 1
如果两个角的和等于90°( 直角 )，就说这 两个角互为余角 ( 简称为两个角互余 ).
答：这个角的度数是 60 °.
练一练
已知 ∠A 与∠B 互余，且 ∠A 的度数比∠B 度数的 3 倍还多30°，求∠B的度数.
解：设∠B的度数为x°，则 ∠A 的度数为 (3x+30)°. 根据题意得： x + ( 3x+30 ) = 90. 解得 x=15. 故 ∠B 的度数为15°.
例2 如图，已知O为AD上一点，∠AOC与∠AOB
B 南
八大方位
正东：射线 OA
H
正南：射线 OB
正西：射线 OC
正北：射线 OD
A 东 西北方向：射线 OE
西南方向：射线 OF
G
东北方向：射线 OH
东南方向：射线 OG
如图，说出下列方位
(1) 射线 OA 表示的方向
为 北偏东 40°.
(2) 射线 OB 表示的方向 B
为 北__偏_ 西 65_°.
第四章 图形初步认识
4.3 角
4.3.3 余角和补角
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1. 了解余角、补角的概念，掌握余角和补角的性质， 并能利用余角、补角的知识解决相关问题.(重点、 难点)
2. 了解方位角的概念，并能用方位角知识解决一些 简单的实际问题.(难点)
导入新课
情境引入
将一张长方形纸片，
图中给出的各角，哪些互为补角？
10o
30o
60o
80o
100o
120o
150o
170o
典例精析
例1 若一个角的补角等于它的余角的 4 倍，求这 个角的度数.
解：设这个角为 x°，则它的补角是 ( 180－x )°， 余角是 ( 90－x )° . 根据题意，得 180－x = 4 ( 90－x ) . 解得 x = 60.