届高考数学二轮复习第一篇求准提速基础小题不失分第3练复数练习文
高三数学二轮复习指导
高三数学二轮复习指导高三数学二轮复习指导一、构建知识网络，注重基础，重视预习，提高复习效率要做到两先两后，即先预习后听课，先复习后作业。
以提高听课的主动性，减少听课的盲目性。
而预习了之后，再听老师讲课，就会在记忆上对老师讲的内容有所取舍，把重点放在自己还未掌握的内容上，从而提高复习效率。
预习还可以培养自己的自学能力。
二、提高课堂听课效率，勤动手，多动脑。
现在学生手中都会有一种复习资料，在老师讲课之前，要把例题做一遍，做题中发现的难点，就是听课的重点;对预习中遇到的没有掌握好的有关的旧知识，可进行补缺，以减少听课过程中的困难;有助于提高思维能力，自己理解了的东西与老师的讲解进行比较、分析即可提高自己思维水平;体会分析问题的思路和解决问题的思想方法，坚持下去，就一定能举一反三，提高思维和解决问题的能力。
查漏补缺的过程就是反思的过程。
除了把不同的问题弄懂以外，还要学会举一反三，及时归纳。
每次订正试卷或作业时，在做错的.试题旁边要写明做错的原因大致可分为以下几类：1、找不到解题着手点。
2、概念不清、似懂非懂。
3、概念或原理的应用有问题。
4、知识点之间的迁移和综合有问题。
5、情景设计看不懂。
6、不熟练，时间不够。
7、粗心，或算错。
三、强化定时训练，及时反馈矫学好数学要做大量的题，但反过来做了大量的题，数学不一定好，因此要提高解题的效率，做题的目的在于检查你学的知识，方法是否掌握得很好。
如果你掌握得不准，甚至有偏差，那么多做题的结果，反而巩固了你的缺欠，因此，要在准确地把握住基本知识和方法的基础上做一定量的定式训练是必要的。
1、要有针对性地做题，典型的题目，应该规范地完成，同时还应了解自己，有选择地做一些课外的题，但一定要做到定时定量;2、要循序渐进，由易到难，要对做过了典型题目有一定的体会和变通，即按学、练、思、结程序对待典型的问题，这样做能起到事半功倍的效果。
3、是无论是作业还是测验，都应把准确性放在第一位，而不是一味地去追求速度或技巧。
高考数学二轮复习 第一篇 求准提速 基础小题不失分 第6练 函数的概念、图象和性质练习 文
第6练 函数的概念、图象和性质[明考情]函数的概念、图象和性质是高考的高频考点，多以选择题、填空题的形式出现，难度中等偏上，一般位于选择题的后半部. [知考向]1.函数的定义域与值域.2.函数的性质.3.函数的图象.4.函数与方程.考点一 函数的定义域与值域 要点重组 (1)常见函数定义域的求法y ＝nf (x )(n ∈N *，n 是偶数)：f (x )≥0； y ＝f (x )g (x )：g (x )≠0； y ＝[f (x )]0：f (x )≠0； y ＝log a f (x )：f (x )＞0.(2)求函数值域的常用方法：配方法、分离常数法、换元法、单调性法、数形结合法. 1.(2017·山东)设函数y ＝4－x 2的定义域为A ，函数y ＝ln(1－x )的定义域为B ，则A ∩B 等于( ) A.(1，2) B.(1，2] C.(－2，1) D.[－2，1)答案 D解析 ∵4－x 2≥0，∴－2≤x ≤2，∴A ＝[－2，2]，∵1－x ＞0，∴x ＜1，∴B ＝(－∞，1).∴A ∩B ＝[－2，1)，故选D. 2.函数f (x )＝1mx 2＋mx ＋1的定义域为R ，则实数m 的取值范围是( )A.[0，1]B.(0，4)C.[4，＋∞)D.[0，4)答案 D解析 由题意知mx 2＋mx ＋1＞0对一切实数恒成立，当m ＝0时，不等式为1＞0，恒成立；当m ≠0时，不等式恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，Δ＝m 2－4m ＜0，解得0＜m ＜4.综上，实数m 的取值范围为[0，4). 3.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|log 2x |，0＜x ≤2，1x，x ＞2，则f (x )的值域是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪[1，＋∞)B.[)0，＋∞C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，12 答案 B解析 当0＜x ≤2时，|log 2x |≥0，当x ＞2时，0＜1x ＜12，故f (x )的值域是[0，＋∞).4.若函数y ＝f (x )的定义域是[0，2]，则函数g (x )＝f (2x )x －1的定义域是__________. 答案 [0，1)解析 由⎩⎪⎨⎪⎧0≤2x ≤2，x －1≠0，得0≤x ＜1，∴函数g (x )的定义域为[0，1).5.函数f (x )＝2a x－2 017a x ＋1(a ＞0且a ≠1)的值域为______.答案 (－2 017，2)解析 f (x )＝2a x－2 017a x ＋1＝2(a x＋1)－2 019a x＋1＝2－2 019a x ＋1， 因为a x＞0，所以a x ＋1＞1，所以0＜2 019a x ＋1＜2 019，所以－2 017＜2－2 019a x ＋1＜2，故函数f (x )的值域为(－2 017，2). 考点二 函数的性质方法技巧 (1)函数奇偶性判断方法：定义法、图象法、奇偶函数性质法(如奇函数×奇函数是偶函数).(2)函数单调性判断方法：定义法、图象法、导数法. (3)函数周期性的常用结论：若f (x ＋a )＝－f (x )或f (x ＋a )＝1f (x )，则2a 是函数f (x )的周期.6.已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝3x＋m (m 为常数)，则f (－log 35)的值为( )A.4B.－4C.6D.－6 答案 B解析 由f (x )是定义在R 上的奇函数，得f (0)＝1＋m ＝0⇒m ＝－1，f (－log 35)＝－f (log 35)＝－(3log 53－1)＝－4，故选B.7.(2017·安庆二模)定义在R 上的奇函数f (x )满足：f (x ＋1)＝f (x －1)，且当－1<x <0时，f (x )＝2x －1，则f (log 220)等于( )A.14B.－14C.－15D.15 答案 D解析 由f (x ＋1)＝f (x －1)可知，函数f (x )是周期为2的周期函数，所以f (log 220)＝f (2＋log 25)＝f (log 25)＝f (log 25－2)＝－f (2－log 25)＝－(22-log 52－1)＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫45－1＝15.8.设函数f (x )＝ln(1＋|x |)－11＋x2，则使得f (x )＞f (2x －1)成立的x 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1 B.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，13∪(1，＋∞) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，13D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞ 答案 A解析 函数f (x )为偶函数.∵当x ≥0时，f (x )＝ln(1＋x )－11＋x2，在(0，＋∞)上y ＝ln(1＋x )单调递增，y ＝－11＋x 2也单调递增，根据单调性的性质知，f (x )在(0，＋∞)上单调递增.综上可知，f (x )＞f (2x －1)⇔f (|x |)＞f (|2x －1|)⇔|x |＞|2x －1|⇔x 2＞(2x －1)2⇔3x 2－4x＋1＜0⇔13＜x ＜1.9.若f (x )＝ax ＋1x ＋2在区间(－2，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是__________.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 解析 f (x )＝ax ＋2a ＋1－2a x ＋2＝a ＋1－2ax ＋2，由f (x )在(－2，＋∞)上为增函数，可得1－2a ＜0. ∴a ＞12.10.设函数y ＝f (x )(x ∈R )为偶函数，且∀x ∈R ，满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12，当x ∈[2，3]时，f (x )＝x ，则当x ∈[－2，0]时，f (x )＝__________.答案 3－|x ＋1| 解析 f (x )的周期T ＝2， 当x ∈[0，1]时，x ＋2∈[2，3]， ∴f (x )＝f (x ＋2)＝x ＋2. 又f (x )为偶函数，∴当x ∈[－1，0]时，－x ∈[0，1]，f (－x )＝－x ＋2， ∴f (x )＝－x ＋2；当x ∈[－2，－1]时，f (x )＝f (x ＋2)＝x ＋4； 综上，当x ∈[－2，0]时，f (x )＝3－|x ＋1|. 考点三 函数的图象方法技巧 (1)函数图象的判断方法，①找特殊点；②看性质：根据函数性质判断图象的位置，对称性，变化趋势等；③看变换：看函数是由基本初等函数经过怎样的变换得到. (2)利用图象可解决函数的最值、方程与不等式的解以及求参数范围问题.11.两个函数的图象经过平移后能够重合，称这两个函数为“同根函数”，给出四个函数：f 1(x )＝2log 2(x ＋1)，f 2(x )＝log 2(x ＋2)，f 3(x )＝log 2x 2，f 4(x )＝log 2(2x )，则“同根函数”是( )A.f 2(x )与f 4(x )B.f 1(x )与f 3(x )C.f 1(x )与f 4(x )D.f 3(x )与f 4(x ) 答案 A解析 f 4(x )＝log 2(2x )＝1＋log 2x ，f 2(x )＝log 2(x ＋2)，将f 2(x )的图象沿着x 轴先向右平移2个单位得到y ＝log 2x 的图象，然后再沿着y 轴向上平移1个单位可得到f 4(x )的图象，根据“同根函数”的定义可知选A.12.如图，函数f (x )的图象为折线ACB ，则不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集是( )A.{x |－1＜x ≤0}B.{x |－1≤x ≤1}C.{x |－1＜x ≤1}D.{x |－1＜x ≤2}答案 C解析 作出函数g (x )＝log 2(x ＋1)的图象.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，y ＝log 2(x ＋1)，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.∴结合图象知不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集为{x |－1<x ≤1}.13.(2017·河北张家口期末)已知函数y ＝f (x )的图象如图所示，则函数y ＝f (－|x |)的图象为( )答案 A解析 f (－|x |)＝⎩⎪⎨⎪⎧f (－x )，x ＞0，f (x )，x ＜0，且f (－|x |)为偶函数，当x ＜0时，f (－|x |)的图象与f (x )的图象相同，即可得到函数y ＝f (－|x |)的图象，故选A.14.函数y ＝11－x 的图象与函数y ＝2sin πx (－2≤x ≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于( )A.2B.4C.6D.8 答案 D解析 如图，两个函数图象都关于点(1，0)成中心对称，两个图象在[－2，4]上共8个交点，每两个对应交点横坐标之和为2.故所有交点的横坐标之和为8.15.若关于x 的不等式4a x －1＜3x －4(a ＞0，且a ≠1)对于任意的x ＞2恒成立，则a 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 C.[2，＋∞) D.(2，＋∞)答案 B 解析 不等式4a x －1＜3x －4等价于ax －1＜34x －1. 令f (x )＝ax －1，g (x )＝34x －1，当a ＞1时，在同一坐标系中作出两个函数的图象，如图1所示，由图1知不满足题意；当0＜a ＜1时，在同一坐标系中作出两个函数的图象，如图2所示，则f (2)≤g (2)，即a2－1≤34×2－1， 即a ≤12，所以a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12，故选B.考点四 函数与方程方法技巧 确定函数零点的常用方法 (1)解方程法.(2)利用零点存在性定理.(3)数形结合，利用两个函数图象的交点求解.16.函数f (x )＝2x ＋ln 1x －1的零点所在的大致区间是( )A.(1，2)B.(2，3)C.(3，4)D.(1，2)∪(2，3)答案 B解析 ∵f (2)＝1－ln 1＞0，f (3)＝23－ln 2＝2－ln 83＜0， ∴f (2)f (3)＜0.又f (x )在(1，＋∞)上为减函数， 故函数f (x )的零点在区间(2，3)内.17.已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－3x ，则函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点的集合为( ) A.{1，3} B.{－3，－1，1，3} C.{2－7，1，3} D.{－2－7，1，3}答案 D解析 当x ≥0时，g (x )＝x 2－4x ＋3， 由g (x )＝0，得x ＝1或x ＝3. 当x ＜0时，g (x )＝－x 2－4x ＋3，由g (x )＝0，得x ＝－2＋7(舍)或x ＝－2－7. ∴g (x )的零点的集合为{－2－7，1，3}.18.函数f (x )＝|x －2|－ln x 在定义域内的零点个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 答案 C解析 在同一坐标系内作出函数y ＝|x －2|及y ＝ln x 的图象，如图.观察图象可以发现它们有2个交点，即函数f (x )＝|x －2|－ln x 在定义域内有2个零点.19.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，0≤x ＜1，f (x －1)，x ≥1，若函数g (x )＝f (x )－kx －2k 有五个不同的零点，则实数k 的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫17，16B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤17，16C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫18，17D.⎝ ⎛⎦⎥⎤18，17答案 C解析 当x ≥1时，f (x )呈现周期性. 作函数y 1＝f (x )和y 2＝k (x ＋2)的图象.直线l ：y ＝k (x ＋2)过定点A (－2，0)，点A 与点B (5，1)连线的斜率k AB ＝15＋2＝17，点A 与点C (6，1)连线的斜率k AC ＝16＋2＝18.由图可知，要使两函数图象有五个交点，则k AC ≤k ＜k AB ，所以18≤k ＜17，故选C.20.已知函数f (x )＝1x ＋2－m |x |有三个零点，则实数m 的取值范围为________. 答案 (1，＋∞)解析 函数f (x )有三个零点等价于方程1x ＋2＝m |x |有且仅有三个实根.∵1x ＋2＝m |x |⇔1m＝|x |·(x ＋2)，作函数y ＝|x |·(x ＋2)的图象，如图所示.由图象可知m 应满足0＜1m＜1，故m ＞1.1.已知函数f (x )的定义域为(－1，1)，则函数g (x )＝f⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋f (x －1)的定义域为( )A.(－2，0)B.(－2，2)C.(0，2)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0 答案 C解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－1＜x 2＜1，－1＜x －1＜1⇒⎩⎪⎨⎪⎧－2＜x ＜2，0＜x ＜2⇒0＜x ＜2.故选C.2.(2017·重庆一调)奇函数f (x )的定义域为R .若f (x ＋3)为偶函数，且f (1)＝1，则f (6)＋f (11)等于( ) A.－2 B.－1 C.0 D.1 答案 B解析 ∵f (x ＋3)是偶函数，∴f (x )关于x ＝3对称， ∵f (x )是奇函数，∴f (6)＝f (0)＝0，f (11)＝f (－5)＝－f (5)＝－f (1)＝－1，∴f (6)＋f (11)＝－1.故选B.3.(2016·全国Ⅰ)函数y ＝2x 2－e |x |在[－2，2]的图象大致为( )答案 D解析 令f (x )＝y ＝2x 2－e |x |，f (2)＝8－e 2>8－2.82>0，排除A ；f (2)＝8－e 2<8－2.72<1，排除B ；当x >0时，f (x )＝2x 2－e x ，f ′(x )＝4x －e x ，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14时，f ′(x )<14×4－e 0＝0，因此f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14上单调递减，排除C ，故选D.4.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin πx ，0≤x ≤1，log 2 016x ，x ＞1，若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则a ＋b ＋c 的取值范围是( )A.(1，2 016)B.[1，2 016]C.(2，2 017)D.[2，2 017]答案 C解析 在平面直角坐标系中画出f (x )的图象，如图所示.设a ＜b ＜c ，要使得存在互不相等的a ，b ，c ，满足f (a )＝f (b )＝f (c )，则a ，b 关于直线x ＝12对称，可得a ＋b ＝1，1＜c ＜2 016，故a ＋b ＋c 的取值范围是(2，2 017).解题秘籍 (1)从映射的观点理解抽象函数的定义域，如函数y ＝f (g (x ))中，若函数y ＝f (x )的定义域为A ，则有g (x )∈A .(2)利用函数的性质求函数值时，要灵活应用性质对函数值进行转换. (3)解题中要有数形结合的思想，将函数图象、性质有机结合.1.函数f (x )＝1log 2x －1的定义域为( )A.(0，2)B.(0，2]C.(2，＋∞)D.[2，＋∞)答案 C解析 由题意可知x 满足log 2x －1＞0，即log 2x ＞log 22，根据对数函数的性质，得x ＞2，即函数f (x )的定义域为(2，＋∞).2.若函数f (x )＝2x＋12x －a 是奇函数，则使f (x )＞3成立的x 的取值范围为( )A.(－∞，－1)B.(－1，0)C.(0，1)D.(1，＋∞) 答案 C解析 ∵函数y ＝f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，即2－x＋12－x －a ＝－2x＋12x －a，化简可得a ＝1，则2x ＋12x －1＞3，即2x ＋12x －1－3＞0，即2x ＋1－3(2x －1)2x－1＞0，故不等式可化为2x－22x －1＜0，即1＜2x＜2，解得0＜x ＜1，故选C.3.设函数g (x )＝x 2－2(x ∈R )，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧g (x )＋x ＋4，x ＜g (x )，g (x )－x ，x ≥g (x )，则f (x )的值域是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－94，0∪(1，＋∞) B.[)0，＋∞C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－94，＋∞D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－94，0∪(2，＋∞) 答案 D解析 由x ＜g (x )，得x ＜x 2－2， ∴x ＜－1或x ＞2；由x ≥g (x )，得x ≥x 2－2，∴－1≤x ≤2.∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＋2，x ＜－1或x ＞2，x 2－x －2，－1≤x ≤2.即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋74，x ＜－1或x ＞2，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－94，－1≤x ≤2.当x ＜－1时，f (x )＞2；当x ＞2时，f (x )＞8.∴当x ∈(－∞，－1)∪(2，＋∞)时，函数的值域为(2，＋∞)；当－1≤x ≤2时，－94≤f (x )≤0. ∴当x ∈[－1，2]时，函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－94，0. 综上可知，f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－94，0∪(2，＋∞). 4.(2017·全国Ⅰ)已知函数f (x )在(－∞，＋∞)上单调递减，且为奇函数.若f (1)＝－1，则满足－1≤f (x －2)≤1的x 的取值范围是( )A.[－2，2]B.[－1，1]C.[0，4]D.[1，3]答案 D解析 ∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x ).∵f (1)＝－1，∴f (－1)＝－f (1)＝1.故由－1≤f (x －2)≤1，得f (1)≤f (x －2)≤f (－1).又f (x )在(－∞，＋∞)单调递减，∴－1≤x －2≤1，∴1≤x ≤3，故选D.5.已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ (1－2a )x ＋3a ，x ＜1，ln x ，x ≥1的值域为R ，那么a 的取值范围是( )A.(－∞，－1]B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 答案 C解析 要使函数f (x )的值域为R ，需使⎩⎪⎨⎪⎧ 1－2a ＞0，ln 1≤1－2a ＋3a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＜12，a ≥－1，∴－1≤a ＜12. 故选C.6.如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a 的取值范围是( )A.a ＞－14B.a ≥－14C.－14≤a ＜0 D.－14≤a ≤0 答案 D解析 当a ＝0时，f (x )＝2x －3，在定义域R 上是单调递增的，故在(－∞，4)上单调递增；当a ≠0时，二次函数f (x )的对称轴为x ＝－1a. 因为f (x )在(－∞，4)上单调递增，所以a ＜0，且－1a ≥4，解得－14≤a ＜0. 综上所述得－14≤a ≤0. 7.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋x 2，|x |≥1，x ，|x |＜1的图象过点(1，1)，函数g (x )是二次函数，若函数f (g (x ))的值域是[0，＋∞)，则函数g (x )的值域是( )A.(－∞，－1]∪[1，＋∞)B.(－∞，－1]∪[0，＋∞)C.[0，＋∞)D.[1，＋∞)答案 C解析 因为函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋x 2，|x |≥1，x ，|x |＜1的图象过点(1，1)，所以m ＋1＝1，解得m ＝0， 所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2，|x |≥1，x ，|x |＜1.画出函数y ＝f (x )的图象(如图所示)，由于函数g (x )是二次函数，值域不会是选项A ，B ，易知当g (x )的值域是[0，＋∞)时，f (g (x ))的值域是[0，＋∞).故选C.8.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2，x ＞a ，x 2＋5x ＋2，x ≤a ，若函数g (x )＝f (x )－2x 恰有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是( )A.[－1，1)B.[0，2]C.[－2，2)D.[－1，2) 答案 D解析 g (x )＝f (x )－2x ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x ＋2，x ＞a ，x 2＋3x ＋2，x ≤a ，要使函数g (x )恰有三个不同的零点，只需g (x )＝0恰有三个不同的实数根，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x ＞a ，－x ＋2＝0或⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤a ，x 2＋3x ＋2＝0，所以g (x )＝0的三个不同的实数根为x ＝2(x ＞a )，x ＝－1(x ≤a )，x ＝－2(x ≤a ).再借助数轴，可得－1≤a ＜2.所以实数a 的取值范围是[－1，2)，故选D.9.若函数f (x )＝(x ＋2)(x ＋k )tan x为奇函数，则k ＝________. 答案 －2解析 ∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，∴(x ＋2)(x ＋k )tan x ＝－(－x ＋2)(－x ＋k )tan (－x )， ∴(x ＋2)(x ＋k )＝(2－x )(k －x )，即x 2＋2x ＋kx ＋2k ＝2k －kx －2x ＋x 2，∴k ＝－2.10.(2016·天津)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增.若实数a 满足f (2|a －1|)>f (－2)，则a 的取值范围是________.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32 解析 ∵f (x )是偶函数，且在(－∞，0)上单调递增，∴在(0，＋∞)上单调递减，f (－2)＝f (2)，∴f (2|a －1|)>f (2)，∴2|a －1|<2＝122，∴|a －1|<12，即－12<a －1<12，即12<a <32. 11.已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ |lg x |，x ＞0，2|x |，x ≤0，则函数y ＝2f 2(x )－3f (x )＋1的零点个数是________. 答案 5解析 方程2f 2(x )－3f (x )＋1＝0的解为f (x )＝12或1.作出y ＝f (x )的图象，由图象知零点的个数为5.12.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －a ，x ＜1，4(x －a )(x －2a )，x ≥1.(1)若a ＝1，则f (x )的最小值为________；(2)若f (x )恰有2个零点，则实数a 的取值范围是__________________________.答案 (1)－1 (2)⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1∪[2，＋∞) 解析 (1)若a ＝1，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －1，x <1，4(x －1)(x －2)，x ≥1.作出函数f (x )的图象如图所示.由图可得f (x )的最小值为－1.(2)当a ≥1时，要使函数f (x )恰有2个零点，需满足21－a ≤0，即a ≥2，所以a ≥2；当a＜1时，要使函数f (x )恰有2个零点，需满足⎩⎪⎨⎪⎧ a ＜1≤2a ，21－a ＞0，解得12≤a ＜1. 综上，实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1∪[2，＋∞).。
2020届高考数学大二轮刷题首选卷理数文档第一部分 考点三 复数
复数考点三一、选择题在复平2i，则复数z)已知i是虚数单位，复数i·z＝1－(2019·1．湖南衡阳三模)(面内对应的点位于．第二象限BA．第一象限．第四象限DC．第三象限C答案1－2i，i·解析∵复数z＝，－i，∴－i·i·z＝－i(1－2i)z＝－2C. 位于第三象限．故选，－1)则复数z在复平面内对应的点(－2i2＋) ＝5月三模)设复数z 满足i，则|z|＝((2019·2．山东潍坊z5 ．A．1 B5 3 ．D．CB答案i2＋i2＋2i2，故选＝5，∴＋＝解析∵＝i，∴z＝＋1＝1＝1－2i|z|4＝1＋2 iiziB.1z＋) 则下列说法正确的是)3．(2019·安徽芜湖5月模拟设复数z满足＝i，(z1i 的虚部为－．为纯虚数z BzA．2211－D．z－C．z＝i ||＝222D答案11121－＋z＝－，的虚部为－z，||，i－＝－z，z1z解析∵＋＝i∴∴z＝复数222221D.，故选i2，z1＝i|z|满足设复数)全国卷Ⅰ．4(2019·z－，)y，(在复平面内对应的点为x)(则．22221 1)＝＋y1 B．(A．(x＋1)x＋y－＝22221y＋1)＝D．x．x＋(y－1)1 ＝＋(CC答案i. y＝解析由已知条件，可得zx＋－i|＝1，y－∵|zi|＝1，∴|x＋i22C. ＝1.∴x 故选＋(y－1)2i|＋|1) 5．复数z)的共轭复数是＝((i为虚数单位i1＋i3－i＋3 ．A．B225555iD－．C．＋i 2222C答案?i15?－|1＋2i|55555－故＋，∴z＝i.＝由题意，得解析z＝＝＝i－22222i＋11＋iC.选a＋i(a∈zi6．已知为虚数单位，若复数＝R)的实部与虚部互为相反数，1－2i)则a＝(B5 ．－A．－151D．－C．－33D答案a?1＋2i?2a＋5aaa解析z＝＋i＝＋i＝＋i，∵复数z＝＋i(a∈R)552i?1－2i??1＋1－2i?2i1－的实部与虚部互为相反数，2a＋55a∴－＝，解得a＝－.故选D.3557．若复数z，z在复平面内的对应点关于虚轴对称，且z＝2＋i，i为虚数单112位，则zz＝()21A．－5 B．5i－4．－Di＋4．－C．答案A解析因为z＝2＋i在复平面内的对应点(2,1)关于虚轴(y轴)的对称点为(－12－4＝－5.z＝i故选A.2,1)，因此z＝－2＋i，z2212(a∈R)在复平面内对应的点在虚轴上，则|za＋i)|＝() 8．若复数z＝(A．1 B．3D．2 ．4CC答案222，在复平面内对应的点在虚轴上，知a0－1z＝(a＋i)＝a＝－1＋2ai由解析C.，故|z|＝2，故选即a＝±1，所以z＝±2i 二、填空题表示．若i为虚数单位，图中网格纸的小正方形的边长是1，复平面内点Z9z ________，则复数z．的共轭复数是复数2i－1答案－i2＋ii－2i2＋z解析复＝i，其共轭复数为－i.2i－2i2i1－11－2019i－110．(2019·湖北部分重点中学联考)＝________.i－1答案i201932?＋i＋i－i?1－i1112i解析＝＝＝＝＝i.2?＋ii?1－1－??i1－i1－1i ix＝cosx＋isinx(i11．欧拉公式：e为虚数单位)，由瑞士数学家欧拉发明，它建πi22立了三角函数与指数函数的关系，根据欧拉公式，(e)＝________.答案－1πiππ2??i2x22isin＋cos??＝－)(ex＋cose解析由＝xisin得＝i1.＝22??．a＝－1＋bi，其中a，b12．已知是实数，则复数a－bi在复平面内对应的i －1点位于第________象限．答案二a＝－1＋bi，得a＝(－1＋bi)(1－i)解析由＝(b－1)＋(b＋1)i，∴i1－，＝0b＋1??在复平面内对应的点的坐＋ii＝－2b＝－1，∴复数a－b即a＝－2，，－1a＝b? 2,1)，位于第二象限．标为(－三、解答题，试4i，－2＋，C分别表示0,3＋2i13．如图，平行四边形OABC，顶点O，A 求：Array→→表示的复数；BC(1)AO表示的复数，→表示的复数．(2)对角线CA→→，解＝－OA(1)∵AO→表示的复数为－3－2i，∴AO→→→表示的复数为－3－2i. ，∴BC∵＝AOBC→→→，(2)－OC∵＝OACA→表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. ∴CA51214．已知z＝cosα＋isinα，z＝cosβ－isinβ，且z－z＝＋i，求cos(α＋β)21121313的值．解∵z＝cosα＋isinα，z＝cosβ－isinβ，21512∴z－z＝(cosα－cosβ)＋i(sin α＋sinβ)＝＋i.211313．5?①，α－cosβ＝cos?13?∴12??②β＝.sinα＋sin1322，得2－2cos(α＋β由①)＋②＝1.1∴cos(α＋β)＝.2一、选择题1．(2019·安徽合肥第三次教学质量检测)已知i是虚数单位，复数z满足z＋z·i ＝3＋i，则复数z的共轭复数为()A．1＋2i B．1－2ii－2＋i 2．DC．C答案2i41333＋i＋i?＋i??－i?－zi.2＝＝＝＝z3·i＝＋i可化为＝－∴z，∵z解析z＋2?i－1??i＋1?i＋1i＋1－C.i2的共轭复数为z＝＋，故选，若向量，的坐标分别为Z已知点四川双流中学一模．2(2019·)Z，(1,0)(0,1)21→)对应的点位于，则复数zz(对应复数ZZ21B．第二象限A．第一象限．第四象限D C．第三象限B答案→z因为点解析Z＝Z，所以(0,1)，的坐标分别为Z，(1,0)Z(1,1)，即复数－2112B.对应点位于第二象限，故选在复平面)(2019·．3山东栖霞高考模拟已知复数为虚数单位－＋a(z＝i)(1i)(i))上，则实数x2y内对应的点在直线＝a(的值为1 AB．0 ．－1 D．－1 ．C3D答案．解析因为z＝(a＋i)(1－i)＝a＋1＋(1－a)i，对应的点为(a＋1,1－a)，因为点1在直线y＝2x上，所以1－a＝2(a＋1)，解得a＝－.故选D.3z34－z是其共轭复数，若＝a＋i，＋4．(2019·河南十所名校测试七)设复数z ＝55－zi，则实数a＝()A．4 B．3D．C．2 1C答案34a43a4z3??－－??a＋＋＝＋，则i＋＝ai，∴解析∵z＝a＋iiz＝a－i，又，∴555555??－z2.＝在a＋(1＋i)(i)a为实数为虚数单位，z(2019·5．北京昌平二模)已知复数＝－1)(复平面内对应的点位于第二象限，则复数z的虚部可以是11i ．Bi A．－2211 ．C．－D22D答案，－1<0a??，故选0<a<1i＋(i)(1＝－因为解析z1＋a＋＝a－1)a，所以即，>0a?D.6．设有下面四个命题：1 ∈z R；，则∈满足p：若复数z R1z2R z R z∈，则∈；满足：若复数pz2－，z：若复数pz；＝，则∈zz满足R zz2212311－. z R z：若复数p∈，则∈R4) (其中的真命题为，p，ppA．p．B4131．p．CD ，，ppp4232．B答案对．R)i(a，b∈b，∈R)，z＝a＋b设z＝a＋bi(a，b∈R)，z＝a＋bi(a解析2121122112iba－11为真命p R，所以bi＝a∈，则b＝0?z＝a＋于p，若∈R，即＝∈R2211zbb＋ia＋a2222时，0b≠a＝0，∈R，则ab＝，即(a＋bi)0.＝aab＋2i－b当题．对于p，若z∈R2＝bi)bi)(a＋zz∈R，即(a＋R z＝a＋bi＝bi，所以p为假命题．对于p，若∈/21132221－i－bi＝＝az，即a＋b＝＋ab)i∈R，则ab＋ab0.而za(a－bb)＋(ab221112112211221221为假命题．对，所以pb＝－b/ a＝a，＝－，bb.因为ab＋ab＝0??a＝a3112222111212－为真命题，故p∈R，所以a－bi＝bi∈R，则b＝0?az＝于p，若z∈R，即a＋44选B. ．下面四个命题中，7 ；a，bb∈R)的实部、虚部分别是①复数z＝a＋bi(a，对应的点构成一条直线；，则z＝|z －2i|z②复数满足|z＋1|2222 z|z|a|；＝a＝，可类比得到复数z的性质a③由向量的性质|202021. i＋i＝＋…＋④i为虚数单位，则1＋i) (正确命题的个数是B．0 1 A．3．2 ．DCD答案a)的实部为a，虚部为b，故正确；②设z＝解析①复数z＝a＋bi(a，b∈R，i(aa＋bb2i|计算得2a＋4－3＝0，故正确；③设z＝z)＋bi(a，b∈R，由|z＋1|＝|－2020222＝＋不成立，故错误；④1i＋i1＋…＋z R b∈)，当b≠0时，||i＝z，故正确．zP与M．已知复平面内，定点与复数m＝1＋2i(i为虚数单位)对应，动点8)m|＝2的点P的轨迹方程为(y＝x＋i对应，那么满足|z－22224 ＝2)＋(＋(y－2)y ＝2 －1)x．B(－xA．(－1)22224 ＋C．(x1)(＋y＋2)＝2 ＝2)＋y(＋1)＋x(．DB答案，|．－，－(mz由题意，解析知在复平面内，－对应的点为x1y2)则由z＝2|－m2222B.，故选4＝2)－y(＋1)－x(，即2＝?2－y?＋?1－x?得．二、填空题－－其中i)4(z(2019·广东韶关4月模拟)已知＝z是z的共轭复数，且满足(1＋9．________.＝|z|)i是虚数单位，则22答案?－i4?14－－－222＝2i，∴|z|＝|2z|＋解析由(1＋i)zz＝4，得，＝＝＝2－?1－i1＋??i?1＋i2.2＝的虚Im(z)表示复数z．(2019·天津北辰模拟)用Re(z)表示复数z的实部，用10－－)z)＋，其中Im(z是复数z的共轭复数，则Re(z部，若已知复数z满足z(1－i)＝7＋3i________.＝3－答案10i＋?43i＋?7＋3i??1＋i7－，则5i2－＝＝2＋5i，∴z＝解析由题意得，z＝＝2?ii?1－i??11－＋3.5＝－＋Im(z)＝2－Re(z)2＝bc＋bx＋c＝0－11．若2i是关于x的实系数方程x的一个复数根，则________.20－答案2－3＋2b＋c－i)＋b(2－i)＋c＝0，即2解析把复数根－i代入方程中，得(2，b＝－43＋2b＋c＝0，????20. bc(4＋b)i＝0，所以解得＝－故，5＋4b＝0，c＝??|z|z|＋|21zz@z＝(等式右边为普通运算)．若复数12．定义复数的一种新运算212－．z的最小值为＋y满足xy＝________22，则z@，i＋＝xyi，为虚数单位，且实数x2答案－|＋|z|z||2|z－22. ＋x＝yz＝解析@zz＝＝||22－2，4＋?2－x? z，所以＝＋由于xy22z@＝2－2. z2＝x故时，z@取最小值三、解答题．－10|. ＋3|13．设虚数z满足|2z＋15|z＝的值；z|(1)计算|az 若不存在，说明理由．(2)是否存在实数a，使＋∈R？若存在，求出a的值；za－R且b≠0)，则，z＝a－bia解(1)设z＝a＋bi(，b∈－∵|2z＋15|10|＝3|，z＋i|＋2bi|，＝3|(a ＋10)－b∴|(2a＋15)2222＋＝b3?a＋10?，∴?2a＋15?2＋?b?22223. b5＝75，∴|z|＝a∴a＝＋b＋az. a，使＋∈R(2)假设存在实数za d≠0)，，c＋di(cd∈R且设z＝?c－dic＋dia?dcaza ＋＋i＋则有＝＋＝22azaaadc＋d＋icdadacc??－??R＝＋＋，i∈2222ad＋cadc＋??add ，－∴＝022adc ＋22±c，＋a∵d≠0，∴＝d2253.＝±53由(1)知c ，∴＋da＝2＋mx＋n＝0，mz＋1为关于x的方程x，n14．(2019·辽宁省鞍山一中一模)设∈R的虚根，i为虚数单位．(1)当z＝－1＋i时，求m，n的值；(2)若n＝1，在复平面上，设复数z所对应的点为P，复数2＋4i所对应的点为Q，试求|PQ|的取值范围．解(1)因为z＝－1＋i，所以z＋1＝i，，＝0m?2?＝0，易得i则＋mi＋n1.n＝?(2)设z＝a＋bi(a，b∈R)，2，0＝1＋i)b＋1＋a(m＋i)b＋1＋a(则．22①0，1a＋1?＋＝＋?a＋1?－bm???于是②，b?＋mb＝02?a＋1?22，其＝＋b1＋2(a1)，代入①得，(a＋1)m因为b不恒为零，所以由②得＝－4i＋P是圆上任意一点．又复数2－几何意义是以(1,0)为圆心，1为半径的圆，即22＋1＝6，4|PQ|的最小值为4.?＋?PQ，所以对应的点为Q||的最大值为21＋所以|PQ|的取值范围是[4,6]．。
2023年高考数学二轮复习第一部分专题攻略专题一小题专攻第二讲复数、平面向量
第二讲 复数、平面向量微专题1 复数常考常用结论1．已知复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则(1)当b ＝0时，z ∈R ；当b ≠0时，z 为虚数；当a ＝0，b ≠0时，z 为纯虚数． (2)z 的共轭复数z ̅＝a －b i. (3)z 的模|z |＝√a 2+b 2. 2．已知i 是虚数单位，则 (1)(1±i)2＝±2i ，1+i 1−i ＝i ，1−i1+i ＝－i.(2)i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i.保 分 题1.[2022·新高考Ⅱ卷](2＋2i)(1－2i)＝( ) A ．－2＋4i B ．－2－4i C ．6＋2i D ．6－2i 2．[2022·全国甲卷]若z ＝1＋i ，则|i z ＋3z ̅|＝( ) A ．4√5 B ．4√2 C ．2√5D ．2√23．[2022·全国乙卷]已知z ＝1－2i ，且z ＋a z ̅＋b ＝0，其中a ，b 为实数，则( ) A ．a ＝1，b ＝－2 B ．a ＝－1，b ＝2 C ．a ＝1，b ＝2 D ．a ＝－1，b ＝－2提 分 题例1 (1)[2022·福建漳州一模]已知z ＝|√3i －1|＋11+i，则在复平面内z 对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限(2)[2022·山东潍坊二模](多选)若复数z 1＝2＋3i ，z 2＝－1＋i ，其中i 是虚数单位，则下列说法正确的是( )A ．z1z 2∈RB.z 1·z 2̅̅̅̅̅̅̅̅＝z 1̅·z 2̅C ．若z 1＋m (m ∈R )是纯虚数，那么m ＝－2D ．若z 1，z 2在复平面内对应的向量分别为OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ (O 为坐标原点)，则|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |＝5 听课笔记：【技法领悟】复数的代数运算的基本方法是运用运算法则，可以通过对代数式结构特征的分析，灵活运用i 的幂的性质、运算法则来优化运算过程．巩固训练11.[2022·山东泰安二模]已知复数z ＝3−i 1−2i，i 是虚数单位，则复数z ̅－4在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．[2022·河北保定二模](多选)已知复数z 满足方程(z 2－4)(z 2－4z ＋5)＝0，则( )A ．z 可能为纯虚数B ．方程各根之和为4C ．z 可能为2－iD ．方程各根之积为－20微专题2 平面向量常考常用结论1．平面向量的两个定理 (1)向量共线定理：向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b ＝λa . (2)平面向量基本定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2，其中e 1，e 2是一组基底．2．平面向量的坐标运算设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0，θ为a 与b 的夹角． (1)a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.(2)a ·b ＝|a ||b |cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2. (3)a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.(4)|a |＝√a ·a ＝√x 12+y 12.(5)cos θ＝a·b|a ||b |＝1212√x 1+y 1 √x 2+y 2.保 分 题1.△ABC 中，E 是边BC 上靠近B 的三等分点，则向量AE⃗⃗⃗⃗⃗ ＝( ) A ．13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ B ．13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ C ．23AB⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ D ．23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2．[2022·全国乙卷]已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝√3，|a －2b |＝3，则a ·b ＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．2 3．[2022·全国甲卷]已知向量a ＝(m ，3)，b ＝(1，m ＋1)，若a ⊥b ，则m ＝________．提 分 题例2 (1)[2022·河北石家庄二模]在平行四边形ABCD 中，M ，N 分别是AD ，CD 的中点，若BM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝a ，BN ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝b ，则BD ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝( ) A ．34a ＋23b B ．23a ＋23bC ．34a ＋34bD ．23a ＋34b(2)[2022·山东济宁一模]等边三角形ABC 的外接圆的半径为2，点P 是该圆上的动点，则PA ⃗⃗⃗⃗ ·PB⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗ 的最大值为( ) A ．4 B ．7 C ．8 D ．11 听课笔记：【技法领悟】求解向量数量积最值问题的两种思路1．直接利用数量积公式得出代数式，依据代数式求最值．2．建立平面直角坐标系，通过坐标运算得出函数式，转化为求函数的最值．巩固训练21.[2022·山东济南二模]在等腰梯形ABCD 中，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝－2CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，M 为BC 的中点，则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝( )A ．12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ B ．34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ C ．34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14AD⃗⃗⃗⃗⃗ D ．12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +34AD⃗⃗⃗⃗⃗ 2．[2022·福建漳州二模]已知△ABC 是边长为2的正三角形，P 为线段AB 上一点(包含端点)，则PB⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗ 的取值范围为( ) A ．[－14，2] B ．[－14，4] C ．[0，2]D ．[0，4]第二讲 复数、平面向量微专题1 复数保分题1．解析：(2＋2i)(1－2i)＝2－4i ＋2i －4i 2＝2－2i ＋4＝6－2i.故选D. 答案：D2．解析：因为z ＝1＋i ，所以z ̅＝1－i ，所以i z ＋3z ̅＝i(1＋i)＋3(1－i)＝2－2i ，所以|i z ＋3z ̅|＝|2－2i|＝√22+(−2)2＝2√2.故选D. 答案：D3．解析：由z ＝1－2i 可知z ̅＝1＋2i.由z ＋a z ̅＋b ＝0，得1－2i ＋a (1＋2i)＋b ＝1＋a ＋b ＋(2a －2)i ＝0.根据复数相等，得{1+a +b =0，2a −2=0，解得{a =1，b =−2.故选A.答案：A提分题[例1] 解析：(1)∵z ＝|√3i －1|＋11+i ＝ √(√3)2+(−1)2+1−i1−i 2＝2＋1−i 2＝52−12i ，∴复平面内z 对应的点(52，－12)位于第四象限． (2)对于A ，z1z 2＝2+3i −1+i＝(2+3i )(−1−i )(−1+i )(−1−i )＝1−5i 2＝12−52i ，A 错误；对于B ，∵z 1·z 2＝(2＋3i)(－1＋i)＝-5-i ，∴z 1·z 2̅̅̅̅̅̅̅̅＝－5＋i ；又z 1̅·z 2̅＝(2－3i)(－1－i)＝-5+i ，∴z 1·z 2̅̅̅̅̅̅̅̅＝z 1̅·z 2̅，B 正确；对于C ，∵z 1＋m ＝2＋m ＋3i 为纯虚数，∴m ＋2＝0，解得：m ＝－2，C 正确； 对于D ，由题意得：OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(2，3)，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(－1，－1)，∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(－3，－4)，∴|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |＝√9+16＝5，D 正确．答案：(1)D (2)BCD [巩固训练1]1．解析：z ＝3−i1−2i ＝(3−i )(1+2i )(1−2i )(1+2i )＝5+5i 5＝1＋i ，则z ̅－4＝1－i －4＝－3－i ，对应的点位于第三象限．故选C.答案：C2．解析：由(z 2－4)(z 2－4z ＋5)＝0，得z 2－4＝0或z 2－4z ＋5＝0， 即z 2＝4或(z －2)2＝－1，解得：z ＝±2或z ＝2±i ，显然A 错误，C 正确； 各根之和为－2＋2＋(2＋i)＋(2－i)＝4，B 正确； 各根之积为－2×2×(2＋i)(2－i)＝－20，D 正确． 答案：BCD微专题2 平面向量保分题1．解析：因为点E 是BC 边上靠近B 的三等分点，所以BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )＝23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ .故选C. 答案：C2．解析：将|a －2b |＝3两边平方，得a 2－4a ·b ＋4b 2＝9.因为|a |＝1，|b |＝√3，所以1－4a ·b ＋12＝9，解得a ·b ＝1.故选C.答案：C3．解析：由a ⊥b ，可得a ·b ＝(m ，3)·(1，m ＋1)＝m ＋3m ＋3＝0，所以m ＝－34. 答案：－34提分题[例2] 解析：(1)如图所示，设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝m ，AD⃗⃗⃗⃗⃗ ＝n ，且BD ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝x a ＋y b ，则BD ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝x a ＋y b ＝x (12n －m )＋y (n －12m )＝(12x ＋y )n －(x ＋12y )m ， 又因为BD⃗⃗⃗⃗⃗ ＝n －m ， 所以{12x +y =1x +12y =1，解得x ＝23，y ＝23，所以BD ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝23a ＋23b . 故选B.(2)如图，等边三角形ABC ，O 为等边三角形ABC 的外接圆的圆心，以O 为原点，AO 所在直线为y 轴，建立直角坐标系．因为AO ＝2，所以A (0，2)，设等边三角形ABC 的边长为a ，则asin A ＝asin 60°＝2R ＝4，所以a ＝2√3，则B (－√3，－1)，C (√3，－1).又因为P 是该圆上的动点，所以设P (2cos θ，2sin θ)，θ∈[0，2π)， PA ⃗⃗⃗⃗ ＝(－2cos θ，2－2sin θ)，PB⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(－√3－2cos θ，－1－2sin θ)，PC ⃗⃗⃗⃗ ＝(√3－2cos θ，－1－2sin θ)，PA ⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗ ＝－2cos θ(－√3－2cos θ)＋(2－2sin θ)(－1－2sin θ)＋(－√3－2cos θ)(√3－2cos θ)＋(－1－2sin θ)(－1－2sin θ)＝3＋1＋2sin θ＋2√3cos θ＝4＋4sin (θ＋π3)，因为θ∈[0，2π)，θ＋π3∈[π3，7π3)，sin (θ＋π3)∈[－1，1]，所以当sin (θ＋π3)＝1时，PA ⃗⃗⃗⃗ ·PB⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗ 的最大值为8.故选C.答案：(1)B (2)C [巩固训练2]1．解析：取AD 中点N ，连接MN ，∵AB⃗⃗⃗⃗⃗ ＝－2CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴AB ∥CD ，|AB |＝2|CD |， 又M 是BC 中点，∴MN ∥AB ，且|MN |＝12(|AB |＋|CD |)＝34|AB |， ∴AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝AN ⃗⃗⃗⃗⃗ +NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，故选B. 答案：B 2．解析：以AB 中点O 为坐标原点，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OC⃗⃗⃗⃗⃗ 正方向为x ，y 轴可建立如图所示平面直角坐标系，则A (－1，0)，B (1，0)，C (0，√3)，设P (m ，0)(－1≤m ≤1)，∴PB⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(1－m ，0)，PC ⃗⃗⃗⃗ ＝(－m ，√3)， ∴PB⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗ ＝m 2－m ＝(m －12)2－14， 则当m ＝12时，(PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗ )min ＝－14；当m ＝－1时，(PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗ )max ＝2； ∴PB⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗ 的取值范围为[－14，2].故选A. 答案：A。
高考数学二轮复习 第一篇 求准提速 基础小题不失分 第
第9练 三角函数的概念、三角恒等变换[明考情]三角函数的概念和三角恒等变换是研究三角函数图象、性质的基础，常在交汇点处命题，个别年份单独命题，难度中档偏下. [知考向]1.任意角的三角函数.2.三角函数的求值与化简.3.三角恒等变换的应用.考点一 任意角的三角函数要点重组 (1)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成集合S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z }.(2)三角函数：角α的终边与单位圆交于点P 1(x ，y )，则sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx(x ≠0). (3)各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦.1.已知圆O ：x 2＋y 2＝4与y 轴正半轴的交点为M ，点M 沿圆O 顺时针运动π2弧长到达点N ，以ON 为终边的角记为α，则tan α等于( ) A.－1 B.1 C.－2 D.2 答案 B解析 圆的周长为4π，π2弧长对应的圆心角为π4，故以ON 为终边的角为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α | α＝2k π＋π4，k ∈Z ，故tan α＝1.2.已知角α的终边经过点(m ，3m )，若α＝7π3，则m 的值为( )A.27B.127C.9D.19答案 B解析 角α的终边经过点(m ，3m )，若α＝7π3，则tan 7π3＝tan π3＝3＝3m m＝16m -，则m ＝127.3.已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴.若P (4，y )是角θ终边上的一点，且sin θ＝－255，则y ＝________.答案 －8解析 因为r ＝42＋y 2＝16＋y 2，且sin θ＝－255，所以sin θ＝y r ＝y 16＋y 2＝－255， 所以θ为第四象限角，解得y ＝－8.4.(2017·北京)在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称 .若sin α＝13，则sin β＝________.答案 13解析 由角α与角β的终边关于y 轴对称，可知α＋β＝π＋2k π(k ∈Z )，所以β＝2k π＋π－α(k ∈Z )， 所以sin β＝sin α＝13.5.函数y ＝2sin x －1的定义域是________. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π6，2k π＋5π6，k ∈Z 考点二 三角函数的求值与化简要点重组 (1)同角三角函数基本关系式：sin 2α＋cos 2α＝1，sin αcos α＝tan α.(2)诱导公式：角k2π±α(k ∈Z )的三角函数口诀：奇变偶不变，符号看象限. (3)和差公式.方法技巧 (1)三角函数求值化简的基本思路“一角二名三结构”；注意角的变形，看函数名称之间的关系；观察式子的结构特点.(2)公式的变形使用尤其是二倍角余弦的变形是高考的热点，sin 2α＝1－cos 2α2，cos 2α＝1＋cos 2α2.6.(2017·安徽淮北二模)已知α满足sin α＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α等于( ) A.718 B.2518 C.－718D.－2518答案 A解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝22(cos α－sin α)·22(cos α＋sin α)＝12(cos 2α－sin 2α)＝12(1－2sin 2α)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2×19＝718，故选A.7.(2017·全国Ⅲ)已知sin α－cos α＝43，则sin 2α等于( )A.－79B.－29C.29D.79答案 A解析 ∵sin α－cos α＝43，∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－sin 2α＝169，∴sin 2α＝－79.故选A.8.若(4tan α＋1)(1－4tan β)＝17，则tan(α－β)等于( ) A.14 B.12 C.4 D.12 答案 C解析 由已知得4tan α－16tan αtan β＋1－4tan β＝17， ∴tan α－tan β＝4(1＋tan αtan β)， ∴tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝4.9.(2017·全国Ⅰ)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，tan α＝2，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝________.答案31010解析 cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝cos αcos π4＋sin αsin π4＝22(cos α＋sin α).又由α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，tan α＝2知，sin α＝255，cos α＝55，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫55＋255＝31010. 10.已知cos(2α－β)＝－1114，sin(α－2β)＝437，0＜β＜π4＜α＜π2，则α＋β＝________. 答案π3解析 因为cos(2α－β)＝－1114且π4＜2α－β＜π，所以sin(2α－β)＝5314.因为sin(α－2β)＝437且－π4＜α－2β＜π2，所以cos(α－2β)＝17.所以cos(α＋β)＝cos[(2α－β)－(α－2β)]＝cos(2α－β)cos(α－2β)＋sin(2α－β)sin(α－2β) ＝－1114×17＋5314×437＝12.因为π4＜α＋β＜3π4，所以α＋β＝π3.考点三 三角恒等变换的应用要点重组 辅助角公式：a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2·sin(α＋φ)， 其中cos φ＝a a 2＋b2，sin φ＝b a 2＋b 2.11.(2017·山东)函数y ＝3sin 2x ＋cos 2x 的最小正周期为( ) A.π2 B.2π3 C.π D.2π 答案 C解析 ∵y ＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，∴T ＝2π2＝π.故选C.12.(2017·全国Ⅲ)函数f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6的最大值为( )A.65B.1C.35D.15 答案 A解析 方法一 ∵f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝15⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ＋32cos x ＋32cos x ＋12sin x ＝110sin x ＋310cos x ＋32cos x ＋12sin x ＝35sin x ＋335cos x ＝65sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，∴当x ＝π6＋2k π(k ∈Z )时，f (x )取得最大值65.故选A.方法二 ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ＝π2，∴f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝65sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3≤65.∴f (x )max ＝65.故选A.13.已知函数f (x )＝cos 2x －sin 2x ，下列说法错误的是( ) A.f (x )的最小正周期为πB.直线x ＝π2是f (x )图象的一条对称轴C.f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4上单调递增 D.|f (x )|的值域是[0，1] 答案 C解析 f (x )＝cos 2x ，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4上不单调， ∴选项C 中的结论错误.14.设当x ＝θ时，函数f (x )＝sin x －2cos x 取得最大值，则cos θ＝________.答案 －255解析 f (x )＝sin x －2cos x ＝5⎝⎛⎭⎪⎫55sin x －255cos x ＝5sin(x －φ)，其中sin φ＝255，cos φ＝55.当x －φ＝2k π＋π2(k ∈Z )时，函数f (x )取到最大值，即当θ＝2k π＋π2＋φ时，函数f (x )取到最大值，所以cos θ＝－sin φ＝－255. 15.函数f (x )＝sin x －cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6的值域为________.答案 [－3，3]解析 f (x )＝sin x －cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6 ＝sin x －⎝⎛⎭⎪⎫32cos x －12sin x＝32sin x －32cos x ＝3⎝⎛⎭⎪⎫32sin x －12cos x＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6∈[－3，3].1.设cos(－80°)＝k ，那么tan 100°等于( ) A.1－k2k B.－1－k2k C.k1－k2D.－k1－k2答案 B解析 sin 80°＝1－cos 280°＝1－cos 2(－80°)＝1－k 2， 所以tan 100°＝－tan 80°＝－sin 80°cos 80°＝－1－k2k.2.设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且tan α＝1＋sin βcos β，则( )A.3α－β＝π2B.2α－β＝π2C.3α＋β＝π2D.2α＋β＝π2答案 B解析 ∵tan α＝sin αcos α＝1＋sin βcos β，∴sin αcos β＝cos α＋cos αsin β， ∴sin(α－β)＝cos α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α.①∵0＜α＜π2，0＜β＜π2，∴－π2＜α－β＜π2，0＜π2－α＜π2，∴由①得α－β＝π2－α，即2α－β＝π2.故选B.3.已知sin θ＋cos θ＝713，θ∈(0，π)，则tan θ的值为________.答案 －125解析 ∵sin θ＋cos θ＝713，θ∈(0，π)， ∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝49169，∴sin θcos θ＝－60169，∴(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝289169.又θ∈(0，π)，∴sin θ＞0，cos θ＜0， ∴sin θ－cos θ＝1713，∴sin θ＝1213，cos θ＝－513，∴tan θ＝－125.解题秘籍 (1)使用平方关系求函数值，要注意角的某象限和三角函数值的符号.(2)利用三角函数值求角要解决两个要素：①角的某一个三角函数值；②角的范围(尽量缩小).1.点P 从(1，0)出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1逆时针方向运动2π3弧长到达Q 点，则点Q 的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12答案 A解析 设点Q 的坐标为(x ，y )， 则x ＝cos 2π3＝－12，y ＝sin 2π3＝32.∴点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32.2.若0≤sin α≤22，且α∈[－2π，0]，则α的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π，－7π4∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π4，－π B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π＋2k π，－7π4＋2k π∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π4＋2k π，－π＋2k π(k ∈Z )C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4，πD.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π，2k π＋π4∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋3π4，2k π＋π(k ∈Z )答案 A解析 根据题意并结合正弦线可知，α满足⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π，2k π＋π4∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋3π4，2k π＋π(k ∈Z )，∵α∈[－2π，0]，∴α的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π，－7π4∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π4，－π.故选A.3.(2017·贵州七校联考)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π4的值为( ) A.－7210 B.7210 C.－210 D.210答案 D解析 由题意得tan θ＝2，∴sin 2θ＝2sin θcos θ＝2tan θ1＋tan 2θ＝45， cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝－35， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π4＝22(sin 2θ＋cos 2θ)＝210.4.若α是第四象限角，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝－512，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α等于( )A.15B.－15C.513D.－513 答案 D解析 由题意知，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝－513，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝－513. 5.2cos 10°－sin 20°sin 70°的值是( )A.12B.32 C.3 D. 2 答案 C 解析原式＝2cos (30°－20°)－sin 20°sin 70°＝2(cos 30°·cos 20°＋sin 30°·sin 20°)－sin 20°sin 70°＝3cos 20°cos 20°＝ 3.6.已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，α，β均为锐角，则角β等于( ) A.5π12 B.π3 C.π4 D.π6答案 C解析 因为α，β均为锐角，所以－π2＜α－β＜π2.又sin(α－β)＝－1010， 所以cos(α－β)＝31010.又sin α＝55，所以cos α＝255. 所以sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝55×31010－255×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1010＝22， 所以β＝π4.7.tan 70°＋tan 50°－3tan 70°tan 50°的值等于( ) A. 3 B.33 C.－33D.－ 3 答案 D解析 因为tan 120°＝tan 70°＋tan 50°1－tan 70°tan 50°＝－3，即tan 70°＋tan 50°－3tan 70°tan 50°＝－ 3.8.记a ＝sin(cos 2 010°)，b ＝sin(sin 2 010°)，c ＝cos(sin 2 010°)，d ＝cos(cos 2 010°)，则a ，b ，c ，d 中最大的是( ) A.a B.b C.c D.d 答案 C解析 注意到2 010°＝360°×5＋180°＋30°，因此sin 2 010°＝－sin 30°＝－12，cos 2 010°＝－cos 30°＝－32，因为－π2＜－32＜0，－π2＜－12＜0，0＜12＜32＜π2，所以cos 12＞cos 32＞0，所以a ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－sin 32＜0，b ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－sin 12＜0，c ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝cos 12＞d ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝cos 32＞0，因此c 最大.9.已知角α终边上一点P (－4，3)，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋αsin (－π－α)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π2－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫9π2＋α的值为________.答案 －3411 解析 原式＝－sin α·sin α－sin α·cos α＝tan α. 根据三角函数的定义，得tan α＝y x ＝－34， 所以原式＝－34. 10.已知tan α＝4，则1＋cos 2α＋4sin 2αsin 2α的值为________. 答案 334解析 1＋cos 2α＋4sin 2αsin 2α＝2cos 2α＋4sin 2α2sin αcos α＝1＋2tan 2αtan α＝1＋2×164＝334. 11.若函数f (x )＝cos ωx cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2－ωx (ω＞0)的最小正周期为π，则ω的值为________. 答案 1解析 由于f (x )＝cos ωx cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－ωx ＝12sin 2ωx ，所以T ＝2π2ω＝π⇒ω＝1. 12.若α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则sin 2αsin 2α＋4cos 2α的最大值为________. 答案 12 解析 ∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2， ∴sin 2αsin 2α＋4cos 2α＝2sin αcos αsin 2α＋4cos 2α＝2tan αtan 2α＋4，且tan α>0， ∴2tan αtan 2α＋4＝2tan α＋4tan α≤224＝12， 故sin 2αsin 2α＋4cos 2α的最大值为12.。
高考数学二轮专题复习小题提速练三文
小题提速练(三)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．已知集合A ＝{x ∈N |x ≤6}，B ＝{x ∈R |x 2－3x ＞0}，则A ∩B ＝( ) A ．{3，4，5，6} B ．{x |3＜x ≤6} C ．{4，5，6}D ．{x |x ＜0或3＜x ≤6}解析：选C.依题意得A ＝{0，1，2，3，4，5，6}，B ＝{x |x ＜0或x ＞3}，因此A ∩B ＝{4，5，6}，选C.2．已知a ＋ii＝b ＋2i(a ，b ∈R )，其中i 为虚数单位，则a －b ＝( )A ．－3B ．－2C ．－1D ．1解析：选A.依题意得1－a i ＝b ＋2i ，因此a ＝－2，b ＝1，a －b ＝－3，选A. 3．某班有青年志愿者男生3人，女生2人，现需选出2名青年志愿者到社区做公益宣传活动，则选出的2名志愿者性别相同的概率为( )A.35 B ．25 C.15D ．310解析：选B.将3名男生记为M 1，M 2，M 3，2名女生记为W 1，W 2，从这5名志愿者中选出2名的基本事件为(M 1，M 2)，(M 1，M 3)，(M 1，W 1)，(M 1，W 2)，(M 2，M 3)，(M 2，W 1)，(M 2，W 2)，(M 3，W 1)(M 3，W 2)，(W 1，W 2)，共有10种，其中所选的2名志愿者性别相同的基本事件为(M 1，M 2)，(M 1，M 3)，(M 2，M 3)，(W 1，W 2)，共有4种，因此选出的2名志愿者性别相同的概率为410＝25，选B. 4．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得至其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思是有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了( )A ．96里B ．48里C ．192里D ．24里解析：选A.依题意得，该人每天所走的路程依次排列形成一个公比为12的等比数列．记为{a n }，其前6项和等于378，于是有a 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1261－12＝378，解得a 1＝192，因此a 2＝12a 1＝96，即该人第二天走了96里，选A.5．已知抛物线x 2＝8y 与双曲线y 2a2－x 2＝1(a ＞0)的一个交点为M ，F 为抛物线的焦点，若|MF |＝5，则该双曲线的渐近线方程为( )A ．5x ±3y ＝0B ．3x ±5y ＝0C ．4x ±5y ＝0D ．5x ±4y ＝0解析：选B.设点M (x 0，y 0)，则有|MF |＝y 0＋2＝5，y 0＝3，x 20＝24，由点M (x 0，y 0)在双曲线y 2a 2－x 2＝1上，得y 20a 2－x 20＝1，9a 2－24＝1，a 2＝925，所以双曲线y 2a 2－x 2＝1的渐近线方程为y 2a 2－x 2＝0，即3x ±5y ＝0，选B. 6．如图所示的程序框图的算法思路源于数学名著《几何原本》中的“辗转相除法”，执行该程序框图(图中“m MOD n ”表示m 除以n 的余数)，若输入的m 、n 分别为495，135，则输出的m ＝( )A ．0B ．5C ．45D ．90解析：选C.执行程序框图，m ＝495，n ＝135，r ＝90，m ＝135，n ＝90，不满足退出循环的条件；r ＝45，m ＝90，n ＝45，不满足退出循环的条件；r ＝0，m ＝45，n ＝0，退出循环．故输出的m ＝45，选C.7．△ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为1，2AO →＝AB →＋AC →，且|OA →|＝|AB →|，则向量CA →在向量CB →方向上的投影为( )A.12 B ．－32C ．－12D ．32解析：选D.依题意知，圆心O 为BC 的中点，即BC 是△ABC 的外接圆的直径，AC ⊥AB .又AO ＝OB ＝AB ＝1，因此∠ABC ＝60°，∠ACB ＝30°，|CA →|＝ 3，CA →在CB →方向上的投影为|CA →|cos 30°＝3×32＝32，选D.8．已知x ，y ∈N *且满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＜1，2x －y ＞2，x ＜5，则x ＋y 的最小值为( )A ．1B ．4C ．6D ．7解析：选C.依题意，画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示及直线x ＋y ＝0，平移该直线，因为x ，y ∈N *，所以易知目标函数在点(3，3)处取得最优解，所以(x ＋y )min ＝6，故选C.9．定义运算：⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 1 a 2a 3 a 4＝a 1a 4－a 2a 3，将函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3 sin ωx 1 cos ωx (ω＞0)的图象向左平移2π3个单位长度，所得图象对应的函数为偶函数，则ω的最小值是( )A.14 B ．54 C.74D ．34解析：选B.依题意得f (x )＝ 3cos ωx －sin ωx ＝ 2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6，且函数f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2π3＝ 2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2π3＋π6＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋2ωπ3＋π6是偶函数，于是有2ωπ3＋π6＝k π，k ∈Z ，即ω＝32⎝⎛⎭⎪⎫k －16，k ∈Z .又ω＞0，所以ω的最小值是32⎝⎛⎭⎪⎫1－16＝54，选B.10．设曲线f (x )＝ m 2＋1cos x (m ∈R )上任一点(x ，y )处的切线斜率为g (x )，则函数y ＝x 2g (x )的部分图象可以为( )解析：选D.依题意得g (x )＝－ m 2＋1sin x ，y ＝x 2g (x )＝－ m 2＋1x 2sin x ，易知函数y ＝－ m 2＋1x 2sin x 是奇函数，其图象关于原点中心对称，故B ，C 均不正确，又当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时，y ＝－ m 2＋1x 2sin x ＜0，故选D.11．某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为(材料利用率＝新工件的体积原工件的体积)( )A.89πB ．169πC.4（2－1）3πD ．12（2－1）3π解析：选A.依题意知，题中的工件形状是一个底面半径为1、高为2的圆锥，设新工件的长、宽、高分别为a ，b ，c ，截去的小圆锥的底面半径、高分别为r ，h ，则有a 2＋b 2＝4r 2，h ＝2r ，该长方体的体积为abc ＝ab (2－2r )≤（a 2＋b 2）（2－2r ）2＝4r 2(1－r )．记f (r )＝4r 2(1－r )，则有f ′(r )＝4r (2－3r )，当0＜r ＜23时，f ′(r )＞0，当23＜r ＜1时，f ′(r )＜0，因此f (r )＝4r 2(1－r )的最大值是f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝1627，则原工件材料的利用率为1627÷⎝ ⎛⎭⎪⎫13π×12×2＝89π，选A. 12．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x 2＋2x ＋2，x ≤0，|log 2x |，x ＞0，若关于x 的方程f (x )＝a 有四个不同的解x 1，x 2，x 3，x 4，且x 1＜x 2＜x 3＜x 4，则x 1＋x 2x 4＋1x 23x 4的取值范围是( )A ．(－3，＋∞)B ．(－∞，3)C ．[－3，3)D ．(－3，3]解析：选D.在坐标平面内画出函数y ＝f (x )的大致图象如图所示，结合图象可知，当且仅当a ∈(0，2]时，直线y ＝a 与函数y ＝f (x )的图象有4个不同的交点，即方程f (x )＝a 有四个不同的解，此时有x 1＋x 2＝－4，|log 2x 3|＝|log 2x 4|(0＜x 3＜1＜x 4≤4)，即有－log 2x 3＝log 2x 4，x 3x 4＝1，所以x 1＋x 2x 4＋1x 23x 4＝x 4－4x 4(1＜x 4≤4)，易知函数y ＝x 4－4x 4在区间(1，4]上是增函数，因此其值域是(－3，3]，选D.二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．)13．设命题p ：2x －1≤1，命题q ：(x －a )[x －(a ＋1)]≤0，若q 是p 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________．解析：解不等式2x －1≤1，得12≤x ≤1，故满足命题p 的集合P ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，解不等式(x－a )[x －(a ＋1)]≤0，得a ≤x ≤a ＋1，故满足命题q 的集合Q ＝[a ，a ＋1]．又q 是p 的必要不充分条件，则P 是Q 的真子集，即a ≤12且a ＋1≥1，解得0≤a ≤12，故实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12 14．在△ABC 中，B ＝π3，AB ＝2，D 为AB 的中点，△BCD 的面积为334，则AC 等于________．解析：因为S △BCD ＝12BD ·BC sin B ＝12×1×BC sin π3＝334，所以BC ＝3.由余弦定理得AC2＝4＋9－2×2×3cos π3＝7，所以AC ＝7.答案：715．已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1，1)处的切线为l .若l 与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，则a ＝________．解析：依题意得，y ′⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＝1＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x x ＝1＝2，切线l 的方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，y ＝ax 2＋（a ＋2）x ＋1，消去y 得ax 2＋(a ＋2)x ＋1＝2x －1，即ax 2＋ax ＋2＝0，Δ＝a 2－8a ＝0(a ≠0)，解得a ＝8(a ＝0舍去)．答案：816．已知F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 是椭圆上一点(异于左、右顶点)，过点P 作∠F 1PF 2的角平分线交x 轴于点M ，若2|PM |2＝|PF 1|·|PF 2|，则该椭圆的离心率为________．解析：在△PF 1F 2中，由角平分线定理，得|PF 1||PF 2|＝|F 1M ||F 2M |，即|PF 1||PF 1|＋|PF 2|＝|F 1M ||F 1M ＋F 2M |.由椭圆定义得|PF 1|2a ＝|F 1M |2c ⇒c a ＝|F 1M ||PF 1|.同理c a ＝|F 2M ||PF 2|.又在△PF 1M 和△PF 2M 中，由余弦定理得cos ∠F 1MP ＋cos ∠F 2MP ＝0.即|PM |2＋|F 1M |2－|PF 1|22|PM |·|F 1M |＋|PM |2＋|F 2M |2－|PF 2|22|PM |·|F 2M |＝0，⇒(|PM |2＋|F 1M ||F 2M |)(|F 1M |＋|F 2M |)＝|PF 1|2|F 2M |＋|PF 2|2|F 1M |⇒⎝ ⎛⎭⎪⎫12|PF 1||PF 2|＋c 2a 2|PF 1||PF 2|×2c ＝c a |PF 1|2|PF 2|＋c a |PF 2|2|PF 1|⇒⎝⎛⎭⎪⎫1＋2c 2a 2c ＝ca (|PF 1|＋|PF 2|) 即1＋2e 2＝2， 解得e ＝22. 答案：22。
2019-2020年高考数学二轮复习第一篇求准提速基础小题不失分第18练推理与证明练习文
18 练推
[ 明考情 ] 推理与证明在高考中少数年份考查，小题中多以数表 情推理，难度为中档 . [ 知考向 ] 1. 合情推理 . 2. 演绎推理 . 3. 推理与证明的综合应用 .
Hale Waihona Puke ( 阵 ) 、图形、不等式等为指导，考查合
＝ 123.
2. 平面内凸四边形有 2 条对角线，凸五边形有 5 条对角线，以此类推，凸十三边形的对角线
条数为 (
)
A.42
B.65
C.143
D.169
答案 B
解析 可以通过列表归纳分析得到：
多边形
4
5
6
7
8
对角线
2 2＋ 3 2＋ 3＋ 4 2＋ 3＋ 4＋ 5 2＋ 3＋ 4＋ 5＋ 6
13×10 凸十三边形有 2＋ 3＋ 4＋…＋ 11＝ 2 ＝ 65( 条 ) 对角线 .
∴该三棱锥内切球的体积为
43π·２3
＝
32π 3
.
4. 某综艺节目中有这样一个问题，给出一组数，要你根据规律填出后面的第几个数，现给出
11 3 1 5 一组数：－ 2，2，－ 8， 4，－ 32，它的第 8 个数是 ________.
1 答案 32
11 31 5
12 3 4
5
解析 将这一组数：－ ， ，－ ， ，－ 化为：－ ， ，－ ， ，－ ，
A.28
B.76
C.123
D.199
答案 C
解析 观察可得各式的值构成数列 1，3， 4， 7， 11，…，其规律为从第三项起，每项等于其
前面相邻两项的和，所求值为数列中的第
高考数学大二轮复习 冲刺创专题 题型1 选填题 练熟练稳 少丢分 第3讲 复数、算法课件 文
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第 8 次执行循环体，S＝511，应不满足输出的条件，n＝9， 第 9 次执行循环体，S＝1023，应不满足输出的条件，n＝10， 第 10 次执行循环体，S＝2047，应不满足输出的条件，n＝11， 第 11 次执行循环体，S＝4095，应满足输出的条件， 故判断框中的条件可以是 S＜4095？，故选 C.
解法二：∵z＝2＋i，∴z·－z ＝|z|2＝5.故选 D.
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2.若复数 z＝a＋3＋a2i＋2a－3i(i 为虚数单位)为纯虚数，则实数 a 的值
为( )
A.－3
B．－3 或 1
C．3 或－1 D．1
答案 D
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解析 ∵z＝a＋3＋a2i＋2a－3i＝(a2＋2a－3)－(a＋3)i 是纯虚数，∴
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… 观察规律，可知 S 的取值周期为 4，由于 2017＝504×4＋1，可得，S ＝3，k＝2017，满足条件 k＝2017？，退出循环，输出 S 的值为 3.故选 D.
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1.应注意第 1 题中“否”对应着输出框，只有不满足判断框内的条件时， 循环才能结束．另外，本题最容易出错的地方是把累加 S 和计数 K 两个变量 的先后顺序颠倒．计数变量 K 在本题中不仅体现了循环的次数，而且还参与 了累乘变量的变化过程．
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执行如图所示的程序框图，若输出的 n 值为 11，则判断框中的条件可以是 ()
A.S<1022? B．S<2018？ C.S<4095? D．S>4095？
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第3练 复 数[明考情]复数是高考必考题，以选择题形式出现，题目难度为低档，多数在第一题或第二题的位置. [知考向] 1.复数的概念. 2.复数的运算. 3.复数的几何意义.考点一 复数的概念要点重组 (1)复数：形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做复数，其中a ，b 分别是它的实部和虚部，i 为虚数单位.若b ＝0，则a ＋b i 为实数；若b ≠0，则a ＋b i 为虚数；若a ＝0且b ≠0，则a ＋b i 为纯虚数.(2)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R ). (3)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R ).(4)复数的模：向量OZ →的模r 叫做复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的模，记作|z |或|a ＋b i|，即|z |＝|a ＋b i|＝r ＝a 2＋b 2(r ≥0，r ∈R ).1.设复数z ＝1＋i(i 是虚数单位)，则复数z ＋1z的虚部是( )A.12B.12iC.32D.32i 答案 A解析 因为z ＝1＋i ，所以z ＋1z ＝1＋i ＋11＋i ＝1＋i ＋1－i 2＝32＋i 2，所以虚部为12，故选A.2.(2017·全国Ⅲ)设复数z 满足(1＋i)z ＝2i ，则|z |等于( ) A.12 B.22 C. 2 D.2 答案 C解析 方法一 由(1＋i)z ＝2i ，得z ＝2i 1＋i ＝1＋i ，∴|z |＝ 2.方法二 ∵2i＝(1＋i)2，∴由(1＋i)z ＝2i ＝(1＋i)2，得z ＝1＋i ， ∴|z |＝ 2. 故选C.3.设复数z 满足1＋z1－z ＝i ，则|z |等于( )A.1B. 2C. 3D.2答案 A解析 由1＋z 1－z ＝i ，得1＋z ＝i －z i ，∴z ＝－1＋i1＋i ＝i ，∴|z |＝|i|＝1.4.已知i 是虚数单位，a ，b ∈R ，则“a ＝b ＝1”是“(a ＋b i)2＝2i”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案 A解析 当a ＝b ＝1时，(a ＋b i)2＝(1＋i)2＝2i ， 反过来(a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i ＝2i ， 则a 2－b 2＝0，2ab ＝2，解得a ＝1，b ＝1或a ＝－1，b ＝－1，故“a ＝b ＝1”是“(a ＋b i)2＝2i”的充分不必要条件， 故选A.5.(2016·江苏)复数z ＝(1＋2i)(3－i)，其中i 为虚数单位，则z 的实部是________. 答案 5解析 z ＝(1＋2i)(3－i)＝5＋5i.故z 的实部为5.6.复数(m 2－3m －4)＋(m 2－5m －6)i 是虚数，则实数m 的取值范围是__________. 答案 {m |m ≠6且m ≠－1} 考点二 复数的运算方法技巧 复数的四则运算类似于多项式的四则运算，复数除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数.7.(2017·山东)已知i 是虚数单位，若复数z 满足z i ＝1＋i ，则z 2等于( ) A.－2i B.2i C.－2D.2解析 方法一 ∵z ＝1＋i i ＝(1＋i )(－i )i (－i )＝1－i ，∴z 2＝(1－i)2＝－2i.方法二 ∵(z i)2＝(1＋i)2，即－z 2＝2i ，∴z 2＝－2i.故选A. 8.已知复数z 满足(3＋4i)z ＝25，则z 等于( ) A.3－4i B.3＋4i C.－3－4i D.－3＋4i答案 A解析 由题意得z ＝253＋4i ＝25(3－4i )(3＋4i )(3－4i )＝25(3－4i )25＝3－4i ，故选A. 9.设i 是虚数单位，z 表示复数z 的共轭复数.若z ＝1＋i ，则zi ＋i·z 等于( )A.－2B.－2iC.2D.2i答案 C解析 由题意知，z i ＋i·z ＝1＋ii＋i(1－i)＝(1＋i )ii2＋1＋i ＝1－i ＋1＋i ＝2，故选C. 10.复数⎝⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2＝________.答案 －1解析 1＋i 1－i ＝(1＋i )2(1－i )(1＋i )＝2i 2＝i ，所以⎝⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2＝i 2＝－1.11.已知i 为虚数单位，若复数z ＝1－a i1＋i (a ∈R )的虚部为－3，则|z |＝________.答案13解析 因为z ＝1－a i 1＋i ＝(1－a i )(1－i )2＝1－a －(a ＋1)i 2＝1－a 2－a ＋12i ，所以－a ＋12＝－3，解得a ＝5，所以z ＝－2－3i ，所以|z |＝(－2)2＋(－3)2＝13. 考点三 复数的几何意义要点重组 (1)复数z ＝a ＋b i 一一对应复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R ).(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ) 一一对应平面向量OZ →. 12.复平面内表示复数i(1－2i)的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答案 A解析 因为复数z ＝i(1－2i)＝i －2i 2＝2＋i ，它在复平面内对应点的坐标为(2，1)，位于第一象限.13.设复数z 1，z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z 1＝2＋i ，则z 1z 2等于( ) A.－5 B.5 C.－4＋i D.－4－i答案 A解析 由题意知，z 2＝－2＋i ，所以z 1z 2＝－5，故选A.14.(2016·全国Ⅱ)已知z ＝(m ＋3)＋(m －1)i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是( ) A.(－3，1) B.(－1，3) C.(1，＋∞) D.(－∞，－3)答案 A解析 由复数z ＝(m ＋3)＋(m －1)i 在复平面内对应的点在第四象限，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋3>0，m －1<0，解得－3<m <1，故选A.15.已知复数z ＝i ＋i 2＋i 3＋…＋i2 0171＋i ，则复数z 在复平面内对应的点位于第_______象限.答案 一 解析 因为i4n ＋k＝i k (n ∈Z )，且i ＋i 2＋i 3＋i 4＝0，所以i ＋i 2＋i 3＋…＋i2 017＝i ，所以z ＝i 1＋i ＝i (1－i )(1＋i )(1－i )＝1＋i 2，对应的点为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，在第一象限. 16.如图，在复平面内，复数z 1，z 2对应的向量分别是OA →，OB →，则|z 1＋z 2|＝_________.答案 2解析 由题意知，z 1＝－2－i ，z 2＝i ，∴z 1＋z 2＝－2， ∴|z 1＋z 2|＝2.1.设z 1，z 2∈C ，则“z 1，z 2中至少有一个数是虚数”是“z 1－z 2是虚数”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案 B解析 若虚数z 1，z 2的虚部相等，则z 1－z 2是实数，故充分性不成立；又若z 1，z 2全是实数，则z 1－z 2不是虚数，故必要性成立.故选B.2.设x ，y 为实数，且x 1－i ＋y 1－2i ＝51－3i，则x ＋y ＝______.答案 4解析 由题意得x 2(1＋i)＋y 5(1＋2i)＝510(1＋3i)，∴(5x ＋2y )＋(5x ＋4y )i ＝5＋15i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋2y ＝5，5x ＋4y ＝15，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝5，∴x ＋y ＝4.解题秘籍 (1)复数的概念是考查的重点，虚数及纯虚数的意义要把握准确.(2)复数的运算中除法运算是高考的热点，运算时要分母实数化(分子分母同乘以分母的共轭复数)，两个复数相等的条件在复数运算中经常用到.1.(2017·全国Ⅱ)3＋i1＋i 等于( )A.1＋2iB.1－2iC.2＋iD.2－i 答案 D 解析3＋i 1＋i ＝(3＋i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝3－3i ＋i ＋12＝2－i. 2.复数z ＝1＋i 1－2i 的虚部为( )A.－15B.15C.－35D.35答案 D解析 z ＝1＋i 1－2i ＝(1＋i )(1＋2i )(1－2i )(1＋2i )＝－15＋35i ，所以其虚部为35.3.若复数z 满足z1－i＝i ，其中i 为虚数单位，则z 等于( )A.1－iB.1＋iC.－1－iD.－1＋i答案 A解析 ∵z1－i ＝i ，∴z ＝i(1－i)＝i －i 2＝1＋i ，∴z ＝1－i.4.设i 是虚数单位，则复数2i1－i 在复平面内所对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案 B 解析2i 1－i ＝2i (1＋i )(1－i )(1＋i )＝2i (i ＋1)2＝－1＋i ，由复数的几何意义知，－1＋i 在复平面内的对应点为(－1，1)，该点位于第二象限，故选B. 5.(1＋i )3(1－i )2等于( ) A.1＋i B.1－i C.－1＋i D.－1－i答案 D解析 由已知得(1＋i )3(1－i )2＝(1＋i )2(1＋i )(1－i )2＝2i (1＋i )－2i ＝－1－i. 6.若a 为实数，且(2＋a i)(a －2i)＝－4i ，则a 等于( ) A.－1 B.0 C.1 D.2 答案 B解析 因为a 为实数，且(2＋a i)(a －2i)＝4a ＋(a 2－4)i ＝－4i ，得4a ＝0且a 2－4＝－4，解得a ＝0，故选B.7.z 是z 的共轭复数，若z ＋z ＝2，(z －z )i ＝2(i 为虚数单位)，则z 等于( ) A.1＋i B.－1－i C.－1＋i D.1－i答案 D解析 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i. 由z ＋z ＝2，得a ＝1， 由(z －z )i ＝2，得b ＝－1， 所以z ＝1－i ，故选D.8.“复数z ＝3＋a ii 在复平面内对应的点在第三象限”是“a ≥0”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 D解析 由题意得z ＝a －3i ，若z 在复平面内对应的点在第三象限，则a ＜0， 故选D. 9.已知a ＞0，⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋i i ＝2，则a 等于( )A.2B. 3C. 2D.1答案 B 解析 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋i i ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－a i ＋11＝(－a )2＋1＝2，即a 2＝3. 又∵a ＞0， ∴a ＝ 3.10.已知复数z ＝(5＋2i)2(i 为虚数单位)，则复数z 的实部是____________. 答案 21解析 由题意知z ＝(5＋2i)2＝25＋2×5×2i＋(2i)2＝21＋20i ，其实部为21.11.(2016·天津)已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若(1＋i)(1－b i)＝a ，则a b的值为________. 答案 2解析 因为(1＋i)(1－b i)＝1＋b ＋(1－b )i ＝a ， 又a ，b ∈R ，所以1＋b ＝a 且1－b ＝0， 得a ＝2，b ＝1，所以a b ＝2.12.已知z ＝1＋i ，则2z－z 2的共轭复数是__________.答案1＋3i解析∵z＝1＋i，∴2z－z2＝21＋i－(1＋i)2＝2(1－i)(1＋i)(1－i)－2i＝1－i－2i＝1－3i，∴2z－z2的共轭复数是1＋3i.。