备课参考高二数学北师大选修同步练习：第章 充要条件 含答案
高中数学选修2-1北师大版 充分条件与必要条件 学案1(含答案)
§2 充分条件与必要条件自主整理1.“若p则q”为真命题,它是指当p成立时,q一定成立.换句话说,p成立可以推出q成立,即p⇒q,此时我们称p是q的_______________.2.我们学过如下定理:若四边形的对角线相互平分,则它是平行四边形.我们把这样的定理称作_______________,判定定理是数学中一类重要的定理.在判定定理中,条件是结论的_______________.3.“若p则q”为真命题是指:当p成立时,q一定成立,即p⇒q,q必须成立,我们称q是p的_______________.4.在数学中,我们还常常讨论一类事物有什么性质.例如,函数y=x2有什么性质等,我们把这样的定理称作_______________,性质定理也是数学中一类重要的定理.在性质定理中,“定理的结论”是“定理的条件”的_______________.5.“若p则q”为真命题,即p q,那么p是q的_______________,q是p的_______________.6.如果“p⇒q”,并且“q p”,通常记作_______________,我们称p是q的_______________,简称_______________.7.我们常用“当且仅当”来表达充要条件.p是q的充要条件也可以说成:p成立当且仅当q成立.如果p、q分别表示两个命题,且它们互为充要条件,我们通常称命题p和命题q是两个___________________.高手笔记一、充分条件、必要条件和充要条件是重要的数学概念,主要用来区分命题的条件p和结论q 之间的下列关系.1.从逻辑推理关系上看.(1)若p⇒q,但q⇒p,则p是q的充分而不必要条件;(2)若q⇒p,但p⇒q,则p是q的必要而不充分条件;(3)若p⇒q,且q⇒p(或p⇒q且⌝p⌝q),则p是q的充要条件;(4)若p q,且q p,则p既不是q的充分条件也不是q的必要条件.对充要条件的理解和判断,要搞清楚其定义实质:若p⇒q,则p是q的充分条件,所谓“充分”,即要使q成立,有p成立足够了;若q⇒p,则p是q的必要条件,所谓“必要”,即p是q成立的必不可少的条件,缺其不可!例如:“学生”是“中学生”的必要条件,而“中学生”是“学生”的充分条件.2.从集合与集合之间关系上看.(1)若A⊆B,则A是B的充分条件;(2)若A⊇B,则A是B的必要条件;(3)若A=B,则A是B的充要条件;(4)若A B是B A,则A既不是B的充分条件,也不是B的必要条件.设A={x|x∈p},B={x|x∈q},即x具有性质p,则x∈A,若x具有性质q,则x∈B.如果A⊆B,就是说若x∈A,则x∈B,即x具有性质p,则x必具有性质q,即p⇔q;类似地,A=B与pq等价.图1-2-1例如,A={中学生},B={学生},A⊆B,即某人是中学生,必是学生,若不是学生,必不是中学生,所以“某人是中学生”是“某人是学生”的充分不必要条件.从集合的角度加深了我们对充要条件的直观性理解,也可以用图1-2-1表示.这种从集合的观点来判断充要条件的思考方法,可进一步加深对充要条件的理解.二、一般地,关于充要条件的判断主要有以下几种方法:(1)定义法:直接利用定义进行判断.(2)等价法:“p ⇔q”表示p 等价于q,等价命题可以进行转换,当我们要证明p 成立时,就可以去证明q 成立.这里要注意“原命题逆否命题”⇔“否命题逆命题”只是等价形式之一,对于条件或结论是不等式关系(否定式)的命题一般应用等价法.(3)利用集合间的包含关系进行判断:如果条件p 和结论q 都是集合,那么若p q,则p 是q 的充分条件;若p ⊆q,则p 是q 的必要条件;若p=q,则p 是q 的充要条件.名师解惑1.充分而不必要条件,必要而不充分条件,充要条件,既不充分也不必要条件反映了条件p 和结论q 之间的因果关系,在结合具体问题进行判断时,要注意什么?剖析:(1)确定条件是什么,结论是什么;(2)尝试从条件推结论,结论推条件;(3)确定条件是结论的什么条件;(4)要证明命题的条件是充要的,就是既要证明原命题成立,又要证明它的逆命题成立.证明原命题即证明条件的充分性,证明逆命题即证明条件的必要性.2.对于充要条件,要熟悉它的哪些同义词语?剖析:在解题时常常遇到与充要条件同义的词语,如“当且仅当”“必须且只需”“等价于”“……反过来也成立”.准确地理解和使用数学语言,对理解和把握数学知识是十分重要的. 讲练互动【例1】在下列各题中,判断A 是B 的什么条件,并说明理由.(1)A:|p|≥2,p ∈R,B:方程x 2+px+p+3=0有实根;(2)A:圆x 2+y 2=r 2与直线ax+by+c=0相切,B:c 2=(a 2+b 2)r 2.解析:A 是条件,B 是结论.若A ⇒B,则A 是B 的充分条件,若B ⇒A,则A 是B 的必要条件,借助方程和不等式及解析几何的知识来判断.答案:(1)当|p|≥2时,例如p=3,则方程x 2+3x+6=0无实根,而方程x 2+px+p+3=0有实根,必有p≤-2或p≥6,可推出|p|≥2,故A 是B 的必要不充分条件.(2)若圆x 2+y 2=r 2与直线ax+by+c=0相切,圆心到直线ax+by+c=0的距离等于r,即r=22||b a c +,所以c 2=(a 2+b 2)r 2;反过来,若c 2=(a 2+b 2)r 2,则22||b a c +=r 成立,说明x 2+y 2=r 2的圆心(0,0)到直线ax+by+c=0的距离等于r,即圆x 2+y 2=r 2与直线ax+by+c=0相切,故A 是B 的充分必要条件.绿色通道对于涉及充要条件的判断问题,必须以准确、完整地理解充要条件的概念为基础,有些问题需要转化为等价命题后才容易判断.变式训练1.设曲线C 1和C 2的方程分别为F 1(x,y)=0和F 2(x,y)=0,则点P(a,b) (C 1∩C 2)的一个充分条件是________________.解析:P 点不在C 1与C 2中至少一条曲线上,或C 1∩C 2=∅.答案:F 1(a ,b)≠0〔或F 2(a,b)≠0或F 1(a,b)≠0且F 2(a,b)≠0或C 1∩C 2=∅等〕(答案不唯一)【例2】若p:A B ⊆S,q:(B)(A),则p 是q 的什么条件?解析:与集合有关的问题可用韦恩图分析说明.图1-2-2答案:利用集合的图示法,如图122,A B ⊆S ⇒(B)(A),(B)(A)⇒A B ⊆S. ∴p 是q 的充分条件,也是必要条件,即p 与q 互为充要条件.绿色通道本题采用的是从条件直接推结论的方法,其中突出了数形结合的数学思想方法(图示法). 变式训练2.已知p 是q 的充分条件,r 是q 的必要条件,s 是r 的必要条件,那么s 是p 的什么条件? 答案:由题意可知:p ⇒q,r ⇐q,s ⇐r,所以p ⇐s,即s 是p 的必要条件.【例3】求证:关于x 的方程x 2+mx+1=0有两个负实根的充分条件和必要条件均是m≥2. 解析:本题的条件是p:m≥2,结论是q:方程x 2+mx+1=0有两个负实根,然后要明确充分性的证明是p q,必要性的证明是q ⇒p.证明:(1)充分性:因为m≥2,所以Δ=m 2-4≥0.所以x 2+mx+1=0有实根,两根设为x 1、x 2,由韦达定理,知x 1x 2=1>0,所以x 1与x 2同号.又x 1+x 2=-m≤-2<0,所以x 1、x 2同为负实数,即x 2+mx+1=0有两个负实根的充分条件是m≥2.(2)必要性:因为x 2+mx+1=0有两个负实根x 1和x 2,且x 1x 2=1,所以m-2=-(x 1+x 2)-2=-(x 1+11x )-2=121)1(x x +-≥0.故m≥2,即x 2+mx+1=0有两负实根的必要条件是m≥2.综上,m≥2是x 2+mx+1=0有两个负实根的充要条件.绿色通道本题关键是分清命题的条件p,结论q 分别表示什么,且分清“充分条件”和“必要条件”的不同.变式训练3.求关于x 的方程ax 2+2x+1=0至少有一个负的实根的充要条件.答案:(1)a=0时适合.(2)当a≠0时,显然方程没有零根,若方程有两异号的实根,则a<0;若方程有两个负的实根,则必须满足⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥-=∆<->,044,02,01a aa 解得0<a≤1.综上所述,若方程至少有一个负的实根,则a≤1;反之,若a≤1,则方程至少有一个负的实根.因此,关于x 的方程ax 2+2x+1=0至少有一个负的实根的充要条件是a≤1.【例4】设x 、y ∈R ,求证:|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy≥0.解析:要证充要条件,需要证明充分性,也要证明必要性.对x 、y 的取值进行讨论,再综合总结. 证明:充分性:若xy=0,那么,①x=0,y≠0;②x≠0,y=0;③x=0,y=0,于是|x+y|=|x|+|y|.如果xy>0,即x>0,y>0或x<0,y<0,当x>0,y>0时,|x+y|=x+y=|x|+|y|;当x<0,y<0时,|x+y|=-(x+y)=-x+(-y)=|x|+|y|.总之,当xy≥0时,有|x+y|=|x|+|y|.必要性:由|x+y|=|x|+|y|及x 、y ∈R ,得(x+y)2=(|x|+|y|)2,即x 2+2xy+y 2=x 2+2|xy|+y 2,所以|xy|=xy.所以xy≥0.绿色通道充要条件的证明关键是根据定义确定哪是已知条件,哪是结论,然后搞清充分性是证明哪一个命题,必要性是证明哪一个命题.变式训练4.已知p:0<m<31q:方程mx 2-2x+3=0有两个同号且不相等的实根,证明p 是q 的充要条件. 答案:证明:当m=0时,方程变为-2x+3=0,仅有一个实根x=23. 当m≠0时,且Δ=4-12m>0,即m<31且m≠0时,方程有两个不相等的实根,设两根为x 1、x 2. 若0<m<31时,方程有两个不相等的实数根,且x 1+x 2=m 2>0,x 1x 2=m 3>0,故方程有两个同号且不相等的实数根,即0<m<31⇒方程mx 2-2x+3=0有两个同号且不相等的实数根. 若方程mx 2-2x+3=0有两个同号且不相等的实数根,则有⎩⎨⎧>>-=∆,0,012421x x m 所以0<m<31, 即方程mx 2-2x+3=0有两个同号且不相等的实数根⇒0<m<31. 所以p 是q 的充要条件.。
高中数学 选修2-1 北师大版 充分条件与必要条件1 作业(含答案)
同步测控我夯基.我达标1.已知α、β是不同的两个平面,直线a ⊂α,直线b ⊂β.命题p:a 与b 无公共点;命题q:α∥β,则p 是q 的…( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:α∥β⇒α、β无公共点⇒a 、b 无公共点;a 、b 无公共点不能推出α、β无公共点,即不能推出α∥β,则p 是q 的必要而不充分条件.答案:B2.设甲为0<x<5,乙为|x-2|<3,那么甲是乙的……( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:由不等式|x-2|<3,得-1<x<5.因为0<x<5⇒-1<x<5,但-1<x<50<x<5,所以甲是乙的充分不必要条件.答案:A3.函数y=x 2+bx+c(x ∈［0,+∞))是单调函数的充要条件是( )A.b≥0B.b≤0C.b>0D.b<0解析:二次函数的单调区间应以对称轴来划分.二次函数y=x 2+bx+c 的对称轴为x=2b -,要使函数在［0,+∞)上是单调函数,需使2b -≤0,即b≥0,反之也成立.答案:A4.设甲、乙、丙是三个命题,如果甲是乙的必要条件,丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件,那么( )A.丙是甲的充分条件,但不是甲的必要条件B.丙是甲的必要条件,但不是甲的充分条件C.丙是甲的充要条件D.丙不是甲的充分条件,也不是甲的必要条件解析:因为甲是乙的必要条件,所以乙⇒甲;又因为丙是乙的充分条件,但不是乙的必要条件,所以丙⇒乙,但乙丙.如图.综上有丙⇒乙⇒甲,但乙丙,故有丙⇒甲,但甲丙, 即丙是甲的充分条件,但不是甲的必要条件.答案:A 5.“m=21是直线(m+2)x+3my+1=0与直线(m-2)x+(m+2)y-3=0相互垂直”的( )A.充分必要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件解析:由于直线方程中含有字母m,需对m 进行讨论.(m+2)x+3my+1=0与(m-2)x+(m+2)y-3=0互相垂直的充要条件是(m+2)(m-2)+3m(m+2)=0, 即(m+2)(4m-2)=0,所以m=-2或m=21. 显然m=21只是上边集合的真子集.故为充分不必要条件. 答案:B6.设α、β、γ为平面,m 、n 、l 为直线,则m ⊥β的一个充分条件是( )A.α⊥β,α∩β=l,m ⊥lB.α∩γ=m,α⊥γ,β⊥γC.α⊥γ,β⊥γ,m ⊥αD.n ⊥α,n ⊥β,m ⊥α解析:利用充分条件的定义,再结合线面关系求解.对于A,α⊥β,α∩β=l,m ⊥l,m 是否垂直β,决定于m 的位置关系;对于B,β⊥γ与α、γ的交线m 没有必然的联系,即不一定有m ⊥β;对于C,α⊥γ,β⊥γ,则α、β的位置关系可相交,可平行;对于D,n ⊥α,n ⊥β,则有α∥β,又m ⊥α,所以是m ⊥β的一个充分条件.答案:D7.设定义域为R 的函数f(x)=⎩⎨⎧=≠-,1,0,1||,1||x x x g ,则0,x=1,则关于x 的方程f 2(x)+bf(x)+c=0有7个不同实数解的充要条件是( )A.b<0且c>0B.b>0且c<0C.b<0且c=0D.b≥0且c=0解析:本题可通过数形结合的方法解决.先利用函数图像的变换作出f(x)的图像,如下图:注意f(x)=0有三个根,x 1=0,x 2=1,x 3=2,且有f(x)≥0,令f(x)=t≥0,则方程为t 2+bt+c=0有实数解(t≥0)需满足t 1+t 2=-b≥0,即b≤0.t 1·t 2=c≥0,排除B 、D(因B 项:c<0,D 项b≥0).对于A,不妨令b=-3,c=2,则方程为t 2-3t+2=0,解之,得t 1=1,t 2=2,即f(x)=1或f(x)=2,由图知有8个根,排除A,故选C.实际上当b<0,且c=0时,f 2(x)+bf(x)=0.f(x)=0或f(x)=-b>0,由f(x)=-b>0,结合图像,此时有4个根,f(x)=0有根为0,1,2计7个. 答案:C8.已知α、β为锐角,若p:sinα<sin(α+β),q:α+β<2π,则p 是q 的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:可以利用特殊值法加以否定,从而得到正确结论.令α=6π,β=3π,满足p,而q 不成立,故p q;而当q 成立时,由2π>α+β>α,利用单调性明显可得p 成立.答案:B我综合 我发展9.设集合A 、B 是全集U 的两个子集,则A ⊆B 是(A )∪B=U 的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 解析:直接推较为复杂,可借助Venn 图来求解.运用Venn 图.A B 时,如图所示.则(A)∪B=U 成立.当A=B 时,如图所示.(A)∪B=(B)∪B=U 成立,即(A)∪B=U 成立时,可有A ⊆B.答案:A10.已知p 、q 都是r 的必要条件,s 是r 的充分条件,q 是s 的充分条件,那么:(1)s 是q 的什么条件?(2)r 是q 的什么条件?(3)p 是q 的什么条件?解析:可将已知r 、p 、q 、s 的关系用图表示,然后利用图示解答问题.答案:由图可知:(1)因为q ⇒s,s ⇒r ⇒q,所以s 是q 的充要条件.(2)因为r ⇒q,q ⇒s ⇒r,所以r 是q 的充要条件.(3)因为q ⇒s ⇒r ⇒p,而p q,所以p 是q 的必要不充分条件.11.指出下列各组命题中,p 是q 的什么条件(充分不必要条件,必要不充分条件,充要条件,既不充分也不必要条件).(1)p:数a 能被6整除,q:数a 能被3整除;。
北师大版高中数学选修2-1同步练测：§2充要条件(含答案详解)
高中数学学习材料（灿若寒星精心整理制作）§2 充分条件与必要条件（北京师大版选修2-1）一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）1.“|x|=|y|”是“x=y”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.已知f(x)是定义在R上的偶函数，且以2为周期，则“f(x)为［0，1］上的增函数”是“f(x)为［3，4］上的减函数”的A.既不充分也不必要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.充要条件3.（2012·山东烟台二模）设α，β是两个不同的平面，m，n是平面α内的两条不同直线，，是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分而不必要条件是( )A.m∥且n∥B.m∥β且n∥C.m∥β且n∥βD.m∥β且∥α4.（2011·天津高考）设集合A={x∈R|x-2＞0},B={x ∈R|x＜0}，C={x∈R|x(x-2)＞0},则“x∈A∪B”是“x∈C”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.下列各小题中，p是q的充要条件的是( ) （1）p:m＜－2或m＞6，q:y=+mx+m+3有两个不同的零点；（2）p:－=1，q:y=f(x)是偶函数；（3）p:cosα=cosβ，q:tanα=tanβ；（4）p:A∩B=A，q:A.A.(1)(2)B.(2)(3)C.(3)(4)D.(1)(4)6.已知：，那么的一个必要不充分条件是（）A.B.C.D.7.已知集合,.若成立的一个充分不必要条件是，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.8.“函数在区间（）上是减函数”是“函数（且）在区间（）上是减函数”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件二、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）9.对于函数，，的图像关于轴对称”是“是奇函数”的_条件.10.下列四个式子：①；②；③；④.其中能使成立的充分条件有.（只填序号）11.设p，r都是q的充分条件,s是q的充分必要条件,t 是s的必要条件,t是r的充分条件,那么p是t 的条件,r是t的条件.三、解答题（本题共5小题，共45分）12.（本小题满分8分）已知是实数，求证：成立的充分条件是.该条件是不是必要条件？试证明你的结论．13.（本小题满分8分）证明：是函数在区间（- ，4上为减函数的充分不必要条件. 14.（本小题满分9分）求证：关于的方程有一根为1的充要条件是.15.（本小题满分9分）已知全集，非空集合，. （1）当时，求（）；（2）命题，命题，若是的必要条件，求实数的取值范围．16.（本小题满分11分）已知p:|1－－|≤2,q:－2x+1－≤0(m＞0),若p是q的必要不充分条件,求实数m的取值范围.§2 充分条件与必要条件（北京师大版选修2-1）答题纸得分：______ 一、选择题二、填空题9.__________10.＿＿＿＿＿＿11._____________三、解答题12.解：13.解：14.解：15.解：16.解：§2 充分条件与必要条件（北京师大版选修2-1）答案一、选择题1.B解析：若x=y，显然有|x|=|y|成立；反之，若|x|=|y|，则x=y或x=－y.2.D解析：利用充要条件的定义直接判断.①∵f（x）在R上是偶函数，∴f（x）的图象关于y轴对称.∵f（x）为［0，1］上的增函数，∴f（x）为［－1，0］上的减函数.又∵f（x）的周期为2，∴f（x）为区间［－1+4，0+4］＝［3，4］上的减函数.②∵f（x）为［3，4］上的减函数，且f(x)的周期为2，∴f（x）为［－1，0］上的减函数.又∵f（x）在R上是偶函数，∴f（x）为［0，1］上的增函数.由①②知“f（x）为［0,1］上的增函数”是“f（x）为［3,4］上的减函数”的充要条件.3.A解析：当m∥且n∥时，由面面平行的判定定理，知α∥β.但当α∥β时，未必有m∥且n∥.4.C解析：A={x|x－2＞0}={x|x＞2}=(2,+∞)，B={x|x＜0}=(－∞,0),∴A∪B=(－∞,0)∪(2,+∞).∵C={x|x(x－2)＞0}={x|x＜0或x＞2}=(－∞,0)∪(2,+∞),∴A∪B=C.∴“x∈A∪B”是“x∈C”的充要条件.5.D解析：（2）由－=1可得f(－x)=f(x)，但y=f(x)的定义域不一定关于原点对称；（3）cosα=cosβ是tanα=tanβ的既不充分也不必要条件.6.B解析：由得.设的一个必要不充分条件为，则,但,故选B.7.C解析：,因为成立的一个充分不必要条件是，所以Ü，所以，即.8.B解析：函数在区间（）上是减函数的充要条件是，函数（且）在区间（）上是减函数的充要条件是，从而易知选B.二、填空题9.必要不充分解析：若是奇函数，则的图像关于轴对称.但当是偶函数时，的图像也关于轴对称.所以“的图像关于轴对称”是“是奇函数”的必要不充分条件.10.①②④解析：当时，；当时，；当时，；当时，.所以使成立的充分条件有①②④.11.充分充要解析：由题意可画出图形，如图所示.由图形可以看出p是t的充分条件,r是t的充要条件.三、解答题12.解：是必要条件.证明如下：因为，所以.即成立的充分条件是.另一方面，若，即为，,.又,所以，即.因此是成立的充要条件．从而结论成立.13.解：当时，函数为一次函数，是减函数，因此不是必要条件.当时，二次函数的图像开口向下，而已知函数在区间（-∞，4上为减函数，这是不可能的.当时，二次函数的图像开口向上，数形结合可知，只需满足对称轴解得所以综上所述，是函数在区间（-∞，4上为减函数的充分不必要条件.14.证明：充分性：因为，所以.所以成立，故是方程的一个根．必要性：关于的方程有一个根为1，所以，所以成立．15.解：（1）当时，，.所以或，所以．（2）若是的必要条件，即，可知.由，得.当，即时，，所以，，解得；当，即时，，符合题意；当，即时，，所以，，解得.综上，．16.解：由p:|1－－|≤2－2≤x≤10,由q可得－≤(m＞0),所以1－m≤x≤1+m.所以p:x＞10或x＜－2，q:x＞1+m或x＜1－m.因为p是q的必要不充分条件,所以p，q,故只需满足－＜－或＞所以m≥9.。
高中数学 选修2-1 北师大版 充分条件与必要条件 作业(含答案)
1．要判断充分条件、必要条件，就是要利用已有知识，借助代数推理的方法，看由p 能否推出q ，且由q 能否推出p .2．一个结论成立的充分条件可以不止一个，必要条件也可以不止一个．3．有关充要条件的证明问题，既要证明充分性，又要证明必要性，并且要分清条件和结论，注意哪步是充分性，哪步是必要性．4．在涉及到求参数范围又与充分、必要条件有关问题时，常常借助集合的观点来考虑． ————————————————————————————————————— —————————————————————————————————————[A 级 基础夯实]1．已知a ，b 都是实数，那么“a 2>b 2”是“a >b ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：①当a 2>b 2时，有a 2－b 2>0⇔(a ＋b )(a －b )>0，由此推不出a >b . ②当a >b 时，如若a ＝－2，b ＝－3，有a 2<b 2，故推不出a 2>b 2.所以“a 2>b 2”是“a >b ”的既不充分也不必要条件．答案：D2．“x ＝π4”是“函数y ＝sin 2x 取得最大值”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：当x ＝π4时，函数y ＝sin 2x ＝sin π2＝1取得最大值；反过来，当函数y ＝sin 2x 取得最大值时，不能推出x ＝π4，如x ＝5π4时，函数y ＝sin 2x 也可取得最大值．综上所述，“x ＝π4”是“函数y ＝sin 2x 取得最大值”的充分不必要条件，选A. 答案：A3．在下列四个结论中，正确的有( )①x 2>4是x 3<－8的必要不充分条件；②在△ABC 中，“AB 2＋AC 2＝BC 2”是“△ABC 为直角三角形”的充要条件；③若a ，b ∈R ，则“a 2＋b 2≠0”是“a ，b 全不为0”的充要条件；④若a ，b ∈R ，则“a 2＋b 2≠0”是“a ，b 不全为0”的充要条件．A ．①②B ．③④C ．①④D ．②③解析：对于结论①，由x 3<－8⇒x <－2⇒x 2>4；但是x 2>4⇒x <－2或x >2⇒x 3<－8或x 3>8，不一定有x 3<－8.故x 3<－8⇒x 2>4，但x 2>4⇒/ x 3<－8.所以①正确．根据选择题的特点，对以上的四个结论有选择地进行判断，现已判定①正确，则不必对③进行判定了．因为由①正确可知应淘汰B ，D ，进而只要对A ，C 作进一步的选择，而选A 还是选C ，只需对②或④中的一个作出判定即可，可以从②④中选择容易判定的一个．结论②，“△ABC 为直角三角形”没有明确哪个顶点为直角顶点，因此就不一定有“AB 2＋AC 2＝BC 2”成立．故“AB 2＋AC 2＝BC 2”是“△ABC 为直角三角形”的充分不必要条件．答案：C4．已知p ：x 2＋x －2＞0，q ：x ＞a ，若q 是p 的充分不必要条件，则a 的取值范围可以是________．解析：将p ，q 分别视为集合A ＝{x |x 2＋x －2＞0}＝{x |x ＞1或x ＜－2}，B ＝{x |x ＞a }，已知q 是p 的充分不必要条件，即B A ，在数轴上表示出两个集合(图略)，可知满足题意的a 的取值范围为a ≥1.答案：[1，＋∞)5．条件p ：|x ＋1|>2，条件q ：x >2，则p 是q 的________条件．解析：由|x ＋1|>2，得x >1或x <－3.∵{x |x >2} {x |x >1或x <－3}，∴p ⇒/ q ，但q ⇒p .∴p 是q 的必要不充分条件．答案：必要不充分6．指出下列各组命题中，p 是q 的什么条件，q 是p 的什么条件．(1)已知a 、b 是不等于0的实数，p ：a b>1，q ：a >b ； (2)p ：m <－2，q ：方程x 2－x －m ＝0无实根；(3)已知p ：－2<m <0,0<n <1，q ：关于x 的方程x 2＋mx ＋n ＝0有两个小于1的正根．解析：(1)由条件“a b >1”可得a －b b>0， 若b >0，则a >b ；若b <0，则有a <b ，∴“a b>1”⇒/ “a >b ”，条件不充分． 反过来，a >b ⇔a －b >0，也不能推出a －b b >0⇔a b>1，条件也不必要．∴p 是q 的既不充分也不必要条件，q 也是p 的既不充分也不必要条件．(2)∵m <－2⇒方程x 2－x －m ＝0无实根；方程x 2－x －m ＝0无实根⇒/ m <－2.∴p 是q 的充分不必要条件，q 是p 的必要不充分条件．(3)若x 2＋mx ＋n ＝0有两根x 1，x 2，则由根与系数的关系，有x 1＋x 2＝－m ，x 1·x 2＝n ， 又0<x 1，x 2<1，∴0<x 1＋x 2<2,0<x 1x 2<1.∴－2<m <0,0<n <1，∴q ⇒p .当m ＝－1，n ＝12时，方程x 2＋mx ＋n ＝0， 即x 2－x ＋12＝0，此方程无实根，故p ⇒/ q . ∴p 是q 的必要不充分条件，q 是p 的充分不必要条件．[B 级 能力提升]7．函数f (x )＝x 2＋mx ＋1的图像关于直线x ＝1对称的充要条件是( )A ．m ＝－2B ．m ＝2C ．m ＝－1D ．m ＝1解析：函数f (x )＝x 2＋mx ＋1的图像关于直线x ＝1对称，得－m 2＝1，∴m ＝－2.反之可验证m ＝－2时，函数图像关于x ＝1对称．答案：A8．若a ，b 为实数，则“0<ab <1”是“a <1b 或b >1a”的( ) A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 解析：∵0<ab <1，∴a ，b 同号，且ab <1.当a >0，b >0时，a <1b ；当a <0，b <0时，b >1a. ∴“0<ab <1”是“a <1b 或b >1a”的充分条件． 而取a ＝－1，b ＝1，显然有a <1b，但不能推出0<ab <1， 故“0<ab <1”是“a <1b 或b >1a”的充分而不必要条件． 答案：A9．已知AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，判断a ＋b ＋c ＝0是A 、B 、C 三点构成三角形的什么条件．解析：若A 、B 、C 三点构成△ABC ，。
高中数学 选修2-1 北师大版 充分条件与必要条件 作业(含答案)
2 充分条件与必要条件练习1．“x＞0”是“x≠0”的()．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件2．条件甲：A∩B＝A；条件乙：A B，则甲是乙的()．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．既不充分又不必要条件D．充要条件3．设a R，则“a＝1”是“直线l 1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的()．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．已知条件p：|x－1|＞1－x，条件q：x＞a.若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是()．A．a＞1 B．a≥1C．a＜1 D．a≤15．若a与b－c都是非零向量，则a·b＝a·c是a⊥(b－c)的()．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件6．设甲是乙的充分不必要条件，乙是丙的充要条件，丁是丙的必要不充分条件，那么甲是丁的________．7．函数y＝x2＋bx＋c(x[0，＋∞))是单调函数的充要条件是________．8．有四个命题：①“x2≠1”是“x≠1”的必要条件；②“x＞5”是“x＞4”的充分不必要条件；③“xyz＝0”是“x＝0且y＝0且z＝0”的充要条件；④“x2＜4”是“x＜2”的充分不必要条件．其中是假命题的有________．9．已知p：x2－x－6＞0，q：4x＋m＜0，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．10．关于x的不等式或方程，证明x2＋px＋q≤0的解集只含有一个元素的充要条件是p2＝4q.参考答案1. 答案：A 解析：对于“x ＞0” ⇒ “x ≠0”，反之不一定成立，因此“x ＞0”是“x ≠0”的充分不必要条件．2. 答案：B 解析：甲不能推出乙，但乙⇒甲．故甲是乙的必要不充分条件．3. 答案：A 解析：l 1与l 2平行的充要条件为a (a ＋1)＝2×1且a ×4≠1×(－1)，可解得a ＝1或a ＝－2，故a ＝1是l 1∥l 2的充分不必要条件．4. 答案：C 解析：由题意，p ⇒q 而q 不能推出p ，因为p ⇒x ＞1，所以a ＜1.5. 答案：C 解析：a·b ＝a·c a·(b －c )＝0a ⊥(b －c )．6. 答案：充分不必要条件 解析：由题意知甲⇒乙，乙丙，丙⇒丁，∴甲⇒丁但丁不能推出甲．7. 答案：b ≥0 解析：若b ≥0，函数y ＝x 2＋bx ＋c 在[0，＋∞)上是单调增加的；若y ＝x 2＋bx ＋c 在[0，＋∞)上是单调增加的，则b ≥0.8. 答案：①③ 解析：“x 2≠1”是“x ≠1”的充分条件，①错误；“x ＞5”是“x ＞4”的充分不必要条件，②正确；“xyz ＝0”是“x ＝0且y ＝0且z ＝0”的必要不充分条件，③错误；“x 2＜4”是“x ＜2”的充分不必要条件，④正确．9. 解：∵p 是q 的必要不充分条件，∴“若q ，则p ”是真命题．又∵x 2－x －6＞0，∴x ＞3或x ＜－2，∴p ：x ＞3或x ＜－2.q ：4x ＋m ＜0，x ＜4m -，∴4m -≤－2， ∴m ≥8，即m 的取值范围为[8，＋∞)．10. 证明：先证明必要性：解x 2＋px ＋q ≤0，若Δ＝p 2－4q ＞0，则不等式的解集为x ⎧⎪≤≤⎨⎪⎪⎩⎭，与题意不符； 若Δ＜0，x 2＋px ＋q ＞0恒成立，则不等式的解集为，也与题意不符；所以只能Δ＝p 2－4q ＝0，即p 2＝4q 使得原不等式的解集中只含有一个元素2p x x ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭. 再证明充分性：由p 2＝4q ，则原不等式可以整理成x 2＋px ＋q ＝x 2＋px ＋24p ＝22p x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≤0. 因此解集为2p x x ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，只有一个元素． 综上所述，x 2＋px ＋q ≤0的解集只含有一个元素的充要条件是p 2＝4q .。
2019-2020学年高二数学北师大版选修2-1教师用书：第1章 2.4 充要条件 Word版含答案
2.4 充要条件1.理解充要条件的意义.(难点)2.掌握充分、必要、充要条件的应用.(重点、难点)3.区分充分不必要条件、必要不充分条件.(易混点)教材整理充要条件阅读教材P8～P9的内容，完成下列问题.1.充要条件如果p⇒q，且q⇒p，那么称p是q的充分必要条件，简称充要条件，记作p⇔q.2.常见的四种条件(1)充分不必要条件，即p⇒q而q⇒/_p.(2)必要不充分条件，即p⇒/_q而q⇒p.(3)充要条件，即p⇒q，q⇒p.(4)既不充分也不必要条件，即p⇒/_q，q⇒/_p.1.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)当p是q的充要条件时，也可以说成q成立当且仅当p成立.( )(2)若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题.( )(3)若p q和q p有一个成立，则p一定不是q的充要条件.( ) 【答案】(1)√(2)√(3)√2.在△ABC中，“A＞B”是“a＞b”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】在△ABC中A＞B⇔a＞b，∴A＞B是a＞b的充要条件.【答案】 C3.用符号“⇒”“⇐”“⇔”填空.(1)x＝0________x＜1；(2)整数a能被2整除________整数a是偶数；(3)M ＞N ________log 2M ＞log 2N . 【解析】 利用这三种符号的意义求解. 【答案】 (1)⇒ (2)⇔ (3)⇐4.已知非零实数a ，b ，c ，则“b 2＝ac ”是“a ，b ，c 成等比数列”的____________条件. 【解析】 b 2＝ac ⇒a ，b ，c 成等比数列，a ，b ，c 成等比数列⇒b 2＝ac ，∴互为充要条件. 【答案】 充要预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1：________________________________________________________ 解惑：________________________________________________________ 疑问2：________________________________________________________ 解惑：________________________________________________________ 疑问3：________________________________________________________ 解惑：________________________________________________________(1)“b 2－4ac ＜0R ”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件【自主解答】 当a ＝c ＝－1，b ＝0时，不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为∅.反过来，由一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为R ，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0Δ＝b2－4ac ＜0，因此，b 2－4ac ＜0是一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为R 的必要不充分条件. 【答案】 B(2)条件甲：“a ＞1”是条件乙：“a ＞a ”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件【自主解答】 方法一：甲⇒乙：a ＞1⇒a ＞1⇒a ＞a ，乙⇒甲：a ＞a ⇒a(a －1)＞0⇒a ＞1或a ＜0⇒a ＞1因此是充要条件.方法二：∵a ＞a ⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0a2＞a ⇔a ＞1，∴选C.【答案】 C(3)已知p ：－1＜2x －3＜1，q ：x (x －3)＜0，则p 是q 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件【自主解答】 由－1＜2x －3＜1，得1＜x ＜2，即x ∈(1,2). 由x (x －3)＜0，得0＜x ＜3，即x ∈(0,3).∵当1＜x ＜2时，能推出0＜x ＜3；但是0＜x ＜3不能推出1＜x ＜2.∴p 是q 的充分不必要条件. 【答案】 A(4)p ：x ＝1或x ＝2，q ：x －1＝x －1，则p 是q 的________条件.【自主解答】 ∵当x ＝1或x ＝2成立时可得x －1＝x －1成立.反过来，当x －1＝x －1成立时可推出x ＝1或x ＝2.∴p 是q 的充要条件.【答案】 充要对充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件的判断要搞清楚它们的定义实质；①若p ⇒q ，但qp ，则p 是q 的充分不必要条件；②若q ⇒p ，但pq ，则p 是q 的必要不充分条件；③若p ⇒q ，且q ⇒p ，则p 是q 的充要条件；④若p q ，且qp ，则p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件.求证：“f (x )＝.【导学号：32550005】【精彩点拨】 分清条件和结论，证明充分性即证“条件⇒结论”，证明必要性即证“结论⇒条件”. 【自主解答】 必要性：由f (x )＝sin(x ＋φ)是奇函数，得f (－x )＝－f (x )， 即sin(－x ＋φ)＝－sin(x ＋φ)，∴sin(－x )cos φ＋cos(－x )sin φ＝－sin x cos φ－cos x sin φ， 整理得2cos x sin φ＝0，由于上式对任意x ∈R 都成立，所以sin φ＝0， 即f (0)＝sin φ＝0.充分性：由f (0)＝0，得sin φ＝0.∴f (－x )＝sin(－x ＋φ)＝sin(－x )cos φ＋cos(－x )·sin φ＝－sin x cos φ，f (x )＝sin(x ＋φ)＝sin x cos φ＋cos x sin φ＝sin x cos φ，∴f(－x)＝－f(x).∴f(x)＝sin(x＋φ)是奇函数.综上，“f(x)＝sin(x＋φ)是奇函数”的充要条件是“f(0)＝0”.1.首先分清条件和结论.本例中条件是“f(0)＝0”，结论是“f(x)＝sin(x＋φ)是奇函数”.“p是q 的……条件”，p是条件，q是结论；“p成立的……是q”，q是条件，p是结论.2.充要条件的证明分两步证明：证明充分性时把条件当已知去推证结论的正确性；证明必要性时，结论当已知去推证条件的正确性.1.求证：“f(x)＝sin(x＋φ)是偶函数”的充要条件是“|f(0)|＝1”.【证明】必要性：由f(x)＝sin(x＋φ)是偶函数得f(－x)＝f(x)，即sin(－x＋φ)＝sin(x＋φ)，∴sin(－x)cos φ＋cos(－x)sin φ＝sin x cos φ＋cos x sin φ整理得2sin x cos φ＝0.由于上式对任意x∈R都成立，所以cos φ＝0，即|f(0)|＝|sin φ|＝1.充分性：由|f(0)|＝1，得|sin φ|＝1，∴cos φ＝0.∵f(－x)＝sin(－x＋φ)＝sin(－x)cos φ＋cos (－x)·sin φ＝cos x sin φ，f(x)＝sin(x＋φ)＝sin x cos φ＋cos x sin φ＝cos x sin φ，∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)＝sin(x＋φ)是偶函数，综上，“f(x)＝sin(x＋φ)是偶函数”的充要条件是“|f(0)|＝1”.探究1【提示】若p是q的充要条件，q是s的充要条件，即p⇔q，q⇔s，则有p⇔s，即p是s的充要条件.探究2 从集合的角度判断充要条件、必要条件和充分条件适用于哪些题目？【提示】当所要研究的p，q含有变量，即涉及方程的解集、不等式的解集，或者与集合有关或所描述的对象可以用集合表示时，可以借助集合间的包含关系利用Venn图或数轴解题.探究3 在使用充分条件和必要条件时，要注意什么？【提示】在求解与充分条件、必要条件有关的问题时，要分清条件p和结论q.只有分清条件和结论才能正确判断p与q的关系，才能利用p与q的关系解题.在由条件p与结论q之间的关系求字母的取值范围时，将p与q之间的关系转化为集合之间的关系，是求解这一类问题的常用方法.探究4 如何求一个问题的充要条件？【提示】求一个问题的充要条件，就是利用等价转化的思想，使得转化前后的两个命题所对应的解集是两个相同的集合.这就要求我们转化的时候思维要缜密.已知数列{a n }的前n 项和S n ＝p n＋q (p ≠0，p ≠1)，求数列{a n }是等比数列的充要条件.【精彩点拨】 由关系式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧＝，Sn －Sn －寻找a n 与a n ＋1的比值，但同时要注意充分性的证明.【自主解答】 a 1＝S 1＝p ＋q . 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝p n －1(p －1). ∵p ≠0，p ≠1，∴－pn －－＝p ，若{a n }为等比数列，则a2a1＝an ＋1an ＝p ， ∴－p ＋q＝p .∵p ≠0，∴p －1＝p ＋q ，∴q ＝－1. 以上是{a n }为等比列的必要条件.下面证明q ＝－1是{a n }为等比数列的充分条件.当q ＝－1时，∴S n ＝p n －1(p ≠0，p ≠1)，a 1＝S 1＝p －1， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝p n －p n －1＝p n －1(p －1). ∴a n ＝(p －1)pn －1(p ≠0，p ≠1)，anan －1＝－－1－－2＝p 为常数，∴q ＝－1时，数列{a n }为等比数列. 即数列{a n }是等比数列的充要条件为q ＝－1.本题以等比数列的判定为主线，根据数列前n 项和通项之间的递推关系，严格利用等比数列定义判定.证明充要条件的命题，体现了思维的严谨性.2.求ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负实根的充要条件.【解】 (1)当a ＝0时，原方程变为2x ＋1＝0，即x ＝－12，符合要求.(2)当a ≠0时，ax 2＋2x ＋1＝0为一元二次方程，它有实根的充要条件是Δ≥0，即4－4a ≥0，∴a ≤1. ①方程ax 2＋2x ＋1＝0有一个负根的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，x1x2＜0即⎩⎪⎨⎪⎧a≤1，1a ＜0，∴a ＜0.②方程ax 2＋2x ＋1＝0有两个负根的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，x1＋x2＜0，x1x2＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧a≤1，－2a ＜0，1a ＞0，∴0＜a ≤1.综上所述，ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负实根的充要条件为a ≤1.1.若p ：|x |＝x ，q ：x 2＋x ≥0.则p 是q 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】 设p ：{x ||x ＝x }＝{x |x ≥0}＝A ，q ：{x |x 2＋x ≥0}＝{x |x ≥0或x ≤－1}＝B ，∵AB ，∴p 是q 的充分不必要条件. 【答案】 A2.“sin A ＞cos B ”是△ABC 为锐角三角形的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】 当A ＝120°，B ＝45°时，△ABC 为钝角三角形；当△ABC 是锐角三角形时，A ＋B ＞90°，A ＞90°－B ，又0°＜A,90°－B ＜90°，则sin A ＞sin (90°－B )＝cos B .【答案】 B3.已知向量a ＝(x －1,2)，b ＝(2,1)，则a ⊥b 的充要条件是( ) A.x ＝－12 B.x ＝－1 C.x ＝5D.x ＝0【解析】 a ⊥b ⇔2(x －1)＋2＝0⇔x ＝0. 【答案】 D4.已知p ：x 2－x －2＜0，q ：x ∈(－1，m )且p 是q 的充分不必要事件，则实数m 的取值范围是( ) A.m ＞2 B.m ≥2 C.－1＜m ＜2D.－1＜m ≤2【解析】 由x 2－x －2＜0，得x ∈(－1,2). ∵p 是q 的充分不必要条件，∴(－1,2)(－1，m )，∴m ＞2.故选A. 【答案】 A5.若p ：x (x －3)＜0是q ：2x －3＜m 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是________.【导学号：32550006】【解析】 p ：x (x －3)＜0则0＜x ＜3， q ：2x －3＜m 则x ＜m ＋32， 由题意知p ⇒q ，q p 则m ＋32≥3解得m ≥3.【答案】 [3，＋∞)我还有这些不足：(1)________________________________________________ (2)________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)________________________________________________ (2)________________________________________________。
1.2充要条件习题及答案
1.2充要条件一、课程学习目标1．理解充分条件与必要条件的意义；2．能判断一些简单的充分条件与必要条件．3. 理解充要条件的概念；4. 掌握充要条件的证明方法，既要证明充分性又要证明必要性.二、课本知识梳理p⇒，则称p是q的．P为条件，１．若p成立，则q成立，即qq为结论．p⇐，则称p是q的．P为条件，q ２．若q成立，则p成立，即q为结论．三、课前双基自测1．|x|=1是x=1的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件2．设p：x＞0，q：|x－2|＜1，则p是q的（）A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．既不充分也非必要条件3．“A∩B=A”是“A⊆B”的（）A．必要但不充分条件B．既不必要也不充分条件C．充分但不必要条件D．充要条件4．命题p是命题q的充分但不必要条件，命题s是命题q的必要但不充分条件，命题t 是命题s的充要条件，则t p（用“⇒，⇐，⇔”填空）5.设p：240(0)ax bx c a++=≠有实根，->≠，q：关于x的方程20(0)b ac a则p是q的（）.A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件四、课时方法积累1. 若p ⇒q 但q ≠> p 则p 是q 的充分非必要条件， q 是p 的必要非充分条件．若p ⇒q 且q ⇒p （即p ⇔q ），则p 是q 的充分必要条件，q 是p 的充分必要条件（简称充要条件）．2. （1）若B A ⊂，则A 是B 的充分不必要条件，B 是A 的必要不充分条件．（2）若B A =，则A 是B 的充要条件，B 是A 的充要条件．（3）若B A ⊆，则A 是B 的充分条件，B 是A 的必要条件．3. 判断是否充要条件的方法（1）p q ⇒且q p ⇒；（2）原命题、逆命题均为真命题；(3) 用逆否命题转化.4. 证明充要条件既要证明充分性又要证明必要性.五、课堂达标训练1.下列“若p ，则q ”形式的命题中,判断命题中的p 是q 的什么条件? ⑴若1x =,则2430x x -+=;⑵若()f x x =,则()f x 为增函数;⑶若两个三角形面积相等，则这两个三角形全等；⑷若a b >,则ac bc >.2.在下列电路图中,开关A 闭合是灯泡B 亮的什么条件:⑴如图①所示,开关A 闭合是灯泡B 亮的__________条件;⑵如图②所示,开关A 闭合是灯泡B 亮的__________条件;⑶如图③所示,开关A 闭合是灯泡B 亮的__________条件;⑷如图④所示,开关A 闭合是灯泡B 亮的__________条件.3.求证：ABC ∆是等边三角形的充要条件是222a b c ab ac bc ++=++，这里,,a b c 是ABC ∆的三边.六、课下练习巩固1. 指出下列各组命题中p 是q 的什么条件? q 是p 的什么条件?(1)p: x=y ；q: x 2=y 2 (2)p: 四边形的四边相等 ; q: 四边形是正方形. (3) P: x=1或x=2 ; q: x 2-3x+2=02. 用充分条件、必要条件、充要条件填空.(1).3x >是5x >的(2).3x =是2230x x --=的(3).两个三角形全等是两个三角形相似的3.22530x x --<的一个必要不充分条件是（ ）. A.132x -<< B.102x -<<C.132x -<< D.16x -<< 4. 判断集合A 与B 的关系，并判断A 是B 的什么条件？B 是A 的什么条件？（在“充分非必要条件”、“必要非充分条件”“充要条件”、“既非充分又非必要条件”中选出一种）（1）{}1>=x x A ；{}1->=x x B（2）A = [2，5]；B = [2，5]（3）A = [2，5]；B = [3，6]七、课后感悟反思1.2充要条件二、课本知识梳理1. 充分条件2. 必要条件三、课前双基自测1 B2 B3 C4 ⇐5 A五、课堂达标训练1 ⑴ 充分不必要条件 ⑵ 充分不必要条件⑶ 必要不充分条件 ⑷ 既不充分也不必要条件2 ⑴ 充分不必要条件 ⑵ 必要不充分条件⑶ 充要条件 ⑷ 既不充分也不必要条件3 证明其逆否命题为真，过程略.六、课下巩固练习1. ⑴ 充分不必要条件 必要不充分条件⑵ 必要不充分条件 充分不必要条件 ⑶ 充要条件充要条件 2. ⑴ 必要不充分条件 ⑵ 充分不必要条件 3. D4.⑴充分不必要条件⑵充要条件⑶既不充分也不必要条件。
北师大版高中数学选修电子题库第一章充分条件与必要条件
高中数学 电子题库 第一章§2 充分条件与必要条件 北师大版选修1-11.(2012·焦作质检)“x ＝π4”是“函数y ＝sin2x 取得最大值”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.当x ＝π4时，函数y ＝sin2x ＝sin π2＝1取得最大值；反过来，当函数y ＝sin2x 取得最大值时，不能推出x ＝π4，如x ＝5π4时，函数y ＝sin2x 也可取得最大值．综上所述，“x ＝π4”是“函数y ＝sin2x 取得最大值”的充分不必要条件，选A. 2.不等式ax 2＋bx ＋c ＞0(a ≠0)的解集为R 的充要条件是( )A ．a ＞0，b 2－4ac ＞0B ．a ＞0，b 2－4ac ＜0C ．a ＜0，b 2－4ac ＞0D ．a ＜0，b 2－4ac ＜0解析：选B.由题意得二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像在x 轴的上方，所以a ＞0，b 2－4ac＜0.3.(2012·榆林调研)用符号“⇒”“⇐”“⇔”填空：(1)x ＝1________x ＜2；(2)整数a 能被2整除________整数a 的个位数字是偶数；(3)三角形为等腰三角形________三角形为等边三角形．答案：(1)⇒ (2)⇔ (3)⇐4.在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”中选出一种填空：(1)“a ＝0”是“函数f (x )＝x 2＋ax (x ∈R )为偶函数”的________；(2)“sin α＞sin β”是“α＞β”的________；(3)“M ＞N ”是“log 2M ＞log 2N ”的________；(4)“x ∈M ∩N ”是“x ∈M ∪N ”的________．答案：(1)充要条件 (2)既不充分又不必要条件 (3)必要不充分条件 (4)充分不必要条件[A 级 基础达标]1.函数f (x )＝x 2＋mx ＋1的图像关于直线x ＝1对称的充要条件是( )A ．m ＝－2B ．m ＝2C ．m ＝－1D ．m ＝1解析：选A.函数f (x )＝x 2＋mx ＋1的图像的对称轴为x ＝－m 2，所以－m 2＝1，即m ＝－2. 2.(2011·高考福建卷)若a ∈R ，则“a ＝2”是“(a －1)(a －2)＝0”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解析：选A.由(a －1)(a －2)＝0，得a ＝1或a ＝2，所以a ＝2⇒(a －1)(a －2)＝0.而由(a －1)(a －2)＝0不一定推出a ＝2，故a ＝2是(a －1)(a －2)＝0的充分而不必要条件．3.(2012·蚌埠质检)设α、β、γ为平面，m 、n 、l 为直线，则m ⊥β的一个充分条件是( )A ．α⊥β，α∩β＝lB ．α∩γ＝m ，α⊥γ，β⊥γC ．α⊥β，β⊥γ，m ⊥αD ．n ⊥α，n ⊥β，m ⊥α解析：选D.A 、B 、C 都推不出m ⊥β，而D 中有α∥β，m ⊥α，∴m ⊥β.4.在△ABC 中，“sin A ＝sin B ”是“a ＝b ”的________条件．解析：在△ABC 中，由正弦定理及sin A ＝sin B 可得2R sin A ＝2R sin B ，即a ＝b ；反之也成立．答案：充要5.平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行，类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件：充要条件①____________；充要条件②____________．(写出你认为正确的两个充要条件)答案：两组相对侧面分别平行 一组相对侧面平行且全等；底面是平行四边形等6.(2012·淮北检测)已知m ∈Z ，关于x 的一元二次方程x 2－4x ＋4m ＝0，①x 2－4mx ＋4m 2－4m －5＝0.②求使方程①②的根都是整数的充要条件．解：方程①有实数根⇔Δ＝16－16m ≥0，得m ≤1；方程②有实数根⇔Δ＝16m ＋20≥0，得m ≥－54； 所以－54≤m ≤1.又因为m ∈Z ，所以m ＝－1，0，1. 经检验只有m ＝1时，①②的根都是整数．所以方程①②的根都是整数的充要条件是m ＝1.[B 级 能力提升]7.(2012·商洛调研)设a ，b 都是非零向量，则“a·b ＝±|a||b|”，是“a ，b 共线”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C.设〈a ，b 〉＝θ，a ·b ＝|a||b|cos θ，当|a||b|cos θ＝|a||b|，∴cos θ＝±1，θ＝0或π，则a 与b 共线，若a 、b 共线，则〈a ，b 〉＝0或π，则a·b ＝±|a||b|.8.“α＝π6＋2k π(k ∈Z )”是“cos2α＝12”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.α＝π6＋2k π(k ∈Z )⇒2α＝π3＋4k π(k ∈Z )⇒cos2α＝cos π3＝12，但cos2α＝12⇒2α＝2k π±π3(k ∈Z )⇒α＝±π6＋k π(k ∈Z ) α＝π6＋2k π(k ∈Z )．故选A. 9.(2012·宝鸡质检)若p ：x (x －3)＜0是q ：2x －3＜m 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是________．解析：p ：x (x －3)＜0，则0＜x ＜3；q ：2x －3＜m ，则x ＜m ＋32.在数轴上表示出这两个解集如图所示，由题意知p ⇒q ，q p ，则m ＋32≥3，解得m ≥3. 答案：m ≥310.求证：函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 是偶函数的充要条件是：b ＝0.证明：充分性：若b ＝0，则f (x )＝ax 2＋c ，∴f (－x )＝ax 2＋c ，∴f (－x )＝f (x )，故f (x )是偶函数．必要性：若f (x )＝ax 2＋bx ＋c 是偶函数，则对任意x ，都有f (－x )＝f (x )．∴ax 2－bx ＋c ＝ax 2＋bx ＋c ，∴bx ＝0，∴b ＝0.∴b ＝0是f (x )＝ax 2＋bx ＋c 为偶函数的充要条件．11.(创新题)在如图所示电路图中，闭合开关K 1是灯泡L 亮的什么条件？解：图①，闭合开关K 1或闭合开关K 2，都可以使灯泡L 亮；反之，若要灯泡L 亮，不一定非要闭合开关K 1.因此，闭合开关K 1是灯泡L 亮的充分不必要条件．图②，闭合开关K 1而不闭合开关K 2，灯泡L 不亮；反之，若要灯泡L 亮，开关K 1必须闭合，说明闭合开关K 1是灯泡L 亮的必要不充分条件．图③，闭合开关K 1可使灯泡L 亮；而灯泡L 亮，开关K 1一定是闭合的．因此，闭合开关K 1是灯泡L 亮的充要条件．图④，灯泡L 亮否与开关K 1的闭合无关，故闭合开关K 1是灯泡L 亮的既不充分也不必要条件．。
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充要条件同步练习
1．在下列括号中填写“充分而不必要条件”“必要而不充分条件”“充要条件”三者中的一种．
(1)“a=0”是“ab=0”的( )
(2)“|x|＜3”是“|x|＜5”的( )
(3)“a3－b3是偶数”是“a－b是偶数”的
( )
(4)“x＋y=7”是“x2－y2－6x＋8y=7”的( )
(5)“x＋y=4”是“2x2－xy－3y2－7x＋13y－4=0”的
( )．
(1)a＋b＞0________a＞0且b＞0．
(2)c2a＞c2b________a＞b．
(3)A∪B≠φ________A∩B≠φ．
(5)A∩B=φ________A=φ或B=φ．
3．用“充分”“必要”填空．
(1)“某数能被9整除”是“某数能被3整除”的________条件．
(2)“两三角形对应三边相等”是“两三角形对应角相等”的________
条件．
(4)“(1－|x|)(1＋x)＞0”是“|x|＜1”的________条件．
4．用“充分”“必要”填空．
(1)“0＜x＜5”是“|x－2|＜3”的________条件．
(2)“四边形的对角线相等”是“这个平行四边形为正方形”的
________条件．
(3)“xy＞0”是|x＋y|=|x|＋|y|”的________条件．
(4)“个位数是5的整数”是“这个数能被5整除”的________条件．
5．证明：关于x的不等式ax2－ax＋1＞0对于一切实数都成立的必要条件是
0＜a＜4．
答案:
1．(1)充分而不必要条件
(2)充分而不必要条件
(3)充要条件
(4)充分而不必要条件
(5)充分而不必要条件
3．(1)充分 (2)充分 (3)必要 (4)必要
4．(1)充分 (2)必要 (3)充分 (4)充分
∴不等式ax2－ax＋1＞0对一切实数都成立的必要条件是0＜a＜4．。