闸北区2014年高三数学文科二模试卷
2014高考全国2卷数学文科试题及答案详解解析
2014 年普通高等学校招生全国统一考试数学第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合A { 2,0,2} ，2B {x| x x 2 0}，则A B=2 0 2(A) （B）（C）(D)考点：交集及其运算．分析：先解出集合B，再求两集合的交集即可得出正确选项．解答：解：∵ A={﹣2，0，2}，B={x|x2 ﹣x﹣2=0}={﹣1，2}，∴A∩B={2}．故选： B点评：本题考查交的运算，理解好交的定义是解答的关键．1 3i（2）1 i()（A）1 2i （B） 1 2i （C）1-2i (D) 1-2i考点：复数代数形式的乘除运算．分析：分子分母同乘以分母的共轭复数1+i 化简即可．解答：解：化简可得====﹣1+2i故选： B点评：本题考查复数代数形式的化简，分子分母同乘以分母的共轭复数是解决问题的关键，属基础题．f x在x x0 处导数存在，若（3）函数p: f (x ) 0;q : x x0 0是f x 的极值点，则()（A） p 是 q 的充分必要条件（B） p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件（C） p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件(D) p 既不是 q的充分条件，也不是q 的必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．菁优网版权所有分析：根据可导函数的极值和导数之间的关系，利用充分条件和必要条件的定义即可得到结论．解答：函数f（x）=x3 的导数为f'（x）=3x2，由 f′（x0）=0，得x0=0，但此时函数f（x）单调递增，无极值，充分性不成立．根据极值的定义和性质，若x=x0 是 f（x）的极值点，则f′（x0）=0 成立，即必要性成立，故p 是 q 的必要条件，但不是q 的充分条件，故选： C点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用函数单调性和极值之间的关系是解决本题的关键，比较基础．1（4）设向量a,b 满足|a+b|= 10 ，|a-b|= 6，则a·b= ()（A）1 （B）2 （C）3 (D) 5考点：平面向量数量积的运算．分析：将等式进行平方，相加即可得到结论．解答：∵| + |= ，| ﹣|= ，∴分别平方得，+2 ? + =10，﹣2 ? + =6，两式相减得4? ? =10﹣6=4，即? =1，故选： A点评：本题主要考查向量的基本运算，利用平方进行相加是解决本题的关键，比较基础．（5）等差数列a n 的公差为2，若a2 ，a4 ，a8成等比数列，则a n 的前n 项Sn =()n n 1 n n 1n n 1 n n 12 2 （A）（B）（C）(D)考点：等差数列的性质．分析：由题意可得a42=（a4﹣4）（a4+8），解得a4 可得 a1，代入求和公式可得．解答：由题意可得a42=a2?a8，即 a42=（a4﹣4）（a4+8），解得a4=8，∴a1=a4﹣3×2=2，∴Sn=na1+d，=2n+× 2=n（n+1），故选： A点评：本题考查等差数列的性质和求和公式，属基础题．如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示 1cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为 6c m 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为()17 5 10 1（A ）27 （B）9 （C） 27 (D)3考点：由三视图求面积、体积．菁优网版权所有分析：由三视图判断几何体的形状，通过三视图的数据求解几何体的体积即可．解答：几何体是由两个圆柱组成，一个是底面半径为 3 高为 2，一个是底面半径为2，高为 4，组合体体积是：32π?2+22π?4=34π．底面半径为3cm，高为6cm 的圆柱体毛坯的体积为：32π× 6=54π切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为：=．故选： C．点评：本题考查三视图与几何体的关系，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．2正三棱柱ABC A1 B1C1 的底面边长为2，侧棱长为3 ，D为B C中点，则三棱锥 A B1DC 的体积为()13 3（A）3 （B）2 （C）1 （D）2考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．菁优网版权所有分析：由题意求出底面B1DC1的面积，求出 A 到底面的距离，即可求解三棱锥的体积．解答：∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为B C中点，∴底面B1DC1的面积：=，A 到底面的距离就是底面正三角形的高：．三棱锥A﹣B1DC1的体积为：=1．故选：C．点评：本题考查几何体的体积的求法，求解几何体的底面面积与高是解题的关键．（8）执行右面的程序框图，如果如果输入的x，t 均为2，则输出的S= ()（A）4 （B）5 （C）6 （D）7考点：程序框图．菁优网版权所有分析：根据条件，依次运行程序，即可得到结论．解答：若x=t=2，则第一次循环，1≤2 成立，则M=，S=2+3=5，k=2，第二次循环，2≤2 成立，则M=，S=2+5=7，k=3，此时3≤2 不成立，输出S=7，故选：D．点评：本题主要考查程序框图的识别和判断，比较基础．x y 1 0x y 1 0x 3y 3 0（9）设x，y 满足的约束条件，则z x 2y 的最大值为()（ A）8 （B）7 （ C）2 （D）1考点：简单线性规划．分析：作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z 的最大值．解答：作出不等式对应的平面区域，由z=x+2y，得y=﹣，平移直线y=﹣，由图象可知当直线y=﹣经过点 A 时，直线y=﹣的截距最大，此时z 最大．由，得，即A（3，2），此时z 的最大值为z=3+2×2=7，故选：B．点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法3（10）设F为抛物线2C : y 3x的焦点，过 F 且倾斜角为30 的直线交于C于A,B 两点，则AB= ()°30（A）3 （B）6 （C）12 （D）73考点：抛物线的简单性质．分析：求出焦点坐标，利用点斜式求出直线的方程，代入抛物线的方程，利用根与系数的关系，由弦长公式求得|AB| ．解答：由y2=3x 得其焦点F（，0），准线方程为x=﹣．则过抛物线y2=3x 的焦点F 且倾斜角为30°的直线方程为y=tan30°（ x﹣）= （x﹣）．代入抛物线方程，消去y，得16x2﹣168x+9=0．设A（x1，y1），B（x2，y2）则x1+x2= ，所以 |AB|=x1+ +x2+ = + + =12故答案为：12．点评：本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用，弦长公式的应用，运用弦长公式是解题的难点和关键．（11）若函数 f (x) kx ln x 在区间（1，+ ）单调递增，则k 的取值范围是(), 2 , 1 2, 1,（A）（B）（ C）（D）考点：函数单调性的性质．分析：由题意可得，当x＞1 时， f′（ x）=k﹣≥0，故k﹣1＞0，由此求得k 的范围．解答：函数f（x）=kx﹣lnx 在区间（1， +∞）单调递增，∴当x＞1 时， f′（ x）=k﹣≥0，∴ k﹣1≥0，∴ k≥1，故选：D．点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，函数的单调性的性质，属于基础题．4（12）设点M ( x0,1)，若在圆2 2O : x y 1上存在点N，使得°OMN 45 ,则x0 的取值范围是()1,1（A）（B）1 1，2 2 （C）2, 2（D）2 2，2 2考点：直线和圆的方程的应用．菁优网版权所有分析：根据直线和圆的位置关系，利用数形结合即可得到结论．解答：由题意画出图形如图：∵点 M（x0，1），∴若在圆O：x2+y2=1 上存在点N，使得∠ OMN=45°，∴圆上的点到MN 的距离的最大值为1，要使MN=1，才能使得∠OMN=45 °，图中 M′显然不满足题意，当MN 垂直 x 轴时，满足题意，∴x0 的取值范围是[﹣1，1]．故选： A点评：本题考查直线与圆的位置关系，直线与直线设出角的求法，数形结合是快速解得本题的策略之一．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
闸北区2014学年度第二学期高三数学(文科)期中练习卷及答案
闸北区2014学年度第二学期高三数学（文科）期中练习卷考生注意：1. 本次测试有试题纸和答题纸，解答必须在答题纸上，写在试题纸上的解答无效．2. 答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、学校、考试号，以及试卷类型等填写清楚，并在规定区域内贴上条形码．3. 本试卷共有18道试题，满分150分．考试时间120分钟．一、填空题（60分）本大题共有10题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得6分，否则一律得零分．1. 设幂函数()f x 的图像经过点()8,4，则函数()f x 的奇偶性为____________．2. 已知实数,x y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≤≥.,12,1m y x x y y 如果目标函数z x y =-的最小值为1-，则实数m 等于____________．3. 直线1y =与曲线2y x x a =-+有四个交点，则实数a 的取值范围是____________． 4. 已知定义域为R 的函数()y f x =的图像关于点()1,0-对称，()y g x =是()y f x =的反函数，若120x x +=，则()()12g x g x +=____________．5. 设⎪⎩⎪⎨⎧∈≥∈≤≤=-.N ,3,31,N ,21,21n n n n a n n n 数列{}n a 的前n 项和为n S ，则=∞→n n S lim ___________．6. 设复数122,12z i z i =+=+，在复平面的对应的向量分别为,OA OB ，则向量AB 对应的复数所对应的点的坐标为____________．7.若二项式nx ⎛⎝展开式中只有第四项的系数最大，则这个展开式中任取一项为有理项的概率是____________．8. 观察下表： 12 3 4 3 4 5 6 74 5 6 7 8 9 10…………设第n 行的各数之和为n S ，则2lim_______________.nn S n →∞=9. 从双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点F 引圆222x y a +=的切线，切点为T ，延长FT 交双曲线右支于点P ，若M 是线段FP 的中点，O 为原点，则MO MT -的值是____________． 10. 已知集合(){},,U x y x R y R =∈∈，(){},M x y x y a =+<，()(){},P x y y f x ==，现给出下列函数：①xy a=；②log a y x = ；③()sin y x a =+；④cos y ax =．若01a <<时，恒有U P C M P =，则所有满足条件的函数()f x 的编号是____________．二、选择题（15分）本大题共有3题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 11. 下列命题中，正确的个数是……………………………………………………………【 】（1） 直线上有两个点到平面的距离相等，则这条直线和这个平面平行； （2） a 、b 为异面直线，则过a 且与b 平行的平面有且仅有一个； （3） 直四棱柱是直平行六面体；（4） 两相邻侧面所成角相等的棱锥是正棱锥.A 、0B 、1C 、2D 、312. 已知函数()2f x x x c =++，若()00f >，()0f p <，则必有…………………【 】A 、()10f p +>B 、()10f p +<C 、()10f p +=D 、()1f p +的符号不能确定13. 如图，下列四个几何题中，它们的三视图（主视图、俯视图、侧视图）有且仅有两个相同，而另一个不同的两个几何体是…………………………………………………………【 】A 、（1）、（2）B 、（1）、（3）C 、（2）、（3）D 、（1）、（4）（1）棱长为2的正方体 （2）底面直径和高均为2的圆柱（3）底面直径和高均为2的圆锥 （4）底面边长为2高为2的直平行六面体 三、解答题（本题满分75分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对 应的题号）内写出必要的步骤．14. （本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分）如图，AB 是圆柱体1OO 的一条母线，已知BC 过底面圆的圆心O ，D 是圆O 上不与点,B C 重合的任意一点，5AB =，5BC =，3CD =．（1）求直线AC 与直线BD 所成角的大小；（2）将四面体ABCD 绕母线AB 旋转一周，求ACD ∆的三边在旋转过程中所围成的几何体的体积．15. （本题满分14分，第（1）、（2）小题各3分；第（3）、（4）小题各4分）请你指出函数()1xf x x=+()x R ∈的基本性质（不必证明），并判断以下四个命题的正确性，必要时可直接运用有关其基本性质的结论加以证明．（1） 当x R ∈时，等式()()0f x f x +-=恒成立； （2） 若()()12f x f x ≠，则一定有12x x ≠；（3） 若0m >，方程()f x m =有两个不相等的实数解； （4） 函数()()g x f x x =-在R 上有三个零点．16. （本题满分15分，第（1）小题6分，第（2）小题9分）如图所示，某市拟在长为8km 道路OP 的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM ，该曲线段为函数()sin 0,0y A x A ωω=>>[]()0,4x ∈的图像，且图像的最高点为(3,S ，赛道的后一部分为折线段MNP ，且120MNP ∠=． （1）求M 、P 两点间的直线距离；（2）求折线段赛道MNP 长度的最大值．17. （本题满分16分，第（1）小题6分，第（2）小题10分）已知圆()221:18C x y ++=，点()21,0C ，点Q 在圆1C 上运动，2QC 的垂直平分线交1QC 于点P ．（1）求动点P 的轨迹W 方程；（2）过点10,3S ⎛⎫- ⎪⎝⎭且斜率为k 的动直线l 交曲线W 于,A B 两点，在y 轴上是否存在定点D ，使以AB 为直径的圆恒过这个点？若存在，请求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．18. （本题满分18分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分）我们把一系列向量()1,2,,i a i n =按次序排成一列，称之为向量列，记作{}n a ，已知向量列{}n a 满足：()1,11=a ， ()()11111,,2n n n n n n n a x y x y x y ----==-+()2n ≥． （1）证明：数列{}n a 是等比数列；（2）设n θ表示向量1n a -与n a 间的夹角，若21n n b n θ=-，n n b b b S +⋅⋅⋅++=32，求n S ；（3）设2log n n n c a a =⋅，问数列{}n c 中是否存在最小项？若存在，求出最小项；若不存在，请说明理由．文科答案一． 填空题1、偶函数；2、53、51,4⎛⎫⎪⎝⎭4、2-5、55186、()1,1-7、478、4 9、b a - 10、①②④ 二． 选择题11、B 12、A 13、A 、C 三．解答题 14、（1） ……………………………………………………5分 （2）15π………………………………………………………………7分15、由()110111,01x x f x x x ⎧-≥⎪⎪+=⎨⎪--<⎪-⎩，参考图像：（1）对于任意的R x ∈，()()1xf x f x x--==-+， 故()()0f x f x -+=恒成立；（2）由于()y f x =为单调递增函数，故如果12x x =，则()()12f x f x =恒成立，因此()()12f x f x ≠，一定有12x x ≠；（3）由图像可知当1m ≥时，y m =与()y f x =无公共点，方程()f x m =无实数根，故结论（3）不正确； （4）()11x x xg x x x x-=-=++，若()0g x =，则只有0x =，故结论（4）不正确. 16、解法一：（1）依题意，有A = ……………………………………………1分 又34T =， 而2T πω=， 6πω∴= ……………………………1分6y x π∴=当4x =时，233y π==，()4,3M ∴，又()8,0P5MP ∴== ………………………………………3分（2）在MNP ∆中，120MNP ∠=，5MP =.设PMN θ∠=，则060θ<<. (1)由正弦定理得()sin120sin sin 60MP NP MNθθ==-，NP θ∴=，()60MN θ=-， ……………………………………………………3分故()()10360sin 60NP MN θθθ+=+-=+ (3)分060θ<<，∴当30θ=时，折线段赛道MNP 最长. ……………………2分解法二 ：（1）同解法一.（2）在MNP ∆中，120MNP ∠=， 5.MP =由余弦定理得2222MN NP MN NP COS MNP MP +-⋅⋅∠=，即2225MN NP MN NP ++⋅=； …………………………3分故()22252MN NP MN NP MN NP +⎛⎫+-=≤ ⎪⎝⎭，从而()23254MN NP +≤…4分即MN NP +≤，当且仅当MN NP =时等号成立. ………………2分亦即，设计为MN NP =时，折线段赛道MNP 最长.注：本题第（2）问答案及其呈现方式均不唯一，除了解法一、解法二给出的两种设计方法，还可设计为：①N ；②N ；③点N 在线段MP 的垂直平分线上等. 17、（1）2QC 的垂直平分线交1QC 于点P ，2PQ PC ∴=. (1)分211122PC PC PQ PC QC C +=+===，所以动点P 的轨迹W 是以点1C 、2C 为焦点的椭圆. …………………………2分设椭圆的标准方程为22221x y a b+=()0a b >>，则2a =，22c =，2221b a c =-=，椭圆的标准方程为2212x y +=…………………………………………………………2分a) 直线l 的方程为13y kx =-，联立直线和椭圆的方程得221132y kx x y ⎧=-⎪⎪⎨+=⎪⎪⎩，即()2291212160k x kx +--=，易知点10,3S ⎛⎫- ⎪⎝⎭在椭圆内部，所以直线l 与椭圆必交于两点. (1)分设()()1122,,,A x y B x y ，则()()121222416,312912k x x x x k k +==-++，……………………2分 假设在y 轴上存在定点()0,D m 满足题设，则()()1122,,,DA x y m DB x y m =-=-. 因为以AB 为直径的圆恒过点D ，则()()1122,,0DB x y DA m x y m ⋅=-⋅-=. ……………………2分即()()()12120*x x y m y m +--=，因为112211,33y kx y kx =-=-，所以(*)变为()()()12122121212121221213111333x x y m y m x x y y m y y m kx m kx kx x x kx m ⎛⎫⎛⎫+-⎛⎫=+--=+-++⋅---+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭ ()()()()()2121222222189121133186199521m k m k x x k x m m x m m k +⎛⎫=+--+-+++++= ⎝⎭+⎪. ………3分由假设得对于任意的k ∈R ，0DA DB ⋅=恒成立，即221818096150m m m ⎧-=⎪⎨+-=⎪⎩，解得1m =. 因此，在y 轴上存在点D ，点D 的坐标为()0,1 ………………………………………………3分18、（()()2222122a x y x y x y a =-++=+=………4分 （2）112cos n n n n na a a a θ--⋅==⋅，4n πθ∴= (2)分12n n b π∴=- ………………………………………………2分21n n b n θ=-()2121112224n n S n n n ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-++-=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭…………2分 或()124121231222+--+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅⋅⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n n n n S n ππππ都算对(3) 12222n nn a --⎛== ，22222nn n c --∴=⋅ ……………………………………………………2分假设 {}n c 中的第 n 项最小，由 1c =，20c =，210.c c ∴≤<当3n ≥时，有0n c <，又由1n n c c +≤可得()()212222122222n nn n -+--+-⋅≤⋅， 即12221n n --≥-，22112n n -⎛⎫≥ ⎪-⎝⎭. 2670n n -+≥，3n ≥或3n ≤-（舍），5n ∴≥. …………2分即有567c c c <<<；由1n n c c +≥，得35n ≤≤，又210c c ≤<，541c c c ∴<<<； (2)分故数列{}n c 中存在最小项，最小项是325322c -=-⋅ (2)分。
2014年高考新课标全国2卷数学(文)
2014年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅱ卷）数学试题卷（文史类）注意事项1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的、号填写在本试卷和答题卡相应位置上.2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知集合A={2-，0，2}，B={x |022=--x x }，则A B= （A ）∅ （B ）{}2 （C ）{}0 （D ）{}2-（2）131ii+=- （A ）12i + （B ）12i -+ （C ）12i - （D ）12i --（3）函数()f x 在0x x =处导数存在．若p ：0'()0f x =；q ：0x x =是()f x 的极值点，则 （A ）p 是q 的充分必要条件（B ）p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件 （C ）p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件 （D ）p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件（4）设向量a ，b 满足||a b +=，||a b -=，则a b =（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）5（5）等差数列{}n a 的公差为2，若2a ，4a ，8a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和n S =（A ）()1n n + （B ）()1n n -（C ）()12n n + （D ）()12n n -（6）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm ）， 图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个 底面半径为3cm ，高为6c m 的圆柱体毛坯切削得 到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为 （A ）1727 （B ）59 （C ）1027 （D ）13（7）正三棱柱的底面边长为2，D 为BC 中点，则三棱锥11DC B A -的体积为（A ）3 （B ）32（C ）1 （D）2（8）执行右面的程序框图，如果如果输入的x ，t 均为2，则输出的S = （A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7（9）设x ，y 满足约束条件10,10,330,x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩则2z x y =+的最大值为（A ）8 （B ）7 （C ）2 （D ）1（10）设F 为抛物线C ：23y x =的焦点，过F 且倾斜角为°30的直线交于C 于,A B 两点，则AB =（A（B ）6 （C ）12 （D）（11）若函数()ln f x kx x =-在区间（1，+∞）单调递增，则k 的取值围是（A ）(],2-∞- （B ）(],1-∞- （C ）[)2,+∞ （D ）[)1,+∞（12）设点0(,1)M x ，若在圆O ：221x y +=上存在点N ，使得°45OMN ∠=，则0x 的取值围是（A ）[]1,1- （B ）1122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， （C）⎡⎣ （D）⎡⎢⎣⎦ 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题，每个考试考生都必须做答.第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答.二、填空题：本大概题共4小题，每小题5分．（13）甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服种选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为________.（14）函数()sin()2sin cos f x x x ϕϕ=+-的最大值为________.（15）偶函数)(x f y =的图像关于直线x =2对称，3)3(=f ，则(1)f -=________. （16）数列{}n a 满足111n na a +=-，82a =，则1a =________.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分12分）四边形ABCD 的角A 与C 互补，AB =1，BC =3，CD =DA =2． （Ⅰ）求C 和BD ；（Ⅱ）求四边形ABCD 的面积．（18）（本小题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA 平面ABCD ，E 为PD 的点． （Ⅰ）证明：PB //平面AEC ；（Ⅱ）设AP=1，AD =3，三棱锥P-ABD 的体积V =43，求A 到平面PBC 的距离．（19）（本小题满分12分）某市为了考核甲、乙两部门的工作情况，随机访问了50位市民.根据这50位市民对这两部门的评分（评分越高表明市民的评价越高），绘制茎叶图如下：（Ⅰ）分别估计该市的市民对甲、乙部门评分的中位数；（Ⅱ）分别估计该市的市民对甲、乙部门的评分高于90的概率； （Ⅲ）根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价．（20）（本小题满分12分）设F 1，F 2分别是椭圆C ：12222=+by a x （0>>b a ）的左、右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直，直线MF 1与C 的另一个交点为N ． （Ⅰ）若直线MN 的斜率为43，求C 的离心率； （Ⅱ）若直线MN 在y 轴上的截距为2且|MN |=5|F 1N |，求a ，b ．（21）（本小题满分12分）已知函数()f x =3232x x ax -++，曲线()y f x =在点（0，2）处的切线与x 轴交点的横坐标为2-．（Ⅰ）求a ；（Ⅱ）证明：当1k <时，曲线()y f x =与直线2y kx =-只有一个交点．4 97 97665332110 98877766555554443332100 6655200 632220 甲部门 乙部门 59 0448 122456677789 011234688 00113449 123345 011456 000 3 4 56 7 8910请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号. （22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，P 是⊙O 外一点，PA 是切线，A 为切点，割线PBC 与⊙O 相交于点B ，C ，PC =2PA ，D 为PC 的中点，AD 的延长线交⊙O 于点E ．证明： （Ⅰ）BE =EC ； （Ⅱ）AD ·DE =2PB 2．（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为ρ=2cosθ，θ∈[0，2π]．（Ⅰ）求C 的参数方程；（Ⅱ）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线l：2y =+垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定D 的坐标．（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数()f x =|x +a1|+|x a -|(a >0)． （Ⅰ）证明：()f x ≥2；（Ⅱ）若(3)5f <，求a 的取值围．2014年普通高等学校招生全国统一考试（课标卷Ⅱ卷）数学（文科）参考答案一、选择题 1．B解析：把2-，0，2代入202x x --=验证，只有2满足不等式．故选B ． 考点：考查集合的知识．简单题． 2．B 解析：13(13)(1)121(1)(12)42i i i i i i i i+++===-+---++．故选B ． 考点：考查复数的基本知识．简单题．3．C解析：函数()f x 在0x=x 处导数存在，则极值点必为导函数的根，而导函数的根不一定是极值点，即,q p p q ⇒⇒/，从而p 是q 的必要但不充分的条件．故选C ．考点：考查充要条件与极值的基础知识．简单题． 4．A解析：222210,226,a a b b a a b b ⋅-+++=⋅=44a b ∴⋅=，1a b ∴⋅=．故选A ． 考点：考查平面向量的数量积．中等题． 5．A解析：∵数列{}n a 是等差数列，公差等于2，∴2141812,6,14a a a a a a =+=+=+.∵248,,a a a 成等比数列，∴22428111()6)214()(a a a a a a ⋅⇒=++=+，解得122(221)n a a n n ==+-⇒⋅=，∴(1)(222)=n n nS n n ⋅=++．故选A ． 考点：考查等差数列的通项公式与求和公式．中等题． 6．C解析：毛胚的体积23654V ππ⋅⋅==，制成品的体积221322434V πππ⋅⋅+⋅⋅==，∴切削掉的体积与毛胚体积之比为134********V V ππ-=-=．故选C ． 考点：考查三视图于空间几何体的体积．中等题． 7．C解析：∵正三棱柱的底面边长为2，D 为BC 中点，∴AD ==∵1112,BC CC ==1111111222B DC B C S C C ⋅=⋅⋅==，∴111111133AB C B DC V S AD ⋅⋅===．故选C ． 考点：考查空间点，线，面关系和棱锥体积公式．中等题． 8．D解析：第1次循环M=2，S=5，k=1． 第2次循环，M=2，S=7，k=2．第3次循环k=3>2，故输出S=7．故选D ． 考点：考查算法的基本知识．简单题． 9．B解析：作图即可.考点：考查二元一次不等式组的应用．中等题． 10．C解析：∵23y x =，∴抛物线C 的焦点的坐标为()3,04F ，所以直线AB 的方程为330an )t (4y x ︒-=，故23),343,y x y x ⎧=-⎪⎨⎪=⎩从而2122161689012x x x x -+=+=⇒， ∴弦长12||=3122x x AB ++=．故选C ． 考点：考查抛物线的几何性质，弦长计算以及分析直线和圆锥曲线位置关系的能力．中等题． 11．D 解析：()ln f x kx x =-，1()(0)f x k x x∴'=->．()f x 在区间(1,)+∞上递增，()f x ∴在区间(1,)+∞上恒大于等于0，11()0((1,))x k k x x f x∴'=-≥⇒≥∀∈+∞，1k ∴≥．故选D ． 考点：考查导数与函数单调性的关系．中等题． 12．A解析：过点M 作圆O 的切线，切点为N .设θ=∠OMN ，则︒≥45θ，22sin ≥θ，即22≥OM ON ，2120≤+x ，011x -≤≤．故选A ． 考点：三角不等式，两点间距离公式．难题． 二、填空题 13．13解析：1.3333P =⋅=考点：考查古典概型的概念．简单题． 14．1解析：因为()f x si s n in cos s n c (o i )s x x x ϕϕϕ==--，所以最大值为1． 考点：考查和差角公式．简单题． 15．3解析：因()f x 是偶函数，所以(1)(1)f f -=．因()f x 图像关于2x =，所以(1)(2)(332)1f f f ⋅-===． 考点：考查偶函数的概念，轴对称的概念．简单题． 16．12解析：∵111n na a +=-，122111111(1)111n n n n n a a a a a +----∴==-=--=--， 822a a ∴==，12111112112a a a a =⇒-==⇒-． 考点：考查递推数列的概念．简单题． 三、解答题17．解析：（Ⅰ）由题设及余弦定理得222cos 1312c s 2o BD C BC CD BC D C C =+⋅=--， ① 2222cos 54cos AD AB BD AB AD A C =⋅=++-． ② 由①，②得1cos 2C =，故60C =︒，BD =（Ⅱ）四边形ABCD 的面积S =11sin sin 22AB DA A BC CD C ⋅+⋅111232)sin 6022(⨯⨯+⨯︒==⨯ 考点：考查余弦定理的应用．中等题．18．解析：（Ⅰ）设BD 与AC 的交点为O ，连结EO ．因为四边形ABCD 为矩形，所以O 为BD 的中点． 又E 为PD 的中点，所以EO ∥PB ．EO ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC ，所以PB ∥AEC ．（Ⅱ）616PA AB A V AD B ⋅⋅⋅==．由V =，可得32AB =．作AH ⊥PB 交PB 于H ． 由题设知BC ⊥平面PAB ，所以BC AH ⊥，故AH ⊥平面PBC ．又PA AB AH PB ⋅==A 到面PBC考点：考查空间点线面的位置关系与空间距离．中等题．19．解析：（Ⅰ）由所给茎叶图知，50位市民对甲部门的评分由小到大排序，排在第25，26位的数是75，75，故样本中位数为75，所以该市的市民对甲部门评分的中位数的估计数是75．50位市民对乙部门的评分由小到大排序，排在第25，26位的数是66，68，故样本中位数为6668627+=，所以该市的市民对乙部门评分的中位数的估计数是67． （Ⅱ）由所给茎叶图知，50位市民对甲、乙两部门的评分高于90的比率分别为50.150=，850=0.16，故该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率的估计值分别为0.1，0.16．（Ⅲ）由所给茎叶图知，市民对甲部门的评分的中位数高于对乙部门的评分的中位数，而且由茎叶图可以大致看出对甲部门的评分的标准差要小于对乙部门的评分的标准差，说明该市市民对甲部门的评价较高、评价较为一致，对乙部门的评价较低、评价差异大.（注：考生利用其他统计量进行分析，结论合理的同样给分）考点：考查使用茎叶图及样本的数字特征估计总体的能力．中等题．20．解析：（Ⅰ）根据c =2(,)b M c a，223b ac =．将222b a c =-代入223b ac =，解得12c a =，2c a =-（舍去）．故C 的离心率为12．（Ⅱ）由题意，原点O 为12F F 的中点，2MF ∥y 轴，所以直线1MF 与y 轴的交点(0,2)D 是线段1MF 的中点，故24b a=，即24b a =． ① 由1||5||MN NF =得11||2||DF F N =．设11(,)N x y ，由题意知10y <，则112(),22,c x c y --=⎧⎨-=⎩即113,21.x c y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩代入C 的方程，得222911c a b+=. ②将①及c =229(4)1144a a a a-+=． 解得7a =，2428b a ==．故7a =，b =考点：考查椭圆的几何性质以及直线与椭圆的位置关系．难题． 21．解析：（Ⅰ）26()3f x x x a =-'+，'(0)f a =． 曲线()y f x =在点(0,2)处的切线方程为2y ax =+． 由题设得22a-=-，∴1a =． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，32()32f x x x x =-++． 设32()()(2)3(1)4g x f x kx x x k x =--=-+-+． 由题设知10k ->．当0x ≤时，2()36(1)x g x x k -+-'=0>，()g x 单调递增，(1)10g k -=-<，(0)4g =，所以()g x =0在(,0]-∞有唯一实根．当0x >时，令32()34h x x x =-+，则()()(1)()g x h x k x h x =+->.2'()363(2)h x x x x x =-=-，()h x 在(0,2)单调递减，在(2,)+∞单调递增，所以()()(2)0g x h x h >≥=，所以()g x =0在(0,)+∞没有实根．综上，()0g x =在R 上有唯一实根，即曲线()y f x =与直线2y kx =-只有一个交点． 考点：考查利用导数综合研究函数性质的能力．难题． 22．解析：（Ⅰ）连结AB ，AC . 由题设知PA PD =，故PAD PDA ∠=∠. 因为PDA DAC DCA ∠=∠+∠，.. .... .. .. PAD BAD PAB ∠=∠+∠，DCA PAB ∠=∠，所以DAC BAD ∠=∠，从而BE EC =，因此BE EC =.（Ⅱ）由切割线定理得2PA PB PC =⋅.因为PA PD DC ==，所以2DC PB =，BD PB =.由相交弦定理得AD DE BD DC ⋅=⋅，所以22AD DE PB ⋅=．考点：考查与圆有关的角的知识和圆幂定理的应用．中等题．23．解析：（Ⅰ）C 的普通方程为2201)1(1()x y y -+=≤≤. 可得C 的参数方程为,n 1i cos s y x tt =+⎧⎨=⎩（t 为参数，0t π≤≤）．（Ⅱ）设D (1cos n ),si t t +．由（Ⅰ）知C 是以(1,0)G 为圆心，1为半径的上半圆． 因为C 在D 处的切线与l 垂直，所以直线GD 与l的斜率相同，tan t =3t π=，故D 的直角坐标为(1cos ,sin )33ππ+，即3(2． 考点：本题考查园的极坐标方程参数方程以及参数方程的简单应用．中等题．24．解析：（Ⅰ）由0a >，有111()|||||()|2f x x x a x x a a a a a =++-≥+--=+≥， ∴()2f x ≥． （Ⅱ）1(3)|3||3|f a a=++-． 当3a >时，1(3)f a a=+，由(3)5f <得523a <<+． 当03a <≤时，(3)61a f a =-+，由(3)5f <3a <≤． 综上，a的取值围是15(22++． 考点：考查带有绝对值的不等式的应用能力，考查函数与不等式的关系．中等题．。
2014年高考数学二模试卷(文科)
2014年高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．2．（5分）已知复数，则z的虚部为（）3．（5分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PC与底面垂直，若该四棱锥的正视图和侧视图都是腰长为1的等腰直角三角形，则该四棱锥中最长的棱的长度为（）C D4．（5分）函数f（x）=﹣的零点所在区间为（）），），5．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的p=5，q=6，则输出的a，i的值分别为（）6．（5分）已知，则sin2α的值为（）．C D．7．（5分）若f （x ）=2cos （ωx+φ）+m ，对任意实数t 都有f （t+）=f （﹣t ），且f （）=﹣1则实数m 的值等8．（5分）（2013•三门峡模拟）设F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点．若双曲线上存在点A ，使∠F 1AF 2=90°，．CD ．9．（5分）已知函数f （x ）=a x ﹣2，g （x ）=log a |x|（a ＞0，且a ≠1），且f （2011）•g （﹣2012）＜0，则y=f （x ），y=g．C D ．． π C π D ．11．（5分）（2012•菏泽一模）直线4kx ﹣4y ﹣k=0与抛物线y 2=x 交于A 、B 两点，若|AB|=4，则弦AB 的中点到直线x+=0的距离等于（ ） ．D 12．（5分）已知函数f （x ）=e x+alnx 的定义域为D ，关于函数f （x ）给出下列命题： ①对于任意函数a ∈（0，+∞），函数f （x ）是D 上的减函数； ②对于任意函数a ∈（﹣∞，0），函数f （x ）存在最小值； ③存在a ∈（0，+∞），使得对于任意的x ∈D ，都有f （x ）＞0． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．（5分）利用独立性检验来判断两个分类变量X 和Y 是否有关系时，通过查阅下表来确定X 和Y 有关系可信度，214．（5分）已知实数x ，y 满足不等式组若目标函数z=y ﹣ax （a ∈R ）取最大值时的唯一最优解是（1，3），则实数a 的取值范围是 _________ ．15．（5分）已知向量，的夹角为60°，且||=2，||=1，则向量与+2的夹角为_________．16．（5分）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知，b=1，△ABC的面积为，则的值为_________．三、解答题：本大题共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知数列{a n}满足a1=1，a n＞0，S n是数列{a n}的前n项和，对任意的n∈N*，有2S n=2a n2+a n﹣1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记，求数列{b n}的前n项和T n．18．（12分）如图所示，在△ABC中，AC=1，AB=3，∠ACB=，P为AB的中点且△ABC与矩形BCDE所在的平面互相垂直，CD=2．（1）求证：AD∥平面PCE；（2）求三棱锥P﹣ACE的高．19．（12分）（2013•郑州一模）某高校组织自主招生考试，共有2000名优秀学生参加笔试，成绩均介于195分到275分之间，从中随机抽取50名同学的成绩进行统计，将统计结果按如下方式分成八组：第一组[195，205），第二组[205，215），…，第八组[265，275]．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图，且笔试成绩在260分（含260分）以上的同学进入面试．（I）估计所有参加笔试的2000名学生中，参加面试的学生人数；（II）面试时，每位考生抽取三个问题，若三个问题全答错，则不能取得该校的自主招生资格；若三个问题均回答正确且笔试成绩在270分以上，则获A类资格；其它情况下获B类资格．现已知某中学有三人获得面试资格，且仅有一人笔试成绩为270分以上，在回答两个面试问题时，两人对每一个问题正确回答的概率均为，求恰有一位同学获得该高校B类资格的概率．20．（12分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的上、下焦点分别为F1，F2，在x轴上的两个端点分别为A，B．且四边形F1AF2B是边长为1的正方形．（1）求椭圆C的离心率及其标准方程；（2）若直线l与y轴交于点P（0，m），与椭圆C交于相异的两点MN，且=3，求实数m的取值范围．21．（12分）已知a∈R，函数（1）判断函数f（x）在（0，e]上的单调性；（2）是否存在实数x0∈（0，+∞），使曲线y=g（x）在点x=x0处的切线与y轴垂直？若存在，求出x0的值；若不存在，请说明理由．四、解答题（请考生在第22，23，24题中任选一题做答，如果多做，则按所选的第一题记分)22．（10分）（2012•泰州二模）选修4﹣1：几何证明选讲如图，⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P，E为⊙O上一点，AE=AC，求证：∠PDE=∠POC．23．（2011•大同一模）以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴．已知点P的直角坐标为（1，﹣5），点M的极坐标为（4，）．若直线l过点P，且倾斜角为，圆C以M为圆心、4为半径．（Ⅰ）求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程；（Ⅱ）试判定直线l和圆C的位置关系．24．（2012•长春模拟）选修4﹣5；不等式选讲已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．（1）若不等式f（x）≤6的解集为{x|﹣2≤x≤3}，求实数a的值；（2）在（1）的条件下，若存在实数n使f（n）≤m﹣f（﹣n）成立，求实数m的取值范围．2014年高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．2．（5分）已知复数，则z的虚部为（）=复数的虚部为﹣3．（5分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PC与底面垂直，若该四棱锥的正视图和侧视图都是腰长为1的等腰直角三角形，则该四棱锥中最长的棱的长度为（）C DAC=PA=4．（5分）函数f（x）=﹣的零点所在区间为（）），），））的符号，结合函数零点的存在性定理和函数=（=（==，是单调递减函数，是单调减函数，故存在唯一零点5．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的p=5，q=6，则输出的a，i的值分别为（）6．（5分）已知，则sin2α的值为（）．C D．）））×+1=，7．（5分）若f（x）=2cos（ωx+φ）+m，对任意实数t都有f（t+）=f（﹣t），且f（）=﹣1则实数m的值等t+）（t+））8．（5分）（2013•三门峡模拟）设F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点．若双曲线上存在点A ，使∠F 1AF 2=90°，．CD ．分别是双曲线离心率9．（5分）已知函数f （x ）=a x ﹣2，g （x ）=log a |x|（a ＞0，且a ≠1），且f （2011）•g （﹣2012）＜0，则y=f （x ），y=g ． C D ．．πCπD．，所以O===11．（5分）（2012•菏泽一模）直线4kx﹣4y﹣k=0与抛物线y2=x交于A、B两点，若|AB|=4，则弦AB的中点到直线x+=0的距离等于（）．D，故可知直线恒过定点（的焦点坐标为（=x+=0=12．（5分）已知函数f（x）=e x+alnx的定义域为D，关于函数f（x）给出下列命题：①对于任意函数a∈（0，+∞），函数f（x）是D上的减函数；②对于任意函数a∈（﹣∞，0），函数f（x）存在最小值；③存在a∈（0，+∞），使得对于任意的x∈D，都有f（x）＞0．=二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）利用独立性检验来判断两个分类变量X和Y是否有关系时，通过查阅下表来确定X和Y有关系可信度，214．（5分）已知实数x，y满足不等式组若目标函数z=y﹣ax（a∈R）取最大值时的唯一最优解是（1，3），则实数a的取值范围是（1，+∞）．15．（5分）已知向量，的夹角为60°，且||=2，||=1，则向量与+2的夹角为．的值，由此求得|两个向量的夹角公式求得向量与+2向量，||=2||=1，则=|||×=+4|=2与+2的夹角为=，16．（5分）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知，b=1，△ABC的面积为，则的值为2．，c=解：∵2A+=，可得的面积为S=bcsinA=，即×c=根据正弦定理，得=三、解答题：本大题共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知数列{a n}满足a1=1，a n＞0，S n是数列{a n}的前n项和，对任意的n∈N*，有2S n=2a n2+a n﹣1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记，求数列{b n}的前n项和T n．的通项公式代入∴为首项，∴）由为首项为．公比为的等比数列．∴18．（12分）如图所示，在△ABC中，AC=1，AB=3，∠ACB=，P为AB的中点且△ABC与矩形BCDE所在的平面互相垂直，CD=2．（1）求证：AD∥平面PCE；（2）求三棱锥P﹣ACE的高．ACB=，BC=PC=，，sinA=，的面积为CE=2，，等积法得．的高为19．（12分）（2013•郑州一模）某高校组织自主招生考试，共有2000名优秀学生参加笔试，成绩均介于195分到275分之间，从中随机抽取50名同学的成绩进行统计，将统计结果按如下方式分成八组：第一组[195，205），第二组[205，215），…，第八组[265，275]．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图，且笔试成绩在260分（含260分）以上的同学进入面试．（I）估计所有参加笔试的2000名学生中，参加面试的学生人数；（II）面试时，每位考生抽取三个问题，若三个问题全答错，则不能取得该校的自主招生资格；若三个问题均回答正确且笔试成绩在270分以上，则获A类资格；其它情况下获B类资格．现已知某中学有三人获得面试资格，且仅有一人笔试成绩为270分以上，在回答两个面试问题时，两人对每一个问题正确回答的概率均为，求恰有一位同学获得该高校B类资格的概率．分以上的同学的概率，类资格的概率为20．（12分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的上、下焦点分别为F1，F2，在x轴上的两个端点分别为A，B．且四边形F1AF2B是边长为1的正方形．（1）求椭圆C的离心率及其标准方程；（2）若直线l与y轴交于点P（0，m），与椭圆C交于相异的两点MN，且=3，求实数m的取值范围．=3构造关于（b=c==，其标准方程为，=∵=3）•时，∵=3＜﹣，或＜，﹣21．（12分）已知a∈R，函数（1）判断函数f（x）在（0，e]上的单调性；（2）是否存在实数x0∈（0，+∞），使曲线y=g（x）在点x=x0处的切线与y轴垂直？若存在，求出x0的值；若不存在，请说明理由．，函数）∵+=（）时，．又四、解答题（请考生在第22，23，24题中任选一题做答，如果多做，则按所选的第一题记分)22．（10分）（2012•泰州二模）选修4﹣1：几何证明选讲如图，⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P，E为⊙O上一点，AE=AC，求证：∠PDE=∠POC．23．（2011•大同一模）以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴．已知点P的直角坐标为（1，﹣5），点M的极坐标为（4，）．若直线l过点P，且倾斜角为，圆C以M为圆心、4为半径．（Ⅰ）求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程；（Ⅱ）试判定直线l和圆C的位置关系．的参数方程为）因为化为普通方程为，24．（2012•长春模拟）选修4﹣5；不等式选讲已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．（1）若不等式f（x）≤6的解集为{x|﹣2≤x≤3}，求实数a的值；（2）在（1）的条件下，若存在实数n使f（n）≤m﹣f（﹣n）成立，求实数m的取值范围．。
2014年(全国卷II)(含答案)高考文科数学
2014年普通高等学校招生全国统一考试（2 新课标Ⅱ卷）数学(文)试题一、选择题 ( 本大题 共 12 题, 共计 60 分)1.已知集合2{2,0,2},{|20}A B x x x =-=--=,则A ∩B=（ ） A. ∅ B. {}2 C. {0} D. {2}-2.131ii+=-（ ） A.12i + B. 12i -+ C. 12i - D. 12i --3.函数()f x 在0x x =处导数存在，若0:()0p f x =：0:q x x =是()f x 的极值点，则（ ） A ．p 是q 的充分必要条件 B. p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件 C. p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件 D. p 既不是q 的充分条件，学科 网也不是q 的必要条件4.设向量,a b 满足10a b +=，6a b -=，则a b ⋅=（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 55.等差数列{}n a 的公差是2，若248,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和n S =（ ） A. (1)n n + B. (1)n n - C.(1)2n n + D. (1)2n n - 6.如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm ），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm ，高为6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削的部分的体积与原来毛坯体积的比值为（ ） A.2717 B.95 C.2710 D.317.正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为2，，D 为BC 中点，则三棱锥11A B DC -的体积为A.3B.32C.1D.28.执行右面的程序框图，如果输入的x ，t 均为2，则输出的S =（ ） A.4 B.5 C.6 D.79.设x ，y 满足约束条件10,10,330,x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩则2z x y =+的最大值为（ ）A.8B.7C.2D.110.设F 为抛物线2:+3C y x 的焦点，过F 且倾斜角为30︒的直线交C 于A ,B 两点，则AB =（ ）A.3B.6C.12D.11.若函数()f x kx Inx =-在区间()1,+∞单调递增，则k 的取值范围是（ ）A.(],2-∞-B.(],1-∞-C.[)2,+∞D.[)1,+∞12.设点()0,1M x ，若在圆22:+1O x y =上存在点N ，使得45OMN ∠=︒，则0x 的取值范围是（ ）A.[－1,1]B.11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C.⎡⎣D.22⎡-⎢⎣⎦二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.甲，乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为_______.14. 函数x x x f cos sin 2)sin()(ϕϕ-+=的最大值为________.15. 偶函数)(x f y =的图像关于直线2=x 对称，3)3(=f ，则)1(-f =________. 16.数列}{n a 满足2,1181=-=+a a a nn ，则=1a ________. 三、解答题：17.（本小题满分12分）四边形ABCD 的内角A 与C 互补，2,3,1====DA CD BC AB . （1）求C 和BD ；（2）求四边形ABCD 的面积.18.（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 是PD 的中点.（1）证明：PB //平面AEC ；（2）设1,3AP AD ==，三棱锥P ABD -的体积34V =，求A 到平面PBC 的距离.19.（本小题满分12分）某市为了考核甲、乙两部门的工作情况，随机访问了50位市民，根据这50位市民对这两—部门的评分（评分越高表明市民的评价越高），绘制茎叶图如下：（1）分别估计该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数；（2）分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率；（3）根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价.20.（本小题满分12分）设12,F F 分别是椭圆C:22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点，M 是C 上一点且2MF 与x 轴垂直，直线1MF 与C 的另一个交点为N . （1）若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率； （2）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且1||5||MN F N =，求,a b .21.（本小题满分12分）已知函数32()32f x x x ax =-++，曲线()y f x =在点(0,2)处的切线与x 轴交点的横坐标为2-. （1）求a ；（2）证明：当1k <时，曲线()y f x =与直线2y kx =-只有一个交点.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，P 是O 外一点，PA 是切线，A 为切点，割线PBC 与O 相交于,B C ，2PC PA =，D 为PC 的中点，AD 的延长线交O 于点E .证明：（1）BE EC =； （2）22AD DE PB ⋅=23.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ,[0,]2πρθθ=∈.（1）求C 得参数方程；（2）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线:2l y =+垂直，根据（1）中你得到的参数方程，确定D 的坐标.24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数1()||||(0)f x x x a a a=++-> （1）证明：()2f x ≥；（2）若(3)5f <，求a 的取值范围.2014年普通高等学校招生全国统一考试（2 新课标Ⅱ卷）数学(文)试题参考答案：参考答案1．B 【解析】试题分析：由已知得，{}21B =，-，故{}2A B =，选B ． 考点：集合的运算． 2．B 【解析】试题分析：由已知得，131i i+-(13)(1i)2412(1i)(1i)2i ii ++-+===-+-+，选B ． 考点：复数的运算．3．C 【解析】试题分析：若0x x =是函数()f x 的极值点，则'0()0f x =；若'0()0f x =，则0x x =不一定是极值点，例如3()f x x =，当0x =时，'(0)0f =，但0x =不是极值点，故p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件，选C ．考点：1、函数的极值点；2、充分必要条件． 4．A 【解析】试题分析：由已知得，22210a a b b +⋅+=，2226a a b b -⋅+=，两式相减得，44a b ⋅=，故1a b ⋅=．考点：向量的数量积运算． 5．A 【解析】试题分析：由已知得，2428a a a =⋅，又因为{}n a 是公差为2的等差数列，故2222(2)(6)a d a a d +=⋅+，22(4)a +22(12)a a =⋅+，解得24a =，所以2(2)n a a n d =+-2n =，故1()(n 1)2n n n a a S n +==+．【考点】1、等差数列通项公式；2、等比中项；3、等差数列前n 项和． 6．C 【解析】 试题分析：由三视图还原几何体为一个小圆柱和大圆柱组成的简单组合体．其中小圆柱底面半径为2、高为4，大圆柱底面半径为3、高为2，则其体积和为22243234πππ⨯⨯+⨯⨯=，而圆柱形毛坯体积为23654ππ⨯⨯=，故切削部分体积为20π，从而切削的部分的体积与原来毛坯体积的比值为20105427ππ=． 考点：三视图． 7．C 【解析】 试题分析：如下图所示，连接AD ，因为ABC ∆是正三角形，且D 为BC 中点，则AD BC ⊥，又因为1BB ⊥面ABC ，故1BB AD ⊥，且1BB BC B =，所以AD ⊥面11BCC B ，所以AD 是三棱锥11A B DC -的高，所以111111133A B DC B DC V S AD -∆=⋅==．考点：1、直线和平面垂直的判断和性质；2、三棱锥体积． 8．D 【解析】试题分析：输入2,2x t ==，在程序执行过程中，,,M S k 的值依次为1,3,1M S k ===；2,5,2M S k ===；2,7,3M S k ===，程序结束，输出7S =． 考点：程序框图． 9．B 【解析】试题分析：画出可行域，如图所示，将目标函数2z x y =+变形为122zy x =-+，当z 取到最大值时，直线122z y x =-+的纵截距最大，故只需将直线12y x =-经过可行域，尽可能平移到过A 点时，z 取到最大值． 10330x y x y --=⎧⎨-+=⎩，得(3,2)A ，所以max z 3227=+⨯=．考点：线性规划． 10．C 【解析】试题分析：由题意，得3(,0)4F ．又因为0k tan 30==故直线AB 的方程为3y )4=-，与抛物线2=3y x 联立，得21616890x x -+=，设1122(x ,y ),(x ,y )A B ，由抛物线定义得，12x x AB p =++= 168312162+=，选C ． 考点：1、抛物线的标准方程；2、抛物线的定义． 11．D 【解析】试题分析：'1()f x k x =-，由已知得'()0f x ≥在()1,x ∈+∞恒成立，故1k x≥，因为1x >，所以101x<<，故k 的取值范围是[)1,+∞． 【考点】利用导数判断函数的单调性．12．A【解析】试题分析：依题意，直线MN 与圆O 有公共点即可，即圆心O 到直线MN 的距离小于等于1即可，过O 作OA ⊥MN ，垂足为A ，在Rt OMA ∆中，因为OMA ∠045=，故0sin 45OA OM ==1≤，所以OM ≤≤011x -≤≤．考点：1、解直角三角形；2、直线和圆的位置关系．13．13 【解析】试题分析：甲，乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种有9种不同的结果，分别为（红，红），（红，白），（红，蓝），（白，红），（白，白），（白，蓝），（蓝，红），（蓝，白），（蓝，蓝）．他们选择相同颜色运动服有3种不同的结果，即（红，红），（白，白），（蓝，蓝），故他们选择相同颜色运动服的概率为3193P ==． 考点：古典概型的概率计算公式．14．1【解析】试题分析：由已知得，()sin cos cos sin 2cos sin f x x x x ϕϕϕ=+-sin cos cos sin x x ϕϕ=-sin()x ϕ=-1≤，故函数x x x f cos sin 2)sin()(ϕϕ-+=的最大值为1．考点：1、两角和与差的正弦公式；2、三角函数的性质．15．3【解析】试题分析：因为)(x f y =的图像关于直线2=x 对称，故(3)(1)3f f ==，又因为)(x f y =是偶函数，故(1)(1)3f f -==．考点：1、函数图象的对称性；2、函数的奇偶性．16．12． 【解析】试题分析：由已知得，111n n a a +=-，82a =，所以781112a a =-=，67111a a =-=-，56112a a =-=， 451112a a =-=，34111a a =-=-，23112a a =-=，121112a a =-=．三、解答题（17）解：（I ）由题设及余弦定理得2222cos BD BC CD BC CD C =+-⋅=1312cos C - ， ①2222cos BD AB DA AB DA A =+-⋅54cos C =+. ②由①，②得1cos 2C =，故060C =，7BD = （Ⅱ）四边形ABCD 的面积11sin sin 22S AB DA A BC CD C =⋅+⋅ 011(1232)sin 6022=⨯⨯+⨯⨯ 23=（18）解：（I ）设BD 与AC 的交点为O ，连结EO.因为ABCD 为矩形，所以O 为BD 的中点，又E 为PD 的中点，所以EO ∥PB.EO ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC,所以PB ∥平面AEC.（Ⅱ）V 166PA AB AD AB =⋅⋅=.由4V =，可得32AB =.作AH PB ⊥交PB 于H 。
数学_2014年某校高考数学二模试卷(文科)(含答案)
2014年某校高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 集合P ={3, 4, 5}，Q ={6, 7}，定义P ∗Q ={(a, b)|a ∈P, b ∈Q}，则P ∗Q 的子集个数为（ ）A 7B 12C 32D 64 2. 已知复数a−2i i=b +i （a ，b ∈R ，i 为虚数单位），则a −2b =( )A 1B 2C 3D 43. “p 或q 为真命题”是“p 且q 为真命题”的（ ）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件 4. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A 6B 8C 10D 12 5. 已知数阵[a 11a 12a 13a 21a 22a 23a 31a 32a 33]中，每行的3个数依次成等差数列，每列的3个数也依次成等差数列，若a 22=8，则这9个数的和为（ ） A 16 B 32 C 36 D 726. 如图所示的程序框图，它的输出结果是（ ）A 3B 4C 5D 67. 已知三个实数2，m ，8构成一个等比数列，则圆锥曲线x 2m +y 22=1的离心率为（ ）A √22 B √3 C √22或√3 D √22或√628. 若a ≥0，b ≥0，且当{x ≥0y ≥0x +y ≤1时，恒有ax +by ≤1，则以a ，b 为坐标的点P(a, b)所形成的平面区域的面积是（ ） A 12B π4C 1D π29. 在平行四边形ABCD 中，AD =1，∠BAD =60∘，E 为CD 的中点．若AD →⋅BE →=12，则AB的长为（ ）A 12B 1C 32D 210. 过抛物线y 2=2px(p >0)的焦点F ，斜率为43的直线交抛物线于A ，B 两点，若AF →=λFB →(λ>1)，则λ的值为（ ） A 5 B 4 C 43 D 5211. 已知函数f(x)对定义域R 内的任意x 都有f(x)＝f(4−x)，且当x ≠2时其导函数f′(x)满足xf′(x)>2f′(x)，若2<a <4则（ ）A f(2a )<f(3)<f(log 2a)B f(3)<f(log 2a)<f(2a )C f(log 2a)<f(3)<f(2a )D f(log 2a)<f(2a )<f(3)12. 函数f(x)={1−|x −1|,x ∈[0,2]12f(x −2)，x ∈(2,+∞)，则下列说法中正确命题的个数是（ ）①函数y =f(x)−ln(x +1)有3个零点；②若x >0时，函数f(x)≤kx 恒成立，则实数k 的取值范围是[32, +∞)；③函数f(x)的极大值中一定存在最小值；④f(x)=2k f(x +2k)，(k ∈N)，对于一切x ∈[0, +∞)恒成立． A 1 B 2 C 3 D 4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在答题纸的相应位置． 13. 若非零向量a →、b →，满足|a →|=|b →|，且(2a →+b →)⋅b →=0，则a →与b →的夹角大小为________． 14. 函数f(x)=sinx +cosx ，在各项均为正数的数列{a n }中对任意的n ∈N ∗都有f(a n +x)=f(a n −x)成立，则数列{a n }的通项公式可以为（写一个你认为正确的）________． 15. 将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数a ，b ，则直线ax +by =0与圆(x −2)2+y 2=2有公共点的概率为________．16. 已知四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1中，侧棱AA 1⊥底面ABCD ，AA 1=2，底面ABCD 的边长均大于2，且∠DAB =45∘，点P 在底面ABCD 内运动且在AB ，AD 上的射影分别为M ，N ，若|PA|=2，则三棱锥P −D 1MN 体积的最大值为________．三、解答题：本大题共6个小题，共70分．解答应写文字说明、证明过程或演算步骤 17. 在△ABC 中，已知角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，直l 1:ax +y +1=0与直线l 2：(b 2+c 2−bc)x +ay +4=0互相平行（其中a ≠4） （1）求角A 的值，（2）若B ∈[π2，2π3)，求sin 2A+C 2+cos2B 的取值范围．18. 从某学校的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm 和195cm 之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[155, 160)，第二组[160, 165)，…，第八组[190, 195]，右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人． （1）求第七组的频率；（2）估计该校的800名男生的身高的中位数以及身高在180cm 以上（含180cm ）的人数； （3）若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为x ，y ，事件E ={|x −y|≤5}，事件F ={|x −y|>15}，求P(E ∪F)．19. 如图，四边形ABCD 中，AB ⊥AD ，AD // BC ，AD =6，BC =4，AB =2，E 、F 分别在BC 、AD 上，EF // AB ．现将四边形ABEF 沿EF 折起，使得平面ABEF ⊥平面EFDC ．（1）当BE =1，是否在折叠后的AD 上存在一点P ，且AP →=λPD →，使得CP // 平面ABEF ？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由；（2）设BE =x ，问当x 为何值时，三棱锥A −CDF 的体积有最大值？并求出这个最大值． 20. 已知函数f(x)=e x ，若函数g(x)满足f(x)≥g(x)恒成立，则称g(x)为函数f(x)的下界函数．（1）若函数g(x)=kx 是f(x)的下界函数，求实数k 的取值范围；（2）证明：对任意的m ≤2，函数ℎ(x)=m +lnx 都是f(x)的下界函数．21. 已知F 1、F 2是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点，O 为坐标原点，点P(−1, √22)在椭圆上，线段PF 2与y 轴的交点M 满足PM →+F 2M →=0→.(1)求椭圆的标准方程；(2)圆O 是以F 1F 2为直径的圆，一直线l:y =kx +m 与圆O 相切，并与椭圆交于不同的两点A 、B ，当OA →⋅OB →=λ且满足23≤λ≤34时，求△OAB 的面积S 的取值范围．四、选做题：请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分【选修4-1：几何证明选讲】22. 选修4一1：几何证明选讲如图，C是以AB为直径的半圆O上的一点，过C的直线交直线AB于E，交过A点的切线于D，BC // OD．（1）求证：DE是圆O的切线；（2）如果AD=AB=2，求EB．【选修4-4：坐标系与参数方程】23. 在极坐标系内，已知曲线C1的方程为ρ2−2ρ(cosθ−2sinθ)+4=0，以极点为原点，极轴方向为x正半轴方向，利用相同单位长度建立平面直角坐标系，曲线C2的参数方程为{5x=1−4t5y=18+3t（t为参数）．（1）求曲线C1的直角坐标方程以及曲线C2的普通方程；（2）设点P为曲线C2上的动点，过点P作曲线C1的两条切线，求这两条切线所成角余弦的最小值．【选修4-5：不等式选讲】24. 设函数f(x)＝|2x+1|−|x−4|．（1）求不等式f(x)>2的解集；（2）求函数f(x)的最小值．2014年某校高考数学二模试卷（文科）答案1. D2. C3. B4. D5. D6. C7. C8. C9. D10. B11. C12. B13. 120∘14. a n=(n−34)π(n∈Z)15. 71216. 13(√2−1)17. 解：（1）l1 // l2，得a2=b2+c2−bc(a≠4)即b2+c2−a2=bc…∴ cosA=b2+c2−a22bc =bc2bc=12∵ A∈(0, π)，∴ A=π3．…（2）sin2A+C2+cos2B=cos2B2+2cos2B−1=cosB+12+2cos2B−1=2cos2B+12cosB−1 2=2(cosB+18)2−1732…∵ B∈[π2，2π3), ∴ cosB∈(−12，0]…∴ 2(cosB+18)2−1732∈[−1732,−14)…即sin2A+C2+cos2B的取值范围为[−1732，−14)…18. 解：（1）第六组的频率为450=0.08，所以第七组的频率为1−0.08−5×(0.008×2+0.016+0.04×2+0.06)=0.06；（2）身高在第一组[155, 160)的频率为0.008×5=0.04，身高在第二组[160, 165)的频率为0.016×5=0.08，身高在第三组[165, 170)的频率为0.04×5=0.2，身高在第四组[170, 175)的频率为0.04×5=0.2，由于0.04+0.08+0.2=0.32<0.5，0.04+0.08+0.2+0.2=0.52>0.5估计这所学校的800名男生的身高的中位数为m，则170<m<175由0.04+0.08+0.2+(m−170)×0.04=0.5得m=174.5所以可估计这所学校的800名男生的身高的中位数为174.5由直方图得后三组频率为0.06+0.08+0.008×5=0.18，所以身高在180cm以上（含180cm）的人数为0.18×800=144人．（3）第六组[180, 185)的人数为4人，设为a，b，c，d，第八组[190, 195]的人数为2人，设为A，B，则有ab，ac，ad，bc，bd，cd，aA，bA，cA，dA，aB，bB，cB，dB，AB共15种情况，因事件E={|x−y|≤5}发生当且仅当随机抽取的两名男生在同一组，所以事件E包含的基本事件为ab，ac，ad，bc，bd，cd，AB共7种情况，故P(E)=715．由于|x−y|max=195−180=15，所以事件F={|x−y|>15}是不可能事件，P(F)=0由于事件E和事件F是互斥事件，所以P(E∪F)=P(E)+P(F)=715．19. CP // 平面ABEF成立．（2）∵ 平面ABEF⊥平面EFDC，ABEF∩平面EFDC=EF，AF⊥EF，∴ AF⊥平面EFDC，∵ BE=x，∴ AF=x，(0<x<4)，FD=6−x，故三棱锥A−CDF的体积V=13×12×2×(6−x)x=13[−(x−3)2+9]=−13(x−3)2+3，∴ x =3时，三棱锥A −CDF 的体积V 有最大值，最大值为3． 20. 解：（1）若g(x)=kx 为f(x)=e x 的下界函数，易知k <0不成立，而k =0必然成立． 当k >0时，若g(x)=kx 为f(x)=e x 的下界函数，则f(x)≥g(x)恒成立， 即e x −kx ≥0恒成立．令ϕ(x)=e x −kx ，则ϕ′(x)=e x −k ．易知函数ϕ(x)在(−∞, lnk)单调递减，在(lnk, +∞)上单调递增．由ϕ(x)≥0恒成立得ϕ(x)min =ϕ(lnk)=k −klnk ≥0，解得0<k ≤e ． 综上知0≤k ≤e ．（2）由（1）知函数G(x)=ex 是f(x)=e x 的下界函数，即f(x)≥G(x)恒成立． 由于 m ≤2，构造函数F(x)=ex −lnx −m(x >0)， 则 F′(x)=e −1x =ex−1x，易知F(x)min =F(1e )=2−m ≥0，即ℎ(x)=m +lnx 是G(x)=ex 的下界函数， 即G(x)≥ℎ(x)恒成立．所以f(x)≥G(x)≥ℎ(x)恒成立，即m ≤2时，ℎ(x)=m +lnx 是f(x)=e x 的下界函数． 21. 解：(1)∵ PM →+F 2M →=0→， ∴ 点M 是线段PF 2的中点， ∴ OM 是△PF 1F 2的中位线， 又OM ⊥F 1F 2， ∴ PF 1⊥F 1F 2，∴ {c =11a 2+12b 2=1a 2=b 2+c 2，解得a 2=2，b 2=1，c 2=1， ∴ 椭圆的标准方程为x 22+y 2=1． (2)∵ 圆O 与直线l 相切， ∴√k 2+1=1，即m 2=k 2+1，由{x 22+y 2=1y =kx +m，消去y ， 得：(1+2k 2)x 2+4kmx +2m 2−2=0， ∵ 直线l 与椭圆交于两个不同点， ∴ Δ>0，∴ k 2>0，设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)， 则x 1+x 2=−4km1+2k 2，x 1x 2=2m 2−21+2k 2，y 1y 2=(kx 1+m)(kx 2+m) =k 2x 1x 2+km(x 1+x 2)+m 2 =m 2−2k 21+2k 2，OA →⋅OB →=x 1x 2+y 1y 2=1+k 21+2k 2=λ，∵ 23≤λ≤34，∴ 23≤1+k 21+2k 2≤34，解得：12≤k 2≤1， S =S △AOB =12|AB|⋅1=12√1+k 2√(−4km 1+2k 2)2−42m 2−21+2k 2 =√2(k 4+k 2)4(k 4+k 2)+1，设μ=k 4+k 2，则34≤μ≤2，S =√2μ4μ+1=√24+1μ，μ∈[34，2]，∴ S 关于μ在[34,2]上单调递增， S(34)=√64，S(2)=23．∴√64≤S ≤23．22. （1）证：连接AC ，AB 是直径，则BC ⊥AC由BC // OD ⇒OD ⊥AC则OD 是AC 的中垂线⇒∠OCA =∠OAC ，∠DCA =∠DAC ，⇒∠OCD =∠OCA +∠DCA =∠OAC +∠DAC =∠DAO =90∘． ⇒OC ⊥DE ，所以DE 是圆O 的切线．（2） BC // OD ⇒∠CBA =∠DOA ，∠BCA =∠DAO ⇒△ABC ∽△AOD ⇒BC OA =AB OD ⇒BC =OA ⋅AB OD =1×2√5=2√55⇒BC OD =25⇒BE OE =25⇒BE OB =23 ⇒BE =2323. 解：（1）对于曲线C 1的方程为ρ2−2ρ(cosθ−2sinθ)+4=0，可化为直角坐标方程x 2+y 2−2x +4y +4=0，即(x −1)2+(y +2)2=1； 对于曲线C 2的参数方程为{5x =1−4t5y =18+3t（t 为参数），可化为普通方程3x +4y −15=0．（2）过圆心(1, −2)点作直线3x +4y −15=0的垂线，此时两切线成角θ最大，即余弦值最小．则由点到直线的距离公式可知，d =√32+42=4，则sin θ2=14，因此，cosθ=1−2sin 2θ2=78，因此两条切线所成角的余弦值的最小值是78．24. ①由{−x −5>2x <−12 ，解得x <−7； ②{3x −3>2−12≤x ≤4 ，解得53<x ≤4；③{x +5>2x >4，解得x >4；综上可知不等式的解集为{x|x <−7或x >53}．如图可知f(x)min =−92．。
数学_2014年上海市某校高考数学二模试卷(六)(文科)_(含答案)
2014年上海市某校高考数学二模试卷（六）（文科）一、填空题（共14小题，每小题0分，满分39分） 1. 方程组{x −2y −5=03x +y =8的增广矩阵为________．2. 已知集合M ={x|x 2<4, x ∈R}，N ={x|log 2x >0}，则集合M ∩N =________．3. 若Z 1=a +2i ，Z 2=|12i23|，且z 1z 2为实数，则实数a 的值为________．4. 用二分法研究方程x 3+3x −1=0的近似解x =x 0，借助计算器经过若干次运算得下表：05. 已知e →1、e →2是夹角为π2的两个单位向量，向量a →=e →1−2e →2，b →=ke →1+e →2，若a → // b →，则实数k 的值为________．6. 某工厂对一批产品进行抽样检测，根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图如图所示，已知产品净重的范围是区间[96, 106]，样本中净重在区间[96, 100)的产品个数是24，则样本中净重在区间[100, 104)的产品个数是________．7. 一个圆锥的底面积为4π，且该圆锥的母线与底面所成的角为π3，则该圆锥的侧面积为________．8. 公差为d ，各项均为正整数的等差数列{a n }中，若a 1=1，a n =65，则n +d 的最小值等于________．9. 设双曲线x 2−y 2=6的左右顶点分别为A 1、A 2，P 为双曲线右支上一点，且位于第一象限，直线PA 1、PA 2的斜率分别为k 1、k 2，则k 1⋅k 2的值为________．10. 设△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边长依次为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为S ，且S =a 2−(b −c)2，则sinA 1−cosA=________．11. 袋中装有7个大小相同的小球，每个小球上标记一个正整数号码，号码各不相同，且成等差数列，这7个号码的和为49，现从袋中任取两个小球，则这两个小球上的号码均小于7的概率为________．12. 设f(x)=ax 2+bx ，且1≤f(−1)≤2，2≤f(1)≤4，则f(2)的最大值为________． 13. 已知△ABC 的重心为O ，AC =6，BC =7，AB =8，则AO →⋅BC →=________．14. 设f(x)是定义在R 上的函数，若f(0)=18，且对任意的x ∈R ，满足f(x +2)−f(x)≤3x ，f(x +4)−f(x +2)≥9×3x ，则f(8)=________．二、选择题（共4小题，每小题3分，满分12分） 15. 二项式(x −1x )6展开式中x 4的系数为（ ）A 15B −15C 6D −616. 在△ABC 中，“AB →⋅AC →<0”是“△ABC 是钝角三角形”的（ ）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件 17. 设函数f(x)=|sinx|+cos2x,x ∈[−π2，π2]，则函数f(x)的最小值是（ ） A −1 B 0 C 12D 9818. 给出下列四个命题：①如果复数z 满足|z +i|+|z −i|=2，则复数z 在复平面的对应点的轨迹是椭圆．②若对任意的n ∈N ∗，(a n+1−a n −1)(a n+1−2a n )=0恒成立，则数列{a n }是等差数列或等比数列．③设f(x)是定义在R 上的函数，且对任意的x ∈R ，|f(x)|=|f(−x)|恒成立，则f(x)是R 上的奇函数或偶函数． ④已知曲线C ：√x 29−√y 216=1和两定点E(−5, 0)、F(5, 0)，若P(x, y)是C 上的动点，则||PE|−|PF||<6．上述命题中错误的个数是（ ） A 1 B 2 C 3 D 4三、解答题（共5小题，满分74分） 19.如图，在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，∠BAC =π2，AB =AC =2，AA 1=6，点E 、F 分别在棱AA 1、CC 1上，且AE =C 1F =2．(1)求三棱锥A 1−B 1C 1F 的体积；(2)求异面直线BE 与A 1F 所成的角的大小．20. 如图，在半径为20cm的半圆形（O为圆心）铝皮上截取一块矩形材料ABCD，其中点A、B在直径上，点C、D在圆周上．（1）请你在下列两个小题中选择一题作答即可：①设∠BOC=θ，矩形ABCD的面积为S=g(θ)，求g(θ)的表达式，并写出θ的范围．②设BC=x(cm)，矩形ABCD的面积为S=f(x)，求f(x)的表达式，并写出x的范围．（2）怎样截取才能使截得的矩形ABCD的面积最大？并求最大面积．21. 已知椭圆E的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，且经过M(2,1),N(2√2，0)两点．（1）求椭圆E的方程；（2）若平行于OM的直线l在y轴上的截距为b(b<0)，直线l交椭圆E于两个不同点A、B，直线MA与MB的斜率分别为k1、k2，求证：k1+k2=0．22. 已知函数f(x)=x|x−a|−1，x∈R．4（1）当a=1时，指出f(x)的单调递减区间和奇偶性（不需说明理由）；（2）当a=1时，求函数y=f(2x)的零点；（3）若对任何x∈[0, 1]不等式f(x)<0恒成立，求实数a的取值范围．23. 过坐标原点O作倾斜角为60∘的直线交抛物线Γ：y2=x于P1点，过P1点作倾斜角为120∘的直线交x轴于Q1点，交Γ于P2点；过P2点作倾斜角为60∘的直线交x轴于Q2点，交Γ于P3点；过P3点作倾斜角为120∘的直线，交x轴于Q3点，交Γ于P4点；如此下去…．又设线段OQ1，Q1Q2，Q2Q3，…，Q n−1Q n，…的长分别为a1，a2，a3，…，a n，…，数列{a n}的前n项的和为S n．（1）求a1，a2；（2）求a n，S n；（3）设b n=a a n(a>0且a≠1)，数列{b n}的前n项和为T n，若正整数p，q，r，s成等差数列，且p<q<r<s，试比较T p⋅T s与T q⋅T r的大小．2014年上海市某校高考数学二模试卷（六）（文科）答案]1. [1−253182. {x|1<x<2}3. −324. 5.35. −126. 447. 8π8. 179. 1 10. 4 11. 1712. 14 13. −283 14.6561815. D 16. A 17. B 18. B19. 解：(1)在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，FC 1⊥平面A 1B 1C 1， 故FC 1=2是三棱锥A 1−B 1C 1F 的高．而直角三角形的S △A 1B 1C 1=12A 1B 1×A 1C 1=12×2×2=2．∴ 三棱锥A 1−B 1C 1F 的体积=V F−A 1B 1C 1 =13S △A 1B 1C 1×FC 1 =13×2×2=43． (2)连接EC ，∵ A 1E // FC ，A 1E =FC =4， ∴ 四边形A 1ECF 是平行四边形， ∴ A 1C // EC ，∴ ∠BEC 是异面直线A 1F 与BE 所成的角或其补角．∵ AE ⊥AB ，AE ⊥AC ，AC ⊥AB ，AE =AB =AC =2， ∴ EC =EB =BC =2√2． ∴ △BCE 是等边三角形．∴ ∠BEC =60∘，即为异面直线BE 与A 1F 所成的角．20. 解：如图所示，（1）①连接OC ，设∠BOC =θ，矩形ABCD 的 面积为S ，则BC =20sinθ，OB =20cosθ（其中0<θ<π2）；∴ S =AB ⋅BC =2OB ⋅BC =400sin2θ，且当sin2θ=1，即θ=π4时，S 取最大值为400，此时BC =10√2；所以，取BC =10√2时，矩形ABCD 的面积最大，最大值为400cm 2．②连接OC ，设BC =x ，矩形ABCD 的面积为S ；则AB =2√400−x 2（其中0<x <30）， ∴ S =2x√400−x 2=2√x 2(400−x 2)≤x 2+(400−x 2)=400，当且仅当x 2=400−x 2，即x =10√2时，S 取最大值400；所以，取BC =10√2cm 时，矩形ABCD 的面积最大，最大值为400cm 2．（2）由（1）知，取∠BOC =π4时，得到C 点，从而截得的矩形ABCD ，此时截得的矩形ABCD 的面积最大，最大值为400cm 2． 21. 解：（1）设椭圆E 的方程为mx 2+ny 2=1(m >0, n >0, m ≠n) 将M(2,1),N(2√2，0)代入椭圆E 的方程，得{4m +n =18m =1解得m =18，n =12，所以椭圆E 的方程为x 28+y 22=1．（2）∵ 直线l 平行于OM ，且在y 轴上的截距为b ，又k OM =12， ∴ 直线l 的方程为y =12x +b ．由{y =12x +bx 28+y 22=1得x 2+2bx +2b 2−4=0，设A(x 1, y 1)、B(x 2, y 2)，则x 1+x 2=−2b ，x 1x 2=2b 2−4． 又k 1=y 1−1x 1−2，k 2=y 2−1x 2−2，故k 1+k 2=y 1−1x 1−2+y 2−1x 2−2=(y 1−1)(x 2−2)+(y 2−1)(x 1−2)(x 1−2)(x 2−2)．又y 1=12x 1+b ，y 2=12x 2+b ，所以上式分子=(12x 1+b −1)(x 2−2)+(12x 2+b −1)(x 1−2)=x 1x 2+(b −2)(x 1+x 2)−4(b −1)=2b 2−4+(b −2)(−2b)−4(b −1)=0 故k 1+k 2=0．22. 解：（1）当a=1时，函数的单调递减区间为[12，1]…函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数．…（2）当a=1时，f(x)=x|x−1|−14，由f(2x)=0得2x|2x−1|−14=0…即{2x≥1(2x)2−2x−14=0或{2x<1(2x)2−2x+14=0…解得2x=1+√22或2x=1−√22(舍)，或2x=12所以x=log21+√22=log2(1+√2)−1或x=−1．…（3）当x=0时，a取任意实数，不等式f(x)<0恒成立，故只需考虑x∈(0, 1]，此时原不等式变为|x−a|<14x即x−14x <a<x+14x…故(x−14x )max<a<(x+14x)min，x∈(0,1]又函数g(x)=x−14x 在(0, 1]上单调递增，∴ (x−14x)max=g(1)=34…函数ℎ(x)=x+14x 在(0,12]上单调递减，在[12，1]上单调递增，∴ (x+14x )min=ℎ(12)=1；所以34<a<1，即实数a的取值范围是(34，1)．…23. 解：（1）如图，由△OQ1P1是边长为a1的等边三角形，得点P1的坐标为(a12，√3a12)，又∵ P1(a12，√3a12)在抛物线y2=x上，∴ 3a124=a12，得a1=23…同理根据P2(23+a22，−√3a22)在抛物线y2=x上，可得a2=43…（2）如图，因为点Q n−1的坐标为(a 1+a 2+a 3+...+a n−1, 0)，即点(S n−1, 0)（点Q 0与原点重合，S 0=0）， 所以直线Q n−1P n 的方程为y =√3(x −S n−1)或y =−√3(x −S n−1)，因此，点P n 的坐标满足{y 2=x|y|=√3(x −S n−1)消去x 得√3y 2−|y|−√3S n−1=0，所以|y|=√1+12S n−12√3…又|y|=a n ⋅sin60∘=√32a n，故3a n =1+√1+12S n−1从而3a n 2−2a n =4S n−1…①由①有3a n+12−2a n+1=4S n …②②-①得3(a n+12−a n 2)−2(a n+1−a n )=4a n即(a n+1+a n )(3a n+1−3a n −2)=0，又a n >0，于是a n+1−a n =23 所以{a n }是以23为首项、23为公差的等差数列，a n =a 1+(n −1)d =23n由此可得：S n =(a 1+a n )n2=13n(n +1)…（3）∵b n+1b n=a2(n+1)3a 2n 3=a 23，∴ 数列{b n }是正项等比数列，且公比q 0=a 23≠1，首项b 1=a 23=q 0，∵ 正整数p ，q ，r ，s 成等差数列，且p <q <r <s ，设其公差为d ，则d 为正整数， ∴ q =p +d ，r =p +2d ，s =p +3d 则T p =b 1(1−q 0p)1−q 0，T q =b 1(1−q 0p+d)1−q 0，T r =b 1(1−q 0p+2d)1−q 0，T s =b 1(1−q 0p+3d)1−q 0…T p ⋅T s −T q ⋅T r =b 12(1−q0)2⋅[(1−q 0p)(1−q 0p+3d)−(1−q 0p+d)(1−q 0p+2d )]=b 12(1−q0)2⋅[(q 0p+d+q 0p+2d)−(q 0p+q 0p+3d)]…而(q 0p+d +q 0p+2d )−(q 0p +q 0p+3d )=q 0p (q 0d −1)−q 0p+2d (q 0d −1)=(q 0d −1)(q 0p −q 0p+2d )=(q 0d −1)q 0p (1−q 02d )=−q 0p (q 0d −1)(q 02d−1)… 由于a >0且a ≠1，可得q 0=a 23>0且q 0≠1，又∵ d 为正整数，∴ (q 0d −1)与(q 02d −1)同号，因此，−q 0p (q 0d −1)(q 02d−1)<0，可得T p ⋅T s <T q ⋅T r ．综上所述，可得若正整数p ，q ，r ，s 成等差数列，且p <q <r <s ，必定有T p ⋅T s <T q ⋅T r ．…。
【数学】上海市闸北区2014届高三模拟考试(文)
闸北区2013-2014学年高三年级五月考试数 学 试 卷（文科）一. 填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸上相应编号的空格 内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1.函数x x f 2sin )(=的最小正周期为=T π ,2. 函数)1(log 2-=x y 的反函数为____R x y x ∈+=,12___3. 已知集合},11{R x x x A ∈<-=,}034{2<+-=x x x B ，则B A =___)2,1(__4. 已知)0,2(,53cos πx x -∈=， 则11cos sin x x =____57-____5. 设i 是虚数单位，复数i +1为方程)(022R m m x x ∈=+-的一个根，则m =____2_____．6. 6)1xx +（的展开式中2x 的系数为________15_____．（用数字作答）7. 设实数y x ,满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-≤+011y x y x y ,则目标函数y x k -=2的最大值为___2_______.8. 从4名男同学和3名女同学中随机选出3人参加演讲比赛,则男女同学都被抽到的概率为______76___ （用数字作答） 9. 某圆锥体的侧面展开图是半圆，当侧面积是π2时，则该圆锥体的体积是π33． 10. 已知ABC Δ的内角CB A ,,的对边分别为cb a ,,,且A a cBC b c sin )()sin )(sin (-=+-, 则=B ____3π___11. 已知一个正三棱柱的所有棱长均等于2，它的俯视图是一个边长为2的正三角形，那么它的左视图面积的最小值是____32____. 12. 对于正项数列{}n a ，定义nn na a a a nH +⋯+++=32132为{}n a 的“光阴”值，现知某数列的“光阴”值为21+=n H n ，则数列{}n a 的通项公式为____*,12N n na n ∈+=______ 13. 过点))(0,12*N n n ∈-（且方向向量为）（1,2的直线交椭圆1422=+y x 于n n B A ,两点，记原点为O ,n n B OA Δ面积为n S ,则=∞→n n S lim ____1____14. 将正整数21,2,3,4,,n （2n ≥）任意排成n 行n 列的数表.对于某一个数表，计算各行和各列中的任意两个数,a b （a b >）的比值ab，称这些比值中的最小值为这个数表的“特征值”，若ij a 表示某个n 行n 列数表中第i 行第j 列的数（1i n ≤≤，1j n ≤≤），且满足(1),(1),ij i j i n i j a i n i j n i j +--<⎧=⎨+-+-≥⎩， ，，当3=n 时数表的“特征值”为___34______新 网二. 选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分 15. 执行如图所示的程序框图．若输入3x =，则输出k 的值是( C )A ． 3B ．4C ． 5D ． 616. 某高中学校采用系统抽样方法，从该校全体800名学生中抽50名学生做牙齿健康检查。
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2014年闸北区高考数学(文科)二模卷一、填空题(54分)本大题共有9题，每个空格填对得6分，否则一律得零分. 1.设a ∈R ，i 是虚数单位.若复数i3i+-a 是纯虚数，则=a . 2.不等式x x>4的解集为______. 3.若2是a 2log 与b 2log 的等差中项，则b a +的最小值为______.4.设变量x y ，满足0,0,220,x x y x y ⎧⎪-⎨⎪--⎩………则y x z 23-=的最大值为______.5.若轴截面是正方形的圆柱的上、下底面圆周均位于一个球面上，且球与圆柱的体积分别为1V 和2V ，则21:V V 的值为 .6.设x ∈R ，向量)2,1(),1,(-==x ，且b a ⊥ ，则=+||______.7.如图，ABCD 是边长为60 cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，得A 、B 、C 、D 四个点重合于图中的点P ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E 、F 在AB 上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点.设x FB AE ==cm.若要使包装盒的侧面积最大，则x 的值为______. 8.设0>a ，n n a n a ⋅=，若{}n a 是单调递减数列，则实数a 的取值范围为______.9.已知集合{}m x y y x A +==|),(，{}mx y y x B ==|),(，若集合B A 中有且仅有两个元素，则实数m 的取值范围是 .二、选择题(18分)本大题共有3题，每题选对得6分，否则一律得零分.10.袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球，2个白球和3个黑球，从袋中任取两球，两球颜色不同的概率等于 ( ) A.158 B.53 C.32 D.151111.函数)0(sin )(>=ωωx M x f ，在区间[]b a ,上是增函数，且M a f -=)(，M b f =)(则函数x M x f ωc o s)(=在区间[]b a ,上( )A.是增函数B.是减函数C.可以取得最大值MD.可以取得最小值M - 12.现有某种细胞100个，其中有占约总数21的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律发展下去，经过10小时，细胞总数大约为 ( )A.3844个B.5766个C.8650个D.9998个 三、解答题(78分)本大题共有4题，请在答题纸内写出必要的步骤. 13.本题满分18分，第1小题满分9分，第2小题满分9分如右图，在正三棱柱111C B A ABC -中，=1AA 411=B A ，D 、E 分别为1AA 与11B A 的中点.(1)求异面直线D C 1与BE 的夹角； (2)求四面体1BDEC 体积.14.本题满分18分，第1小题满分8分，第2小题满分10分设函数xxx f 2323)(+-=R)(∈x . (1)求函数)(x f y =的值域和零点；(2)请判断函数)(x f y =的奇偶性和单调性，并给予证明.15.本题满分20分，第1小题满分10分，第2小题满分10分设{}n a 是正数组成的数列，其前n 项和为n S ，并且对任意的*∈N n ，n a 与2的等差中项等于n S 与2的等比中项.(1)求证：数列{}n a 的通项公式为24-=n a n ；(2)已知数列{}n b 是以2为首项，公比为3的等比数列，其第n 项恰好是数列{}n a 的第r项，求nn r3lim ∞→的值.16.本题满分22分，第1小题满分6分，第2小题满分16分已知反比例函数xy 1=的图像C 是以x 轴与y 轴为渐近线的等轴双曲线. (1)求双曲线C 的顶点坐标与焦点坐标；(2)设直线l 过点)4,0(P ，且与双曲线C 交于A 、B 两点，与x 轴交于点Q .① 求A 、B 中点M 的轨迹方程；② 当21λλ==，且821-=+λλ时，求点Q 的坐标.2014年闸北区高考数学(文科)二模卷一、填空题 1.13【解析】 由题意得i (i)(3i)3i (3i)(3i)a a ---==++-23i 3i i (31)(3)i 1010a a a a --+--+=313i 1010a a -+=-，又复数为纯虚数，所以31010a -=，所以13a =.2. (0,2)【解析】当0x <时，4x x >-⇒240x x+>，显然0x <时不成立，当0x >时，4x x >⇒240x x-<，即02x <<，所以不等式的解集为(0,2). 3. 8【解析】由题得22log log 22a b +=⨯，所以2log 4ab =，42ab =，又0,0a b >>，所以8a b +=…，所以a b +的最小值为8.4. 3【解析】如图为不等式组00220x x y x y ⎧⎪-⎨⎪--⎩………表示的区域，如图所示，当其过点(1,0)A 时z取得最大值max 31203z =⨯-⨯=.5.【解析】因为圆柱截面为正方形，则圆柱高与底面直径长相等，设为2R ,又上下底面圆周均在同一球面上，则球面半径为=R .所以12V V=334π)32πR=6.【解析】a b ⊥则a b ⋅=0，所以x -2=0⇒x =2，得a =(2,1),b =(1,-2).a b +=7. 15【解析】由题意，AB =FB =x cm,则EF =(60-2x )cm,又阴影部分为等腰直角三角形，∴包装盒侧面高为2(60-2x)cm=(30-x )cm,由勾股定理，长为x cm.则侧面积为S 侧=-82x +240x =-82(15)x -+1800,所以当x =15cm 时，包装盒的侧面积最大,最大面积为18002cm .8.(0，12)【解析】1111(1)(1)n n n n n n n n a n a a n a a a n a n a ++++=⋅⇒=+⋅⇒-=+⋅-⋅，由于{}n a 是单调递减数列，所以1(1)0n n n a n a ++⋅-⋅<，110111n n a n a a n n +>⇒<=-++111a n ⇒<-+，111,112n n ∴-+厖.所以a 的取值范围是1(0,)2.9.(1,0-)【解析】当0,m A >中集合中所有元素为正，B 过(0,0)点，至多有一个交点.当0m =只有一个交点，所以0m <，如图，可知只有y m x =斜率大于1-时有两个交点，所以(1,0)m ∈-.二、选择题10.D 【解析】由题意知总共的抽法有26C ,任取两个球，其颜色相同的取法有2223C C +，所以任取两球颜色不同的取法有()222623C C C -+种，所以任取两球颜色不同的概率P =()22262326C C C C -+=1115.11. C 【解析】因为函数在给定区间内是增函数，且()sin f x M x ω=在,a b 处分别取得最小值和最大值，则知0M >,且π2π2a k ω=-+，π2π2b k ω=+，由正弦函数与余弦函数图像的关系，知()cos f x M x =ω在此区间内先增后减，∴()sin f x M x ω=在区间[a ,b ]上可以取得最大值M .故选C.12. B 【解析】由题意知细胞每次分裂之后都有一半的细胞在下一次具备分裂的能力，设100n =，经过一个小时有细胞数为32222n n n +⨯=，经过两个小时有细胞数为313122222n n ⨯+⨯⨯=29342n n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，以此规律即可得经过十小时细胞总数为1032n ⎛⎫⎪⎝⎭，把100n =代入关系式得细胞总数约为5766.三、解答题13.本题满分18分，第1小题满分9分，第2小题满分9分【解】(1)过点D 作BE DF //交AB 于点F ，连结1FC ,1C DF ∠即所求异面直线所成角(或补角)-----------2分 解得201=DC --------------------------------------------1分DF ， ----------------------------------------------1分∴FC===，又1CC =4，∴1FC=分由余弦定理，有DFDC FC DF DC DF C ⋅-+=∠12122112cos 51-=.--------------3分 所以，异面直线D C 1与BE 的夹角为51arccos .---------1分(2)DE==,BD=,△BDE的高为，∴12BDE S =⨯△，∴BDE △的面积为6，--------------------------------------2分∵111A B C △为等边三角形，E 为11A B 中点，∴1C E∴高为321=E C ， ----------------------------------------3分 四面体1BDEC 体积3432631=⨯⨯=V .------------4分14.本题满分18分，第1小题满分8分，第2小题满分10分【解】(1)xx x x f 23612323)(++-=+-=，02>x ，∴3+2x >3⇒0<132x +<13⇒0<632x+<2, 1)(1<<-∴x f ，故)(x f y =的值域为()1,1-；----------------------------------------6分令f(x)=0,即6132x=+，解得2log 3x =， ∴()y f x =的零点为.3log 2=x ----------------------------------------2分 (2)对任意的x ∈R ，)1(51752323)1(11f f ±=±≠=+-=---， ----------------------------------------2分 故)(x f y =是非奇非偶函数. ---------------------------------------2分 所以，对任意的12,x x ∈R ，21x x <，)23)(23()22(6236236)()(21122121x x x x x x x f x f ++-=+-+=-.-------------------------------2分 因为022,023,0231221>->+>+xx x x ，所以)()(21x f x f >. ----------------------------------------2分 故()y f x =在定义域R 上是减函数. ---------------------------------------2分15.本题满分20分，第1小题满分10分，第2小题满分10分 【解】(1)证法一：由题意0,222>=+n n n a S a ，得2)2(81+=n n a S当1=n 时，211)2(81+=a a ，得21=a ；--------------------------------------------------------2分 当2n …时，211)2(81+=++n n a S .所以，])2()2[(8122111+-+=-=+++n n n n n a a S S a .整理，得0)4)((11=--+++n n n n a a a a .---------------------------------------------------------4分由题意知01≠++n n a a ，所以41=-+n n a a .---------------------------------------------------2分 所以数列{}n a 为首项为2，公差为4的等差数列，即24-=n a n .-----------------------2分 证法二：用数学归纳法：1当1=n 时，21=a 符合题意； ---------------------------------------------------------2分 2假设k n =(k ∈*N )时，结论成立，即24-=k a k .-----------------------------------------1分由题意有k k S a 222=+， 将24-=k a k 代入上式，得k S k 22=，解得22k S k =. ------------------------------2分由题意有11222++=+k k S a ，即()21212222k a a k k +=⎪⎭⎫⎝⎛+++.整理，得016442121=-+-++k a a k k .由于01>+k a ，解得：2)1(4241-+=+=+k k a k .(k ∈*N )----------------------------------4分 综上所述，对所有的n ∈*N ，24-=n a n .---------------------------------------------------1分(2)由题意，24321-=⨯-r n ，解得2131+=-n r ，13-=n n T ，---------------6分61)13(213lim lim 1=-⨯+=∴-∞→∞→n n n nn T r . -------------------------------------------------4分 16.本题满分22分，第1小题满分6分，第2小题满分16分【解】(1)由题意得：顶点：)1,1(1--A 、)1,1(2A ， ---------------------------------2分 焦点：)2,2(1--F 、)2,2(2F 为焦点.--------------------------------------4分 (2)①直线l 斜率不存在或为0时显然不满足条件；设直线l ：4+=kx y (k ≠0)，),(11y x A ，),(22y x B ，(,)M x y ，---------------------1分将4+=kx y 代入xy 1=，得0142=-+x kx ， --------------------------------------1分 0416>+=∆k ，4->k ， --------------------------------------1分k x x 421-=+，k x x 121-=⋅， -------------------------------1分k x x x 2221-=+=，2221=+=y y y ， --------------------------------------1分()214,0,2k k ⎛⎫>-⇒-∈-∞+ ⎪⎝⎭∞， --------------------------------------2分所以，A 、B 中点M 的轨迹方程为2=y (()1,0,2x ⎛⎫∈-∞+ ⎪⎝⎭∞).-----------------------1分②直线l 斜率不存在或为0时显然不满足条件； -------------------------------------1分设直线l ：4+=kx y (k ≠0)，),(11y x A ，),(22y x B ，则)0,4(kQ ------------------------1分将4+=kx y 代入xy 1=，得0142=-+x kx ， --------------------------------------1分k x x 421-=+，kx x 121-=⋅. -------------------------------------1分21λλ== ，⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛--∴222111,4,44,4y k x y k x k λλ，-----------1分844442121-=+-++-=+kx kx λλ，即)4)(4(28)(2121++=++kx kx x x k ，解得2-=k ， --------------------------------------2分 )0,2(Q ∴. --------------------------------------1分解二：将k y x 4-=(k ≠0)代入xy 1=，得042=--k y y ， ----------------------------1分421=+y y ，k y y -=⋅21 -----------------------------------------1分21λλ==⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛--∴222111,4,44,4y k x y k x k λλ -----------------------------------------1分22114y y λλ==-∴，114y -=∴λ，224y -=λ.又821-=+λλ，21121=+y y ，即21212y y y y =+.2)(24-=⇒-=∴k k ， --------------------------------------2分 )0,2(Q ∴. --------------------------------------1分。